1 FUNDAMENTOS 1.1 PLANO COORDENADO

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1 . PLANO COORDENADO UFPEL - Universidde Federl de Pelots IFM Instituto de Físic e Mtemátic DME Deprtmento de Mtemátic e Esttístic MAT5 Álgebr Liner e Geometri Anlític Prof. Rejne Pergher Semestre 8/ FUNDAMENTOS Assim como os números reis são utilidos como coordends pr pontos de um ret, pres de números reis podem ser utilidos como coordends pr pontos de um plno. Com este propósito se estbelece um sistem de coordends retngulres no plno chmdo de plno coordendo. Desenhmos dus rets perpendiculres no plno, um horiontl e outr verticl. Ests rets são chmds de eio (bsciss) e eio (ordend), respectivmente, e seu ponto de intersecção chm-se origem. As coordends são ssinlds com origem como ponto ero em mbos os eios e mesm distânci unitári em mbos os eios. O semi-eio positivo dos está à direit d origem, semi-eio negtivo dos está à esquerd; o semi-eio positivo dos está cim d origem e o semi-eio negtivo dos está bio P(,) 5 Consideremos um ponto P qulquer do plno. Desenhmos um ret por P prlel o eio dos, e sej coordend do ponto em que curv cort o eio dos. Anlogmente, desenhmos um ret por P prlel o eio dos, e sej coordend do ponto em que ess ret cort o eio dos. Os números e ssim determindos chmm-se coordend (bsciss do ponto P) e coordend (ordend do ponto P). As coordends de P são escrits como um pr ordendo (, ). -5 Historicmente, coube Glileu Glilei (56-6) o mérito de ter sido o primeiro demonstrr importânci dos sistems de referênci n formulção ds leis que regem descrição dos fenômenos físicos (por eemplo, movimentos uniformes e movimentos reltivos), estbelecendo desse modo, um relção mensurável entre leis e grndes físics. O mundo não se present com um sistem de coordends fio ele, ms podemos loclir um sistem físico em um sistem de coordends imginário como sendo um grde rtificilmente sobrepost de modo que você se loclie em um problem, fim de relir medições quntittivs. Os eios crtesinos são usdos pr loclir e medir lgums grndes como: posição, celerção, velociddes ou cmpos grvitcionis. Podemos usr diferentes sistems de coordends pr resolução de problems, ms gerlmente é utilid representção gráfic envolvendo coordends crtesins, que se trt de um sistem de coordends com eios mutumente perpendiculres. Em dus dimensões usmos os sistems de coordends e, em três dimensões, o. A loclição dos eios não é inteirmente

2 rbitrári. Por convenção, o semi-eio positivo de está posiciondo 9º em sentido nti-horário do o semi-eio positivo de, conforme figur bio. Eemplo : Loclie os pontos A(,), B(,), C(-, ) e D(-, -) no plno coordendo.. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS A distânci d entre dois pontos P (, ) e P (, ) no plno é dd por: d. Eemplo : Determine distânci entre os pontos (-,) e (,-). Respost: d=. Eemplo : Determine s coordends do ponto equidistnte dos pontos A(5,), B(-,) e C(-,). Respost: D(,).. PONTO MÉDIO Muits vees é útil conhecer s coordends do ponto médio do segmento que une dois pontos distintos ddos. Se os pontos ddos são P (, ) e P (, ), e se P (, ) é o ponto médio, então s coordends de P serão dds por: Eemplo : Os pontos (, -) e (-6, 5) são s etremiddes do diâmetro de um círculo. Ache o centro e rio do círculo. Respost: C(-,/) e..

3 List de Eercícios - Geometri Anlític - Plno Crtesino. Clcule o perímetro do triângulo de vértices A (,7), B(-,-8) e C (8,-5).. Determine um ponto no eio ds ordends equidistnte os pontos A(-,) e B(,-).. Determine um ponto no eio ds bscisss equidistnte os pontos A(-,) e B(,).. Encontre tl que distânci os pontos C(5,) e D(5, ) sej O ponto M tem coordends iguis e fic distnte 5 uniddes do ponto E(,). Determine s coordends de M. 6. Considere o triângulo ABC sendo A(-/, 6), B(7/, -) e C(-,-). ) Determine s coordends dos pontos médios dos ldos AB e BC. b) Clcule distânci entre os pontos A e B. 7. Encontre tl que distânci entre (,) e (, -) sej Mostre que os pontos A(, -), B(,) e C(-,) são vértices de triângulo isósceles. 9. Ache o ponto equidistnte dos pontos P(,7), Q(8,6) e R(7,-).. Um circunferênci com centro em C(-,), tem etremidde de um diâmetro em B(,6). Determine s coordends d outr etremidde.. Mostre que os pontos A(7,5), B(,) e C(6,-7) são vértices de um triângulo retângulo. Resposts List : ) ) P(,-) ) P(,) ) =9 ou =-7 5) M(6,6) ou M(-,-) 6) ) (,5/) e (/,-) b) 7 7) =5 ou =- 9) (,) ) (-,-).. SEGMENTO DE RETA ORIENTADO VETORES Um segmento de ret orientdo AB é determindo por um pr ordendo de pontos AB, onde A é chmdo de origem e B de etremidde. Geometricmente é representdo por um ret que crcteri visulmente o sentido do segmento. A B

4 Módulo ou Norm de um vetor Módulo, norm ou comprimento é o número rel não negtivo que é medid do segmento. Direção e Sentido Dois segmentos orientdos não nulos AB e CD têm mesm direção se s rets suportes desses segmentos são prlels ou coincidentes. Só se pode comprr os sentidos de dois segmentos orientdos se eles têm mesm direção. Dois segmentos de sentidos orientdos opostos têm sentidos contrários.. SEGMENTOS EQUIPOLENTES Dois segmentos orientdos AB e CD que tenhm mesm direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo são chmdos de equipolentes. Representção: AB ~ CD.. VETOR Vetor é coleção de todos os segmentos orientdos equipolentes um ddo segmento orientdo AB. Representção: v AB ou v B A. O vetor é crcterido por seu módulo, por su direção e sentido. O módulo de v é indicdo por v ou ind v. Vetores Iguis Dois vetores AB e CD são iguis se e somente se AB ~ CD.

5 Vetor Nulo Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinm um único vetor, chmdo vetor nulo ou vetor ero, que é indicdo por. Vetores Opostos Vetor Unitário O vetor BA é oposto o vetor v AB e é indicdo por AB ou por v. Um vetor v é unitário se v =. Versor Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesm direção e sentido de v. Vetores Colineres Dois vetores u e v são colineres se tiverem mesm direção. Isto é, u e v são colineres se tiverem representntes AB e CD pertencentes um mesm ret ou rets prlels. Vetores Coplnres Os vetores não nulos u, v e w são ditos coplnres se possuem representntes AB, CD e EF pertencentes um mesmo plno. 5

6 Observção: Dois vetores quisquer u e v são sempre coplnres, pois sempre podemos tomr um ponto no espço e, com origem nele, imginr dois representntes de u e v pertencendo um plno que pss por este ponto. Três vetores poderão ou não ser coplnres.. OPERAÇÕES COM VETORES.. Adição Ddos os vetores u e v representdos pelos segmentos AB e BC. Os pontos A e C determinm um vetor s que é, por definição, som dos vetores u e v, isto é, s =u + v. B v u s C A No cso de u e v não serem vetores prlelos, há outr mneir de encontrrmos o vetor s. Represent-se u AB e v AD por segmentos orientdos com origem em A. Complet-se o prlelogrmo ABCD e o segmento orientdo de origem A, que corresponde à digonl do prlelogrmo é o vetor s =u + v. A u v D d s C B Proprieddes d Adição I) Comuttiv: u + v = v + u II) Associtiv: ( u + v )+ w = u + ( v + w ) III) Elemento Neutro: v + = + v = v IV) Elemento Oposto: v +( v )= v v =.. Diferenç Ddos os vetores u e v representdos pelos segmentos AB e AC, respectivmente, e construído o prlelogrmo ABCD, verific-se que som s = u + v é representd pelo segmento orientdo AC (um ds digonis) e que diferenç d =u v é representd pelo segmento DB ( outr digonl). 6

7 .. Multiplicção de um vetor por um número rel vetor v o vetor Ddo um vetor v e um número rel k, chm-se produto do número rel k pelo p kv tl que: ) módulo: p kv k v b) direção: mesm de v c) sentido: o mesmo de v se k >, e o contrário se k <. Observções: ) Se k = ou v =, o produto é o vetor nulo. b) Sej um vetor k v, com v. Se fiermos com que o número rel k percorr o conjunto dos números reis, obteremos todos os infinitos vetores colineres v, e portnto, colineres entre si, isto é, qulquer um deles é sempre múltiplo esclr do outro. Reciprocmente, ddos dois vetores colineres u e v, sempre eiste kir tl que u kv. v u ou v c) O versor de um vetor v é o vetor unitário u v u v v Proprieddes d Multiplicção de um vetor por um número rel I) Associtiv: bv bv II) Distributiv em relção à dição de esclres: bv v bv III) Distributiv em relção à dição de vetores: u v u v IV) Identidde: v v.5 ÂNGULO ENTRE VETORES O ângulo entre dois vetores não nulos u e v é o ângulo formdo pels semi-rets prlels os vetores tl que. 7

8 Observções: ) Se =, u e v têm mesm direção e sentidos contrários. b) Se =, u e v têm mesm direção e o mesmo sentido. c) Se =, u e v são ortogonis, isto é, u v. Neste cso, u v u v. d) O vetor nulo é considerdo ortogonl qulquer vetor. Eemplo : Sbendo que o ângulo entre u e v é de 6º, determine o ângulo formdo pelos vetores: ) u e v b) u e v c) u e v d) u e v Respost: () e (b) º; (c) e (d) 6º. Eercícios:. Encontre som dos vetores indicdos n figur.. Ddos os vetores u e v d figur o ldo, represente grficmente os vetores: ) u v b) u + v v c) u v d) u - v u 8

9 List de Eercícios - Vetores I - Resolv os eercícios pres d list de eercícios, págin do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books. VETORES NO ESPAÇO E NO PLANO. VETORES NO PLANO Consideremos dois vetores v e v não prlelos, representdos com origem no mesmo ponto O, sendo r e r s rets contendo estes representntes: Os vetores u,v, w,t, e em função de v e v são epressos por: Ddos dois vetores quisquer v e v não prlelos, pr cd vetor v representdo no mesmo plno de v e v, eiste um só dupl de números reis e tis que v v v. Qundo um vetor v é epresso como v v v, di-se que v é um combinção liner de v e v. O conjunto B={ v, v } é chmdo de bse no plno. Qulquer conjunto de dois vetores não prlelos constitui um bse no plno. Os números e são chmdos componentes ou coordends de v n bse B. Um bse { e, e } é dit ortonorml se os seus vetores forem ortogonis e unitários, ou sej, e e =. 9 e e e

10 As bses mis utilids são s bses ortonormis. Um bse importnte é bse que determin o sistem crtesino ortogonl. Os vetores ortogonis e unitários, neste cso, são simbolidos por i e j, mbos com origem em O e etremiddes em (, ) e (, ), respectivmente, sendo bse C={ i, j } chmd de cnônic. Epressão Anlític de um Vetor Ddo um vetor v qulquer do plno, eiste um só dupl de números e tis que v i j. Os números e são s componentes de v n bse cnônic. A primeir componente é bsciss de v e segund componente é ordend de v. O vetor v tmbém pode ser representdo por v, chmdo de epressão nlític de v.. O pr ordendo (, ) tmbém é Eemplo : Epresse os vetores bio em form de pr ordendo: ) v i j b) v i j c) v 6i Resposts: ) (,-) b) (,-) c) (-6,). Observção: A cd ponto P (, ) do plno corresponde um vetor v OP i j. Isto é, s coordends do ponto P são s própris componentes do vetor OP n bse cnônic. Iguldde de Vetores Dois vetores u, e, v são iguis se e somente se e. Escreve-se u v. Eemplo : Determine os vlores de e pr os quis os vetores u, e v, 6 sejm iguis. Respost: = 7 e = -.

11 Operções com Vetores Sejm os vetores u,,, ) u v, b) u, v e um número IR. Definimos: Eemplo : Ddos os vetores v,5 e w,, clcule os vetores: ) v b) w v c) w v Resposts: ) (-,5/) ; b) (5,-) ; c) (,). Eemplo : Ddos os vetores u,5 e v, u v. Respost: (/,-)., determine o vetor n iguldde Eemplo 5: Encontre os vlores de e tis que v v v v, 5. Respost: =6/7 e =-/7. sendo v 6,, v e, Vetor Definido por Dois Pontos Considere o vetor AB de origem no ponto A, e etremidde em B, vetor AB em termos ds coordends dos pontos A e B são AB,.. Então o

12 Observção: Um vetor tem infinitos representntes que são segmentos orientdos de mesmo comprimento, mesm direção e mesmo sentido. O melhor representnte do vetor AB é quele que tem origem em O (, ) e etremidde em P,. Este vetor é chmdo de representnte nturl de AB. Eemplo 6: Ddos os pontos A (-, ), B (, -) e C (-,), determine D(,) tl que Respost: D (,5/). CD AB. Prlelismo de Dois Vetores v são prlelos qundo sus componentes são proporcionis, isto é, se eiste um número rel tl que u v. Ou sej,. Dois vetores u, e, Eemplo 7: Verifique se os vetores s, e, 6 Respost: São prlelos. t são prlelos. Módulo de um Vetor Sej v,, então pelo teorem de Pitágors: v. Eemplo 8: Determine o módulo do vetor v (-,). Respost:.

13 Vetor unitário ou Versor de um Vetor O vetor unitário de um vetor v, é ddo pel epressão v v Eemplo 9: Determine o versor do vetor v,. Respost:. Eercícios:. Encontre o representnte nturl do vetor ddo n figur bio. Isto é, encontre o representnte do vetor que tem origem em (,).. Ddos os vetores u, e w, b) v u w ) v u w. Encontre e b tis que v u bw. Encontre o módulo do vetor v i j., determine: onde u,, w, e, v. 5. Ddos, u e v,, determine u v u v. 6. Encontre o vetor v como norm v e que tenh mesm direção e sentido do vetor u,. Resposts: ) v = (,) ) ) (,-5) ; b) (7/,-/) ) = b = ) 5) 6)

14 . VETORES NO ESPAÇO No espço, bse cnônic C={ i, j, k } irá determinr o plno, onde os três vetores são unitários, ortogonis dois dois e representdos com origem no ponto O. Este ponto e direção de cd um dos vetores d bse determinm os três eios crtesinos: eio (ds bscisss) que corresponde o vetor i, o eio ( ds ordends) que corresponde o vetor j e o eio (ds cots) que corresponde o vetor k. Cd dupl de vetores d bse e, consequentemente, cd dupl de eios, determin um plno coordendo. Portnto, temos três plnos coordendos o plno, o plno e o plno. A cd ponto P (,, ) de espço corresponderá o vetor coordends, e do ponto P são s componentes do vetor OP n bse cnônic. OP i j k, isto é, s Epressão Anlític de um Vetor no Espço A epressão nlític do vetor v i j k é v,,. Eemplo : Escrev epressão nlític dos seguintes vetores. ) v i j k b) u j i c) w i k d) t i e) v j f) s k Resposts: ) (,,-) b) (-,,) c) (,,-) d) (,,) e) (,,) f) (,,). Iguldde de Vetores Dois vetores u,, e,,. Escreve-se u v. v são iguis se e somente se, e

15 Operções com Vetores Sejm os vetores u,, e,, ) u v,, b) u,, v e um número IR. Definimos: Vetor Definido por Dois Pontos Considere o vetor AB de origem no ponto A,, e etremidde em,, Então o vetor AB em termos ds coordends dos pontos A e B são AB,, B.. Prlelismo de Dois Vetores v são prlelos qundo sus componentes são proporcionis, isto é, se eiste um número rel tl que u v. Ou sej,. Dois vetores u,, e,, Módulo de um Vetor O módulo do vetor,, v é ddo por: v. O vetor unitário é v. v Eemplo : Ddos os pontos A(,,-) e B(,,-) e os vetores u,,,,, w,,, verifique se eistem números, e tis que AB u v =; =; =-. w v e. Respost: Observção: No plno, todo conjunto { v, v } de dois vetores não prlelos constitui um de sus bses, isto é, todo vetor desse plno é combinção liner de v e v. No espço, todo conjunto de três vetores não coplnres constitui um de sus bses, isto é, todo vetor do espço pode ser escrito de modo único como combinção liner dos vetores dest bse. Eemplo : Sej o triângulo de vértices A(,-,-), B(, 5, -6) e C(, -, -). Clcule o comprimento d medin do triângulo reltiv o ldo AB. Respost:. Eemplo : Apresente o vetor genérico que stisf à condição: 5

16 ) prlelo o eio ; b) representdo no eio ; c) prlelo o plno ; d) prlelo o plno ; e) ortogonl o eio ; f) ortogonl o eio ; g) ortogonl o plno ; h) ortogonl o plno. Resposts: ) (,,) b) (,,) c) (,,) d)(,,) e) (,,) f) (,,) g) (,,) h) (,,). Eercícios:. Ddos os pontos A(,-,), B(,, 5) e o vetor v = (,, -), clcule: ) (A-B)- v b) v +(B-A). Ddos os pontos A(,-,-) e B(-,, ), determine o ponto N pertencente o segmento AB tl que AN AB. 5. Sbendo que u - v = w, determine, b e c sendo u =(, -, c), v =(, b-, ), w =(, -, ).. Quis dos seguintes vetores u =(, -6, ), v =(-6, 9, -), w =(, -, 9) e t =(, -5,5) são prlelos? 5. A ret que pss pelos pontos A(-,5,) e B(,, ) é prlel à ret determind por C(,-,) e D(, m, n). Determine o ponto D. 6. Ddo o vetor v =(, -, -), determine o vetor prlelo v que tenh: ) sentido contrário de v e três vees o módulo de v ; b) o mesmo sentido de v e módulo ; c) sentido contrário de v e módulo 5. Resposts: ) ) (,-6,) b) (-,5,-) ) (,-,-6/5) ) =-/ ; b=7/ ; c= ) é prlelo, que é prlelo. 5) D(,,) 6) ) -v b) c) 6

17 List de Eercícios - Vetores - Resolv os eercícios pres d list de eercícios, págin do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books.. DEFINIÇÃO ddo por: PRODUTO ESCALAR O produto esclr de dois vetores u,, e,, u v. v é um número rel e é representdo por O produto esclr de u por v é tmbém chmdo de produto interno e pode ser u, v e se lê u esclr v. Eemplo : Ddos os vetores u,, e,, v, clcule u v. Respost: -. Eemplo : Ddos os vetores u, 5, 8 e v,, ) u v u v b) u u Resposts: ) 89 b) 98., clcule:. PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR Pr quisquer vetores u, v e w e o número : ) u v v u ) u v w u v u w; u v w u w v w ) u v u v u v ) u u se u. Se u u então u =. 5) 6) u u u Eemplo : Sendo u, v e v u, determine u v u v. Respost:. 7

18 . DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO ESCALAR Se u e v são vetores não-nulos e é o ângulo entre eles então. Pois, u v u v cos u v u v u u v u v cos u v v pel Lei dos Cossenos e pel propriedde 6, respectivmente. Igulndo s equções cim, obtemos definição cim. Eemplo : Sendo u e v e 6º o ângulo entre u e v, clcule: ) u v b) u v c) u v Resposts: ) / b) c). Observção: ) N epressão u v u v cos, o sinl de u v será o mesmo sinl de cos, logo: ) se u v >, então cos() > logo, º<<9º; b) se u v <, então cos() < logo, 9º<<8º; c) se u v =, então cos() = logo, = 9º. Assim, podemos estbelecer que: Dois vetores são ortogonis se, e somente se, u v. ) O vetor nulo é ortogonl todo vetor, isto é, v pr todo vetor v. Eemplo 5: Verifique se os vetores u,, e, 5, ortogonis. v são ortogonis. Respost: São 8

19 Eemplo 6: Determine um vetor ortogonl não-nulo os vetores u,, e v,, (,,-).. Respost:. DETERMINAÇÃO DO ÂNGULO FORMADO ENTRE DOIS VETORES Vimos que u v u v cos, logo, u v cos. u v Eemplo 7: Determine o ângulo formdo entre os vetores u,, e v,,. Respost: 5... Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um vetor Eemplo 8: Clcule os ângulos diretores e cossenos diretores de. Respost: 5, 5 e 9..5 PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE OUTRO Sejm os vetores u e v não-nulos e o ângulo entre eles. Pretendemos decompor um dos vetores, tl que v v v sendo que v // u e que v u. 9

20 Demonstrção: v v v u v v u v u v u u v u u u v u u u O vetor v é chmdo de projeção ortogonl de v em u e é representdo por: v v u proj v u u u u. Eemplo 9: Determine o vetor projeção de v,, sobre u,,. Respost: (-/,/,). Eercícios:. Ddos os vetores u,, e,, vlor de tl que v BA 5 u. v e os pontos A(, -, ) e B(,,-), determine o. Mostre que o triângulo de vértices A(,, ) e B(,, -) e C(,, -) é um triângulo retângulo.. Sbendo que o vetor,, v form um ângulo de 6º com o vetor AB determindo pelos pontos A(,, -) e B(,, m), clcule o vlor de m.. Obtenh o vetor v, sbendo que v, v é ortogonl o eio O, form um ângulo de 6º com o vetor i e um ângulo obtuso com o vetor j. 5. Encontre os vetores unitários prlelos o plno e que são ortogonis o vetor,, 6. Sej o vetor v,, ) um vetor ortogonl v ;, determine: b) um vetor unitário ortogonl v ; c) um vetor de módulo ortogonl v. Resposts: ) =7/ ) ) ) (,,) v.

21 5) 6) List de Eercícios - Produto Esclr - Resolv os eercícios pres d list de eercícios, págin 66 do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books. 5 PRODUTO VETORIAL 5. DEFINIÇÃO O produto vetoril de dois vetores u,, e v,, é um vetor e é ddo por: i j k u v u v., tomdos nest ordem, v. O produto vetoril de u por v pode ser representdo por u v ou u v e se lê u vetoril Eemplo : Clcule u v se 5,, u e,, v. Respost: (-,,). Observções:. v u u v, isto é, os vetores u v e v u comuttivo. são opostos. Logo, o produto vetoril não é. u v se, e somente se, u // v. Dois csos prticulres: ) u u (determinnte com dus linhs iguis). b) u (determinnte com um linh de eros). Eemplo : Clcule os seguintes produtos vetoriis: ) u u b) u 5u c) u v v u d) u v v u e) u v u 8v f) 5u

22 Respost: Todos nulos. 5. CARACTERÍSTICAS DO VETOR u v Consideremos os vetores u,, e,, Direção de u v O vetor v. u v é simultnemente ortogonl u e v. Eemplo : Mostre que u v é ortogonl u e v. Eemplo : Sejm os vetores u = (, -, -) e v = (,, -). Determine o vetor que sej: ) ortogonl u e v ; b) ortogonl u e v e unitário; c) ortogonl u e v e que tenh módulo ; d) ortogonl u e v e tenh cot igul 7. Resposts: ) (,-,5) b) (/,-/,/) c) (8/,-8/,/) d) (,-,7). Sentido de u v O sentido de u v poderá ser determindo utilindo-se regr d mão direit. Sendo o ângulo entre u e v, suponhmos que u (º vetor) sofr um rotção de ângulo té coincidir com v. Se os dedos d mão direit forem dobrdos n mesm direção d rotção, então o polegr estendido indicrá o sentido do vetor u v. A figur (b) mostr que o produto vetoril mud de sentido qundo ordem dos vetores é invertid. Só será possível dobrr os dedos n direção de v pr u se invertermos posição d mão, qundo o dedo polegr estrá pontndo pr bio.

23 Observção: O produto vetoril dos vetores i, j e k é ddo n tbel bio: i j k i k - j j - k i k j - i Comprimento de u v Se é o ângulo entre os vetores u e v não-nulos, então: u v u v sen. D identidde de Lgrnge: u v u v u v u v u v cos u v cos u v sen Interpretção Geométric do Módulo do Produto Vetoril No prlelogrmo determindo pelos vetores não nulos u e v, medid d bse é u e d ltur v sen, então áre deste prlelogrmo é: A = (bse) (ltur)= u v sen, ou sej, A= u v. Dest form, podemos dier que: áre do prlelogrmo determindo pelos vetores u e v é numericmente igul o módulo do vetor u v. Eemplo 5: Sej o triângulo equilátero ABC de ldo. Clcule AB AC. Respost: 5 u.. Eemplo 6: Ddos os vetores u = (, -, ) e v =(, -, ), clcule: ) áre do prlelogrmo determindo por u e v ;

24 b) ltur do prlelogrmo reltiv à bse definid pelo vetor u. Resposts: ) 6 u.. b) u.c. Proprieddes I) O produto vetoril não é comuttivo, pois, u v v u. II) O produto vetoril não é ssocitivo, pois, u v w u v w III) Pr quisquer vetores u, v e w e o esclr : ) u v w u v u b) u v w u w v w c) u v u v u v d) u v w u v w. Eemplo 7: Determine o vetor, tl que sej ortogonl o eio e -) e v = (, -, ). Respost: (,,). u v, sendo u = (,, Eemplo 8: Determine distânci do ponto P (5,, ) à ret r que pss pelos pontos A (,, ) e B (, -,). Respost: 9 u.c. Eemplo 9: Ddos os pontos A (,, ), B (, -, ) e C (,, -), determine: ) áre do triângulo ABC b) ltur do triângulo reltiv o vértice C. 5 5 Resposts: ) u.. b) u.c. Eercícios:. Se u = (, -, ), v =(,, -) e w =(-,, ), determine: ) u u c) u v w w e) u v w b) v v d) u v v u f) u v w. Efetue: ) i k c) i k e) i jk

25 b) j i d) i j f) i j j. Determine um vetor simultnemente ortogonl os vetores u v e v u, sendo u = (-,, ) e v =(, -, -).. Sendo u, v e 5 o ângulo entre u e v, clcule: ) u v b) u v 5 5. Ddos os vetores u = (, -, ) e v =(-,, ), clcule: ) áre do prlelogrmo determindo por u e v ; b) ltur do triângulo reltiv à bse definid pelo vetor v. Resposts: ) ) b) c) (-7,7,) d) (,,) e) (7,-7,7) f) ) ) j b) k c) 6 j d) e) f) ) (-, -8, 9) ) ) 6 b) 8/5 5) ) u.. b) u.c. List de Eercícios 5 - Produto Vetoril - Resolv os eercícios pres d list de eercícios 5, págin 86 do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books. 6. DEFINIÇÃO 6 PRODUTO MISTO O produto misto dos vetores u,,, v,, e,, nest ordem, é o número rel u v w e é ddo por: u v w. w tomdos O produto misto de u, v e w pode ser indicdo por u,v,w. Eemplo : Clcule o produto misto dos vetores u,, 5, v,, e,-, Respost: 7. w. 5

26 6. PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO. O produto misto,v,w u mud de sinl o trocrmos posição de dois vetores. Se forem dus permutções, não há lterção de vlor do produto misto. u v w u v w w u v w,u,v u,v,w. u,v,w u,v,w,v,w u,v,w u,v,w u,,w u,v,w u,v,w u,v,. u,v,w u, v,w u,v, w u,v,w.,v,w u se e somente se, os três vetores forem coplnres. Csos prticulres: ) Se pelo menos um dos vetores é nulo,,v,w b) Se dois vetores forem prlelos:,v,w u. u. Eemplo : Verifique se os vetores u,-,, v,, - e,-, Respost: Não. w são coplnres. Eemplo : Qul deve ser o vlor de m pr que os vetores u, m,,,, w,, - sejm coplnres? Respost: -. v e 6. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO MISTO Volume do Prlelepípedo Geometricmente, o produto misto u v w é igul, em módulo, o volume do prlelepípedo de rests determinds pelos vetores não coplnres u, v e w. Portnto, V = A.h = u,v,w. 6

27 Eemplo : Sejm os vetores u, m,-, v,, e w,,. Clcule o vlor de m pr que o volume do prlelepípedo determindo por estes vetores sej 6 u.v. Respost: m = - ou m =. Volume do Tetredro Sejm A, B, C e D pontos não-coplnres. Portnto, os vetores AB, AC e AD tmbém não são coplnres. Em consequênci, esses vetores determinm um prlelepípedo cujo volume é: V= AB,AC,AD. Este prlelepípedo pode ser dividido em dois prisms tringulres de mesmo tmnho e, portnto, o volume de cd prism tringulr V p é metde do volume V do prlelepípedo. O prism, por su ve, pode ser dividido em três pirâmides de mesmo volume. Assim, o volume do tetredro V t é um terço do volume do prism, isto é, V t = 6 AB,AC,AD. Eemplo 5: Sejm A(,, -), B(5,, ), C(, -, ) e D(6,, -) vértices de um tetredro. Clcule: ) o volume do tetredro; b) ltur do tetredro reltiv o vértice D. 8 Resposts: ) 6 u.v.; b) u.c. 5 Eercícios:. Ddos os vetores u,-,, v,, e w,,-, clcule: 7

28 ) u,v,w b) w,u,v. Sbendo que u,v,w=-5, clcule: ) w,v,u b) v,u,w c) w,u,v d) v w u. Verifique se os vetores são coplnres: u,-,, v,, e w,,-.. Um prlelepípedo é formdo pelos vetores u,-,, v,, e w,,5 ) o seu volume; b) ltur reltiv à bse definid pelos vetores u e v.. Clcule: 5. Os pontos A(,, ), B(,, ), C(,, ) e P(, -, 9) formm um tetredro de bse ABC e vértice P, clcule: ) o volume deste tetredro; b) ltur reltiv o vértice P. Resposts: ) ) -9 b) -9. ) ) 5 b) 5 c) -5 d) -5. ) Não são coplnres. 7 ) ) 7 b). 5) ) b) 9. List de Eercícios 6 - Produto Misto - Resolv os eercícios pres d list de eercícios 6, págin 99 do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books. 7 EQUAÇÕES DA RETA 7. EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA Consideremos um ponto A(,, ) e um vetor não-nulo v,b,c. Só eiste um ret que pss por A e tem direção de v. Um ponto P(,, ) pertence r, se e somente se, o vetor AP é prlelo v, isto é, AP tv pr lgum rel t. De AP tv, temos que P A tv ou P A tv, ou ind, em coordends,,,,, t,b,c. Qulquer um ds equções cim pode ser chmd de equção vetoril d ret r. 8

29 O vetor v é chmdo vetor diretor d ret r e t é denomindo prâmetro. Eemplo : Determine equção vetoril d ret r que pss por A(,, ) e tem direção de v,,. Respost: (,,)=(,-,)+t(,,). 7. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA D equção vetoril d ret,,,, t,b,c Ests são s equções prmétrics d ret., obtém-se: t bt ct Eemplo : Determine s equções prmétrics d ret que pss pelo ponto A (, -, ) e é t prlel o vetor v,,. Respost: t. t Eemplo : Ddo o ponto A (,, ) e o vetor v,,, determine: ) As equções prmétrics d ret r que pss por A e tem direção de v. b) Os dois pontos B e C de r de prâmetros t= e t=, respectivmente. c) O ponto de r cuj bsciss é. d) Se os pontos D (,, ) e E (5,, ) pertencem r. e) Pr quis vlores de m e n o ponto F (m, 5, n) pertence r. t Resposts: ) t t b) (,,-) e (6,-5,8) c) (,-,) d) D pertence r e E não pertence r e) m= e n= Ret definid por dois pontos A ret definid pelos pontos A e B é ret que pss por A (ou B) e tem direção do vetor v AB é dd por P A tb A ou P B tb A. Eemplo : Escrev s equções prmétrics d ret r que pss por A (,, ) e B (,, ). 9

30 Respost: t t. 6t 7. EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA t Ds equções prmétrics bt supondo, b, c, vem: ct t, t, t. b c Como pr cd ponto d ret corresponde um só vlor pr t, obtemos: t b c. Ests equções são denominds equções simétrics d ret que pss pelo ponto A (,, ) e tem direção do vetor v,b,c. Eemplo 5: Escrev s equções simétrics d ret s que pss pelo ponto A (,, 5) e tem 5 direção do vetor v = (,, ). Respost: t. 7. EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA A equção m b que é conhecid como equção reduid d ret. O vlor b é chmdo de coeficiente liner e m é chmdo coeficiente ngulr d ret. Eemplo 6: A prtir ds equções simétrics d ret s do eemplo 5, obtenh sus equções reduids. Respost: = - e = (--7)/. Eemplo 7: Determine equção reduid d ret r bio n vriável. r :. Respost: = -8 e = -+.

31 7.5 ÂNGULO ENTRE RETAS Sejm r e s dus rets com direções v e v. O ângulo entre s rets r e s é o menor ângulo entre os vetores diretores de r e de s. Assim, v v cos, com 9º. v v Eemplo 8: Clcule o ângulo entre s rets s: t t t e u:. Respost: 6 grus. Eemplo 9: Verifique se s rets s e u são concorrentes e, em cso firmtivo, determine seu ponto de intersecção: h 5 t s: h u: t. h t Respost: I (,-,). Eercícios:. Determine um equção vetoril d ret r definid pelos pontos A(,, ) e B(,, ). Verifique se o ponto C=(,, ) pertence r.. Dd ret r: t t, determine o ponto de r tl que: t ) ordend sej 6; b) bsciss sej igul à ordend; c) cot sej o quádruplo d bsciss.. Determine s equções prmétrics d ret que pss pelos pontos A(,, ) e B(,, ).. Determine s equções prmétrics ds rets que pssm por ) A(,,) e é prlel o eio dos ; b) A(,, ) e é perpendiculr o plno ; c) A(,, ) e é ortogonl o mesmo tempo os eios e.

32 5. Determine o ângulo entre s rets r: t t t e s: Sbendo que s rets r e s são ortogonis, determine o vlor de m: r: t t mt s:. 7. Encontre s equções prmétrics d ret que pss por A(,, ) e é simultnemente ortogonl às rets s: e u:. 8. Verifique se s rets r e s são concorrentes, em cso firmtivo, encontre seu ponto de intersecção: r: 5 s: 7. Resposts: ) (,,) = (,-,) + t(-,,-). C não pertence ret r. ) ) (-,6,-); b) (5/,5/,-); c) (-, 9,-6). ) t t t. ) ) t ; b) t ; c) t 5) 6 6) m = -7/ 7) t t 8) I (,,). List de Eercícios 7 Ret - Resolv os eercícios pres d list de eercícios 7, págin 8 do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books.

33 8 O PLANO 8. EQUAÇÃO GERAL DO PLANO Consideremos um plno e um ret n (, b, c), n, onde n é ortogonl o plno. Sej A,, ) um ponto de. Observemos figur: ( Um ponto P (,, ) está sobre o plno se, e somente se, o vetor AP é ortogonl n, ou sej, P A n. Notemos que AP P A,, ) e n (, b, c), logo: P A ( n (, b, c) (,, ) ) b( ) c ( ) ( b b c c Escrevendo d b c, obtemos: b c d, que é equção gerl do plno. Eemplo : Obtenh um equção gerl do plno que psse pelo ponto A (,,) e tenh n (,, ) como um vetor norml. Respost: =. Csos Prticulres Se um ou mis coeficientes n equção gerl do plno for nulo, frá com que o plno ocupe um posicionmento prticulr em relção os eios coordendos. N equção b c d, se: º cso: Se d b c, com,b,c, o plno contém origem. º cso: ) Se b c d, com b,c,d, o plno é prlelo o eio. b) Se b c d, com,c,d, o plno é prlelo o eio. c) Se c b d, com,b,d, o plno é prlelo o eio.

34 º cso: ) Se d b c, com b,c, o plno conterá o eio. b) Se b d c, com, c, o plno conterá o eio. c) Se c d b, com,b, o plno conterá o eio. º cso: ) Se b c d, com c,d, o plno é prlelo o plno. b) Se c b d, com,c, o plno é prlelo o plno. c) Se b c d, com,d, o plno é prlelo o plno. 8. EQUAÇÃO VETORIAL E EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO Consideremos um plno e um ponto A,, ). Sejm dois vetores u, b, ) e ( v (, b, c ) não prlelos, ms prlelos o plno. Observemos figur: ( c Pr todo ponto P, os vetores AP, u e v são coplnres. Aind, um ponto P (,, ) pertence o plno se, e somente se, eistem números reis h e t tis que AP hu tv P A hu tv P A hu tv, est é equção vetoril de. Em coordends, temos: (,, ) (,, ) h (, b, c ) t (, b, c ),, ) ( h t, b h b t, c h c ) ( t que, pel condição de iguldde: h t bh bt ch ct Esss equções são chmds equções prmétrics de, onde h e t são vriáveis uilires denominds prâmetros.

35 Eemplo : Sej o plno que pss pelo ponto A (,, ) e é prlelo os vetores u (,,) e v (,5, ). Obtenh um equção vetoril, um sistem de equções prmétrics e equção gerl de. Respost: =. Observção (eemplo ): A equção gerl do plno tmbém pode ser obtid por meio do produto misto dos vetores AP, u e v, pois como P (,, ) represent um ponto qulquer do plno, estes vetores são coplnres (estão no mesmo plno) e, consequentemente, o produto misto deles é nulo. Assim, o desenvolver iguldde ( AP, u, v), podemos encontrr equção gerl do plno. 8. ÂNGULO DE DOIS PLANOS Sejm os plnos e com vetores normis n e n, respectivmente, conforme figur bio. Denominremos ângulo de dois plnos e, o menor ângulo que um vetor norml form com um vetor norml. Considerndo-se este ângulo, obtemos: n cos n n n, com Eemplo : Determine o ângulo entre os plnos : e :. Respost: grus. 8. PLANOS PERPENDICULARES Sejm os plnos e com vetores normis n e n, respectivmente, conforme figur bio, podemos concluir que: 5

36 n n n. n Eemplo : Verificr se e são plnos perpendiculres: ) : e : 6 b) : e : Respost: ) Sim b) Não. h t h t t 8.5 PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO Sejm ret r com direção do vetor v e um plno, sendo n um vetor norml. Pels figurs bio, podemos concluir que: i) r // v n ii) r v // n v. n v n (Fig.()) Fig. b t Eemplo 5: A ret r : t é prlel o plno 5. t Respost: Sim, pois v (,,) e n (5,, ) v n 5 ( ) ( ) 6

37 8.6 RETA CONTIDA EM PLANO Um ret r está contid em um plno se: i) dois pontos A e B de r forem tmbém de ou ii) v. n, onde v é um vetor diretor de r e n um vetor norml e A r. Eemplo 6: Determinr os vlores de m e n pr que ret : mn 5. t r : t estej contid no plno t Respost: m= e n=-, pois v (,, ) e n (, m, n) v n ( ) m ( ) n m n m n A(,, ), : ( ) m ( ) n 5 m n Resolvendo o sistem, temos m= e n= INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS A intersecção de dois plnos não-prlelos é um ret r cujs equções se desej determinr. Eemplo 7: Consideremos os plnos não prlelos : 5 5 e : 7. Solução: Entre os vários procedimentos, presentremos dois. ) Como r está contid nos dois plnos, s coordends de qulquer ponto,, r devem stisfer simultnemente s equções dos dois plnos. Logo, os pontos de r constituem solução do sistem: 5 5 r : 7 O sistem tem infinits soluções e, em termos de, su solução é r :, que são equções reduids de r. 7

38 ) Outr mneir de obter s equções de r é determinr um de seus pontos e um vetor diretor. Fendo = ns equções do sistem, obtemos: 5 cuj solução é =- e =. Logo, temos um ponto, que chmremos de A(,- 7,). Como um vetor diretor v de r é simultnemente ortogonl 5,, e,, n n, normis os plnos e, respectivmente, o vetor v pode ser ddo por i n n 5, 9,6 ou, 9,6,, v j k. Escrevendo equção prmétric de r, temos t r : t. t 8.8 INTERSECÇÃO DE RETA COM PLANO Eemplo 8: Determinr o ponto de intersecção d ret r com o plno, onde :. t r : 5 t e t Solução: Qulquer ponto de r é d form,, t,5 t, t. Se um deles é comum o plno, sus coordends verificm equção de : t 5 t t, resultndo em t=-. Substituindo este vlor ns equções de r obtém-se 5 Logo, intersecção de r e é o ponto,,. Eercícios:. Ddo o plno determindo pelos pontos A (,, ), B (,, ) e C (,,6), obtenh um sistem de equções prmétrics e um equção gerl de.. Determine o ângulo entre os plnos : 5 8 e : 5.. Qul intersecção dos plnos α: + = e β: =? 8

39 Resposts: h t ) : h t 5h t ) 8,8 grus. ) 5 5 List de Eercícios 8 Plno - Resolv os eercícios pres té o 8 d list de eercícios 8, págin do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books. 9. SEÇÕES CÔNICAS E SUPERCÍCIES QUÁDRICAS 9. INTRODUÇÃO ÀS SEÇÕES CÔNICAS Os gregos descobrirm s seções cônics em lgum momento entre 6 e.c. No início do período lendrino, sbi-se o suficiente sobre cônics pr Apolônio (6-9.C.) produir um trblho de oito volumes sobre o ssunto. Os gregos se preocupvm bsicmente com s proprieddes geométrics ds cônics. Só mis trde, no início do século XVII é que se tornou prente grnde plicbilidde ds cônics que tiverm um ppel relevnte no desenvolvimento do cálculo. Cd seção cônic é obtid cortndo-se um cone por um plno que não pss pelo vértice. 9. PARÁBOLA Um prábol é o conjunto de todos os pontos (,) equidistntes de um ret fi d ( diretri) e de um ponto fio F ( o foco) que não F P pertence à ret. 9 P' d

40 O ponto médio entre diretri (d) e o foco (F) é chmdo de vértice (V), e ret que pss pelo foco e pelo vértice é o eio d prábol. Um prábol é simétric em relção o seu eio. A form pdrão pr equção reduid de um prábol com vértice (h, k) e diretri = k-p é h p k eio verticl horiontl k p h eio O foco (F) pertence o eio e está p uniddes do vértice. 9.. Orientções ds prábols Eio verticl Eio horiontl Eemplo : Encontre equção d prábol com vértice em (,) e foco em (,). Esboce prábol. Respost: =. Eemplo : Determine s coordends do vértice e do foco de cd prábol. Encontre direção ns quis els estão berts. Ache tmbém equção de su diretri. Esboce cd prábol. ) b) c) Resposts: )V(,-), F(-,-), d: =5. b) V(-, ), F(-, /), d: =/, equção: (+) =(-). c) V(-,), F(-,/), d: =/, equção: (+) =-(-). Eemplo : Ache s equções ds seguintes prábols: ) vértice (,) e foco (,) Respost: = -. b) diretri = e foco (,) Respost: = -(+). List de Eercícios 9:. Encontre o foco, o vértice e diretri de cd um ds seguintes prábols. Esboce-s.

41 ) 5 b) c) 9 7 d) Resposts: ) F(,-5/8), V(,), d: =5/8 b)f(,-), V(-,-), d: =-6 c) F(-,/), V(-,), d: =9/ d) F(9,-), V(8,-), d: =7. Encontre equção de cd prábol bio. Esboce prábol. ) vértice (,) e foco (,) b) diretri = e foco (,) c) vértice (,) e diretri: = d) vértice (,) e foco (,) Resposts: ) (-) =-8(-) b)(-) = 8 c) (+) = (-) d) (+) = - 8(-). Encontre equção d prábol com eio prlelo o eio dos e que contém os pontos (,8), (,5) e (,). Ache s coordends do foco e do vértice. Escrev equção de su diretri. Respost: 8.. Resolv os eercícios ímpres de, pág. 7 do livro teto. 9. ELIPSE Um elipse é o conjunto de todos os pontos (, ) tl que som ds distâncis dois pontos fios (os focos) é constnte. Um curiosidde é que você tmbém pode construir um cnteiro de flores no seu jrdim utilindo o mesmo procedimento.

42 A ret contendo os dois focos intercept elipse em dois pontos chmdos vértices. A cord unindo os dois vértices é o eio mior, e o seu ponto médio é o centro d elipse. A cord perpendiculr o eio mior contendo o centro é o eio menor d elipse. Pr encontrr form pdrão pr equção de um elipse, considermos figur bio d elipse que contém os pontos: centro (h, k) vértices (h, k) focos: (h c, k) A form pdrão pr equção reduid de um elipse centrd em (h, k) e com eios mior e menor e b, respectivmente, onde >b é: h k b eio mior é horiontl h k eio mior é verticl b Os focos estão no eio mior c uniddes do centro onde =b +c.

43 9.. Orientções ds elipses 9.. Ecentricidde Ecentricidde e é dd pel rão c e. O conceito de ecentricidde é usdo pr medir o quão ovl é elipse. Note que como os focos estão no eio mior entre os centros e os vértices então < c <. c Pr um elipse quse circulr, os focos estão próimos do centro e rão é pequen. Pr um elipse longd, os focos estão próimos dos vértices e ecentricidde está perto de. Eemplo : Determine s coordends do centro, dos vértices, dos focos d cônic Esboce o gráfico. Respost: Centro: C(,), Focos: (,7) e (,-), Vértices: (,8),(,-), (5,) e (-,). Eemplo 5: Escrev equção d elipse cujos vértices são os pontos (5, ), (, ), (, ) e (, ). Determine os focos e esboce o gráfico. Respost: =. Centro C (-,), Focos ( 5,). Eemplo 6: Escrev equção d elipse com focos (,) e (,) e eio mior de comprimento Respost:.

44 Aplicções pr Elipses A determinção ds órbits plnetáris foi efetud entre 6 e 69 pelo strônomo lemão Johnnes Kepler (57-6), usndo o volumoso e cuiddoso conjunto de ddos stronômicos obtido por Tcho Brhe, e cujo trblho durou cerc de 6 nos. Entre seus estudos, Kepler descobriu que órbit de Mrte podi ser descrit com precisão trvés de um elipse. Kepler então generliou este conceito pr os outros plnets e nálise complet se resume em três enuncidos, que são conhecidos com s Leis de Kepler do movimento plnetário. Convém esclrecer que ests leis se plicm não somente os plnets que orbitm em torno do Sol, ms igulmente pr stélites nturis e rtificiis em órbit o redor d Terr ou de qulquer corpo celeste cuj mss sej considerável. A seguir enunciremos e discutiremos primeir lei empíric de Kepler. Cd plnet se move num órbit elíptic de modo que o Sol ocup um dos focos dest elipse (lei ds órbits). A figur bio ilustr um plnet de mss m que está se movendo num órbit elíptic o redor do Sol, de mss M. Fremos suposição de que M >> m, de modo que o centro de mss do sistem formdo pelo plnet e pelo Sol estej loclido proimdmente no centro do Sol. N figur, o plnet de mss m move-se num órbit elíptic o redor do Sol, de mss M. O semi-eio mior, representdo por r é considerdo, pr efeito de cálculos, como sendo rio médio d órbit. O semi-eio mior, representdo por r, é considerdo, pr efeito de cálculos, como sendo rio médio d órbit. List de Eercícios :. Encontre todos os elementos de cd um ds seguintes elipses. ) R.: C(,-),A (6,-), A (,-),F (5,-), F (,-),e=/. b) R.: C(-,-), A (-,), A (-,-7),F (-,), F (-,-5),e=/5 c) R.: C(,-), A (6,-), A (-,-), B (,), B (,-6), F( 7, ), e 7.. Encontre equção de cd elipse bio. ) eio mior mede e focos (,). Respost: 5 9.

45 b) centro (,), um foco (5,) e ecentricidde ¾. Respost:. 6 7 c) vértices em (, 8) e (, 8) e contendo o ponto (6, ). Respost: 6 6. d) etremos do eio mior em (, ), (5, ) e o comprimento do eio menor é uniddes. 6 Respost:.. Determine equção d elipse de centro n origem e focos no eio ds bscisss, sbendo que 5, é um ponto d elipse e que seu eio menor tem comprimento 6 uniddes. Respost: Obtenh s equções reduids ds elipses de equções: ) Respost:. b) Respost: 7. 7 c) Respost: Resolv os eercícios ímpres de, pág. 89 do livro teto. 9. HIPÉRBOLE É o conjunto de todos os pontos (, ) tis que diferenç ds distâncis dois pontos fios (os focos) é constnte. A ret contendo os dois focos intercept hipérbole em dois pontos, os vértices. A ret contendo os focos é chmd de eio focl, e o ponto médio do segmento unindo os vértices é o centro d hipérbole. A form pdrão pr equção de um hipérbole com centro em (h, k) 5

46 h k b eio focl é horiontl k h eio focl é verticl b A distânci entre o centro e os vértices é de uniddes e os focos estão c uniddes do centro. Além disso, c = +b. 9.. Orientções ds Hipérboles Eio Focl horiontl Eio Focl verticl Cd hipérbole tem dus ssíntots que se interceptm no centro. As ssíntots contêm os vértices de um retângulo de dimensões por b centrdo em (h, k). A ret unindo os pontos (h, k+b) e (h, kb) é chmd de eio não trnsverso. 6

47 Pr um hipérbole de eio focl horiontl, s equções ds ssíntots são: b b k h k h. Pr um hipérbole de eio focl verticl, s equções ds ssíntots são: b. b k h k h 9.. Ecentricidde d Hipérbole c A ecentricidde e d hipérbole é dd pel rão e. Como c >, temos e >. Qunto mior ecentricidde, mis bertos são os rmos d hipérbole. Se ecentricidde for próim de, os rmos d hipérbole são chtdos e pontudos. Eemplo 7: Determine s coordends do centro, dos vértices, dos focos e s equções ds ssíntots d hipérbole Respost: Centro: C (,-5), Vértices: (,- 5), (6,-5), Focos:, 5, ssíntots: 7 e. Eemplo 8: Encontre equção reduid d hipérbole 8. Determine s coordends do centro, dos focos e dos vértices d hipérbole. Determine s equções ds ssíntots 7

48 e esboce o gráfico. Respost:, Centro: C(-,), Vértices: (-,), (-,), Focos:, 5. Assíntots: = + e = -. Eemplo 9: Determine equção d hipérbole cujos focos estão em (, ) e (, ) e cuj ecentricidde é. Respost: CLASSIFICAÇÃO DE CÔNICAS ATRAVÉS DO DETERMINANTE O gráfico d equção A B C D E F é determindo pelo discriminnte d seguinte mneir:. Elipse: B AC<. Prábol: B AC=. Hipérbole: B AC> List de Eercícios :. Encontre todos os elementos de cd um ds seguintes hipérboles. ) R.: V (-,), V (-,-5), = (+)/5 e = (--)/5 b) R.: e=5/, = ± /+. c) R.: C(8,-5), A (,-5), A (,-5),F (8,-5), F (-,-5), e = 5/, = (-7)/, = (-+7)/.. Encontre equção de cd hipérbole especificd. ) vértices em (,), focos em (6,). R.: 6 b) vértices em (,) e s equções ds ssíntots são (5 ). R.: d) centro em (, ), um vértice em (, 8) e um foco em (, ). R.: 5 c) focos em (, ) e (7, ) e o comprimento do eio trnsverso é. R.:. Determine equção d hipérbole que tem vértices em, e que pss pelo ponto Obtenh s equções reduids ds hipérboles de equção: ),. R.: 8

49 b) 9 6 R.: 9 6. R.: c) Associe cd gráfico su equção. 9 6 ) b) 6 d) c) e) f) R.: (), (b), (d). 6. Clssifique cd um ds cônics bio e encontre todos os seus elementos. ) R.: Prábol. V(-,-), F(-,-), =. b) R.: Não é um lugr geométrico. c) R.: Hipérbole. V (-8/,5), V (-/,5). 7. Resolv os eercícios ímpres de, pág. do livro teto. Aplicções ds cônics Direcione um lntern pr um prede, vej que o feie de lu emitido desenhrá ness prede um curv cônic. Isto contece porque o feie de lu emitido pel lntern form um cone, e tmbém porque prede funcion como um plno que cort o cone formdo. Dependendo d inclinção d lntern reltivmente à prede, poderemos obter um circunferênci, um elipse, um prábol ou um hipérbole. Tente relir este eperimento! 9

50 Certos bjures de cbeceir, cuj cúpul é bert segundo um circunferênci, desenhm n prede um hipérbole e no teto um elipse. Este fto é utilido n áre d iluminção pr construção de bjures, lnterns, etc. O som emitido por um vião jto supersônico tem form de um cone, ssim o chocr-se com Terr irá formr um curv cônic. Logo, dependendo d inclinção do vião reltivmente à Terr, podemos obter elipses, prábols ou hipérboles. A udiometri us este fto, entre outros, pr sber que distânci d Terr o vião pode ultrpssr velocidde do som. Eistem comets que percorrem trjetóris hiperbólics, os quis o pssrem perto de lgum plnet com grnde densidde, lterm su trjetóri pr outr hipérbole com um foco situdo nesse plnet. Como prábol é um cso de equilíbrio entre elipse e hipérbole (lembrem-se que ecentricidde d prábol é igul um), probbilidde de eistir lgum stélite com órbit prbólic é quse nul. Ms isso não impede eistênci de stélites com est trjetóri. Tmbém s trjetóris dos projéteis, num mbiente sob ção d forç d grvidde, são prbólics. Já no mbiente terrestre, onde eiste resistênci do r, esss trjetóris são elíptics, mis proprimente, rcos de elipses. No entnto, por vees, s diferençs entre s trjetóris elíptics e s prbólics são quse imperceptíveis. A blístic (ciênci que estud s trjetóris de projéteis) f uso deste fto pr determinrem o locl d qued de um projétil. Fendo uso d propriedde refletor d prábol, Arquimedes construiu espelhos prbólicos, os quis por refletirem lu solr pr um só ponto, form usdos pr incendir os brcos romnos ns invsões de Sircus. Lembre-se que concentrção de energi ger clor! 5

51 Sbemos que os rios de lu vindos do espço chegm à terr por feies prlelos e vimos nest semn que um espelho prbólico direcion estes rios pr o seu foco. Isto ger um problem, pois pr observr imgem formd no foco, o olho do observdor teri que estr posiciondo sobre ele, o que n prátic se torn impossível, pois o mesmo funcionri como um brreir pr os rios luminosos. A solução dd este problem por Isc Newton foi posicionr um espelho plno entre superfície prbólic côncv e o foco, de tl form que os rios fossem direciondos pr for d prte intern do espelho. Por outro ldo, invenção de Newton gerou um problem similr, pois, pr que convergênci do foco lterntivo ficsse for do cilindro telescópico dimensão deste espelho deveri ser bem considerável, bloquendo grnde prte dos rios incidentes prejudicndo destrte formção d imgem, observe ilustrção seguir. A solução pr este problem foi dd em 67 pelo strônomo frncês Cssegrin utilindo um espelho hiperbólico, figur bio ilustr propriedde ds hipérboles. 5

52 Com ess ssocição de espelhos fleibilidde d montgem ficou bem mior e s possibiliddes de vrição ds distâncis entre os focos e d distânci do foco d prábol o espelho tmbém. Isto f com que o telescópio se juste perfeitmente à necessidde ds observções. Hoje os telescópios modernos como os rdiotelescópios utilim-se dest tecnologi, que levou um século pr serem implementds desde su idelição. Neste teto pudemos verificr que s proprieddes refletors ds cônics têm contribuído pr construção de telescópios, ntens, rdres, fróis, lnterns, etc. Fonte: Foi prtir d propriedde refletor ds prábols que os engenheiros civis construírm pontes de suspensão prbólic. Se imginrmos os cbos que prendem o tbuleiro d ponte como rios de lu, fcilmente verificmos que o cbo principl, quele que pss pelos pilres d ponte, tem form de um prábol. Outr plicção dests curvs estudds por Apolônio é o sistem de loclição de brcos denomindo por LORAN (LOng RAnge Nvigtion), que f uso ds hipérboles confocis, onde os rdres estão nos focos. A idei é bsed n diferenç de tempo de recepção dos sinis emitidos simultnemente pelos dois pres de rdres, sendo um dos rdres comum os dois pres. O mp ssim construído present curvs hiperbólics. Est técnic foi usd n II Guerr Mundil, pr detectr brcos jponeses. List de Eercícios : Eercícios de revisão. Associe cd gráfico su equção. 5

53 5 ) ) 5 ) ) 5) 6). Respost: 6,,. Clssifique cd um ds cônics bio. Obtenh su equção reduid e determine todos os seus elementos. ) 7 R.: Prábol, V(-,), F(-/,), d:=-/, ( ) b) R.: Elipse, C(-,), A (-,7), A (-,-), B (,), B (-,), 5 c) R.: Hipérbole, V (-5,-), V (,-), F (-6,-), F (,-), e=5/, d) R.: Hipérbole. e) R.: Elipse.. Determine equção reduid de um prábol cujo vértice é (,) e equção de su diretri é dd pel equção =. Esboce prábol e encontre s coordends de seu foco.. Determine equção reduid de um hipérbole cujos vértices são (,) e (, ) e os focos (, 5) e (,5). Esboce hipérbole e encontre s equções de sus ssíntots Determine equção de um elipse centrd n origem com ecentricidde e e semi-eio mior Considere no plno elipse de focos F= (,) e F=(,) e de semi-eio menor igul. ) Clcule o outro semi-eio d elipse. b) Determine intersecção d elipse com ret de equção =. 7. Determine distânci focl e ecentricidde de um hipérbole com eio rel 8cm e eio imginário 6cm. 5

54 8. A ecentricidde de um hipérbole centrd n origem é e e distânci focl vle. Determine equção dest hipérbole. 9. Mrque com um X lterntiv corret. ) A equção d elipse que tem focos nos pontos (,) e (,) e contém o ponto,5 é: ) d) e) b) A equção d ret que pss pel origem e pelo vértice d prábol é: ) d) b) e) c) 9.6 INTRODUÇÃO ÀS SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 9.7 A prtir d equção gerl do º gru ns três vriáveis b c é possível representr um superfície quádric. d e f, e, m n p q Além disso, se superfície dd pel equção cim for cortd pelos plnos coordendos ou por plnos prlelos eles, curv de interseção será um cônic. A interseção de um superfície com um plno é chmd trço d superfície no plno. Assim, por eemplo, o trço d superfície quádric no plno = é cônic b d m n q contid no plno, podendo representr um elipse, um hipérbole ou um prábol visto que sus equções geris são desse tipo. A redução d equção gerl ds quádrics s sus forms mis simples eige cálculos trblhosos, o que não será nosso objetivo. Enftiremos o estudo ds quádrics representds por equções cnônics, s quis estão intimmente relcionds às forms reduids ds cônics. 9.7 SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO Um superfície de revolução é superfície gerd por um curv pln (chmd gertri) que gir 6º em torno de um ret (denomind eio) situd no plno d curv. Dest form, o trço d superfície num plno perpendiculr o eio é um circunferênci e equção d superfície de revolução é obtid trvés d equção d gertri. 5

55 Eemplo : Sej superfície gerd pel revolução d prábol observe figur bio: em torno do eio dos, Considere P (,, ) um ponto qulquer d superfície e C (,,) o centro d circunferênci que é o trço d superfície no plno que pss por P e é perpendiculr o eio dos (eio de revolução). A interseção dest circunferênci com prábol é o ponto Q (,, ). Sej R o pé d perpendiculr trçd de P o plno. Aind, CP = CQ = r, por serem rios d mesm circunferênci. Como o triângulo CRP é retângulo em R, vem CP ( CR) ( RP). Ms, CQ, pois Q é ponto d prábol. Portnto, ou, que é equção dest superfície. Notemos que equção contid no eemplo cim pode ser obtid imeditmente o substituirmos por, n equção (gertri). Este método será utilido pr todos os csos de superfície de revolução. Então, se gertri estiver contid num dos plnos coordendos e girr 6º em torno de um dos eios desse plno, equção d superfície ssim gerd será obtid d seguinte mneir: ) Se curv gir em torno do eio dos, substitui-se ou n equção d curv por ; b) Se curv gir em torno do eio dos, substitui-se ou n equção d curv por ; c) Se curv gir em torno do eio dos, substitui-se ou n equção d curv por ; Observção: Qundo d substituição de por n equção pr resultr, considerou-se. Pr se ter superfície complet devemos substituir por, o que não vi lterr em nd equção observção vle pr s outrs substituições cim descrits. d superfície. A mesm Agor, pssremos estudr s superfícies quádrics denominds elipsóides, hiperbolóides e prbolóides. 55

56 9.8 ELIPSÓIDES Consideremos no plno elipse de equções,. Vej figur bio: b c Ao girrmos ess elipse em torno do eio O, obtemos o elipsóide de revolução (conforme imgem seguir), cuj equção será obtid d equção d elipse, substituindo-se por : ou. b c c b c De mneir nálog se obtém o elipsóide de revolução em torno de O. Neste cso su equção é obtid d equção d elipse, substituindo-se por :. b b c De um mneir mis gerl, o elipsóide (figur o ldo) é representdo pel equção, onde, b e c são reis b c positivos e representm s medids dos semi-eios do elipsóide. Observemos ind que os pontos (,,), (, b,) e (,, c) são soluções d equção, chmd form b c cnônic do elipsóide. O trço no plno é elipse, e os trços nos plnos e são s b elipses, e,, respectivmente. c b c Observemos tmbém que s intersecções do elipsoide com plnos = k, = k ou = k (k = constnte), resultm num elipse, num ponto ou no conjunto vio. 56

57 No cso de = b = c, equção tom form ou b c e represent um superfície esféric de centro C (,,) e rio. Notemos que est superfície tmbém é de revolução e obtid pel revolução de um circunferênci em torno de um de seus diâmetros. Se o centro do elipsoide é o ponto ( h, k,) e seus eios forem prlelos os eios ( h) ( k) ( ) coordendos, equção ssume form obtid b c b c por um trnslção de eios. Eemplo : Dd equção d superfície esféric 6, determine o centro e o rio. Solução: Começmos escrevendo equção n form ( 6) ( ) e completmos os qudrdos ( 6 9) ( ) 9 não esquecendo de somr 9 e o segundo membro pr equilibrr som feit o primeiro membro. Logo, equção torn-se: ( ) ( ) ( ) 5 E, portnto, C (,, ) e r = HIPERBOLÓIDES bio: Consideremos no plno hipérbole de equções,, conforme figur b c eios. Obteremos os hiperbolóides de revolução o efeturmos rotções em torno de um de seus 57

58 Hiperbolóides de um Folh A rotção d hipérbole, presentd n figur cim, em torno do eio O result no hiperbolóide de um folh (figur bio), cuj equção será obtid d equção d hipérbole substituindo-se por : c b ou c b b. Generlindo, um hiperbolóide de um folh é representdo pel equção c b chmd form cnônic do hiperbolóide de um folh o longo do eio O. As outrs dus forms são c b e c b, que representm hiperbolóides de um folh o longo dos eios e, respectivmente. Atrvés d equção c b vemos que o trço do hiperbolóide no plno é elipse, b e os trços nos plnos e são s hipérboles, c e, c b, respectivmente. Um trço no plno = k é um elipse que ument de tmnho à medid que o plno se fst do plno. Os trços nos plnos = k e = k são hipérboles. Observção: É importnte frisr que, pesr d imgem mostrr um hiperbolóide limitdo o longo do eio, ess figur se prolong indefinidmente o longo desse eio ( menos que se restrinj um intervlo limitdo). Estenderemos est observção pr tods s superfícies que serão ind estudds Hiperbolóides de dus Folhs A rotção d hipérbole que foi presentd no item 9.9 em torno do eio result no hiperbolóide de dus folhs (figur bio), cuj equção será obtid d equção dess hipérbole substituindo-se por : c b ou c b c.

59 59 De form mis gerl, um hiperbolóide de dus folhs é representdo pel equção c b chmd form cnônic do hiperbolóide de dus folhs o longo do eio O. As outrs dus forms são c b e c b, e representm hiperbolóides de dus folhs o longo dos eios e, respectivmente. Observemos ind que os trços desses hiperbolóides nos plnos = k, = k ou = k (k = constnte), resultm em hipérboles, elipses, um ponto ou o conjunto vio. RESUMO As equções dos elipsóides e hiperbolóides podem ser reunids em c b e conforme os sinis dos termos do º membro, presentdos nest ordem, temos o seguinte qudro: 9. PARABOLÓIDES 9.. Prbolóide Elíptico Consideremos no plno prábol de equções, b, conforme mostr figur bio: