Estruturas de Dados Lista de exercícios

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1 Estruturs Dos List xrcícios 1. No instnt t = 0, um cultur bctéris contém inivíuos. No instnt t = i (sno i um intiro positivo qu xprss o númro hors), o númro inivíuos n cultur é o obro o númro iníviuos no instnt ntrior mnos Escrv ois loritmos, um rcursivo outro não-rcursivo, qu clculm o númro inivíuos prsnts n cultur no instnt i. Clcul s complxis os loritmos.. A sqüênci Fiboncci é um squênci lmntos f 1, f,..., f n, fini o suint moo: f 1 = 0, f = 1, f j = f j 1 + f j. Elborr loritmos, rcursivo não rcursivo, pr trminr o lmnto f n squênci. 3. Escrv um vrsão NÃO RECURSIVA o Aloritmo s Torrs Hnói qu s ncontr no livro-txto. Sustão: utiliz pilhs! 4. Sj 1,,..., n um sqüênci lmntos qu srão insrios postriormnt rtiros um pilh P um vz c. A orm inclusão os lmntos n pilh é 1,,..., n, nqunto rmoção pn s oprçõs rlizs. Por xmplo, com n = 3, sqüênci oprçõs incluir m P, incluir m P, rtirr P, incluir m P, rtirr P, rtirr P prouzirá prmutção, 3, 1 prtir ntr 1,, 3. Rprsntno por I, R, rspctivmnt, s oprçõs insrção rmoção pilh, prmutção, 3, 1 po sr not por IIRIRR. D um moo rl, um prmutção é chm missívl quno l pur sr obti mint um sucssão inclusõs rmoçõs m um pilh prtir prmutção 1,,..., n. Assim, por xmplo, prmutção, 3, 1 é missívl. P-s: (i) Dtrminr prmutção corrsponnt IIIRRIRR, n = 4. (ii) Dê um xmplo prmutção não missívl. 5. Um lv-rápio tm cpci máxim tnimnto 5 crros (um qu stá sno lvo, qutro m spr). C lvm lv 3 minutos. Ao chr um novo clint, o sistm ou o tn imitmnt (cso stj compltmnt livr), ou o coloc m spr, ou o rjit (cso já xistm 5 crros sno tnios). Escrv um loritmo qu li um intiro n 1 um vtor binário (por xmplo, ), on o i-ésimo bit squr pr irit vl 1 s um novo clint ch no i-ésimo minuto, 0 s nnhum novo clint ch no i-ésimo minuto. A suir, o loritmo v clculr quntos crros form lvos plo sistm té o n-ésimo minuto. (Suponh qu o vtor tm plo mnos n bits.) Us um fil pr rprsntr o sistm c minuto qu pss. 6. Assinl V ou F, justificno: S T é um árvor stritmnt binári com 10 nós ntão T possui 4 nós no trciro nívl. S T é um árvor binári com 10 nós ntão 4 h(t ) 10, on h(t ) é ltur T.

2 7. Dsnh um árvor binári busc qu sj stritmnt binári, ltur 4, com o mnor númro possívl nós. Não s squç colocr os vlors s chvs ntro c nó. 8. Dsnvolv um strtéi pr rmovr um nó um árvor binári busc. Not qu strutur rsultnt pós rmoção o nó v continur sno um árvor binári busc! 9. Dsnh um árvor binári busc chi com ltur 4, colocno ntro c nó o vlor su chv. As chvs são 1,,..., k (k é o númro nós árvor, qu é um vlor qu você v uzir). A suir, scrv squênci chvs qu corrspon o prcurso m pré-orm st árvor. 10. (Prov ou ê um contr-xmplo: Um árvor binári po sr construí, form únic, prtir os sus prcursos m pós-orm m nívl. 11. Consir o conjunto chvs S = {1,, 3, 4, 5, 6, 7}. P-s rsponr s suints qustõs rltivs S: () Dsnhr um árvor binári busc chi, contno os nós S. Dnot por T 1 st árvor. (b) Dsnhr um árvor binári busc ziu-zu, contno os nós S. Dnot por T st árvor. (c) Escrvr os nós T 1 m pré-orm, pós-orm orm simétric () Escrvr os nós T m pré-orm, pós-orm orm simétric. 1. Pr c squênci bixo, rspon s l corrspon ou não um hp (list priori). Justifiqu brvmnt. () (b) Dsnh xpliqu os pssos intrmiários o loritmo construção um hp (list prioris) qu é xcuto m tmpo O(n), pr o suint vtor ntr: 34, 3, 89, 1, 67, 58, Dsnh xpliqu os pssos intrmiários o loritmo ornção Hpsort o suint vtor ntr: 34, 3, 89, 1, 67, 58, Rspon F ou V, justificno: () Sj T 1 um hp cuj riz r tm priori iul p. Sj T o hp obtio T 1 pl rmoção r, sj T 3 o hp obtio T pl insrção um nó com priori p m T. Então T 1 T 3 são iênticos.

3 (b) O loritmo ornção Hpsort é stávl. Obsrvção: Um loritmo ornção é ito stávl quno orm rltiv ois lmntos msmo vlor s mntém pós ornção. Isto é, s list L sr orn contém ois lmntos 1 tis qu 1 = L[i], = L[j], 1 = i < j, pós ornção trmos 1 ocupno céluls L[i ] L[j ] tis qu i < j. 16. Do um hp (list prioris) T com n lmntos, on o lmnto priori máxim ncontr-s n riz (primir posição T ), scrvr o loritmo pr umntr priori um o lmnto i T. Suponh qu priori um lmnto j qulqur é not por T [j].prio 17. Sj o conjunto chvs S = {1,, 3, 4}, qu irá formr um árvor binári busc T. Dsnh tos s confiurçõs possívis qu T po ssumir moo qu T sj tmbém um árvor AVL. 18. A prtir um árvor inicilmnt vzi, snh o psso psso árvor AVL rsultnt insrção nós com chvs 0, 4, 5, 8, 7,, 10, 3 (nst orm). 19. Dsnh um árvor AVL ltur 4 qu possu um númro mínimo nós (não s squç colocr os vlors s chvs ntro c nó). 0. Dsnh um árvor B orm = 3 ltur 3 contno o mnor númro possívl chvs. (Os vlors ficm à su scolh.) A suir, ftu rmoção um chv snh árvor B rsultnt rmoção. 1. Dsnh um árvor B orm = com três nívis o mior númro possívl chvs. (Os vlors s chvs ficm à su scolh.). Rspon (V ou F): S um árvor B tm o mior númro possívl chvs, ntão l tm o mior númro possívl páins.. Sj T um árvor B orm 3 ltur 3. Dê xmplos confiurçõs qu T pori ssumir, nos suints csos: () T tm númro mínimo chvs. (b) T tm númro máximo chvs. (c) T tm númro mínimo páins, ms não chvs. () T tm númro máximo páins, ms não chvs. Obs: Os vlors s chvs ficm à scolh o luno. 3. Sj T um tbl isprsão com 6 posiçõs implmnt por ncmnto xtrior. A função isprsão é h(x) = x mo 6. Dsnh tbl pós inclusão s chvs 45,73,59,8,15,4,10,19, nst orm. 4. Suponh um conjunto S 6 chvs, ispostos m um tbl isprsão T tmnho 9, suno um função isprsão h, on o trtmnto colisõs s rliz plo métoo o ncmnto xtrior. Dtrminr vlors qu s chvs vm possuir, bm como scolhr função isprsão h scrvr tbl T, m c cso, pr qu T obç, rspctivmnt, às suints coniçõs:

4 () Não xistm colisõs. (b) Exist xtmnt um colisão. (c) Existm xtmnt us colisõs. () Tos s insrçõs chvs, prtir sun, rm colisõs. 5. Est qustão rfr-s o rfo G 1 (vj fiur). Dsnh um árvor profuni pr G 1, inicno os vlors P E(v) P S(v). Dsnh s rsts rtorno, stcnos. A riz busc é. Os vizinhos um vértic vm sr prcorrios m orm lfbétic. 6. Est qustão rfr-s o irfo G (vj fiur). Dsnh um árvor profuni pr G, inicno os vlors P E(v) P S(v). Dsnh s mis rsts, clssificno o tipo c um ls. A riz busc é. Os vizinhos um vértic vm sr prcorrios m orm lfbétic. 7. Est qustão rfr-s o rfo G 3 (vj fiur). Dsnh um árvor lrur pr G 3. Pr c vértic, iniqu orm m qu l ntr n fil. Dsnh s mis rsts G 3, clssificno o tipo c um ls. A riz busc é. Os vizinhos um vértic vm sr prcorrios m orm lfbétic. 8. Num rfo conxo, istânci ntr ois vértics é o númro rsts o mnor cminho ntr ls. Expliqu como busc m lrur po sr us pr chr istânci ntr ois vértics x y. 9. Apliqu o loritmo Dijkstr G 4 (vj fiur) pr ncontrr cminhos mínimos o vértic toos os mis vértics. Fç um tbl m qu prçm os rótulos provisórios L(v) m c itrção. Dix clro qul o vértic scolhio m c itrção. Dsnh árvor ror cminhos mis curtos (com riz ) G 4, obti implicitmnt pl plicção o loritmo. 30. Vriro ou flso? Em qulqur busc m profuni um rfo G, o númro rsts rtorno é smpr o msmo. (Justifiqu brvmnt.) 31. Vriro ou flso? Tos s árvors lrur um rfo G têm o msmo númro nívis. (Justifiqu brvmnt.)

5 b G 1 c f b G f c G 3 G 4 c f b i h c 4 b