Entrevista com Madalena Garcia

Transcrição

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2 Etrevista com Madalea Garcia Madalea Garcia torou-se bem cohecida pelo seu trabalho em prol do esio da Matemática e como colaboradora do Professor Sebastião e Silva. Esiou gerações de aluos, participou a formação de ovos professores e foi co-autora de diversos livros didácticos. A Gazeta de Matemática foi ouvi-la a covicção de que a sua experiêcia deve ser cohecida e partilhada. Madalea Garcia liceciou-se em Matemática pela Uiversidade do Porto em 956, com elevada classificação, e optou pelo esio secudário por gosto e vocação. Presetemete aposetada, matém vivo o seu iteresse pela Matemática. Em 990 foi louvada pelo Secretário de Estado Adjuto do Miistro da Educação como recohecimeto da sua "qualidade cietífica e profissioal e de elevado setido pedagógico e humao". No Ao Mudial da Matemática, foi agraciada pelo Presidete da República com a Comeda da Ordem da Istrução Pública. Ouçamo-la e meditemos as suas opiiões. Gazeta de Matemática - A Sehora Dra dedicou-se, durate aos, ao esio tedo desevolvido uma importate actividade que é hoje bem cohecida e recohecida. Pode falar-os da sua experiêcia como professora de Matemática? Madalea Garcia - Por opção, escolhi como vida profissioal o esio secudário da Matemática, recusado propostas aliciates recebidas ao fidar estudos uiversitários. A miha experiêcia o esio foi multifacetada e muito rica, deserolada em três campos fudametais: regêcia de turmas de aluos, formação iicial e cotíua de professores e elaboração de livros didácticos, como co-autora de mauais para os aos termiais do esio secudário. A qualquer destes três campos dediquei largos aos de trabalho profudo. Foram mais de 36 aos de reflexão e cotiuado estudo, a procura de um saber acrescido que permitisse fazer melhor. Foi uma vida profissioal rica de desafios aliciates e sempre reovados, sempre vivida com verdadeira alegria e motivação permaete. 4

3 GM - A Sehora Dra trabalhou em tempos com o Professor Sebastião e Silva. Pode dar-os uma ideia desse trabalho? Em que cosistiu, que resultados teve e que cotiuidade lhe foi dada? MG - Tive o privilégio de frequetar em Oeiras, em 966, um curso para professores orietado pelo Professor Sebastião e Silva, com o objectivo de preparar docetes para as turmas piloto da experiêcia de Moderização do Esio da Matemática, por ele cocebida e presidida, a decorrer em Portugal. No ao lectivo imediato leccioei uma turma piloto e, logo a seguir, orietei vários cursos de férias para professores, visado a ampliação do úmero de turmas experimetais. O acompahameto feito pelo Professor Sebastião e Silva à experiêcia em desevolvimeto, o estudo reflectido dos seus Compêdios e Guias de Matemática e o estímulo recebido fizeram-me ficar sua discípula. O grupo de professores evolvidos a experiêcia, tedo captado a ecessidade de reformular o esio da Matemática desde as suas bases ão só quato a programas mas também quato a métodos, formava uma equipa diâmica e verdadeiramete empehada, capaz de trasmitir eorme etusiasmo aos aluos. Euciados de exercícios, algus até imagiados por estes, eram icluídos pelo Professor Sebastião e Silva os seus Guias. A docêcia as várias turmas experimetais o país era acompahada o terreo por um ispector orietador e o próprio Professor Sebastião e Silva reuia periodicamete com os professores e, algumas vezes, assistia a aulas, pedido dúvidas e sugestões para ir ajustado a experiêcia. Setido também a ecessidade de rever a formação uiversitária dos futuros professores de Matemática, pediu-me, já em fase de doeça, que elaborasse um programa para uma cadeira de Metodologia do Esio da Matemática. Cumprida a tarefa sob a sua orietação, vim também a reger a cadeira durate algus aos a Faculdade de Ciêcias da Uiversidade do Porto. Aida a pedido do Professor Sebastião e Silva regi, o Brasil, um curso de férias para professores brasileiros, iteressados a experiêcia a decorrer em Portugal. Para tomar cohecimeto de experiêcias a decorrer o estrageiro, fiz um breve estágio o Cetro Belga de Pedagogia da Matemática e cotactei pessoalmete em Itália a Professora Emma Casteluovo. A doeça e morte prematura do Professor Sebastião e Silva, em 97, fizeram iterromper a cotiuidade da experiêcia, embora cotiuasse a perdurar o seu espírito. O aumeto eorme da população escolar a época torava cada vez mais premete a formação de grade úmero de professores, tarefa a que foi ecessário dar prioridade absoluta. Supoho uca ter sido feita avaliação imediata e cocreta comparada da experiêcia mas, à distâcia o tempo, o êxito é visível o grade úmero de aluos das turmas piloto hoje profissioais de sucesso os mais variados domíios. GM - Discute-se muito a dificuldade dos estudates de hoje com a Matemática. Qual a sua visão da situação actual? MG - Creio que a dificuldade dos estudates de hoje o que respeita à Matemática tem causas variadas, mas gostaria de idicar como importates - motivação isuficiete, ão se apercebedo os aluos muitas vezes que a Matemática está em tudo e ficado sem uma base cocreta que permita chegar a um patamar de abstracção; - falta de solidificação de bases, setido os aluos dificuldades acrescidas de ao para ao; - programas sobrecarregados; - falta de codições para que o trabalho e o esforço cotíuo e sistemático, ecessário à apredizagem, seja realizado com agrado e aceite como desejável. GM - Porquê tatos problemas com a Matemática? Não se terá geeralizado a ideia, tato etre os estudates como etre os pais, de que a Matemática é um obstáculo quase itraspoível ou só traspoível por um pequeo úmero

4 de especialmete vocacioados? Portato em vale a pea tetar, é uma batalha perdida de atemão. Parece que muitos pesam assim. Não é uma ideia errada? MG - Na sociedade actual, com a rapidez do mudo tecológico ode tudo se processa a ritmo acelerado, o sucesso é apresetado como obtido de forma rápida, ão sedo valorizado o esforço e a persistêcia. Não é de estrahar que, este cotexto, a Matemática surja como obstáculo quase itraspoível ou apeas ao alcace de úmero muito reduzido de idivíduos. Esta ideia, completamete errada, deve ser combatida. A Matemática deverá surgir etre estudates e pais como ciêcia ligada à vida, ecessária e útil. A sua apredizagem, acessível a quase todos, loge de ter como objectivo apeas automatismos e terias abstractas, tem um papel fudametal a formação de cidadãos coscietes, capazes da desejável e cada vez mais idispesável educação permaete e co-resposáveis a costrução do mudo ovo em que terão de viver. GM - Temos grades difereças em relação a outros países. Nas Olimpíadas Iteracioais de Matemática a equipa portuguesa ão cosegue grades resultados. Mesmo as Olimpíadas Ibero Americaas o comportameto ão é famoso. Não é estraho? Quer cometar? MG - É, de facto, estraho o facto de os estudates portugueses ão coseguirem grades resultados as Olimpíadas de Matemática. Não é, aturalmete, por falta de iteligêcia dos aluos portugueses. Os programas escolares sobrecarregados e horários fragmetados em sempre permitem tempo suficiete para actividades de reflexão. Acresce aida que em Portugal faltam, por vezes, estruturas estimulates e motivadoras de acompahameto a pequeos problemas e temas desafiadores da imagiação. GM - Que pesa dos mauais escolares? Que difereça há etre os actuais e os de há umas décadas? MG - Os mauais escolares actuais, embora atraetes, parecem-me extesos, por vezes com exercícios em demasia e mesmo algus com artifícios desecessários. A repetição exagerada de exercícios, sem escolha criteriosa, pode levar a uma apredizagem puramete mecâica. Pelo cotrário, ão desprezado embora as rotias idispesáveis à apredizagem, a reflexão sobre algus bos exercícios, imagiado ovos problemas, geeralizado, variado dados, prevedo e criticado resultados, estimula o gosto do aluo, desevolve a imagiação e a ituição, o esio gaha ova vida e coduz, com iteresse, à apredizagem esquemática, aquela que poderá perdurar e ser trasferida aos mais variados campos do saber. GM - Hoje o papel do esforço e da memória é muito desvalorizado. Que pesa disto? MG - Parece-me, realmete, desvalorizado o papel da memória e do esforço regular e cotíuo. Nos primeiros aos da escolaridade o aluo dispõe de uma memória especialmete viva que deve ser aproveitada. É essa idade que devem ser memorizados, sem exagero, elemetos e factos que vão costituir suporte do esio lógico-racioal das fases seguites, coseguido à custa da actividade, reflexão e esforço cotiuado e persistete do próprio aluo, costrutor do seu próprio desevolvimeto itelectual. Não se trata de visar apeas uma apredizagem mecâica, obtida à custa de sobreposição de memorizações mas coseguir, mercê de elemetos dispoíveis a memória, formas superiores de apredizages. GM O papel da memória é importate ou ão? Há histórias de matemáticos otáveis que tiham uma memória extraordiária e essa faculdade parece ter sido importate para coseguirem o que coseguiram. MG Como decorre da resposta aterior, creio que o papel da memória é realmete importate a aquisição de competêcias e apredizages. A imagiação criadora, por exemplo, será tato mais 6

5 rica quatos mais elemetos tiver dispoíveis. A imagiação é igualmete importate ao logo de raciocíios, omeadamete dedutivos. Basta pesar, por exemplo, que o esio tradicioal da Geometria dedutiva ão resultava porque a idade em que era iiciado (cerca dos 3 aos) a capacidade da memória da maioria dos aluos ão permitia reter os axiomas e ir buscá-los quado ecessário. A apredizagem esquemática obtida sobre elemetos dispoíveis a memória permite obter esquemas que, ão a sobrecarregado, persistem ao logo do tempo costituido importates ferrametas itelectuais. GM - E quato à formação de futuros professores de Matemática. Qual a sua opiião sobre o que se está a fazer? MG - Julgo que a formação de professores de qualidade é uma tarefa a realizar por aproximações sucessivas, o setido de coseguir docetes com gosto pela profissão e capazes de cotextualizar a formação recebida à realidade escolar. É de apostar uma boa formação iicial, com visão itegrada dos vários graus de esio e cosciete do papel da apredizagem matemática o setido da abertura de perspectivas e horizotes variados. Parece-me aida importate uma formação cotíua cosistete, de modo que cada professor sita apoiada a sua actividade docete, com a actualização e iformação ecessárias ao seu sucesso profissioal, factor codicioate do sucesso dos aluos. GM - A Sehora Dra foi codecorada pelo Presidete da República o decurso do Ao Mudial da Matemática. Que sigificou para si essa codecoração? MG - A codecoração recebida pelo Presidete da República o decurso do Ao Mudial da Matemática, apesar de completamete iesperada, represetou para mim motivo de grade alegria e satisfação pelo recohecimeto do trabalho realizado. Cotiuo a ser como sempre fui simples, exigete comigo própria, e bem cosciete de que aquilo que cosegui fazer o campo do esio ficou a dever-se aos muitos estímulos recebidos de aluos e colegas e ao empehameto das equipas de trabalho em que participei. GM - Não lhe parece que a Matemática, bem como a Ciêcia em geral, é socialmete pouco valorizada em Portugal? MG - Sem dúvida. É pea que tal acoteça e que seja fora do país que acabam por fixar-se muitos dos cietistas portugueses de recohecido mérito. Peso que é premete a revisão deste problema, sobretudo o mometo actual em que se tora imperioso o desevolvimeto cietífico e tecológico do país. GM - Que acha que se pode fazer para melhorar a situação da Matemática em Portugal? MG - Sito que é ecessário fazer algo. É tema que exige poderação e para o qual ão há certezas de actuação. Como medidas a apotar, idicaria - revisão de programas, com reforço de exigêcia em algus temas e simplificação de outros, de modo que o aluo se sita motivado e com tempo bastate para uma apredizagem eficaz; - coordeação vertical dos programas ao logo da escolaridade, devidamete ajustados às fases do desevolvimeto do aluo e dado especial êfase à solidificação das primeiras apredizages; - itesificação da formação e criação de estruturas de apoio e acompahameto dos professores; - esclarecimeto possível da opiião pública de modo a desfazer o medo da Matemática e apresetá-la como um produto humao itimamete ligado à atureza e à técica e cuja apredizagem poderá coferir, além de desevolvimeto itelectual, o ível de cohecimetos e competêcias ecessário a uma educação capaz de ser factor codicioate de desevolvimeto. 7

6 O problema das Torres de Haoi: a leda, algoritmos e geeralizações. Atóio Pereira e Rosália Rodrigues Departameto de Matemática da Uiversidade de Aveiro. Origem, ledas e mitos Em 883, o matemático fracês Édouard Lucas ivetou o famoso puzzle das Torres de Haoi [6] [7], também cohecido pelas Torres de Brahma e cotado em forma de leda [5]: No grade templo de Brahma em Beares, uma badeja de metal sob a cúpula que marca o cetro do mudo, três agulhas de diamate servem de pilar a sesseta e quatro discos de ouro puro. Icasavelmete, os sacerdotes trasferem os discos, um de cada vez, de agulha para agulha, obedecedo sempre à lei imutável de Brahma: Nehum disco se poderá sobrepor a um meor. No iício do mudo todos os sesseta e quatro discos de ouro, foram dispostos a primeira das três agulhas, costituido a Torre de Brahma. No mometo em que o meor dos discos for colocado de tal modo que se forme uma vez mais a Torre de Brahma uma agulha diferete da iicial, tato a torre como o templo serão trasformados em pó e o ribombar de um trovão assialará o fim do mudo.. O Algoritmo Recorrete A versão origial das Torres de Haoi cosiste em três postes e oito discos de diâmetro,,...,8, iicialmete dispostos o primeiro poste por ordem decrescete do diâmetro formado uma estrutura cóica semelhate à da figura. O objectivo do puzzle cosiste em formar a torre o terceiro poste, movedo um disco de cada vez, ão sedo permitido colocar um disco maior sobre um meor. Figura : A cofiguração iicial das Torres de Haoi com 8 discos. Problema. Torres de Haoi São dados discos de diâmetro,,..., dispostos por ordem decrescete de diâmetro um de 3 postes. Pretede-se trasferir todos os discos para um dos outros postes, utilizado o meor úmero de movimetos, de tal modo que as seguites restrições sejam satisfeitas:. apeas um disco pode ser movido de cada vez,. apeas se podem mover os discos do topo (isto é, apeas discos que ão têm um outro disco colocado em cima), 3. ehum disco pode ser colocado sobre outro meor. A solução para o problema. pode ser descrita da seguite forma: Desigem-se por poste iicial aquele ode iicialmete se ecotram os discos, por poste fial o poste para ode serão trasferidos os discos e por poste auxiliar o poste restate. Para trasferir discos de um poste para outro é ecessário, em alguma iteração, mover o disco pelo meos 8

7 uma vez. Este só pode ser trasferido se for o úico o poste e existir um poste vazio ode o colocar. Assim o poste auxiliar tem que coter os - discos. Coclui-se pois que a primeira etapa da resolução do problema. cosiste em trasferir - discos (de forma recorrete) do poste iicial para o poste auxiliar utilizado o poste fial como poste auxiliar. É agora possível mover directamete o disco do poste iicial para o poste fial. Fialmete é ecessário trasferir (de forma recorrete) os - discos do poste auxiliar para o poste fial, utilizado o poste iicial como auxiliar. As cosiderações ateriores podem ser resumidas o algoritmo seguite: Algoritmo. Torres de Haoi (Problema.) Haoi(, posteiicial, posteauxiliar, postefial) Se = Etão MoveDisco(, posteiicial, postefial) seão Haoi(-, posteiicial, postefial, posteauxiliar) MoveDisco(, posteiicial, postefial) Haoi(-, posteauxiliar, posteiicial, postefial). Seja T() o úmero de movimetos ecessários para resolver o puzzle de discos. Pelo algoritmo aterior, T() é dado pela seguite fórmula recorrete: se =, T ( ) = T ( ) + se >. Explicitado a fórmula aterior, coclui-se que o úmero de movimetos ecessários para resolver o problema das Torres de Haoi com discos é T()= -, para. Podemos agora verificar que a leda das Torres de Brahma, por mais rápidos que sejam os sacerdotes a movimetar os discos, digamos ao ritmo de um disco por segudo, aida teremos que aguardar algum(!) tempo para que o mudo se desvaeça em pó ( 64 - segudos, ou seja, cerca de miléios). 3. Uma solução Prática O algoritmo apresetado, apesar da sua simplicidade, ão é prático. De facto, qualquer pessoa setiria dificuldade em resolver o puzzle seguido o algoritmo recorrete. Vamos explicar como é que este se resolve a prática, começado por aalisar quatas vezes se move cada um dos discos: O disco move-se apeas vez (do poste iicial para o poste fial). O disco - tem de se mover o dobro das vezes que o disco se move, isto é vezes (uma para sair de cima do disco e outra para voltar para cima do disco ). Aalogamete, o disco - tem de se mover o dobro das vezes que o disco - se move, ou seja, 4 (uma para sair de cima do disco - e outra para voltar para cima do disco -, isto repetido tatas vezes quatas o disco - se tem que mover). Cotiuado este processo, facilmete se coclui que o meor dos discos, o disco, se move o dobro das vezes do disco ou seja - vezes. Note-se que estes valores são todos potêcias de, que a soma do úmero de movimetos dos discos, -,..., é = - -, precisamete meos uma uidade que o úmero de movimetos do disco mais pequeo e a soma total de movimetos é = - (ver a figura ). = 0 (disco ) 0 = (disco -) 00 = (disco -) 000 = 3 (disco -3) = - (disco )... = = Figura : O úmero de movimetos da Torre de Haoi com discos, em biário. 9

8 Iicialmete temos que mover o disco para a torre destio (o caso ímpar) ou para a torre auxiliar (o caso par). Em seguida temos que mover alteradamete um dos outros e o disco. De facto, em cada passo da resolução do puzzle das Torres de Haoi estaremos em uma das duas situações seguites: Se o passo aterior o disco movido foi o disco mais pequeo (o disco ), etão ão devemos movêlo ovamete porque seão estaríamos a voltar ao passo aterior ou poderíamos ter alcaçado o mesmo resultado com um só movimeto. Assim, só podemos mover um dos outros discos (o mais pequeo dos que estão o topo dos outros postes) para o poste em que ão se ecotra o disco. Se o passo aterior o disco movido ão foi o mais pequeo, etão agora teremos que o mover. Neste caso existem dois postes ode é possível colocar o disco. Deomiem-se os três postes por A, B, C e cosidere-se que A C B A é setido dos poteiros do relógio. No caso de o úmero total de discos ser par, o disco desloca-se para o poste seguite o setido dos poteiros do relógio. No caso de ser ímpar, o disco desloca-se para o poste seguite o setido cotrário aos poteiros do relógio. 4. O Algoritmo Iterativo Qualquer algoritmo recorrete pode ser escrito uma forma ão recorrete utilizado o método geral de elimiação de recorrêcia descrito em vários livros de Algoritmos e Estruturas de Dados [], [4]. No etato é preferível tetar tirar partido das propriedades específicas do problema em causa, por forma a obter um algoritmo ão recorrete tão eficiete quato possível. De etre os iúmeros autores que têm abordado este problema, como Dijkstra, Hayes ou Walsh, cosideramos a solução devida a M. C. Er [3] que utiliza uma curiosa relação etre os movimetos dos discos as Torres de Haoi e os úmeros biários (e que resulta directamete da solução apresetada ateriormete): Um problema que surge de imediato quado se teta resolver o puzzle das Torres de Haoi é decidir, em cada iteração, qual dos discos mover. Nesse setido, desige-se por H() a sequêcia de movimetos de discos realizada para trasferir uma torre de discos do poste iicial para o poste fial. Tem-se H()=H(-)H(-) e H()=. Explicitamete, para mover uma torre de discos, movem-se os primeiros - discos (para o poste auxiliar), em seguida move-se o disco (do poste iicial para o fial) e fialmete movem-se os - discos (para o poste fial). Seja agora B() a sequêcia de - elemetos cuja i- ésima compoete é a represetação biária, em bits, do úmero i. Seja aida R(B()) a sequêcia de - elemetos cujo i-ésimo elemeto é o ídice do dígito mais à direita a represetação biária de i. Deotem-se por 0B(- ) e B(-) as sequêcias de - - elemetos em que a i- ésima compoete é a i-ésima compoete de B(-) precedida por 0, respectivamete,. Fialmete, seja Z(-) a sequêcia biária costituída por - zeros. É fácil verificar que (ver figura 3) B()= 0B(-),Z(-),B(-) e que B()=. 0

9 B() B ( ) } Z ( ) B ( ) 00 0 O teorema aterior permite cocluir que a i-ésima iteração o úmero do disco a mover é dado pela posição do dígito mais à direita a represetação biária de i. Resta decidir aida para que poste é que se move o disco em cada iteração. Cosidere-se que A C B A é o setido dos poteiros do relógio e que A B C A é o setido oposto, ode A, B, C desigam os três postes do puzzle. Er [3] demostrou que todos os discos ímpares se movimetam um setido, equato os discos pares se movimetam em setido cotrário. O setido do movimeto depede apeas do úmero total de discos e do poste iicial e fial, segudo a regra: Se o úmero de discos é ímpar o poste destio é o seguite ao poste de partida o setido dos poteiros do relógio, caso cotrário o poste destio é o seguite ao poste de partida o setido cotrário aos poteiros do relógio. Como sítese, apresetamos uma implemetação das ideias ateriores a liguagem C: Algoritmo 4. Torres de Haoi (versão iterativa biária) HaoiBiario(it, char iicial, char fial) { it limite, i, x, dir; for (i=;i<=;i++) P[i]=iicial; dir=(&)!=(fial-iicial == fial-iicial==-); limite=(<<)-; for(x=;x<=limite;x++){ Figura 3: A sequêcia B() = (,,..., -), em biário, para =4. A relação etre estas sequêcias biárias e os movimetos das Torres de Haoi é estabelecida pelo seguite teorema: Teorema 4. (Er) H()=R(B()). } } i=0; while(!(x>>i&)) i++; pritf( mover o disco %d, ++i); pritf( de %c, P[i]); pritf( para %c\, P[i]= A +(P[i]- A ++(i&?dir:- dir))%3); 5. Curiosidades, Variações e Geeralizações 5. Haoi e Sierpiski Uma propriedade iteressate das Torres de Haoi surge quado se represetam graficamete as cofigurações possíveis do problema. Dados discos, cosideram-se as sequêcias ordeadas, deomiadas cofigurações, (d, d,..., d ) em que d i {A, B, C} idica o poste o qual se ecotra o disco i. A cada uma dessas sequêcias associa-se o vértice de um grafo. Existe uma aresta etre dois vértices se e só se for

10 possível passar de uma cofiguração a outra, sem violar as regras referidas o problema.. As figuras 4 e 5 ilustram os grafos que se obtêm com, e 3 discos, respectivamete. (A) (B) ffl ffl ffl (C) (A,A) (C,A) ffl (C,B) ffl ffl ffl ffl Figura 4: Represetação do problema das Torres de Haoi com e discos. (A,A,A) (B,A,A) (B,C,A) ffl (C,C,A) ffl ffl ffl (C,A,A) (C,C,B) (A,C,B) ffl (A,B,B) ffl ffl (A,B,A) ffl (C,B,A) ffl (A,C,A) ffl ffl (B,C,B) ffl ffl (B,B,A) (B,B,B) ffl ffl ffl (C,B,C) ffl (B,B,C) Figura 5: Represetação do problema das Torres de Haoi com 3 discos. ffl (B,A) (C,B,B) ffl (C,A,C) (C,A,B) ffl (B,B) ffl ffl (C,B,C) ffl (A,B,C) (A,A,B) ffl (A,B) ffl (B,C) (A,A,C) ffl (B,A,C) ffl (A,C,C) ffl ffl (B,C,C) ffl (A,C) ffl (C,C,C) (C,C) N N NN N NN N N N N NN N N N N N NN N N N N NN N N N N N N NN N N N N N NN N N NN N N N N N NN N N N N N NN N N N N NN N N NN N N N NN N N N N N NN N N NN NN N N N N N NN N N N N N NN N N N N N NN N N N NN N N N N N NN N N NN N N N N N N N NN N N N N N NN N N NN N N N N N N N NN N N N N N NN N N NN N N N N N NN N N N N N NN N Figura 6: Represetação gráfica da curva de Sierpiski. Como se pode observar as figuras existe uma semelhaça etre os grafos da Torre de Haoi e a famosa curva de Sierpiski (figura 6). No cotexto dos espaços métricos, com a distâcia de Hausdorff, é possível mostrar que, matedo costate o tamaho do lado do triâgulo exterior, a sequêcia de grafos de cofigurações tede para a curva de Sierpiski à medida que aumeta. 5. As Torres de Haoi Cíclicas Esta variação do problema das Torres de Haoi foi ivetada em 98 por Atkiso [] uma tetativa de elaborar um problema que ão apresetasse uma solução iterativa simples. No etato ão demorou muito para que surgissem publicadas soluções iterativas eficietes, o que ão dimiui a beleza do problema como se pode costatar pela simplicidade da solução recorrete que passamos a aalisar. Para um úico disco, existem apeas três cofigurações possíveis: (A), (B) e (C), correspodetes ao poste ode o (úico) disco pode estar colocado. Para discos já existem 9 cofigurações possíveis em que, por exemplo, (B,C) sigifica que o disco está o poste B e o disco está o poste C. Note-se que o grafo cotém apeas cofigurações possíveis, ou seja, (C,C) correspode à cofiguração em que os dois discos estão colocados o poste C e com o disco sobre o disco. A C ffl ffl ffl Figura 7: O setido do movimeto dos discos o problema das Torres de Haoi Cíclica. Neste puzzle cosideram-se os três postes dispostos um triâgulo de vértices A, B, C (ver figura 7). Os discos apeas podem ser movidos o setido cotrário aos poteiros do relógio: de A para B, de B para C ou de C para A. A solução apresetada por Atkiso é costituída por B

11 dois procedimetos recorretes, deomiados logo e curto que resolvem, respectivamete, os problemas de deslocar discos o setido dos poteiros do relógio e deslocar discos o setido iverso: Algoritmo 5. Torres de Haoi Cíclicas curto(); logo(); Se > 0 Se > 0 etão logo(-); etão logo(-); movedisco(); movedisco(); logo(-). curto(-); movedisco(); logo(-); Se deotarmos por C() e L() o úmero de movimetos realizados, respectivamete, pelos procedimetos curto e logo, cocluímos que C() = L( ) + se C() 0 = 0 e L ( ) = L ( ) + C ( ) + se L() 0 = 0. Demostra-se que a solução do sistema de equações lieares ateriores é 3 C () = ( + ) ( 3), 0 () L () = ( + ) ( 3), 0. () 6 6 Segudo Stockmeyer [], a prova de que estes procedimetos produzem o úmero míimo de movimetos ão foi apresetada por Atkiso, talvez pesado que tal seria evidete. Stockmeyer demostra que para além do úmero míimo de movimetos, a sequêcia origiada por aqueles procedimetos é úica, o setido de que qualquer algoritmo que resolva o problema o úmero míimo de movimetos, gera a mesma sequêcia de movimetos. 5.3 Torres de Haoi em grafos O puzzle das Torres de Haoi cíclicas abordado a secção aterior pode ser geeralizado para um qualquer grafo fortemete coexo, G=(V,E), com V =3 vértices. Os vértices do grafo correspodem aos postes que deotaremos por A, B e C. Vamos cosiderar que iicialmete os discos se ecotram o poste A e que se pretede trasportá-los para o poste B. Para além das restrições do problema clássico das Torres de Haoi, só é possível mover um disco do poste i para o poste j, se (i,j) E. Deixamos ao cuidado do leitor verificar (por idução) que o algoritmo puzzle3 a seguir apresetado resolve o problema para qualquer grafo as codições acima euciadas. Nesse algoritmo a fução auxiliar serve apeas para seleccioar o poste k, diferete dos postes i e j, por exemplo, o poste C se os postes i e j são A e B. Algoritmo 5. Torres de Haoi em grafos coexos com 3 vértices puzzle3(i,j,); Se > 0 etão k auxiliar(i,j) se (i,j) E etão puzzle3(i,k,-); movedisco(,i,j); puzzle3(k,j,-) seão puzzle3(i,j,-); movedisco(,i,k); puzzle3(j,i,-); movedisco(,k,j); puzzle3(i,j,-). 3

12 Seja N(i, j, ) o úmero de movimetos realizados pelo algoritmo puzzle3 ao trasferir discos dos poste i para o poste j. Se k é o poste auxiliar etão é fácil verificar que Nik (,, ) + Nk (, j, ) + sei (, j) E Ni (, j, ) = N(, i j, ) + N( j, i, ) + se(, i j) E Resolvedo o sistema em relação às icógitas f (x), i,j i, j {A, B, C}, i j, obtêm-se, de forma explícita, as fuções geradoras f. Fialmete, os valores N(i, j, ) ão i,j são mais que os coeficietes da série de Lauret para f. i,j É claro que o processo que descrevemos, é moroso e evolve maipulações algébricas bastate complexas. No etato utilizado software que permita o cálculo simbólico, p. ex., o sistema Mathematica [8], é possível obter as seguites coclusões sobre os grafos fortemete coexos de três vértices, ão isomorfos: Grafo Pode demostrar-se que N(i, j, ) é o úmero míimo de movimetos suficietes para trasferir a pilha de discos do poste i para o poste j. Assim o algoritmo puzzle3 costitui uma solução óptima para o problema em causa. Vamos passar agora a descrever de forma abreviada como se podem obter explicitamete os valores N(i, j, ) como fução de : Cosidere-se α i,j ()= N(i,j,), para i, j {A, B, C}, i j e k o poste auxiliar. O problema resume-se a determiar a solução de um sistema de 6 fórmulas recorretes do tipo αik, ( ) + αk, j( ) + se ( i, j) E αij, ( ) = αij, ( ) + αji,( ) + se ( i, j) E. Multiplicado as equações do sistema por x, cosiderado a soma para todos os valores de, defiido as fuções geradoras f i,j (x) = α ij, () x, = 0 e otado que α i,j (0)= 0, obtém-se um sistema equivalete de 6 equações da forma: x ƒij,( x) xƒik, ( x) xƒ kj,( x) = se(, i j) E x x ( x) ƒ ƒ = ij,( x) x ji,( x) se(, i j) E x Este é o problema origial das Torres de Haoi e facilmete se coclui que o úmero de movimetos é, em qualquer caso, -. Grafo Este é o grafo do problema das Torres de Haoi Cíclicas, referido ateriormete. Como seria de esperar, os valores para N(i,j,) são dados por () e (), para os dois tipos de movimetos distitos. Grafo 3 A A C ffl ffl ffl A C ffl ffl ffl B ffl ffl Para este grafo coclui-se que existem dois tipos de movimetos: N(A, B, )=N(B, A, )=N(A, C, )=N(C, A, ) = 3 ; N(B, C, )=N(C, B, )= 3 -. ffl C B B 4

13 Grafo 4 A A primeira versão das Torres de Haoi com 4 postes, surgiu o livro de Hery Dudeey, The Caterbury Puzzles [], sob a forma de um desafio que cosistia em mover uma pilha de queijos de vários tamahos colocados a primeira de quatro mesas, para uma das outras, sem colocar um queijo maior sobre um meor. O puzzle foi publicado posteriormete a Revista America Mathematical Mothly [9], em 939, geeralizado para um úmero arbitrário de postes, sob a desigação de Problema 398. Várias propostas de resolução foram apresetadas, sem cotudo ter sido demostrada a sua optimalidade. Um dos algoritmos mais cohecidos, baseia-se um parâmetro i, com i, e cosiste os seguites passos:. Trasferir a pilha dos - i meores discos do primeiro poste para um poste auxiliar, usado os quatro postes o processo;. Trasferir a pilha dos restates i discos do primeiro pos- B ffl ffl ffl C ordem de complexidade da solução é, em qualquer caso, aproximadamete (.4). Na tabela pode cosultar os valores de N(i, j, ) para diversos valores de. Neste caso temos N(A, B, ) = N(B, C, ) = = ; N(C, A, ) = = para ; 7 7 N(C, B, )= N(B, A, ) = = ; N(A, C, ) = = Grafo 5 A B ffl ffl ffl Aqui as fuções geradoras de f i,j (x) são fuções racioais de deomiador x 3 4x x+. Os coeficietes α i,j () são expressões complexas, para as quais ão se cohece uma represetação simples. Aqui existem quatro tipos de movimetos distitos, sedo N(A, B, ) = N(C, A, ) e N(A, C, )= N(B, A, ). Simulações efectuadas, sugerem que a C N(A, B, ) N(A,C,) N(B,C,) N(C,B,) Tabela : O úmero de movimetos realizados pelo algoritmo puzzle3 com o grafo Torres de Haoi com 4 postes 5

14 te para o poste destio, utilizado o algoritmo origial das Torres de Haoi com 3 postes (igorado o poste que cotém os -i discos mais pequeos); 3. Trasferir os -i discos mais pequeos do poste auxiliar para o poste fial, utilizado ovamete os quatro postes o processo. Demostra-se que se é um úmero triagular t k, etão a escolha óptima para i é i=k. Mais, se t k - < < t k etão tato k como k são valores óptimos para o parâmetro i. Note-se que está demostrado apeas que etre todos os valores possíveis para o parâmetro i, os referidos ateriormete são os que miimizam o úmero de movimetos para aquele algoritmo. Não se tem cohecimeto se o algoritmo óptimo tem a forma apresetada, o que costitui a chamada cojectura de Frame-Stewart, em homeagem aos primeiros autores a apresetarem aquele algoritmo. Quato ao úmero de movimetos realizados por este algoritmo, Stockmeyer [0], provou que é da ordem de.. Por fim, têm aparecido várias propostas de resolução da versão cíclica do problema das Torres de Haoi com 4 postes, mas todos os algoritmos apresetados falham a optimalidade, sedo este mais um problema em aberto. Referêcias [] M. D. Atkiso. The Cyclic Towers of Haoi. Iformatio Processig Letters, (3): 8-9,98. [] H. E. Dudeey. The Caterbury Puzzles. Thomas Nelso & Sos, Lodo, 907. [3] M. C. Er. Performace evaluatios of recursive as iterative algorithms for the towers of Haoi problem. Computig, (37): 93-0, 986. t k = k kk = ( ) [4] Helma ad R. Veroff, Itermediate Problem Solvig ad Data Structures: Walls ad Mirrors, Bejami- Cummigs, 986. [5] R. D. Hofstadter. Metamagical themas. Scietific America, (48): 6-, Março 983. [6] É. Lucas. Nouveaux jeux scietifiques. La Nature. 7:30-303, 889. [7] É. Lucas. Récréatios mathemátiques, 893. Reeditado diversas vezes por Albert Blachard, Paris. [8] Mathematica. WolFram Research, [9] B. M. Stewart. Advaced Problem 398. America Mathematical Mothly, 939. [0] P. K. Stockmeyer. Variatios o the four-post tower of Haoi puzzle. Cogressus Numeratium, pages 3-, 994. [] P. K. Stockmeyer. The average distace betwee odes i the cyclic towers of Haoi digraph. Graph Theory, Combiatorics, Algorithms, ad Applicatios, 996. [] N. Wirth. Algorithms + Data Structures = Programs. Pretice-Hall, 976. Gödel em Priceto Alguma coisa pesa em si própria em mim. Em algum tempo ou em algum lugar alguma coisa é real, pesado. Às vezes quase lhe toco quado ão me perturbam os meus pesametos. E talvez quado faço sem dar por isso os gestos de todos os dias talvez etão esteja muito perto sem o saber. E alguém me leve pela mão por uma realidade feita da miha vida e de coisas reais a que pertecemos eu e o que pesa. Mauel Atóio Pia, i "Poesia Reuida", Assírio & Alvim, 00. (publicação getilmete autorizada pelo autor) 6

15 Resolução do Problema das Torres de Haoi através de um Cojuto de Regras Simples Gustavo Ribeiro Alves Departameto de Egeharia Electrotécica, Istituto Superior de Egeharia do Porto mos estava colocado em cima do ) para cima do 4, a jogada actual ão poderá ser a trasferêcia do (agora colocado em cima do 4) para cima do, uma vez que isso correspoderia a desfazer a jogada aterior. 3. Os úmeros deverão estar sempre colocados uma sequêcia do tipo PAR - ÍMPAR ou ÍMPAR - PAR, uca do tipo PAR - PAR ou ÍMPAR - ÍMPAR. Exemplo: o pode estar colocado sobre o, 4, ou outro qualquer úmero par (uma vez que é ímpar), mas uca sobre o 3, ou outro qualquer úmero ímpar. 4. As bases, ou pilares, deverão ser igualmete umeradas de forma crescete, a começar pela base ode está a pilha iicial, que deverá receber o úmero seguite ao do último disco da pilha. Este artigo descreve um método de resolução do problema das Torres de Haoi, ão baseado a recursividade. O objectivo pricipal cosiste em mostrar que, qualquer que seja a situação colocada a um jogador (o iício do problema ou a meio), desde que este saiba qual foi a jogada aterior, poderá sempre acabar o jogo, seguido um pricípio de efectuar a úica jogada que ão viola um cojuto de regras a euciar em seguida. Este método aproxima-se mais da forma de pesar humaa (afastado-se assim do método de resolução computacioal clássico que faz uso da recursividade ) que, para cada istate, empreede uma acção que resulta da aplicação de um cojuto limitado de regras simples:. Os úmeros devem estar sempre em ordem crescete, quado lidos de cima para baixo, ou seja um determiado úmero ão deverá estar colocado em cima de um outro qualquer úmero que lhe seja superior. Exemplo: o úmero poderá estar em cima do ou 3, e o úmero poderá estar em cima do 3, ou 4, mas uca em cima do. Esta regra faz parte do próprio jogo das Torres de Haoi.. Não se deve desfazer a jogada aterior. Ou seja, se a jogada aterior for a trasferêcia do (que supoha- Para exemplificar a aplicação destas regras, vamos trasferir uma torre com três discos (umerados de a 3) colocada uma base (úmero 4), para uma outra base (úmero 6). A terceira base, que o osso exemplo estará ao cetro, recebe o úmero 5. Partido assim da situação ilustrada a tabela.a) e utilizado as três primeiras regras, chegamos a uma úica jogada, de duas possíveis: - mover para cima de 5 (viola a regra 3), ou - mover para cima de 6 (efectuada). Ou seja, dada a forma de mover uma torre com dois discos, a resolução do problema de mover uma torre com três discos cosiste em: a) mover uma torre com dois discos para cima de uma base vazia; b) mover o disco 3 para cima da outra base vazia; c) mover outra vez a torre com dois discos para cima do disco 3. A resolução do problema de mover uma torre com quatro discos recorre ao método de resolução aterior, pelo que se utiliza assim a expressão de método recursivo. A situação resultate correspode à tabela.b), ode mais uma vez podemos efectuar uma úica jogada, agora de quatro possíveis: - mover para cima de (viola a regra ), - mover para cima de 5 (viola a regra 3), 7

16 - mover para cima de (viola a regra ), ou - mover para cima de 5 (efectuada). A tabela.c) correspode ao resultado da aplicação das regras euciadas, à situação ilustrada a tabela.b). Aalisado agora a situação descrita em.c), deparamoos com seis hipóteses (o máximo possível), das quais só uma ão viola as regras euciadas, ou seja: - mover 3 para cima de (viola a regra ), - mover 3 para cima de (viola a regra ), - mover para cima de 3 (viola a regra ), - mover para cima de (viola a regra ), - mover para cima de 3 (viola a regra 3), ou - mover para cima de (efectuada). Assim a tabela.d) correspode à execução da úica jogada válida para a situação ilustrada em.c). Repetido este mesmo raciocíio de execução da úica jogada que ão viola ehuma regra, facilmete se chega à solução do problema iicial, ilustrada a tabela.h). Para o caso de uma torre com quatro discos apreseta-se a solução ilustrada pelas tabelas.a) a.r). Tabela : Exemplo da resolução de uma Torre de Haoi com quatro discos a) b) c) d) e) f) g) i) j) Tabela : Exemplo da resolução de uma Torre de Haoi com três discos a) b) c) d) e) f) g) h) l) m) ) o) p) q) r) 8

17 Apologia da Estatística (A Pretexto da Seriação das Escolas Secudárias) Diis Duarte Pestaa Cetro de Estatística e Aplicações da Uiversidade de Lisboa Some people hate the very ame of statistics, but I fid them full of beauty ad iterest. Wheever they are ot brutalized, but delicately hadled by the higher methods, ad are warily iterpreted, their power of dealig with complicated pheomea is extraordiary. They are the oly tools by which a opeig ca be cut through the formidable thicket of difficulties that bars the path of those who pursue the Sciece of ma. F. Galto, Natural Iheritace. Qualidade do Esio e Seriação das Escolas If a ufriedly foreig power had attempted to impose o America the mediocre educatioal performace that exists today, we might well have viewed it as a act of war. The Natioal Comissio o Excellece i Educatio É hoje lugar comum cosiderar que a maior riqueza de um país é a sua população, e que o empreedimeto humao de maior retoro é educação/ivestigação. Os países que escaparam ao subdesevolvimeto são os que os fis do século XIX ivestiram a alfabetização e educação. Tal como o presete é um resultado de ivestimetos em fis do século XIX e pricípios do século XX, é o presete que o futuro se joga, omeadamete os ivestimetos feitos em ciêcia e tecologia (que, sabe-se também, são efémeros se ão forem alicerçados por um ivestimeto forte e cosistete em ciêcia fudametal). A qualidade do esio é, aturalmete, uma das fudações sobre que se costrói o futuro. Há algus aos atrás o Japão justificou as suas políticas de comércio iteracioal, e omeadamete a baixa taxa de importação de bes dos EUA, referido a sua deficiete qualidade, e ivocado que a escolaridade dos aluos dos Estados Uidos é muito iferior à dos aluos do Japão, bem como os íveis de exigêcia em educação, do que decorre que a atitude dos profissioais japoeses face a políticas de cotrolo de qualidade global é mais cosciete e resposável. Claro que o Japão uca se deu ao trabalho de cometar publicamete o que pesa da educação em Portugal, mas podemos imagiar Os aluos - e os pais dos aluos - portugueses parecem estrahamete adormecidos para as realidades de um espaço europeu, em que há mobilidade e o preechimeto dos lugares ão irá privilegiar o local do ascimeto. Ocasioalmete os jorais exploram os aspectos mediáticos de situações tais como professores espahóis serem docetes em escolas primárias portuguesas, apelado mais à rejeição (ilegal, face aos tratados que assiámos e ratificámos) do que ao despertar para a realidade que espera as gerações futuras: uma competição feroz com profissioais de uma Uião Europeia cada vez mais alargada, com sistemas educativos mais cosolidados e cotrolados, e em que o desemprego é uma realidade persistete. 0

18 Saudamos por isso aturalmete todas as iiciativas tedetes a melhorar o estado das coisas. Recetemete o Miistério da Educação ecomedou à Uiversidade Nova de Lisboa - Faculdade de Ciêcias Sociais e Humaas uma Proposta de Seriação das Escolas do Esio Secudário (Ao Lectivo de 00/00), elaborada por Grácio et al. (00), que se iscreve este propósito, e que teve larga divulgação mediática. As coclusões do estudo dificilmete poderiam gerar coseso, e Grácio et al. (00, p. -3) são os primeiros a aotar algus aspectos cotroversos, decorretes das limitações o acesso à iformação, embora cocluam afirmado (Grácio et al., 00, p. 3) que o método adoptado é mil vezes preferível a forecer simplesmete ao público os dados em bruto, covidado à sua orgaização pelo seu valor facial, e à cosequete imagem profudamete distorcida e ijusta do trabalho das escolas e dos seus profissioais. Algus cometadores, distaciado-se aturalmete da metodologia adoptada e das coclusões, que cosideraram provisórias, ão deixaram de referir o salto qualitativo que é começar a estudar os problemas com metodologias cietíficas. Nuo Crato, idetificado um telejoral como represetate da Sociedade Portuguesa de Matemática, ao ser questioado sobre a oportuidade da divulgação das coclusões do estudo, voltou a perguta ao cotrário: E porque ão divulgar?, podo a tóica a ecessidade de cohecimeto factual. Marcelo Rebelo de Sousa, a sua iterveção um telejoral de 00/0/3, apotou também deficiêcias várias, omeadamete modelar em bloco (isto é, calcular a mesma ota esperada para) todas as escolas de um cocelho, quado por vezes - pese-se em Lisboa - a diversidade de codições sociais em sub-zoas do cocelho é eorme, mas também ele referiu a ecessidade de progredir de uma apreesão meramete qualitativa da realidade para uma ivestigação quatificada. Posteriormete Nuo Crato, em artigo publicado o Expresso (00-0-), euciou críticas severas ao trabalho da equipa da FCSH da UNL: iadequação e istabilidade dos modelos de baixos poderes explicativos, aida por cima obtidos depois da discutível exclusão dos casos que mais se afastavam dos valores esperados pelo modelo, que exibem correlações espúrias, sedo o critério de seriação uma egeharia social pateralista [ e] tosca. A seriação ecomedada pelo Miistério da Educação baseia-se a difereça etre a classificação obtida em exame acioal e uma classificação esperada calculada como variável resposta a diversas variáveis sociológicas, usado regressão múltipla, uma das áreas mais usadas - e mais mal usadas - da Estatística, uma disciplia que, cada vez mais, faz parte do istrumetal de qualquer trabalhador cietífico. Mas o deficiete uso da Estatística tem cotribuído para o mau ome desta ciêcia, que de há muito é acusada de metira superlativa ( Lies, damed lies ad Statistics, uma frase que o humorista Mark Twai atribuíu a Disraeli, certamete para exemplificar o que são damed lies: aida hoje muitos pesam que a frase se deve de facto a Disraeli). Sedo um assuto de iteresse geral, mas particularmete pertiete para todos os professores, procuramos repor o bom ome da Estatística referido os cuidados com que deve ser usada. Optamos por ir directos ao assuto, expodo a secção como se procedeu à seriação das escolas, e as críticas ievitáveis ao trabalho de Grácio et al. (00), deixado para a secção 3 uma exposição elemetar do que é regressão e regressão múltipla, com uma discussão cuidadosa das razões pelas quais um valor R << os deve levar a, prudetemete, abadoar um modelo tão pouco explicativo. Esta é, afial, a mais severa crítica estatística que fazemos ao trabalho daqueles autores, jutamete com um reparo sobre cofudimeto. No plao do mero bom seso, criticamos também Grácio et al. (00) por usarem como critério de seriação a difereça etre classificações os exames acioais e classificações estimadas pelos modelos, um critério disparatado mesmo o caso de os modelos serem exceletes, pois tederia a pealizar os melhores e a beeficiar os piores.

19 . Seriação das Escolas do Esio Secudário (00/00) A documetação divulgada por Grácio et al. (00) é iteressate, mas em algus aspectos omissa, e outros pouco crítica. Comecemos pela descrição do que foi feito: Defiiram-se variáveis pricipais - X : idicador do poder de compra em cada cocelho, com base em dados do INE em 000; - X : taxa de ão escolarização o º ao, quociete etre a população de 7-8 aos ão escolarizada o º ao e a população de 7-8 aos, por cocelho; - X 3 : Número médio de aos de escolaridade da população em cada cocelho, com base em dados do INE (receseameto de 00); - X 4 : uma variável muda classificado o estabelecimeto de esio como público ou privado. Cosideraram-se aida variáveis de iteracção etre os factores acima, - X : iteracção etre poder de compra e taxa de escolarização; - X 3 : iteracção etre taxa de escolarização e taxa de ão escolarização e defiiu-se o modelo geral de regressão múltipla ^Y=a+ b X + b X + b X + b X + b X variáveis foi feita passo a passo (forward). O relatório é aturalmete omisso os detalhes técicos, mas certamete houve uma iclusão hierarquizada variável a variável - isto é, em cada passo icluiu-se a variável com maior capacidade de melhorar o modelo, avaliado-se o icremeto do poder explicativo que essa iclusão trazia ao modelo. Deixou de haver iclusão de variáveis quado a última iclusão tetada ão produziu melhoria sigificativa, elimiado-se do modelo esta última variável. Os resultados obtidos costam da tabela abaixo. Certamete a ordem em que as diversas variáveis de regressão aparecem tem que ver com a,ordem em que foram icluídas o modelo. São também idicados, em cada caso, os valores de R. Média das disciplias Biologia Modelo seleccioado R ^ Y= X X ^ Y B = X X X Matemática ^YM = X X X 0.9 Sociologia ^ Y S = X 0.33 Des. e Geom. Desc. A ^Y D = X Química ^YQ = X X Português A História ^ Y P = X ^ Y H = X Iglês 6 ^YI = X +.6 X X Filosofia ^ Y F = X 0.08 ode a variável depedete Y é uma variável resposta que pretede ser a predição da ota esperada (um eleco de discipias escolhidas, e que adiate se explicitam, e a média das disciplias) de um aluo habitado aquele cocelho. Os coeficetes b, b 3, b 4, b, b 3 traduzem a ifluêcia que as correspodetes variáveis idepedetes têm sobre a variável resposta. Não é para ós claro por que razões a variável de primeiro ível X ão aparece o modelo. Porvetura a metodologia de costrução do modelo em cada caso, que adiate detalhamos, uca levou à iclusão dessa variável, e o relatório fial ão foi icluída, por isso, o modelo geral. O cálculo do modelo em cada um dos casos cosiderados foi feito com recurso ao package estatístico SPSS. A iclusão das A tabela acima foi trascrita da p. 5-6 de Grácio et al. (00) Forecem também aqueles autores (p. ) coeficietes estadardizados, que algus preferem para efeitos de comparabilidade: Média das disciplias Biologia Matemática Sociologia Des. e Geom. Desc. A Química Português A História Iglês 6 Filosofia Modelo seleccioado R Y= ^ X ~ X Y ^ B = ~ X ~ X ~ X Y ^ M = ~ X ~ X ~ X 0.9 Y ^ S = ~ X 0.33 Y ^ D = ~ X Y ^ Q = ~ X ~ X Y ^ P = ~ X Y ^ H = ~ X Y ^ I = ~ X +0.7 ~ X ~ X Y ^ F = ~ X 0.08

20 Calcula-se etão a ota média Y i (ode i { B, M, S, }) obtida pelos aluos da escola, o exame acioal, em cada uma das disciplias, e determia-se a difereça d i = Y i - ^Y i etre a classificação média observada e a classificação esperada (isto é, postulada pelo modelo). Estas difereças são ordeadas decrescetemete, e disso resulta a seriação das escolas o que refere cada uma das ove disciplias cosideradas. Procede-se aalogamete para calcular a difereça o que refere médias das disciplias das escolas, Y- ^Y, sedo Y= N d j= N d Y j, ode N d represeta o úmero de disciplias de º leccioadas a escola, e Y j é a classificação média os exames a j-ésima dessas disciplias (ão há idicação de que se use depois uma poderação as fórmulas que teha em cota o úmero muito desigual de aluos que se apresetam a exame as diversas disciplias), e ^Y é defiida de forma aáloga, usado as otas esperadas ^Y i calculadas pelos modelos de regressão ajustados a cada uma delas. Não coseguimos explicar aos leitores a que poto as variáveis idepedetes são importates, em absoluto, a composição desta ota esperada, porque ão é explícito que valores podem assumir, qual a escala em que cada variável idepedete foi registada. Não há, cosequetemete, iformação que os permita ter uma ideia de como comparam com a ordeada a origem, a que poto a podem alterar. Para ser mais cocreto: se cada uma das variáveis idepedetes (com excepção da dummy X 4, de que cosideramos o estado X 4 =0) variar de -0 a 0, a ota esperada de Biologia pode ir de = a =9.64; se variar de -5 a +5, pode ir de 76.5-( )/=68.06 a 76.5+( )/ =84.455; se variar de -80 a 80, a ota esperada pode ir de ( )= a ( )= (Claro que ada obriga as diversas variáveis a tomarem valores os mesmos itervalos.) Recomedamos, aturalmete, a verificação das fotes este caso Grácio et al. (00) - podedo assim o leitor fazer a sua própria leitura e iterpretação. Até os autores maifestam algum descoforto com o estudo a que procederam, omeadamete devido à falta de iformação sobre o estado dos cohecimetos académicos dos aluos o âmbito de cada disciplia à etrada do º ao, com o facto de calcularem a mesma ota esperada (por disciplia e média) para todas as escolas do mesmo cocelho, o que ão repercute portato a própria variedade socio-cultural existete o iterior do mesmo cocelho, ou haver escolas privadas em cotrato de associação com o Miistério da Educação. Esta descrição detalhada foi feita o ituito de facilitar a compreesão das críticas (que ão isistem estes potos fracos que os autores já recoheceram) que seguem:. O critério de seriação é iadequado Logo à cabeça, ão podemos deixar de sublihar um poto que os parece cotestável à luz do seso comum, crítica que aida por cima persistirá mesmo que os modelos adoptados para atribuição de uma ota esperada veham a torar-se muito mais sofisticados: o critério de seriação adoptado pode ser traduzido por um aforismo apropriado para um ifero mais modero do que o de Date: Aqui, os bos ada podem esperar, os maus ada têm a temer!, em vez do datesco Vós que etrais, abadoai toda a Esperaça. Com o critério usado - desvio etre a ota média obtida pelos aluos da escola e a ota esperada calculada por um modelo - é obviamete mais provável que uma escola com má ota esperada seja seriada o topo (e dificilmete será seriada o fudo) do que uma escola que teha uma ota esperada elevada, a qual provavelmete obterá um rak muito pouco agradável. Tomado as otas valores de 0 a 0, dificilmete uma escola em que a ota esperada é 9 poderá subir, dificilmete uma escola em que a ota esperada é poderá descer. Uma caricatura expressiva dos erros em que se icorre 3

21 com a utilização de desvios deste tipo como base de seriação é a seguite: Usa-se o papel de ^Y a ota de igresso do último cadidato admitido um curso uiversitário o cocurso acioal, ª fase, há seis aos. Supoha-se, só a título de exemplo, que - Na Liceciatura em Matemática da Uiversidade A foi Na Liceciatura em Matemática da Uiversidade B foi 5.4. Usa-se o papel de Y a ota média de coclusão da liceciatura dos liceciados o ao passado. Cotiuado o exemplo, - Na Liceciatura em Matemática da Uiversidade A, Na Liceciatura em Matemática da Uiversidade B,.9. Atribuem-se potuações Y- ^Y, isto é, o caso destes cursos, - Na Liceciatura em Matemática da Uiversidade A...,.. - Na Liceciatura em Matemática da Uiversidade B..., É óbvio que a Liceciatura em Matemática da Uiversidade B deve ser seriada muito acima da Liceciatura em Matemática a Uiversidade A, ão é? A Liceciatura em Matemática da Uiversidade B atrai aluos meos qualificados, os que termiam a liceciatura fazem-o com médias mais baixas, mas que importam esses pormeores?. Os modelos usados são iadequados. Cito, do clássico de Medehall ad Sicich (996, 5 th ed., p. 9): R is a sample statistic that represets the fractio of the sample variatio of the y values (measured by SS yy ) that is attributable to the regressio model. Thus, R =0 implies a complete lack of fit of the model to the data, ad R = implies a perfect fit, with the model passig through every data poit. I geeral, the closer the value of R is to, the better the model fits the data. To illustrate, the value R = i the immuoglobuli example [ ] implies that 93.8 % of the sample variatio i IgG (y) is attributable to, or explaied by, the idepedet variable maximal oxige uptake (x). Thus R is a sample statistic that tells how well the model fits the data, ad thereby represets a measure of the utility of the etire model. Creio que ão deixa dúvidas: qualquer dos modelos propostos por Grácio et al. (00) é iadequado, grosseiramete iadequado, e ão sei que iterpretação dar à afirmação No caso da média de todas as disciplias por escola compreede-se o poder explicativo elevado do modelo (Grácio et al., 00, p.) quado o valor de R é apeas 0.3. A verdade é que os valores da estatística R são todos excessivamete baixos (o melhor dos casos, Biologia, o modelo ão cosegue explicar mais do que % da variâcia de Y o que quer que isto queira dizer esta situação tão bizarra - e, em 6 dos 0 casos estudados, meos de 0 %, baixado até aos %), e qualquer utilizador de Estatística, face a estes valores, deveria procurar modelos alterativos. Nestas codições, a elimiação dos casos que mais directamete questioavam o ajustameto (os outliers) tora-se suspeita. Cosulte-se o clássico de Barett e Lewis (994), e a sua discussão do que é um outlier. Aliás, simples reflexão leva-os a questioar os modelos propostos. Por exemplo, sabedo-se que os ecarregados de educação de aluos do º ao recorrem frequetemete à cotratação de explicadores de Matemática, fará setido um modelo em que a variável X - poder de compra em cada cocelho ão aparece seão através da iteracção X, que apeas é icluída a terceira iteração e com uma carga 0.00? E que pesar do modelo ^Y S = X para a Sociologia? A Sociologia será uma área de estudo quase imue a variáveis sociais? (Como atrás cometámos, ão sabemos qual a escala de variação de X, mas a sua ifluêcia o cálculo da ota esperada parece irrelevate). Cometários idêticos, aturalmete, para os modelos ^Y P = X para Português A, e ^Y = F X para Filosofia. 4

22 Em algus modelos a variável muda X 4 tem uma prepoderâcia que leva a reflexões hamletiaas: ser ou ão ser privado, eis a questão. Que estraho outros casos em sequer aparecer! suspiro ão pode ser automaticamete iterpretado como alívio. Um exemplo meos poético: Se treiarmos 30 cães de um grupo experimetal a ilha do Corvo a atravessarem a rua apeas quado um humao o faz, e ão treiarmos Justifica-se um modelo de regressão múltipla? cães de um grupo de cotrolo em Lisboa, e ao fim de seis Não é uma questão académica. A regressão múltipla é uma área sofisticada da Estatística, com um desevolvimeto matemático rigoroso, que se apoia em pressupostos tais como gaussiaidade (ormalidade) dos dados, que dificilmete se aplicam quer a algumas das variáveis sociológicas usadas como regressores quer às otas dos exames acioais (e este caso ão temos dúvidas, basta fazer um histograma). É uma questão demasiado técica para poder ser abordada sucitamete, recomedamos aos iteressados o Capítulo 6 (Some Regressio Pitfalls) de Medehall ad Sicich (996). Claro que há Modelos Lieares Geeralizados ; também este caso há que começar por verificar se são usáveis com os dados dispoíveis. meses tiverem morrido atropelados 6 dos cães ão treiados e apeas um dos cães treiados, a difereça altamete sigificativa ão pode ser atribuída ao treio, porque a diferete localização (e cocomitate tráfego rodoviário) dos dois grupos é um factor de cofudimeto. Na questão da seriação das escolas, uma ivestigação meramete observacioal como a que foi feita, ão terão ficado de fora tatos factores de cofudimeto? Por exemplo, úmero de professores liceciados habitado o cocelho, úmero de professores efectivos residido o cocelho, realização de acções de formação o cocelho, variedade e abudâcia de locais de jogo o cocelho, riqueza dos programas culturais das autarquias locais, existêcia de bibliotecas com ambiete agradável, locais de reuião e estudo como a Ágora de Lisboa. Além disso, só plaeametos experimetais cuidadosos 4. A seriação padece de cofusão. permitem cocluir causalidade da correlação (veja-se por exemplo Schweigert, 994, tão cuidadosa porvetura por saber que o seu público alvo é de utilizadores de Estatística das áreas de Ciêcias Humaas). Em estudos meramete observacioais, como este, é um salto o descohecido - autores há que lhe chamam o pecado mortal dos maus utilizadores da Estatística - iferir que a difereça etre otas obtidas e otas esperadas (aida que os modelos fossem adequados, o que em é o caso) é causada pela iterveção da escola e dos profissioais que ela trabalham. Grácio et al. (00) recohecem algumas limitações do modelo que propõem. Parece-me essecial que recoheçam que o modelo que propõem, loge de ser mil vezes preferível a forecer simplesmete ao público os A meu ver, a iadequação dos modelos deveria ter levado ao seu abadoo, como referido o poto. Preferem Grácio et al. (00, p. 4) cocluir que a difereça etre a ota média obtida pelos aluos da escola e a ota calculada pelo modelo que propugam é uma aproximação ao cotributo das escolas para a apredizagem dos aluos. Apesar do cuidadoso frasear (omeadamete do termo aproximação, em itálico), que parece idicar que os autores têm algumas preocupações sobre cofudimeto (apesar de tal ão ser arrolado as iteressates otas críticas da Nota Fial, pp.-3), esta variável é usada para proceder à seriação das escolas. Mas O alívio é irmão gémeo do desapotameto. Ambos se dizem do mesmo modo: pelo suspiro Por isso, um Mia Couto (00). Um Rio Chamado Tempo, Uma Casa Chamada Terra, Camiho, Lisboa, p 37. 5

23 dados em bruto é apeas um excelete exemplo de mau uso da Estatística (ou, mais propriamete, mau uso de um package estatístico). 3. Regressão - modo de usar que usar R como critério da qualidade do ajustameto, devedo valores baixos serem um sial de setido proibido o que refere o modelo que esaiámos. Mas etremos a questão do porquê usar regressão, exemplificado o uso da regressão liear, a fim de simplificar a exposição: Usado um package estatístico para exprimir uma variável resposta como fução de variáveis cotroladas, há sempre uma resposta. É aliás usual dizer que o problema reside em que quado se mete lixo o computador, dele só sai lixo. Muitos programas - e omeadamete o SPSS - são vedidos com excelete documetação, e têm iformação olie; mas em última aálise, é o utilizador que tem a resposabilidade de ter uma visão crítica do que está a fazer. Áreas como regressão e aálise da variâcia são aturalmete muito apelativas para os utilizadores, e por isso é frequete deparar com exemplos de mau uso da Estatística (algus autores falam mesmo de abuse of Statistics). Descrevemos por isso de forma rudimetar o que é a regressão liear (se o padrão ão for liear, a situação é muito mais complexa, usado-se em muitos casos trasformações capazes de liearizar os dados). Acoselhamos sempre uma represetação prévia dos dados um diagrama de dispersão, por forma a avaliar visualmete se um padrão liear é adequado. Discutimos também o setido do coeficiete de determiação r, para se perceber por que razão só se deve usar um modelo liear se r (e, mesmo assim, há sempre que ser crítico, veja-se Pestaa e Velosa, 00, p. 49, ode se alerta para situações em que valores elevados de r ão correspodem a padrões lieares de associação, e valores de r próximos de zero surgem com depedêcia - ão liear, claro - estrita). A regressão múltipla é uma extesão que ada tem de revolucioário, do poto de vista coceptual, apeas já ão há uma avaliação visual que os guie - temos por isso Por vezes temos facilmete acesso a uma variável x, e gostaríamos de a usar para cohecer uma variável y que julgamos estar fortemete correlacioada com a primeira. Por exemplo, há boas razões para acreditar que há evasão fiscal, que há cotribuites que metem sobre o motate y dos seus redimetos, e seria iteressate usar uma avaliação x dos siais exteriores de riqueza para estimar y. Pretede-se por isso um modelo de regressão y= ^y+ ε, ode ^y i = ƒ(x i ) é a estimativa de y i correspodete ao valor observado x i e ε i é o resíduo esse poto; por vezes, também se chama a ^y i sial, e a ε ruído. A variável y é em geral deomiada variável depedete ou variável resposta, e a variável x é a variável idepedete, ou variável cotrolada, ou preditor; ão têm, obviamete, o mesmo estatuto, há uma hierarquização importate, ão faz setido iverter a fução f para exprimir x como fução de y (seria igorar os resíduos, mas sobretudo ão eteder o âmago do problema, em que a referida hierarquização variável resposta/variável cotrolada é essecial). Um exemplo ajuda a esclarecer: predizer o perímetro da cabeça à asceça é decerto importate, pode determiar se se deve atecipar um parto ormal ou ecessidade de recorrer a uma cesariaa. Podemos por isso recorrer a uma amostra para estudar o problema. Supoha-se que uma equipa de obstetras recolhe os seguites dados, relativos ao comprimeto (em cm) do biparietal, medido recorredo a uma ecografia do feto a 34ª semaa da gravidez, e ao perímetro da cabeça a altura do ascimeto, também em cetímetros, 6

24 x biparietal y - perímetro cefálico x biparietal y - perímetro cefálico (34ª semaa) (à asceça) (34ª semaa) (à asceça) sedo o objectivo exprimir a variável depedete y (perímetro cefálico) em fução da variável idepedete x (comprimeto do biparietal), y=f(x). Por outras palavras, cosideramos que os valores observados y i são flutuações amostrais em toro de um modelo ^y i = ƒ(x i ), ou seja que os valores observados podem ser escritos y i = ^y i + ε i, sedo os ε i resíduos desprezáveis. Claro que gostaríamos que os resíduos fossem, idealmete, ulos, um ajustameto perfeito do modelo à realidade. Mas isso é pedir demais; por isso vamos ser mais modestos, e esperar que sejam perturbações amostrais de 0, isto é que flutuem (moderadamete) em toro de 0, sem padrão defiido. Caso ada se diga sobre a forma aalítica de f, o problema é aturalmete idetermiado. Em muitas circustâcias os dados (ou trasformações simples dos dados) exibem um padrão liear. Neste caso, há boas razões para esperar um padrão liear, uma vez que o perímetro cefálico à asceça y ão deve afastar-se muito de π biparietal à asceça, sedo decerto o biparietal à asceça um pouco maior do que a avaliação obtida por ecografia a 34ª semaa. Um represetação gráfica dos dados ão suscita dúvidas sobre a adequação deste padrão liear (Figura ) Figura : Gráfico de dispersão dos dados (biparietal, perímetro cefálico). Vamos por isso usar um ajustameto liear aos dados, ^y=f(x)=ax+b, usado um critério de aproximação adequado. O mais usual é adoptarmos o critério dos míimos quadrados: vamos determiar os parâmetros (coeficietes) da fução por tal forma que a soma dos quadrados dos desvios (isto é, resíduos) etre os valores observados y i e os valores estimados ^y i =f ( x i ) ε i = ( yi ^yi ) i= i= seja míima. Note-se que este exemplo o coeficiete de correlação é r x,y =0.95 (o coeficiete de determiação é r 0.90) pelo que esperamos que haja uma associação liear forte etre as variáveis. Vamos etão determiar os coeficietes a e b tais que o desvio quadrático global seja míimo 3. Q(a,b)= ( yi axi b) i = 3 Estamos a miimizar a soma dos quadrados dos desvios medidos a vertical etre cada ordeada observada e a correspodete ordeada estimada pela recta. Isto complemeta a observação aterior sobre a hierarquização das variáveis e a observação de que ão faz setido iverter a fução f - para exprimir x como fução de y há que resolver outro problema, que é miimizar a soma dos quadrados dos desvios medidos a horizotal, etre cada abcissa observada e o valor postulado como fução da correspodete ordeada (Figura ). 7

25 Figura : Desvios verticais dos potos à recta. Tomado etão o sistema de estacioaridade (isto é, igualado a zero as derivadas parciais em relação às icógitas a e b, respectivamete), obtém-se Qab (, ) = ( yi axi b)( xi) = a 0 i= Qab (, ) = ( yi axi b)( ) = b 0 i= (a seguda daquelas equações exprime que a soma dos resíduos é ula, como tíhamos requerido). Ficamos assim com o sistema de duas equações lieares as duas icógitas a e b, cuja solução é xi a+ xb i = xy i i i= i= i= xa i + b= yi i= i= xiyi xi yi i= i= i= a = xi xi i= i= b = y ax No exemplo, a= 3.49, b= 4.9, dode o modelo de regressão y=3.49 x+4.9+ ε, um resultado que ão é iesperado: devido à forma da cabeça, estamos a calcular algo que está muito próximo do perímetro de uma circuferêcia com diâmetro biparietal. Assim, o coeficiete 3.49 é uma perturbação de π =3.4 (ote-se que o biparietal cresce etre a trigésima quarta semaa e a altura do parto, o que também explica uma ordeada a origem positiva, e que o perímetro máximo da cabeça ão é exactamete o perímetro de uma circuferêcia). Vejamos agora qual o setido da recta de regressão: Como xi = x, segue-se que a = i= x y x y i= i i i i= i= xi xi i= i= i i= ( x x) y i i= =. xi x Notado que xi x = ( ) sx, e que i= ( xi x) yi = ( xi x)( yi y) = ( ) cov( xy, ) i= i= (a primeira igualdade é cosequêcia imediata de ( xi x) = 0) deduz-se etão i= cov( xy, ) cov( xy, ) sy a = = = r s s sxsy sx s y, x x ode r deota o coeficiete de correlação empírico etre x e y. Por coseguite a recta de regressão pode ser reescrita ^y = ax + b = ax + y ax y y = r s ( x x), s e padroizado x e y ^ y y r x = x s s, y x y x i 8

26 ou seja a ordeada padroizada é proporcioal à abcissa padroizada, sedo r=r xy o coeficiete de proporcioalidade. Em cosequêcia, a variâcia da versão padroizada de ^y é, pelo que sabemos sobre a variâcia de uma trasformação liear, r variâcia da versão padroizada de x,ou seja var( ^ y) var( x) = rxy, = rxy, var( y ^ ) = rxy, var( y) sy sx e cosequetemete 4, de y=^y+ε segue-se que var( y) = var( ^ y) + var( ε) Quer isto dizer que var( y) = r xy, var( y) + var( ε) Por isso r =r xy, é iterpretado como a fracção da variâcia de y que é explicada pela relação liear etre y e x, e deomiado coeficiete de determiação. E, como subproduto, coclui-se que a fracção da variâcia de y que fica por explicar pela referida relação é -r. Ou aida, var(ε)= (- r xy, ) var(y). De facto, desevolvedo ( yi yi), e recordado que b = y ax, vem i= ( yi y^ i) = ( yi axi b) = [ ( yi y) a( xi x) ]. i= i= i= Como a = cov( xy, ), e ε=0, segue-se que s x ( ) s = ε εi = ( yi ^ yi) = i= i= = ( ) ( ) cov( xy y, ) i y = s i= x = ( ) ( ) cov( xy s, ) y = sx = cov( xy, ) ( ) sy, s s x y cocluido-se etão que s ε = r s y. Naturalmete, se r << cosideramos que o modelo de regressão ão é adequado. Cosulte-se Pestaa e Velosa (00, Capítulo ), de que o exemplo acima é extraído, ode muitos gráficos expressivos ilustram os cuidados que há a ter a iterpretação de correlações. Da expressão y ^ y x x = rxy, s tira-se y sx s ^ y y = y + rxy, ( x x). s x Por outras palavras, para predizer y fazemos uma correcção ao seu valor médio y, correcção essa que é proporcioal ao desvio estadardizado do valor observado do preditor x relativamete à sua média x - directamete proporcioal em termos da correlação etre as variáveis e do desvio padrão de y. (Esta expressão paraleliza um importate resultado sobre valores médios codicioais em pares aleatórios gaussiaos; a fudametação teórica da adaptação de uma recta de regressão é a admissão implícita de que o modelo populacioal é multiormal 5 ). Por exemplo, supoha-se que a correlação etre peso e altura de joves portugueses a classe etária dos 8-5 aos (uma classe bem cohecida o que respeita muitas características físicas, por causa da ispecção militar) é 0.95, que sabemos que a altura média é.7 m, que o desvio padrão é 0.07 m, que o peso médio é 68 kg, e o desvio padrão é 4 kg. A melhor ideia que podemos ter sobre o peso de um idivíduo escolhido ao acaso é o peso médio, 68 kg. 4 Aqui permitimo-os alguma falta de rigor: estamos a admitir que resíduos e modelo são idepedetes, e que por isso a variâcia da soma é a soma das variâcias. Mas é irresistível tetar mostrar que há ideias simples e iteressates motivadoras do que estamos a fazer, e que ão é apeas uma colecção de fórmulas complicadas e sem setido. Por outro lado, deduzimos já de seguida que s ε = r s y. 5 Lukacs (956) caracterizou os modelos populacioais em que a regressão é liear. 9

27 Porém, se quiserem ter uma ideia melhor do peso, e coseguirem avaliar que a altura é.86 m - um desvio de 0.4 em relação à altura média, ou seja um desvio padroizado 0.4/0.07=, parece sesato fazer uma correcção à estimativa iicial peso, correcção essa que é =7.6 kg, avaliado-se agora o peso em 75.6 kg. A capacidade preditiva do biparietal é excelete (Kurtz et al., 980), decerto melhor do que a do fémur. Mas a prática é o comprimeto do fémur esquerdo que se usa, porque é fácil de medir, e o coeficiete de determiação é suficietemete elevado para os permitir predizer de forma útil (Hadlock et al., 983). Os outros cadidatos a regressor referidos levam a coeficietes de determiação mais baixos, e por isso são preteridos. Covém também aotar que maior comprimeto do fémur ão causa maior perímetro craiao. Trata-se de uma associação estatística, e ão de causalidade. Estudos observacioais como o descrito ão permitem aceder a causalidades, apeas estudos experimetais, em que deliberadamete se altera o tratameto de um grupo experimetal para comparar a difereça de efeitos médios face a um grupo de cotrolo que ão foi alterado, permitem estabelecer relações de causa a efeito. Note aida que um setido estrito os dados acima deveriam ser aalisados uma perspectiva de correlação, e ão uma perspectiva de regressão. No referido estudo, uca poderíamos cosiderar o biparietal x uma variável cotrolada, e o perímetro cefálico y uma variável resposta. Mas pareceu-os didacticamete iteressate tratálos deste modo 6, pela iterpretação ituitiva que forecem para os coeficietes da recta de regressão. E a perspectiva em que os colocámos, embora x ão seja de facto uma variável cotrolada, é aterior (34ª semaa) a y, e serve decerto como preditor. Tudo o que foi exposto faz setido, isistimos, se houver, de facto, um padrão liear; r ão garate a existêcia desse padrão (veja-se Pestaa e Velosa, 00, p.49), Claro que procurar relações que já se cohecem à partida, como o exemplo perímetro cefálico à asceça = 3.49 x biparietal a 34ª semaa +4.9, só tem iteresse a exposição iicial do método. Obter dados como os descritos em é fácil (muito ates da 34ª semaa de gravidez já a maioria dos bebés tem a cabeça voltada para baixo, uma posição que ão permite boa medição do biparietal uma ecografia). O que em geral vem registado uma ecografia é o comprimeto do fémur (Hadlock et al., 983). A correlação etre o comprimeto do fémur e o perímetro da cabeça ão é com certeza tão forte quato a correlação etre o biparietal e o perímetro da cabeça - mas é suficietemete elevada para permitir predizer liearmete usado o método dos míimos quadrados, obtedo itervalos de predição com um grau de cofiaça elevado. Detemo-os um pouco mais este poto. Queremos predizer o perímetro cefálico à asceça, e seria atural, em termos geométricos, usar a medição ecográfica do biparietal a 34ª semaa. Mas por razões biológicas que todos etedemos, em sempre esta medição está acessível. Mas podemos aceder facilmete a outras medições - batimeto cardíaco, comprimeto do fémur, comprimeto do polegar, ph do líquido amiótico, perímetro do pescoço, comprimeto da colua. O atural é, de etre as várias cadidatas, escolher a que tem a melhor relação custo/ beefício, sedo aturalmete o custo a dificuldade em medir essa variável, e o beefício um coeficiete de correlação etre preditor e variável resposta com valor absoluto próximo de. Teremos assim um coeficiete de determiação elevado, por outras palavras a dispersão da variável resposta fica quase totalmete explicada pela variabilidade da variável cotrolada. 6 Apesar de haver difereças coceptuais importates etre estudos em que se usa a regressão e estudos em que se usa a correlação, a prática muitas vezes os dados são usados como se servissem para uma e outra abordagem. Para além dos aspectos meramete técicos, é importate para os utilizadores de Estatística saberem se estão a fazer um estudo experimetal ou um estudo observacioal, se podem supor que uma das variáveis é cotrolada, e que codicioalmete a cada valor dessa variável é possível calcular uma resposta média (mesmo que seja apeas de uma observação!) que possa ser ecarada como valor observado do valor médio codicioal, que é o coceito teórico de regressão. 30

28 mas r << garate que ão existe. É um poto importate em que os utilizadores da Estatística devem atetar: o valor da Estatística está a sua capacidade de arredar ideias erradas, precoceitos, e é esse papel que é um garate da Ciêcia. Já o século XIX Carlyle (Chartism) observou argutamete: A witty statesma said you might prove aythig by figures, but a judicious ma looks at statistics, ot to get kowledge, but to save himself from havig igorace foisted o him. A Estatística é um istrumeto que os ajuda a trasformar iformação em cohecimeto. Se houver mais iformação dispoível, por exemplo diversas variáveis cotroladas x, x,, x dispoíveis, podemos decerto estimar melhor a variável resposta y - desde que, evidetemete, haja uma correlação apreciável etre x k e y. Podem os iteressados ver em Shepard et al. (98), por exemplo, a excelete predição que se pode fazer do peso de um bebé à asceça, usado como variáveis regressoras o comprimeto e o perímetro abdomial do feto, medidos em ecografias. Não há assim ovidades coceptuais em cosiderar um modelo de regressão múltipla y=b 0 + b x + b x + + b x. Neste caso, obviamete, perde-se a capacidade de avaliação visual da (i)existêcia de padrão liear. Os cálculos são obviamete mais complexos, e raramete alguém os faz sem recurso a um package adequado. Claro que pode 7 00% das pessoas que morrem de cacro praticaram relações sexuais ou são filhas de pessoas que praticaram relações sexuais, mas daí ão se deve iferir que a prática de relações sexuais explica a preocupate prevalêcia da doeça, uma das pricipais causas de morte. Este exemplo é ispirado um coto de Empresta-os o Seu Marido? - e Outras Comédias da Vida Sexual, de Graham Greee. 8 Não deixa de ser curioso aotar que em geral é o úmero de citações que seria os ivestigadores, para as agêcias fiaciadoras. Herrstei e Murray estão o topo, de tão citados que são pelas exemplares aseiras que cometeram o mau uso da Estatística! Mais um exemplo de como a utilização acrítica de bases de dados, modelos e algoritmos de cálculo é um itierário para o disparate, e pertiete o coselho ates de ligar o computador ligue o cérebro. haver iformação redudate, e essa altura a utilização de algumas das variáveis cotroladas pode ão trazer maisvalias. Por isso os algoritmos são em geral stepwise, ou vão icluido as variáveis uma a uma, escolhedo em cada passo a que pode trazer mais poder explicativo ao modelo, parado quado ão há melhoria sigificativa (forward), ou partem de um modelo cosiderado todas as variáveis cotroladas dispoíveis, e em cada passo elimia-se a que é meos explicativa, equato essa elimiação ão causa uma degradação qualitativa sigificativa (backwards). A avaliação da qualidade do modelo é feita em termos da estatística R, uma extesão do r que usámos em regressão liear simples: R ão garate que o modelo de regressão liear múltipla seja adequado - há correlações espúrias 7 -, mas permite-os ter esperaça de que ão seja grosseiramete iadequado. Mas R << deucia a iadequação do modelo. O leitor decerto ão estrahará que cosideremos idefesáveis os modelos propostos por Grácio et al. (00) para a seriação das escolas. 4. Uso e Mau Uso da Estatística, Iformação e Cohecimeto Não é raro aparecerem trabalhos cietíficos fazedo mau uso da Estatística, uma situação que decorre de os próprios avaliadores de revistas de outras áreas do cohecimeto ão domiarem apropriadamete as metodologias estatísticas. Em particular em Ciêcias Humaas, a tetação de propor modelos simples para feómeos complexos tem levado a polémicas como as que evolveram a publicação de Herrstei ad Murray (994). Quiseram estes autores usar o Quociete de Iteligêcia como preditor do sucesso do idivíduo a sociedade - com corolários perversos como a irrelevâcia de gastos públicos em educação. A comuidade cietífica (Devli et al., 997) cerrou fileiras a codear o mau uso da Estatística feito por aqueles autores 8 e S. Jay Gould (997) publicou um livro com o sa- 3

29 boroso título The Mismeasure of Ma, em que a má medida é o QI, que ele arrola, justificadamete, como um istrumeto sofisticado de exploração do homem pelo homem. As Ciêcias Exactas têm tedêcia a ser mais prudetes, e a icorrer meos o fascíio que as Ciêcias Humaas parecem ter pelos úmeros, esquecedo por vezes o ecessário recuo a crítica e avaliação dos modelos. As estações meteorológicas registam diariamete os valores de ceteas de variáveis. No etato, até hoje ão foi adoptado ehum modelo de previsão do estado do tempo a médio ou a logo prazo, apesar da relevâcia que essa descoberta teria para áreas tão diversas como aviação, protecção civil, agricultura e turismo. Porvetura porque este caso os erros do modelo seriam imediatamete detectados, e poderiam sair muito caros à Sociedade e, por reflexo, aos autores. Um excelete exemplo de coteção, que recomedamos a todas as áreas do saber. A utilização da Estatística é idispesável a ivestigação em qualquer área. Não foi por acaso que o govero britâico, preocupado com a estreiteza de vistas que os ovos doutorados revelavam, escreveu o Livro Braco Realizig our Potetial, em que pedia às uiversidades que atedessem à ecessidade de uma formação pósgraduada prévia em metodologias da ivestigação cietífica, em que a Estatística tem papel protagoista (Greefield, 00; Graziao ad Rauli, 997). Mas a Estatística é uma disciplia em que cofluem raciocíio idutivo (omeadamete as aplicações) e dedutivo (a criação matemática dos modelos, sua caracterização e codições de aplicabilidade), os resultados são válidos sob hipóteses que por vezes ão admitem relaxação, e por isso é um istrumeto que tem que ser usado com cuidado. A citação de Galto que usámos a abertura ão poderia ser mais eloquete. E basta cosultar Millike ad Johso (989, 997, 00) para os darmos cota dos desevolvimetos coceptuais que a aálise de dados problemáticos trouxe recetemete à Estatística. A Estatística, ifelizmete, tem mau ome pelo mau uso que dela ocasioalmete se faz. É uma questão que preocupa muitos profissioais - é de facto tão ijusto quato vilipediar a Medicia pelas desgraças que acotecem a quem recorre a curadeiros. Não queremos dizer com isto que os estudiosos de outras áreas ão devem usar a Estatística, loge disso. Mas com bom seso (quado está em risco a ossa saúde, é bom alguma clarividêcia: tomarmos por iiciativa ossa uma aspiria, ou ir ao médico?). É muito citada uma frase de Laplace, afirmado que a Teoria da Probabilidade ão é mais do que bom seso sob forma matematizada. Com a sua eorme autoridade, que pea ão ter deixado também para reflexão dos vidouros uma frase sobre o bom seso que deve presidir ao uso de qualquer istrumeto de trasformação da iformação em cohecimeto, de que a Estatística é porvetura o exemplo mais saliete. Agradecimetos Agradeço à Drª Ivoe Dias Ferreira, assessora de impresa do Sr. Miistro da Educação, que me eviou protamete toda a documetação ecessária. Bibliografia Barett, V. ad Lewis, T. (994). Outliers i Statistical Data, 3rd ed., Wiley, New York. Crato, N. (00). As limitações da Estatística. Expresso, 00 0, p. 5. Devli, B., Fieberg, S. E., Resick, D. P. ad Roeder, K. (eds.) (997). Itelligece, Gees ad Success Scietists Respod to The Bell Curve, Spriger, New York. Gigerezer, G. (00). Calculated Risks. How To Kow Whe Numbers Deceive You, Simo ad Schusteer, New York. Gould, S. J. (997). The Mismeasure of Ma, Pegui, Lodo. 3

30 Grácio, S., Fraco, L., Velho, S., Saches, E. e Rijo, S. (00). Proposta de Seriação das Escolas Secudárias Segudo os Resultados Obtidos os Exames Nacioais de º Ao em 00/00, FCSH, Uiversidade Nova de Lisboa. Graziao, A. M. ad Rauli, M. L. (997). Research Methods. A Procedure of Equiry, Logma, New York. Greefield, T. (00). Research Methods. Guidace for Postgraduates, Arold, Lodo. Hadlock, F. P., Deter, R. L., Harrist, R. B., Roecker, E., Park, S. K. (983). A date idepedet predictor of itrauterie growth retardatio: femur legth/abdomial circuferece ratio, Appl. J. Radiology 4, Herrstei, R. J. ad Murray, C. (994). The Bell Curve: Itelligece ad Class Structure i America Life, The Free Press, New York. Huff, D. (99). How to Lie With Statistics, Pegui, Lodo. Kurtz, A. B., Waper, R. J., ad Kurtz, R. J. (980). Aalysis of biparietal diameter as a idicator of gestatioal age, J. Cli. Ultrasoud 8, Lukacs, E.(956). Characterizatios of populatios by properties of suitable statistics. Proc. Third Berkeley Symp. Math. Statist. Probab., vol., Medehall, W. ad Sicich, T. (996). A Secod Course i Statistics Regressio Aalysis, Pretice Hall, Upper Saddle River. Millike, G. A. ad Johso, D. E. (989). Aalysis of Messy Data. Noreplicated Experimets. Chapma ad Hall, Lodo. Millike, G. A. ad Johso, D. E. (997). Aalysis of Messy Data. Desiged Experimets. Chapma ad Hall, Lodo. Millike, G. A. ad Johso, D. E. (00). Aalysis of Messy Data. Aalysis of Covariace. Chapma ad Hall, Lodo. Pestaa, D. D. e Velosa, S. F. (00). Itrodução à Probabilidade e à Estatística, Fudação Calouste Gulbekia, Lisboa. Shepard, M. U., Richards, V. A., ad Berkowitz, R. L. (98). A evaluatio of two equatios for predictig fetal weight by ultrasoud, Am. J. Obstet. Gyecol. 4, 48. Schweigert, W. A. (994). Research Methods ad Statistics for Psychology, Brooks/Cole Publ. Co., Pacific Grove, Cal. Bartoo Luís Afoso, Público, (Publicação getilmete autorizada pelo autor) 33

31 Coversa com Gudlaugur Thorbergsso Etrevista por F. J. Craveiro de Carvalho Departameto de Matemática da Uiversidade de Coimbra Gudlaugur Thorbergsso asceu em Melgraseyri, Islâdia, tedo-se liceciado pela Uiversidade da Islâdia. Os seus estudos de pós-graduação foram feitos a Uiversidade de Bo, tedo a sua dissertação de doutorameto sido orietada por Wilhelm Kligeberg. Trabalhou em Bo, o IMPA - R. J. e a Uiversity of Notre Dame - U. S. A..Esia actualmete a Uiversidade de Colóia. Uma parte importate do trabalho de ivestigação do Professor Thorbergsso é a área da Geometria das Subvariedades. Um artigo seu, uma sítese sobre hipersuperfícies isoparamétricas e geeralizações, apareceu recetemete o Hadbook of Differetial Geometry, Vol. I, publicado pela North-Hollad. Gudlaugur Thorbergsso esteve em Coimbra, em Setembro de 00, para leccioar sobre a geometria das subvariedades dos espaços euclidiaos * e esta etrevista foi cocluída essa altura. F. J. Craveiro de Carvalho- Supoho que ão erro se disser que esta ão é a sua primeira visita a Portugal... Gudlaugur Thorbergsso- Teho sempre a sesação de ter estado frequetemete em Portugal mas, a verdade, esta é a miha terceira visita e houve um espaço de catorze aos etre esta e a última. A primeira vez que vim a Portugal foi em 98 ou talvez em 98. Tiha começado a estudar português e o objectivo da miha visita era estudar itesivamete a lígua durate algumas semaas uma escola de líguas o Porto. O curso foi muito útil e fiz viages curtas aos fis de semaa, uma delas trouxe-me a Coimbra. A seguda vez que visitei Portugal foi em 987. Vivia etão o Brasil e uma vez, um voo de volta ao Rio, aproveitei a oportuidade para parar em Lisboa, ode passei algus dias muito agradáveis. A razão de ter esta sesação de cohecer o país é, claro, Portugal estar muito presete o Brasil. Mas, pesado melhor, oto que o meu cohecimeto de Portugal ão vai loge. Por exemplo, teho um cohecimeto muito superficial da geografia do país. FJCC- Nasceu a Islâdia e está agora em Colóia, a Alemaha. Tem sido uma viagem loga com parages em Bo, IMPA e a Uiversidade de Notre Dame. * um curso publicado como o º 3 da colecção Textos de Matemática do Departameto de Matemática da Uiversidade de Coimbra. 34

32 Quer falar sobre isso? Em particular, quado e como compreedeu que se queria torar um matemático? GT- Decidi estudar matemática ao preparar-me para os exames fiais da escola secudária. Não tiha trabalhado muito os últimos aos a escola de modo que tiha muito a fazer para me preparar. Notei que a matemática era mais fácil que os outros assutos e, assim, decidi apredêla a uiversidade. Não sabia etão, claro, o que sigificava ser um matemático, trabalhar a uiversidade, mas acho que já etão queria ser uma espécie de professor, ou um itelectual pelo meos, mas ão me lembro muito bem. Comecei a Uiversidade da Islâdia o Outoo de 970, tedo a matemática por assuto pricipal e a física por assuto secudário, e acabei a Primavera de 973. Nesse tempo, a Islâdia, ão havia cursos em matemática que fossem além da liceciatura. Decidi cotiuar em Fraça ou a Alemaha. Não queria, essa altura, ir para os Estados Uidos eram tempos de grade ati-americaismo - e, realmete, ão cosiderei a Grã-Bretaha. Obtive uma bolsa para ir para Bo o que torou tudo muito fácil. Comecei em Bo o Outoo de 973 e tudo decorreu de forma calma. Kligeberg deu um curso sobre geometria diferecial elemetar durate o meu primeiro semestre. Frequetei esse curso e fiquei com Kligeberg que orietou a miha dissertação de mestrado (975) e também a miha dissertação de doutorameto (977). Ofereceu-me depois um lugar como assistete que mative até 985. Kligeberg tiha ligações o Brasil, especialmete com Mafredo do Carmo que ele cosiderava ser seu estudate (embora este fosse, pelo meos formal e provavelmete mais do que formalmete, um estudate de Cher). Foi, de forma bastate idirecta, através destas ligações, e de um modo demasiadamete complicado para explicar aqui, que visitei o IMPA, o Rio de Jaeiro, por três meses, em 980. Fiquei fasciado. Desde os meus tempos de escola que tiha curiosidade sobre a América Latia e sobre o Brasil em particular. Na altura por razões políticas mas também porque, a escola e a uiversidade, tiha visto filmes de Glauber Rocha, de quem hoje iguém se lembra, e os tiha achado exceletes. Durate essa visita ao IMPA reparei que ão saber português era um cotra. Decidi portato começar a apreder português e visitar o Brasil por um período maior se possível. Passei o ao de 983/84 o IMPA e foi-me sugerido que cocorresse a um lugar permaete. Fiz isso pois o meu lugar de assistete em Bo era apeas temporário, ão via hipótese de obter um lugar permaete a Alemaha, e de qualquer modo estava mais iteressado em tetar a miha sorte o Brasil. Obtive o lugar e fui para o Brasil em Outubro de 985. Apesar de um salário muito baixo gostei muito de lá viver mas, após dois aos, achei que a situação ecoómica era muito má e que um professor do IMPA podia acabar a miséria se as coisas cotiuassem do modo que estavam. O IMPA era uma istituição excelete para trabalhar, em especial por causa da biblioteca, mas uca estive muito próximo da matemática feita o Brasil. Não foi, cotudo, por essa razão que decidi mudar mas pela situação ecoómica. Cocorri a lugares os Estados Uidos e tive uma oferta da Uiversidade de Notre Dame em Idiaa que aceitei. Não estava muito iteressado em ir para os Estados Uidos e estava muito triste ao deixar o Brasil. Acoteceu, porém, que gostei dos Estados Uidos e a mudaça foi muito boa para a miha matemática. Comecei a trabalhar muito mais arduamete, apesar de ter uma carga horária de aulas mais pesada, e foi logo o meu primeiro ao que iiciei o artigo que é hoje o meu trabalho mais cohecido. Como disse, gostei muito dos Estados Uidos mas achei a cidade ode vivia (South Bed, Idiaa) muito morta e essa foi uma das razões pelas quais decidi cocorrer a um lugar em Colóia, Alemaha. Outra razão foi a dificuldade em ecotrar bos estudates com quem trabalhar, a ível de doutorameto. Tive sorte e tive bos estudates mas sabia que era improvável que cotiuasse a ser dessa forma. Tiha razão ao supor que, em ambos os aspectos, estaria muito melhor em Colóia. É uma história loga e talvez a parte iteressate seja que ão foi tato por causa dos meus iteresses a 35

33 ivestigação matemática que me desloquei de um cotiete para outro ou o mesmo cotiete. codimesão e as codimesões mais elevadas. A propósito, equato estudate em Bo tive a sorte de frequetar um curso aual de Topologia Algébrica dado FJCC- Se ão for demasiado técico pode dar-os uma ideia do trabalho a que acabou de se referir como o meu por Tits. Foi o seu último curso em Bo ates de ir para o Collège de Frace, em Paris. trabalho mais cohecido? GT- Notei que havia uma relação etre duas teorias que, à primeira vista, ão parecem estar relacioadas. Uma é a teoria das subvariedades e a outra a geometria axiomática ou, mais precisamete, a geometria combiatória. Comecemos com a seguda. Pode defiirse um espaço projectivo de dimesão de forma axiomática (ou combiatória) e também como o espaço das rectas vectoriais um espaço vectorial de dimesão +. Se > a equivalêcia das duas defiições é um resultado clássico. Se = as defiições ão são equivaletes e a defiição combiatória leva a terem-se mais exemplos. Uma cosequêcia é a homogeeidade das geometrias projectivas se a dimesão é 3, pelo meos, mas ão a dimesão. Tudo isto foi objecto de geeralização por Tits com o coceito de edifício (ou edifício de Tits ). Estava, e aida estou, iteressado em subvariedades isoparamétricas. Seria complicado defii-las aqui, mas podem ser vistas como sedo as subvariedades mais simples já que os seus ivariates locais, como as FJCC- Houve ou há algus matemáticos que teham sido para si uma fote de ispiração como você agora é para outros? No começo da miha carreira Kligeberg teve, claro, uma ifluêcia muito forte e, provavelmete, alguma dessa ifluêcia aida resta, mas ão muito forte. Comecei a estudar grupos de Lie muito tarde porque Kligeberg tiha grades polémicas cotra eles. Hoje em dia são uma parte muito cetral o meu trabalho. Muito do que teho feito, os últimos dez, quize aos, está relacioado com trabalhos atigos de Bott dos aos 50. Peso cotudo que Bott ão foi realmete uma fote de ispiração para mim embora sempre tivesse gostado das suas iúmeras coferêcias em Bo. Talvez a coisa mais importate o meu desevolvimeto como matemático teha sido passar os meus aos formativos em Bo ode havia, e há aida, um grupo largo e activo de matemáticos exceletes e ode iam muitos dos melhores matemáticos mudiais como visitates e coferecistas. curvaturas pricipais, são costates. Reparei que se pode associar um edifício (o setido combiatório) a uma subvariedade isoparamétrica. A dimesão do edifício é a codimesão da subvariedade. Se esta for 3, pelo meos, etão o edifício é homogéeo o que, por sua vez, pode ser usado para demostrar que a subvariedade isoparamétrica é homogéea. O meu teorema era este e, FJCC- Kligeberg era um grade matemático... GT- Wilhelm Kligeberg era, a altura e de loge, o geómetra diferecial mais ifluete a Alemaha. Pode dizerse que foi ele o moderizador da área o país e a maioria dos geómetras difereciais as uiversidades é formada por estudates seus ou estudates de estudates seus. a altura, foi surpreedete pois havia subvariedades isoparamétricas, ão homogéeas, com codimesão. Há, hoje em dia, três ovas demostrações, todas mais simples e, portato, preferíveis, mas que, coceptualmete, ão explicam tão bem como a miha a difereça etre a Edifício surge aqui como tradução de buildig. Esta termiologia é divertida. Existiam a oção clássica de câmara de Weyl e, posterior, a oção de alcova. Ao apresetar a sua teoria, Tits cotiuou com este tipo de termiologia e itroduziu apartametos e edifícios, ode aqueles objectos existem. 36

34 Começou a estudar matemática logo a seguir à guerra, uma altura em que as uiversidades alemãs eram aida muito proviciaas como cosequêcia da emigração os aos 30. Depois de trabalhar em geometria diferecial bastate clássica, e até os fudametos da geometria, mudou para a geometria riemaiaa o fim dos aos 50. Fez, etão, o seu melhor trabalho que culmiou com cotribuições para o chamado teorema da esfera. Kligeberg trabalhava a existêcia de geodésicas fechadas quado fui estudate dele. Trata-se de uma área para a qual cotribuíram muitos bos matemáticos mas que, ifelizmete, está também cheia de erros. Muitos especialistas ão levavam, e em levam aida, muito a sério o seu trabalho esta área. Depois de se reformar Kligeberg escreveu dois livros sobre as suas viages ao Tibete. Possui aida uma colecção de arte chiesa muito cosiderada. semelhate um artigo de Bott e Samelso, só que eles estão a trabalhar com órbitas equato eu ão. Sabedo isto, iteressei-me por grupos de Lie, subvariedades homogéeas e a questão de quão loge ou quão perto certas classes de subvariedades, como as subvariedades de Dupi ou as isoparamétricas, estão de ser homogéeas. Voltado ao livro, Seifert e Threlfall começam o livro com a citação da itrodução da Astroomia Nova de Kepler. Diz, mais ou meos, que é muito difícil, hoje, escrever matemática. Vou citar de memória, uma razão é que se ão é preciso etão o que se escreve ão é matemática, se se dão muitos detalhes etão iguém perceberá o que se está a escrever. É iteressate como mudaram pouco, ao logo dos séculos, os problemas da escrita de um bom texto matemático. Se pesar os últimos vite aos ão me lembro de um livro de matemática que teha realmete lido do pricípio ao fim. Li capítulos e algumas págias aqui e ali, mas FJCC- Tem talvez um teorema, um livro de matemática favorito cuja preferêcia queira partilhar coosco... raramete o suficiete para poder dizer que o livro é uma pérola. GT- Há tatos teoremas boitos que é difícil escolher um. Equato estudate gostei sempre dos livros de Milor, particularmete do livro sobre Teoria de Morse, mas também do livro sobre topologia do poto de vista diferecial. Mais tarde li Variatiosrechug im Grosse de Seifert e Threlfall e torou-se um dos meus favoritos. Com este livro apredi um método que tem sido muito importate para a miha ivestigação. FJCC- Não há muito tempo soube por si que essa citação tiha um duplo sigificado e que causou alguma reacção... GT- A parte da citação que eu sei de cor é o começo Durissima est hodie codicio scribedi libros mathematicos. O livro foi publicado em 938 de modo que, para os autores, hodie (hoje) referia-se aos tempos egros do terror Nazi. Blaschke pediu-lhes, ates do livro estar impresso, para retirarem a citação pois era, aturalmete, provocatória. FJCC- Que método foi esse? Eles ão o fizeram e Blaschke escreveu uma carta furiosa a GT- Eles calculam a homologia dos espaços dos camihos das esferas. Costroem ciclos cocretos os espaços dos camihos e, com a ajuda da Teoria de Morse, mostram que eles costituem um sistema de geradores dos seus grupos de homologia. No meu primeiro artigo sobre subvariedades, aparecido em 983, eu costruí ciclos aálogos em hipersuperfícies de Dupi. Soube, mais tarde, que existe uma costrução Uma variedade riemaiaa, compacta e simplesmete coexa, para a qual a razão etre o míimo e o máximo da curvatura seccioal é meor que /4 é homeomorfa a uma esfera. Ver, por exemplo, Geometria Riemaiaa, Mafredo Perdigão do Carmo, IMPA, 979. Outros omes ligados a este teorema são o do americao Harry E. Rauch e o do fracês Marcel Berger. 3 Há, em History of Topology, editor I. M. James, North-Hollad, 999, um artigo biográfico sobre Herbert Seifert, da autoria de Dieter Puppe, que, por reflexo, forece alguma iformação sobre William Threlfall. 37

35 Seifert, em que se queixava de ão terem seguido o seu coselho. Talvez ão seja, o cotexto, muito importate mas ão creio que Threlfall fosse alemão. O seu ome era William e Threlfall é um apelido iglês. Dode era atural ão sei. Não cosegui descobrir muita coisa sobre ele 3. Já que falámos em bos livros de matemática vale a pea mecioar que Wilhelm Blaschke escreveu um livro muito importate. O primeiro volume do seu Vorlesuge über Differetialgeometrie, publicado por volta de 90, é, possivelmete, a primeira tetativa para escrever um livro de texto sobre geometria diferecial elemetar do modo que hoje a etedemos. É muito claro que livros sobre o assuto, publicados os dias de hoje, aida devem imeso ao livro de Blaschke. Não diria que é um dos meus livros favoritos porque ão gosto da sua falta de rigor. Os Aufgabe ud Lehrsätze (exercícios e teoremas), o fial de cada capítulo, são iteressates. São uma mistura de exercícios, o setido habitual da palavra, teoremas com referêcias precisas à literatura, resultados ão publicados e atribuídos a amigos e colegas e, aida, outros euciados sem quaisquer cometários. Destes últimos, algus são problemas aida em aberto equato outros estão FJCC- Uma das maeiras possíveis de motivar joves para a matemática é através do exemplo. Quer descrever-os um dia típico do seu trabalho de ivestigação? GT-Não acho que eu seja um bom exemplo pois ão sou, ou pelo meos peso que ão sou, muito sistemático. Não me levato tão cedo quato devia e posso começar o dia com a leitura de um policial. Cotudo, habitualmete, o meu dia de trabalho é muito logo. Há, claro, muita rotia, preparar aulas, esiar, ir a reuiões. Um professor uiversitário faz a maior parte das coisas automática e relativamete bem. A úica coisa que requer um esforço especial é ter algum tempo livre para a ivestigação. Teto ter, pelo meos, um dia por semaa totalmete livre para a ivestigação os períodos de aulas. Nesse dia só vou de tarde, e tarde, para a uiversidade de modo a ão ser perturbado. Aos fis de semaa é frequete trabalhar. Quem quer ser um matemático deve esperar ter de passar logas, logas horas a trabalhar. É certamete verdade que iguém se tora um bom matemático apeas por se levatar cedo. Só por si levatar tarde também ão é suficiete. icorrectos a forma apresetada (embora, em geral, haja alguma coisa verdadeira). Uma explicação é que Blaschke pretederia ser ambíguo. Outra, como ão era muito rigoroso, é que lhe bastariam respostas que a maioria de ós ão aceitaria. Por exemplo, o teorema da bola de téis 4 que Arold publicou há algus aos, é um caso especial de um desses euciados. Blaschke, origiário da Áustria, foi, a grade distâcia, o geómetra diferecial mais ifluete, a Alemaha, a primeira metade do século XX. FJCC- Uma parte importate do seu trabalho de ivestigação é em geometria das subvariedades, uma área ode o uso do computador parece poder ser importate. Alguma vez usou o computador para testar ou formular uma cojectura? Cohece algus exemplos o caso de outros matemáticos? GT- Nuca usei o computador para obter images mas tetei usar o Maple como ajuda a demostração de teoremas. É muito iteressate para a matemática teórica a 4 Uma curva esférica, fechada e sem itersecções, dividido a esfera em duas partes de área igual possui, pelo meos, 4 potos de iflexão, isto é, 4 potos ode a curvatura geodésica se aula. Ver, por exemplo, Topological Ivariats of Plae Curves ad Caustics, V. I. Arold, America Mathematical Society, 994. possibilidade de fazer cálculos simbólicos muito complicados com tal software mas aquilo de que ão gosto é a dificuldade em expor tais demostrações um artigo. Coheço algus colegas que usam o computador para fazer cálculos, coisa provavelmete mais geeralizada do 38

36 que os apercebemos pois, frequetemete, o seu uso ão é recohecido a publicação fial. Claro que o uso mais espectacular é a produção de images de superfícies. Muitas delas são muito boitas, mas ão me etusiasmam muito já que são pouco atraetes para o meu modo de pesar em matemática. O mesmo se passa com os velhihos modelos de gesso, mas esses têm, pelo meos, a atracção da ostalgia... FJCC- Voltemos ao esio. Que importâcia tem ele o quadro das suas actividades matemáticas? Dá grade importâcia à preparação das aulas? GT- Gosto muito de esiar. Os estudates de doutorameto são, claro, muito importates para a miha ivestigação já que, frequetemete, apredo as discussões com eles como eles apredem comigo. A miha ivestigação ão seria muito melhor com meos aulas pois ão sou capaz de fazer a mesma coisa costatemete. Muitas vezes gasto muito tempo com a preparação das mihas aulas, às vezes uma tarde iteira para uma úica aula, mas depede muito da matéria, se é avaçada e se já a esiei ates. FJCC- A um ível mais pessoal, sei que a cultura portuguesa lhe é familiar e que está iteressado algus dos seus aspectos. Por exemplo, lê Atóio Lobo Atues em português. Como é que o coheceu? Que outras actividades ocupam, fora da matemática, o seu tempo? GT- Teto ler livros em português bastate regularmete porque ão quero esquecer a lígua e ão teho muitas oportuidades para a praticar. Estou agora a apreder italiao e acho muito difícil, sem prática, mater as duas líguas separadas. A primeira vez que vi um livro de Atóio Lobo Atues foi o quiosque da estação de comboios de Colóia. Costumavam ter uma mesa ode expuham livros iteressates e eu dava uma olhadela àquilo que tiham. Hoje em dia a estação está remodelada e boita e o quiosque tem muito mais espaço, cotudo os livros são meos iteressates. Mais tarde li, os jorais, sobre ele. Dois, pelo meos, dos seus livros foram apresetados o programa televisivo literário, de grade ifluêcia, Das literarische Quartett. É verdade que estou a tetar lê-lo em português e que gosto muito mas teho de admitir também que acho o seu português muito difícil. Perguta-me sobre actividades que, fora da matemática, tomam o meu tempo. Passo imeso tempo a ler todo o tipo de livros, pricipalmete romaces, em sempre muito bos. Há muitas outras coisas de que gosto, ouvir música, ir ao teatro etc., mas ehuma delas toma muito tempo. Estou cada vez mais preguiçoso para sair de casa para actividades culturais, embora quado o faço isso me possa dar grade prazer. Vetura & Pires Egeharia e Costruções, S.A. Uma referêcia, há mais de 5 aos, o sector de costrução civil e obras públicas do distrito. Uma equipa jovem que aposta o futuro e a partir de Coimbra, com qualidade e profissioalismo, se prepara para desevolver a sua actividade a ível acioal. RUA ADRIANO LUCAS 6 D - APARTADO COIMBRA 39

37 O Esio Médio da Matemática Elo Lages Lima IMPA, Brasil O Esio Médio se ocupa de joves cujas idades se situam etre quize e dezassete aos, com pequeas variações desses úmeros. Trataremos aqui do Esio Médio tradicioal, ou usual, em cotraste com o profissioalizate. Nos países ode há uma separação ítida etre diferetes opções escolares, o tipo de esio que discutiremos se aproxima mais daquele que visa ao igresso a Uiversidade (como o Gymasium, a Alemaha). Noutros países, como o Brasil, o Esio Médio ao qual os referiremos serve a dois tipos de aluos: os que pretedem igressar a Uiversidade e os que têm esse esio o poto termial dos seus estudos formais, etrado o mercado de trabalho logo após sua coclusão (ou mesmo equato estudates). O aluo do Esio Médio oferece ao professor de Matemática uma boa oportuidade de exercer uma ação formadora marcate. Ele está a idade em que deve decidir sua opção de carreira, por isso tede a assumir atitudes mais resposáveis. Além disso, possui um desevolvimeto metal em muitos aspectos comparável ao de um adulto. Tem também um úmero aida reduzido de deformações e maus hábitos de pesameto, que podem ser corrigidos. E, pricipalmete para o trabalho em sala de aula: já apredeu (aida que mecaicamete) as técicas elemetares de operações com úmeros e letras e, pelo meos, a liguagem básica da Geometria. Esses cohecimetos, ou melhor dito, essa familiaridade com o jargão e com os resultados da Matemática estudada os aos ateriores, por mais lacuas que apresete, implica, para o desevolvimeto do trabalho do professor, uma cosiderável ecoomia de tempo e esforço, abrido camiho para um programa mais objetivo de estudos. O coteúdo matemático do Esio Médio evoluiu, como é atural, através dos aos, sofredo as ifluêcias das êfases domiates de cada época, refletido, por um lado, os modismos matemáticos ou educacioais e, por outro lado, as próprias alterações pelas quais passou a sociedade. Em particular, essa evolução abrigou algus excessos, iicialmete os icotáveis cálculos e maipulações fastidiosas que predomiaram até quareta aos atrás, depois do que veio a exagerada preocupação com o formal e o abstrato, tão própria da chamada Matemática Modera e, atualmete o ecato pela tecologia, o fascíio pelo computador e a obcessão imediatista, o pragmatismo dos dias em que vivemos. Covém observar que cada um desses periciosos extremos que acabamos de apotar é pericioso por ser extremo, porém se origia de uma ecessidade ou de uma proposta razoável, desde que adotada com moderação. Neste mometo, quado já temos codições de ecarar essas variações de tedêcias sob uma perspectiva histórica, podemos ter esperaça de alcaçar um equilíbrio aceitável quato à adoção dos potos de vista aparetemete atagôicos, cada um deles cotedo elemetos válidos. Isto é o que pretedemos mostrar aqui. 4

38 As três compoetes básicas do esio da Matemática É desejável, e certamete possível, fazer com que, ao fial dos seus três aos, o aluo egresso da Escola Média, teha adquirido uma idéia bastate clara, aida que mediate o estudo de temas elemetares, do que é a Matemática, seus métodos, seu alcace, sua utilidade, sua relevâcia social e sua beleza. Aqueles para os quais, seja por opção, seja por circustâcias coercitivas, o ível médio é termial, ficarão em codições de exercer sua cidadaia com mais eficácia, tedo desevolvido seu espírito crítico de forma objetiva, tedo adquirido hábitos de orgaização e ordem que os cálculos lhe obrigam a ter e tedo apredido a utilizar, em situações diversas, cohecimetos matemáticos pertietes para chegar a coclusões e obter respostas para problemas reais. Para os que se destiam à Uiversidade, uma boa educação média é extremamete importate e ão há ecessidade de argumetar sobre este poto tão óbvio. A fim de dotar os aluos, pouco a pouco, da oção do que seja o método matemático, dar-lhes codições e habilidade para lidar desembaraçadamete com fórmulas e cálculos e preparar-lhes para mais tarde poderem utilizar com vatagem o cohecimeto adquirido em situações da vida real, o esio da Matemática deve basear-se em três compoetes fudametais, as quais chamaremos de Coceituação, Maipulação e Aplicações. Cada tópico apresetado a sala de aula, cada ovo assuto tratado o curso, cada ovo tema estudado deve ser visto sob esses três aspectos: o coceitual, o maipulativo e o aplicativo. O professor deve submeter-se ao desafio de completar esse tripé a cada ova etapa do seu trabalho. Nem sempre vai ser fácil; por isso é um desafio. Às vezes até parece impossível: ão há muitas fotes bibliográficas as quais se apoiar. No começo, ão se vai sempre poder apresetar cada assuto sob essa tríplice abordagem. Mas aote a dificuldade e busque, com diligêcia e determiação, superá-la mais tarde. Pesquise, idague, olhe em toro de si, procure exemplos, exerça sua autocrítica. No decorrer do processo terá muitas alegrias. Cada êxito é um utriete para a auto-estima; cada lacua é uma motivação para o estudo e pesquisas adicioais. A dosagem adequada dessas três compoetes é o fator de equilíbrio do processo de apredizagem. Elas cotribuirão para despertar o iteresse dos aluos e aumetar a capacidade que terão o futuro de empregar, ão apeas as técicas apredidas as aulas, mas sobretudo o espírito crítico, agudo e bem fudametado, a clareza das idéias, a disciplia metal que cosiste em raciociar e agir ordeadamete. É coveiete pesar as três compoetes como um tripé de sustetação: as três são suficietes para assegurar a harmoia do esio e cada uma delas é ecessária para seu bom êxito. Covém observar que essas três compoetes básicas refletem algumas das diferetes faces com que a Matemática pode apresetar-se. Algumas vezes a Matemática é como uma arte: o elace das proposições, as coexões etre suas diversas teorias, a elegâcia e a clareza dos seus raciocíios, a eloquêcia sigela das suas proposições e a surpresa de algumas das suas coclusões elevam o espírito e acariciam osso seso estético. Outras vezes, a Matemática se mostra como um eficaz istrumeto, às vezes simples em suas aplicações cotidiaas, às vezes elaborado e complexo, quado usado para resolver problemas tecológicos ou desevolver teorias cietíficas. E, para torar efetiva sua aplicabilidade, ou mesmo para dar destreza a obteção de suas coclusões teóricas, a Matemática oferece seu lado operacioal: a maipulação de seus símbolos, tato uméricos quato abstratos. Vejamos algumas palavras sobre cada uma das três compoetes básicas do esio da Matemática. 43

39 Coceituação. A coceituação compreede: A) A formulação correta e objetiva das defiições matemáticas. Isto iclui a ítida compreesão de que defiir sigifica meramete dar um ome a um coceito, a uma situação ou a uma codição, substituido uma frase por uma palavra ou um pequeo úmero de palavras, cotribuido, portato, para maior clareza do discurso, maior precisão das afirmações, maior cocetração o potos esseciais da argumetação e mais destreza os raciocíios. B) O emprego bem aplicado do raciocíio dedutivo, deixado clara a distição etre a hipótese e a tese, difereciado uma proposição de sua recíproca e efatizado que toda coclusão ecessariamete advém de uma premissa (ou etão é uma cocessão que se pede a quem os escuta). C) O etedimeto e a percepção de que algumas idéias e proposições podem ser reformuladas ou re-iterpretadas sob diferetes formas ou em diferetes termos, recohecedo assim situações idêticas apresetadas de modos diferetes, aparetemete descrevedo casos diversos. D) O estabelecimeto de coexões etre coceitos variados. Exemplos: A) Nos Elemetos de Euclides ecotramos as seguites defiições: (a) Liha é um comprimeto sem largura; (b) Âgulo é a figura formada por duas semi-retas que têm a mesma origem. Faz parte da compoete coceituação deixar claro que (a) é apeas uma motivação ituitiva e (b) é uma verdadeira defiição. B) Aqui cabe distiguir, tão claramete quato seja possível, argumetos heurísticos de argumetos dedutivos. C) As fórmulas de cos(a+b) e se(a+b) eqüivalem à regra operacioal ia ib i( a+ b). e. e = e D) A coexão etre progressão aritmética e fução afim, ou etre progressão geométrica e fução expoecial. A coceituação, quado levada a extremos, pode colidir com os bos preceitos do esio. Um exemplo disso se vê a defiição de fução como um cojuto de pares ordeados sujeito a certas codições. Esta prática, que surgiu com o adveto da Matemática Modera e sua fixação cojutista, sem dúvida resulta da preocupação de reduzir todos os coceitos fudametais da Matemática à oção úica de cojuto, a creça de que isto daria uma orgaização da Matemática em bases estritamete rigorosas, isetas de apelar a oções vagas e/ou ituitivas. Mas ão é bem assim. Em primeiro lugar porque se trata de uma defiição que, embora logicamete correta, é bastate elaborada, icompatível com a prática e por isso rapidamete abadoada por aqueles que a usam. Em segudo lugar porque ão correspode à idéia que os matemáticos e os que utilizam a Matemática fazem de uma fução: dados os cojutos A e B, uma fução de domíio A e cotradomíio B é uma regra, um cojuto de istruções, uma correspodêcia, uma lei que permite associar, sem restrições em ambigüidade, a cada elemeto x do cojuto A um elemeto f(x) do cojuto B. Etre os exemplos de fuções acham-se as trasformações geométricas e as fuções trigoométricas. Será que existe alguém o mudo que pese uma rotação como um cojuto de pares ordeados? Ou o seo de um âgulo? E fialmete, para rebater o argumeto de que uma regra, (ou um cojuto de istruções ou uma lei) que permita obter f(x) a partir de x é uma oção vaga e ão-matemática, observemos que, por sua vez, a fim de defiir o cojuto de pares ordeados que determia (ou que é) uma fução, é preciso ter uma regra (um cojuto de istruções ou uma lei) que diga quado é que um certo par ordeado pertece ou ão ao tal cojuto. Observemos aida que, embora pareça paradoxal a coceituação é mais importate para as aplicações do que a maipulação. Isto porque, a fim de determiar qual o istrumeto matemático que deve ser utilizado a solução de um problema real é ecessário ter presete a defiição 44

40 desse istrumeto ou de teoremas da caracterização da fução a ser empregada. Pois as situações cotextuais ão vêm acompahadas de fórmulas. A tarefa de ecotrar o istrumeto matemático adequado para traduzir a situação é o que se chama de modelagem matemática. Para esse fim, os teoremas de caracterização são idispesáveis. Maipulação. Para aalisar corretamete o papel da maipulação, o crítico deve policiar-se atetamete para ão icorrer o erro de meosprezá-la. Durate séculos e aida hoje, a maipulação quase que moopolizou o esio da Matemática. A tal poto que, para a maioria das pessoas (e até mesmo de professores e autores de livros didáticos) a Matemática é essecialmete maipulação. Houve, os aos 60, uma forte reação cotra isso, a qual levou ao extremo de praticamete bair os cálculos e exacerbar o abstrato. Hoje prevalece uma posição mais sesata: a maipulação está para o esio da Matemática assim como a prática de escalas musicais está para o apredizado do piao ou como o treiameto dos chamados fudametos está para a prática de certos esportes como o têis ou o voleibol. A fluêcia o mauseio de equações, fórmulas e operações com símbolos e úmeros, o desevolvimeto de atitudes metais automáticas diate de cálculos algébricos ou costruções geométricas, a criação de uma série de reflexos codicioados sadios em Matemática, os quais são adquiridos através da prática cotiuada de exercícios maipulativos bem escolhidos, permite que o aluo (mais tarde, o usuário da Matemática) cocetre sua ateção cosciete os potos realmete esseciais, salvado seu tempo e sua eergia de serem desperdiçados com detalhes secudários. A esse respeito, covém ressaltar o importate papel da calculadora eletrôica, ão apeas como doadora de tempo, eergia e ateção ao aluo, em somete como ajo da guarda da proteção cotra os erros de cálculo mas até mesmo como grade auxiliar da coceituação, permitido que certos temas matemáticos, como logaritmo, por exemplo, sejam estudados pelo que realmete sigificam e ão como mero istrumeto de calculo aritmético. Ao destruir o emprego calculatório do logaritmo, a calculadora o colocou uma posição mais obre. Aplicações. É verdade que a Matemática é bela; que seu cultivo é uma das mais elevadas expressões de itelectualidade humaa; que os problemas por ela propostos costituem desafios cuja solução fortalece a auto-estima; sublima o espírito e recompesa obremete o esforço. Tudo isto é verdade, mas ão é somete por isso que a Matemática é estudada a escola, em toda a parte. Não á apeas por isso que a Matemática é cosiderada cada dia mais imprescidível para a formação cultural e técica do homem modero. A Matemática é idispesável por tudo isso e, mais particularmete, porque serve ao homem. Porque tem aplicações. Porque permite respoder, de modo claro, preciso e idiscutível pergutas que, sem o auxílio dela, cotiuariam sedo pergutas ou se trasformariam em palpites, opiiões ou cojecturas. As aplicações são a parte acilar da Matemática. São a coexão etre a abstração e a realidade. Para um grade úmero de aluos, são o lado mais atraete das aulas, o despertador que os acorda, o estímulo que os icita a pesar. O professor deve cosiderar como parte itegrate e essecial da sua tarefa o desafio, a preocupação de ecotrar aplicações iteressates para a matéria que está apresetado. Como dissemos acima, em sempre isso é fácil. Mas vale a pea idagar, pesquisar, pesar, icomodar os colegas, vasculhar livros. Um procedimeto que certamete desperta a ateção dos aluos é abrir cada ovo tema com um problema que ecessita dos cohecimetos que vão ali ser estudados a fim de ser resolvido. De preferêcia (e isto ocorre atural- 45

41 mete quado é proposto o iício do capítulo) um problema cujo objeto pricipal ão é o assuto a tratar aquele capítulo. Um exemplo evidete é dado por um problema cuja resolução requer trigoometria mas seos, cosseos ou tagetes ão ocorrem o euciado. Ou problemas que se resolvem com logaritmos mas a palavra logaritmo ão é mecioada eles. A fim de resolver problemas desta atureza é muitas vezes ecessário ter em mete a caracterização das fuções matemáticas a serem utilizadas, as defiições matemáticas dos coceitos aplicáveis (coceituação) e, depois de formuladas as equações ou iequações pertietes, saber lidar operacioalmete com elas e efetuar com eficiêcia os cálculos ecessários (maipulação). Isso ilustra a iterdepedêcia das três compoetes básicas. Mas é preciso ter presetes dois preceitos básicos: O primeiro é: em tudo aquilo que cujo uso excessivo codeamos deve ser baido. Por exemplo, a liguagem, a otação e as regras básicas para o mauseio de cojutos são uma valiosa e permaete coquista matemática, idispesável para a clareza, a precisão e a geeralidade do raciocíio. Não esqueçamos as palavras de Hilbert: Niguém os expulsará do paraíso que Cator os doou. Ao criticar a chamada cojutivite que predomiou a época da Matemática Modera, ão cometamos o erro de proibir em ossos textos e em ossas aulas a simples meção de cojutos e o uso da coveiete liguagem que lhe correspode. O segudo preceito cosiste em ão privilegiar excessivamete os temas e a abordagem que cosideramos (e que são) relevates, em prejuízo do equilíbrio das três compoetes básicas do esio. Por exemplo, ota-se hoje em dia uma grade e, até certo poto, muito justa preocupação com a chamada cotextualização, que sigifica prover o esio da Matemática de situações reais, cocerete a problemas que de fato ocorrem, ou podem vir a ocorrer, os dias atuais; problemas ode as ferrametas matemáticas vêm a ser de utilidade decisiva. Este poto de vista é válido; iclusive estamos defededo-o aqui. Mas ão devemos perder de vista o verdadeiro sigificado da Matemática, cujo método cosiste em formular coceitos e teorias gerais que se aplicam em iúmeras situações, às vezes aparetemete diversas. Não importa quatos problemas cotextuais resolvamos mediate técicas ad hoc, ão estaremos utilizado toda a força da Matemática se ão estivermos olhado para esses problemas como situações especiais de um coceito, de uma teoria matemática que os permitirá resolvê-los e resolver muitos outros problemas, em sempre obviamete aálogos. Um exemplo: fuções do tipo expoecial. As fuções expoeciais, fx ( ) = a x, ou do tipo expoecial, fx ( ) = ba. x são estudadas a Escola Média. Vejamos como deveria ser sua abordagem segudo o modelo aqui proposto. O problema de abertura poderia ser o seguite: A bula do atibiótico que meu médico prescreveu diz que 4 horas após a primeira dose, a cocetração plasmática da substâcia ativa reduz-se a 0% da cocetração máxima. (Por simplicidade, admitamos que se tratava de uma ijeção, logo o ível máximo da droga o sague foi atigido imediatamete.) A receita médica estipulava doses iguais a cada horas. Que fração da dose iicial aida permaecia em meu orgaismo a ocasião da seguda dose? É claro que, posto o iício das aulas sobre fuções do tipo expoecial, os aluos já sabem que fução matemática vão usar para resolver o problema. Não há como evitar isso. O importate é que eles saibam justificar por que vai ser usada uma fução do tipo fx ( ) = ba. x. Deste modo, em outras situações saberão fazer uma opção cosciete. O poto crucial em problemas de modelagem como este é o teorema da caracterização da fução que vai ser utilizada. É obvio que se temos uma fução do tipo fx ba x ( ) =., o valor f(x) é proporcioal a b (valor iicial: b=f(0)). Um pouquiho meos mas aida óbvio é que, fixado t, o valor 46

42 fx t ba x + ( + ) =. t = ( ba. x ). a t = a t. fx ( ) é proporcioal a f(x). Noutras palavras, para todo o t IR o quociete fx ( + t) = a t ão depede de x. Ou seja ƒ(x+t)=a(t).ƒ(x) fx ( ) ode o coeficiete a(t) é o mesmo, seja qual for o x. O importate é que vale a recíproca. Ela costitui o Teorema da Caracterização das fuções de tipo expoecial: Teorema: Seja f: IR IR + uma fução moótoa tal que, para x, t IR quaisquer, o quociete fx ( + t ) ão depede fx ( ) de x. Etão f(x) é do tipo expoecial fx ( ) = ba. x. Este teorema é um caso típico da compoete coceitual. Vejamos se ele se aplica ao exemplo iicial sobre o atibiótico. Aqui se trata de verificar se uma determiada situação real cumpre certas codições. Num dado istate x, mede-se a cocetração plasmática, achase o resultado f(x). Após o tempo t, mede-se outra vez e costata-se que ela se reduziu a α f(x), com 0<α<. É razoável admitir que, em qualquer outro istate x, o qual a cocetração plasmática é f(x ), passado o mesmo tempo t, teha-se f(x +t)= α. f(x )? A resposta afirmativa caracteriza uma certa permaêcia, ou estabilidade, do processo de elimiação da substâcia o orgaismo (via suor, uria, etc.) e, pelo Teorema acima, assegura que fx ( ) = ba. x para certos a e b. Meçamos o tempo x em horas. Evidetemete, b=f(0). b b Sabemos que f( 4) =, ou seja, ba. 4 =, dode 0 0 a 4 = 0= 0,. A perguta é qual o valor de f( ) f( 0 ). Temos: f( ) ba. 4 = = a = a = 0, 036,. f() 0 b A resposta é: após horas, a cocetração plasmática o orgaismo reduziu-se a 3,6% do ível máximo (iicial). A parte fial do problema é maipulativa. O problema, em si, é uma aplicação. As três compoetes se complemetam. No âmbito das comemorações do Ao Mudial da Matemática acaba de sair o livro Atologia de textos esseciais sobre a História da Matemática em Portugal. Trata-se de uma colectâea de textos, coligidos por Jaime Carvalho e Silva, de F. B. Garção-Stockler, Luís Albuquerque, Vicete Goçalves, J. Filipe Queiró, J. Silva Oliveira, G. de Oliveira, Rodolfo Guimarães, Sidóio Pais, D. Pacheco de Amorim, Ruy Luís Gomes e José Morgado. De grade importâcia para os iteressados a História da Matemática em Portugal e para professores que gostem de ilustrar as suas aulas com otas de carácter histórico. Preço: 0 Euros. Sócios da SPM: 5 Euros. Aquisição pelo correio: ao preço idicado deve acrescetar-se o custo de porte. As ecomedas devem ser dirigidas a Sociedade Portuguesa de Matemática, Av. da República 37 4º, Lisboa. 47

43 Proofs from THE BOOK de M. Aiger e G. M. Ziegler, Spriger, 00 Recesão por Gareth A. Joes, Southampto Uiversity, U.K. Até os mais etusiastas de ós, matemáticos, se setem, de vez em quado, desiludidos com a Matemática. Talvez tehamos exames de mais para corrigir, demasiados artigos para arbitrar; talvez os ossos estudates (ou, pior até, os ossos colegas) estejam a ser aida mais obtusos do que o ormal. Quado tal acotece, um copo de viho ou us miutos de Mozart podem ser maravilhosos para levatar o âimo, mas precisamos também de qualquer coisa que os recorde que a Matemática é, realmete, um assuto muito boito. Este livro forece o tóico ecessário, em dúzias de doses de digestão fácil. Baseia-se uma ideia extravagate de Paul Erdös, que foi talvez o matemático mais produtivo e criativo do século XX. Como G. H. Hardy, acreditava que a matemática feia ão perdura. Embora ão fosse religioso, gostava de falar em O Livro, o qual um Ser Supremo, possivelmete ão existete, guarda todas as demostrações mais perfeitas e boitas. Na maior parte do tempo o livro está fechado, mas, ocasioalmete, é permitido a um humao dar uma olhadela rápida a uma págia, causado um daqueles mometos de géio que parecem vir de lado ehum. Em dada altura dos aos 90, Marti Aiger e Güter Ziegler começaram a colaborar com Erdös a escrita de uma primeira aproximação a O Livro, baseada o seu etusiasmo por ideias brilhates, compreesões iteligetes e observações maravilhosas. Depois da morte de Erdös, em 996, torouse o tributo deles à sua memória, sedo grade parte do coteúdo baseado as sugestões, cojecturas e teoremas daquele. Aiger e Ziegler dão-os um A a Z das suas demostrações favoritas em Teoria dos Números, Geometria, Aálise, Combiatória e Teoria de Grafos, áreas muito caras a Paul e ode ele fez muitas cotribuições profudas. Muitos dos resultados têm euciado fácil, como, por exemplo, o teorema sobre a ifiidade dos úmeros primos, mas em todos os casos as demostrações revelam elegâcia e egeho. Para este teorema em particular, o livro apreseta seis demostrações diferetes: a demostração clássica por cotradição, devida a Euclides, duas demostrações com base as propriedades dos úmeros de Mersee e Fermat, a seguir uma aalítica (com o produto de Euler da fução zeta de Riema à espreita, ao fudo e sem se fazer auciar), depois uma demostração surpreedetemete simples evolvedo uma topologia para os iteiros com base em progressões aritméticas e, fialmete, uma demostração 48

44 admiravelmete clara, de Erdös, do resultado de Euler de que Σ p p - diverge, ode p percorre os primos. Aalogamete, o capítulo sobre Combiatória iclui uma secção ode se dão quatro demostrações completamete diferetes do teorema de Cayley (que este ão provou!) sobre a existêcia de - árvores para Embora ão fosse religioso, gostava de falar em O Livro, o qual um Ser Supremo, possivelmete ão existete, guarda todas as demostrações mais perfeitas e boitas. passear e cote o úmero de vezes que ele ladra. Fica a cargo do leitor imagiar o deseho. Quer o leitor seja um estudate ou um Medalha Fields, posso assegurar que este livro o vai estimular. Passe algus miutos cocetrado-se uma das demostrações e perder-se-á a admiração pela beleza da Matemática e o taleto de algus daqueles que a cultivam. Frequetemete, a propósito de uma ideia brilhate, pergutamos De ode diabo veio aquilo?. A explicação de Erdös pode ão ser muito cietífica, mas a leitura destas provas cocretas dar-lhe-á eorme prazer. (Tradução de F. J. Craveiro de Carvalho) Delegação Regioal do Cetro da SPM vértices: há a demostração clássica de Prüfer, por meio de uma bijecção, outra usado o teorema de Kirchhoff sobre matrizes e árvores a cotagem, pela álgebra Liear, das árvores geradoras do grafo completo K, uma terceira de Riorda e Réyi, baseada a recorrêcia, e, fialmete, uma demostração recete de Pitma, baseada a dupla cotagem de florestas eraízadas. Como se esperaria, dado o seu tema, a apresetação e a escrita deste livro são exceletes. Cada secção tem uma itrodução breve, mas clara, situado o problema em discussão e, em muitos casos, retratos dos matemáticos evolvidos. As demostrações, acompahadas de diagramas ilustrativos exceletes, são apresetadas com grade elegâcia e etusiasmo. Estão escritas com uma simplicidade diga de ota, acessível à maioria dos estudates com a formação habitual da liceciatura em Matemática Pura. Cada secção fecha com algumas referêcias úteis para leitura posterior. Os cartoos com piada de Karl Hofma são um prazer adicioal: a secção sobre o Teorema de Cayley tem um com a legeda: Um processo iabitual para cotar árvores: Poha um gato em cada árvore, leve o seu cão a A Direcção desta Delegação recém eleita vai promover uma série de actividades a sua área. Dado cotiuidade a uma tradição com grades pergamihos, plaeia-se um Ecotro Regioal para o iício de 004 e as Tardes de Matemática que, como é hábito, terão lugar as Escolas iteressadas. Esse iteresse e outras sugestões podem ser comuicados à Direcção da Delegação Regioal através de spmcetro/ Está também em estudo a orgaização de semiários e colóquios. Recorda-se que a SPM tem à disposição das Escolas a exposição Movimeto Matemático 937/47 que cosiste uma série de paiéis com textos e fotos alusivos à fervilhate actividade matemática aquela década em Portugal. Pode ver-se a reprodução do primeiro paiel o volume 40 da Gazeta de Matemática. As Escolas iteressadas em mostrar essa exposição podem cotactar para o efeito a Direcção da Delegação Regioal. 49

45 Olimpíadas Iteracioais e Ibero Americaas 00 reportagem de Daiel Peralta Pito Olimpíadas Iteracioais de Matemática (IMO) 00 As 43ª Olimpíadas Iteracioais de Matemática que decorreram o ao passado em Glasgow (Escócia) foram as mais participadas de sempre. A primeira IMO realizou-se a Roméia em 959 com a preseça de apeas 6 equipas mas, desde etão, a dimesão e importâcia da prova têm vido a crescer a poto de esta última edição terem participado 84 países. A represetar Portugal estiveram os aluos: Adreia Gomes Iat Fog Alias Atóio João Lopes Soraia Pimeta Tiago Foseca Luís Alexadre Pereira Escola Sec. Frei Goçalo de Azevedo (São Domigos de Raa) Colchester Royal Grammar School (UK) Escola Secudária José Falcão (Coimbra) Escola Secudária Filipa de Vilhea (Porto) Escola Secudária de Marco de Caaveses Escola Sec. José Gomes Ferreira (Lisboa) As provas decorreram os dias 4 e 5 de Julho e cada estudate foi desafiado a resolver 6 problemas. O problema de geometria do segudo dia foi cosiderado o mais difícil e dos 479 participates apeas coseguiram resolvê-lo a totalidade ou com pequeas imperfeições. Três aluos, dois chieses e um russo, obtiveram a potuação máxima possível em todos os problemas. Na classificação por equipas os países mais potuados foram a Chia, com potos, a Rússia, com 04 potos, e os Estados Uidos da América, com 7 potos, ficado a equipa portuguesa loge das medalhas. Espera-se que as várias recetes iiciativas o setido de motivar, desevolver e poteciar o gosto pela Matemática criem codições para que Portugal possa obter melhores resultados as próximas edições. No etato, a importâcia das Olimpíadas Iteracioais de Matemática ão se resume à competição. Este eveto proporcioa a troca de experiêcias e cohecimetos etre joves que têm iteresses comus um ambiete descotraído e multicultural. Em 003, as IMO terão lugar em Tóquio (Japão) durate o mês de Julho. 54

46 Olimpíadas Ibero-Americaas 00 - El Salvador El Salvador é muitas vezes deomiado o Polegarzito da América Latia devido à pequea área do seu território. Apesar dessa reduzida dimesão geográfica, o país efretou, a sua história recete, diversas covulsões políticas e catástrofes aturais. Um forte terramoto em Jaeiro de 00 impediu que El Salvador coseguisse orgaizar as Olimpíadas Ibero-Americaas desse ao (que se viriam a realizar o Uruguai). No etato, superadas as pricipais dificuldades que se seguiram à catástofre, El Salvador torou-se em Outubro de 00 o país afitrião do eveto, recebedo as diversas equipas participates. Equipa portuguesa: Adreia Gomes Esola Secudária Frei Goçalo de Azevedo (São Domigos de Raa) João Diogo Ferreira Escola Secudária Pedro Alexadrio (Póvoa de Sto. Adrião) Domigos Lopes Escola Secudária da Gafaha da Nazaré Luís Alexadre Pereira Escola Secudária José Gomes Ferreira (Lisboa) As provas, como habitualmete, decorreram em duas mahãs distitas, desafiado a criatividade matemática dos aluos. Os problemas versaram áreas tão diversas como a geometria, a combiatória, a teoria dos úmeros e a álgebra. Portugal obteve duas medalhas de broze através dos aluos Domigos Lopes e Adreia Gomes, bem como uma meção horosa que premiou Luís Alexadre Pereira pela resolução completa de um dos problemas. Destaque-se o facto de Adreia Gomes ter recebido pela seguda vez cosecutiva, uma medalha de broze uma vez que já em 00 a sua prestação lhe valera esse prémio. Os países com melhor classificação global foram o Brasil e a Argetia que tiveram aida, cada um deles, um aluo com a potuação máxima possível. Em 003 a Argetia será, aliás, a ação orgaizadora e espera agora que lhe sejam eviados problemas iteressates e origiais para que as Olimpíadas possam cotiuar a estimular o egeho de quem elas participa. Portugal tem participado estas provas desde 989 mas é um dos poucos países ibero-americaos que uca orgaizou ehuma das edições ateriores. No etato, o osso país apresetou uma cadidatura para 007 e, se tudo correr como se espera, será a primeira vez que aqui se orgaiza uma competição iteracioal deste tipo e desta importâcia. 55