Mapa de Karnaugh. João Paulo Cerquinho Cajueiro 24 de agosto de 2009

Transcrição

1 Mp Krnugh João Pulo Crquinho Cjuiro 24 gosto 2009 O hmo mp Krnugh foi snvolvio plo mtmátio físio Muri Krnugh 1 m 1953, nqunto trlhv no grupo psquiss mprs Bll. Est métoo é um poros frrmnt pr iruitos lógios, pois prmit simplifir quçõs oolns pns grupno árs omuns, o qu nosso érro onsgu fzr m mis rpimnt o qu plino postulos torms quçõs. 1 D igrms Vnn Mps Krnugh Utilizr os torms postulos álgr Bool pr simplifir quçõs é stnt tioso, o qu fz om qu sj m provávl qu hjm rros no prosso. Ms já vimos qu s quçõs álgr Bool pom sr visulizs trvés um igrm Vnn. Isto é xmplifio n figur 1, qu prsnt um igrm Vnn 3 vriávis om os rsptivos mintrmos ssoios um s rgiõs. () Rgiõs s vriávis () Su-rgiõs os mintrmos Figur 1: Digrm Vnn om 3 vriávis. Utilizno os igrms, é fáil otr qução simplifi função. Por xmplo, onsir-s função f 1 = + +. Dsnhno st função num igrm Vnn (figur 2), fi óvio qu pomos simplifiá-l pr f 1 = ( + ). O prolm pr quno rsntmos mis 1 vriávl. Como fzr um igrm finino tos s 16 possiilis? A solução pr isto é snhr 1 Aprntmnt l tulmnt (ntr outrs oiss), srv o log unlj0.logspot.om. Est informção pn m s ritr ou não n wikipi. 1

2 f 1 Figur 2: Digrm Vnn finino rgião por f 1 = + + = ( + ). s rgiõs omo quros, não omo írulos, ssim omo foi fito n figur 3. No lo irito st figur tmos té rprsntção o lo for o igrm proprimnt ito qu rgiõs orrsponm qu vriávis. Figur 3: Digrm Vnn 4 vriávis snho om rgiõs qurs. Est igrm Vnn moifio já é o próprio mp Krnugh, on no mp s rgiõs m qu função é vrir são mrs om 1, m qu função é fls são mrs om 0. 2 Mps Krnugh C rgião (quro) m um mp Krnugh orrspon um linh n tl vr. Ou sj, rgião orrspon um mintrmo um mxtrmo. A figur 4 mostr os mintrmos orrsponnts um s rgiõs. Nl tmém stá prsnt o númro orrsponnt mintrmo 2

3 ou mxtrmo. Figur 4: Rgiõs orrsponnts mintrmos um mp Krnugh Not n figur 4 qu os vizinhos s m um mp Krnugh são tis qu pns mu um vriávl vz. Por xmplo, s 5 pr s 1 (im) só mu o, 5 pr 7 (irit) só mu o, 5 pr 4 (squr) só mu o 5 pr 13 (ixo) só mu o. Isto é válio pr tos s ss. É possívl plir isto inlusiv pr s ss ns ors ns quins, pois pomos onsirr qu o mp á volt m si msmo. Dst moo onsirs s 6 omo vizinh 4 só mu vriávl, s 10 vizinh 2 só mu vriávl. Isto nos prmit grupr trmos visulmnt. Por xmplo, onsir função f 2 = m(3, 7, 12, 13) su rsptivo mp krnugh n figur 5. f 2 = m(3, 7, 12, 13) Figur 5: Função f 2 simplifição por grupmnto ss vizinhs. Anlisno função f 2 por álgr Bool, vmos qu pomos simplifiál plino o torm T6. E osrvno no mp Krnugh, os trmos qu são unios simplifios são justmnt os vizinhos. f 2 = } {{ } } {{ } T 6 T 6 f 2 = + 3

4 Ou sj, o grupmnto 2 ss vizinhs orrspon à simplifição um vriávl trvés plição to torm T6. Bst vr no próprio mp quis são s vriávis qu não mum ntro o grupmnto. Pr simplifir 2 ou mis vriávis st plir o torm rptis vzs. Simplifiqumos função f 3 (vi figur 6), por xmplo. Bst gruprmos função us m us ss 2 grupos vizinhos us ss virm um únio grupo 4 ss, rtirno mis um vriávl função. f 3 = } {{ } } {{ } = + } {{ } f 3 = f 3 f 3 Figur 6: Agrupmnto s ss função f 3. Est msmo proimnto po sr mostro pr grupmntos 8 ss (simplifino ntão 3 vriávis) ou 16 ss (simplifino 4 vriávis. A figur 7 mostr lgums possiilis grupmntos 2, 4 8 ss 2, junto om o prouto rsptivo. Clro qu num mp Krnugh 4 vriávis um grupmnto 16 ss sri too o mp orrsponri função 1. 2 Exmplos utilizos tmém no rtigo originl Krnugh: Th mp mtho for synthsis of omintionl logi iruits,

5 () grupmntos 2 ss () Agrupmntos 4 ss () Agrupmntos 8 ss Figur 7: Exmplos mps krnugh om os orrsponnts proutos lgérios. 5

6 2.1 Mps n vriávis Clro qu um mp Krnugh po sr fito om um númro mnor vriávis. Pr tnto st simplsmnt sir iviino o mp. Tm-s pns qu lmrr qu um s v tr n vizinhs, já qu simplifição um vriávl orrspon unir um s om vizinh. Isto é mostro n figur 8 pr mps 2, 3 4 vriávis () Mp 2 vriávis () Mp 3 vriávis () Mp 4 vriávis Figur 8: Mps Krnugh 2, 3 4 vriávis, mostrno qu s tm n vizinhs. Ms omo plir st prinípio pr funçõs om mis 4 vriávis? É impossívl fzr um mp no plno on um s rgiõs tm 5 (ou mis) vizinhos. Um mnir (não muito práti) é trlhr om um mp triimnsionl omo xmplifi figur 9 qu mostr um mp Krnugh 6 vriávis, not qu s tm 6 vizinhos: 4 no plno (omo no mp 4 vriávis) 2 vrtiis. N práti, um mp 5 vriávis é snho omo 2 4 vriávis, sno um om um vriávl (m grl mis signifitiv) sno 0 o outro om msm vriávl sno 1. Us-s st msmo prinípio pr mps 6 vriávis ou mis vriávis, omo po sr visto n figur 10. 6

7 f f f f Figur 9: Mp Krnugh triimnsionl 6 vriávis. f f f f () 5 vriávis () 6 vriávis Figur 10: Mps Krnugh 5 6 vriávis. 7

8 3 Som proutos prouto soms Até o momnto trlhmos om o mp Krnugh grupno os 1 s pr grr funçõs n form som proutos, ms pomos grupr os zros tmém, grno quçõs n form prouto soms, omo mostr figur 11 pr funçãof 4 = + ( + ). f 4 (,,, ) Figur 11: Mp Krnugh om grupmnto 0 s. D msm form qu n tl vr, um 0 no mp Krnugh orrspon um mxtrmo. Logo o grupmnto 2 ss om 0 orrspon um som om n 1 trmos (on n é o númro vriávis função), o grupmnto 4 ss quivl um som n 2 vriávis ssim por int. No so grupmnto zros, v-s tomr uio om rlção ntr um rgião mr omo vriávl pr n qução. Por xmplo, n figur 11 rgião + oorr on stá mro no mp, não on stá mro. A xplição pr st fnômno é msm os mxtrmos n tl vr trm s vriávis rrs m rlção os mintrmos orrsponnts. Isto torn nális o mp por grupmnto 0 s m mnos intuitiv. f Figur 12: Exmplo qução minimiz por grupmnto 1 s 0 s. A prtir o mp Krnugh, pomos otr qução n form prouto soms, juntno os zros; ou n form som proutos, juntno os uns. 8

9 As us forms otis função f 5 figur 12 são mostrs ixo psr prntrm sr ifrnts, ls são, fto, quivlnts. f 5 = ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( ) (1) f 5 = (2) Comçno qução n form prouto soms, multiplimos os ois primiros prêntss os ois últimos otmos: f 5 = ( ) ( ) (3) Rtirno os vários trmos runnts, hg-s : f 5 = ( + + ) ( ) (4) Multiplino novmnt, otêm-s: f 5 = (5) On novmnt tmos vários trmos runnts qu simplifim m: f 5 = (6) Not qu pomos usr o torm o onsnso nos sguno, triro último trmo, rtirno ntão o triro trmo. Com isso, otém-s qução (2) oti por som proutos. Mostr-s ntão qu qução (1) é quivlnt à (2), q... 4 Equçõs iruitos não-ompltmnt spifios. É stnt omum situção qu trmins ntrs um iruito lógio nun oorrm. Como xmplo imgin-s um stir rrgno um ix um lo pr o outro, om snsors fim urso m ms xtrmis: s o lo squro s o lo irito. No funionmnto norml o sistm sts ois sinis nun srão ionos o msmo tmpo; nst situção não import qul é o rsulto o iruito pr s = s = 1, já qu st situção nun vi xistir, portnto não é nssário spifir um vlor sí pr st situção. Diz-s ntão qu st iruito é não-ompltmnt spifio. A tl 1 mostr o xmplo um sinl imginário z trmino m função, s s. Nst xmplo, smpr qu s = s = 1 sí z é nãospifi, ou sj, z não-import nsts situçõs. Nst txto utilizrmos notção 3 pr intifir s situçõs qu um sinl não import. Po-s srvr um função lógi não-ompltmnt spifi n form som mintrmos ou prouto mxtrmos utilizno notção ( ), qu vm o inglês on t r. Dst form o sinl z po sr srito por: 3 onthiqur, iho. z = (2, 4, 6) + (3, 7) = (0, 1, 5) + (3, 7) (7) m M 9

10 s s z Tl 1: Exmplo um função não ompltmnt spifi. As sís não spifis são intifis por. Outrs notçõs omumnt uss são *, - ou. Um n sí po sr implmnto omo um 1 ou um 0, não s s prinípio qul sts ois vlors grrá um solução mis minimiz, logo pr otr o mnor iruito possívl o ngnhiro vri otr s quçõs onsirno qu po sr 1 ou 0 hr qul é o mnor iruito finl. Ovimnt pr prolms om muitos s isto s torn imprtiávl, pois sri nssário implmntr 2 k iruitos, on k é o númro s prsnts. Flizmnt o mp Krnugh filit stnt implmntção iruitos não-ompltmnt spifios, pois pomos onsirr s trmino é 1 ou 0 visulmnt, n hor implmntção. z s s Figur 13: Mp Krnugh função z. Ao minizrmos função z plo mp Krnugh (figur 13) otmos 2 funçõs: z = s + s (plos 1 s) (8) z = s (s + ) (plos 0 s) (9) Not qu, nst so, sts us quçõs não são quivlnts; ou sj, não é possívl sir um ls hgr n outr por álgr Bool, omo já foi fito n sção 3 pr f 5. Isto porqu n minimizção por som proutos foi onsiro qu os s rm 1, nqunto qu m prouto soms ls form onsiros omo sno 0. Est situção é stnt omum o minimizr funçõs não ompltmnt spifis, porém, psr strnho, não us nnhum prolm, já qu s ifrnçs ns sís oorrm justmnt quno não import o vlor sí, sj por qu qul ntr nun oorr ou por outr rzão qulqur. 10