O problema das Torres de Hanoi: a lenda, algoritmos e generalizações.

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1 Jaeiro º 144 O problema das Torres de Haoi: a leda, algoritmos e geeralizações. tóio Pereira e Rosália Rodrigues Departameto de Matemática da Uiversidade de veiro 1. Origem, ledas e mitos Em 1883, o matemático fracês Édouard Lucas ivetou o famoso puzzle das Torres de Haoi [6] [7], também cohecido pelas Torres de rahma e cotado em forma de leda [5]: No grade templo de rahma em eares, uma badeja de metal sob a cúpula que marca o cetro do mudo, três agulhas de diamate servem de pilar a sesseta e quatro discos de ouro puro. Icasavelmete, os sacerdotes trasferem os discos, um de cada vez, de agulha para agulha, obedecedo sempre à lei imutável de rahma: Nehum disco se poderá sobrepor a um meor. No iício do mudo todos os sesseta e quatro discos de ouro, foram dispostos a primeira das três agulhas, costituido a Torre de rahma. No mometo em que o meor dos discos for colocado de tal modo que se forme uma vez mais a Torre de rahma uma agulha diferete da iicial, tato a torre como o templo serão trasformados em pó e o ribombar de um trovão assialará o fim do mudo. 2. O lgoritmo Recorrete versão origial das Torres de Haoi cosiste em três postes e oito discos de diâmetro 1,2,...,8, iicialmete dispostos o primeiro poste por ordem decrescete do diâmetro formado uma estrutura cóica semelhate à da figura 1. O objectivo do puzzle cosiste em formar a torre o terceiro poste, movedo um disco de cada vez, ão sedo permitido colocar um disco maior sobre um meor. Figura 1: cofiguração iicial das Torres de Haoi com 8 discos. Problema 2.1 Torres de Haoi São dados discos de diâmetro 1,2,..., dispostos por ordem decrescete de diâmetro um de 3 postes. Pretede-se trasferir todos os discos para um dos outros postes, utilizado o meor úmero de movimetos, de tal modo que as seguites restrições sejam satisfeitas: 1. apeas um disco pode ser movido de cada vez, 2. apeas se podem mover os discos do topo (isto é, apeas discos que ão têm um outro disco colocado em cima), 3. ehum disco pode ser colocado sobre outro meor. solução para o problema 2.1 pode ser descrita da seguite forma: Desigem-se por poste iicial aquele ode iicialmete se ecotram os discos, por poste fial o poste para ode serão trasferidos os discos e por poste auxiliar o poste restate. Para trasferir discos de um poste para outro é ecessário, em alguma iteração, mover o disco pelo meos 8

2 Jaeiro º 144 uma vez. Este só pode ser trasferido se for o úico o poste e existir um poste vazio ode o colocar. ssim o poste auxiliar tem que coter os -1 discos. oclui-se pois que a primeira etapa da resolução do problema 2.1 cosiste em trasferir -1 discos (de forma recorrete) do poste iicial para o poste auxiliar utilizado o poste fial como poste auxiliar. É agora possível mover directamete o disco do poste iicial para o poste fial. Fialmete é ecessário trasferir (de forma recorrete) os -1 discos do poste auxiliar para o poste fial, utilizado o poste iicial como auxiliar. s cosiderações ateriores podem ser resumidas o algoritmo seguite: lgoritmo 2.1 Torres de Haoi (Problema 2.1) Haoi(, posteiicial, posteuxiliar, postefial) Se = 1 Etão MoveDisco(1, posteiicial, postefial) seão Haoi(-1, posteiicial, postefial, posteuxiliar) MoveDisco(, posteiicial, postefial) Haoi(-1, posteuxiliar, posteiicial, postefial). Seja T() o úmero de movimetos ecessários para resolver o puzzle de discos. Pelo algoritmo aterior, T() é dado pela seguite fórmula recorrete: 1 se = 1, T ( ) = 2T ( 1) + 1 se > 1. Explicitado a fórmula aterior, coclui-se que o úmero de movimetos ecessários para resolver o problema das Torres de Haoi com discos é T()=2-1, para 1. Podemos agora verificar que a leda das Torres de rahma, por mais rápidos que sejam os sacerdotes a movimetar os discos, digamos ao ritmo de um disco por segudo, aida teremos que aguardar algum(!) tempo para que o mudo se desvaeça em pó ( segudos, ou seja, cerca de miléios). 3. Uma solução Prática O algoritmo apresetado, apesar da sua simplicidade, ão é prático. De facto, qualquer pessoa setiria dificuldade em resolver o puzzle seguido o algoritmo recorrete. Vamos explicar como é que este se resolve a prática, começado por aalisar quatas vezes se move cada um dos discos: O disco move-se apeas 1 vez (do poste iicial para o poste fial). O disco -1 tem de se mover o dobro das vezes que o disco se move, isto é 2 vezes (uma para sair de cima do disco e outra para voltar para cima do disco ). alogamete, o disco -2 tem de se mover o dobro das vezes que o disco -1 se move, ou seja, 4 (uma para sair de cima do disco -1 e outra para voltar para cima do disco -1, isto repetido tatas vezes quatas o disco -1 se tem que mover). otiuado este processo, facilmete se coclui que o meor dos discos, o disco 1, se move o dobro das vezes do disco 2 ou seja 2-1 vezes. Note-se que estes valores são todos potêcias de 2, que a soma do úmero de movimetos dos discos, -1,..., 2 é = , precisamete meos uma uidade que o úmero de movimetos do disco mais pequeo e a soma total de movimetos é = 2-1 (ver a figura 2). 1 = 2 0 (disco ) 10 = 2 1 (disco -1) 100 = 2 2 (disco -2) 1000 = 2 3 (disco -3) = 2-1 (disco 1) = = 2 Figura 2: O úmero de movimetos da Torre de Haoi com discos, em biário. 9

3 Jaeiro º 144 Iicialmete temos que mover o disco 1 para a torre destio (o caso ímpar) ou para a torre auxiliar (o caso par). Em seguida temos que mover alteradamete um dos outros e o disco 1. De facto, em cada passo da resolução do puzzle das Torres de Haoi estaremos em uma das duas situações seguites: Se o passo aterior o disco movido foi o disco mais pequeo (o disco 1), etão ão devemos movêlo ovamete porque seão estaríamos a voltar ao passo aterior ou poderíamos ter alcaçado o mesmo resultado com um só movimeto. ssim, só podemos mover um dos outros discos (o mais pequeo dos que estão o topo dos outros postes) para o poste em que ão se ecotra o disco 1. Se o passo aterior o disco movido ão foi o mais pequeo, etão agora teremos que o mover. Neste caso existem dois postes ode é possível colocar o disco 1. Deomiem-se os três postes por,, e cosidere-se que é setido dos poteiros do relógio. No caso de o úmero total de discos ser par, o disco 1 desloca-se para o poste seguite o setido dos poteiros do relógio. No caso de ser ímpar, o disco 1 desloca-se para o poste seguite o setido cotrário aos poteiros do relógio. 4. O lgoritmo Iterativo Qualquer algoritmo recorrete pode ser escrito uma forma ão recorrete utilizado o método geral de elimiação de recorrêcia descrito em vários livros de lgoritmos e Estruturas de Dados [12], [4]. No etato é preferível tetar tirar partido das propriedades específicas do problema em causa, por forma a obter um algoritmo ão recorrete tão eficiete quato possível. De etre os iúmeros autores que têm abordado este problema, como Dijkstra, Hayes ou Walsh, cosideramos a solução devida a M.. Er [3] que utiliza uma curiosa relação etre os movimetos dos discos as Torres de Haoi e os úmeros biários (e que resulta directamete da solução apresetada ateriormete): Um problema que surge de imediato quado se teta resolver o puzzle das Torres de Haoi é decidir, em cada iteração, qual dos discos mover. Nesse setido, desige-se por H() a sequêcia de movimetos de discos realizada para trasferir uma torre de discos do poste iicial para o poste fial. Tem-se H()=H(-1)H(-1) e H(1)=1. Explicitamete, para mover uma torre de discos, movem-se os primeiros -1 discos (para o poste auxiliar), em seguida move-se o disco (do poste iicial para o fial) e fialmete movem-se os -1 discos (para o poste fial). Seja agora () a sequêcia de 2-1 elemetos cuja i- ésima compoete é a represetação biária, em bits, do úmero i. Seja aida R(()) a sequêcia de 2-1 elemetos cujo i-ésimo elemeto é o ídice do dígito 1 mais à direita a represetação biária de i. Deotem-se por 0(- 1) e 1(-1) as sequêcias de elemetos em que a i- ésima compoete é a i-ésima compoete de (-1) precedida por 0, respectivamete, 1. Fialmete, seja Z(-1) a sequêcia biária costituída por -1 zeros. É fácil verificar que (ver figura 3) ()= 0(-1),1Z(-1),1(-1) e que (1)=1. 10

4 Jaeiro º 144 () ( 1) } Z ( 1) ( 1) O teorema aterior permite cocluir que a i-ésima iteração o úmero do disco a mover é dado pela posição do dígito 1 mais à direita a represetação biária de i. Resta decidir aida para que poste é que se move o disco em cada iteração. osidere-se que é o setido dos poteiros do relógio e que é o setido oposto, ode,, desigam os três postes do puzzle. Er [3] demostrou que todos os discos ímpares se movimetam um setido, equato os discos pares se movimetam em setido cotrário. O setido do movimeto depede apeas do úmero total de discos e do poste iicial e fial, segudo a regra: Se o úmero de discos é ímpar o poste destio é o seguite ao poste de partida o setido dos poteiros do relógio, caso cotrário o poste destio é o seguite ao poste de partida o setido cotrário aos poteiros do relógio. omo sítese, apresetamos uma implemetação das ideias ateriores a liguagem : lgoritmo 4.1 Torres de Haoi (versão iterativa biária) Haoiiario(it, char iicial, char fial) { it limite, i, x, dir; for (i=1;i<=;i++) P[i]=iicial; dir=(&1)!=(fial-iicial ==1 fial-iicial==-2); limite=(1<<)-1; for(x=1;x<=limite;x++){ Figura 3: sequêcia () = (1, 2,..., 2-1), em biário, para =4. relação etre estas sequêcias biárias e os movimetos das Torres de Haoi é estabelecida pelo seguite teorema: Teorema 4.1 (Er) H()=R(()). } } i=0; while(!(x>>i&1)) i++; pritf( mover o disco %d, ++i); pritf( de %c, P[i]); pritf( para %c\, P[i]= +(P[i]- +1+(i&1?dir:1- dir))%3); 5. uriosidades, Variações e Geeralizações 5.1 Haoi e Sierpiski Uma propriedade iteressate das Torres de Haoi surge quado se represetam graficamete as cofigurações possíveis do problema. Dados discos, cosideram-se as sequêcias ordeadas, deomiadas cofigurações, (d 1, d 2,..., d ) em que d i {,, } idica o poste o qual se ecotra o disco i. cada uma dessas sequêcias associa-se o vértice de um grafo. Existe uma aresta etre dois vértices se e só se for 11

5 Jaeiro º 144 possível passar de uma cofiguração a outra, sem violar as regras referidas o problema 2.1. s figuras 4 e 5 ilustram os grafos que se obtêm com 1, 2 e 3 discos, respectivamete. () () () (,) (,) (,) Figura 4: Represetação do problema das Torres de Haoi com 1 e 2 discos. (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) Figura 5: Represetação do problema das Torres de Haoi com 3 discos. (,) (,,) (,,) (,,) (,) (,,) (,,) (,,) (,) (,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,) (,,) (,) N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N Figura 6: Represetação gráfica da curva de Sierpiski. omo se pode observar as figuras existe uma semelhaça etre os grafos da Torre de Haoi e a famosa curva de Sierpiski (figura 6). No cotexto dos espaços métricos, com a distâcia de Hausdorff, é possível mostrar que, matedo costate o tamaho do lado do triâgulo exterior, a sequêcia de grafos de cofigurações tede para a curva de Sierpiski à medida que aumeta. 5.2 s Torres de Haoi íclicas Esta variação do problema das Torres de Haoi foi ivetada em 1981 por tkiso [1] uma tetativa de elaborar um problema que ão apresetasse uma solução iterativa simples. No etato ão demorou muito para que surgissem publicadas soluções iterativas eficietes, o que ão dimiui a beleza do problema como se pode costatar pela simplicidade da solução recorrete que passamos a aalisar. Para um úico disco, existem apeas três cofigurações possíveis: (), () e (), correspodetes ao poste ode o (úico) disco 1 pode estar colocado. Para 2 discos já existem 9 cofigurações possíveis em que, por exemplo, (,) sigifica que o disco 1 está o poste e o disco 2 está o poste. Note-se que o grafo cotém apeas cofigurações possíveis, ou seja, (,) correspode à cofiguração em que os dois discos estão colocados o poste e com o disco 1 sobre o disco 2. Figura 7: O setido do movimeto dos discos o problema das Torres de Haoi íclica. Neste puzzle cosideram-se os três postes dispostos um triâgulo de vértices,, (ver figura 7). Os discos apeas podem ser movidos o setido cotrário aos poteiros do relógio: de para, de para ou de para. solução apresetada por tkiso é costituída por 12

6 Jaeiro º 144 dois procedimetos recorretes, deomiados logo e curto que resolvem, respectivamete, os problemas de deslocar discos o setido dos poteiros do relógio e deslocar discos o setido iverso: lgoritmo 5.1 Torres de Haoi íclicas curto(); logo(); Se > 0 Se > 0 etão logo(-1); etão logo(-1); movedisco(); movedisco(); logo(-1). curto(-1); movedisco(); logo(-1); Se deotarmos por () e L() o úmero de movimetos realizados, respectivamete, pelos procedimetos curto e logo, cocluímos que () = 2L( 1) + 1 se 1 () 0 = 0 e L ( ) = 2L ( 1) + ( 1) + 2 se 1 L() 0 = 0. Demostra-se que a solução do sistema de equações lieares ateriores é 3 () = ( + ) ( 1 3) 1, 0 (1) L () = ( + ) ( 1 3) 1, 0. (2) 6 6 Segudo Stockmeyer [11], a prova de que estes procedimetos produzem o úmero míimo de movimetos ão foi apresetada por tkiso, talvez pesado que tal seria evidete. Stockmeyer demostra que para além do úmero míimo de movimetos, a sequêcia origiada por aqueles procedimetos é úica, o setido de que qualquer algoritmo que resolva o problema o úmero míimo de movimetos, gera a mesma sequêcia de movimetos. 5.3 Torres de Haoi em grafos O puzzle das Torres de Haoi cíclicas abordado a secção aterior pode ser geeralizado para um qualquer grafo fortemete coexo, G=(V,E), com V =3 vértices. Os vértices do grafo correspodem aos postes que deotaremos por, e. Vamos cosiderar que iicialmete os discos se ecotram o poste e que se pretede trasportá-los para o poste. Para além das restrições do problema clássico das Torres de Haoi, só é possível mover um disco do poste i para o poste j, se (i,j) E. Deixamos ao cuidado do leitor verificar (por idução) que o algoritmo puzzle3 a seguir apresetado resolve o problema para qualquer grafo as codições acima euciadas. Nesse algoritmo a fução auxiliar serve apeas para seleccioar o poste k, diferete dos postes i e j, por exemplo, o poste se os postes i e j são e. lgoritmo 5.2 Torres de Haoi em grafos coexos com 3 vértices puzzle3(i,j,); Se > 0 etão k auxiliar(i,j) se (i,j) E etão puzzle3(i,k,-1); movedisco(,i,j); puzzle3(k,j,-1) seão puzzle3(i,j,-1); movedisco(,i,k); puzzle3(j,i,-1); movedisco(,k,j); puzzle3(i,j,-1). 13

7 Jaeiro º 144 Seja N(i, j, ) o úmero de movimetos realizados pelo algoritmo puzzle3 ao trasferir discos dos poste i para o poste j. Se k é o poste auxiliar etão é fácil verificar que Nik (,, 1) + Nk (, j, 1) + 1 sei (, j) E Ni (, j, ) = 2N(, i j, 1) + N( j, i, 1) + 2 se(, i j) E Resolvedo o sistema em relação às icógitas f (x), i,j i, j {,, }, i j, obtêm-se, de forma explícita, as fuções geradoras f. Fialmete, os valores N(i, j, ) ão i,j são mais que os coeficietes da série de Lauret para f. i,j É claro que o processo que descrevemos, é moroso e evolve maipulações algébricas bastate complexas. No etato utilizado software que permita o cálculo simbólico, p. ex., o sistema Mathematica [8], é possível obter as seguites coclusões sobre os grafos fortemete coexos de três vértices, ão isomorfos: Grafo 1 Pode demostrar-se que N(i, j, ) é o úmero míimo de movimetos suficietes para trasferir a pilha de discos do poste i para o poste j. ssim o algoritmo puzzle3 costitui uma solução óptima para o problema em causa. Vamos passar agora a descrever de forma abreviada como se podem obter explicitamete os valores N(i, j, ) como fução de : osidere-se α i,j ()= N(i,j,), para i, j {,, }, i j e k o poste auxiliar. O problema resume-se a determiar a solução de um sistema de 6 fórmulas recorretes do tipo αik, ( 1) + αk, j( 1) + 1 se ( i, j) E αij, ( ) = 2αij, ( 1) + αji,( 1) + 2 se ( i, j) E. Multiplicado as equações do sistema por x, cosiderado a soma para todos os valores de, defiido as fuções geradoras f i,j (x) = α ij, () x, = 0 e otado que α i,j (0)= 0, obtém-se um sistema equivalete de 6 equações da forma: x ƒij,( x) xƒik, ( x) xƒ kj,( x) = se(, i j) E 1 x 2x ( 1 2x) ƒ ƒ = ij,( x) x ji,( x) se(, i j) E 1 x Este é o problema origial das Torres de Haoi e facilmete se coclui que o úmero de movimetos é, em qualquer caso, 2-1. Grafo 2 Este é o grafo do problema das Torres de Haoi íclicas, referido ateriormete. omo seria de esperar, os valores para N(i,j,) são dados por (1) e (2), para os dois tipos de movimetos distitos. Grafo 3 Para este grafo coclui-se que existem dois tipos de movimetos: N(,, )=N(,, )=N(,, )=N(,, ) = 3 1 ; 2 N(,, )=N(,, )=

8 Jaeiro º 144 Grafo 4 primeira versão das Torres de Haoi com 4 postes, surgiu o livro de Hery Dudeey, The aterbury Puzzles [2], sob a forma de um desafio que cosistia em mover uma pilha de queijos de vários tamahos colocados a primeira de quatro mesas, para uma das outras, sem colocar um queijo maior sobre um meor. O puzzle foi publicado posteriormete a Revista merica Mathematical Mothly [9], em 1939, geeralizado para um úmero arbitrário de postes, sob a desigação de Problema Várias propostas de resolução foram apresetadas, sem cotudo ter sido demostrada a sua optimalidade. Um dos algoritmos mais cohecidos, baseia-se um parâmetro i, com 1 i, e cosiste os seguites passos: 1. Trasferir a pilha dos - i meores discos do primeiro poste para um poste auxiliar, usado os quatro postes o processo; 2. Trasferir a pilha dos restates i discos do primeiro pos- ordem de complexidade da solução é, em qualquer caso, aproximadamete (2.14). Na tabela 1 pode cosultar os valores de N(i, j, ) para diversos valores de. Neste caso temos N(,, ) = N(,, ) = = ; N(,, ) = = para 1; N(,, )= N(,, ) = = ; N(,, ) = = Grafo 5 qui as fuções geradoras de f i,j (x) são fuções racioais de deomiador 2x 3 4x 2 x+1. Os coeficietes α i,j () são expressões complexas, para as quais ão se cohece uma represetação simples. qui existem quatro tipos de movimetos distitos, sedo N(,, ) = N(,, ) e N(,, )= N(,, ). Simulações efectuadas, sugerem que a N(,, ) N(,,) N(,,) N(,,) Tabela 1: O úmero de movimetos realizados pelo algoritmo puzzle3 com o grafo Torres de Haoi com 4 postes 15

9 Jaeiro º 144 te para o poste destio, utilizado o algoritmo origial das Torres de Haoi com 3 postes (igorado o poste que cotém os -i discos mais pequeos); 3. Trasferir os -i discos mais pequeos do poste auxiliar para o poste fial, utilizado ovamete os quatro postes o processo. Demostra-se que se é um úmero triagular 1 t k, etão a escolha óptima para i é i=k. Mais, se t k -1 < < t k etão tato k 1 como k são valores óptimos para o parâmetro i. Note-se que está demostrado apeas que etre todos os valores possíveis para o parâmetro i, os referidos ateriormete são os que miimizam o úmero de movimetos para aquele algoritmo. Não se tem cohecimeto se o algoritmo óptimo tem a forma apresetada, o que costitui a chamada cojectura de Frame-Stewart, em homeagem aos primeiros autores a apresetarem aquele algoritmo. Quato ao úmero de movimetos realizados por este algoritmo, Stockmeyer [10], provou que é da ordem de.2 2. Por fim, têm aparecido várias propostas de resolução da versão cíclica do problema das Torres de Haoi com 4 postes, mas todos os algoritmos apresetados falham a optimalidade, sedo este mais um problema em aberto. Referêcias [1] M. D. tkiso. The yclic Towers of Haoi. Iformatio Processig Letters, (13): ,1981. [2] H. E. Dudeey. The aterbury Puzzles. Thomas Nelso & Sos, Lodo, [3] M.. Er. Performace evaluatios of recursive as iterative algorithms for the towers of Haoi problem. omputig, (37): , t k = k kk 1 2 = ( ) 2 [4] Helma ad R. Veroff, Itermediate Problem Solvig ad Data Structures: Walls ad Mirrors, ejami- ummigs, [5] R. D. Hofstadter. Metamagical themas. Scietific merica, 2(248): 16-22, Março [6] É. Lucas. Nouveaux jeux scietifiques. La Nature. : , [7] É. Lucas. Récréatios mathemátiques, Reeditado diversas vezes por lbert lachard, Paris. [8] Mathematica. WolFram Research, [9]. M. Stewart. dvaced Problem merica Mathematical Mothly, [10] P. K. Stockmeyer. Variatios o the four-post tower of Haoi puzzle. ogressus Numeratium, pages 3-12, [11] P. K. Stockmeyer. The average distace betwee odes i the cyclic towers of Haoi digraph. Graph Theory, ombiatorics, lgorithms, ad pplicatios, [12] N. Wirth. lgorithms + Data Structures = Programs. Pretice-Hall, Gödel em Priceto lguma coisa pesa em si própria em mim. Em algum tempo ou em algum lugar alguma coisa é real, pesado. Às vezes quase lhe toco quado ão me perturbam os meus pesametos. E talvez quado faço sem dar por isso os gestos de todos os dias talvez etão esteja muito perto sem o saber. E alguém me leve pela mão por uma realidade feita da miha vida e de coisas reais a que pertecemos eu e o que pesa. Mauel tóio Pia, i "Poesia Reuida", ssírio & lvim, (publicação getilmete autorizada pelo autor) 16