1.1 PLANO COORDENADO P(2,3)

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1 UFPEL - Universidde Federl de Pelots IFM Instituto de Físic e Mtemátic DME Deprtmento de Mtemátic e Esttístic MAT5 Álger Liner e Geometri Anlític Prof Vldecir Botteg Semestre 6/ FUNDAMENTOS PLANO COORDENADO Assim como os números reis são utilizdos como coordends pr pontos de um ret, pres de números reis podem ser utilizdos como coordends pr pontos de um plno Com este propósito se estelece um sistem de coordends retngulres no plno chmdo de plno coordendo Desenhmos dus rets perpendiculres no plno, um horizontl e outr verticl Ests rets são chmds de eio (sciss) e eio (ordend), respectivmente, e seu ponto de intersecção chm-se origem As coordends são ssinlds com origem como ponto zero em mos os eios e mesm distânci unitári em mos os eios O semi-eio positivo dos está à direit d origem, semi-eio negtivo dos está à esquerd; o semi-eio positivo dos está cim d origem e o semi-eio negtivo dos está io P(,) 5 Consideremos um ponto P qulquer do plno Desenhmos um ret por P prlel o eio dos, e sej coordend do ponto em que curv cort o eio dos Anlogmente, desenhmos um ret por P prlel o eio dos, e sej coordend do ponto em que ess ret cort o eio dos Os números e ssim determindos chmm-se coordend (sciss do ponto P) e coordend (ordend do ponto P) As coordends de P são escrits como um pr ordendo (, ) Historicmente, coue Glileu Glilei (56-6) o mérito de ter sido o primeiro demonstrr importânci dos sistems de referênci n formulção ds leis que regem descrição dos fenômenos físicos (por eemplo, movimentos uniformes e movimentos reltivos), estelecendo desse modo, um relção mensurável entre leis e grndezs físics O mundo não se present com um sistem de coordends fio ele, ms podemos loclizr um sistem físico em um sistem de coordends imginário como sendo um grde rtificilmente sorepost de modo que você se loclize em um prolem, fim de relizr medições quntittivs Os eios crtesinos são usdos pr loclizr e medir lgums grndezs como: posição, celerção, velociddes ou cmpos grvitcionis Podemos usr diferentes sistems de coordends pr resolução de prolems, ms gerlmente é utilizd representção gráfic envolvendo coordends crtesins, que se trt de um sistem de coordends com eios mutumente perpendiculres Em dus dimensões usmos os sistems de coordends e, em três dimensões, o z A loclizção dos eios não é inteirmente

2 ritrári Por convenção, o semi-eio positivo de está posiciondo 9º em sentido nti-horário do o semi-eio positivo de, conforme figur io Eemplo : Loclize os pontos A(,), B(,), C(-, ) e D(-, -) no plno coordendo DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS A distânci d entre dois pontos P (, ) e P (, ) no plno é dd por: d Eemplo : Determine distânci entre os pontos (-,) e (,-) Respost: d= Eemplo : Determine s coordends do ponto equidistnte dos pontos A(5,), B(-,) e C(-,) Respost: D(,) PONTO MÉDIO Muits vezes é útil conhecer s coordends do ponto médio do segmento que une dois pontos distintos ddos Se os pontos ddos são P (, ) e P (, ), e se P (, ) é o ponto médio, então s coordends de P serão dds por: Eemplo : Os pontos (, -) e (-6, 5) são s etremiddes do diâmetro de um círculo Ache o centro e rio do círculo Respost: C(-,/) e

3 List de Eercícios - Geometri Anlític - Plno Crtesino Clcule o perímetro do triângulo de vértices A (,7), B(-,-8) e C (8,-5) Determine um ponto no eio ds ordends equidistnte os pontos A(-,) e B(,-) Determine um ponto no eio ds scisss equidistnte os pontos A(-,) e B(,) Encontre tl que distânci os pontos C(5,) e D(5, ) sej 8 5 O ponto M tem coordends iguis e fic distnte 5 uniddes do ponto E(,) Determine s coordends de M 6 Considere o triângulo ABC sendo A(-/, 6), B(7/, -) e C(-,-) ) Determine s coordends dos pontos médios dos ldos AB e BC ) Clcule distânci entre os pontos A e B 7 Encontre tl que distânci entre (,) e (, -) sej 5 8 Mostre que os pontos A(, -), B(,) e C(-,) são vértices de triângulo isósceles 9 Ache o ponto equidistnte dos pontos P(,7), Q(8,6) e R(7,-) Um circunferênci com centro em C(-,), tem etremidde de um diâmetro em B(,6) Determine s coordends d outr etremidde Mostre que os pontos A(7,5), B(,) e C(6,-7) são vértices de um triângulo retângulo Resposts List : ) ) P(,-) ) P(,) ) =9 ou =-7 5) M(6,6) ou M(-,-) 6) ) (,5/) e (/,-) ) 7 7) =5 ou =- 9) (,) ) (-,-) SEGMENTO DE RETA ORIENTADO VETORES Um segmento de ret orientdo AB é determindo por um pr ordendo de pontos AB, onde A é chmdo de origem e B de etremidde Geometricmente é representdo por um ret que crcteriz visulmente o sentido do segmento A B

4 Módulo ou Norm de um vetor Módulo, norm ou comprimento é o número rel não negtivo que é medid do segmento Direção e Sentido Dois segmentos orientdos não nulos AB e CD têm mesm direção se s rets suportes desses segmentos são prlels ou coincidentes Só se pode comprr os sentidos de dois segmentos orientdos se eles têm mesm direção Dois segmentos de sentidos orientdos opostos têm sentidos contrários SEGMENTOS EQUIPOLENTES Dois segmentos orientdos AB e CD que tenhm mesm direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo são chmdos de equipolentes Representção: AB~CD VETOR Vetor é coleção de todos os segmentos orientdos equipolentes um ddo segmento orientdo AB Representção: v AB ou BA O vetor é crcterizdo por seu módulo, por su direção e sentido O módulo de v é indicdo por v ou ind v Vetores Iguis Dois vetores AB e CD são iguis se e somente se AB ~ CD

5 Vetor Nulo Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinm um único vetor, chmdo vetor nulo ou vetor zero, que é indicdo por Vetores Opostos Vetor Unitário O vetor BA é oposto o vetor Um vetor v é unitário se v = v AB e é indicdo por AB ou por v Versor Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesm direção e sentido de v Vetores Colineres Dois vetores u e v são colineres se tiverem mesm direção Isto é, u e v são colineres se tiverem representntes AB e CD pertencentes um mesm ret ou rets prlels Vetores Coplnres Os vetores não nulos u, v e w são ditos coplnres se possuem representntes AB, CD e EF pertencentes um mesmo plno Oservção: Dois vetores quisquer u e v são sempre coplnres, pois sempre podemos tomr um ponto no espço e, com origem nele, imginr dois representntes de u e v pertencendo um plno que pss por este ponto Três vetores poderão ou não ser coplnres 5

6 OPERAÇÕES COM VETORES Adição Ddos os vetores u e v representdos pelos segmentos AB e BC Os pontos A e C determinm um vetor s que é, por definição, som dos vetores u e v, isto é, s =u + v B v u s C A No cso de u e v não serem vetores prlelos, há outr mneir de encontrrmos o vetor s Represent-se u AB e v AD por segmentos orientdos com origem em A Complet-se o prlelogrmo ABCD e o segmento orientdo de origem A, que corresponde à digonl do prlelogrmo é o vetor s =u + v D v d s C A Proprieddes d Adição u B I) Comuttiv: u + v = v + u II) Associtiv: ( u + v )+ w = u + ( v + w ) III) Elemento Neutro: v + = + v = v IV) Elemento Oposto: v +( v )= v v = Diferenç Ddos os vetores u e v representdos pelos segmentos AB e AC, respectivmente, e construído o prlelogrmo ABCD, verific-se que som s =u + v é representd pelo segmento orientdo AC ( um ds digonis) e que diferenç d =u v é representd pelo segmento DB ( outr digonl) Multiplicção de um vetor por um número rel v o vetor Ddo um vetor v e um número rel k, chm-se produto do número rel k pelo vetor p kv tl que: ) módulo: p kv k v ) direção: mesm de v 6

7 c) sentido: o mesmo de v se k>, e o contrário se k< Oservções: ) Se k = ou v =, o produto é o vetor nulo ) Sej um vetor k v, com v Se fizermos com que o número rel k percorr o conjunto dos números reis, oteremos todos os infinitos vetores colineres v, e portnto, colineres entre si, isto é, qulquer um deles é sempre múltiplo esclr do outro Reciprocmente, ddos dois vetores colineres u e v, sempre eiste kir tl que u kv v u c) O versor de um vetor v é o vetor unitário u v ou v u v v Proprieddes d Multiplicção de um vetor por um número rel I) Associtiv: v v II) Distriutiv em relção à dição de esclres: v v v III) Distriutiv em relção à dição de vetores: u v u v IV) Identidde: v v 5 ÂNGULO ENTRE VETORES O ângulo entre dois vetores não nulos u e v é o ângulo formdo pels semi-rets prlels os vetores tl que Oservções: ) Se =, u e v têm mesm direção e sentidos contrários ) Se =, u e v têm mesm direção e o mesmo sentido c) Se =, u e v são ortogonis, isto é, u v Neste cso, u v u v d) O vetor nulo é considerdo ortogonl qulquer vetor Eemplo : Sendo que o ângulo entre u e v é de 6º, determine o ângulo formdo pelos vetores: ) u e v ) u e v c) u e v d) u e v Respost: () e () º; (c) e (d) 6º 7

8 Eercícios: Encontre som dos vetores indicdos n figur Ddos os vetores u e v d figur o ldo, represente grficmente os vetores: ) u v ) u + v v c) u v d) u - v u List de Eercícios - Vetores I - Resolv os eercícios pres d list de eercícios, págin do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books VETORES NO PLANO VETORES NO ESPAÇO E NO PLANO Consideremos dois vetores v e v não prlelos, representdos com origem no mesmo ponto O, sendo r e r s rets contendo estes representntes: 8

9 Os vetores u,v, w,t, e em função de v e v são epressos por: Ddos dois vetores quisquer v e v não prlelos, pr cd vetor v representdo no mesmo plno de v e v, eiste um só dupl de números reis e tis que v v v Qundo um vetor v é epresso como v v v, diz-se que v é um cominção liner de v e v O conjunto B={ v, v } é chmdo de se no plno Qulquer conjunto de dois vetores não prlelos constitui um se no plno Os números e são chmdos componentes Um se { e, e } é dit ortonorml se os seus vetores forem ortogonis e unitários, ou sej, e e = ou coordends de v n se B As ses mis utilizds são s ses ortonormis Um se importnte é se que determin o sistem crtesino ortogonl Os vetores ortogonis e unitários, neste cso, são simolizdos por i e j, mos com origem em O e etremiddes em (, ) e (, ), respectivmente, sendo se C={ i, j } chmd de cnônic e e e Epressão Anlític de um Vetor Ddo um vetor v qulquer do plno, eiste um só dupl de números e tis que v i j Os números e são s componentes de v n se cnônic A primeir componente é sciss de v e segund componente é ordend de v O vetor v tmém pode ser representdo por v, chmdo de epressão nlític de v O pr ordendo (, ) tmém é 9

10 Eemplo : Epresse os vetores io em form de pr ordendo: ) v i j ) v i j c) v 6i Resposts: ) (,-) ) (,-) c) (-6,) Oservção: A cd ponto P(, ) do plno corresponde um vetor v OP i j Isto é, s coordends do ponto P são s própris componentes do vetor OP n se cnônic Iguldde de Vetores Dois vetores u, e, v são iguis se e somente se e Escreve-se u v Eemplo : Determine os vlores de e pr os quis os vetores u, e v, 6 sejm iguis Respost: =7 e =- Operções com Vetores Sejm os vetores u,,, ) u v, ) u, v e um número IR Definimos: Eemplo : Ddos os vetores v,5 e w,, clcule os vetores: ) v ) w v c) w v Resposts: ) (-,5/) ; ) (5,-) ; c) (,) Eemplo : Ddos os vetores u,5 e v, u v Respost: (/,-), determine o vetor n iguldde

11 Eemplo 5: Encontre os vlores de e tis que v v v v, 5 Respost: =6/7 e =-/7 sendo v 6,, v e, Vetor Definido por Dois Pontos Considere o vetor AB de origem no ponto A, e etremidde em B, vetor AB em termos ds coordends dos pontos A e B são AB, Então o Oservção: Um vetor tem infinitos representntes que são segmentos orientdos de mesmo comprimento, mesm direção e mesmo sentido O melhor representnte do vetor AB é quele que tem origem em O(, ) e etremidde em P, Este vetor é chmdo de representnte nturl de AB Eemplo 6: Ddos os pontos A(-, ), B(, -) e C(-,), determine D(,) tl que Respost: D(,5/) CD AB Prlelismo de Dois Vetores v são prlelos qundo sus componentes são proporcionis, isto é, se eiste um número rel tl que u v Ou sej, Dois vetores u, e, Eemplo 7: Verifique se os vetores s, e, 6 t são prlelos Respost: São prlelos Módulo de um Vetor Sej v,, então pelo teorem de Pitágors: v Eemplo 8: Determine o módulo do vetor v (-,) Respost:

12 Vetor unitário ou Versor de um Vetor O vetor unitário de um vetor v, é ddo pel epressão v v Eemplo 9: Determine o versor do vetor v, Respost: Eercícios: Encontre o representnte nturl do vetor ddo n figur io Isto é, encontre o representnte do vetor que tem origem em (,) Ddos os vetores u, e w, ) v u w ) v u w Encontre e tis que v u w Encontre o módulo do vetor v i j, determine: onde u,, w, e, v 5 Ddos, u e v,, determine u v u v 6 Encontre o vetor v como norm v e que tenh mesm direção e sentido do vetor u, Resposts: ) v=(,) ) ) (,-5) ; ) (7/,-/) ) == ) 5) 6) VETORES NO ESPAÇO No espço, se cnônic C={ i, j, k } irá determinr o plno z, onde os três vetores são unitários, ortogonis dois dois e representdos com origem no ponto O Este ponto e direção

13 de cd um dos vetores d se determinm os três eios crtesinos: eio (ds scisss) que corresponde o vetor i, o eio ( ds ordends) que corresponde o vetor j e o eio z (ds cots) que corresponde o vetor k Cd dupl de vetores d se e, consequentemente, cd dupl de eios, determin um plno coordendo Portnto, temos três plnos coordendos o plno, o plno z e o plno z A cd ponto P(,, z) de espço corresponderá o vetor coordends, e z do ponto P são s componentes do vetor OP n se cnônic OP i j zk, isto é, s Epressão Anlític de um Vetor no Espço A epressão nlític do vetor v i j zk é v,,z Eemplo : Escrev epressão nlític dos seguintes vetores ) v i j k ) u j i c) w i k d) t i e) v j f) s k Resposts: ) (,,-) ) (-,,) c) (,,-) d) (,,) e) (,,) f) (,,) Iguldde de Vetores Dois vetores u,, e,, z z z Escreve-se u v Operções com Vetores Sejm os vetores u,, z e,, z ) u v,, z z ) u,, z v z são iguis se e somente se v e um número IR Definimos:, e

14 Vetor Definido por Dois Pontos Considere o vetor AB de origem no ponto A,, z e etremidde em,, z Então o vetor AB em termos ds coordends dos pontos A e B são AB,,z Prlelismo de Dois Vetores Dois vetores u,, e,, B z z v z são prlelos qundo sus componentes são z proporcionis, isto é, se eiste um número rel tl que u v Ou sej, z Módulo de um Vetor O módulo do vetor,,z v é ddo por: v z O vetor unitário é Eemplo : Ddos os pontos A(,,-) e B(,,-) e os vetores u,,,,, w,,, verifique se eistem números, e tis que AB u v =; =; =- w v v v e Respost: Oservção: No plno, todo conjunto { v, v } de dois vetores não prlelos constitui um de sus ses, isto é, todo vetor desse plno é cominção liner de v e v No espço, todo conjunto de três vetores não coplnres constitui um de sus ses, isto é, todo vetor do espço pode ser escrito de modo único como cominção liner dos vetores dest se Eemplo : Sej o triângulo de vértices A(,-,-), B(, 5, -6) e C(, -, -) Clcule o comprimento d medin do triângulo reltiv o ldo AB Respost: Eemplo : Apresente o vetor genérico que stisfz à condição: ) prlelo o eio ; ) representdo no eio z; c) prlelo o plno ; d) prlelo o plno z; e) ortogonl o eio ; f) ortogonl o eio z; g) ortogonl o plno ; h) ortogonl o plno z Resposts: ) (,,) ) (,,z) c) (,,) d)(,,z) e) (,,z) f) (,,) g) (,,z) h) (,,) Eercícios: Ddos os pontos A(,-,), B(,, 5) e o vetor v = (,, -), clcule:

15 ) (A-B)- v ) v +(B-A) Ddos os pontos A(,-,-) e B(-,, ), determine o ponto N pertencente o segmento AB tl que AN AB 5 Sendo que u - v = w, determine, e c sendo u =(, -, c), v =(, -, ), w =(, -, ) Quis dos seguintes vetores u =(, -6, ), v =(-6, 9, -), w =(, -, 9) e t =(, -5,5) são prlelos? 5 A ret que pss pelos pontos A(-,5,) e B(,, ) é prlel à ret determind por C(,-,) e D(, m, n) Determine o ponto D 6 Ddo o vetor v =(, -, -), determine o vetor prlelo v que tenh: ) sentido contrário de v e três vezes o módulo de v ; ) o mesmo sentido de v e módulo ; c) sentido contrário de v e módulo 5 Resposts: ) ) (,-6,) ) (-,5,-) ) (,-,-6/5) ) =-/ ; =7/ ; c= ) é prlelo, que é prlelo 5) D(,,) 6) ) -v ) c) List de Eercícios - Vetores - Resolv os eercícios pres d list de eercícios, págin do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books DEFINIÇÃO ddo por: representdo por PRODUTO ESCALAR O produto esclr de dois vetores u,, e,, 5 z u v zz v é um número rel e é z O produto esclr de u por v é tmém chmdo de produto interno e pode ser u, v e se lê u esclr v Eemplo : Ddos os vetores u,, e,, v, clcule u v Respost: -

16 Eemplo : Ddos os vetores u, 5, 8 e v,, ) u v u v ) u u Resposts: ) 89 ) 98, clcule: PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR Pr quisquer vetores u, v e w e o número : ) u v v u ) u v w u v u w; u v w u w v w ) u v u v u v ) u u se u Se u u então u = 5) 6) u u u Eemplo : Sendo u, v e v u, determine u v u v DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO ESCALAR Se u e v são vetores não-nulos e é o ângulo entre eles então Pois, u v u v u u v u v cos u v v u v u v cos pel Lei dos Cossenos e pel propriedde 6, respectivmente Igulndo s equções cim, otemos definição cim Respost: Eemplo : Sendo u e v e 6º o ângulo entre u e v, clcule: ) u v ) u v c) u v 6

17 Resposts: ) / ) c) Oservção: ) N epressão u v u v cos, o sinl de u v será o mesmo sinl de cos, logo: ) se u v >, então cos() > logo, º<<9º; ) se u v <, então cos() < logo, 9º<<8º; c) se u v =, então cos() = logo, = 9º Assim, podemos estelecer que: Dois vetores são ortogonis se, e somente se, u v ) O vetor nulo é ortogonl todo vetor, isto é, v pr todo vetor v Eemplo 5: Verifique se os vetores u,, e, 5, ortogonis v são ortogonis Respost: São Eemplo 6: Determine um vetor ortogonl não-nulo os vetores u,, e v,, (,,-) Respost: DETERMINAÇÃO DO ÂNGULO FORMADO ENTRE DOIS VETORES Vimos que u v u v cos, logo, cos u v u v Eemplo 7: Determine o ângulo formdo entre os vetores u,, e v,, Respost: 5 Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um vetor 7

18 Eemplo 8: Clcule os ângulos diretores e cossenos diretores de Respost: 5, 5 e 9 5 PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE OUTRO Sejm os vetores u e v não-nulos e o ângulo entre eles Pretendemos decompor um dos vetores, tl que v v v sendo que v //u e que v u Demonstrção: v v v u v v v u v u u v u u v u u u u u O vetor v é chmdo de projeção ortogonl de v em u e é representdo por: v v u proj v u u u u Eemplo 9: Determine o vetor projeção de v,, sore u,, Respost: (-/,/,) Eercícios: Ddos os vetores u,, e,, vlor de tl que v BA 5 u v e os pontos A(, -, ) e B(,,-), determine o Mostre que o triângulo de vértices A(,, ) e B(,, -) e C(,, -) é um triângulo retângulo Sendo que o vetor,, v form um ângulo de 6º com o vetor AB determindo pelos pontos A(,, -) e B(,, m), clcule o vlor de m Otenh o vetor v, sendo que v, v é ortogonl o eio Oz, form um ângulo de 6º com o vetor i e um ângulo otuso com o vetor j 8

19 5 Encontre os vetores unitários prlelos o plno z e que são ortogonis o vetor,, 6 Sej o vetor v,, ) um vetor ortogonl v ;, determine: ) um vetor unitário ortogonl v ; c) um vetor de módulo ortogonl v Resposts: ) =7/ ) ) ) (,,) 5) 6) v List de Eercícios - Produto Esclr - Resolv os eercícios pres d list de eercícios, págin 66 do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books 5 PRODUTO VETORIAL 5 DEFINIÇÃO O produto vetoril de dois vetores u,, e v,, é um vetor e é ddo por: z i j k u v u v z z z, tomdos nest ordem, v O produto vetoril de u por v pode ser representdo por u v ou u v e se lê u vetoril Eemplo : Clcule u v se 5,, u e,, v Respost: (-,,) Oservções: v u u v, isto é, os vetores u v e v u são opostos Logo, o produto vetoril não é comuttivo u v se, e somente se, u // v Dois csos prticulres: 9

20 ) u u ( determinnte com dus linhs iguis) ) u ( determinnte com um linh de zeros) Eemplo : Clcule os seguintes produtos vetoriis: ) u u ) u 5u c) u v v u d) u v v u e) u v u 8v f) 5u Respost: Todos nulos 5 CARACTERÍSTICAS DO VETOR u v Consideremos os vetores u,, e,, Direção de u v O vetor Eemplo : Mostre que z v z u v é simultnemente ortogonl u e v u v é ortogonl u e v Eemplo : Sejm os vetores u = (, -, -) e v =(,, -) Determine o vetor que sej ) ortogonl u e v ; ) ortogonl u e v e unitário; c) ortogonl u e v e que tenh módulo ; d) ortogonl u e v e tenh cot igul 7 Resposts: ) (,-,5) ) (/,-/,/) c) (8/,-8/,/) d) (,-,7) Sentido de u v O sentido de u v poderá ser determindo utilizndo-se regr d mão direit Sendo o ângulo entre u e v, suponhmos que u (º vetor) sofr um rotção de ângulo té coincidir com v Se os dedos d mão direit forem dordos n mesm direção d rotção, então o polegr estendido indicrá o sentido do vetor u v

21 A figur () mostr que o produto vetoril mud de sentido qundo ordem dos vetores é invertid Só será possível dorr os dedos n direção de v pr u se invertermos posição d mão, qundo o dedo polegr estrá pontndo pr io Oservção: O produto vetoril dos vetores i, j e k é ddo n tel io: i j k Comprimento de u v i k - j j - k i k j - i Se é o ângulo entre os vetores u e v não-nulos, então: u v u v sen D identidde de Lgrnge: u v u v u v u v u v cos u v cos u v sen Interpretção Geométric do Módulo do Produto Vetoril No prlelogrmo determindo pelos vetores não nulos u e v, medid d se é u e d ltur v sen, então áre deste prlelogrmo é: A = (se) (ltur)= u v sen, ou sej, A= u v Dest form, podemos dizer que: áre do prlelogrmo determindo pelos vetores u e v é numericmente igul o módulo do vetor u v Eemplo 5: Sej o triângulo equilátero ABC de ldo Clcule AB AC Respost: 5 u Eemplo 6: Ddos os vetores u = (, -, ) e v =(, -, ), clcule: ) áre do prlelogrmo determindo por u e v ;

22 ) ltur do prlelogrmo reltiv à se definid pelo vetor u Resposts: ) 6 u ) uc Proprieddes I) O produto vetoril não é comuttivo, pois, u v v u II) O produto vetoril não é ssocitivo, pois, u v w u v w III) Pr quisquer vetores u, v e w e o esclr : ) u v w u v u ) u v w u w v w c) u v u v u v d) u v w u v w Eemplo 7: Determine o vetor, tl que sej ortogonl o eio e ) e v =(, -, ) Respost: (,,) u v, sendo u = (,, - Eemplo 8: Determine distânci do ponto P(5,, ) à ret r que pss pelos pontos A(,, ) e B (, -,) Respost: 9 uc Eemplo 9: Ddos os pontos A(,, ), B(, -, ) e C(,, -), determine: ) áre do triângulo ABC ) ltur do triângulo reltiv o vértice C 5 5 Resposts: ) u ) uc Eercícios: Se u = (, -, ), v =(,, -) e w =(-,, ), determine: ) u u c) u v w w e) u v w ) v v d) u v v u f) u v w Efetue: ) i k c) i k ) j i d) i j e) i jk f) i j j Determine um vetor simultnemente ortogonl os vetores u v e v u, sendo u = (-,, ) e v =(, -, -)

23 Sendo u, v e 5 o ângulo entre u e v, clcule: ) u v ) u v 5 5 Ddos os vetores u = (, -, ) e v =(-,, ), clcule: ) áre do prlelogrmo determindo por u e v ; ) ltur do triângulo reltiv à se definid pelo vetor v Resposts: ) ) ) c) (-7,7,) d) (,,) e) (7,-7,7) f) ) ) j ) k c) 6 j d) e) f) ) (-, -8, 9) ) ) 6 ) 8/5 5) ) u ) uc List de Eercícios 5 - Produto Vetoril - Resolv os eercícios pres d list de eercícios 5, págin 86 do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books 6 DEFINIÇÃO 6 PRODUTO MISTO O produto misto dos vetores u,,, v,, e,, nest ordem, é o número rel u v w z e é ddo por: z u v w z O produto misto de u, v e w pode ser indicdo por u,v,w z z w tomdos z Eemplo : Clcule o produto misto dos vetores u,, 5, v,, e,-, Respost: 7 6 PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO O produto misto,v,w u mud de sinl o trocrmos posição de dois vetores Se forem dus permutções, não há lterção de vlor do produto misto u v w u v w w u v w,u,v u,v,w u,v,w u,v,w,v,w w

24 u,v,w u,v,w u,,w u,v,w u,v,w u,v, u,v,w u, v,w u,v, w u,v,w,v,w u se e somente se, os três vetores forem coplnres Csos prticulres: ) Se pelo menos um dos vetores é nulo,,v,w ) Se dois vetores forem prlelos:,v,w u u Eemplo : Verifique se os vetores u,-,, v,, - e,-, Respost: Não w são coplnres Eemplo : Qul deve ser o vlor de m pr que os vetores u, m,,,, w,, - sejm coplnres? Respost: - v e 6 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO MISTO Volume do Prlelepípedo Geometricmente, o produto misto u v w é igul, em módulo, o volume do prlelepípedo de rests determinds pelos vetores não coplnres u, v e w Portnto, V= Ah= u,v,w Eemplo : Sejm os vetores u, m,-, v,, e w,, Clcule o vlor de m pr que o volume do prlelepípedo determindo por estes vetores sej 6 uv Respost: m=- ou m=

25 Volume do Tetredro Sejm A, B, C e D pontos não-coplnres Portnto, os vetores AB, AC e AD tmém não são coplnres Em consequênci, esses vetores determinm um prlelepípedo cujo volume é: AB Este prlelepípedo pode ser dividido em dois prisms tringulres de mesmo tmnho e, portnto, o volume de cd prism tringulr V p é metde do volume V do prlelepípedo O prism, por su vez, pode ser dividido em três pirâmides de mesmo volume Assim, o volume do tetredro V t é um terço do volume do prism, isto é, V=,AC,AD V t = 6 AB,AC,AD Eemplo 5: Sejm A(,, -), B(5,, ), C(, -, ) e D(6,, -) vértices de um tetredro Clcule: ) o volume do tetredro; ) ltur do tetredro reltiv o vértice D 8 Resposts: ) 6 uv; ) uc 5 Eercícios: Ddos os vetores,-, ) u,v,w ) w,u,v Sendo que u,v,w=-5, clcule: ) w,v,u ),u,w u, v,, e w,,-, clcule: v c) w,u,v d) v w u Verifique se os vetores são coplnres: u,-,, v,, e w,,- Um prlelepípedo é formdo pelo vetores u,-,, v,, e w,,5 ) o seu volume; ) ltur reltiv à se definid pelos vetores u e v Clcule: 5 Os pontos A(,, ), B(,, ), C(,, ) e P(, -, 9) formm um tetredro de se ABC e vértice P, clcule: ) o volume deste tetredro; ) ltur reltiv o vértice P Resposts: ) ) -9 ) -9 ) ) 5 ) 5 c) -5 d) -5 ) Não são coplnres 5

26 7 ) ) 7 ) 5) ) ) 9 List de Eercícios 6 - Produto Misto - Resolv os eercícios pres d list de eercícios 6, págin 99 do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books 7 EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 7 EQUAÇÕES DA RETA Consideremos um ponto A(,, z ) e um vetor não-nulo v,,c Só eiste um ret que pss por A e tem direção de v Um ponto P(,, z) pertence r, se e somente se, o vetor AP é prlelo v, isto é, AP tv pr lgum rel t De AP tv, temos que P A tv ou P A tv, ou ind, em coordends,,,z,,z t,,c Qulquer um ds equções cim pode ser chmd de equção vetoril d ret r O vetor v é chmdo vetor diretor d ret r e t é denomindo prâmetro Eemplo : Determine equção vetoril d ret r que pss por A(,, ) e tem direção de v,, Respost: (,,z)=(,-,)+t(,,) 7 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA D equção vetoril d ret,,z,,z t,,c, otém-se: t t z z ct Ests são s equções prmétrics d ret Eemplo : Determine s equções prmétrics d ret que pss pelo ponto A(, -, ) e é t prlel o vetor v,, Respost: t z t Eemplo : Ddo o ponto A(,, ) e o vetor v,, 6, determine:

27 ) As equções prmétrics d ret r que pss por A e tem direção de v ) Os dois pontos B e C de r de prâmetros t= e t=, respectivmente c) O ponto de r cuj sciss é d) Se os pontos D(,, ) e E(5,, ) pertencem r e) Pr quis vlores de m e n o ponto F(m, 5, n) pertence r t Resposts: ) t z t ) (,,-) e (6,-5,8) c) (,-,) d) D pertence r e E não pertence r e) m= e n=-7 7 Ret definid por dois pontos A ret definid pelos pontos A e B é ret que pss por A ( ou B) e tem direção do vetor v AB é dd por P A tb A ou P B tb A Eemplo : Escrev s equções prmétrics d ret r que pss por A(,, ) e B(,, ) t Respost: t z 6t 7 EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA t Ds equções prmétrics t supondo,, c, vem: z z ct z z t, t, t c Como pr cd ponto d ret corresponde um só vlor pr t, otemos: t z z c Ests equções são denominds equções simétrics d ret que pss pelo ponto A(,, z ) e tem direção do vetor v,,c Eemplo 5: Escrev s equções simétrics d ret s que pss pelo ponto A(,, 5) e tem z 5 direção do vetor v =(,, ) Respost: t 7 EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA A equção m que é conhecid como equção reduzid d ret O vlor é chmdo de coeficiente liner e m é chmdo coeficiente ngulr d ret 7

28 Eemplo 6: A prtir ds equções simétrics d ret s do eemplo 5, otenh sus equções reduzids Respost: =- e z=(--7)/ Eemplo 7: Determine equção reduzid d ret r io n vriável z r : Respost: =-8 e z=-+ 75 ÂNGULO ENTRE RETAS Sejm r e s dus rets com direções v e v O ângulo entre s rets r e s é o menor ângulo entre os vetores diretores de r e de s Assim, v v cos, com 9º v v Eemplo 8: Clcule o ângulo entre s rets s: t t z t e u: z Respost: 6 grus Eemplo 9: Verifique se s rets s e u são concorrentes e, em cso firmtivo, determine seu ponto de intersecção: h 5 t s: h u: t z h z t Respost: I(,-,) Eercícios: Determine um equção vetoril d ret r definid pelos pontos A(,, ) e B(,, ) Verifique se o ponto C=(,, ) pertence r Dd ret r: t t, determine o ponto de r tl que: z t 8

29 9 ) ordend sej 6; ) sciss sej igul à ordend; c) cot sej o quádruplo d sciss Determine s equções prmétrics d ret que pss pelos pontos A(,, ) e B(,, ) Determine s equções prmétrics ds rets que pssm por ) A(,,) e é prlel o eio dos ; ) A(,, ) e é perpendiculr o plno z; c) A(,, ) e é ortogonl o mesmo tempo os eios e 5 Determine o ângulo entre s rets r: t z t t e s: 6 z 6 Sendo que s rets r e s são ortogonis, determine o vlor de m: r: t z t mt s: z 7 Encontre s equções prmétrics d ret que pss por A(,, ) e é simultnemente ortogonl às rets s: z e u: 8 Verifique se s rets r e s são concorrentes, em cso firmtivo, encontre seu ponto de intersecção: r: 5 z s: 7 z Resposts: ) (,,z)=(,-,)+t(-,,-) C não pertence ret r ) ) (-,6,-); ) (5/,5/,-); c) (-, 9,-6) ) t z t t ) ) z t ; ) z t ; c) t z 5) 6 6) m=-7/ 7) z t t 8) I(,,)

30 List de Eercícios 7 Ret - Resolv os eercícios pres d list de eercícios 7, págin 8 do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books 8 EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 8 O PLANO Consideremos um plno e um ret n (,, c), n, onde n é ortogonl o plno Sej A,, ) um ponto de Oservemos figur: ( z Um ponto P (,, z) está sore o plno se, e somente se, o vetor AP é ortogonl n, ou sej, P A n Notemos que AP P A,, z ) e n (,, c), logo: P A ( z n (,, c) (,, z z) ) ( ) c ( z z ) ( cz cz Escrevendo d cz, otemos: cz d, que é equção gerl do plno Eemplo : Otenh um equção gerl do plno que psse pelo ponto A (,,) e tenh n (,, ) como um vetor norml Respost: +-z+8= Csos Prticulres Se um ou mis coeficientes n equção gerl do plno for nulo, frá com que o plno ocupe um posicionmento prticulr em relção os eios coordendos N equção cz d, se: º cso: se d cz, com,,c, o plno contém origem º cso:

31 ) se cz d, com,c,d, o plno é prlelo o eio ) se cz d, com,c,d, o plno é prlelo o eio c) se c d, com,,d, o plno é prlelo o eio z º cso: ) se d cz, com,c, o plno conterá o eio ) se d cz, com, c, o plno conterá o eio c) se c d, com,, o plno conterá o eio z º cso: ) se cz d, com c,d, o plno é prlelo o plno ) se c d, com,c, o plno é prlelo o plno z c) se c d, com,d, o plno é prlelo o plno z 8 EQUAÇÃO VETORIAL E EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO Consideremos um plno e um ponto A,, ) Sejm dois vetores u,, ) e ( z v (,, c ) não prlelos, ms prlelos o plno Oservemos figur: ( c Pr todo ponto P, os vetores AP, u e v são coplnres Aind, um ponto P (,, z) pertence o plno se, e somente se, eistem números reis h e t tis que AP hu tv P A hu tv P A hu tv, est é equção vetoril de Em coordends, temos: (,, z) (,, z ) h (,, c ) t (,, c ) (,, z) ( h t, h t, z ch ct) que, pel condição de iguldde: h t h t z z ch ct Esss equções são chmds equções prmétrics de, onde h e t são vriáveis uilires denominds prâmetros

32 Eemplo : Sej o plno que pss pelo ponto A (,, ) e é prlelo os vetores u (,,) e v (,5, ) Otenh um equção vetoril, um sistem de equções prmétrics e equção gerl de Respost: +5+7z-5= Oservção (eemplo ): A equção gerl do plno tmém pode ser otid por meio do produto misto dos vetores AP, u e v, pois como P (,, z) represent um ponto qulquer do plno, estes vetores são coplnres (estão no mesmo plno) e, consequentemente, o produto misto deles é nulo Assim, o desenvolver iguldde ( AP, u, v), podemos encontrr equção gerl do plno 8 ÂNGULO DE DOIS PLANOS Sejm os plnos e com vetores normis n e n, respectivmente, conforme figur io Denominremos ângulo de dois plnos e, o menor ângulo que um vetor norml form com um vetor norml Considerndo-se este ângulo, otemos: n cos n n n, com Eemplo : Determine o ângulo entre os plnos : z e : Respost: grus 8 PLANOS PERPENDICULARES Sejm os plnos e com vetores normis n e n, respectivmente, conforme figur io, podemos concluir que:

33 n n n n Eemplo : Verificr se e são plnos perpendiculres: ) : z e : 6 z ) : e : Respost: ) Sim ) Não h t h t z t 85 PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO Sejm ret r com direção do vetor v e um plno, sendo n um vetor norml Pels figurs io, podemos concluir que: i) r // v n ii) r v // n v n v n (Fig()) Fig t Eemplo 5: A ret r : t é prlel o plno 5 z Respost: Sim, pois z t v (,,) e n (5,, ) v n 5 ( ) ( ) 86 RETA CONTIDA EM PLANO Um ret r está contid em um plno se: i) dois pontos A e B de r forem tmém de ou

34 ii) v n, onde v é um vetor diretor de r e n um vetor norml e A r Eemplo 6: Determinr os vlores de m e n pr que ret : mnz 5 Respost: m= e n=-, pois v (,, ) e n (, m, n) v n ( ) m ( ) n m n m n A(,, ), : ( ) m ( ) n 5 m n Resolvendo o sistem, temos m= e n= - t r : t estej contid no plno z t 87 INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS A intersecção de dois plnos não-prlelos é um ret r cujs equções se desej determinr Eemplo 7: Consideremos os plnos não prlelos : 5 z 5 e : z 7 Entre os vários procedimentos, presentremos dois ) Como r está contid nos dois plnos, s coordends de qulquer ponto,,z r devem stisfzer simultnemente s equções dos dois plnos Logo, os pontos de r constituem solução do sistem: 5 z 5 r : z 7 O sistem tem infinits soluções e, em termos de, su solução é r :, que são z equções reduzids de r ) Outr mneir de oter s equções de r é determinr um de seus pontos e um vetor diretor Fzendo = ns equções do sistem, otemos: z 5 cuj solução é =- e z= Logo, temos um ponto, que chmremos de A(,- z 7,)

35 Como um vetor diretor v de r é simultnemente ortogonl 5,, e,, n n, normis os plnos e, respectivmente, o vetor v pode ser ddo por i n n 5, 9,6 ou, 9,6,, v j k Escrevendo equção prmétric de r, temos t r : t z t 88 INTERSECÇÃO DE RETA COM PLANO Eemplo 8: Determinr o ponto de intersecção d ret r com o plno, onde : z t r : 5 t e z t Solução: Qulquer ponto de r é d form,,z t,5 t, t Se um deles é comum o plno, sus coordends verificm equção de : t 5 t t, resultndo em t=- Sustituindo este vlor ns equções de r otém-se 5 z Logo, intersecção de r e é o ponto,, Eercícios: Ddo o plno determindo pelos pontos A (,, ), B (,, ) e C (,,6), otenh um sistem de equções prmétrics e um equção gerl de Determine o ângulo entre os plnos : 5z 8 e : 5z Qul intersecção dos plnos α: + z = e β: z =? Resposts: h t ) : h t z 5h t ) 8,8 grus 5

36 ) 5 z 5 List de Eercícios 8 Plno - Resolv os eercícios pres té o 8 d list de eercícios 8, págin do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books 9 SEÇÕES CÔNICAS E SUPERCÍCIES QUÁDRICAS 9 INTRODUÇÃO ÀS SEÇÕES CÔNICAS Os gregos descorirm s seções cônics em lgum momento entre 6 e C No início do período lendrino, si-se o suficiente sore cônics pr Apolônio (6-9 C) produzir um trlho de oito volumes sore o ssunto Os gregos se preocupvm sicmente com s proprieddes geométrics ds cônics Só mis trde, no início do século XVII é que se tornou prente grnde plicilidde ds cônics que tiverm um ppel relevnte no desenvolvimento do cálculo Cd seção cônic é otid cortndo-se um cone por um plno que não pss pelo vértice 9 PARÁBOLA Um práol é o conjunto de todos os pontos (,) equidistntes de um ret fi d ( diretriz) e de um ponto fio F ( o foco) que não pertence à ret F P P' d O ponto médio entre diretriz (d) e o foco (F) é chmdo de vértice (V), e ret que pss pelo foco e pelo vértice é o eio d práol Um práol é simétric em relção o seu eio A form pdrão pr equção reduzid de um práol com vértice (h, k) e diretriz 6

37 = k-p é h p k eio verticl horizontl k p h eio O foco (F) pertence o eio e está p uniddes do vértice 9 Orientções ds práols Eio verticl Eio horizontl Eemplo : Encontre equção d práol com vértice em (,) e foco em (,) Esoce práol Respost: --+6= Eemplo : Determine s coordends do vértice e do foco de cd práol Encontre direção ns quis els estão erts Ache tmém equção de su diretriz Esoce cd práol ) ) c) Resposts: ) V(-,), F(-,/), d: =/, equção: (+) =-(-) )V(,-), F(-,-), d: =5 c) V(-, ), F(-, /), d: =/, equção: (+) =(-) Eemplo : Ache s equções ds seguintes práols ) vértice (,) e foco (,) Respost: =- ) diretriz = e foco (,) Respost: =-(+) List de Eercícios 9: Encontre o foco, o vértice e diretriz de cd um ds seguintes práols Esoce-s ) 5 ) c) 9 7 d) Resposts: ) F(,-5/8), V(,), d: =5/8 )F(,-), V(-,-), d: =-6 c) F(-,/), V(-,), d: =9/ 7

38 d) F(9,-), V(8,-), d: =7 Encontre equção de cd práol especificd Esoce práol ) vértice (,) e foco (,) ) diretriz = e foco (,) c) vértice (,) e diretriz: = d) vértice (,) e foco (,) Resposts: ) (-) =-8(-) )(-) =8 c) (+) =(-) d) (+) = - 8(-) Encontre equção d práol com eio prlelo o eio dos e que contém os pontos (,), (,) e (,) Ache s coordends do foco e do vértice Escrev equção de su diretriz Respost: 5 Resolv os eercícios ímpres de, pág 7 do livro teto 9 ELIPSE Um elipse é o conjunto de todos os pontos (, ) tl que som ds distâncis dois pontos fios (os focos) é constnte Um curiosidde é que você tmém pode construir um cnteiro de flores no seu jrdim utilizndo o mesmo procedimento A ret contendo os dois focos intercept elipse em dois pontos chmdos vértices A cord unindo os dois vértices é o eio mior, e o seu ponto médio é o centro d elipse A cord perpendiculr o eio mior contendo o centro é o eio menor d elipse 8

39 Pr encontrr form pdrão pr equção de um elipse, considermos figur io d elipse que contém os pontos: centro (h, k) vértices (h, k) focos: (h c, k) A form pdrão pr equção reduzid de um elipse centrd em (h, k) e com eios mior e menor e, respectivmente, onde > é: h k eio mior é verticl Os focos estão no eio mior c uniddes do centro onde = +c 9 Orientções ds elipses h k eio mior é horizontl 9 Ecentricidde c Ecentricidde e é dd pel rzão e O conceito de ecentricidde é usdo pr medir o quão ovl é elipse 9

40 Note que como os focos estão no eio mior entre os centros e os vértices então <c< Pr um elipse quse circulr, os focos estão próimos do centro e rzão c é pequen Pr um elipse longd, os focos estão próimos dos vértices e ecentricidde está perto de Eemplo : Determine s coordends do centro, dos vértices, dos focos d cônic Esoce o gráfico Respost: Centro: C(,), Focos: (,7) e (,-), Vértices: (,8),(,-), (5,) e (-,) Eemplo 5: Escrev equção d elipse cujos vértices são os pontos (5, ), (, ), (, ) e (, ) Determine os focos e esoce o gráfico Respost: = Centro C(-,), Focos ( 5,) Eemplo 6: Escrev equção d elipse com focos (,) e (,) e eio mior de comprimento Respost: Aplicções pr Elipses A determinção ds órits plnetáris foi efetud entre 6 e 69 pelo strônomo lemão Johnnes Kepler (57-6), usndo o volumoso e cuiddoso conjunto de ddos stronômicos otido por Tcho Brhe, e cujo trlho durou cerc de 6 nos Entre seus estudos, Kepler descoriu que órit de Mrte podi ser descrit com precisão trvés de um elipse Kepler então generlizou este conceito pr os outros plnets e nálise complet se resume em três enuncidos, que são conhecidos com s Leis de Kepler do movimento plnetário Convém esclrecer que ests leis se plicm não somente os plnets que oritm em torno do Sol, ms igulmente pr stélites nturis e rtificiis em órit o redor d Terr ou de qulquer corpo celeste cuj mss sej considerável A seguir enunciremos e discutiremos primeir lei empíric de Kepler Cd plnet se move num órit elíptic de modo que o Sol ocup um dos focos dest elipse (lei ds órits) A figur io ilustr um plnet de mss m que está se movendo num órit elíptic o redor do Sol, de mss M Fremos suposição de que M >> m, de modo que o centro de mss do sistem formdo pelo plnet e pelo Sol estej loclizdo proimdmente no centro do Sol

41 N figur, o plnet de mss m move-se num órit elíptic o redor do Sol, de mss M O semieio mior, representdo por r é considerdo, pr efeito de cálculos, como sendo rio médio d órit O semi-eio mior, representdo por r, é considerdo, pr efeito de cálculos, como sendo rio médio d órit List de Eercícios : Encontre todos os elementos de cd um ds seguintes elipses ) R: C(,-),A (6,-), A (,-),F (5,-), F (,-),e=/ ) R: C(-,-), A (-,), A (-,-7),F (-,), F (-,-5),e=/5 c) R: C(,-), A (6,-), A (-,-),B (,), B (,-6) Encontre equção de cd elipse especificd ) eio mior mede e focos (,) Respost: 5 9 ) centro (,), um foco (5,) e ecentricidde ¾ Respost: 6 7 c) vértices em (, 8) e (, 8) e contendo o ponto (6, ) Respost: 6 6 d) etremos do eio mior em (, ), (5, ) e o comprimento do eio menor é uniddes 6 Respost: Determine equção d elipse de centro n origem e focos no eio ds scisss, sendo que 5, é um ponto d elipse e que seu eio menor tem comprimento 6 uniddes Respost: 6 9 Otenh s equções reduzids ds elipses de equções: ) Respost: ) Respost: 7 7 c) Respost: 9

42 5 Resolv os eercícios ímpres de, pág 89 do livro teto 9 HIPÉRBOLE É o conjunto de todos os pontos (, ) tis que diferenç ds distâncis dois pontos fios ( os focos) é constnte A ret contendo os dois focos intercept hipérole em dois pontos, os vértices A ret contendo os focos é chmd de eio focl, e o ponto médio do segmento unindo os vértices é o centro d hipérole A form pdrão pr equção de um hipérole com centro em (h, k) h k eio focl é horizontl k h eio focl é verticl A distânci entre o centro e os vértices é de uniddes e os focos estão c uniddes do centro Além disso, c = + 9 Orientções ds Hipéroles Eio Focl horizontl Eio Focl verticl

43 Cd hipérole tem dus ssíntots que se interceptm no centro As ssíntots contêm os vértices de um retângulo de dimensões por centrdo em (h, k) A ret unindo os pontos (h, k+) e (h, k) é chmd de eio trnsverso Pr um hipérole de eio focl horizontl, s equções ds ssíntots são: k h k h Pr um hipérole de eio focl verticl, s equções ds ssíntots são: k h k h

44 9 Ecentricidde d Hipérole c A ecentricidde e d hipérole é dd pel rzão e Como c>, temos e> Qunto mior ecentricidde, mis ertos são os rmos d hipérole Se ecentricidde for próim de, os rmos d hipérole são chtdos e pontudos Eemplo 7: Determine s coordends do centro, dos vértices, dos focos e s equções ds ssíntots d hipérole Respost: Centro: C(,-5), Vértices: (,- 5), (6,-5), Focos:, 5, ssíntots: 7 e Eemplo 8: Encontre equção reduzid d hipérole 8 Determine s coordends do centro, dos focos e dos vértices d hipérole Determine s equções ds ssíntots e esoce o gráfico Respost:, Centro: C(-,), Vértices: (-,), (-,), Focos:, 5 Assíntots: =+ e =- Eemplo 9: Determine equção d hipérole cujos focos estão em (, ) e (, ) e cuj ecentricidde é Respost: CLASSIFICAÇÃO DE CÔNICAS ATRAVÉS DO DETERMINANTE O gráfico d equção A B C D E F é determindo pelo discriminnte d seguinte mneir: Elipse: B AC< Práol: B AC= Hipérole: B AC> List de Eercícios : Encontre todos os elementos de cd um ds seguintes hipéroles ) R: V (-,), V (-,-5), =(+)/5 e =(--)/5

45 ) R: e=5/, =±/+ c) R: C(8,-5), A (,-5), A (,-5),F (8,-5), F (-,-5), e=5/, =(-7)/, =(-+7)/ Encontre equção de cd hipérole especificd ) vértices em (,), focos em (6,) ) vértices em (,) e s equções ds ssíntots são (5 ) c) focos em (, ) e (7, ) e o comprimento do eio trnsverso é d) centro em (, ), um vértice em (, 8) e um foco em (, ) Determine equção d hipérole que tem vértices em, e que pss pelo ponto 5 Otenh s equções reduzids ds hipéroles de equção: ) ) 9 6 c) Associe cd gráfico su equção 9 6 ) ) 6 d) c) e) f), R: (), (), (d) 6 Clssifique cd um ds cônics io e encontre todos os seus elementos ) R: Práol ) R: Não é um lugr geométrico c) R: Hipérole 7 Resolv os eercícios ímpres de, pág do livro teto Aplicções ds cônics Direcione um lntern pr um prede, vej que o feie de luz emitido desenhrá ness prede um curv cônic Isto contece porque o feie de luz emitido pel lntern form um cone, e tmém porque prede funcion como um plno que cort o cone formdo Dependendo d inclinção d lntern reltivmente à prede, poderemos oter um circunferênci, um elipse, um práol ou um hipérole Tente relizr este eperimento! 5

46 Certos jures de ceceir, cuj cúpul é ert segundo um circunferênci, desenhm n prede um hipérole e no teto um elipse Este fto é utilizdo n áre d iluminção pr construção de jures, lnterns, etc O som emitido por um vião jto supersônico tem form de um cone, ssim o chocr-se com Terr irá formr um curv cônic Logo, dependendo d inclinção do vião reltivmente à Terr, podemos oter elipses, práols ou hipéroles A udiometri us este fto, entre outros, pr ser que distânci d Terr o vião pode ultrpssr velocidde do som Eistem comets que percorrem trjetóris hiperólics, os quis o pssrem perto de lgum plnet com grnde densidde, lterm su trjetóri pr outr hipérole com um foco situdo nesse plnet Como práol é um cso de equilírio entre elipse e hipérole (lemrem-se que ecentricidde d práol é igul um), proilidde de eistir lgum stélite com órit prólic é quse nul Ms isso não impede eistênci de stélites com est trjetóri Tmém s trjetóris dos projéteis, num miente so ção d forç d grvidde, são prólics Já no miente terrestre, onde eiste resistênci do r, esss trjetóris são elíptics, mis proprimente, rcos de elipses No entnto, por vezes, s diferençs entre s trjetóris elíptics e s prólics são quse imperceptíveis A lístic (ciênci que estud s trjetóris de projéteis) fz uso deste fto pr determinrem o locl d qued de um projétil Fzendo uso d propriedde refletor d práol, Arquimedes construiu espelhos prólicos, os quis por refletirem luz solr pr um só ponto, form usdos pr incendir os rcos romnos ns invsões de Sircus Lemre-se que concentrção de energi ger clor! 6

47 Semos que os rios de luz vindos do espço chegm à terr por feies prlelos e vimos nest semn que um espelho prólico direcion estes rios pr o seu foco Isto ger um prolem, pois pr oservr imgem formd no foco, o olho do oservdor teri que estr posiciondo sore ele, o que n prátic se torn impossível, pois o mesmo funcionri como um rreir pr os rios luminosos A solução dd este prolem por Isc Newton foi posicionr um espelho plno entre superfície prólic côncv e o foco, de tl form que os rios fossem direciondos pr for d prte intern do espelho Por outro ldo, invenção de Newton gerou um prolem similr, pois, pr que convergênci do foco lterntivo ficsse for do cilindro telescópico dimensão deste espelho deveri ser em considerável, loquendo grnde prte dos rios incidentes prejudicndo destrte formção d imgem, oserve ilustrção seguir A solução pr este prolem foi dd em 67 pelo strônomo frncês Cssegrin utilizndo um espelho hiperólico, figur io ilustr propriedde ds hipéroles 7

48 Com ess ssocição de espelhos fleiilidde d montgem ficou em mior e s possiiliddes de vrição ds distâncis entre os focos e d distânci do foco d práol o espelho tmém Isto fz com que o telescópio se juste perfeitmente à necessidde ds oservções Hoje os telescópios modernos como os rdiotelescópios utilizm-se dest tecnologi, que levou um século pr serem implementds desde su idelizção Neste teto pudemos verificr que s proprieddes refletors ds cônics têm contriuído pr construção de telescópios, ntens, rdres, fróis, lnterns, etc Fonte: Foi prtir d propriedde refletor ds práols que os engenheiros civis construírm pontes de suspensão prólic Se imginrmos os cos que prendem o tuleiro d ponte como rios de luz, fcilmente verificmos que o co principl, quele que pss pelos pilres d ponte, tem form de um práol Outr plicção dests curvs estudds por Apolônio é o sistem de loclizção de rcos denomindo por LORAN (LOng RAnge Nvigtion), que fz uso ds hipéroles confocis, onde os 8

49 rdres estão nos focos A idei é sed n diferenç de tempo de recepção dos sinis emitidos simultnemente pelos dois pres de rdres, sendo um dos rdres comum os dois pres O mp ssim construído present curvs hiperólics Est técnic foi usd n II Guerr Mundil, pr detectr rcos jponeses List de Eercícios : Eercícios de revisão Associe cd gráfico su equção 5 ) ) 5 ) ) 5) 6) Respost: 6,, Clssifique cd um ds cônics io Otenh su equção reduzid e determine todos os seus elementos ) 7 d) ) e) c) Determine equção reduzid de um práol cujo vértice é (,) e equção de su diretriz é dd pel equção = Esoce práol e encontre s coordends de seu foco Determine equção reduzid de um hipérole cujos vértices são (,) e (, ) e os focos (, 5) e (,5) Esoce hipérole e encontre s equções de sus ssíntots 5 Determine equção de um elipse centrd n origem com ecentricidde e e semi-eio mior 6 6 Considere no plno elipse de focos F= (,) e F=(,) e de semi-eio menor igul ) Clcule o outro semi-eio d elipse ) Determine intersecção d elipse com ret de equção = 7 Determine distânci focl e ecentricidde de um hipérole com eio rel 8cm e eio imginário 6cm 9

50 8 A ecentricidde de um hipérole centrd n origem é e e distânci focl vle Determine equção dest hipérole 9 Mrque com um X lterntiv corret ) A equção d elipse que tem focos nos pontos (,) e (,) e contém o ponto,5 é: ) d) e) ) A equção d ret que pss pel origem e pelo vértice d práol é: ) d) ) e) c) 96 INTRODUÇÃO ÀS SUPERFÍCIES QUÁDRICAS A prtir d equção gerl do º gru ns três vriáveis, e z, cz d ez fz m n pz q é possível representr um superfície quádric Além disso, se superfície dd pel equção cim for cortd pelos plnos coordendos ou por plnos prlelos eles, curv de interseção será um cônic A interseção de um superfície com um plno é chmd trço d superfície no plno Assim, por eemplo, o trço d superfície quádric no plno z = é cônic d m n q contid no plno O, podendo representr um elipse, um hipérole ou um práol visto que sus equções geris são desse tipo A redução d equção gerl ds quádrics s sus forms mis simples eige cálculos trlhosos, o que não será nosso ojetivo Enftizremos o estudo ds quádrics representds por equções cnônics, s quis estão intimmente relcionds às forms reduzids ds cônics 97 SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO Um superfície de revolução é superfície gerd por um curv pln (chmd gertriz) que gir 6º em torno de um ret (denomind eio) situd no plno d curv Dest form, o trço d superfície num plno perpendiculr o eio é um circunferênci e equção d superfície de revolução é otid trvés d equção d gertriz z Eemplo : Sej superfície gerd pel revolução d práol em torno do eio dos, oserve figur io: 5

51 Considere P (,, z) um ponto qulquer d superfície e C (,,) o centro d circunferênci que é o trço d superfície no plno que pss por P e é perpendiculr o eio dos (eio de revolução) A interseção dest circunferênci com práol é o ponto Q (,, z) Sej R o pé d perpendiculr trçd de P o plno Aind, CP = CQ = r, por serem rios d mesm circunferênci Como o triângulo CRP é retângulo em R, vem CP ( CR) ( RP) z Ms, CQ z, pois Q é ponto d práol Portnto, z ou z, que é equção dest superfície Notemos que equção z contid no eemplo cim pode ser otid imeditmente o sustituirmos z por z, n equção z (gertriz) Este método será utilizdo pr todos os csos de superfície de revolução Então, se gertriz estiver contid num dos plnos coordendos e girr 6º em torno de um dos eios desse plno, equção d superfície ssim gerd será otid d seguinte mneir: ) Se curv gir em torno do eio dos, sustitui-se ou z n equção d curv por z ; ) Se curv gir em torno do eio dos, sustitui-se ou z n equção d curv por z ; c) Se curv gir em torno do eio dos z, sustitui-se ou n equção d curv por ; Oservção: Qundo d sustituição de z por z n equção z pr resultr z, considerou-se z Pr se ter superfície complet devemos sustituir z por z, o que não vi lterr em nd equção z oservção vle pr s outrs sustituições cim descrits d superfície A mesm Agor, pssremos estudr s superfícies quádrics denominds elipsóides, hiperolóides e prolóides 98 ELIPSÓIDES 5

52 z Consideremos no plno z elipse de equções, Vej figur io: c Ao girrmos ess elipse em torno do eio O, otemos o elipsóide de revolução (conforme imgem seguir), cuj equção será otid d equção d elipse, sustituindo-se z por z z z : ou c c c De mneir nálog se otém o elipsóide de revolução em torno de Oz Neste cso su z equção é otid d equção d elipse, sustituindo-se por : c De um mneir mis gerl, o elipsóide (figur o ldo) é z representdo pel equção, onde, e c são reis c positivos e representm s medids dos semi-eios do elipsóide Oservemos ind que os pontos (,,), (,,) e z (,, c) são soluções d equção, chmd form c cnônic do elipsóide O trço no plno é elipse, z e os trços nos plnos z e z são s z z elipses, e,, respectivmente c c Oservemos tmém que s intersecções do elipsoide com plnos = k, = k ou z = k (k = constnte), resultm num elipse, num ponto ou no conjunto vzio z z No cso de = = c, equção tom form ou c z e represent um superfície esféric de centro C (,,) e rio Notemos que est superfície tmém é de revolução e otid pel revolução de um circunferênci em torno de um de seus diâmetros 5

53 Se o centro do elipsoide é o ponto ( h, k,) e seus eios forem prlelos os eios z ( h) ( k) ( z ) coordendos, equção ssume form otid c c por um trnslção de eios Eemplo : Dd equção d superfície esféric z 6, determine o centro e o rio Solução: Começmos escrevendo equção n form ( 6) ( ) z e completmos os qudrdos ( 6 9) ( ) z 9 não esquecendo de somr 9 e o segundo memro pr equilirr som feit o primeiro memro Logo, equção torn-se: ( ) ( ) ( z ) 5 E, portnto, C (,, ) e r = 5 99 HIPERBOLÓIDES io: z Consideremos no plno z hipérole de equções,, conforme figur c eios Oteremos os hiperolóides de revolução o efeturmos rotções em torno de um de seus 99 Hiperolóides de um Folh A rotção d hipérole, presentd n figur cim, em torno do eio Oz result no hiperolóide de um folh (figur io), cuj equção será otid d equção d hipérole z z sustituindo-se por : ou c c 5

54 5 Generlizndo, um hiperolóide de um folh é representdo pel equção c z chmd form cnônic do hiperolóide de um folh o longo do eio Oz As outrs dus forms são c z e c z, que representm hiperolóides de um folh o longo dos eios O e O, respectivmente Atrvés d equção c z vemos que o trço do hiperolóide no plno é elipse, z e os trços nos plnos z e z são s hipéroles, c z e, c z, respectivmente Um trço no plno z = k é um elipse que ument de tmnho à medid que o plno se fst do plno Os trços nos plnos = k e = k são hipéroles Oservção: É importnte frisr que, pesr d imgem mostrr um hiperolóide limitdo o longo do eio Oz, ess figur se prolong indefinidmente o longo desse eio ( menos que se restrinj z um intervlo limitdo) Estenderemos est oservção pr tods s superfícies que serão ind estudds 99 Hiperolóides de dus Folhs A rotção d hipérole que foi presentd no item 99 em torno do eio O result no hiperolóide de dus folhs (figur io), cuj equção será otid d equção dess hipérole sustituindo-se z por z : c z ou c z c

55 De form mis gerl, um hiperolóide de dus folhs é representdo pel equção z chmd form cnônic do hiperolóide de dus folhs o longo do eio O c z z As outrs dus forms são e, e representm hiperolóides de c c dus folhs o longo dos eios O e Oz, respectivmente Oservemos ind que os trços desses hiperolóides nos plnos = k, = k ou z = k (k = constnte), resultm em hipéroles, elipses, um ponto ou o conjunto vzio RESUMO z As equções dos elipsóides e hiperolóides podem ser reunids em c conforme os sinis dos termos do º memro, presentdos nest ordem, temos o seguinte qudro: e 9 PARABOLÓIDES 9 Prolóide Elíptico Consideremos no plno z práol de equções z,, conforme mostr figur io: A rotção dess práol em torno do eio Oz result no prolóide de revolução (fig à direit), cuj equção será otid d práol, sustituindo-se por : z Já um prolóide mis gerl, denomindo prolóide elíptico, é representdo pel equção n form cnônic z 55