Árvores B. Introdução. Introdução. AVL como Índice em Disco. AVL como Índice em Disco. Representação

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1 Aloritmos Estruturs Dos II José Auusto Brnusks Dprtmnto ísi Mtmáti CLP-USP Árvors B Nst ul srá prsnto o ADT árvor B qu são árvors m- vis omplts As árvors B são prots pr unionr m m ispositivos mmóri sunári uusto@lrp.usp.r ttp://m.lrp.usp.r/~uusto Introução N psquis inári, s oprçõs us m um onunto om n lmntos pom sr tus m O(lo n), n rli, lo n msmo no pior so No so m qu o onunto lmntos s nontr m um rquivo m iso, sno qu os lmntos (ristros) stão ornos por um mpo v ntão sri possívl plir um psquis inári pr nontrr um lmnto v qulqur S os ristros são rupros o iso, um vz, ntão psquis inári xiiri um totl ssos pr um rquivo om um milão ( 6 ) ntrs Entrtnto, insrção rmoção lmntos xiiri qu o rquivo intiro oss rorno Vrmos um téni no qul insrçõs rmoçõs ristros tm pns itos lois, sm xiir rornizção totl o rquivo, oni inxção Introução AVL omo Íni m Diso Um íni é um strutur os qu prmit rápio sso os os om s m um v É importnt qu um íni, lém ilizr us, prmit insrçõs rmoçõs os iulmnt rápis Por xmplo, ns árvors AVL s oprçõs us, insrção rmoção m um onunto om n lmntos pom sr tus m O(lo n), msmo no pior so Como s msms unçõs vm sr xuts pr um íni, sri possívl utilizr árvors AVL tmém pr ss plição, ou s, árvor AVL rsiiri m iso S os nós são rupros o iso, um vz, ntão psquis um íni om n ntrs prisri, no máximo,.*lo n ssos ( prouni máxim um árvor AVL é.*lo n) No xmplo, s nó AVL rsi m iso (um ristro rprsntno nó), o sso às vs, 6, 9 rqur litur ristros prsntção AVL omo Íni m Diso Assim, um nó AVL m mmóri prinipl: strut TrNo { int ky; // v int l; // -,, + TrNo *LtNo, *itno; //suárvors }; typ TrNo *TrPointr; Pori sr ltro pr sr rprsnto m iso: strut TrNo { int ky; // v int l; // -,, + int LtNo, itno; //suárvors }; Um vz qu os mpos LtNo itno orrsponm, nst últim rprsntção, númro ristros (,,...) i k 6 9 i k ky l LtNo i itno k 6

2 AVL omo Íni m Diso No pior so, isso sinii r ssos pr um íni om um milão ( 6 ) ntrs É possívl ruzir onsirvlmnt o númro ssos, usno um árvor quilir, s num árvor us m m-vis, o invés qul s m um árvor us inári ln Histório Em 97 Byr & MGrit pulirm o rtio Orniztion n Mintnn o Lr Orr Inxs Em 979, o uso árvors B r um prão oto m sistms rquivos propósito rl pr mnutnção ínis pr ss os 7 8 Árvor Bus m m-vis As árvors us m m-vis (m-áris) nrlizm s árvors us inári mnir nturl Not qu s um nó p árvor tm n vs ntão p tm (n+) ilos, Árvor Bus m m-vis As vs no nó p são uss omo pontos qu sprm o intrvlo vs rnis por p m (n+) intrvlos, um rnio por um ilo p Em um us por um vlor, isão é it (n+) moos, om s m omprçõs om s n vs rmzns m p,,,,,,, 9 Árvor Bus m m-vis Exmplo AB m -vis Um árvor us m m-vis é ini omo: Um árvor vzi é um árvor us m m-vis Um árvor us m m-vis T é um árvor n qul toos os nós são um ru mnor ou iul m Quno T or não vzi, l tm s suints propris: () T é um nó o tipo n,a,(k,a ),(K,A ),...,(K n,a n ) on A i, i n são pontiros pr s suárvors T; K i, i n são os vlors v n < m () K i < K i+, i < n () Toos os vlors v n suárvor A i são mnors o qu o vlor v K i+, i < n () Toos os vlors v n suárvor A n são miors o qu K n () As suárvors A i, i n são tmém árvors us m m-vis,,,, Nó n,a,(k,a ),(K,A ),...,(K n,a n ) ormto squmátio,,(,),(,),,(,),(,),,(,),(,),,(,),(,),,(,)

3 Bus um lmnto Bus x= Pr usr um vlor x n árvor T inii-s pl riz, trminno o vlor i pr o qul K i x < K i+ por onvniêni in-s K = [- ] K n+ = [+ ], on [- ] é mnor o qu toos os vlors v prmitis [+ ] é mior o qu toos os vlors v prmitis S T é vzi ntão us lou (x não s nontr m T) S x = K i ntão us tv susso S x K i, pl inição um AB m m-vis, ntão x só po str n suárvor A i (quno x s nontr n árvor), ou s, us v ontinur prtir o nó A i Quno n (o númro vs m um nó) or rn, psquis o vlor proprio i v sr onuzi usno us inári; pr n pquno um us sqünil é mis qu,,,, A us inii pl riz (nó ), trminno i tl qu K i x<k i+. Como i= ( x K ) ntão us v ontinur n suárvor A (nó ) Nó n,a,(k,a ),(K,A ),...,(K n,a n ) ormto squmátio,,(,),(,),,(,),(,),,(,),(,),,(,),(,),,(,) K K K K [- ] [+ ] Bus x= Bus x=, Nó n,a,(k,a ),(K,A ),...,(K n,a n ) ormto squmátio, Nó n,a,(k,a ),(K,A ),...,(K n,a n ) ormto squmátio,,,,,(,),(,),,(,),(,),,,,,(,),(,),,(,),(,),,(,),(,),,(,),(,),,(,),(,),,(,),(,) A us ontinu plo nó, trminno i tl qu K i x<k i+. Como i= ( x K ) ntão us v ontinur n suárvor A (nó ),,(,) K K [- ] K K [+ ] A us ontinu plo nó, trminno i tl qu K i x<k i+. Como i= ( x=k ) ntão us trmin om susso,,(,) K K [- ] K [+ ] 6 Aloritmo Bus Pontos Importnts // pré: prour n árvor us m-vis T rsint m iso pl v x. O ormto o nó é n,a,(k,a ),..., (K n,a n ), n < m. // pós: rtorn triplo (p,i,); = tru sinii qu x oi nontro no nó p, v K i. Cso ontrário = ls p é o nó on x po sr insrio untion MSr(T, x) p T; q ; // q é o pi p wil p o li nó p o iso; s p orm: n,a,(k,a ),...,(K n,a n ) K - ; K n+ + ; 6 Enontr i tl qu K i x < K i+ ; 7 i x = K i tn rturn (p,i,tru); ni // x oi nontro 8 q p; p A i ; 9 nwil // x não stá m T; rtorn nó on po sr it insrção rturn (q, i, ls); n MSr N práti, quno árvor us rprsnt um íni, os uplos (K i, A i ) m nó vm sr rsios n orm triplos (K i, A i, B i ), on B i é o nrço o ristro om v K i no rquivo No so isos Ess nrço srá ormo plos númros ilinro, supríi, tril stor qu v sr sso pr ruprr o ristro Os A i s, i n são os númros nrços os nós riz s suárvors; Como sss nós nontrm-s tmém no iso, os A i 's são númros ilinro, supríi, tril stor No so rquivos sso ltório Ess nrço srá ormo plos númros ristros, uos vlors prmitios pnm linum prormção utiliz. No so C++, os ristros são numros prtir zro Os A i s, i n são númros ristros 7 8

4 Exmplo,,,, n,a,(k,a,b ),(K,A,B ),...,(K n,a n,b n ) Arquivo Íni istro ormto squmátio,,(,,#),(,,#),,(,,#),(,,#),,(,,#9),(,,#8),,(,,#7),(,,#6),,(,,#) istro # # # # # #6 #7 #8 #9 Arquivo Prinipl Cv Dmis mpos 9 Anális MSr O númro máximo ssos o iso é iul à ltur árvor T A mt é minimizr qunti ssos, nssários pr onuzir um us, porqu os ssos iniviuis o iso são stnt ispniosos m rlção o tmpo nssário pr prossr um nó (pr trminr o próximo nó sr sso, lins -8); isso quivl minimizção ltur árvor us Anális MSr Em um árvor ru m ltur, qunti máxim nós é (onsirno riz no nívl ) m i m = i= m Como nó tm, no máximo, (m ) vs, ntão o númro máximo ntrs no íni árvor m m-vis ltur é m Pr um árvor inári om = st vlor é 7, nqunto qu pr um árvor om -vis = tm-s m = 8 * 6 - Anális MSr Dss orm, o potnil s árvors us orm lt é muito mior o qu quls orm ix Pr tinir um smpno próximo s mlors árvors us m m-vis, pr um trmino númro ntrs N, é nssário qu árvor us s quilir A vri prtiulr s árvors us m m-vis, quilirs, qu vmos onsirr qui, é oni omo árvors B Nós l Pr inir um árvor B srá onvnint introuzir o onito nós l Um nó l rprsnt o nó qu po pns sr lnço, urnt psquis, s o vlor X não s nontr n árvor C suárvor vzi (riz=) é o ponto qu po sr lnço urnt psquis, pns s X não stá n árvor Esss suárvors vzis srão sustituís, por onvniêni, por nós ipotétios mos nós l Esss nós srão snos omo quros mros om um Nós l sslt-s qu strutur árvor não ontém tivmnt nnum nó l, ms pns o vlor zro (ou outro vlor inino suárvor vzi) quno l oorrr É áil vriir qu os nós l são os únios qu não têm ilos,,,,

5 Árvors B Um árvor T o tipo B orm m é um árvor us m m-vis, qu é ou vzi ou ltur stisz s suints propris: () riz tm plo mnos ilos () toos os nós, xto riz nós l têm, no mínimo, m/ ilos (ou s, m/ - vs) () toos os nós l stão no msmo nívl Lmrr qu x é o tto x, ou s, é o mnor intiro x A riz árvor nontr-s no nívl Árvors B A árvor suint é um árvor B orm Osrv qu toos os nós, xto riz nós l, têm plo mnos / = ilos ( / -= vs),, 6 Árvors B Árvors B Not qu toos os nós, xto os l, são ru ou D to, inição um árvor B orm impli qu toos os nós, xto os l, vm tr ru ou Por ss motivo, s árvors B orm são tmém onis omo árvors -,, Enqunto o númro totl nós não--l po sr mior m um árvor B, o qu o númro tis nós n mlor árvor us m m-vis msm orm ( árvor squr tm pns nós, nqunto árvor irit 7) onsttrmos qu é mis áil insrir liminr nós n árvor B o qu mntr m qulqur tmpo, mlor possívl árvor us m m-vis,,,,,, 7 8 Árvors B As rzõs usrmos pr ínis s árvors B, o invés árvors us m m-vis otimizs, são s msms quls qu trminrm o uso árvors AVL pr mntr s tls intrns inâmis não s árvors us inári otimizs Númro Cvs S T é um árvor B orm m, n qul toos os nós l stão no nívl + ntão qunti máxim ntrs íni T é m - A qunti mínim N vs m T po sr trmin usno inição um árvor o tipo B, qu no so > o nó riz tm plo mnos ilos Portnto, á plo mnos ois nós no nívl C um sss nós v tr plo mnos m/ ilos Por isso á, plo mnos, * m/ nós no nívl No nívl v tr, plo mnos, * m/ ontinuno st rioínio, osrvmos qu vrá, plo mnos, * m/ - nós no nívl, quno > Toos sss nós são não--l 9

6 Númro Cvs S os vlors v n árvor são K, K,..., K N K i <K i+, i < N ntão xistm N+ nós l Isso é ssim, porqu os nós ls ontm pr K i < X < K i+ i N K = [- ], K N+ = [+ ] Ou s, po-s lnçr N+ nós l istintos, usno um vlor X qu não stá n T Por isso, tmos N+ = qunti nós l m T N+ = qunti nós no nívl + N+ * m/ -, ss moo, N * m/ - -, Númro Cvs Por su vz, isso impli qu vno N vs m um árvor B orm m, ntão toos os nós não--l nontrm-s nos nívis mnors o qu ou iul à, lo m/ ((N+)/) + O númro máximo ssos qu prism sr itos pr um us é Usno um árvor B orm m = o íni om N * 6-6 tmos lo ((N+)/) +, ou s, (á qu é um intiro) Pr N * 7 tmos Por ss rzão, utilizção árvors B orm lt, rsult m um íni árvor qu po sr psquiso, minimizno o númro ssos o iso, msmo pr um qunti muito rn ntrs Esol o m Esol o m Dss orm, smos qu Árvors B lt orm são sávis, pois rsultm m um rução númro ssos o iso, nssários pr psquisr um íni Pr um íni N ntrs, um árvor B orm m=n+ tri pns um nívl Como supomos qu o íni é rn mis pr sr omoo n mmóri intrn, ss sol m lrmnt não sri rzoávl Consqüntmnt, um únio nó rprsntno o íni não ri n mmóri prinipl pr sr prosso Pr nontrr um sol rzoávl m, prismos nos lmrr qu stmos intrssos n minimizção o tmpo totl nssário pr psquisr o vlor X n árvor B Suponmos qu nó árvor B orm m é tmno ixo suiintmnt rn pr omor n, A m- vlors pr (K i, A i, B i ), i < m S os K i 's oupm, no máximo, α yts mos A i B i um β yts ntão o tmno um nó srá proximmnt m*(α+*β) yts O tmpo t i pr lr um nó srá ntão: t = t p + t l + m*(α+*β)*t = + *m, on = t p +t l = tmpo posiionmnto + tmpo ltêni = (α+*β)*t, t = tmpo trnsmissão por yt S us inári or us pr onuzir psquis lin 6 o loritmo MSr ntão o tmpo prossmnto intrno por nó srá *lo (m)+ pr lums onstnts Dss moo, o tmpo totl prossmnto por nó é τ = + *m + *lo m + Esol o m Esol o m Dss moo, o tmpo totl prossmnto por nó é τ = + *m + *lo m + O númro nívis, pr um íni N ntrs, é limito por: lo m/ ((N+)/) + *(lo ((N+)/) + )/lo m, pr lum onstnt Loo, o tmpo máximo psquis é *τ: + m + + lo m lo m on = *lo ((N+)/) + Prourmos um vlor m qu minimiz o tmpo máximo psquis Assumino qu uni iso isponívl tm t p = ms t l = 8 ms, trmos =8 ms Como srá tipimnt pns luns nno sunos, pomos sprzá- Io m omprção om, ou s, + = 8ms Assumino qu vlor v tm, no máximo, 6 yts qu A i B i oupm, um, yts, tmos α=6, β= S vloi trnsmissão or t =* - ms/yt ntão = (α+*β)*t =.6 ms A qução ntrior i 8.6 m + + lo m lo m 6

7 Esol o m Insrção Tmpo totl psquis m Além psquisr o íni pr nontrr um vlor v spíio X, qurmos tmém insrir liminr s ntrs A insrção v sr onuzi tl mnir, qu árvor onsui pois insrção s tmém um árvor o tipo B O loritmo pr zr isso é onitulmnt mis simpls o qu o loritmo insrção orrsponnt pr um árvor AVL 7 8 Insrção X = 8 Insrção X = 8 Com o intuito sorir s oprçõs nssáris pr onuzir insrção, onsir insrção X = 8 n árvor Primiro psquis-s árvor pr trminr on 8 v sr insrio,, O nó l qu s lnç urnt psquis X = 8 é o qurto irit; o nó pi st nó l é O nó ontém pns um v, ssim, tm spço pr outr,, 9 Insrção X = 8 Insrção X = 8 Loo, X = 8 po sr insrio no nó, otno-s árvor suint,, 8, zno st insrção, três nós, orm ssos no iso urnt psquis Além isso, o novo nó pris sr rvo volt no iso A qunti totl ssos é, portnto, qutro,, 8,

8 Insrção X = Insrção X = A suir, vmos insrir X =,, 8, A suir, vmos insrir X = Um psquis n árvor B ini qu st v v sr nmin pr o nó Não á spço nst nó, pois l á ontém m- vs,, 8, Insrção (Eq( Eq.) Insrino simolimnt o novo vlor v m su posição propri, m um nó qu ntriormnt tin m- vs, prouzirá um nó P, om o suint ormto P: m, A, (K,A ), (K,A ),..., (K m,a m ) Com K i <K i+, i < m Ess nó po sr riono m ois nós P Q om os suints ormtos (Equção ) P: m/ -, A, (K,A ),..., (K m/ -,A m/ - ) Q: m- m/, A m/, (K m/ +, A m/ + ),..., (K m,a m ) O vlor rstnt K m/ o novo nó Q ormm o pr (K m/,q) é it um tnttiv insrir st pr no pi P Insrção (Eq( Eq.) Assumino m=, tmos P:, A, (K,A ), (K,A ),(K,A ) Com K i <K i+, i < Ess nó po sr riono m ois nós P Q om os suints ormtos (Equção ) P:, A, (K,A ) Q:, A, (K,A ) O vlor rstnt K o novo nó Q ormm o pr (K,Q) é it um tnttiv insrir st pr no pi P 6 Insrção (Eq( Eq.) Insrção X = Assumino m=, tmos P:, A, (K,A ), (K,A ),(K,A ),(K,A ) Com K i <K i+, i < Ess nó po sr riono m ois nós P Q om os suints ormtos (Equção ) P:, A, (K,A ) Q:, A, (K,A ),(K,A ) O vlor rstnt K o novo nó Q ormm o pr (K,Q) é it um tnttiv insrir st pr no pi P Consirno o nó :,, (,), (,),, 8, 7 8

9 Insrção X = Insrção X = Consirno o nó :,, (,), (,) Após insrção simóli X=, o nó i:,, (,), (,), (, ) Após insrção simóli X=, o nó i omo:,, (,), (,), (, ) Portnto, o nó pris sr riono m: :,, (,) :,, (,) O pr (,) v sr insrio no pi, o nó,, 8,,,, 8 9 Insrção X = Insrção X = Como o nó tm pns um v, insrção o pr (,) po sr it ilmnt,, 8, Dst vz orm itos ssos pr trminr qu X = v sr insrio m Como o nó oi ltro, pris sr rvo no iso Assumino qu o nó nontr-s in n mmóri intrn, srá nssário um outro sso o iso, pr rvr o novo nó Loo, o númro totl ssos é 6 Exríio Insrção X = 7 Insrir os vlors 7,, 8 n árvor B, notno quntos ssos iso são nssários Ao insrir X = 7...,,,, 8,, 8

10 Insrção X = 7 Insrção X = 7 Ao insrir X = 7 no nó, l i rn mis pris sr prtiiono (m i),,7,8, Ao insrir X = 7 no nó, l i rn mis pris sr prtiiono (m i) O pr (7,i) v sr insrio simolimnt no nó, pi, i, 8 6 Insrção X = 7 Insrção X = 7 Ao insrir X = 7 no nó, l i rn mis pris sr prtiiono (m i) O pr (7,i) v sr insrio simolimnt no nó, pi, 8 7,, i Ao insrir o pr (7,i) no nó, l i rn mis pris sr prtiiono (m ) O pr (,) v sr insrio no nó, pi i, Insrção X = 7 Insrção X = Como o nó tm pns um v, insrção o pr (,) é simpls orm itos 8 ssos iso, Ao insrir X =..., 7 i 7 i, 8, 8 9 6

11 Insrção X = Insrção X = Ao insrir X = no nó, l i rn mis pris sr prtiiono (m k), Ao insrir X = no nó, l i rn mis pris sr prtiiono (m k) O pr (,k) v sr insrio no nó, pi, 7 i 7 k i,, Insrção X = Insrção X = 8 Como o nó tm pns um v, insrção o pr (,k) é simpls orm itos 6 ssos iso, A insrção X = 8...,, 7 k i, 7 k i Insrção X = 8 Insrção X = A insrção X = 8 é trivil, om ssos iso Ao insrir X =...,,, 7 k i, 7 k i,8 8,

12 Insrção X = Insrção X = Ao insrir X = no nó k, l i rn mis pris sr prtiiono (m k l), Ao insrir X = no nó k, l i rn mis pris sr prtiiono (m k l) O pr (,l) v sr insrio no nó, pi k,, 7 k i, 7 k l i,, Insrção X = Insrção X = Ao insrir o pr (,l) no nó, l i rn mis pris sr prtiiono (m q), Ao insrir o pr (,l) no nó, l i rn mis pris sr prtiiono (m q) O pr (,q) v sr insrio no nó, pi, q,, 7 k l i 7 k l i Insrção X = Insrção X = 6 Ao insrir o pr (,q) no nó, l i rn mis pris sr prtiiono (m r),, Ao insrir o pr (,q) no nó, l i rn mis pris sr prtiiono (m r) O pr (,r) v sr insrio no pi r q q 7 k l i 7 k l i

13 Insrção X = 7 Insrção X = Como é riz, um nov riz orm,,(,r) v sr ri s r q 7 k l i 8 8 Pr insrir X= orm ssos no iso os nós, k Amitimos qu xist um mmóri intrn isponívl suiint pr mntr sts três nós n mmóri A insrção ntro o nó k rqur qu l s riono m ois nós k I O pr (,I) pris sr insrio no nó pi Os novos nós k I são rvos m iso A insrção m rsult m rionmnto st nó m ois nós q, sno mos rvos m iso O pr (,q) v sr insrio no nó, qu tmém s rion Os novos nós r são rvos, ixno o spço pr insrir o pr (,r) no nó pi O nó é o nó riz por isso não tm pi Assim, ri-s um novo nó riz s om s suárvors r A nov riz s é rv m iso ltur árvor B umnt uni É o númro totl ssos nssários pr st insrção 7 7 Aloritmo Insrção Po-s vriir qu s trnsormçõs insrção, srits ntriormnt, prsrvm o íni omo um árvor o tipo B orm tos s possiilis O loritmo insrção rsultnt, InsrtB, ssum qu toos os nós, no mino riz té o ponto insrção, são mpilos Não tno mmóri isponívl strá mpilr pns os nrços pi(p) porá sr uso No loritmo InsrtB o vlor v X é insrio n árvor T tipo B orm m Assum-m qu T rsi m iso qu riz árvor B é o nó T Aloritmo Insrção prour InsrtB(T, X) A ; K X; // (K,A) é o pr sr insrio (p,i,ou) MSr(T,X); // p é o nó pr insrção i ou tn rturn; ni // X á stá m T wil p o insir (K,A) ns posiçõs propris p S o nó p rsultnt orm: n, A, (K, A ),..., (K n, A n ) 6 i n m- tn // nó rsultnt não é rn mis Esrv p pr o iso; rturn; ni // p pris sr riono 7 Sm p q inios onorm Equção (sli Insrção (Eq.)); 8 Esrv p q pr o iso; 9 K K m/ ; A q; p pi(p); nwil // nov riz v sr ri ri um novo nó om ormto,t,(k,a) T ; Esrv T pr o iso n InsrtB 7 76 Anális InsrtB Anális InsrtB S árvor B tm nívis ntão psquis lin vi nssitr ssos, pois X não stá m T C vz qu um nó rion-s (lin 7) são itos ois ssos o iso (lin 8) Dpois o rionmnto inl é ito in um sso, s lin 6 ou lin Sno o númro totl nós qu s rionm iul k ntão o númro totl ssos o iso é +*k+ Est vlor prsum qu xist mmóri intrn isponívl, suiint pr mntr toos os nós ssos urnt m MSr lin Como no máximo um nó po sr riono m um os nívis, k smpr (m nívl) Portnto, o númro máximo ssos srá *+ No pior so, omo m situçõs prátis, não xrá, o qu siniiri m torno trz ssos nssários pr zr um insrção No so loritmo InsrtB, o vlor pior so *+ ssos não rlt istóri omplt O númro méio ssos é onsirvlmnt inrior isso Um stimtiv o númro ssos méio, nssário pr um insrção po sr otio s omçrmos om um árvor vzi insrirmos nl N vlors; ntão o númro totl rionmntos nós é, no máximo, (p-), on p é o númro nós não--l n árvor B inl, om N vs Est limitção suprior (p-) oriin-s osrvção qu vz qu um nó é riono, ri-s plo mnos um nó iionl Quno riz é rion, rim-s ois nós iionis O primiro nó rio não tm orim rionmnto s um árvor B tivr mis o qu um únio nó, ntão su riz v tr s riono plo mnos um vz O vlor (p-) é mlor limitção suprior possívl rionmntos nós, n rição um árvor B om p nós p > (rpr qu não xist um árvor B om p = ) 77 78

14 Anális InsrtB Anális InsrtB, p= Númro rionmntos =, p= Númro rionmntos =,,8 p= Númro rionmntos = Um árvor B orm m om p nós, tm plo mnos + ( m/ -)*(p-) vs, pois riz tm plo mnos um vlor v os nós rstnts plo mnos m/ - vs A qunti méi rionmntos s, po sr trmin or omo s = (qunti totl rionmntos)/n s (p-)/ ( + ( m/ -)*(p-)) s < /( m/ -) Pr m= qunti rionmntos é inrior /99 por v insri Loo, o númro méio ssos o iso é pns +*s+ < +/ moção X = 8 moção X = 8 Vmos nlisr o prolm liminr os vlors os nós ol A rmoção o vlor v X = 8... Vmos nlisr o prolm liminr os vlors os nós ol A rmoção o vlor v X = 8 o nó é áil, á qu rtir st vlor v ix o nó in om um outro vlor v, qu é o mínimo xiio pr o nó irnt riz Um vz qu oi trmino qu X = 8 stá no nó, o únio sso iionl srá pr rrvr no iso o novo nó 6,7 6,7,8 6 7,8 6 7,8 8 8 moção X = 6 moção X = 6 A rmoção X = 6, o nó, rsult m qu o númro vs rstnts iqu ixo o mínimo xiio m/ - A rmoção X = 6, o nó, rsult m qu o númro vs rstnts iqu ixo o mínimo xiio m/ - Um xm o irmão irito mis próximo, o nó, ini qu l tm m/ vs ntão v mnor vlor, isto é, 7 é movi pr im, pr o nó pi ; nts isso, o vlor 7 é movio o pi pr o ilo 6,7 6,7 6 7,8 7 7,8 8 8

15 moção X = 6 moção X = 6 A rmoção X = 6, o nó, rsult m qu o númro vs rstnts iqu ixo o mínimo xiio m/ - Um xm o irmão irito mis próximo, o nó, ini qu l tm m/ vs ntão v mnor vlor, isto é, 7 é movi pr im, pr o nó pi ; nts isso, o vlor 7 é movio o pi pr o ilo A rmoção X = 6, o nó, rsult m qu o númro vs rstnts iqu ixo o mínimo xiio m/ - Um xm o irmão irito mis próximo, o nó, ini qu l tm m/ vs ntão v mnor vlor, isto é, 7 é movi pr im, pr o nó pi ; nts isso, o vlor 7 é movio o pi pr o ilo Como rsulto sss trnsormçõs, o númro vs é > m/ - tnto pr omo pr ; o nó prmn sm ltrção m númro vs árvor B mntém s sus propris 6,7 6,7 7 7, moção X = 6 moção X = Durnt psquis pr nontrr X = 6 orm ssos os nós, S toos sss três nós pom sr mntios m mmóri, ntão po sr trmino prtir o nó o nrço omo o irmão mis próximo ; o nó ntão é sso Ds qu três nós orm ltros (, ), vm sr itos mis três ssos pr rvr novmnt sss nós no iso Assim, prism sr itos mis qutro ssos, lém os ssos itos pr psquisr lolizção o X = 6, pr tur liminção X = 6 S não tivss um irmão irito próximo, ou s ss irmão tivr pns qunti mínim vlors v, isto é, m/ - por-s-i zr msm ois om o irmão squro mis próximo movno X = osrvmos qu o irmão irito, mis próximo, tm pns m/ - vs qu não tm um irmão squro próximo Consqüntmnt, é nssári um trnsormção irnt 6, moção X = moção X = S o nó (pi ) stivr n orm : n,a,(k,a ),..., (K n,a n ) A i = Então pomos ominr s vs rstnts, om s vs v K i pr ormr um novo No Exmplo :,, (6,), (7,) A = O novo nó trá ( m/ -) + ( m/ -) + = * m/ - m- vs prsnts m/ - vs rstnts m m/ - vs m v mprst o pi 6,7 6,

16 moção X = moção X = São nssários três ssos iionis (lém quls nssários à us) um pr onsttr qu stá pquno mis um pr rrvr A rmoção X = ix o nó om m/ - vs O su irmão squro não tm nnum v pr mprstr 7 7 6,7 8 6, moção X = moção X = Nss so, s vs o nó são omins om quls rstnts o nó v o nó pi () pr otr o novo nó io, om os vlors Nss so, s vs o nó são omins om quls rstnts o nó v o nó pi () pr otr o novo nó io, om os vlors Isso, porém, ix om um v mnos o prmitio 7 7 6,7 8, 6, moção X = moção X = Isso, porém, ix om um v mnos o prmitio O su irmão não tm vs xtrs por isso, s vs rstnts são omins, om o vlor m/ - vs, pr onsuir um novo nó Isso, porém, ix om um v mnos o prmitio O su irmão não tm vs xtrs por isso, s vs rstnts são omins, om o vlor m/ - vs, pr onsuir um novo nó O nó riz iou vzio é srto 7,7, 6,7 8, 6,

17 moção X = moção Isto tom um totl qutro ssos iionis ( pr usr um os nós, pr rrvr um os nós ltros), totlizno 7 ssos,,7 6,7 8 Quno v X sr limin não s nontr m um ol ntão po sr it um simpls trnsormção qu prmitirá tur rmoção omo no so um nó ol Supon qu K i =X no nó P qu tm orm n, A, (K,A ),..., (K n, A n ) om i n Como P não é um ol ntão A i Pomos trminr Y omo o mnor vlor v n suárvor A i, qu s nontrrá m um nó ol Q Sustitu K i por Y no P rv o novo P Isso nos ix om o prolm liminr Y o Q Not qu stão sno mntis s propris psquis árvor moção moção Por xmplo, rmoção X = po sr onsui sustituino primiro o nó por o nó ntão prono om rmoção o nó Por xmplo, rmoção X = po sr onsui sustituino primiro o nó por o nó ntão prono om rmoção o nó 6,7 6,7,8 6 7,8,8 6 7,8 mnor vlor suárvor Q vlor sr rmovio Q 99 Exríio moção X = mov v árvor B, notno quntos ssos iso são nssários A v (nó ) é sustituí pl v 8 (nó ), stno rmovr v 8 o nó 8 6,7 6, , ,8

18 moção X = moção X = A v (nó ) é sustituí pl v 8 (nó ), stno rmovr v 8 o nó O nó iou pquno mis pris sr runio A v (nó ) é sustituí pl v 8 (nó ), stno rmovr v 8 o nó O nó iou pquno mis pris sr runio, totlizno 7 ssos iso 8 8 6, ,8 6,6 7,8 Aloritmo moção No loritmo rmoção, DltB, ssum-s qu v X v sr rmovi árvor T tipo B orm m qu rsi m iso Aloritmo moção prour DltB(T, X) (p,i,ou) MSr(T,X); i not ou tn rturn; ni // X não stá m T s p orm: n,a,(k,a ),...,(K n,a n ) om K i =X i A tn // rmoção prtir não-ol, nontr v p/movr 6 q A i ; // ir pr suárvor irit 7 s q orm: nq,aq, (Kq,Aq ),..., (Kq nq,aq nq ) 8 wil Aq o // q não é um ol 9 q Aq ; // prourr um ol nwil sustitu K i por Kq no nó p rv m iso o nó p ltro p q; i ; s n, A,(K,A ),..., (K n,a n ) inio plo novo p ni // suprim K i o nó p, um ol p=n,a,(k,a ),...,(K n,a n ) rmov (K i,a i ) p sustitu n por n ; 6 Aloritmo moção Aloritmo moção wil n < m/ -l n p T o 6 i p tm um irmão irito y mis próximo tn 7 s y: ny,ay,(ky,ay ),..., (Ky ny,ay ny ); 8 s z: nz,az,(kz,az ),..., (Kz nz,az nz ) o pi p y 9 s tl qu p=az - y=az i ny m/ tn // y po mprstr, ristriu s vs tuliz p: (K n+,a n+l ) (Kz,Ay ); n n+; tuliz z: Kz Ky ; tuliz y: (ny,ay,(ky,ay ),... ) (ny-,ay,(ky,ay ),...); Esrv nós p,z,y pr iso rturn; ni // ominr p, Kz y 6 r * m/ - ; 7 Esrv r,a,(k,a ),...,(K n,a n ),(Kz,Ay ),(Ky,Ay ),..., (Ky ny,ay ny ) omo novo nó p pr iso 8 (nz,az,...) (nz-l,az,...,(kz -,Az - ),(Kz +,Az + ),...); 9 p z; // ontinur prosso no nó pi ls // p v tr um irmão squro, o qu é simétrio às lins 7-9 ni nwil i n O tn Esrv nó p:n,a,(k,a )...,(K n,a n ) pr iso; ls T A ; // nov riz 6 ni n DltB 7 8

19 Aloritmo moção Ns lins - é ito o trtmnto pr o so um rmoção m um nó não ol, prourno um lmnto pr tror pror rmoção m um ol Ns lins - são tus s tros vs ( mpréstimo vs) Ns lins 6-8 é tu runião vs As lins -6 somnt são xuts s o prosso ou té riz Anális DltB A us X (lin ), unto om psquis ol Q ns lins - prism ssos, sno o númro nívis m T No so qu p não é um nó ol (lin ) ntão l é moiio rvo onorm lin Assim, qunti máxim ssos ns lins - é + Comçno um nó ol, itrção o lço wil s lins -, mov p um nívl pr im n árvor Por isso, pom sr its no máximo - itrçõs ss lço Amitino-s, qu toos os nós s riz T té ol p, nontrm-s n mmóri prinipl, os únios ssos iionis nssários são pr os nós irmãos pr rrvr os nós qu orm ltros O pior so ont quno são its - itrçõs últim rsult m trminção n lin (ou lol orrsponnt lin ) Portnto, qunti máxim ssos pr ss lço é (-) pr os irmãos, mis (-) tulizçõs n lin 7 (ou o lol orrsponnt n lin ), mis s tulizçõs lin (ou ) pr término, totlizno, (-)+(-)+ = * Portnto, qunti máxim ssos nssários pr um rmoção é (+)+(*) = *+ 9 Anális DltB Vriçõs Árvors B O tmpo rmoção po sr ruzio m tro ispênio spço no iso um liiro umnto o tmno o nó, inluino um it rmoção i, pr vlor v K i m um nó Com isso, pomos posiionr i = s K i não oi suprimio i = quno oi Portnto, não oorr um rmoção ísi st tipo rmoção xi no máximo + ssos ( pr lolizr o nó ontno X pr rvr ss nó, om it rmoção posiiono m ) Com st strtéi, nun rs qunti nós árvor, porém o spço uso pls ntrs rmovis po sr uso novmnt, urnt novs insrçõs Como rsulto, strtéi tri pou inluêni sor os tmpos us insrção (quno m é rn, o númro nívis umnt muito vr om o umnto o númro vs) O tmpo insrção po té msmo iminuir liirmnt, por us ili pr rusr o spço vs rmovis, o qu po vitr nssi rionr nós Árvors B virtuis Prt árvor é mnti m mmóri prinipl Árvors B* Há um xiêni qu / nó st prnio, irnt um árvor B qu xi pns / nó oupo Árvors B+ Mntém tos s vs (ristros) ns ols Árvors B Virtuis Apsr Árvors B srm muito iints, su smpno po in sr mloro O to não sr possívl mntr too o íni n mmóri prinipl não sinii qu não s poss mntr plo mnos prt l Árvors B Virtuis Assum um íni qu: oup M xistm isponívis pns 6 K AM um nó (páin) oup K om m=6 vs por nó Est íni po sr rmzno m um árvor B totlmnt onti m nívis Dss orm, é possívl r qulqur nó om, no máximo, ssos iso Entrtnto, s riz or mnti too o tmpo m mmóri prinipl, in sorri muito spço m AM Com ss solução, númro ssos no pior so iminui m um uni

20 Árvors B Virtuis Árvors B Virtuis É possívl nrlizr st iéi oupr to mmóri isponívl om quntos nós orm possívis Assim, quno um nó or nssário l po á str m mmóri prinipl S não stivr, l é rro pr mmóri, sustituino um páin qu stv m mmóri Tm-s um AM ur tmém onio omo árvor B virtul Políti rnimnto sustituição nós (LU) S o nó não stivr m AM, st stivr i, um nó m AM pris sr sustituío LU (Lst ntly Us) sustitui-s o nó qu oi sso mnos rntmnt O prosso ssr o iso pr trzr um nó qu não stá no AM ur é nomino p ult 6 Árvors B Virtuis Árvors B Virtuis Um opção sri olor toos os nívis mis ltos árvor m AM No xmplo 6 K AM nós K, pomos mntr 6 nós (páins) m mmóri Isso omport riz r 8- nós o suno nívl, rstno in spço (utiliz-s LU) sno qu o númro ssos iminui m mis um uni N vr, rição urs é inluí m qulqur plição rl utilizção árvors B Com rlção à inormção ssoi às vs, sou s, os mis mpos os ristros: S inormção or mnti unto om v, n-s um sso iso, ms pr-s no númro vs qu po sr oloo m um páin; isso ruz orm árvor, umnt su ltur S ir m um rquivo spro, árvor é rlmnt us omo íni, v tm o pontiro posição o ristro ssoio no rquivo prinipl os 7 8 Árvors B* Árvors B+ Um árvor T o tipo B* orm m é um árvor us m m-vis, qu é ou vzi ou ltur stisz s suints propris: () riz tm plo mnos ilos no máximo * (*m-)/ + () toos os nós, xto riz nós l, têm plo mnos * (*m-)/ no máximo m ilos () toos os nós l stão no msmo nívl x é o piso x, ou s, é o mior intiro x x é o tto x, ou s, é o mnor intiro x Outr vrição pr implmntção árvors B é oni omo B+ Em um árvor B+ tos s vs (ristros) são rmzns no último nívl (ns ols) Os nívis im o último nívl onstitum um íni ornizo omo árvor B 9

21 Asso Sqünil Inxo (ISAM) Em um árvor B não é possívl zr sso sqünil iint Como rquivos vm suportr tnto sso inxo iint omo sso sqünil o onito árvors B oi stnio pr árvors B+ ISAM: Inx Squntil Ass Mto Squn st: um onunto ristros ornos (suno lum v), qu pom sr rupros om um sso Inviávl mntr too o rquivo orno, ms é possívl mntr loos Asso Sqünil Inxo (ISAM) Como visto, um loo é mnor uni ási I/O O tmno o loo é trmino plo tmno os urs I/O Assim, um rquivo po sr mntio omo um sqüêni lói loos, ou s, um squn st O ontúo um loo stá orno, po sr rupro m um únio sso C loo mntém um pontiro pr posição o próximo loo (n sqüêni) no iso Bloos loimnt nts não stão (nssrimnt) isimnt nts Grnti sso sqünil o rquivo Árvors B+ Árvors B+ No íni prm somnt s vs Ns ols stão tos vs (ou toos os ristros) o rquivo As ols são onts squr pr irit, prmitino o sso sqünil mis iint o qu m um árvor B Árvor B Íni N us por um v X, o prosso tm iníio pl riz ontinu té um ol Como toos os ristros rsim ns ols, psquis não pár s X or nontro m um nó o íni Nst so, o ilo à irit é suio té qu um ol s nontr 6,9 6,7 Íni Asso sqünil... istros,, 9,8,9, 9,, 6,6,7 7,8 Árvors B+ Árvors B+ Por xmplo, n us s vs 9, 6 7 (qu prm tnto no íni omo ns ols) os vlors nontros no íni são usos pns pr onuzir té ol orrt A insrção m um árvor B+ é similr àqul m um árvor B A irnç rsi m, quno um ol é ivii m us, o loritmo tu um ópi v qu prtn o ristro o mio pr o nó pi no nívl ntrior, ino o ristro o mio n ol irit Íni Íni 6,9 6,7 6,9 6,7,, 9,8,9, 9,, 6,6,7 7,8,, 9,8,9, 9,, 6,6,7 7,8 6

22 Árvors B+ Árvors B+ No xmplo, o insrir o ristro 8 ol i rn mis Assim, ol é ivii ristro 9 vi pr ol irit A v 9 é opi pr o nó pi O mis pssos são similrs à insrção m árvor B Íni Íni 6,9 6,7 6,9,9 6,7,, 9,8,9,,8 9,, 6,6,7 7,8,, 9,8 9,,8 9,, 6,6,7 7,8 7 8 Árvors B+ Árvors B+ O mis pssos são similrs à insrção m árvor B 9, A rmoção é mis simpls o qu m um árvor B O ristro sr rtiro nontr-s smpr m um ol, não vno nssi prourr um lmnto pr sustituí-lo Ds qu ol iqu plo mnos om mt os ristros nssários, o íni não pris sr moiio, msmo s um ópi v prtnno o ristro sno rmovio st no íni Íni Íni 6 9 6,7 6,9 6,7,, 9,8 9,,8 9,, 6,6,7 7,8,, 9,8,9, 9,, 6,6,7 7,8 9 Árvors B+ No xmplo, rmovno-s os ristros Árvors B+ No xmplo, rmovno-s os ristros, 9 Íni Íni 6,9 6,7 6,9 6,7, 9,8,9, 9,, 6,6,7 7,8, 9,8, 9,, 6,6,7 7,8

23 Árvors B+ No xmplo, rmovno-s os ristros, 9, Árvors B+ No xmplo, rmovno-s os ristros, 9, 6 não á ltrção no íni movno o ristro 9... Íni Íni 6,9 6,7 6,9 6,7, 9,8 9,, 6,6,7 7,8, 9,8 9,, 6,7 7,8 Árvors B+ No xmplo, rmovno-s os ristros, 9, não á ltrção no íni movno o ristro 9 ol i om pouos ristros pris sr rup om outr ol Árvors B+ No xmplo, rmovno-s os ristros, 9, não á ltrção no íni movno o ristro 9 ol i om pouos ristros pris sr rup om outr ol Íni Íni 6,9 6,7 9 6,7, 8 9,, 6,7 7,8,,8 9,, 6,7 7,8 6 sumo Árvors B são simpls, áil mnutnção iints O usto omputionl pr usr, insrir rmovr é O()=O(lo m/ n) on n é o númro lmntos n árvor é o númro nívis O spço utilizo plos os é, no mínimo, % o spço rsrvo As árvors B rsm iminum utomtimnt nun rqurm um rornizção omplt 7