Efeitos de 2ª ordem são aqueles que se somam aos obtidos numa análise de primeira ordem (em que o equilíbrio da estrutura é N d

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1 9 9PILRES 9. Dfinição BNT NBR 68, itm 4.4..: Pilars: Elmntos linars io rto, usualmnt ispostos na vrtial, m qu as forças normais omprssão são prponrants. 9. Efitos ª Orm H Efitos ª orm são aquls qu s somam aos obtios numa anális primira orm (m qu o quilíbrio a strutura é N N stuao na onfiguração gométria iniial), quano a anális o quilíbrio H passa a sr ftuaa onsirano a onfiguração formaa (Figura 9.). H ªorm (H ) (N ) ª orm ª orm Figura 9. Efitos ª ª orm Os fitos ª orm, m uja trminação v sr onsirao o omportamnto não-linar os matriais, pom sr sprzaos smpr qu não rprsntm arésimo suprior a 0% nas raçõs nas soliitaçõs rlvants a strutura. Na Figura 9., o fito ª orm (N ) porá sr sonsirao s 0,0. anális strutural om fitos ª orm v assgurar qu, para as ombinaçõs mais sfavorávis as açõs álulo, não oorra pra stabilia, nm sgotamnto a apaia rsistnt álulo. não-linaria físia, prsnt nas struturas onrto armao, v sr obrigatoriamnt onsiraa. 9.3 Classifiação as Estruturas 9.3. Efitos Globais, Loais Loalizaos ª Orm Sob a ação as argas vrtiais orizontais, os nós a strutura sloam-s orizontalmnt. Os sforços ª orm orrnts sss sloamntos são amaos fitos globais ª orm. Nas barras a strutura, omo um lan pilar, os rsptivos ios O tto rlativo a sta sção é, basiamnt, uma ópia os itns a BNT NBR 68. O tto rlativo a sta sção é, basiamnt, uma ópia o itm 5.4 a BNT NBR ufpr/t405

2 não s mantêm rtilínos, surgino aí fitos loais ª orm qu, m prinípio, aftam prinipalmnt os sforços soliitants ao longo las Estruturas Nós Fios Estruturas Nós óvis s struturas são onsiraas, para fito álulo, omo nós fios quano os sloamntos orizontais os nós são pqunos,, por orrênia, os fitos globais ª orm são sprzívis (infriors a 0% os rsptivos sforços ª orm). Nssas struturas, basta onsirar os fitos loais loalizaos ª orm (Figura 9.). Figura 9. Estruturas nós fios s struturas nós móvis são aqulas on os sloamntos orizontais não são pqunos, m orrênia, os fitos globais ª orm são importants (supriors a 0% os rsptivos sforços ª orm). Nssas struturas vm sr onsiraos tanto os sforços ª orm globais omo os loais loalizaos (Figura 9.3). Figura Estruturas nós móvis Contravntamnto Por onvniênia anális, é possívl intifiar, ntro a strutura, substruturas qu, lmnto ontravntao substrutura ontravntamnto lmnto ontravntao aia lvaor ou pilar par vio à sua gran rigiz a açõs orizontais, rsistm à maior part os sforços orrnts ssas açõs. Essas substruturas são amaas substruturas ontravntamnto. Os lmntos qu não partiipam a substrutura ontravntamnto são amaos lmntos ontravntaos. s substruturas ontravntamnto pom sr nós fios ou nós movis, aoro om o stablio m 9.3. (Figura 9.4). Figura 9.4 Substruturas ontravntamnto lmntos ontravntaos ufpr/t405

3 9.3.4 Elmntos Isolaos São onsiraos lmntos isolaos, os sguints: os lmntos struturais isostátios; os lmntos ontravntaos; os lmntos as struturas ontravntamnto nós fios; os lmntos as substruturas ontravntamnto nós móvis s qu, aos sforços nas trmias, obtios numa anális ª orm, sjam arsntaos os trminaos por anális global ª orm. 9.4 Dispnsa a Consiração os Esforços Globais ª Orm Os prossos aproimaos, aprsntaos m , pom sr utilizaos para vrifiar a possibilia ispnsa a onsiração os sforços globais ª orm, ou sja, para iniar s a strutura po sr lassifiaa omo nós fios, sm nssia álulo rigoroso Parâmtro Instabilia Uma strutura rtiulaa simétria po sr onsiraa omo sno nós fios s su parâmtro instabilia satisfazr as sguints oniçõs: on: n N 0, 0,n n 3 k Htot Equação 9. EsI 0,6 n 4 é o númro nívis barras orizontais (anars) aima a funação ou um nívl pouo sloávl o subsolo; H tot é a altura total a strutura, mia a partir o topo a funação ou um nívl pouo sloávl o subsolo; N k é a somatória toas as argas vrtiais atuants na strutura (a partir o nívl onsirao para o álulo H tot ), om su valor aratrístio; E s I rprsnta a somatória os valors rigiz toos os pilars na irção onsiraa. No aso struturas pórtios, trliças ou mistas, ou om pilars rigiz variávl ao longo a altura, po sr onsirao o valor a prssão E s I um pilar quivalnt sção onstant. Na anális stabilia global po sr aotao o valor o móulo lastiia ou móulo formação tangnt iniial ao m [.4.6]. O valor I v sr alulao onsirano as sçõs brutas os pilars. rigiz o pilar quivalnt v sr trminaa (Figura 9.5) a sguint forma: F H tot F alular o sloamnto o topo a strutura ontravntamnto, sob a ação o arrgamnto orizontal; alular a rigiz um pilar quivalnt sção onstant, ngastao na bas livr no topo, msma altura H tot, tal qu, sob a ação o msmo arrgamnto, sofra o msmo sloamnto no topo. Figura 9.5 Rigiz o pilar quivalnt strutura ontravntamnto O tto rlativo a sta sção é, basiamnt, uma ópia o itm 5.5 a BNT NBR ufpr/t405

4 O valor limit 0,6 prsrito para n 4 é, m gral, apliávl às struturas usuais ifíios. Po sr aotao para assoiaçõs pilars-par, para pórtios assoiaos a pilars-par. Po sr aumntao para 0,7 no aso ontravntamnto onstituío lusivamnt por pilars-par, v sr ruzio para 0,5 quano só ouvr pórtios. Emplo 9.: Classifiar a strutura abaio rprsntaa aoro om su parâmtro instabilia. strutura orrspon a um pórtio onstituío por vigas pilars sção rtangular. Daos: onrto: C5; sção transvrsal os pilars: 0 m 40 m (na irção as soliitaçõs orizontais); sção transvrsal as vigas: 0 m 50 m (na irção as soliitaçõs orizontais); vão ntr pilars: 5 m; ifrnça ota ntr pisos: 3 m; arga aintal a obrtura: q k,ob = 3 kn/m; arga prmannt a obrtura: g k,ob = kn/m; arga aintal o pavimnto tipo: q k,tipo = 5 kn/m; arga prmannt o pavimnto tipo: g k,tipo = 5 kn/m; arga o vnto: q k,vnto = 5 kn/m. 050 (ob) 050 (tipo) m 050 (tipo) 3 m 050 (tipo) m 5 m 5 m Solução: O parâmtro instabilia fia finio pla Equação 9.. Por s tratar um pórtio, sno n = 4, o valor limit v sr tomao igual a 0,5. a. Daos - uniformização unias (kn m) f 5 Pa,5 kn/m C5 k E E i s H tot n 4 lim ,85E i f k Pa 800kN/m 0, kN/m,0m 00m 0,5 altura total númro anarsaimaa funação n 4,pórtio simpls móulo lastiia móulo lastiia sant b. Dtrminação N k Dv sr obsrvao qu as quaçõs álulo para as açõs, onform stablio m [3.6], não s apliam na trminação o parâmtro. Espifiamnt para st aso, F não ist, rsultano: F F F F F somntargas vrtiais, k gk gk qk qk onstituino-s na ombinação açõs para a trminação ufpr/t405

5 Com o auílio o programa FTOOL, ga-s: 3 + = 5 kn/m (obrtura) = 0 kn/m (tipo) m forças orizontais momntos fltors não mostraos 5 m 5 m N k = = 750 kn 8 kn 388 kn 8 kn. Rigiz o pilar quivalnt Com o auílio o programa FTOOL, ga-s: 5 kn/m 050 7, mm 5 kn/m 7, mm 050 m m 066 m 5 m 5 m I m ,4 0,5 strutura nós fios Cofiint z O ofiint z avaliação a importânia os sforços sguna orm global é válio para struturas rtiulaas no mínimo quatro anars. El po sr trminao a partir os rsultaos uma anális linar primira orm, para aa aso arrgamnto, aotano-s os sguints valors rigiz: FTOOL programa stinao ao nsino o omportamnto strutural pórtios planos, snvolvio por Luiz Frnano arta o Dpartamnto Engnaria Civil a Pontifíia Univrsia Católia o Rio Janiro (PUC- Rio) [ ufpr/t405

6 lajs EI s 0,3E I i vigas EI EI s s 0,4E 0,5E I i I i para para ' s ' s s s Equação 9. on: E i I pilars EIs 0,8E ii é móulo lastiia ou móulo formação tangnt iniial ao m [.4.6]; é o momnto inéria a sção bruta onrto, inluino, quano for o aso, as msas olaborants. O valor z para aa ombinação arrgamnto é ao pla prssão: z tot,,tot, Equação 9.3 on:,tot, é o momnto tombamnto, ou sja, a soma os momntos toas as forças orizontais a ombinação onsiraa, om sus valors álulo, m rlação à bas a strutura; tot, é a soma os proutos toas as forças vrtiais atuants na strutura, na ombinação onsiraa, om sus valors álulo, plos sloamntos orizontais sus rsptivos pontos apliação, obtios a anális ª orm. Consira-s qu a strutura é nós fios s for obia a onição: z,. Emplo 9.: Classifiar a strutura abaio rprsntaa aoro om su parâmtro instabilia z. strutura orrspon a um pórtio onstituío por vigas pilars sção rtangular. 050 (ob) 050 (tipo) m 050 (tipo) 3 m 050 (tipo) m 5 m 5 m Consirar : stao limit último ombinação normal Daos: onrto: C5; sção transvrsal os pilars: 0 m 40 m (na irção as soliitaçõs orizontais); sção transvrsal as vigas: 0 m 50 m (na irção as soliitaçõs orizontais); vão ntr pilars: 5 m; ifrnça ota ntr pisos: 3 m; arga aintal a obrtura: q k,ob = 3 kn/m ( 0 = 0,5); ufpr/t405

7 arga prmannt a obrtura: g k,ob = kn/m; arga aintal o pavimnto tipo: q k,tipo = 5 kn/m ( 0 = 0,5); arga prmannt o pavimnto tipo: g k,tipo = 5 kn/m; arga o vnto: q k,vnto = 5 kn/m ( 0 = 0,6). Solução: O parâmtro instabilia z fia finio pla Equação 9.3, om as rigiz vigas pilars finias pla Equação 9.. a. Daos - uniformização unias (kn m) f 5 Pa,5 kn/m C5 k E i 5600 f k Pa 800kN/m b. Rigiz quivalnt as vigas pilars (Equação 9.) EI s 0,4E ii 0,4E ii viga E,viga E,viga 0, Pa 0kN / m EI 0,8E ii 0,8E ii E s,pilar pilar E,pilar 0, Pa 40kN / m móulo lastiia. Combinaçõs açõs Dv sr obsrvao qu as quaçõs álulo para as açõs, onform stablio m [3.6], s apliam na trminação o parâmtro z. s ombinaçõs possívis as açõs rsultam: () F,4F,4(F 0,6F ) F F F () (3) (4) gk,4f,0f,0f. ª ombinação () F,4F F (),4F gk gk gk gk gk,4(f,4(f,4(f,4(f,4f qk,ai qk,vnto qk,ai qk,vnto qk,ai qk,ai 0,5F 0,6F 0,5F 0,6F 0,84F qk, vnto qk, ai qk, vnto qk, ai qk, vnto qk,vnto ) ) ) ) 4, kn/m (vnto) kn/m (obrtura) 8 kn/m (tipo) m 5 m 5 m obrtura: ( g q),4,4 3 kn/m arga vrtial tipo: ( g q),4 5,4 5 8kN / m arga vrtial vnto: ufpr/t405

8 ( q) 0,84 5 4,kN /m arga orizontal Com o auílio o programa FTOOL, ga-s:,0 m 9,0 m 6,0 m 3,0 m 0,0 m Cota,méio N,ota N (m) (mm) (kn) (knmm) 0,0 0,0 0,0 0 3,0,7 80, ,0 5,9 80,0 65 9,0 8, 80,0 68,0 9, 0,0 9 tot, = 6587,méio : sloamnto orizontal méio os nós o pórtio, na ota onsiraa. N,ota : arga vrtial total, na ota onsiraa (vão arga istribuía). (q),vnto 4,, tot, 30,4kNm 30400kNmm z,0, strutura nós fios tot, ,tot,. mais ombinaçõs Rpt-s o prosso para as ifrnts ombinaçõs arrgamntos. Para o arrgamnto, z igual a,00; arrgamnto 3, z igual a,07; arrgamnto 4, z igual a, Imprfiçõs Gométrias - Efitos ª Orm D moo gral, os arrgamntos (arga prmannt, arga aintal, vnto, t), ombinaos omo mostrao m [3.6], provoam nas struturas soliitaçõs (momnto fltor, força normal, força ortant, t) formaçõs (sloamntos, rotaçõs, t). Quano as formaçõs são pquna monta, iz-s qu os fitos ausaos na strutura são ª orm. É sabio porém, qu, uma forma gnéria, as onstruçõs onrto são gomtriamnt imprfitas, aprsntano, ants o arrgamnto, formaçõs orrnts o prosso onstrutivo. No aso as struturas rtiulaas, por mplo, istm imprfiçõs na posição forma os ios as pças, na forma imnsõs a sção transvrsal, na istribuição a armaura, t. uitas ssas imprfiçõs pom sr obrtas apnas plos ofiints ponração, mas as imprfiçõs os ios as pças, não. Elas vm sr pliitamnt onsiraas, porqu têm fitos signifiativos sobr a stabilia a onstrução. Esss fitos orrm não só as soliitaçõs irtamnt atuants, mas também a fluênia a snsibilia a O tto rlativo a sta sção é, basiamnt, uma ópia o itm a BNT NBR ufpr/t405

9 imprfiçõs as struturas onrto. Esss fitos são onsiraos, também, omo ª orm. Na vrifiação o stao limit último as struturas rtiulaas, vm sr onsiraas as imprfiçõs gométrias o io os lmntos struturais a strutura sarrgaa. Essas imprfiçõs pom sr iviias m ois grupos: imprfiçõs globais; imprfiçõs loais Imprfiçõs Globais Dsaprumo a Estrutura Na anális global as struturas, sjam las ontravntaas ou não, v sr onsirao um saprumo os lmntos vrtiais onform mostrao na Figura 9.6. Consirano omo sno o saprumo um lmnto vrtial ontínuo a o saprumo global a strutura, sus valors são trminaos pla Equação 9.4 Equação 9.5, H rsptivamnt. a n prumaas pilars Figura 9.6 Imprfiçõs gométrias global H struturas nós fios struturas nós móvis Equação 9.4 a n Equação 9.5 on: H é a altura total a ifiação, m mtros; n é o númro total lmntos vrtiais ontínuos. BNT NBR 68, itm b: O saprumo não v nssariamnt sr suprposto ao arrgamnto vnto. Entr os ois, vnto saprumo, po sr onsirao apnas o mais sfavorávl, qu po sr finio através o qu provoa o maior momnto total na bas onstrução ufpr/t405

10 Emplo 9.3: Dtrminar o saprumo a strutura abaio rprsntaa. Consirar strutura nós fios móvis. m a Solução: O saprumo fia finio pla Equação 9.4 Equação 9.5. a. Daos H m altura total a strutura n 3 númrototal lmntosvrtiais ontínuos b. para strutura nós fios strutura nós fios H OK a para strutura nós fios n a a para strutura nós móvis strutura nós móvis a para strutura nós móvis a ufpr/t405

11 9.5. Imprfiçõs Loais Dsaprumo Um Lan Pilar No aso lmntos qu ligam pilars ontravntaos a pilars ontravntamnto, usualmnt vigas lajs, v sr Pilar ontravntamnto Pilar ontravntao onsiraa a tração orrnt o saprumo o pilar ontravntao, onform mostrao na Figura 9.7. Elmnto travamnto H i Figura 9.7 Elmntos travamnto (traionao ou omprimio) Consirano H i omo sno a altura um lan pilar (Figura 9.7), m mtros, fin-s omo sno: 00 Equação Hi 300 No aso a vrifiação um lan pilar, v sr onsirao o fito a falta rtilinia o io o pilar 3 (Figura 9.8.a) ou o saprumo (Figura 9.8.b). mit-s qu, nos asos usuais, a onsiração apnas a falta rtilinia ao longo o lan H H i / i pilar sja sufiint. a) falta rtilinia b) saprumo Figura 9.8 Imprfiçõs gométrias loais omnto ínimo ª Orm Consiração as Imprfiçõs Loais O fito as imprfiçõs loais nos pilars po sr substituío m struturas rtiulaas pla onsiração o momnto mínimo ª orm ao a sguir: on: N N 0,05 0,03 Equação 9.7,min é a altura total a sção transvrsal na irção onsiraa, m mtros; é a força normal álulo. Nas struturas rtiulaas usuais amit-s qu o fito as imprfiçõs loais stja atnio s for rspitao ss valor momnto total mínimo. st momnto vm sr arsios os momntos º orm om aprsntaos m Pilars poua rigiz a açõs orizontais. Pilars gran rigiz a açõs orizontais qu rsistm à maior part os sforços orrnts ssas açõs. No aso a falta rtilinia o io o pilar usar H i/ na raiz quaraa a Equação ufpr/t405

12 Po-s izr qu o fito as imprfiçõs loais stará atnio s for onsirao atuano no pilar uma força normal N assoiaa a uma ntriia mínima aa por:, min 0,05 0,03 Equação 9.8 BNT NBR 68, itm 6.3: Dv-s obsrvar, também, qu não s aita o imnsionamnto pilars para arga ntraa. D qualqur forma, é possívl stablr uma quação gral para a ntriia qu lva m onsiração a falta rtilinia o pilar, omo mostrao na Figura 9.9. N H i / N a Figura 9.9 Entriia por falta rtilinia pilar Da Figura 9.9 tm-s: a a Hi Hi Consirano a Equação 9.6,om H i / finino a falta rtilinia o pilar, ga-s: a a Hi H H i i Hi Dsta forma, a Equação 9.8 po sr stnia para: a H i 400 Hi m mtros Equação 9.9 Hi Emplo 9.4: Dtrminar o valor ntriia ª orm a para um pilar uja sção transvrsal tm altura () igual a 40 m. Est pilar porá tr altura (H i variano ntr 7 4 m. Solução: solução o problma onsist na apliação a Equação 9.9. a. Entriia mínima, min 0,05 0,03 0,05 0,03 0,4, min 0,07m,7 m ufpr/t405

13 b. Pilar om 7 m a altura a Hi 00 a Hi ,08m,8m,7m. Pilar om 4 m a altura a H i a Hi ,06 m,6m,7m a H i Para alturas supriors a 5 m, a quação ( a ) passa a prvalr sobr a quação,min. O moo simplifiao rprsntar o momnto total,min primira orm stá mostrao na Figura a H i N N,mim B B,min N N N N N, >,B,,min ou B B B,B N,B N,,min N,B, <,min Figura 9.0 omnto mínimo ª orm ufpr/t405

14 9.6 nális Estruturas Nós Fios pilar Nas struturas nós fios, o álulo po sr ralizao onsirano aa lmnto omprimio isolaamnt (Figura 9.), viga omo barra vinulaa nas trmias aos mais lmntos struturais qu ali onorrm, on s apliam os sforços obtios pla anális a strutura ftuaa sguno a toria ª orm. 0 O omprimnto quivalnt o lmnto omprimio (pilar), suposto vinulao m ambas as trmias, é ao pla Equação 9.0. io a viga Figura 9. Elmnto isolao strutura nó fio on: 0 0 Equação 9.0 é a istânia ntr as fas intrnas os lmntos struturais, supostos orizontais, qu vinulam o pilar; é a altura a sção transvrsal o pilar, mia no plano a strutura m stuo; é a istânia ntr os ios os lmntos struturais aos quais o pilar stá vinulao. anális os fitos loais ª orm v sr ralizaa aoro om o stablio m 9.7. Sob a ação forças orizontais, a strutura é smpr alulaa omo sloávl. O fato a strutura sr lassifiaa omo sno nós fios ispnsa apnas a onsiração os sforços globais ª orm. 9.7 nális Elmntos Isolaos Os itns são apliávis apnas a lmntos isolaos sção onstant armaura onstant ao longo su io, submtios a flo-omprssão. Os pilars vm tr íni sbltz mnor ou igual a 00 ( 00). pnas no aso posts om força normal mnor qu 0,0 f, o íni sbltz po sr maior qu 00. O íni sbltz v sr alulao pla prssão: on: i Equação 9. i é o omprimnto quivalnt o pilar; é o raio giração a sção transvrsal o pilar. No aso pilar ngastao na bas livr no topo, o valor v sr tomao igual a (Figura 9.). Nos mais asos aotar os valors alulaos onform 9.5 (Equação 9.0). O tto rlativo a sta sção é, basiamnt, uma ópia o itm 5.6 a BNT NBR 68. O tto rlativo a sta sção é, basiamnt, uma ópia o itm 5.8 a BNT NBR ufpr/t405

15 = Figura 9. Comprimntos quivalnts pilar Emplo 9.5: Establr os ínis sbltz () para pilars sção rtangular irular. Solução: Os ínis sbltz () fiam finios pla Equação 9.. Para a sção rtangular vm sr obsrvaos os valors os raios giração (momntos inéria) nas uas irçõs. a. Sção rtangular 3 I 3 I rigizna irção possívl flambagmna irção rigizna irção possívl flambagmna irção ára a sçãotransvrsal o pilar Obsrvar qu o momnto inéria I é rfrio a irção. Corrspon ao momnto inéria I a Rsistênia os atriais (momnto inéria m torno o io ). Obsrvar qu o momnto inéria I é rfrio a irção. Corrspon ao momnto inéria I a Rsistênia os atriais (momnto inéria m torno o io ) ufpr/t405

16 i i I I 3 3 raio giraçãona irção raio giraçãona irção 3,46 íni sbltzna irção i 3,46 íni sbltzna irção i Caso os omprimntos quivalnts sjam ifrnts nas irçõs ( ), os valors rsultam: 3,46 3,46 io viga no plano z io o pilar (z) z io viga no plano z formaa o pilar no plano z istania ntr vigas no plano z formaa o pilar no plano z imnsão o pilar na irção istania ntr vigas no plano z imnsão o pilar na irção formaa pilar s ará no plano z (flambagm na irção ) s >. Caso ontrário ( > ), a formaa pilar s ará no plano z (flambagm na irção ). b. Sção irular 4 I rigizm qualqurirção ufpr/t405

17 4 I i i ára a sçãotransvrsal o pilar ,0 4 4 raio giração m qualqur irção íni sbltzm qualqur irção 9.7. Dispnsa a nális os Efitos Loais ª orm Os sforços loais ª orm m lmntos isolaos pom sr sprzaos quano o íni sbltz for mnor qu o valor limit stablio a sguir. O valor pn ivrsos fators, mas os prponrants são: a ntriia rlativa ª orm /; a vinulação os trmos a oluna isolaa; a forma o iagrama momntos ª orm. O valor por sr alulao pla prssão: 35 5,5 Equação 9. b 90 on o valor b v sr obtio onform stablio a sguir: a. pilars biapoiaos sm argas transvrsais a. momntos msmo sinal (traionam a msma fa),,,b são momntos ª orm nos trmos o pilar, om,,b (valors absolutos). B,B b 0,60 0,40,B, α b,00ou,,,b,min 0,0 (omprssão ntraa) Equação 9.3 O tto rlativo a sta sção é, basiamnt, uma ópia o itm 5.8. a BNT NBR ufpr/t405

18 a. momntos sinais ifrnts (não traionam a msma fa),,,b são momntos ª orm nos trmos o pilar, om,,b (valors absolutos). B,B b 0,60 0,40,B, 0,40 α b,00ou,,,b,min 0,0 (omprssão ntraa) b. pilars biapoiaos om argas transvrsais signifiativas ao longo a altura Equação 9.4,,B b,00 Equação 9.5. pilars m balanço B, é o momnto ª orm no ngast,c é o momnto ª orm no mio o pilar m balanço, m valors absolutos. C,C, b 0,80 0,0,C, 0,85 α b,00ou,,,c,min 0,0(omprssão ntraa) Equação ufpr/t405

19 lgumas obsrvaçõs s fazm nssárias quanto à apliação a Equação 9. (quação para finição o valor ). São las: Entriia Embora não pliitamnt itao na BNT NBR 68, po-s ntnr qu o valor a ntriia srá rfrnt ao maior, m valor N absoluto, momnto fltor. S, na figura ao lao,,, orrsponr ao maior momnto (valor absoluto), srá ão por:, N,C Para valors álulo:, N N,B Valors próimos,,min Para fito raioínio, vamos amitir qu m ois pilars msma sção transvrsal msmo, =,min, = 0,99,min omprimnto quivalnt (msma altura) atu momntos fltors omo mostraos na figura ao lao. mitino qu os pilars tnam sção transvrsal quaraa, imnsão 0 m, pla B B Equação 9.8, ga-s:,b = 0,5,,B = 0,5,, min 0,05 0,03 0,05 0,03 0, 0,0m, min,min,m,m, 0,05 0 O Pilar po sr nquarao no itm a., tal forma qu (Equação 9.4):,B b 0,60 0,40 0,40 PILR b,pilr, 0,5 0,60 0,40 Pla Equação 9., tm-s: 35 5,5 b 90,, PILR 0, ufpr/t405

20 35 5,5 0,05,PILR 65,8,PILR 65, 8 0,40 90 Para o Pilar, sno o valor, infrior a,min, aina aoro om o itm a. (Equação 9.4), tm-s:,00 b,pilr Pla Equação 9., tm-s: 35 5,5 b ,5 0,05,PILR 6,3,PILR 35, 0,0 90 Os valors alulaos para iniam qu o pilar P ( = 65,8) tm um valor limit para sbltz,9 vzs maior qu o valor limit para o pilar P ( = 35,0), mbora os msmos tnam a msma altura, as msmas imnsõs o msmo arrgamnto (a ifrnça % nos valors, não justifia a ifrnça nos valors ). Há, portanto, a nssia usar om uiao os valors b. Cargas transvrsais signifiativas O itm b antriormnt rfrio faz rfrênia a pilars biapoiaos om argas transvrsais signifiativas ao longo a altura. O qu não N s sab é omo quantifiar arga transvrsal signifiativa., Talvz a rfrênia sja fita à figura ao lao quano um momnto intrmiário rsult, m valor absoluto, maior qu os momntos as trmias (,C,,B ).,C N,B Como po sr obsrvao, a intrprtação o itm 5.8. a BNT NBR 68/003, rfrnt à trminação, rqur alguns uiaos. BNT NBR 68/980 ra bm mais simpls nst assunto. BNT NBR 68/980: Comprssão por força normal F (barras isolaas)... onsiração ou não onsiração, no álulo, o fito as formaçõs obrá ao sguint ritério: quano 40, st fito po sr sprzao; quano > 40, o fito as formaçõs srá obrigatoriamnt onsirao (toria ª orm). Como po sr visto ouv uma gran muança ntr a ição a BNT NBR a 003 no qu s rfr à onsiração ou não os fitos ª orm m barras isolaas. Pla ição 980 o valor orrsponnt fiaria limitao a 40 nquanto qu a ição 003 prvê um valor limit 90 (Equação 9.). Em aso úvia, onsirar smpr b a BNT NBR 68/003 igual a,00, o qu lvaria a valors mais próimos o romnao pla BNT NBR 68/ ufpr/t405

21 Emplo 9.6: Vrifiar, para o pilar abaio iniao, s os fitos ª orm vm sr onsiraos. O pilar tm imnsão igual a 0 m na irção (on atuam os momntos fltors) 40 m na irção. N = 400 kn z = 0 knm formaa no plano z (irção ), pla ação os momntos fltors = 4, m B = 5 knm N = 400 kn Solução: solução o problma onsist na trminação o valor, ao pla Equação 9., no valor, ao pla Equação 9., om b trminao pla Equação 9.4. omparação ntr sts valors fin s os fitos ª orm vm ou não sr onsiraos no imnsionamnto o pilar. O valor,min é ao pla Equação 9.7. a. Daos - uniformização unias (kn m) 0m (irção ) 40m (irção ) 4,m 40m (irção ) 4,m 40m (irção ) N 400kN 0kNm 000kNm (plano z),, B 5kNm,min N0,05 500kNm (plano z) 0,03 0,05 0,03 0,0 8,40kNm 840kNm, min 400 0kNm 0kNm (plano z), 0kNm 0kNm (plano z), B,min N 0,05 0,03 0,05 0,03 0,40 0,80kNm 080kNm, min 400 b. Dtrminação (vr Emplo 9.5) 40 3,46 3,46 7,7 (irção ) 0 3,46 3, ,3 (irção ) ufpr/t405

22 . Dtrminação na irção,,min b,0 0kNm 8,4kNm, 000, 5,00m N 400,B b 0,60 0,40 0,40 (itm 9.7.-a.) b 0,60 0,40,,B, 0, b 0,60 0,40 0,30 0,40 b 0,40 (irção ) ,5 b ,5 b 90 5,0 35 5,5 0,0 70,3 70,3 (irção ) 0,40 90 onsirar fitos ª orm 7,7 70,3. Dtrminação na irção,,min b,0 (itm 9.7.-a) 0kNm 0,8kNm, 0, 0,0m N 400 0,0 35 5,5 40,0 5,0 35,0 (irção ),0 90 onsirar fitos ª orm 36,3 35, Dtrminação os Efitos Loais ª Orm No aso barras submtias a flo-omprssão normal, o álulo po sr fito plo métoo gral ou por métoos aproimaos. Para barras submtias a flo-omprssão oblíqua v sr sguio o stablio m onsiração a fluênia é obrigatória para > ufpr/t405

23 9.7.. étoo Gral Consist na anális não-linar ª orm ftuaa om isrtização aquaa a barra, onsiração a rlação momnto-urvatura ral m aa sção, onsiração a não-linaria gométria manira não aproimaa. O métoo gral é obrigatório para > étoo proimao - Pilar Parão om Curvatura proimaa Po sr mprgao apnas no álulo pilars om ção onstant armaura simétria onstant ao longo su io. não-linaria gométria é onsiraa forma aproimaa, supono-s qu a formação a barra sja snoial. não-linaria físia é onsiraa através uma prssão aproimaa a urvatura na sção rítia. O momnto total máimo no pilar v sr alulao pla prssão:,tot, b,,min N 0 r sno,min finio pla Equação 9.7. urvatura na sção rítia po sr avaliaa pla prssão aproimaa: on: 0,005 r 0,5 N f 0,005, é a altura a sção o pilar na irção onsiraa; é a força normal aimnsional Equação 9.7 Equação 9.8 O momnto, o ofiint b têm as msmas finiçõs stablias m 9.7., sno, o valor álulo ª orm o momnto,. O momnto,min tm o signifiao o valor stablios m Emplo 9.7: Dtrminar o valor,tot para o pilar abaio iniao. Ess pilar, sção onstant armaura simétria onstant ao longo su io, tm imnsão igual a 40 m na irção o plano on atuam os momntos fltors (irção ) imnsão 5 m na outra irção (irção ). Na irção ist uma viga intrmiaria (mia altura) ntr os pontos B. O valor,tot vrá sr alulao plo étoo o Pilar Parão om Curvatura proimaa, onsirano onrto lass C0 ( =,4). Solução: solução o problma onsist na trminação o valor ao pla Equação 9. no valor ao pla Equação 9. para vrifiar a nssia, ou não, srm onsiraos os fitos ª orm. O valor,tot fia finio pla Equação 9.7 ombinaa om a Equação 9.8. O valor,min é finio pla Equação ufpr/t405

24 N = 600 kn z = 0 knm formaa no plano z (irção ) = 6,0 m B = 5 knm N = 600 kn a. Daos - uniformização unias (kn m) fk 0 f 4,3Pa,43kN / m,4 40m (irção ) 5m (irção ) m 6,0m 600 m (irção ) 3,0m 300 m (irção ) N 600kN 0kNm 000kNm (plano z),, B 5kNm,min N0,05 500kNm (plano z) 0,03 0,05 0,03 0,40 6,kNm 60kNm, min 600 0kNm 0kNm (plano z), 0kNm 0kNm (plano z), B,min N 0,05 0,03 0,05 0,03 0,5 3,5kNm 350kNm, min 600 N f 600 0,4 000,43 b. Dtrminação (vr Emplo 9.5) 600 3,46 3,46 5,9 (irção ) 40 3,46 3, ,5 (irção ) ufpr/t405

25 . Dtrminação na irção,,min b,0 0kNm 6,kNm, 000, 3,33 m N 600,B b 0,60 0,40 0,40 (itm 9.7.-a.) b 0,60 0,40,,B, 0, b 0,60 0,40 0,30 0,40 b 0,40 (irção ) ,5 b ,5 b 90 3, ,5 40,0 65, 65, (irção ) 0,40 90 não onsirar fitos ª orm 5,9 65,,,min,tot, 000 knm 0kNm,tot 6,kNm,tot 000 3,33 m (irção ) N 600. Dtrminação na irção,,min b,0 (itm 9.7.-a) 0kNm 3,5kNm, 0, 0,0m N 600 0,0 35 5,5 5,0 5,0 35,0 (irção ),0 90 onsirar fitos ª orm 4,5 35,0. Dtrminação o raio urvatura na irção 0,005 0,005 r 0, ufpr/t405

26 r r 0,005 0,005 0,005 0,5 0, ,4 0,5 0, m m 5000 m f. Dtrminação o momnto total máimo na irção,tot b, N, 0 r,tot b, N, 0 r,,min, 3,5kNm 350 knm 0kNm,tot,tot 3,5kNm ,tot 430 4,05 m (irção ) N 600 r 5000, kNm 350 knm OK g. Coniçõs imnsionamnto m 5 m 600 kn 5 m 4,05 m 600 kn 3,33 m 40 m 40 m étoo proimao - Pilar Parão om R proimaa Po sr mprgao apnas no álulo pilars om, sção rtangular onstant, armaura simétria onstant ao longo su io. não-linaria gométria v sr onsiraa forma aproimaa, supono-s qu a formação a barra sja snoial. não-linaria físia v sr onsiraa através uma prssão aproimaa a rigiz. O momnto total máimo,tot no pilar v sr alulao a partir a majoração o momnto ª orm pla prssão:, b,,tot Equação 9.9 0,min ufpr/t405

27 O valor a rigiz aimnsional é ao pla prssão:,tot 3 5 Equação 9.0 N trminação,tot, variávl, simultanamnt, a Equação 9.9 a Equação 9.0, po sr obtia fazno-s: a,0 N b 0,N b , N,tot b b, b a 4a, s variávis,,, b são as msmas finias m Equação 9. Emplo 9.8: Dtrminar o valor,tot para o pilar abaio iniao. Ess pilar, sção onstant armaura simétria onstant ao longo su io, tm imnsão igual a 40 m na irção o plano on atuam os momntos fltors (irção ) imnsão 5 m na outra irção (irção ). Na irção ist uma viga intrmiaria (mia altura) ntr os pontos B. O valor,tot vrá sr alulao plo étoo o Pilar Parão om R proimaa. N = 600 kn z = 0 knm formaa no plano z (irção ) = 6,0 m B = 5 knm N = 600 kn Solução: solução o problma onsist na trminação o valor ao pla Equação 9. no valor ao pla Equação 9. para vrifiar a nssia, ou não, srm onsiraos os fitos ª orm. O valor,tot fia finio pla Equação 9.. O valor,min é finio pla Equação 9.7. a. Daos - uniformização unias (kn m) 40m (irção ) 5m (irção ) 6,0m 600 m (irção ) 3,0m 300 m (irção ) ufpr/t405

28 N 600kN 0kNm 000kNm (plano z),, B 5kNm,min N0,05 500kNm (plano z) 0,03 0,05 0,03 0,40 6,kNm 60kNm, min 600 0kNm 0kNm (plano z), 0kNm 0kNm (plano z), B,min N 0,05 0,03 0,05 0,03 0,5 3,5kNm 350kNm, min 600 b. Dtrminação (vr Emplo 9.5) 600 3,46 3,46 5,9 (irção ) 40 3,46 3, Dtrminação na irção,,min b,0 0kNm 6,kNm 4,5 (irção ), 000, 3,33 m N 600,B b 0,60 0,40 0,40 (itm 9-7-a.) b 0,60 0,40,,B, 0, b 0,60 0,40 0,30 0,40 b 0,40 (irção ) ,5 b ,5 b 90 3, ,5 40,0 65, 65, (irção ) 0,40 90 não onsirar fitos ª orm 5,9 65,,,min,tot, 000 knm 0kNm,tot 6,kNm,tot 000 3,33 m (irção ) N ufpr/t405

29 . Dtrminação na irção,,min b,0 (itm 9.7.-a) 0kNm 3,5kNm, 0, 0,0m N 600 0,0 35 5,5 5,0 5,0 35,0 (irção ),0 90 onsirar fitos ª orm 4,5 35,0. Dtrminação o momnto total na irção,,min, 3,5kNm 350 knm 0kNm b,0 4,5 5m 3,5kNm N 600kN b 0,N N b 900, 4, b 0, 5 600, , , N b, 0,, ,tot b b 4 304,49 304, ,tot,tot 3 5 N , kNm 350kNm OK, tot,tot,tot 866 3,m (irção ) N kNm ufpr/t405

30 f. Coniçõs imnsionamnto 600 kn 5 m 600 kn 5 m 3, m 3,33 m 40 m 40 m Obsrvar qu, para stas aratrístias pilar, o métoo o Pilar Parão om Curvatura proimaa mostrou-s mais onsrvaor qu o métoo o Pilar Parão om Rigiz proimaa. O valor,tot rsultou m 430 knm para a Curvatura proimaa (Emplo 9.7) m 866 knm para a Rigiz proimaa étoo o Pilar Parão para Pilars Sção Rtangular Submtios à Flão Composta Obliqua Quano a sbltz um pilar sção rtangular submtio à flão omposta oblíqua for mnor qu 90 ( < 90) nas uas irçõs prinipais, po sr apliao o prosso aproimao srito no itm (Pilar Parão om R proimaa) simultanamnt m aa uma as uas irçõs. amplifiação os momntos ª orm m aa irção é ifrnt pois pn valors istintos rigiz sbltz. Uma vz obtia a istribuição momntos totais, ª ª orm, m aa irção, v sr vrifiaa, para aa sção ao longo o io, s a omposição sss momntos soliitants fia ntro a nvoltória momntos rsistnts para a armaura solia. Essa vrifiação po sr ralizaa m apnas três sçõs: nas trmias B num ponto intrmiário on s amit atuar onomitantmnt os momntos,tot nas uas irçõs ( ) Emplo 9.9: Dtrminar os valors,tot,tot para o pilar abaio iniao. Ess pilar, sção onstant armaura simétria onstant ao longo su io, tm imnsão igual a 0 m na irção imnsão 40 m na irção. Os valors,tot, nas uas irçõs, vrão sr alulaos plo étoo o Pilar Parão para Pilars Sção Rtangular Submtios à Flão Composta Obliqua (étoo a R proimaa). Solução: solução o problma onsist na apliação sparaa (irção irção ) o étoo o Pilar Parão om R proimaa. Os valors srão aos pla Equação 9. os valors aos pla Equação 9., nssários para vrifiar a nssia, ou não, srm onsiraos fitos ª orm. Os valors,tot fiarão finios pla Equação 9.. Os valors,min srão finios pla Equação ufpr/t405

31 z N = 800 kn = 5 knm = 5 knm = 5,0 m = 5,0 m = 40 m = 0 m = 5 knm = 0 knm N = 800 kn a. Daos - uniformização unias (kn m) 0m (irção ) 40m (irção ) 5,0m 500 m (irção ) 5,0m 500 m (irção ) N 800kN 5kNm 500 knm (plano z),, B 0kNm 000 knm (plano z),min N 0,05 0,03 0,05 0,03 0,0 6,8kNm 680kNm, min 800 5kNm 5000 knm (plano z), 5kNm 500 knm (plano z), B,min N 0,05 0,03 0,05 0,03 0,40,6kNm 60kNm, min 800 b. Dtrminação (vr Emplo 9.5) 500 3,46 3,46 86,5 (irção ) 0 3,46 3, ,3 (irção ) ufpr/t405

32 . Consiração os momntos atuano no plano z (irção ) N = 800 kn z = 5 knm formaa no plano z (irção ) = 5,0 m B = 0 knm N = 800 kn 5kNm 500 knm (plano z),, B 0kNm 000 knm (plano z), min 6,8kNm 680 knm.. Dtrminação na irção,,min b,0 (itm 9.7.-a.) 5kNm 6,8kNm, 500,,88m N ,5 b 90, ,5 0,0 6,8 35,0 (irção ),00 90 onsirar fitos ª orm 86,5 35,0.. Dtrminação o momnto total na irção,,min, 6,8kNm 680 knm 5kNm 6,8kNm b,0 86,5 0 m N 800kN ufpr/t405

33 b 0,N N b 900, 86, b 0, 0 800, , , b, N 0,, ,tot b b 4 475,08 475, ,tot,tot 3 5 N , knm 680 knm OK, tot,tot,tot ,08 m (irção ) N 800. Consiração os momntos atuano no plano z (irção ) N = 800 kn 5664kNm z = 5 knm B formaa no plano z (irção ) = 5,0 m 5kNm 5000 knm (plano z), 5kNm 500 knm (plano z), B, min,6knm 60 knm.. Dtrminação na irção,,min b,0 5kNm,6kNm, 500, 3,3m N 800 = 5 knm N = 800 kn ufpr/t405

34 ,B b 0,60 0,40 0,40 (itm 9.7.-a.), 500 b 0,60 0,40 0,36 0,40 b 0,40 (irção ) 500 3,3 35 5,5 40,0 64,9 64,9 (irção ) 0,40 90 não onsirar fitos ª orm 43,3 64,9,,min,tot, 500 knm 5kNm,tot,6kNm,tot 500 3,3m (irção ) N 800. Coniçõs imnsionamnto N = 800 kn knm knm,tot m,tot m N Topo 6,80,60,0,70 Intrmiaria 56,64 5,00 7,08 3,3 Bas 6,80 5,00,0 3,3 40 m,tot,tot 0 m Obsrvar qu os sinais os momntos fltors (sinais as ntriias) não foram onsiraos na tabla aima. Isto s v ao fato a obrigatoria o pilar tr sção onstant, sr simétrio na gomtria na istribuição armaura. Dsta forma o par ntriias po atuar m qualqur quarant qu, vio às simtrias, o rsultao o imnsionamnto a armaura srá smpr o msmo. Por outro lao, a BNT NBR 68 soliita qu o imnsionamnto a armaura sja fito m três sçõs istintas: topo, intrmiária bas. Nst aso o imnsionamnto porá sr fito somnt para a sção intrmiaria porqu as ntriias, simultanamnt, são maiors qu nas mais sçõs. Na irção, 7,08 a intrmiaria >,0 o topo a bas. Na irção, 3,3 a intrmiaria = 3,3 a bas >,70 o topo. Como as ntriias maiors oorrm simultanamnt na sção intrmiaria, basta fazr o imnsionamnto para sta sção. 9.8 Dimnsionamnto Pilars - ELU 9.8. Hipótss Básias Na anális os sforços rsistnts uma sção pilar, vm sr onsiraas as sguints ipótss básias (BNT NBR 68, itm 7..): as sçõs transvrsais s mantêm planas após formação; a formação as barras arnts, m tração ou omprssão, v sr a msma o onrto m su ontorno; as tnsõs tração no onrto, normais à sção transvrsal, pom sr sprzaas, obrigatoriamnt no ELU; a istribuição tnsõs no onrto s faz aoro om o iagrama parábola-rtângulo, finio m [4.], om tnsão pio igual a 0,85 f, om f ufpr/t405

35 finio m [3.8..]. Ess iagrama po sr substituío plo rtângulo altura 0,8 (on é a profunia a lina nutra), om a sguint tnsão: 0,85 f no aso a largura a sção, 0,85 f mia parallamnt à lina nutra, não iminuir a partir sta para a bora omprimia; = 0,8 lina nutra 0,80 f no aso ontrário; 0,80 f = 0,8 lina nutra a tnsão nas armauras v sr obtia a partir os iagramas tnsão-formação, om valors álulo, finios m [3.8..3] [4..]; o stao limit último é aratrizao quano a istribuição as formaçõs na sção transvrsal prtnr a um os omínios finios na Figura 9.3. nurtamntos = 3,5 = s s b 5 4a 4 3 a s = s = 0 alongamntos Figura 9.3 Domínios stao limit último uma sção transvrsal Dv sr obsrvao qu a rta a o omínio (tração uniform tração não uniform) só é apliávl aos tirants onrto armao. No ntanto, os ábaos usaos para a rsolução pilars (Figura 9.6), normalmnt nglobam a solução para tirants ufpr/t405

36 9.8. Valors Limits para rmauras Longituinais Pilars Valors ínimos Conform spifia a BNT NBR 68, itm , a armaura longituinal mínima v sr: N 0,5 f s,min ma Equação 9. 0,4% Valors áimos Conform spifia a BNT NBR 68, itm , a maior armaura possívl m pilars v sr 8% a sção ral, onsirano-s inlusiv a sobrposição armaura istnt m rgiõs mna (Equação 9.3), rspitao o isposto m ,0% Equação 9.3 s,ma Dvio ao prosso onstrutivo, a gran maioria os pilars é utaa por tapas (pisos) tal forma qu um piso para o outro sjam nssárias armauras mna (armauras spra). Isto fará om qu na rgião mna vna a oorrr uma rgião sobrposição armauras, uja taa armaura total s / (spra mais armaura alulaa) va fiar limitaa a 8,0%. Dsta forma, quano o álulo a armaura longituinal pilars om mnas, no su imnsionamnto, já prvno as spras, v-s limitar a taa armaura alulaa a 4,0% (4% para a armaura alulaa mais 4% para as spras) Coniçõs Sgurança Para uma onição gral soliitação normal uma sção transvrsal onrto armao, valm as notaçõs mostraas na Figura 9.4. N S S, = N S, S, = N S si, si, si s si = 0,8 Figura 9.4 Sção onrto armao submtia a flão oblíqua O tto rlativo a sta sção é, basiamnt, uma ópia o itm a BNT NBR ufpr/t405

37 Dfinino as soliitaçõs álulo omo N S, S, S, tal forma qu: S, S, N N S S momnto m torno o io positivo para NS omprssão 0 Equação 9.4 momnto m torno o io poisitivo para N omprssão 0 S a onição sgurança (stao limit último) rsulta: NS NR S NS,S,,S, R NR,R,,R, S, R, Equação 9.5 S, R, om: N R n i si si R, N R n i si si si Equação 9.6 R, N R n i si rsolução a Equação 9.6 onuz a uma suprfíi intração, omo mostrao na Figura 9.5. si si N R iagrama intração N R, R (flão omposta normal) iagrama intração N R, R, R (flão omposta obliqua) R, R, Figura 9.5 Suprfíi intração ufpr/t405

38 Os iagramas intração mais usaos para imnsionamnto pilars são os snvolvios pla Esola Engnaria São Carlos - USP, spifiamnt: Dimnsionamnto Pças Rtangulars Conrto rmao Soliitaas à Flão Rta, W. S. Vnturini, 987; Ábaos para Flão Obliqua, L.. Piniro, L. T. Barali. E. Porm, 994. Dntr os programas omputaionais snvolvios para o imnsionamnto pilars pom sr staaos os snvolvios por. F. F. Olivira C.. W. Zanona, CESEC UFPR, 00, a sabr : Normal.3 Flão Composta Rta; Obliqua.0 Flão Composta Obliqua. Os ábaos aprsntaos por Vnturini, para flão normal omposta, tm o aspto mostrao na Figura 9.6, on: a posição rprsnta uma sção imnsionaa om sgurança, porém om sso matrial (onrto ou aço); a posição orrspon à onição limit sgurança, sm sso matrial; a posição 3 orrspon a uma sção fora os limits sgurança, vno sr altraa m suas imnsõs ou na quantia armaura. Os ábaos programas omputaionais rfrios prfrm não fazr istinção ntr valors orrsponnts a soliitaçõs a valors rsistênia. Os valors aprsntaos nos ábaos programas usam, para força normal momntos fltors, as prssõs álulo N,, no lugar N R, R, R,, rsptivamnt. 3 s f f zona sgurança N f omprssão tração Figura 9.6 Ábao para flão normal omposta Emplo 9.0: Dtrminar a armaura para a sção transvrsal um pilar submtio ao arrgamnto abaio iniao. Consirar: stao limit último ombinação normal arrgamnto; onrto: C5; aço: C-50. sso aos programas plo ufpr/t405

39 0,5 s N 3 m 54 m N = N S = 89 kn = 0 m 0,5 s 0 m 3 m Solução: solução o problma onsist na apliação irta o ábao - aprsntao m Dimnsionamnto Pças Rtangulars Conrto rmao Soliitaas à Flão Rta, W. S. Vnturini, EESC/USP. armaura mínima v sr vrifiaa pla Equação 9. a armaura máima om a Equação 9.3. a. Daos - uniformização unias (kn m) fk 5 f 7,9Pa,79kN / m,4 fk 500 f 435Pa 43,5kN / m s,5 60m b 0m ' 3m ' 3 0,05 60 b m s,min s,min s,ma s,ma N 0,5 f ma 0,4% 89 0,5 4,44m 43,5 ma 4,80m 0,4 00 4,80m 00 4,0% amitio rgião mnas 4,0 00 N NS 0m 00 48,0 m 89kN b. Cofiints N 89 0,60 f 00, ufpr/t405

40 f N f 0 0,60 0,0 60. Cofiint trminação s Utilizano o ábao -, obtém-s = 0,3 = 0,30 0,5 s = 0,3 = 0,40 0,0 N 0,5 s b N f 0,60 omprssão tração s f f s 43,5 0,3 s 00,79 4,80m s 6,08m 48,0m 5,80m (8 6mm 6,08 m ) OK. Vrifiação a outra irção b 60m 0m ' 3m ' 3 0,5 0 b m 4,80m s,min 48,0 m N s,ma N S 89kN , min 0,05 0,03 0,05 (0,03,) 0,0m,m ufpr/t405

41 N 3 m 4 m N = 89 kn =, m 3 m 60 m 0,60, 0,60 0,063 0 Utilizano o ábao -, obtém-s = 0,00 = 0,00 N 0,063 b N f 0,60 omprssã o tração Como o alulao pla sguna vrifiação (0,00) rsultou infrior ao a primira vrifiação (0,3), prval a solução = 0,3 (8 6 mm). Os ábaos aprsntaos por Piniro, Barali Porm, para flão obliqua omposta, tm o aspto mostrao na Figura 9.7, on: a posição rprsnta uma sção imnsionaa om sgurança, porém om sso matrial (onrto ou aço); a posição orrspon à onição limit sgurança, sm sso matrial; a posição 3 orrspon a uma sção fora os limits sgurança, vno sr altraa m suas imnsõs ou na quantia armaura ufpr/t405

42 N f,0 N f 0,8 3 zona sgurança s f f N N,, 4 f f Figura 9.7 Ábao para flão obliqua omposta Emplo 9.: Dtrminar a armaura para a sção transvrsal um pilar submtio ao arrgamnto abaio iniao. Consirar: stao limit último ombinação normal arrgamnto; onrto: C5; aço: C m 3 m 4 m ( ) N m N = 573 kn (N S ) = 5 m = 5 m = 0 m = 40 m = 4 m (0,0 ) = 4 m (0,0 ) 4 m ( ) 4 m ufpr/t405

43 Solução: solução o problma onsist na apliação irta o ábao -5 aprsntao m Ábaos para Flão Obliqua, L.. Piniro, L. T. Barali. E. Porm, EESC/USP. armaura mínima v sr vrifiaa pla Equação 9. a armaura máima om a Equação 9.3. a. Daos - uniformização unias (kn m) fk 5 f 7,9Pa,79kN / m,4 f f k s 0m 40m ' Pa 43,5kN / m,5 4m(0,0) ' 4m(0,0) N s,min s,min s,ma s,ma N m N 0,5 f ma 0,4% 573 0,5,98 m 43,5 ma 0, ,0 m 00 4,0% amitio 4,0 00 S 5m 5m 800 3,0 m 573kN b. Cofiints N 573 0,40 f 800,79 f f N f N f 3,0 m rgião mnas 0, ,0 5 0,40 0, ufpr/t405

44 . Cofiint trminação s Utilizano o ábao -5, obtém-s = 0,4 = 0,40 = 0,4 0,0 0,5 = N = N N = 0,50 0,4 s f f s 43,5 0,4 800,79 s 3,0m 8,84m OK 3,0m s 3,83m (6 0mm 8,84 m ) 0 mm 40 m 9.9 nális Estruturas Nós óvis 0 m Na anális strutural struturas nós móvis vm sr obrigatoriamnt onsiraos os fitos a não-linaria gométria a não-linaria físia, portanto, no imnsionamnto, vm sr obrigatoriamnt onsiraos os fitos globais loais ª orm nális Não-Linar om ª Orm Uma solução aproimaa para a trminação os sforços globais ª orm, onsist na avaliação os sforços finais (ª orm + ª orm) a partir a majoração aiional os sforços orizontais a ombinação arrgamnto onsiraa por 0,95 z. Ess prosso só é válio para z 9.9. Consiração proimaa a Não-Linaria Físia Para a anális os sforços globais ª orm, m struturas rtiulaas om no mínimo quatro anars, po sr onsiraa a não-linaria físia manira aproimaa, tomano-s omo rigiz os lmntos struturais os valors sguints: O tto rlativo a sta sção é, basiamnt, uma ópia o itm 5.7 a BNT NBR ufpr/t405

45 lajs: EI s 0,3E i I vigas : EI EI s s 0,4E 0,5E i i I I ' s ' s s s Equação 9.7 on: I z pilars: EIs 0,8E ii é o momnto inéria a sção bruta onrto, inluino, quano for o aso, as msas olaborants. Quano a strutura ontravntamnto for omposta lusivamnt por vigas pilars -s alular a rigiz as vigas pilars por: s 0,7E ii EI Equação 9.8 Os valors rigiz aotaos nst itm são aproimaos não pom sr usaos para avaliar sforços loais ª orm, msmo om uma isrtização maior a molagm nális os Efitos Loais ª Orm anális global ª orm forn apnas os sforços nas trmias as barras, vno sr ralizaa uma anális os fitos loais ª orm ao longo os ios as barras omprimias, aoro om o prsrito m 9.7. Os lmntos isolaos, para fins vrifiação loal, vm sr formaos plas barras omprimias rtiraas a strutura, om omprimnto, aoro om o stablio m 9.6, porém apliano-s às suas trmias os sforços obtios através a anális global ª orm. 9.0 Disposiçõs Construtivas s igênias qu sgum rfrm-s a pilars uja maior imnsão a sção transvrsal não a ino vzs a mnor imnsão, não são válias para as rgiõs spiais rmauras Longituinais Diâmtro ínimo Taa rmaura O iâmtro as barras longituinais não v sr infrior a 0 mm nm suprior /8 a mnor imnsão transvrsal. taa gométria armaura v rspitar os valors máimos mínimos spifiaos m Distribuição transvrsal s armauras longituinais vm sr ispostas na sção transvrsal forma a garantir a aquaa rsistênia o lmnto strutural. Em sçõs poligonais, v istir plo mnos uma barra m aa vérti; m sçõs irulars, no mínimo sis barras istribuías ao longo o prímtro. O spaçamnto livr ntr as armauras, mio no plano a sção transvrsal, fora a rgião mnas, v sr igual ou suprior ao maior os sguints valors: 0 mm; iâmtro a barra, o fi ou a luva;, vzs o iâmtro máimo o agrgao. Para fis barras, v-s onsirar o iâmtro o fi n = n ½. Esss valors apliam-s também às rgiõs mnas por traspass barras. O tto rlativo a sta sção é, basiamnt, uma ópia o itm 8.4 a BNT NBR 68 Sção a BNT NBR ufpr/t405

46 Quano stivr prvisto no plano onrtagm o ansamnto através abrtura latral na fa a forma, o spaçamnto as armauras v sr sufiint para prmitir a passagm o vibraor. O spaçamnto máimo ntr ios as barras, ou ntros fis barras, v sr mnor ou igual a uas vzs a mnor imnsão no tro onsirao, sm r 400 mm rmauras transvrsais armaura transvrsal pilars, onstituía por stribos, quano for o aso, por grampos suplmntars, v sr oloaa m toa a altura o pilar, sno obrigatória sua oloação na rgião ruzamnto om vigas lajs. O iâmtro os stribos m pilars não v sr infrior a 5 mm nm a /4 o iâmtro a barra isolaa ou o iâmtro quivalnt o fi qu onstitui a armaura longituinal. O spaçamnto longituinal ntr stribos, mio na irção o io o pilar, para garantir o posiionamnto, impir a flambagm as barras longituinais garantir a ostura as mnas barras longituinais nos pilars usuais, v sr igual ou infrior ao mnor os sguints valors: 00 mm; mnor imnsão a sção; 4 para C-5, para C 50. Po sr aotao o valor t < /4 s qu as armauras sjam onstituías o msmo tipo aço o spaçamnto rspit também a limitação t sma 9000 (f k m Pa) fk Quano ouvr nssia armauras transvrsais para força ortant momnto torçor, sss valors vm sr omparaos om o spifiao no itm a BNT NBR 68 para vigas, aotano-s o mnor os limits spifiaos. 9. Simbologia Espífia ',min tot,tot,tot f f k f g i i iâmtro a sção transvrsal onrto altura útil a viga - istânia a fibra onrto mais omprimia até o ntro gravia a armaura traionaa istânia a fibra onrto mais omprimia até o ntro gravia a armaura omprimia imnsão infinitsimal um lmnto onrto omprimio imnsão infinitsimal um lmnto onrto omprimio ntriia ntriia ª orm ntriia ª orm assoiaa ao momnto fltor,min ntriia ª orm, na irção ntriia ª orm, na irção ntriia rfrnt ao,tot ntriia na irção ntriia rfrnt ao,tot ntriia na irção ntriia rfrnt ao,tot rsistênia à omprssão o onrto álulo rsistênia à omprssão o onrto aratrístia rsistênia ao soamnto o aço álulo valor a ação prmannt altura total a sção transvrsal altura a sção transvrsal pilar na irção onsiraa altura a sção transvrsal pilar na irção altura a sção transvrsal pilar na irção raio giração a sção transvrsal o pilar raio giração rfrio á irção ufpr/t405

47 i raio giração rfrio á irção altura um lan pilar istânia ntr ios lmntos struturais aos quais um pilar stja vinulao 0 istânia ntr as fas intrnas os lmntos struturais, supostos orizontais, qu vinulam o pilar omprimnto quivalnt pilar omprimnto quivalnt pilar na irção omprimnto quivalnt pilar na irção n númro nívis barras orizontais (anars) númro total lmntos vrtiais ontínuos q valor a ação variávl r raio urvatura r raio urvatura na irção r raio urvatura na irção altura a lina nutra oornaa um lmnto infinitsimal onrto omprimio si oornaa uma barra gnéria altura a rgião tnsõs onstants no onrto omprimio oornaa um lmnto infinitsimal onrto omprimio si oornaa uma barra gnéria ára a sção transvrsal onrto ára onrto omprimio ' s ára a sção a armaura longituinal omprssão s ára a sção transvrsal a armaura longituinal tração ára a sção transvrsal a armaura longituinal pilar si ára a sção transvrsal a armaura longituinal uma barra gnéria E i móulo formação tangnt iniial o onrto E s móulo formação sant o onrto EI rigiz F força F valor álulo as açõs F gk valor aratrístio as açõs prmannts irtas F gk valor aratrístio as açõs prmannts inirtas F k valor aratrístio as açõs F qk valor aratrístio as açõs variávis F qk valor aratrístio as açõs variávis inirtas H altura total a ifiação H força orizontal álulo H i altura um lan pilar H tot altura total a strutura, mia a partir o topo a funação ou um nívl pouo sloávl o subsolo I momnto inéria I momnto inéria a sção bruta onrto I momnto inéria rfrio à irção (I ) I momnto inéria rfrio à irção (I ) momnto fltor momnto ª orm,tot, momnto tombamnto - soma os momntos toas as forças orizontais a ombinação onsiraa, om sus valors álulo, m rlação à bas a strutura momnto ª orm álulo,min momnto total ª orm álulo mínimo qu possibilita o atnimnto a vrifiação as imprfiçõs loalizaas um lan pilar momnto ª orm álulo na irção,min momnto total ª orm álulo mínimo na irção momnto ª orm álulo na irção,min momnto total ª orm álulo mínimo na irção ufpr/t405

48 B C,tot R R, R, S S, S,,tot,tot N N N k N R N S R S b b b s si ' s z iniial a si tot, momnto ª orm momnto ª orm álulo momnto ª orm no trmo o pilar momnto ª orm no trmo o pilar momnto ª orm no mio o pilar m balanço momnto fltor álulo momnto total máimo no pilar momnto fltor rsistnt álulo momnto fltor rsistnt álulo na irção momnto fltor rsistnt álulo na irção momnto fltor soliitant álulo momnto fltor soliitant álulo na irção momnto fltor soliitant álulo na irção momnto total máimo no pilar na irção momnto total máimo no pilar na irção força normal força normal álulo somatória toas as argas vrtiais atuants na strutura (a partir o nívl onsirao para o álulo H tot ), om su valor aratrístio força normal rsistnt álulo força normal soliitant álulo rsistênia soliitação parâmtro instabilia fator qu fin as oniçõs vínulo nos apoios fator qu fin as oniçõs vínulo nos apoios, na irção fator qu fin as oniçõs vínulo nos apoios, na irção formação spífia o onrto formação spífia o aço à tração formação spífia o aço uma barra gnéria formação spífia o aço à omprssão formação spífia soamnto o aço ofiint majoração os sforços globais finais ª orm para obtnção os finais ª orm rigiz aimnsional valor iniial a rigiz aimnsional rigiz aimnsional na irção rigiz aimnsional na irção íni sbltz íni sbltz na irção íni sbltz na irção valor limit para íni sbltz momnto fltor ruzio aimnsional força normal aimnsional saprumo global uma strutura saprumo um lmnto vrtial ontínuo saprumo um lan pilar altura H i tnsão à omprssão no onrto tnsão na armaura longituinal uma barra gnéria taa mânia armaura longituinal sloamnto soma os proutos toas as forças vrtiais atuants na strutura, na ombinação onsiraa, om sus valors álulo, plos sloamntos orizontais sus rsptivos pontos apliação, obtios a anális ª orm ufpr/t405