UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Instituto de Geociências e Ciências Exatas Campus de Rio Claro

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1 i UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Instituto e Geociências e Ciências Exatas Campus e Rio Clao ESTUDO DE MULTIREFRINGÊNCIA NA DINÂMICA DE UM FEIXE DE LUZ CONSIDERANDO O BILHAR ANULAR Fábio Alessano Oliveia a Silva Dissetação e Mestao apetaa ao Instituto e Geociências e Ciências Exatas o Câmpus e Rio Clao, a Univesiae Estaual Paulista Júlio e Mesquita Filho, como pate os equisitos paa obtenção o título e Meste em Física Aplicaa. Oientao: Pof. D. Ricao Egyio e Cavalho Rio Clao SP

2 ii Fábio Alessano Oliveia a Silva ESTUDO DE MULTIREFRINGÊNCIA NA DINÂMICA DE UM FEIXE DE LUZ CONSIDERANDO O BILHAR ANULAR Dissetação e Mestao apetaa ao Instituto e Geociências e Ciências Exatas o Câmpus e Rio Clao, a Univesiae Estaual Paulista Júlio e Mesquita Filho, como pate os equisitos paa obtenção o título e Meste em Física Aplicaa. Comissão Examinaoa Pof. D. Ricao Egyio e Cavalho Pof. D. Denis Gouvêa Laeia Pof. D. Emanuel Fenanes e Lima Rio Clao, SP e feveeio e Resultao: APROVADO

3 A toos que contibuíam paa que eu chegasse até aqui. iii

4 iv Agaecimentos À CAPES, pelo auxílio financeio; Ao Pof. D. Ricao Egyio e Cavalho pela oientação e sugestões; Agaeço a toos, que e alguma foma, ieta ou inieta, contibuíam e possibilitaam à conclusão este tabalho.

5 v Resumo Neste tabalho estuamos os efeitos e multiefingência e excenticiaes, em tês egiões ciculaes no bilha anula, na inâmica e um feixe e luz monocomática. Este estuo envolveu, inicialmente, efinições a Lei e Snell- Descates, conceitos e espaço e fase, pontos fixos, caos e essonâncias paa um melho entenimento as emonstações as equações inâmicas e os esultaos e conclusões as simulações computacionais. Também efinimos o que é um bilha anula com ois cículos e, com os estuos esse sistema inâmico, investigamos como seia a inâmica e um feixe e luz monocomática com mais um cículo inteno com ínice e efação. Este bilha com tês egiões ciculaes foneceu um conjunto gane e combinações e paâmetos uma vez que temos neste tipo e bilha ois aios, ois ínices e efação e uas excenticiaes uma vez que, no cículo mais exteno, eixamos fixos esses paâmetos e, com isso, fazeno simulações com combinações e alguns esses paâmetos, obtivemos alguns esultaos que estão e acoo com o caso o bilha anula com ois cículos excênticos, como po exemplo, muança na topologia quano se vaiam os ínices e efação e contole na intensiae o ma e caos quano se vaiam as excenticiaes. Palava-Chave Sistemas inâmicos, multiefingência, caos, bilha, essonância isócona.

6 vi Abstact In this wok we stuy the effects of multiefingence an eccenticity in the ynamic of a monochomatic light ay consieing thee cicula egions in the annula billia. This stuy involve initially, efinitions of the Law of Snell-Descates, concepts of phase space, fixe points, chaos an esonances fo a bette unestaning of the ynamic equations an statements of esults an finings of compute simulations. We also efine what is an annula billia with two cicles an with stuies of this ynamic system we investigate how the ynamics woul be a beam of monochomatic light ay ove an inne cicle with inex of efaction. This billia with thee cicula egions, povie a lage set of paamete combinations since we have this type of billia, two aii, two inices of efaction an two eccenticities as in the oute cicle, we fixe these paametes an with so oing simulations with some combinations of these paametes, we obtaine some esults accoing to the case of the annula billia with two eccentic cicles, such as the topology change when the inices of efaction vay an contol the intensity of e sea chaos when the eccenticities vay. Key wos Dynamic systems, multiefigence, chaos, billias, isochonous esonances.

7 vii SUMÁRIO ÍNDICE DE FIGURAS viii INTRODUÇÃO BILHAR ANULAR BILHAR ANULAR COM TRÊS CÍRCULOS EXCÊNTRICOS RESULTADOS Vaiação o aio o º e º cículos Vaiação o º ou º ínices e efação Vaiação as excenticiaes os cículos intenos CONCLUSÃO APÊNDICE A. Pova a pimeia conição e tangência A. Pova as equações paa o caso em que a pimeia conição e tangência é satisfeita A. Pova a seguna conição e tangência REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

8 viii ÍNDICE DE FIGURAS Figua Visualização geomética e um feixe e luz sofeno efação e seus espectivos ângulos e inciência e efação... Figua Visualização os ângulos que eteminam à inâmica as inteações o feixe e luz monocomática com o bilha anula... 7 Figua Feixe luminoso atinge o cículo exteno e eflete novamente no mesmo... 8 Figua 4 Feixe luminoso atinge o cículo exteno e sofe efação no cículo meno... 9 Figua 5 Bilha com tês cículos excênticos. Tal sistema seá o ambiente one faemos o estuo as tajetóias o feixe luminoso... Figua 6 Situação em que o feixe luminoso sofe apenas eflexões no pimeio cículo... Figua 7 Situação em que o feixe luminoso sofe efação com o seguno cículo... 4 Figua 8 Situação em que o feixe luminoso sofe efação com o seguno e teceio cículo... 4

9 ix Figua 9 Visualização geomética a elação ente e no bilha com tês cículos excêntico... 6 Figua Efeito a vaiação o seguno aio no bilha anula com tês cículos excênticos figuas e a à f... Figua Efeito a vaiação o teceio aio no bilha anula com tês cículos excênticos. Como no caso a vaiação o seguno, ocoência e bifucações, caos e pontos elípticos figuas e a à... Figua Sobeposições e caeias e ilhas poem se vistas nesta simulação, vaiano apenas o ínice e efação o seguno cículo figuas e a à e... 5 Figua Sugimento e sobeposições e caeias e ilhas com a vaiação o teceio ínice e efação no teceio cículo figuas e c à... 6 Figua 4 Espaços e fase com a excenticiae o seguno cículo vaiano. Vaiação a intensiae o ma e caos e bifucações e pontos elípticos sobe o ma e caos figuas e a à f... 8 Figua 5 Vaiação a intensiae o ma e caos e essonâncias isóconas com a muança a excenticiae o teceio cículo figuas e a à f Figua A. Repetação geomética paa a emonstação a pimeia conição e tangência... 4 Figua A. Repetação geomética paa a emonstação as equações inâmicas no caso em que a pimeia conição e tangência é satisfeita... 45

10 x Figua A. Ilustação paa o acompanhamento a emonstação a conição e tangência ente o seguno e teceio cículos Figua A.4 Situação em que o feixe não passa pelo teceio cículo, sofeno efação Figua A.5 Figua ilustativa paa a emonstação as equações inâmicas no caso em o feixe luminoso passa pelo teceio cículo, sofeno efação... 54

11 Capítulo Intoução Em 6, o matemático e físico holanês Villebo Snell e inepenentemente, o filósofo e matemático René Descates , popuseam uma lei em que elaciona a efação e uma ona com o meio ao qual ela peneta. Essa lei foi enominaa e Snell-Descates e elaciona os ínices e efação, n e n, a azão as velociaes, v e v, e popagação a ona luminosa em ois meios atavés a expessão n, v / v. Assim, a lei mencionaa se esume e acoo com a seguinte equação: n. i n., one : n : ínice e efação o meio ; n : ínice e efação o meio ; i: ângulo e inciência; : ângulo e efação.

12 Abaixo segue a visualização geomética e um aio que sofe efação. A eta paalela ao eixo y e pepenicula à supefície que ivie os meios e, enominase nomal. y Meio i x Meio Figua Visualização geomética e um aio e luz sofeno efação e seus espectivos ângulos e inciência e efação. A Lei e Snell-Descates é útil paa aplicações em váios poblemas e ivesas áeas, como a astonomia, a pópia óptica, etc., poém, pela sua paticulaiae e a os pópios moelos, os sistemas e equações esultantes são não-lineaes e é extemamente ifícil esolvê-los analiticamente. Da classe essas equações esie uma caacteística que no século XVII aina não se pecebia e foma claa e tal peculiaiae se efeia naquilo que conheceíamos mais tae como movimento caótico.

13 A existência esse movimento foi obsevaa po Heny Poincaé no final o século XIX no famoso poblema e tês copos [] que, posteiomente, foi fotalecio pelas contibuições e G. D. Bikhoff à teoia egóica e funamentos a mecânica estatística []. Nota-se, poém, que os tabalhos evolvios paa sistemas inâmicos pemaneceam isolaos até meaos o século XX, evio à ificulae o tatamento analítico as equações não-lineaes. Foi a pati e 97, evio ao evolvimento e computaoes, que o movimento caótico foi estabelecio como uma popieae geal e sistemas inâmicos nãolineaes e caacteizao pela sibiliae que as tajetóias possuem às ligeias moificações asconições iniciais, ou seja: tajetóias póximas ivegem uma as outas, exponencialmente, no tempo. Apesa os impotantes esultaos obtios ente o tabalho e Poincaé e a invenções os computaoes, a possibiliae e se investiga fenômenos não-lineaes po meio e métoos numéicos extaoinaiamente ápios evela-se, a caa tabalho, um campo fascinante. Estuos e eflexão e efação são impotantes em aplicações tecnológicas e mateiais que possuem caacteísticas e efletiviae e efingência, e esses estuos sevem paa o apimoamento ou evolvimento e novas técnicas em áeas, como a engenhaia óptica; isto poe se consieao como uma as motivações paa este tabalho, usano bilhaes. No capítulo, seá apetao o conceito e bilha anula e a apetação e comentáio as equações inâmicas, consieano o caso em que o bilha anula possui ois cículos excênticos. No capítulo, seá uma extensão as ieias o capítulo anteio, one seá apetao o bilha anula com tês cículos excênticos e as equações inâmicas encontaas. Poe-se consiea esse capítulo como a outa motivação, igamos, a mais impotante paa esse tabalho, com objetivo e estua a extensão o bilha anula com ois cículos excênticos, acescentano mais um cículo e, com isso, obte esultaos. No capítulo 4, seão expostos os esultaos oa encontaos com seus espectivos comentáios. A conclusão seá baseaa nos esultaos expostos no capítulo 4.

14 4 No final seá apetao um apênice com as emonstações as equações expostas nos capítulos e. Abaixo, efiniemos alguns conceitos que seão esciais paa uma melho compeensão os esultaos e conclusões. Tais conceitos foam baseaos nas efeências [], [4], [5] e [6]. Definição.: No fomalismo Hamiltoniano as cooenaas q i e momentos p i são tataos como vaiáveis inepenentes. O númeo e cooenaas n, que é sempe igual ao númeo e momentos conjugaos é o númeo e gaus e libeae o n sistema. O espaço vetoial I, e imensão n fomao pelas cooenaas e momentos é enominao espaço e fases. Definição.: Dizemos que fx n x n, n Ν é uma aplicação iteaa. Definição.: Um ponto c num espaço e fase no qual fc c enomina-se ponto fixo e uma aplicação iteaa f. Definição.4: Um ponto fixo c estaá ataino, se x c < δ. δ > : limx t c sempe que t Definição:.5: Dizemos que um ponto fixo c seá estável Liapunov, se ε >, δ > : x t c < ε sempe que t e x c < δ. Definição.6: Um ponto fixo c seá assimptoticamente estável, se ele estive ataino e se fo estável Liapunov.

15 5 Definição.7: Um ponto fixo c num espaço e fase seá estável, se uma sequência e pontos x, x, x,..., apoxima-se ele. Caso contáio, ele seá um ponto fixo instável. Senão, ele seá assimptoticamente estável. Definição.8: Pontos fixos cujas tajetóias fechaas em tono eles são elipses num espaço e fase são enominaos pontos elípticos. Caso a tajetóias em tono eles sejam hipéboles, eles seão enominaos pontos hipebólicos. Definição.9: Uma bifucação num espaço e fase é uma muança na estabiliae e um ponto fixo, evia a uma alteação e um paâmeto o sistema. Definição.: Um sistema inâmico seá eteminístico, se não tive aleatoieae ou entaas ou paâmetos uiosos. O compotamento iegula suge a não-lineaiae o sistema um tanto que foças motizes uiosas. Definição.: Caos em um sistema eteminístico é um compotamento nãopeióico e longo temo que exibe epenência sitiva as conições iniciais. Nos espaços e fase apetaos aqui, os temos caos e ma e caos seão sinônimos e significaão as egiões escuas nesses. Definição.: Num sistema inâmico egiões no espaço e fase que exibem compotamento egula, sem a peça e caos, são enominaas egiões localmente egulaes ou integáveis. Às vezes estas egiões localmente apaecem sobe o ma e caos como ilhas ou como tajetóias abetas ou fechaas. Definição.: Daas caeias e ilhas em egiões integáveis, izemos que houve uma sobeposição econexão ou ovelap ente elas no espaço e fase se, uante a vaiação e paâmetos e um sistema inâmico, ocoe uma inteação ente elas.

16 6 Capítulo Bilha anula No estuo apetao aqui, focalizaemos o bilha anula com ois cículos excênticos. O bilha é um sistema com ois gaus e libeae, que em cooenaas catesianas, o seu estao fica totalmente caacteizao pelas cooenaas e posição y x, e e momentum p p,. Seno o espaço e fase um conjunto e x y cooenaas associao às vaiáveis que escevem a inâmica o sistema físico estuao, logo ele possuiá quato imensões. No caso estuao aqui, estamos consieano um feixe luminoso que é efletio numa egião mais extena o sistema, e sofe efações nas egiões mais intenas o mesmo. Poém, como a tajetóia o feixe só se altea pelas eflexões ou efações nas fonteias o sistema, poemos esceve apenas uas vaiáveis: uma elacionaa à fonteia e que localiza a posição e uma eflexão ou efação com uma oigem especificaa, e outa que fonece a ieção o movimento. Em geal, uma vaiável escolhia é o ângulo e saía a tajetóia o feixe em elação à eta nomal à cuva a fonteia, confome ilustao na figua, e a outa vaiável, é o ângulo, fomao com o eixo as abcissas e a nomal o cículo coesponente. O estuo os bilhaes é e inteesse em muitos aspectos:

17 7 i eles são, ente os sistemas físicos Hamiltonianos, confome [5], os mais estuaos a pati o ponto e vista matemático; ii possuem uma gane iqueza e compotamentos. iii a supefície e enegia os bilhaes é tiimensional poção acessível o espaço e fases paa uma aa enegia E, ou seja, a supefície e enegia S E é uma supefície tiimensional limitaa, que é a meno necessáia paa obseva um movimento caótico paa sistemas inepenentes o tempo. Daa uma conição inicial ientificaa pelo pa,, o poblema consiste em enconta a sequência e paes n, n que epeta a óbita o feixe no bilha. y o o x Figua Visualização os ângulos que eteminam a inâmica as inteações o feixe e luz monocomática com o bilha anula.

18 8 De foma semelhante à [7], tomano-se um bilha anula com o cículo inteno e aio meno o que o aio o exteno e excêntico ao mesmo, vemos pelas figuas e 4 que, em caa iteação, existião, espectivamente, uas situações a seem levaas em consieação paa o estuo o espaço e fase: se o feixe sofe eflexão ao atingi o cículo maio sem atingi o cículo meno, ou eflexão no cículo maio, seguio e efação no cículo meno. Abaixo estão as uas situações epetaas atavés e figuas. y P P O O x Figua Feixe luminoso atinge o cículo exteno e eflete novamente no mesmo.

19 9 y o o x Figua 4 Feixe luminoso atinge o cículo exteno e sofe efação no cículo meno. Tais situações epeneão a inequação abaixo, se seá ou não satisfeita. Ela é enominaa, conição e tangência: R >, one e : conições iniciais fonecias; : excenticiae ente os ois cículos; R: aio o cículo exteno; : aio o cículo inteno.

20 Paa caa iteação, se tal conição não fo satisfeita, o mapeamento é escito pelas equações abaixo: Caso contáio, o mapeamento é escito e acoo com as equações abaixo: / / ac n ac ac one: n : ínice e efação o seguno cículo ; e : são os ângulos e inciência e efação, espectivamente, que fomam com a nomal o cículo inteno. A conição e tangência sai natualmente a equação e apetaa no sistema e equações acima como é veificaa, na sua emonstação, no apênice, no final esse tabalho.

21 Paa o esboço o espaço e fase são feitas, inicialmente, tansfomações sobe a sequência os paes n, n encontaos pelos mapeamentos escitos acima pelas expessões: L S / com: L e S S > Nos gáficos apetaos no capítulo 4, no eixo os valoes e S, one,45, coesponem a linhas etas. Po isso que nas simulações computacionais feitas nesses espaços e fase, estingimos seus esboços em,45 S,45, pois as egiões excluías apetam as mesmas configuações linhas etas em toas as simulações, tonano-se ielevantes paa o estuo. Nesse tabalho, paa evita confusões, chamaemos a conição e tangência ente o pimeio e seguno cículo e pimeia conição e tangência. A segui, apetaemos o bilha anula constituío e tês cículos excênticos e a inâmica o feixe e luz monocomática no seu inteio, bem como as equações que a egem.

22 Capítulo Bilha com tês cículos excênticos Nesta seção, apetaemos o bilha que é constituío po tês cículos excênticos, bem como as equações que escevem a inâmica o feixe e luz neste sistema. Este é uma extensão o anteio, que foi estuao po Ricao [8]. Na figua 5, temos uma ilustação e tal sistema, one caa cículo possui ínice e efação ajustável. Paa o cículo mais exteno, assumimos que ele seja igual a. y o o o x Figua 5 Bilha com tês cículos excênticos. Tal sistema seá o ambiente one faemos o estuo as tajetóias o feixe luminoso.

23 O feixe luminoso, a mesma foma como no bilha anula o início o tabalho, sofeá eflexões e efações ento esse sistema. Além e consiea a conição e tangência ente o pimeio e o seguno cículo, também haveá uma conição e tangência ente o seguno e o teceio cículo. Nas figuas 6, 7 e 8, paa caa iteação, estão as possíveis eflexões e efações que o feixe sofeá. y o o o x Figua 6 Situação em que o feixe luminoso sofe apenas eflexões no pimeio cículo.

24 4 y o o o x Figua 7 Situação em que o feixe luminoso sofe efação apenas com o seguno cículo. y o o o x Figua 8 Situação em que o feixe luminoso sofe efação com o seguno e teceio cículo.

25 5 Paa obtemos as tajetóias feitas pelo feixe luminoso nas figuas 6, 7 e 8, foi suposto, a fim e se tona fácil a visualização elas e paa a emonstação as equações inâmicas, que os ínices e efação o pimeio, seguno e teceio cículo, obeeciam as seguintes esigualaes: n < n n. Denominamos, neste sistema, o aio o cículo exteio, aios o seguno e teceio cículo, espectivamente, po R, e, one sempe está o suposto que < e. As istâncias ente os centos O e O e os centos O e O excenticiaes, enominamos, espectivamente, e. Apesa e, e, poeem assumi valoes ifeentes, eles seão limitaos pelos seguintes vínculos apetaos logo abaixo:. Resolveno o sistema e inequações. temos também que. Pela figua 9, vemos que poemos enconta uma elação algébica ente e one -, o um incemento. Ela seá muito impotante, pois, numeicamente, seve como um auxílio no contole a istância o teceio cículo ento o seguno.

26 6 y o o o x - Figua 9 Visualização geomética a elação ente e no bilha tiplo excêntico. A inequação. é a seguna conição e tangência, necessáia paa o seguno e teceio cículo. Ela está emonstaa no anexo ao final esse tabalho. Seguna conição e tangência: >.

27 7 Se. fo satisfeita, o feixe não atingiá o teceio cículo. As equações encontaas foam: one: actg / cos Está emonstao no anexo no final esse tabalho que as equações nesta situação, combinaas e foma aequaa, se esumem, na situação o bilha anula com ois cículos excênticos, em que a pimeia conição e tangência é satisfeita, paa caa iteação. Caso. não seja satisfeita, o feixe atingiá o teceio cículo e sofeá efação nele e teemos então outas equações inâmicas, a sabe:

28 8 4 o que: / cos / / / cos / / / ν ν ν ν ζ ζ ζ ζ ζ ρ ζ ρ ρ ρ ν ν ν ac actg u u n ac u P O ac u u P O u u actg u u n n ac ac

29 9 one e são as mesmas equações apetaas no caso o bilha anula anteio e, e, as apetaas no caso anteio. No apênice, no final esse tabalho, apetamos as emonstações evias paa as fómulas explicitaas na situação em que a seguna conição e tangência não é satisfeita.

30 Capítulo 4 Resultaos Nesta seção, apetaemos os esultaos encontaos nas simulações computacionais feitas com as equações pocuaas paa o bilha com tês cículos não-concênticos. Esse capítulo faá subivisões paa caa caso estuao, levano em consieação, os paâmetos neste tipo e bilha. Toas as figuas mostaas aqui foam feitas levano em consieação no bilha em questão, o aio e o ínice e efação o ciculo mais exteno e valo unitáio, aio e excenticiae o seguno ciculo e, espectivamente e aio e excenticiae o teceio ciculo e, espectivamente. Nas simulações computacionais que geaam as figuas, foam usaas 75 conições iniciais e, o númeo e iteações Vaiação o aio o º ou º cículos. Nesta simulação, tanto vaiano apenas um como outo aio e eixano os outos paâmetos fixos, ocoem no espaço e fase bifucações, caos, essonâncias, pontos fixos, etc. Nas figuas e a à f, vaiamos e eixamos fixos.4, n.6, n.6,. e.7.

31 a a b c

32 e f Figua Efeito a vaiação o seguno aio no bilha anula com tês cículos excênticos figuas e a à f. Vemos nos pimeios gáficos figuas a e c, que no ponto fixo., ocoe uma bifucação. Também é visto, em toas as figuas, egiões com caos acima e abaixo as egiões integáveis, bem como pequenas ilhas nesses maes e caos. Com espeito a muança e e fixos os mesmos paâmetos o caso anteio apetamos algumas simulações em que também é possível veifica bifucações, no ponto fixo., egiões caóticas e pontos elípticos nessas egiões. Em tais casos,.46:

33 a b c Figua Efeito a vaiação o teceio aio no bilha anula com tês cículos excênticos. Como no caso a vaiação o seguno, ocoência e bifucações, caos e pontos elípticos figuas e a à.

34 Vaiação o º ou º ínices e efação. Nas simulações a segui, foam feitas simulações vaiao apenas um os ínices e efação e eixano fixos os outos paâmetos. Abaixo, vaiamos, inicialmente, n e fixamos n,55,,49,,5,,5 e,55. a b c

35 5 e Figua Sobeposições e caeias e ilhas poem se vistas nesta simulação, vaiano apenas o ínice e efação o seguno cículo figuas e a à e. Abaixo, mais simulações, agoa vaiano apenas o ínice e efação o teceio cículo e manteno os mesmos paâmetos na o caso anteio, one n. a b

36 6 c e Figua Sugimento e sobeposições e caeias e ilhas com a vaiação o teceio ínice e efação no teceio cículo figuas e c à.

37 7 Tanto no caso em que vaiamos n como n, ocoem ovelaps e tês caeias e ilhas nos espectivos espaços e fase. Também poemos ve pontos hipebólicos em toas as figuas se nos atentamos, nas egiões integáveis, os pontos que estão no cento e sobe as ilhas e ente elas Vaiação as excenticiaes os cículos intenos. No caso analisao aqui, one foam feitas simulações com as excenticiaes, pecebe-se que vaiano tanto uma como outa excenticiae, ocoem muanças na intensiae o ma e caos. Na figua 4, mostaemos inicialmente o caso em que vaiamos e fixamos os outos paâmetos nos seguintes valoes: n.5, n.65,.48,.5 e.7. a b

38 8 c e f Figua 4 Espaços e fase com a excenticiae o seguno cículo vaiano. Vaiação a intensiae o ma e caos e bifucações e pontos elípticos sobe o ma e caos figuas e a à f.

39 9 Na figua 5, vaiamos e usamos os mesmos valoes fixaos o caso anteio, com.. a b c

40 4 e f Figua 5 Vaiação a intensiae o ma e caos e essonâncias isóconas com a muança a excenticiae o teceio cículo figuas e a à f.

41 4 Capítulo 5 Conclusão No bilha anula com tês cículos excênticos, além os estuos com os ínices e efação e excenticiaes, foi acescentao também um estuo com os aios os cículos intenos e poe-se obseva que eles acescentaam esultaos, uma vez que em [8], não faz tal estuo. No estuo os ínices e efação e as excenticiaes, vimos que tais paâmetos apenas alteam a topologia as egiões integáveis e contola a intensiae o ma e caos, espectivamente, e estes esultaos também poem se vistos no caso o bilha anula com apenas um cículo inteno estuao po [8]. Potanto, concluímos que os esultaos obtios pela vaiação os ínices e efação e excenticiaes usano o bilha anula constituío po tês cículos excênticos, são os mesmos encontaos no bilha anula com apenas um ciculo inteno.

42 4 Apênice Apetaemos aqui as emonstações as fómulas que possibilitaam o evolvimento o pogama paa o estuo o bilha anula com tês cículos excênticos. Inicialmente, mostaemos como foam obtias a pimeia conição e tangência e as equações a situação em que ela não é satisfeita. Depois, apetaemos como foi obtia a esigualae que etata a seguna conição e tangência, conição essa muito impotante paa impo uas situações possíveis: se o feixe luminoso não enta no teceio cículo, ou sim, caso em que ele enta no teceio cículo, sofeno efação. Ficaá clao também, usano as fómulas a situação na qual a seguna conição e tangência não é satisfeita, elas geam as equações a situação em que a pimeia conição e tangência é satisfeita. A. - Pova a pimeia conição e tangência. Usaemos a seguinte figua abaixo paa uma melho compeensão esta emonstação.

43 4 y P P P o o x Figua A. Repetação geomética paa a emonstação a pimeia conição e tangência. Po ângulos opostos pelo vétice, aina que m P OP, ρ ρ ρ. Consieano o Δ P OP po causa a eflexão e então,, temos Pelo Δ P O P, usano a Lei os os, temos que: O P O P

44 44 Po outo lao, OP O P e usano a mesma Lei paa o Δ P OP, temos que: O P OP OP Substituino em segue que: Logo, a esigualae que consiste a pimeia conição e tangência se obtém analisano, em valo absoluto, a equação, o que. Potanto:, one R > R é o aio o cículo exteno. Também pela última equação é possível obte o valo e a seguinte foma: ac

45 45 A. - Pova as equações paa o caso em que a pimeia conição e tangência é satisfeita. Usaemos a figua A. paa fica mais clao o acompanhamento a emonstação: P P o o Figua A. Repetação geomética paa a emonstação as equações inâmicas no caso em que a pimeia conição e tangência é satisfeita.

46 46 Po causa a eflexão, e como o P OP m OP P. Logo Δ é isósceles, então e temos, potanto, paa caa iteação, quano a pimeia conição é satisfeita, as equações pocuaas: A. Pova a seguna conição e tangência. Agoa mostaemos e one sugiu a esigualae que impõe, a caa iteação, se o feixe e luz sofe ou não efação no teceio cículo. A figua A. seviá e acompanhamento paa pová-la.

47 47 y PO P P P o" o o x Figua A. Ilustação paa o acompanhamento a emonstação a conição e tangência ente o seguno e teceio cículos. De acoo com a figua A., temos que, po ângulos opostos pelo vétice, m O " P, então pela Lei os os no P O"P P Δ : O" P O" P 4 Como O P O P substituino-a em 4, temos que: "

48 48 ] [ O P O P Pela Lei os os no Δ P O P segue que: P O P O 5 Substituino 5 em 4, temos: 6 Potanto, a conição a tangência ente o º e º cículos seá: > Po meio e 6, poemos também acha a meia o ângulo. Vejamos:

49 49 ac Povaa a seguna conição e tangência, iemos, a pati e agoa, pova as equações inâmicas paa este caso. A figua A.4 aá o supote evio paa a compeensão a emonstação o caso em que a efeia conição é satisfeita, isto é, quano: > x y o o o P P P P P" Figua A.4 Situação em que o feixe não passa pelo teceio cículo, sofeno efação.

50 5 Temos que pois o feixe apenas está sofeno eflexão no cículo mais exteno. Então, segue que: κ κ 7 No Δ P OP, aplicano 7, temos: 8 κ Pela Lei os os no Δ P OP e aplicano 7 temos que: OP κ OP OP Usano novamente a Lei os os, poém, no Δ OPO, temos: " 9 Pelo Teoema o Ângulo Exteno no Δ OPO e aplicano 8 aina temos que: Obseve que a equação é extemamente impotante paa o cálculo a seguna conição e tangência. Opeano aina mais na equação 9 temos que:

51 5 cos ] cos cos [ ] [ actg Seno " temos que, aplicano nela, obtemos: " " Pela figua A.4, temos que o P PO Δ é isósceles, então γ e segue que, no mesmo tiângulo: γ γ γ Usano a Lei e Snell-Descates: σ σ n Como os ângulos e inciência e efação vaiam e à em elação à nomal segue que σ e analisano no P PO Δ temos que: σ σ σ σ σ σ γ σ

52 5 Aplicano a Lei os os no P P O Δ temos que: " σ σ P O P O e também: P O OP, " σ ψ, ψ Usano a Lei os os no Δ P O P, segue que: ] [ " ψ ψ OP ac OP OP Potanto, tomano, 8,, e, temos que: Pecebe-se que: " " " ψ σ ψ σ γ σ σ e também:

53 5 σ P O P O OP então: ] [ ] [ ] [ ψ ac ac ac OP e: " logo: Obsevano as novas equações paa e, elas são iênticas às apetaas no bilha anula com ois cículos excênticos one foi consieaa lá, em caa iteação, a situação em que a pimeia conição e tangência fosse satisfeita. Agoa, povaemos as equações inâmicas que egem o caso em que a seguna conição e tangência não seá satisfeita, ou seja:

54 54 Temos a figua A.5 que nos oientaá na emonstação as equações: y P P P o" o o x P P4 P5 Figua A.5 Figua ilustativa paa a emonstação as equações inâmicas no caso em o feixe luminoso passa pelo teceio cículo, sofeno efação.

55 55 De acoo com a figua A.5, poemos consiea ois tiângulos a sabe: o Δ P O P e o Δ O PO ". Logo, teíamos o seguinte sistema e equações: x y x y z z A pimeia equação este sistema nos aá x y e somano a seguna e a teceia o mesmo nos aá o ângulo exteno, t z z. Então: x y z z. Pelo teoema x y z z z z t Usano a Lei e Snell-Descates, temos que ac n / ]. Logo, paa o P O"P 4 [ n Δ : m PO e ν ω t " P ω 4 Tomano, m O" P O u e enominano m P O O" u, pelo Teoema o Ângulo Exteno: v u u u v u Pela Lei os Senos no Δ O P O ", aina temos que:

56 56 cos cos v u u v u u v u u u cos v v actg u Usano a mesma Lei neste tiângulo também temos: u u P O u P O u Pela Lei e Snell-Descates temos que: n n n n n n então: 4 ρ u O P P m e enominano 6 4 O P P m pela Lei os Senos no 4 P P O Δ : 6 6 P O ac P O ρ ρ

57 57 ρ ρ e P O P4 6 m. ζ ρ u ζ ζ 4 Usano a Lei os Senos no Δ OP O 4 e 4, segue que: ζ ζ ζ OP4 OP 4 ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ cos ζ ζ cos ζ ζ actg Pela Lei os Senos no Δ P OP 4 5 : ζ cos ζ ξ ac[ OP4 ξ ] OP OP 4 5 one: ξ ζ 7, o que 7 ac [ n 6 ] Snell-Descates. se obtém pela Lei e

58 58 Logo, ξ 4 e, potanto, temos que: 4

59 59 Refeências Bibliogáficas [] H. Poincaé, Les méthoes nouvelles e la mécanique celeste, Gauthie-Villas, Pais, 89. [] G. D. Bikhoff, Collecte Mathematical Papes, Ameican Physical Society, Povience 95; Ann. Sc. Nom. Sup. Pisa, 4, [] S. H. Stogatz, Nonlinea Dynamics an Chaos, Peseus Books, 994. [4] J. E. Villate, Intoução aos Sistemas Dinâmicos: uma aboagem pática com Maxima, Ceative Commons, 6. [5] A. P. Mijolao, Estuo a Distibuição e Espaçamentos e Dubletos utilizano o moelo o Bilha, Dissetação e Mestao, Univesiae Estaual Paulista, Rio Clao, 4. [6] C. G. L. Matins, Contole e Dinâmica Caótica com Toos Robustos, Dissetação e Mestao, Univesiae Estaual Paulista, Rio Clao,. [7] C. V. Abu, Popieaes e Tanspote, Caos e Dissipação num Sistema Dinâmico Não-Linea, Dissetação e Mestao, Univesiae Estaual Paulista, Rio Clao,. [8] R. Egyio e cavalho, Ovelap of Isochone esonances: Chaos e efation, Physical Review E, , 78.