Sebenta de Cálculo II

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1 Sebet de Cálculo II pr os cursos de Bioquímic, Egehri do Ambiete e Egehri Biológic Hermeegildo Borges de Oliveir Julho de 7

2 Coteúdo Sucessões Numérics. Itrodução Forms de desigr um sucessão Represetção grác de um sucessão Pricípio de idução mtemátic Exemplos Importtes Proprieddes pricipis Sucessão itd Mootoi Subsucessão Covergêci Sucessão covergete Proprieddes Sucessão de Cuchy Critérios de covergêci Limites de sucessões A rect cbd Idetermições Cálculo de ites Limites importtes Fich de exercícios o Séries Numérics 38. Somtórios Séries umérics Proprieddes geris Séries de termos ão egtivos Séries de termos positivos e egtivos ii

3 .6 Covergêci bsolut Outros Critérios Produto de séries Fich de exercícios o Itegris Impróprios 7 3. Noções pricipis Vlor pricipl de Cuchy Pricípio de Cuchy Itegris impróprios de fuções ão-egtivs Itegrl impróprio de primeir espécie Itegrl impróprio de segud espécie Covergêci bsolut ou codiciol Fução Gm Fução Bet Fich de exercícios o Séries de Potêcis 4. Itrodução Critérios de covergêci Proprieddes Fórmul de Tylor Série de Tylor Produto de séries de potêcis Aplicções Fich de exercícios o Itegris Duplos 3 5. Itegrl de Riem Itegrl repetido Mudç de vriáveis Aplicções Fich de exercícios o Itegris Triplos Itegrl de Riem Itegrl repetido Mudç de vriáveis

4 6.4 Aplicções Fich de exercícios o BQ EA EB iv c HBO, 6/7

5 Cpítulo Sucessões Numérics Neste cpítulo, vmos cosiderr um cso prticulr de fuções reis de vriável rel que, pel su importâci em tods s áres d Mtemátic, merece ser estuddo um cpítulo à prte.. Itrodução Deição.. Sucessão uméric). Um sucessão uméric iit de termos reis é um fução de vriável turl e com vlores reis. Usdo escrit hbitul pr s fuções, um sucessão, digmos f, escreve-se d form seguite: f : N R f). Por simplicidde de escrit, iremos desigr um sucessão iit de termos reis pes por sucessão. O cojuto de prtid d sucessão poderá ser qulquer subcojuto do cojuto dos turis N = {,, 3,... } ou, id, o cojuto dos iteiros ão egtivos N = {,,, 3,... }. Os vlores f), f),..., f),... desigm-se por termos d sucessão: primeiro termo, segudo termo,..., -ésimo termo,.... O cotr-domíio d fução f desig-se por cojuto dos termos d sucessão. Hbitulmete, os termos d sucessão são deotdos por letrs idexds os úmeros turis. Por exemplo, podemos deotr os termos d sucessão escrit cim por u, u,..., u,.... Chm-se termo gerl d sucessão à expressão desigtóri f) e, usdo mesm otção idexd, é hbitul deotá-lo por u. Cd termo de um sucessão, digmos u, tem um termo sucessor, u +, e, ssim, podemos dizer que ão existe um último termo d sucessão. As operções lgébrics hbituis dos úmeros reis estedem-se turlmete às sucessões. A som e difereç de dus sucessões u e v deem-se, respectivmete, por: u + v) = u + v e u v) = u v. O produto e quociete de dus sucessões u e v deem-se, respectivmete, por: u ) u v) = u v e = u v N). v v.. Forms de desigr um sucessão Ordeção. Pr desigr um sucessão, é hbitul escrever ordedmete um qutidde suciete de termos d sucessão, de modo termos um idei do comportmeto d sucessão. Por

6 . SUCESSÕES NUMÉRICAS exemplo, sucessão cujos três primeiros termos são, 3, 5, é escrit do modo seguite:, 3, 5,.... Fórmul. A form mis comum pr desigr um sucessão, cosiste em idicr um fórmul por meio d qul se pode obter, pr cd turl, o correspodete -ésimo termo. Por exemplo, fórmul u =, N, permite-os obter sucessão seguite de termos ordedos: A fórmul,, 3,.... v =, N, represet sucessão costte com todos os termos iguis, e que, orded, se escreve,,,...,,.... Por vezes, dus ou mis fórmuls podem ser idicds pr desigr um sucessão. Por exemplo, se u = = k se = k, ode k N, dee sucessão cujos oito primeiros termos ordedos são, 4, 9, 6, 5, 36, 49, 64,.... Isto é, sucessão cujos qutro primeiros termos de ordem ímpr k ) são, 9, 5, 49,... e os qutro primeiros termos de ordem pr k) são 4, 6, 36, 64,.... Recorrêci. Outr form de desigr um sucessão, cosiste em idicr s istruções de como obter os termos sucessores cohecido um ou mis dos primeiros termos. Por exemplo, s fórmuls u = u =, u + = u + u, N, deem sucessão de Fibocci ) cujos oito primeiros termos ordedos são,,, 3, 5, 8, 3,,.... Um sucessão determid por este processo, diz-se um sucessão deid por recorrêci. Por simplicidde de escrit, deot-se qulquer sucessão por u, qulquer que sej form por que é deid... Represetção grác de um sucessão A represetção grác de um sucessão, um sistem de eixos crtesios, fz-se do mesmo modo como pr qulquer fução. Neste cso, o eixo ds bcisss idicmos os úmeros turis e o ds ordeds s correspodetes imges por meio d sucessão termos d sucessão). O gráco de um sucessão u é o cojuto de potos discretos {, u ) : N}. Leordo Fibocci 7-5), mtemático turl de Pis, Itáli. BQ EA EB c HBO, 6/7

7 . SUCESSÕES NUMÉRICAS Exemplo... Fzer represetção grác dos seis primeiros termos d sucessão Resolução: Clculdo estes termos, temos: u = ), N. u =, u =, u 3 = 3, u 4 = 4, u 5 = 5, u 6 = 6. Represetdo os termos um referecil crtesio, obtemos o gráco seguite: u 4 6. Pricípio de idução mtemátic O Pricípio de Idução Mtemátic é um método de demostrção elbordo com bse o Pricípio de Idução Fiit, frequetemete utilizdo pr provr que certs proprieddes são verddeirs pr todos os úmeros turis. Pr um determid rmção mtemátic que deped de um turl, digmos P ), podemos eucir este pricípio do modo seguite: Se ) P ) é vericd pr = ; ) P ) sedo vericd pr = k implicr ser tmbém vericd pr o seu sucessor = k +, com k > ; etão rmção P ) é válid pr todo o turl. O psso, em que se estbelece propriedde pr o primeiro dos úmeros turis, desig-se por bse de idução. O psso desig-se por psso de idução, em que se estbelece que, cso propriedde se verique, pr um úmero turl k hipótese de idução) etão el tmbém é vericd pr o úmero turl seguite, k + tese de idução). A vlidde de P ) pr todos os úmeros turis, depede essecilmete d possibilidde em provr que observção d propriedde um turl = k implic vericção d mesm propriedde pr o turl seguite, = k + psso de idução). Se isso suceder, podemos etão cocluir vercidde de P ) pr todos os úmeros turis desde que o primeiro deles o úmero ) verique. N relidde, vlidde d propriedde pr o primeiro turl bse de idução) implic su vlidde pr o segudo o úmero ) e deste pr o terceiro o úmero 3), e ssim sucessivmete, cobrido-se deste modo totlidde dos turis, como peçs de um domió em lih, em que s queds ds sucessivs peçs são provocds ums prtir ds outrs pós qued d primeir peç. Por vezes, certs rmções P ) só são vericds prtir de um úmero turl >. Neste cso, temos de substituir, o psso, "P ) é vericd pr ". De um modo sucito, podemos eucir o Pricípio de Idução Mtemátic form seguite. Deição.. Pricípio de idução mtemátic). Se: ) P ) é vericd; BQ EA EB 3 c HBO, 6/7

8 . SUCESSÕES NUMÉRICAS ) P ) P + ), > ; etão P ) é verddeir pr todo turl. Exemplo... Mostrr que pr todo o turl iguldde seguite é vericd: =...) Resolução: Pr =, observmos trivilmete que =. Supohmos que pr qulquer > se veric..), que pss ser oss hipótese de idução. Tetemos mostrr oss tese de idução: ) = + ). De fcto, usdo hipótese de idução, temos ) = + + = + ). Assim, podemos cocluir, pelo Pricípio de Idução Mtemátic, que..) é vericd pr todo o turl. A demostrção do resultdo fudmetl seguite, comummete cohecido por Biómio de Newto, fz-se à cust do Pricípio de Idução Mtemátic. Proposição... Pr quisquer, b R + b) = + b + = k= ) b + +! k! k)! k b k + + ) b + b + b..)! k! k)! k b k...3) Demostrção: Pr =, fcilmete se veric, pois + b = k=! k! k)! k b k + b =!! )! b +!! )! b + b = + b. Supohmos, gor, que fórmul..) é válid pr um certo N hipótese de idução) e prtir dqui tetemos mostrr que tmbém é válid pr o seu sucessor + tese). Temos etão, pel hipótese de idução, + b) + = + b) + b) = = k= = + + = + + k=! k! k)! + k b k + k=! k! k)! + k b k + k= k= +! k! k)! + k b k + k= [! k! k)! +! k )![ + ) k]! k=! k! k)! k b k+! k![ + ) k + )]! +) k+) b k+! k )![ + ) k]! +) k b k ] + k b k + b + Isc Newto 64-76), físico, mtemático, stróomo e teólogo turl de Licolshire, Iglterr. BQ EA EB 4 c HBO, 6/7

9 . SUCESSÕES NUMÉRICAS + + )! = k![ + ) k]! + k b k. k= Observe-se que últim iguldde, usmos o fcto de se ter como fcilmete se comprov.! k! k)! +! k )![ + ) k]! = + )! k![ + ) k]!, Um form prátic de se expdir o biómio + b), cosiste em usr o cohecido Triâgulo de Pscl 3 triâgulo de úmeros turis em que cd lih, começr em =, represet os coecietes do biómio + b). O triâgulo é itdo por os ldos direito e esquerdo, e cd etrd iterior é som ds dus etrds imeditmete cim. Este triâgulo foi populrizdo por Pscl os seus trblhos de Cálculo Combitório, ms existem evidêcis de que já er cohecido cetes, ou mesmo milhres, de os tes por diverss civilizções, como Atig Ídi, Chi Medievl e Idde de Ouro Islâmic, té chegr à Itáli por volt do Rescimeto. Por exemplo, últim lih do Triâgulo de Pscl d Figur., permite-os cohecer, de um form muito rápid, todos os coecietes d expsão do poliómio + b) 8 em potêcis de e b: + b) 8 = b b b b b b b 7 + b Figur.: Triâgulo de Pscl pr = 8. Outro resultdo importte, que se pode demostrr por idução mtemátic, é Desiguldde de Berouli 4. Proposição... Pr quisquer x [, ) e N, tem-se: + x) + x...4) 3 Blise Pscl 63-66), físico, mtemático, lósofo e teólogo, turl de Clermot-Ferrd, Frç. 4 Jcob Beroulli ), mtemático turl de Bsilei, Suiç, pertecete um fmíli de vários mtemáticos tletosos. BQ EA EB 5 c HBO, 6/7

10 . SUCESSÕES NUMÉRICAS Demostrção: Pr =, é imedito. Supohmos que fórmul..4) é válid pr um determido N hipótese de idução) e prtir dqui tetemos mostrr que tmbém é válid pr o seu sucessor + tese). Temos, pel hipótese de idução, + x) + = + x) + x) + x) + x) = + + )x + x + + )x. Observe que primeir desiguldde só é possível se x. N verdde, Desiguldde de Beroulli é estrit pr miori dos csos, com excepção de x =, = e =. Outr plicção do Pricípio de Idução Mtemátic reside cohecid desiguldde d médi. Se,,..., são úmeros reis ão egtivos, deimos médi geomégtric de,,..., por M g := i, equto médi ritmétic é deid por M := i= i. i= Proposição..3. Se N e,,..., R +, etão i i. i= i= Demostrção: Se os i forem todos iguis, obtemos imeditmete iguldde i = i. i= Supohmos etão que os i ão são todos iguis e usemos idução mtemátic. Cosidermos pr bse de idução =, pois pr = des)iguldde é óbvi. Trt-se etão de mostrr que + o que é verdde, pois estmos dmitir que. i= ), Supohmos gor que desiguldde é válid pr um certo > e tetemos mostrr que tmbém vle pr o seu sucessor +. Deido M := + + i= i, sbemos que mi i M mx i, i {,...,,+} i {,...,,+} sedo s desigulddes estrits o osso) cso dos i ão serem todos iguis. Sem perd de geerlidde, podemos supor que = mi i {,...,,+} i e + = mx i {,...,,+} i, pelo que < M < + M )M + ) > + < M + + M )...5) Por deição d médi ritmétic, temos M := + i + i= i M ) = M. i= BQ EA EB 6 c HBO, 6/7

11 . SUCESSÕES NUMÉRICAS Etão M é tmbém médi ritmétic dos úmeros,...,, ã +, ode ã + = + + M. Por hipótese de idução, temos + + M ) i M. Elevdo e ultiplicdo desiguldde resultte por M, obtemos M + + M ) Filmete, usdo..5) e depois..6), obtemos + i= i = como querímos demostrr. i= i= i= i + < M + + M ) i M +...6) i= i M +,.3 Exemplos Importtes Deição.3. Progressão ritmétic). Um progressão ritmétic é um sucessão cuj fórmul pr o seu termo gerl é u = u + )r, N, ode r é um costte cohecid que se desig por rzão. Este tipo de sucessões crcteriz-se por difereç de quisquer dois dos seus termos sucessivos ser costte: u + u = r N r = costte ). Deste modo, podemos deir tl sucessão por recorrêci: { u = u + = u + r; sedo e r reis cohecidos. No gráco de um progressão ritmétic, os termos d sucessão são represetdos de um form colier. Por exemplo, o cso d progressão ritmétic u =, temos: u Proposição.3.. A som S dos primeiros termos de um progressão ritmétic u é dd por S = u + u..3.7) BQ EA EB 7 c HBO, 6/7

12 . SUCESSÕES NUMÉRICAS Demostrção: Sej u um progressão ritmétic. Etão existem, r R, com r, tis que u =, u = + r,..., u = + )r, u = + )r,.... A som dos primeiros termos é dd por Ivertedo ordem dest som, temos S = + + r) + + [ + )r] + [ + )r]..3.8) S = [ + )r] + [ + )r] r) ) Somdo.3.8) e.3.9) termo termo, obtemos S = [ + )r] + [ + )r] + + [ + )r] + [ + )r] = [ + )r] = { + [ + )r]} S = u + u, o que coclui demostrção. Exemplo.3.. Clculr som, S, dos primeiros termos d progressão ritmétic u =, com N. Resolução: De fcto, u é um progressão ritmétic de rzão r = já que u + u = + =. Assim, por.3.7), temos S = u + u = + = 55. Deição.3. Progressão geométric). Um progressão geométric é um sucessão cuj fórmul pr o seu termos gerl é u = u r, N, ode r é um costte cohecid que se desig por rzão. Est sucessão crcteriz-se por o quociete etre quisquer dois dos seus termos sucessivos ser costte: u + u = r N r = costte ). Podemos, ssim, deir tl sucessão tmbém por recorrêci: { u = u + = u r; sedo e r reis cohecidos. Num progressão geométric, os termos d sucessão são represetdos, um referecil crtesio, o logo de um curv de crescimeto ou decrescimeto) expoecil. Por exemplo, o cso de u = 3, temos: BQ EA EB 8 c HBO, 6/7

13 . SUCESSÕES NUMÉRICAS 3 u Proposição.3.. A som S dos primeiros termos de um progressão geométric u de rzão r é dd por S = u r r..3.) Demostrção: Sej u um progressão geométric. Etão existem, r R, com r, tis que A som dos primeiros termos é dd por Multiplicdo.3.) por r), obtemos u =, u = r, u 3 = r,..., u = r,.... S = + r + r + + r..3.) r)s = + r + r + + r r + r + r r ) o que coclui demostrção. = r = u r ) r S = u r, Exemplo.3.. Clculr som dos primeiros termos d progressão geométric ) u =, N. Resolução: A sucessão u é um progressão geométric de rzão r = +.3.), temos S = u r r = ) =. =. Assim, de.4 Proprieddes pricipis.4. Sucessão itd Um sucessão diz-se mjord, se o cojuto dos seus termos for mjordo, isto é, se existir um rel mior ou igul do que todos os termos d sucessão. Ou sej, u é um sucessão mjord, se L R : u L N. BQ EA EB 9 c HBO, 6/7

14 . SUCESSÕES NUMÉRICAS Um sucessão diz-se miord, se o cojuto dos seus termos for miordo, isto é, se existir um rel meor ou igul do que todos os termos d sucessão. Ou sej, u é um sucessão miord, se l R : u l N. Um sucessão diz-se itd, se for mjord e miord. Deição.4. Sucessão itd). Um sucessão u é itd, se L, l R : l u L N..4.) Exemplo.4.. Vericr se s sucessões seguites são itds: ) u =, N; b) v =, N. Resolução: ) A sucessão u é miord, pois u pr todo o turl. No etto, ão é mjord, porque u + = + > = u pr qulquer turl. Deste modo, u será tão grde quto se queir. Assim sedo, sucessão u ão é itd. b) A sucessão v é miord, porque trivilmete se tem v = > pr todo o turl. Por outro ldo, tmbém é mjord já que v = pr todo. Deste modo, cocluímos que sucessão v é itd. Proposição.4.. Um sucessão u é itd se e só se C R + : u C N..4.3) Demostrção: Supohmos que u é itd. Sedo C = mx{ l, L }, cocluímos fcilmete que.4.) implic.4.3). Reciprocmete, se.4.3) é vericd, etão C u C N. Assim, podemos tomr l = C e L = C pr obter.4.)..4. Mootoi Um sucessão diz-se moóto crescete, se qulquer dos seus termos for meor ou igul do que o seu sucessor. Diz-se que um sucessão é moóto decrescete, se qulquer dos seus termos for mior ou igul do que o seu sucessor. Um sucessão diz-se, pes, moóto, se for moóto crescete ou decrescete. Deição.4.. Um sucessão u diz-se moóto crescete, se u u + N. A sucessão u diz-se moóto decrescete, se u u + N. BQ EA EB c HBO, 6/7

15 . SUCESSÕES NUMÉRICAS No cso de termos u < u + N, dizemos que u é um sucessão moóto estritmete crescete. Se u > u + N, diz-se que u é um sucessão moóto estritmete decrescete. Qudo houver ecessidde de fzer distição, iremos referir-os à mootoi d deição terior como sedo em setido lto. As sucessões que ão são moótos, podem ser costtes ou osciltes. Covém referir que, por vezes, mootoi ou ão de um sucessão só se descorti pós um úmero ito de termos. Neste cso, diremos que sucessão é moóto prtir do termo d ordem úmero turl, digmos p) em que se veric codição d deição. Em termos práticos, pr se estudr mootoi de um dd sucessão, determimos difereç u + u e comprmo-l com. Se for mior do que, é moóto crescete, cso cotrário é moóto decrescete. Existem csos em que se tor mis fácil determir o quociete u + u e comprá-lo com. Obvimete, qui, este quociete só é possível se u pr todo N. Nesses csos, sucessão é crescete se o quociete terior for mior do que e decrescete se for meor. Est form de estudr mootoi é mis idicd pr progressões geométrics, equto que terior é mis proprid pr progressões ritmétics. Exemplo.4.. Estudr s sucessões seguites quto à mootoi: ) u =, N; b) v =, N. Resolução: ) Pr sucessão u, sedo um progressão ritmétic, temos u + u = + ) ) = N. Logo u é um sucessão moóto crescete. b) Já pr sucessão v, podemos usr o critério de mootoi d progressão geométric, v + v = Etão v é um sucessão moóto decrescete. +) = ) < N Subsucessão Um subsucessão é um sucessão cujo cojuto dos seus termos é um subcojuto do cojuto dos termos de dd sucessão. Pr deição de subsucessão, ecessitmos de itroduzir o coceito de composição de sucessões, que é um cso prticulr d composição de fuções. Sejm u e v dus sucessões, últim ds quis de termos turis. Dee-se composição ds sucessões u e v como sedo sucessão u v) que tem por termo de ordem k o termo de ordem v k repre que v é um sucessão de termos turis) d sucessão u. Ou sej, u v) k = u vk. BQ EA EB c HBO, 6/7

16 . SUCESSÕES NUMÉRICAS Deição.4.3 Subsucessão). Sejm u um sucessão de termos reis e k um sucessão de termos turis estritmete crescete. A sucessão compost u k) desig-se por subsucessão d sucessão u e o seu termo gerl é deotdo por u k. Dd um sucessão qulquer u de termos reis, podemos cosiderr sempre s subsucessões seguites. Fzedo k = pr todo N, obtemos sucessão v de termo gerl v = u. Isto é, tod sucessão é subsucessão de si própri. Fzedo k = pr todo N, obtemos sucessão v de termo gerl v = u Portto, podemos sempre cosiderr subsucessão dos termos de ordem pr. Fzedo k = pr todo N, obtemos subsucessão v de termo gerl v = u. Ou sej, podemos tmbém sempre cosiderr subsucessão dos termos de ordem ímpr. Exemplo.4.3. Determir dus subsucessões d sucessão seguite:,, 3, 4, 5,.... Resolução: Um observção rápid, permite-os seprr est sucessão s dus subsucessões:, 3, 5,... e, 4, 6,.... Pr ecotrrmos os termos geris dests subsucessões, cosideremos primeiro s subsucessões dos turis ímpres e dos turis pres, que são estritmete crescetes: Podemos etão fzer s ssocições seguites: ode k N. u k u mk k = k, k N e m k = k, k N. = u ) k = ) k = k k = u m) k = )m k = pr os termos m k k pr os termos, 3, 5,... ;, 4, 6,... ;.5 Covergêci.5. Sucessão covergete Dizemos que um sucessão u de termos reis tede pr determid qutidde A, it ou ão, se, prtir de determid ordem úmero turl), os termos d sucessão vão estr tão próximos de BQ EA EB c HBO, 6/7

17 . SUCESSÕES NUMÉRICAS A quto se queir. Covém resslvr qui o cso em que A é iito e proximidde de iito ser sempre um buso de ligugem. Abrevidmete, podemos escrever u A. No cso de A ser ito, isto é, um úmero rel, dizemos que sucessão u coverge. Deição.5. sucessão covergete). Um sucessão u coverge pr R, se ε > p = pε) N : N > p ) u < ε..5.4) Usdo deição de módulo, podemos escrever expressão.5.4) form seguite ε > p = pε) N : N > p ) ε < u < + ε..5.5) O rel d deição terior chm-se ite d sucessão e, hbitulmete, escrevemos u =. + A deição de sucessão covergete terior, pode ser trduzid do modo seguite: prtir de cert ordem > p) os termos d sucessão vão estr tão próximos do ite u < ε) quto se queir ε). Pr percebermos melhor este coceito, cosideremos sucessão de úmeros rciois seguite que proxim o irrciol : u = u =.4 u =.4 u 3 =.44 u 4 =.44 u 5 =.44 u 6 =.443 u 7 =.4435 u 8 = u 9 = Escolhedo ε = 4, determiemos, pr este ε, prtir de que ordem p deição terior se veric. Resolvedo, temos u < 4 u Deste modo, pr o vlor de ε = 4, deição terior veric-se prtir d ordem p = 5 iclusive 5). Apesr de ser um idictivo, isto ão prov d. O importte é que pr cd ε > que se escolh, cosigmos sempre ecotrr um ordem p prtir d qul deição terior sej vericd. Exemplo.5.. Usdo deição, mostre que + =. Resolução: De fcto, temos que p = p O segudo membro d iequção terior será meor do que ε, se p < ε p > ε. BQ EA EB 3 c HBO, 6/7

18 . SUCESSÕES NUMÉRICAS Deste modo, deição.5.4) é stisfeit pr estes vlores de p: [ ] ε > p = : > p ε < ε, ode [ ] ε desig prte iteir crcterístic) do úmero ε. As sucessões que ão são covergetes dizem-se divergetes. Cso prticulrmete importte ds sucessões divergetes são quels que tedem pr + ou pr. Um sucessão tede pr +, se, prtir de cert ordem, os seus termos são tão grdes quto se queir. De modo álogo, um sucessão tede pr, se, prtir de cert ordem, os seus termos são tão pequeos quto se queir. Deição.5.. Um sucessão u tede pr +, se ε > p = pε) N : N > p ) u > ε..5.6) Um sucessão u tede pr, se ε > p = pε) N : N > p ) u < ε..5.7) Por extesão d oção de ite + e, podemos escrever tmbém u = + e u =, + + o cso d sucessão u teder pr + ou pr, respectivmete. Exemplo.5.. Usdo deição, mostrr que: ) + ) = + ; + b) =. + Resolução: ) Neste cso, temos p + p + p + > ε p > ε. Assim, deição.5.6) é stisfeit pr estes vlores de p: [ ] ε > p = ε : > p + ) > ε. b) Aqui, temos p p p < ε p > + ε. Assim, deição.5.7) é stisfeit pr estes vlores de p: [ ε > p = + ] : > p < ε ε. Um sucessão u desig-se por um iitmete grde positivo, se teder pr + : u +. BQ EA EB 4 c HBO, 6/7

19 . SUCESSÕES NUMÉRICAS Diz-se que é um iitmete grde egtivo, se teder pr : u. Chm-se iitésimo, ou iitmete pequeo, um sucessão u que ted pr : u. O ite de um subsucessão de um sucessão é desigdo por subite dess sucessão. Deição.5.3. O mior dos subites de um sucessão u desig-se por ite superior e deimo-lo por: sup u = sup{ : é subite de u }. + O meor dos subites de um sucessão u desig-se por ite iferior e deimo-lo por: if u = if{ : é subite de u }. + Result d deição terior que, pr qulquer sucessão u, o cso de existirem os subites, if u sup u. + + Tl como pr o ite de um sucessão, podemos, tmbém, esteder s oções de ite superior e iferior + e. Isto cotece o cso em que o cojuto dos subites d sucessão ão é mjordo ou ão é miordo, respectivmete. Exemplo.5.3. Determie os ites superior e iferior d sucessão u = u = ) +. Resolução: Focdo-os o fctor ), temos com jud do Exemplo.5.: + = +, qudo + e é pr, Deste modo, pelo que ão existe + u. + = +, + sup u = e if u =, + + qudo + e é ímpr..5. Proprieddes A rmção d proposição seguite diz-os que o ite de um sucessão, existir, é úico. Proposição.5.. Sejm u um sucessão e, b R. Se u = u = b, + + BQ EA EB 5 c HBO, 6/7

20 . SUCESSÕES NUMÉRICAS etão = b. Demostrção: Supohmos que u er um sucessão covergete simultemete pr e b, úmeros reis. Etão, por deição, terímos ε > p = p ε) N : N > p ) u < ε, ε > p = p ε) N : N > p ) u b < ε, com p e p ão ecessrimete iguis. Dqui vem que pr > p := mx{p, p } b = u b u ) u b + u < ε. Como ε é rbitrário, podemos fzer ε e obter como querímos demostrr. b b = = b, Proposição.5.. Se u é um sucessão covergete, etão u é itd. Demostrção: Sej u um sucessão covergete, digmos pr R. Etão de.5.4) si que pr todo > p ε < u < + ε. Cosideremos o cojuto dos p primeiros termos de u, {u, u,..., u p }, e sejm Temos etão pr todo N m := mi{u, u,..., u p }, M := mx{u, u,..., u p }. mi{ ε, m} u mx{ + ε, M}, o que mostr, de cordo com.4.), que u é itd. A rmção recíproc d proposição terior é fls como mostr o cotr-exemplo seguite. Exemplo.5.4. Mostre que sucessão u = ) é itd, ms divergete. Resolução: É imedito que u é itd, pois u = ) = pr todo N. A divergêci result do fcto d subsucessão dos termos ímpres teder pr e dos termos pres teder pr : u = se = k e u = se = k, pr k N. No etto, se lém de itd, sucessão for moóto, recíproc já é válid. Proposição.5.3. Se u é um sucessão moóto e itd, etão u é covergete. Mis: se u é crescete, etão se u é decrescete, etão u = sup{u : N}; + u = if{u : N}. + BQ EA EB 6 c HBO, 6/7

21 . SUCESSÕES NUMÉRICAS Demostrção: Sej u um sucessão moóto e itd. Admitmos, primeiro, que u é moóto crescete. Etão, usdo mootoi crescete e o fcto de u ser itd, podemos deir Pel crcterizção do supremo, podemos escrever Assim, pel mootoi crescete, vem que := sup{u : N}. ε > p N : N > p ) ε < u p. > p ε < u p u < + ε. Deste modo,.5.4) é vericd, ou sej, u é covergete. No cso de u ser moóto decrescete, demostrção é álog. Exemplo.5.5. Usdo proposição terior, mostrr que sucessão seguite é covergete e clculr o seu ite: { u = u + = + u. Resolução:. Comecemos por mostrr que u é itd. Um observção mis tet permite sugerir que u < N. Mostremos que de fcto isto cotece, fzedo uso do Pricípio de Idução Mtemátic. Pr =, temos trivilmete que = u <. Supohmos que pr rbitrário se tem u < hipótese de idução) e mostremos que etão tmbém se tem u + < tese de idução). Pr isto, observmos que, pel hipótese de idução, se tem < u + = + u + = + + u < + + =, como pretedido.. Mostremos gor que u é moóto crescete, i.e. que u + u + u u N. Pr tl, fçmos u = θ +. Como u <, etão < θ < pr todo o turl. Or, temos + u u u = θ + + u u θ + )θ, o que é verdde, pois < θ <. Assim, + u u + u u + u. E como u, tem-se que u + u pr todo o turl, como se queri. 3. Cocluímos etão, pel Proposição.5.3, que u é covergete, digmos pr L. Podemos etão pssr o ite + equção u + = + u e obtemos L = + L L L = L = L =. Como u <, terá de ser L =. Portto, + u =. A rmção recíproc d proposição terior é fls, pois existem sucessões covergetes que ão são moótos. BQ EA EB 7 c HBO, 6/7

22 . SUCESSÕES NUMÉRICAS Exemplo.5.6. Mostrr que sucessão seguite é covergete, ms ão é moóto: u = ). Resolução: A covergêci result de usr o Exemplo.5., pois: u =,, qudo + e é ímpr, qudo + e é pr. u =. + Por outro ldo, fcilmete se vê que sucessão ão é moóto já que oscil etre vlores egtivos e positivos, cosote é ímpr ou pr, respectivmete. Proposição.5.4. Um sucessão u é covergete se e só se qulquer su subsucessão u k coverge pr o mesmo ite. Demostrção: Supohmos que u é um sucessão covergete, digmos pr R. Sej u k um subsucessão de u. Etão k é um subsucessão de turis estritmete crescete, pelo que k k pr todo k N. Usdo.5.4), jutmete com o fcto de u k ser um subsucessão de u, temos Portto, u k coverge pr. ε > p N : k > p k k > p u k u < ε. Reciprocmete, como u é um subsucessão de si própri, implic que trivilmete u é covergete. Observe-se que, pel proposição terior, se um sucessão tem, pelo meos, dus subsucessões com ites diferetes, etão é divergete. Depois do resultdo terior, levt-se questão de sber em que codições um sucessão tem subsucessões covergetes. Proposição.5.5. Sej u um sucessão de termos reis). Etão existe, pelo meos, um subsucessão u k moóto. Demostrção: Supohmos, primeiro, que existem iitos turis < < 3 < < k <... tis que, pr cd j =,..., k, u j é mior que qulquer termo sucessão, i.e. > j u j > u. Etão subsucessão u j é moóto decrescete. Supohmos, gor, que existe pes um qutidde it de turis < < < N s codições teriores. Sej m = N +. Etão, como m > N, existe m > m com u m > u m. Novmete, como m > N, existe m 3 > m com u m3 > u m. Repetido este processo, lev-os um subsucessão iit) crescete u mj como desejdo. Proposição.5.6. Sej u um sucessão itd. Etão u tem, pelo meos, um subsucessão u k covergete. Demostrção: Se u é um sucessão itd, etão qulquer su subsucessão tmbém é itd. Pel Proposição.5.5, sbemos que de u podemos extrir um subsucessão u k moóto. Etão, sedo u k moóto e itd, pel Proposição.5.3, u k é covergete. BQ EA EB 8 c HBO, 6/7

23 . SUCESSÕES NUMÉRICAS O resultdo d proposição terior é, por vezes, desigdo por Teorem de Bolzo 5 -Weierstrss 6. Dqui, result que é codição ecessári e suciete pr um sucessão itd u covergir que if u = sup u. + + Exemplo.5.7. Mostrr que sucessão u = ) é divergete. Resolução: De fcto, veric-se imeditmete que, qudo é ímpr u =, qudo é pr if u = = sup u. + + Logo, sucessão u é divergete..5.3 Sucessão de Cuchy Por vezes, tor-se muito difícil provr, pel Deição.5., que um sucessão é covergete, pesr de vericrmos que coverge usdo técics de cálculo de ites de que iremos escrever mis dite. Tor-se, portto, útil ecotrr forms equivletes de provr que um sucessão é covergete. Nesse ituito, itroduzimos de seguid o coceito de sucessão de Cuchy. 7 Deição.5.4 Sucessão de Cuchy). Diz-se que um sucessão u é de Cuchy, se ε > p = pε) N : m, N m, p ) u m u < ε..5.8) O sigicdo dest deição é o de que prtir de cert ordem, digmos p m, p), os termos correspodetes d sucessão u m e u ) estrão tão próximos u m u < ε) quto se queir ε > ). Observe-se que d se diz sobre relção de ordem etre m e. Exemplo.5.8. Mostrr que sucessão u = é de Cuchy. Resolução: Pr est sucessão, temos m, p u m u = m m + p. Escolhedo p N tl que coseguimos estbelecer.5.8) com p = [ ε ]. p < ε p > ε, Tl como pr s sucessões covergetes, proposição bixo mostr que tod sucessão de Cuchy é itd. 5 Berhrd Bolzo ), mtemático turl de Prg, Repúblic Chec. 6 Krl Weierstrss ), mtemático turl de Ostefelde, Alemh. 7 Augusti-Louis Cuchy ), mtemático turl de Pris, Frç. BQ EA EB 9 c HBO, 6/7

24 . SUCESSÕES NUMÉRICAS Proposição.5.7. Tod sucessão de Cuchy é itd. Demostrção: Por.5.8), podemos escolher p N tão grde de modo que m, > p u m u <. Em prticulr, > p u = u p + u u p ) u p + u u p < u p +. Assim, pr todo N temos u mx{ u, u,, u p } + e, por.4.3), u é itd. A grde utilidde d oção de sucessão de Cuchy, é provr, de um modo mis simples, que um dd sucessão é covergete. O resultdo estbelecido proposição seguite é, pois, esperdo. Proposição.5.8. Um sucessão é covergete se e só se for sucessão de Cuchy. Demostrção: Sej u um sucessão covergete. Etão, de.5.4), temos pr todo m > p e todo > p u m u = u m u ) u m + u ε. Portto,.5.8) é vericd e, ssim, u é um sucessão de Cuchy. Reciprocmete, se u é um sucessão de Cuchy, vem de.5.8) que ε > p N : m, p u m u < ε. Por outro ldo, pel Proposição.5.7, u é itd e, pel Proposição.5.6, u tem, pelo meos, um subsucessão, digmos u k, covergete pr lgum u R. Logo ε > p N : k p u k u < ε. Tomemos, gor, p = mx{p, p } e observemos que k k, k > p k, k > p, k > p. Etão k > p u u u u k + u k u ε + ε = ε, o que mostr que.5.4) é vericd e, portto, u é covergete. Dd equivlêci etre s oções de sucessão covergete e de sucessão de Cuchy, por vezes deição de sucessão de Cuchy é desigd por Pricípio Gerl de Covergêci de Cuchy. Existem mesmo muitos utores que flm de deição de sucessão covergete o setido de Cuchy. Neste setido, e pr distiguir, primeir Deição.5.) é desigd por oção de sucessão covergete o setido de Heie 8. O exemplo seguite mostr-os grde utilidde d oção de sucessão de Cuchy. Exemplo.5.9. Usdo oção de sucessão de Cuchy, mostrr que sucessão seguite é divergete: s = Heirich Edurd Heie 8-88), mtemático turl de Ber, Alemh. BQ EA EB c HBO, 6/7

25 . SUCESSÕES NUMÉRICAS Resolução: De fcto, veric-se pr os termos s e s que s s = > + =. Assim, distâci etre os termos s e s uc será meor do que, idepedetemete d ordem que se cosidere. Deste modo,.5.8) ão é stisfeit pr vlores de ε : < ε e pr m =, pelo que sucessão s ão é de Cuchy e, por cosequêci, ão coverge..5.4 Critérios de covergêci As proposições seguites estbelecem relções de ordem etre os ites de sucessões prtir dos seus termos geris. Proposição.5.9. Sejm u e v dus sucessões covergetes pr e b, respectivmete. Se, prtir de cert ordem, u v, etão b. Demostrção: Se u e v são dus sucessões covergetes, respectivmete, pr e b, temos prtir de.5.4) ε > p N : > p u < ε, Supohmos que ε > p N : > p v b < ε. p 3 N : > p 3 u v. Observe-se que p, p e p 3 poderão ser distitos. Deido p := mx{p, p, p 3 }, temos pels rmções teriores > p b = u + u b u + v b u + v b u + v b < ε. Como ε é rbitrário, podemos fzer ε e obtemos b. Est proposição tem um grde plicção prátic o cálculo de ites. Ess plicção é mis visível utilizção do seguite resultdo tmbém cohecido por Pricípio do Ecixe. Proposição.5. Critério d Sucessão Equdrd). Sejm u, v, x sucessões tis que, prtir de cert ordem, u v x. Se u e x são covergetes e u = = x, R, + + etão v é covergete e v =. + Demostrção: Se u e x são dus sucessões covergetes, mbs pr, temos, por.5.5), ε > p N : > p ε < u < + ε, ε > p N : > p ε < x < + ε. Supohmos que p 3 N : > p 3 u v x. Deido p := mx{p, p, p 3 }, temos pelo exposto cim > p ε < u v x < + ε v < ε. Pel deição.5.4), si que v é um sucessão covergete pr. BQ EA EB c HBO, 6/7

26 . SUCESSÕES NUMÉRICAS Exemplo.5.. Usdo o critério terior, mostrr que sucessão seguite é covergete e clculr o seu ite: u = Resolução: N expressão de u, comecemos por observr que primeir prcel é mior de tods s prcels e últim é meor de tods. Assim, tedo em cot que u tem prcels e usdo o Exemplo.5., podemos escrever: u < = + = + ) qudo + ; u > = + = + qudo +. Etão, pelo Critério ds Sucessões Equdrds, + u =. O resultdo d Proposição.5.9 pode esteder-se, em determids codições, o cso em que os ites são iitos Proposição.5. Critério de Comprção). Sejm u e v sucessões tis que, prtir de cert ordem, u v. ) Se v tede pr, etão u tede pr. ) Se u tede pr +, etão v tede pr +. Demostrção: Supohmos que p N : > p u v. Se v tede pr, temos por.5.7) ε > p N : > p v < ε. Tomdo p := mx{p, p } tem-se pelo exposto > p u v < ε, pelo que u tede pr. Se u tede pr +, por.5.6) tem-se ε > p 3 N : > p 3 u > ε. Tomdo gor p := mx{p, p 3 }, temos e, portto, v tede pr +. > p v u > ε Exemplo.5.. Usdo o critério terior, mostre que sucessão u = + ) tede pr +. BQ EA EB c HBO, 6/7

27 . SUCESSÕES NUMÉRICAS Resolução: De fcto, usdo segud prte do critério terior, temos u = + ) > > N + + u = +. O resultdo seguite diz-os que rmção recíproc d Proposição.5.9 tmbém é válid. Proposição.5.. Sejm u e v dus sucessões covergetes e supohmos que Etão, prtir de cert ordem, u v. u v. + + Demostrção: Se u e v são sucessões covergetes, digmos pr e b, respectivmete, etão por.5.4) temos ε > p N : > p u < ε, ε > p N : > p v b < ε. Supohmos que b. Etão, tomdo p := mx{p, p }, temos pelo exposto cim > p u v = u + v ) u + b v ) u + v b < ε. Ddo que ε é rbitrário, podemos fzer ε e obtemos u v pr todo > p. A proposição seguite diz-os que o produto de um iitésimo por um sucessão itd é, id, um iitésimo. Proposição.5.3. Sejm u um sucessão itd e v um sucessão covergete tl que v =. + Etão u v) = u v é um sucessão covergete e u v =. + Demostrção: Supohmos que v é um sucessão covergetes pr. Etão de.5.4) si que ε > p N : > p v < ε. Por outro ldo, se u é um sucessão itd, podemos cojugr rmção terior com.4.3) pr obter > p u v = u v C v < Cε. Como Cε é rbitrário, cbmos de mostrr que u v coverge pr. Exemplo.5.. Usdo proposição terior, mostrr que sucessão seguite é um iitésimo: u = ). Resolução: Podemos escrever u = ). BQ EA EB 3 c HBO, 6/7

28 . SUCESSÕES NUMÉRICAS Como ) é um sucessão itd, já que ) pr todo o turl, e, pelo Exemplo.5., qudo +, si d proposição terior que + u =..6 Limites de sucessões.6. A rect cbd A rect cbd surge d ecessidde de esteder s operções lgébrics hbituis do cojuto dos úmeros reis de modo poder operr-se com os elemetos + e. Estes elemetos stisfzem relção de ordem seguite: < x < + x R. Deição.6. Rect cbd). Dee-se rect cbd e deot-se por R como sedo o cojuto seguite: R = R {, + }. Com itrodução d rect cbd R, tor-se ecessário deir s operções lgébrics etre os elemetos desse cojuto. Se os elemetos de R forem id reis, isto é elemetos de R, s operções são como hbitulmete. Deição.6. operções com + e ). Pr dição tem-se: + + ) = +, + ) = R; Pr multiplicção tem-se: + ) + + ) = +, ) + ) =. + ) = +, ) = > ; + ) =, ) = + < ; + ) + ) = +, + ) ) =, ) ) = +. As operções de subtrcção e divisão são operções iverss d dição e multiplicção, respectivmete. Assim, tem-se pr subtrcção: + ) = + ) =, ) = + + ) = + R; E pr divisão tem-se: + ) ) = + ) + + ) = +. + = +, = ; + =, = + <. Pel su importâci, tmbém cosidermos operção de potecição: b,. Nos csos em que o expoete b é um turl, potecição ão é mis do que um multiplicção repetid. As potêcis etre úmeros reis deem-se como hbitulmete. No cso em que itervêm os elemetos BQ EA EB 4 c HBO, 6/7

29 . SUCESSÕES NUMÉRICAS + e, temos: + = { se < + se > ; = { + se < + = se > ; + ) b = { se b < + se b >..6. Idetermições Pelo exposto cim, veric-se existêci de omissões deição ds operções lgébrics etre lgus elemetos de R. Em R já cohecemos s situções seguites em que s operções ão estão deids: e. Em R, qudo ão for possível determir um operção, diremos que estmos perte um idetermição. Deição.6.3 Idetermições). As idetermições em R são dos tipos: + + ) = +, + + ) = + ; + ), ); +, = + ; + ). Existem outrs idetermições, ms que poderão ser lisds como csos prticulres dos ddos deição terior. Esses csos, são s idetermições dos tipos: = = ; - já existete em R = = ; - já existete em R = ) = + + ). Covém referir que, como si d prte l d secção terior, ão são idetermições os csos prticulres seguites: + =, = + = = + ; + ) + = + ; + ) = + ) + = + =. BQ EA EB 5 c HBO, 6/7

30 . SUCESSÕES NUMÉRICAS.6.3 Cálculo de ites Nest ltur podemos, etão, deir s operções lgébrics etre os ites de sucessões, ites esses que poderão ser iitos. Proposição.6.. Sejm u e v sucessões e, b R tis que u = e v = b. + + Etão, slvo os csos em que se obtêm idetermições, temos: ) + αu + βv ) = α + β b α, β R; ) u v ) = b; 3) se b e v pr todo N, etão u v ) = b ; 4) se u é um sucessão de termos positivos, etão u v ) = b. Demostrção: Supohmos que u e v são sucessões covergetes pr úmeros reis e b, respectivmete. Etão, por.5.4), temos: ε > p N : > p u < ε;.6.9) ε > p N : > p v b < ε..6.) ) Se α e β forem mbos zero, é imedito. Supohmos etão que, pelo meos, um deles, α ou β, é diferete de zero. Temos ssim, pr p := mx{p, p }, > p αu + βv α + βb) α u + β v b < ε qudo se substitui, em.6.9)-.6.), ε por ε α + β ). ) Neste cso, sbemos, pel Proposição.5., que s sucessões u e v são itds. Etão, pel Proposição.4., existem costtes positivs C e C b tis que u C e v C b pr todo N. Cosideremos tmbém o cso em que e b são diferetes de zero, pois se = b =, é imedito. Temos ssim, pr o mesmo turl p deido em ), e o cso de b, > p u v b = u )v + v b) C b u + v b b < ε ε ε qudo se tom C b e b o lugr de ε em.6.9) e.6.), respectivmete. Se porvetur fosse, etão seri álogo, bstdo trocr os ppeis de u com v e de com b expressão terior. 3) Comecemos por observr que u v = u v, pelo que, usdo ), demostrção c feit se mostrmos que = + v b..6.) Como b, temos que, por.6.), existe um turl p tl que Usdo este fcto, temos > p v b < b b v v b < b b < v. > p v b = b v v b < v b b < ε, qudo se tom b ε o lugr de ε deição.5.4). Deste modo,.6.) c demostrdo. BQ EA EB 6 c HBO, 6/7

31 . SUCESSÕES NUMÉRICAS 4) Pr mostrr est últim propriedde, tor-se substcilmete mis fácil se usrmos s proprieddes d fução logritmo. Usdo, em prticulr cotiuidde dest fução, bem como o fcto de u ser positivo pr todo N, e id propriedde ), temos [ ] l u v ) = [l u v )] = [v l u )] ) = v l u = b l ). Por m, cluldo expoecil dest expressão provmos o que querímos o cso de >. Se =, podemos sempre escolher δ > e ζ >, este último tl que b + ζ >, e clculr como teriormete, [ l u + δ) v+ζ] [ = lu + δ) v+ζ] = [v + ζ) l u + δ))] ) = v + ζ) l u + δ = b + ζ) l + δ). Deste modo, temos u + δ) v+ζ = δ b+ζ, v pelo que, fzedo primeiro δ teder pr zero, se tem u +ζ =, e depois, fzedo ζ teder v pr zero, cmos com u =. Observemos que, do fcto de ser b + ζ >, tmbém se tem, pel Proposição.5., que v + ζ > prtir de cert ordem. Observção. Os resultdos d proposição terior, id permecerão válidos o cso de e b, um ou mbos, serem iitos. Pr demostrção deste cso, bem como pr um demostrção d propriedde 4) sem recurso à fução logritmo, remetemos o leitor pr, por exemplo, J. Cmpos Ferreir, Cpítulo II.. No cálculo de ites podemos usr Proposição.6. sempre que ão obtehmos idetermições. Ms, em muits situções de cálculo de ites, surgem idetermições. Ao processo de resolver determid idetermição, vmos desigr por levtmeto d idetermição. Regr levtmeto de idetermições do tipo ). As idetermições dos tipos, podem, ormlmete, ser levtds podo em evidêci o termo de mior gru, ou, o cso em que evolvem rízes, multiplicdo pelo cojugdo. Exemplo.6.. Clculr os ites seguites: ) ) + ); b) +. + Resolução: Resolvedo, temos: ) b) + ) = idetermição) = + ) = + ) ) = + ; + ) + = idetermição) + = + + ) = + ) ) BQ EA EB 7 c HBO, 6/7

32 . SUCESSÕES NUMÉRICAS = = =. Regr levtmeto de idetermições do tipo ). As idetermições dos tipos,,, podem, ormlmete, ser levtds podo em evidêci os termos de mior gru. Exemplo.6.. Clculr os ites seguites: ) ; b) Resolução: Resolvedo, temos: ) b) = idetermição) = = = 3 + idetermição) = + = = ) ) = ) = + ) + = = +. = 3 + = ; 5 ) ) ).6.4 Limites importtes Pr o levtmeto de idetermições do tipo, temos de itroduzir um resultdo importte. Proposição.6.. A sucessão u = + ) é estritmete crescete e u < 3 pr todo N. Mis, + = + ) ! )..6.) Demostrção: Comecemos por mostrr que u é moóto crescete. Pelo Biómio de Newto Proposição..), temos, depois de simplicrmos, + ) = +! + + ) ) )!! 3! + + )! + )!! = +! +! ) + 3! [ ) )] + + BQ EA EB 8 c HBO, 6/7

33 . SUCESSÕES NUMÉRICAS [ ) ) )] + [ )!! > +! + ) + [ )! 3! [ + ) ) )] )! = +! +! + ) 3) 3! ) + + ) ) )]. )] + )! )! ) = + ) A segud iguldde result do fcto de se ter pr quisquer, k N, com k +, )! ) ) k) = k + ))!k k = ) ) k ) A desiguldde result de se ter suprimido o último termo iguldde imeditmete terior e de se ter umetdo todos os subtrctivos. A últim iguldde result d simplicção motivd pelo regresso à fórmul do Bíómio de Newto pr u. Portto, podemos cocluir que u é moóto estritmete crescete. Pr segud prte d proposição, comecemos por observr que d mootoi crescete si que u u = N, o que tmbém pode ser mostrdo à cust d Desiguldde de Beroulli..4). Por outro ldo, expsão do Biómio de Newto como foi feit cim e o fcto de k! > k pr todo k 3, bem como s proprieddes ds progressões geométrics, implicm + ) = + +!! + ) + )! 3! ) ) ). < +! +! + 3! + +! < = + ) + ) = 3 < 3. Assim, u < 3 pr todo N e, portto, u é itd. Nest primeir prte mostrmos que u é moóto e itd. Logo, pel Proposição.5.3, u é covergete. Pr provr.6.), comecemos por observr que, tl como virmos cim, + ) < +! +! + 3! + +! e + ) = + k!! + ) +! 3! ) ) ) k ) + + ) + +! Fzedo + últim expressão, temos + ) + +! +! + 3! + + k!. ) ) ). Pelo exposto, temos etão +! +! + 3! + + k! + < + + ) +! +! + 3! + + ).! BQ EA EB 9 c HBO, 6/7

34 . SUCESSÕES NUMÉRICAS Fzedo gor k +, temos k + +! +! + 3! + + k! ) + < + + ) +! +! + 3! + + ).! Como k e são vriáveis muds, pelo Critério d Sucessão Equdrd Proposição.5.) provmos que iguldde.6.) é vericd. Deição.6.4 Número de Neper). Dee-se o úmero de Neper e como sedo o ite ito seguite: + = e. + ) A existêci do ite terior result d proposição seguite. O vlor do úmero de Neper que hbitulmete se utiliz é obtido à cust do resultdo expresso proposição terior. De fcto, somdo os cico primeiros termos d sucessão do segudo membro de.6.), obtemos um proximção às css ds cetésims do úmero de Neper 9 e, 7 ; vlor este que é o hbitulmete usdo grde miori de cálculos uméricos. O úmero e, pesr de já precer implícito os trblhos de Npier sobre logritmos, só se torou cohecido os trblhos de Euler sobre fução expoecil. É por isso que deotmos este úmero com letr iicil de Euler, pesr de o desigrmos por úmero de Neper. Proposição.6.3. Sejm R e u um sucessão tl que u = +. + Etão + ) u = e..6.3) + u Demostrção: Supohmos primeiro que u + e =. Sbemos que + ) = e ε > p N : > p e ε < + + ) < e + ε. Se sucessão u tem os termos todos iteiros, é imedito, pois usdo iguldde terior tem-se q N : > q u > p e ε < + ) u < e + ε. u No cso de u ser qulquer, demos um ov sucessão por v := mx{z Z : z u }. Fcilmete se veric que o fcto de u + implic que tmbém v +. Dqui e d deição de v si que Isto implic p N : > p < v u < v + + v + < + u + v. + ) v < + ) u + ) v+ v + u v 9 Joh Npier 55-67), mis cohecido por Neper, e tmbém por Nepir. Mtemático, físico e stróomo, turl de Edimburgo, Escóci. Leohrd Euler ), mtemátio e físico, turl de Bsilei, Suiç. BQ EA EB 3 c HBO, 6/7

35 . SUCESSÕES NUMÉRICAS + ) + ) v+ < + ) u + ) v + ). v + v + u v v Usdo o cso terior, podemos pssr o ite est últim desiguldde e, usdo o Critério d Sucessão Equdrd Proposição.5.), provmos.6.3) qudo = e u +. O cso de u e = reduz-se o terior, pois ddo que u +. + ) u = + u Por m, se é um rel qulquer, temos ) u+) + u + ) + ) u = u [ + u ) e = e, u + ) ) u ] e, pois u implic u qulquer que sej R. Regr 3 Levtmeto de idetermições do tipo ). As idetermições do tipo podem, ormlmete, ser levtds usdo Deição.6.4 ou Proposição.6.3. Exemplo.6.3. Clculr o ite seguite: + ) Resolução: Pels Proposições.6.3 e.6.-4, temos: + ) = + idetermição) = = e ) 4 = e 4. ) ) 3 3 = Pr o levtmeto de grde prte ds idetermições do tipo, itroduzimos o resultdo seguite. Proposição.6.4. Sejm R + {+ } e u um sucessão de termos positivos tl que u + =. + u Etão u =. + BQ EA EB 3 c HBO, 6/7

36 . SUCESSÕES NUMÉRICAS Demostrção: Supohmos que u+ u e dmitmos primeirmete que < < +. Etão por.5.5) temos ε > p N : p ε < u + < + ε. u Etão, usdo um rciocíio idutivo, tem-se pr qulquer ε : < ε < e todo p que Assim, Como ε < u u < + ε ε)u < u < + ε)u ε) u u u < u < + ε) u u u ε) u < u < + ε) u ε) p+) u p+ u p u p < u < + ε) p+) u p+ u p u p ε) p u p < u < + ε) p u p. < ε < > p ε) u p ε) p < u < + ε) u p + ε) p up ε) ε) p < up u < + ε) + ε) p. + up ε) p = + up + ε) p =, tem-se, pelo Critério d Sucessão Equdrd Proposição.5.), que u =. A restrição ε < pode ser levtd, porque deição.5.4) o que é importte é que ε sej rbitrrimete pequeo. Se =, temos p u u p Como ε > é rbitrário e = u u u u u p up u p+ < up ε p ε ε p < u < ε ε p. up + ε p =, tem-se, ovmete pelo Critério d Sucessão Equdrd, que u =. Filmete, se = +, temos p u = u u up+ > u p u u u p ε p u > up ε ε p e como + u p ε p =, vem, pel Proposição.5. que u = +. Regr 4 Levtmeto de idetermições do tipo + ) ). As idetermições do tipo + ) podem, ormlmete, ser levtds usdo Proposição.6.4. Exemplo.6.4. Clculr o ite seguite: + +. BQ EA EB 3 c HBO, 6/7

37 . SUCESSÕES NUMÉRICAS Resolução: Clculdo, temos + + = + ) idetermição). Pr levtr idetermição, cosideremos u = +. Temos: u + + ) = + u + = + + = + idetermição) ++ + = = = ) + =. + ) Etão, pel Proposição.6.4, tmbém + + =. Existem muits outrs possibiliddes de levtr idetermições. Por exemplo, pr levtr idetermições do tipo, / ou /, por vezes, temos de cojugr os resultdos do Critério d Sucessão Equdrd Proposição.5.) e d Proposição.6.4. Proposição.6.5. Sejm > um rel e p N rbitrários. Temos: ) + p! = ; b) = ; c) +! + =. Demostrção: ) Usdo Proposição.6.4, podemos mostrr que, ddos um rel > e p N, se tem + ) p p = + ) p p p = p <. Etão pr qulquer ε : < ε < existe p N tl que > p < p < ε < p < ε). Logo, pelo Critério d Sucessão Equdrd Proposição.5.), + p =. b) Novmete pel Proposição.6.4, podemos mostrr que pr um ddo rel > se tem + )!! Etão pr qulquer ε : < ε < existe p N tl que = + +! +! =!. > p < e, pelo Critério d Sucessão Equdrd, +! =. c) Observemos que pr todo se tem! < ε <! < ε <! = =. Assim, pelo Critério d Sucessão Equdrd, +! =. Observe-se que, d proposição terior, podemos tirr o ite seguite: p +! = p N. Outro exemplo pr levtr idetermições do tipo, / ou /, cosiste em usr o cohecimeto de ites otáveis de fuções. Algus exemplos são descritos proposição seguite. BQ EA EB 33 c HBO, 6/7

38 Fich de exercícios o Proposição.6.6. Os ites seguites são válidos: ) + e ) = ; ) + l 3) + se + ) = ; ) = ; l ) 4) + b =, pr todos os reis > e b >. Demostrção: O ite ) result de usr cotiuidde d fução logrítmo e de plicr Proposição.6.3, equto que 3) é um cosequêci d Proposição.5.3, já que se ). Por su vez, os ites ) e 4) resultm, por exemplo, de plicr Regr de Cuchy-L'Hôpitl qudo se substitui vriável discret por um vriável cotíu, digmos x. Usdo, Proposição.6.5, bem como o úmero 4) d Proposição.6.6, podemos estbelecer um relção de ordem etre os priciis tipos de iitmete grdes. Proposição.6.7. Qudo +, temos l) e 3!. Demostrção: Observdo que, pel Proposição.6.6-4), se tem l) + b =, demostrção result deste fcto e d Proposição Fich de exercícios o. Clcule os cico primeiros termos ds sucessões seguites: ) u = + ) ; b) v = ; c) x = ) ; d) y =! ; e) w = ; { z = f) z = z + =. + z. Escrev o termo gerl ds sucessões cujos termos ds primeirs ordes são os seguites: ), 5, 8,,... ; b),, 4, 8,... ; c), 4, 9, 6, 5,... ; d) 3 7, 8, 3 5, 8 9,... ; e),, 3, 5, 8, 3... ; f), 3, 3, 5 4, 4 5, Usdo o Pricípio de Idução Mtemátic, prove s rmções seguites: BQ EA EB 34 c HBO, 6/7