= e A = I1 X X. dy dx. 4. Modelos matemáticos de crescimento. 5. Noção de taxa de juro. dx X. dy Y X X X A X Y

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1 1 2 Sumário (14ª aula) 4. Modlos matmáticos d crscimnto 4.1.Progrssão aritmética (variação absoluta constant) - visto 4.2.Progrssão gométricas (variação rlativa constant) - visto 4.3.Progrssão lástica (com lasticidad constant) - acabar 5. Noção d taxa d juro 16 Nov Progrssão aritmética (variação absoluta constant) Em trmos matmáticos o modlo d variação absoluta constant pod tr a sguint forma: I t = I + ( t 1) b dados o trmo inicial I 1 a variação absoluta b. 1 Também s pod rprsntar a séri na forma rcursiva: It = It 1 + b, dados I t-1 b. O incrmnto b é qualqur coisa por unidad d tmpo Progrssão gométrica (variação rlativa constant) A forma rcursiva é: I = I t t 1 R A forma xplícita é, dados o primiro trmo I t-1 a razão R ( t 1) I, dados I 1 R t = I1 R S o R for 1,1, o índic aumnta 10% a cada príodo S o R for 0,9, o índic diminui 10% a cada príodo Normalmnt, m matmática financira considra-s uma taxa d variação, r, m vz da razão, sndo R = 1 + r. 4.3 Progrssão lasticidad (com lasticidad constant) Mas xistm variávis qu aumntam d forma lástica E.g., quando as xportaçõs aumntam m 1,0%, as importaçõs aumntam m 0,8% Trata-s d um aumnto rlativo d uma variávl quando outro também sofr um aumnto rlativo: S num avião o númro d passagiros aumntar m 1,0%, a rntabilidad da viagm aumnta m 1,8% Progrssão lasticidad (com lasticidad constant) Em trmos matmáticos discrtos trmos qu t t 1 t t 1 t 1 = = t 1 t 1 t 1 O limit m trmos contínuos srá: t 1 = t 1 d d = 4.3 Progrssão lasticidad (com lasticidad constant) O modlo matmático d lasticidad constant (isolático) contínuo é conhcido por função d Cobb-Douglas tm a forma sguint: = A Podmos confirmar qu rprsnta a lasticidad ntr (qu quando varia 1%, varia %), é constant (não varia com nm com ): d ε = = ε d d d = A 1 A = A A =

2 Progrssão lasticidad (com lasticidad constant) Exist um valor particular para a lasticidad, a lasticidad unitária, 1, qu spara as rlaçõs lásticas (com lasticidad maior qu 1) das rlaçõs inlásticas (lasticidad mnor qu 1). Por xmplo, dizr qu as importaçõs são inlásticas ao prço qu dizr qu s o prço das importaçõs aumntar 1%, as importaçõs diminum mnos do qu 1%. Há séris qu são prcntagns: A taxa d inflação (2,3%) A taxa d ocupação do hotl (73,5%) A taxa d juro (3,02%) Como digo quando tnho uma séri aritmética d uma taxa? E.g., a taxa d inflação na década d 85 a 94 foi 8,0%, 7,5%, 7,0%, 6,5%, 6,0%, 5,5%, 5,0%, 4,5%, 4,0%, 3,5% Quanto variou por ano? 9 10 E.g., a taxa d inflação na década d 85 a 94 foi 8,0%, 7,5%, 7,0%, 6,5%, 6,0%, 5,5%, 5,0%, 4,5%, 4,0%, 3,5% Quanto variou por ano? É como s as prctagns tivssm uma unidad, os p.p.s Não srá incorrcto dizr qu a taxa d inflação foi d 2,3 p.p Dnominamos stas variaçõs absolutas d taxas como p.p. Mas é mais normal dizr qu foi 2,3% (qu é 0,023) Qur isto dizr Pontos Prcntuais Nssa década, a taxa d inflação diminuiu 0,5 p.p. por ano. No ntanto, nas bass d dados é normal aparcr m p.p. E.g., 17, Mas também posso tr variaçõs rlativas da taxa d inflação Nos dois mss d Santana, o dsmprgo aumntou 5% Srá uma variação rlativa d uma variação rlativa Era 8% passou para 8,4% A taxa d inflação ra d 3% aumntou durant o mandato do Gutrrs a uma taxa d 5% ao ano 3,00% 3,15% 3,31% 3,47% 3,65% 3,83% É um aumnto d 0,4 p.p.

3 13 14 Imaginmos as sguints variávis: = Consumo d combustívl d um avião m litros por hora = Pso total d um avião m viagm, m tonladas O avião ficou mais lv 0,5 tonladas nas últimas duas horas (gastou combustívl) Por cada ton. a mnos no pso do avião, st gasta mnos 10% d combustívl por hora Por cada rdução d 1% no pso do avião, st gasta mnos 2% d combustívl por hora S dizmos: O avião ficou mais lv 0,5 tonladas nas últimas duas horas (gastou combustívl) Aplamos ao concito d variação absoluta (na variávl pso do avião). Por cada ton. a mnos no pso do avião, st gasta mnos 10% d combustívl por hora Aplamos ao concito d variação rlativa (stou a mdir o fito prcntual qu uma variação d uma unidad na variávl tm sobr a variávl ). Por cada rdução d 1% no pso do avião, st gasta mnos 2% d combustívl por hora Aplamos ao concito d lasticidad (stou a mdir o fito qu uma variação prcntual na variávl tm m trmos também prcntuais na variávl ) Rsumindo: Variávl Variávl Concito d variação Variação m valor (uma unidad) Variação m valor Variação absoluta Variação m valor (uma unidad) Variação m prcntagm Variação rlativa Variação m prcntagm Variação m prcntagm Elasticidad Qustão 1 Num dtrminado pais m qu o PIBpc é 1000 USA$ a taxa d alfabtização é d 40%, a lasticidad do PIBpc m rlação à taxa d alfabtização é d 1,3. S a taxa d alfabtização passar para 41%, quanto s prvê qu aumnt o PIBpc? A) 1,3 USA$ B) 1,3% C) 32,5 USA$ D) 32,5 p.p Qustão 2 Num dtrminado pais m qu o PIBpc é 1000 USA$ a taxa d alfabtização é d 40%, O incrmnto do PIBpc é d 5% por cada aumnto d 1 ponto prcntual da taxa d alfabtização. S a taxa d alfabtização aumntar 1%, quanto s prvê qu aumnt o PIBpc? A) 5 USA$ B) 2 USA$ C) 5 % D) 2 % Qustão 3 Numa rgião ond a taxa d cobrtura d sgotos é d 60%, 10% dos trabalhadors faltam ao trabalho por donça. Noutra rgião ond a taxa d cobrtura dos sgotos é d 70%, 7,5% dos trabalhadors faltam ao trabalho por donça. A lasticidad ntr a falta ao trabalho a cobrtura d sgotos é A) -1,5 B) -0,25 C) -1,5 p.p. D) -0,25 p.p.

4 19 20 Qustão 4 Numa rgião ond a taxa d cobrtura d sgotos é d 60%, 10% dos trabalhadors faltam ao trabalho por donça. Sndo qu a lasticidad ntr a falta ao trabalho a cobrtura d sgotos é d -1,5, s a taxa d cobrtura d sgotos aumntar 5 p.p, qual srá a prcntagm d faltas ao trabalho? A) 2,5% B) 8,75% C) 11,25% D) 17,5% O qu é a taxa d juro? Hoj faço anos hoj dram-m um Audi A6 d prnda A) Está à porta d casa posso andar já com l B) Só posso andar com l daqui a vint anos Srá qu nstas duas situaçõs o carro val o msmo? O qu é a taxa d juro? Eu dou mais valor ao carro qu stá disponívl hoj. Vamos supôr qu prço do carro é Euros O prço do carro disponívl no futuro hoj srá mnor: E.g., Troco 100 disponívis daqui a 20 anos por 80 disponívis hoj. A taxa d juro dos 20 anos srá d 25% Est ano Um studant falido prcisa d para tirar um curso S tivr o curso, ganha 1milhão, snão ganha 0,75 milhão Os disponívis agora valm 0,25 milhão disponívis apnas no futuro A taxa d juro srá positiva Troco d agora por 25000x(1 + r) do futuro A taxa d juro total srá r = 900% É mlhor tr disponívl no prsnt qu no futuro Não consumir hoj poupar para o futuro é um sacrifício A taxa d juro traduz o prço do sacrifício qu é adiar o consumo Srá qu a taxa d juro é obrigatóriamnt positiva? Eu tnho um milhão na Trra mas sou muito pcador Outra pssoa é pobr na Trra mas tm no Céu 0,1 milhão Eu não p+osso lvar o mu dinhiro para o Céu, mas posso trocar alguns dos mus com a outra pssoa Eu posso dar 1 na Trra para no Futuro tr 0,5 no Céu A taxa d juro é d 50%. A abundância no futuro é mnor implica taxa d juro ngativa

5 25 26 Eu tnho 2 casas prvjo qu daqui a um ano vai havr um trmor d trra qu vai dstruir todas as casas Eu posso trocar uma casa d hoj por uma tnda no futuro. Isto é o qu acontc com a poupança d prcaução Normalmnt lidamos com juros sobr dinhiro S a quantidad d dinhiro aumnta ntão o prço ral dos bns diminui Por causa disso é qu o carro do futuro valr apnas 80 traduz uma taxa d juro positiva sobr o dinhiro. Eu stou disposto a dar 25 litros d gasolina por cada 5 litros qu u prciso quando m falta a gasolina Em trmos rais, Eu tnho 10 galinhas posso A) comê-las todas hoj B) mprstar 5 a um vizinho mu qu m dvolvrá no próximo ano (futuro) 5 acrscidas d uma como juro. A taxa d juro é d 20%. Eu posso trocar 5 galinhas d hoj por 6 galinhas do próximo ano (qu ainda não xistm). Ao trocar 5 galinhas d hoj por 6 galinha do futuro, ntão o prço rlativo d cada galinha do futuro é d 0,833 galinhas d hoj (valm mnos). Sndo qu o a taxa d juro é positiva, o prço dos bns futuros no prsnt é mnor O prço do bm futuro hoj é um ngócio firm futuro : Eu pago hoj rcbo no futuro O mrcado ond s trocam bns do prsnt do futuro chama-s mrcado compltos à Harrow-Dbru. Os bns do futuro também s dnominam por contingências Em trmos d troca contra moda, supondo qu não há inflação (o prço d uma galinha é um Euro m ambos os príodos), 1) O mu vizinho pd-m cinco Euros mprstados garant qu os paga daí a um ano acrscidos d 1 Euro; 2) compra-m 5 galinhas paga-m 5 Euros; 3) passado um ano ntrga-m 6 Euros; 4) u compro-lh 6 galinhas.

6 31 32 Em trmos d moda u passo d 5 para 6 Em trmos rais, o ngócio é igual: passo d 5 galinhas para 6 galinhas Os 20% traduzm um ganho ral Porqu s trocam bns prsnts por bns futuros? Porqu as pssoas poupam ou s ndividam? A) Tm a vr com o ciclo d vida As pssoas vivm três príodos, infância, adulta vlhic, apnas produzm na vida adulta Há transfrência d rndimnto ntr as pssoas mpréstimo pagamnto Sm stockagm tmpo Antigamnt a transfrência intr-gracional fazia-s d pais para filhos Agora faz-s pla sgurança social Plo sistma financiro Contratos com dsconhcidos Dixou d havr incntivos para tr filhos Era mais fácil cobrar dos filhos Existência d risco assimétrico 80% do rndimnto são salários Uma pssoa tm uma probabilidad d 5% d ficar dsmprgada no próximo ano. Emprsta nquanto stá mprgada para rcbr (ou pd mprstado) quando stá dsmprgada Existência d procssos produtivos com capital intnsivo Não é possívl um mprnddor tr o capital, pdindo-o contra uma rmunração. E.g., para qu o trabalho d um agricultor dê produção, prcisa à partida d trra, frramntas, smnts adubos.

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