Problemas Hamiltonianos

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1 Prolms Hmiltoninos Dfinição: Um iruito hmiltonino m um grfo onxo G é finio omo um minho lmntr, fho pssno m vérti G xtmnt um vz. Um grfo qu mit um iruito hmiltonino é um grfo hmiltonino. Evintmnt nm too grfo é hmiltonino. A figur ixo ilustr ois grfos, o primiro é hmiltonino () o sguno não (). Portnto, um iruito hmiltonino um grfo n vértis onsist xtmnt n rsts. Um iruito hmiltonino quivl um prmutção os vértis, ssim, o númro máximo minhos hmiltoninos um grfo om n vértis é igul n!. Os prolms st lss são, moo grl, ifiul mior qu os prolms ulrinos. Há um grn númro rsultos útis, o lo muits qustõs m rto; por outro lo os lgoritmos pr sorir um iruito hmiltonino são m grl, muito mis trlhosos. Enqunto qu um grfo ulrino po sr vrifio m tmpo linr, não s onh lgoritmo polinomil pr vrifir s um grfo é hmiltonino, xto pr sos prtiulrs. Por xmplo, não é omplio vrifir qu um grfo omplto possui um iruito hmiltonino m tmpo O(n 2 ). Propris pr grfos hmiltoninos Existm muitos rsultos r grfos hmiltoninos, porém, há pouos torms rltivmnt útis. A sguir são prsntos ois torms. Torm Or. Um onição sufiint (ms não nssári) pr qu um grfo G sj hmiltonino é qu som os grus pr vértis não jnts sj no mínimo n. Torm Dir: Um onição sufiint (ms não nssári) pr qu um grfo simpls G possu um ilo hmiltonino, é qu o gru vérti m G sj plo mnos igul n/2, on n é o númro vértis m G. Osrv qu sts torms não são sufiints pr trminr s um grfo é hmiltonino. Osrv o grfo ixo qu é um grfo hmiltonino qu não o s oniçõs os torms im. O gru vérti é 2, qu é mnos qu 6/23, lém isso, som os grus qulqur pr vértis não jnts é smpr 4, qu é mnor qu n6 (vértis).

2 A sguir é prsnto um lgoritmo qu trmin os iruitos hmiltoninos. Métoo Exto: Métoo Composição Ltin Trt-s um métoo lgério pr numrção minhos hmiltoninos. Est métoo gr toos os minhos simpls por multiplição mtrizs. Consir mtriz B(n x n) sguint form: B i j v j, s x i s t r s t ( v i, v j ), s o o n t r á r i o Pssos o Algoritmo P. Constru mtriz B mtriz jêni A o grfo o. P2. Fç P A; P3. Pr i,2,..., n-2 fç P i B x P i Os: ) Os lmntos mtriz P são is rtrs (vértis) não númros. A oprção multiplição signifi ontnção o rtrs som rprsnt ivisão us ou mis is rtrs. 2) C lmnto mtriz P i rprsnt um minho hmiltonino omprimnto i ntr os vértis s t. 3) Pr too P i igonl é zro, ssim omo too minho s té t ontno s.

3 Exmplo: Dtrminr s minhos hmiltoninos o grfo ixo: Solução plo métoo omposição ltin. Psso : B A Psso 2: P A Psso 3: P 2 BxP ; P 3 BxP 2 ; P 4 BxP 3 Eliminm-s ns mtrizs P i os trmos sulinhos, pois são minhos s té t qu ontm s. Fzs tmém igonl igul zro. 2 P P 3

4 P 4 Os minhos hmiltoninos são:,,,,,,,,,. S s rsts são vlors, ntão po-s trminr o minho mnor usto. Os ilos isjuntos ontno toos os vértis são:, Os: A miori os lgoritmos xtos são normlmnt lss Brnh n- Boun. Trt-s uss m árvors, rtrizs plo prtiionmnto o onjunto soluçõs por um ritério o. Em prolms prátios sts lgoritmos são inviávis, pois, o tmpo omputção rs rpimnt om imnsão o prolm.

5 Prolm o Cixiro Vijnt (PCV) (Trvling Slsmn Prolm) É um prolm grn importâni práti qu onsist n trminção rot mnor usto pr um psso qu prt um i v visitr ivrss outrs, pssno plo mnos um vz m i rtornno o ponto prti. O usto po sr mio m trmos inhiro, tmpo, istâni, t, s opçõs xistnts pr s ifrnts tps vigns orrsponm s rsts um grfo vloro. S o grfo não for muito grn, spilmnt, s não tivr muitos ros, srá possívl numrr os iruitos hmiltoninos pois hr o vlor um ls; ms no so grl, isso é impossívl n práti. Algoritmos Hurístios pr o PCV Os métoos xtos pr rsolvr o PCV não são omputionlmnt fiints, o qu tm lvo os psquisors utilizrm lgorítimos hurístios, qu grm soluçõs stisftóris, om onsumo tmpo omputionl muits vzs mnor o qu um lgoritmo xto. Um hurísti é um prosso qu prour os soluçõs um prolm um usto omputionl rzoávl, porém, sm sr pz grntir otimli ou té, m muitos sos, stlr quão prto um solução viávl stá solução ótim. Portnto, não xist prov orrtu sss lgoritmos hurístios. Os lgoritmos hurístios nontros n litrtur pom sr iviios ns sguints lsss: Hurísti Construção; Hurísti Mlhormnto; Hurísti mist. Hurísti Construção As hurístis onstrução mis onhis são: Vizinho mis próximo; Insrção mis próxim; Insrção mis istnt; Insrção mis rt; Algoritmos s Eonomis (Clrk-Wright). Hurísti Mlhormnto As hurístis mlhormnto (ou mlhori itrtiv) mis onhis são: K-opt ou K-mlhormnto; (m sl ul) Simult Annling; Algoritmos Gnétios; Bus Tu; t. Hurísti Mlhormnto K-Opt Trt-s um strtégi tro rsts qu pom sr uss pr mlhorr um solução oti por lgum lgoritmo onstrução. A hurísti K-Opt limin K rsts não jnts o

6 rotiro o PCV rontm sss k minhos m orm ifrnts trvés outrs k rsts. Entrtnto, s xpriênis omputionis om K2 K3 têm prsnto os mlhors rsultos. A Hurísti 2-OPT A hurísti 2-opt é um s ténis mis onhi pr mlhorr um solução pr o prolm o ixiro vijnt. Inii-s om um ilo H; rtir-s 2 rsts H, ssim prouzino 2 grfos sontos. Os ois grfos são rontos tl mnir qu prouz outro ilo H. Assim H H ifrm m xtmnt 2 rsts. Clul-s o usto w(h ) o ilo H. S w(h )< w(h), o ilo H é sustituío por H rpt-s o prosso; so ontrário, um outro pr rsts é troo. As munçs ontinum té qu nnhum mlhormnto por s fito trono 2 rsts. A solução finl qu não po sr mlhor muno pns 2 rsts é hm um solução 2- opt (Figur ). Figur. Ilustrção hurísti 2-Opt Figur 2. Ilustrção hurísti 3-Opt.

7 D mnir nálog hurísti 2-Opt po s rir hurísti 3-Opt. Nst so, munç 3 rsts pom sr omins m 4 forms ifrnt, onform Figur 2. Formlizção Hurísti 2-Opt Do um ilo iniil ontno o sguint onjunto rsts H{x, x 2,..., x n } n orm x, x 2,..., x n.. Dfin-s w(h) o usto ssoio o ilo H. Sj X{x i,x j } um onjunto 2 rsts H é pgo sustituío por outro onjunto rsts Y{y p,y q }, otno-s um novo ilo H (H - X) Y. S w(h )<w(h) ntão H é sustituío por H. Osrv qu: ) s us rsts x i, x j X não pom sr jnts; 2) um vz qu X tnh sio solhio, o onjunto Y é trmino. Assim, é possívl grr n ( n 3 ) ilos H prtir um o ilo H. 2 Dnot-s δ omo sno o mlhormnto δ w(h) - w(h ) ( w(x i ) w(x j ) ) - ( w(y p ) w(y q ) ). O lgoritmo xmin toos os ilos H fim otr um ilo om o máximo vlor δ. O vlor máximo é noto por δ mx. A sguir é srito o lgoritmo st métoo pr lnçr um solução 2-opt pr o prolm o ixiro vijnt trvés sussivs tros 2 rsts ( Syslo t l, 983) Prour 2-OPT gin < sj H (x, x 2,..., x n ) o ilo orrnt >; rpt δ mx :; for i: to (n-2) o for j:(i) to n < ou (n-) quno i > o if (w(x i ) w(x j ) - w(y p ) - w(y q ))> δ mx thn gin δ mx : (w(x i ) w(x j ) - w(y p ) - w(y q )); < gurr i j >; n; if δ mx > thn H: H- {x i, x j } {y p,y q }; until δ mx ; n; Exríio. Fç nális omplxi pr lgoritmo hurístio onstrutivo prsnto. Exríio 2. Fç nális omplxi pr os lgoritmos hurístios mlhortivo 2-Opt 3- Opt.