DETERMINAÇÃO EFICIENTE DE VÉRTICES SIMPLICIAIS EM GRAFOS CORDAIS

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1 Psquis Oprionl n Soi: Eução, Mio Amint Dsnvolvimnto DETERMINAÇÃO EFICIENTE DE VÉRTICES SIMPLICIAIS EM GRAFOS CORDAIS Lilin Mrknzon Oswlo Vrnt Núlo Computção Eltrôni Univrsi Frl o Rio Jniro -mil: {mrknzon,oswlo}@n.urj.r Pulo Rnto Cost Prir Instituto Militr Ennri -mil: prnto@9.im..r RESUMO Nst trlo, tlmos um loritmo om omplxi linr pr trminção toos os vértis simpliiis um ro orl, om s m um nov rprsntção qu snvolvmos pr st míli ros. Plvrs-Cv: Gro orl; Rprsntção; Vértis simpliiis. ABSTRACT In tis ppr, w outlin linr-tim loritm or trminin ll simpliil vrtis in orl rp, s on nw rprsnttion tt w vlop or tis mily. Kywors: Corl rp; Rprsnttion; Simpliil vrtis. 1. INTRODUÇÃO Os ros oris onstitum um míli stnt stu, om propris struturis m prtiulrs. Em su strutur, s liqus om oniçõs stnt spíis, vorno solução inúmros prolms lorítmios. Justmnt pr solução sts prolms, outrs inormçõs, lém s itulmnt ornis por onjuntos ou mtriz jêni, são nssáris. A trminção iint toos os vértis simpliiis oorr om rqüêni omo tp intrmiári n solução prolms nvolvno ros oris. Assim, vários psquisors mnionm possiili rsolvê-l m tmpo polinomil, xpliitno muits vzs omplxi nvolvi, sm, no ntnto, tlr loritmos pr solução. Golumi(1980), qu nos ornu rsposts ivrss outrs qustõs, não trtou it trminção. Mis rntmnt, Cnrn t l. (2003) mnionm lv omplxi O(n 2 ) pr trminr s um vérti é simpliil, por onsuint, O(n 3 ) pr trminr toos. Por su vz, Hi t l. (2003) pns irmm omplxi linr, surino um moiição no prurso por vizinnç máxim stuo m Blir Pyton(1993), sm spiiá-l. Ur (2004) monstr possiili rsolvr o prolm m tmpo linr utilizno árvor liqus o ro orl. Nst trlo, propomos um nov rprsntção pr ros oris, s m um squm liminção prit o ro. A prtir l, s liqus mximis pom sr iintmnt otis, lvno à solução, m tmpo linr, o prolm trminção toos vértis simpliiis. [ 2254 ]

2 Psquis Oprionl n Soi: Eução, Mio Amint Dsnvolvimnto 2. CONCEITOS BÁSICOS Sjm G = (V, E) um ro, om n = V, v V um vérti qulqur G. Dizmos qu v é simpliil quno Aj(v) é um liqu m G (i.., o suro G[Aj(v)] G inuzio por Aj(v) é um ro omplto). Um squm liminção prit (EEP) G é um unção ijtor σ: {1,..., n} V tl qu σ(i) é um vérti simpliil m G[{σ(j) i j n}], pr i = 1,..., n. Um EEP po sr mlor visulizo s prrmos qu su inição inuz ispor os vértis m um sqüêni σ(g) = [σ(1),..., σ(n)], mnir qu too vérti sj simpliil no suro G inuzio por l plos qu o sum n sqüêni σ. Assim, um posição i n sqüêni, σ(i) not o vérti qu oup invrs, σ -1 (v), orrspon à posição oup plo vérti v. Pl inição, é áil trminr um EEP pr um o ro. Inii-s om um sqüêni vzi vértis, qu ontrá um EEP o inl o prosso. A psso, um vérti simpliil é solio, rsnto à sqüêni xluío o ro. Pr o ro Fiur 1, possívis EEPs são [i,,,,,,,, ] [,, i,,,,,, ]. i Fiur 1: Um ro orl. Um ro G = (V,E) é orl quno too ilo omprimnto mior ou iul 4 possui um or (i.. um rst lino ois vértis não onsutivos o ilo). A orli quivl à xistêni um EEP, onorm stlio no Torm 1. Torm 1 (Golumi(1980)). Um ro é orl s, somnt s, l mit um squm liminção prit, qu po iniir-s om qulqur vérti simpliil. Os loritmos ronimnto ros oris mis onios mis iints sim-s no Torm 1 onstm ois pssos. Primirmnt, um prurso spil (por vizinnç máxim ou m lrur lxiorái) trmin um sqüêni vértis; m sui, v-s vriir s st sqüêni é um EEP. Esss ois pssos pom sr implmntos m loritmos omplxi linr m tmpo spço. S o ro ornio omo ntr or simnt orl, s sqüênis vértis prouzis plos prursos itos onstituirão squms liminção prit pr l. Nst rtio, onsirmos onios o ro orl um sus EEPs. 3. ESQUEMA DE REPRESENTAÇÃO Em últim nális, um EEP ispõ os vértis um ro orl m um sqüêni, rntino qu um ls stj lio um liqu orm por um suonjunto sus sussors. Est strutur sur um prosso onstrução pr ros oris, ormlizo no Torm 2. [ 2255 ]

3 Psquis Oprionl n Soi: Eução, Mio Amint Dsnvolvimnto Torm 2. Sj G = (V,E) um ro orl, v V um novo vérti Q V um liqu G. O ro G' = (V {v}, E {{v, x} x Q} ) é tmém orl. Prov: Bst osrvr qu v é um vérti simpliil G'. Então, s [v 1, v 2,..., v n ] é um EEP G, [v, v 1, v 2,..., v n ] é um EEP G', plo Torm 1, G' é orl. A prtir o Torm 2, é possívl onr um prosso inutivo onstrução pr ros oris: iniino om um ro trivil (omposto por pns um vérti), rsnt-s, psso, um novo vérti lio um liqu o ro já xistnt. Em rlção o EEP, st novo vérti é rsnto smpr omo prixo. A Fiur 2 ilustr st onstrução pr o ro Fiur 1, utilizno o EEP [i,,,,,,,, ]. i Fiur 2: Construção inutiv um ro orl. Não é iíil onsttr qu um EEP é insuiint pr rprsntr um ro orl, um vz qu, prtir l, o onjunto rsts não po sr rstlio. Pr ronstrução o ro é nssário o onimnto s liqus às quis vérti o EEP oi lio urnt o prosso onstrutivo. Sjm o ro orl G = (V, E), σ um EEP G v V um vérti qulqur. O onjunto X σ (v) = {x Aj(v) σ -1 (v) < σ -1 (x)} é nomino onjunto jêni rstrito v. [ 2256 ]

4 Psquis Oprionl n Soi: Eução, Mio Amint Dsnvolvimnto Osrv qu, pr too vérti v V, os lmntos o onjunto X σ (v) são xtmnt os lmntos liqu à qul o vérti v é lio no orrr onstrução suno o EEP σ. Do um EEP σ, rprsntção um ro orl G = (V, E) por onjuntos jêni rstritos onsist m um sqüêni prs R σ (G) = [(σ(i), X σ (σ(i)) i = 1,..., n]. Vl osrvr qu st rprsntção é úni pr um o ro um EEP. Consirno o EEP [i,,,,,,,, ], o ro Fiur 1 tm suint rprsntção: [(i,{,}), (,{,,}), (,{,,}), (,{,,}), (,{,}), (,{,}), (,{,}), (,{}), (, )]. Em um rprsntção oti por st squm, vm sr mnionos, o too, Σ v V [1+ X σ (v) ] = n + m símolos. Po-s notr qu st rprsntção é mis onômi o qu triionl rprsntção por onjuntos jêni, qu mn n + 2m símolos. O rmznmnto m mmóri st rprsntção onsist m um strutur ortoonl m qu os nós list prinipl (vrtil), oritorimnt sqünil, rmznm inormçõs sor os vértis o ro; orm m qu os vértis prm nst list prinipl é msm o EEP. D um os nós list vrtil mr um list sunári (orizontl), qu possui um nó pr lmnto o onjunto jêni rstrito. A Fiur 3 mostr o rmznmnto o ro Fiur 1 n mmóri, onsirno o EEP [i,,,,,,,, ]. Not qu últim list orizontl é smpr vzi. i Fiur 3: Armznmnto m mmóri. Dus oprçõs são unmntis m loritmos qu utilizm st rprsntção: trminção σ(i) trminção σ -1 (v). A primir ls tm solução imit (m O(1)) no rmznmnto or proposto. Pr qu sun oprção sj tmém iint, é nssário utilizr um strutur os uxilir qu, pr vérti o ro, iniqu su posição no EEP. S o onjunto os vértis or V = {1,..., n}, n 1, um vtor é suiint pr qu oprção sj tmém xut m O(1). [ 2257 ]

5 Psquis Oprionl n Soi: Eução, Mio Amint Dsnvolvimnto 4. DETERMINAÇÃO DOS VÉRTICES SIMPLICIAIS Conorm mniono n Sção 1, trminção os vértis simpliiis um ro orl G = (V, E) é um prolm stnt importnt, qu tm sio nlinio m unção su prnt simplii. Noss solução si-s n trminção prévi s liqus mximis G, prmitino tmém uzir o vlor o tmno mior liqu ω(g), onsqüntmnt, o númro romátio χ(g) = ω(g). Etp 1: Dtrminção s liqus mximis. Torm 3. Sjm G = (V, E) um ro orl R σ (G) = [(σ(i), X σ (σ(i)) i = 1,..., n] um rprsntção G por onjuntos jêni rstritos. To liqu mximl G é orm {v} X σ (v), on v V. Prov. Sj Q um liqu mximl G. Sj v Q tl qu σ -1 (v) = min {σ -1 (w) w Q}. Toos os vértis Q {v} são jnts v, ntão Q {v} X σ (v). Supon qu xist x X σ (v) Q. S-s, pl inição EEP, qu {v} X σ (v) é um liqu; or, st liqu ontri proprimnt Q, o qu ontrri ipóts Q sr mximl. Por osrvção o ro Fiur 1 su EEP σ = [i,,,,,,,, ], sus liqus mximis pom sr trmins: {,, i}, {,,, }, {,,, }, {,,, } {,, }. Pr os vértis i,,,, o onjunto {v} X σ (v) orrspon um liqu mximl o ro; pr os mis, não. Consir onstrução inutiv prsnt n Sção 3. Nst onstrução, os vértis são rsntos o ro orl n orm invrs à qu prm no EEP. Ao rsntrmos um novo vérti σ(i), st é lio à liqu X σ (σ(i)) o ro G[{σ(i+1),..., σ(n)}], rno o ro orl G[{σ(i),..., σ(n)}], om um EEP [σ(i),..., σ(n)]. Por sr o primiro vérti o squm, liqu {σ(i)} X σ (σ(i)) é oritorimnt mximl m G[{σ(i),..., σ(n)}]. Qunto à liqu X σ (σ(i)), à qul σ(i) oi lio, us situçõs pom oorrr: S X σ (σ(i)) é mximl m G[{σ(i+1),..., σ(n)}], ntão l s trnsorm n liqu mximl {σ(i)} X σ (σ(i)) m G[{σ(i),..., σ(n)}]; S X σ (σ(i)) é suonjunto um liqu mximl Q G[{σ(i+1),..., σ(n)}], tnto Q qunto {σ(i)} X σ (σ(i)) srão liqus mximis m G[{σ(i),..., σ(n)}]. A Etp 1 o Aloritmo 1 trmin s liqus mximis Q 1,..., Q t o ro orl G, utilizno s iéis prsnts im. A vérti é ssoio um rótulo N qu rmzn o íni primir liqu mximl oti urnt o prosso à qul l prtn. Os vértis são prossos n orm rvrs à qu prm n rprsntção por onjuntos jêni rstritos. Pr vérti σ(i), são xutos os suints pssos: Psso 1: trminr o vérti v X σ (σ(i)) mnor posição no EEP; Psso 2: ronr s liqu X σ (σ(i)) é mximl m G[{σ(i+1),..., σ(n)}]. O rótulo N(v) rmzn o númro primir liqu mximl Q oti urnt o prosso à qul v prtn. Como Q ontém tos s suliqus possívis qu possum v omo mnor vérti, X σ (σ(i)) é mximl m G[{σ(i+1),..., σ(n)}] s, somnt s, X σ (σ(i)) = Q. Etp 2: Dtminção os vértis simpliiis. Lm 4 (Blir Pyton(1993)). Num ro G = (V, E), v V é simpliil s somnt s v prtn somnt um liqu mximl. [ 2258 ]

6 Psquis Oprionl n Soi: Eução, Mio Amint Dsnvolvimnto Osrv qu, o inl Etp 1, não só s liqus mximis stão trmins, omo tmém o rótulo N(v) ini liqu mximl m qu o vérti v oi loo pl primir vz. Or, s v prtn somnt um liqu mximl Q, ntão su ru no ro v sr Q 1, rntino qu l sj vizino pns os vértis Q. A Etp 2 implmnt st tst. Os rus os vértis são trminos in n Etp 1, quno o prurso os onjuntos jêni rstritos o ro. Aloritmo: Entr: Sí: Dtrminção s liqus mximis os vértis simpliiis um ro orl; Um ro orl G = (V, E), rprsnto por R σ (G) = [(σ(i), X σ (σ(i)) i=1,..., n]; As liqus mximis Q 1,..., Q t G o onjunto Simpliiis; Iníio Etp 1: t 1; Q 1 {σ(n)}; ru(σ(n)) 0; N(σ(n)) 1; Pr i n 1,..., 1 ç ru(σ(i)) 0; v σ(n); Pr w X σ (σ(i)) ç ru(σ(i)) ru(σ(i)) + 1; ru(w) ru(w) + 1; S σ -1 (w) < σ -1 (v) ntão v w; k N(v); S X σ (σ(i)) < Q k ntão k t t + 1; Q k {σ(i)} X σ (σ(i)); % Um nov liqu mximl é ri so ontrário Q k {σ(i)} Q k ; % A liqu mximl nti é stni N(σ(i)) k; Etp 2: Simpliiis ; Pr i 1,..., n ç k N(σ(i)); S ru(σ(i)) = Q k 1 ntão Simpliiis Simpliiis {σ(i)}; Fim. Supono qu s oprçõs sor onjuntos sjm implmnts moo tomrm tmpo O(1), omplxi o loritmo é lrmnt O(m), pois, pr vérti onsiro, su onjunto jêni rstrito é prorrio. 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS Um nov rprsntção, om s m um squm liminção prit (EEP), oi prsnto pr ros oris. A iéi ssoir vérti um EEP liqu à qul l oi lio urnt orrsponnt onstrução o ro, lém runr m um orm mis onômi rprsntção, viiliz rsolução um prolm lorítmio xtrm rlvâni: trminção o onjunto liqus mximis. Otio st onjunto, mostrmos omo xpliitr, mnir stnt simpls, o onjunto toos os vértis simpliiis o ro. O loritmo prsnto tm omplxi linr, m tmpo spço, no tmno o ro. [ 2259 ]

7 Psquis Oprionl n Soi: Eução, Mio Amint Dsnvolvimnto 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Blir, J. R. S., Pyton, B. (1993). An Introution to Corl Grps n Cliqu Trs in J. A. Gor, J. R. Gilrt, J. W. Liu itors, Grp Tory n Sprs Mtrix Computtion, IMA Volums in Mtmtis n its Applitions 56, 1-29, Sprinr-Vrl. Cnrn L.S., Irr, L., Rusky, F., Sw, J. (2003). Gnrtin n Crtrizin t Prt Elimintion Orrins o Corl Grp, Tortil Computr Sin 307, Gvril, F. (1972). Aloritms or Minimum Colorin, Minimum Cliqu, Minimum Covrin y Cliqus, n Mximum Inpnnt St o Corl Grp, SIAM J. o Comput. 1, Golumi, M.C. (1980). Aloritmi Grp Tory n Prt Grps, Nw York: Ami Prss. Hi, M., Pul, C., Tll, J.A. (2003). A Linr-tim Aloritm or Ronition o Ctvl Grps, Pro. o EUROCOMB Ur, R. (2004). Cnonil Dt Strutur or Intrvl Pro Grps, Pro. o ISAAC 2004, Ltur Nots in Computr Sin 3341, [ 2260 ]