Conteúdo. PCS 2215 Fundamentos de Engenharia de Computação II. Aulas 1-3 Grafos. Líria Sato Professor Responsável. 1.1 Conceitos principais

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1 PCS Funmntos Engnhri Computção II Contúo. Grfos Auls - Grfos Líri Sto Profssor Rsponsávl. Cilos Hmiltoninos o prolm o ixiro vijnt. Algoritmo minho mínimo vrsão:. (st ) Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II primiro trlho usno tori grfos (7): prsnto por Eulr, inluí um solução pr o qu é hmo prolm s ponts Königsrg. Primiro txto (9): s st épo o intrss m tori os grfos tm sio intnso mplo. Apliili m ivrsos mpos: n iêni omputção, n quími, n ngnhri létri, n onomi. Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Pr introuzir o onito grfo, vmos prsntr um so prátio. Gryull Worln Shoshoni Lnr Shrin Bufflo Cspr Muy Gp Gilltt Dougls Fig..: Sistm uto-strs Wyoming Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Sistm uto-strs Wyoming um rsponsávl pl inspção v vijr por tos roovis oumntr m um rltório s oniçõs um s roovis: sto s linhs, sinlizção, t. Consirno qu o insptor mor m Gryull, é possívl, prtino Gryull, pssr por tos strs, pns um vz, rtornr pr Gryull? Voê po rsponr st qustão? O prolm po sr molo omo um grfo. Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Gr Os pontos são hmos vértis s linhs qu ontm os vértis são hmos rsts. Sh Buf Gil Wor 7 Sho 9 Dou Cs Ln Mu Fig.. : grfo o sistm uto-strs(fig...) Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II

2 Cminho: s prtino o vérti v, vijmos, trvés um rst, pr o vérti v, sguir trvés um outr rst pr o vérti v, ssim, té hgrmos no vérti v n, hmmos o tour omplto um minho v v n. Pomos mostrr qu não xist. Colono rspost m trmos grfos: não xist nnhum minho o vérti Gr pr o vérti Gr qu trvss rst xtmnt um vz. O prolm o insptor po sr rsrito pr o molo grfos sguint form: Exist um minho o vérti Gr pr o vérti Gr qu trvss rst xtmnt um vz? 7 Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II 7 Consirmos qu xist um minho. Tommos ntão o vérti Wor. C vz qu hgmos m Wor, trvés um rst, vmos sguir pr outro vérti, trvés outr rst, ou sj, s rsts qu tom o vérti Wor oorrm os prs. Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Portnto o númro rsts qu tom Wor v sr um númro pr. Ds qu o númro rsts qu tom Wor é ímpr tmos um ontrição. Portnto, não xist um minho o vérti Gr pr o vérti Gr qu trvss rst xtmnt um vz. (miors tlhs srão isutios postriormnt) Grfos Um grfo (ou um grfo não orinto) G onsist um onjunto V vértis (ou nós) um onjunto E rsts (ou ros) tl qu rst E é ssoi om um pr não orno vértis. S xist um úni rst ssoi om os vértis v w, nós srvmos =(v,w) ou =(w,v). Nst ontxto, (v,w) notm um rst ntr v w m um grfo não orinto um pr não orno. 9 Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II 9 Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Um rst m um grfo (orinto ou não orinto) qu é ssoi om um pr vértis v w é it sr inint sor v w, v w são itos inints sor, v w são itos sr vértis jnts. O grfo G figur. onsist o onjunto vértis V={ Gr, Sh, Wor, Buf, Gil, Sho, Cs, Dou, Ln, Mu} o onjunto rsts E={,,..., } s rst é ssoi o pr vértis não orno {Gr,Sh} s rst é ssoi o pr vértis não orno {Cs,Dou} s rst é not por (Gr,Sh) ou (Sh,Gr) s rst é not por (Cs,Dou) ou (Dou,Cs) s rst é inint sor Wor Buf s Os vértis Wor Buf são jnts. Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II

3 Grfos orintos Um grfo orinto G onsist um onjunto V vértis (ou nós) um onjunto E rsts (ou ros) tl qu rst E é ssoi om um pr orno vértis. S xist um úni rst ssoi om o pr orno (v,w) vértis, nós srvmos =(v,w), qu not um rst v pr w. Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II v v v v v v 7 Fig..: grfo orinto Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Arsts prlls: rsts istints ssois o msmo pr vértis. Loop:um rst =(v,v) vérti isolo:é um vérti qu não é inint sor nnhum rst. grfo simpls: é um grfo qu não tm nm rsts prlls nm loops. Exmplo:O grfo figur. é um grfo simpls, pois não tm rsts prlls loops. O figur. não é um grfo simpls. v v v v v v Fig..: grfo om rsts prlls loop v: vérti isolo Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Grfo ponro: é um grfo om númros sor s rsts. S rst é rotul om k, izmos qu k é o pso rst. omprimnto um minho: é som os psos no minho. Consirmos um xmplo: Pso (,) é omprimnto (,,) é Fig..: grfo ponro 7 Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II 7 Exmplo: Frqüntmnt m mnuftur é priso furr muitos uros m pls mtl. Componnts são prfusos nsts pls. Os furos pom sr fitos usno um furir prssão so ontrol um omputor. Pr slvr tmpo inhiro, furir vrá movr tão rpimnt qunto possívl. Prolm: qul é o minho mínimo qu pss por toos os vértis xtmnt um vz? Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II

4 9 Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II 9 9 Pso s rsts: istâni ntr os furos Fig..: Pl mtl om furos o grfo orrsponnt Cminhos no grfo, pssno trvés vérti xtmnt um vz. Cminho omprimnto,,,,,,,,,,.,,,,,,,,, 7,,,, Listr toos os minhos é um form nontrr o mnor minho. Inflizmnt, não s onh um métoo mis prátio pr grfos ritrários (prolm o ixiro vijnt). Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Grfos similri Est onito trt o prolm grupr ojtos smlhnts m lsss om s ns propris os ojtos. Exmplo: suponh qu um lgoritmo prtiulr é implmnto m C por lgums pssos. Qurmos grupr m lsss progrms similrs, tomno omo s trmins propris: númro linhs o progrm númro omnos rturn númro hms funçõs. Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Progrm núm linhs 9 7 Núm. rturn Núm. Chms funçõs Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Construção o grfo similri G Os vértis v,v,...,v orrsponm os progrms. Um vérti é noto por (p,p,p ), on: pi é o vlor propri i. v= (p,p,p ) w=(q,q,q ) função issimilri s(v,w): mostr o qunto v w são issimilrs. s(v,w)= p -q + p -q + p -q os progrms Pr um vlor trmino S, insrimos um rst S ssumirmos S=, os progrms srão grupos ntr os vértis v w s s(v,w)<s. m lsss: {,, }, {}, {} Dizmos qu v w stão n msm lss s v=w ou O xmplo prtn à ár ronhimnto s xist um minho v pr w. prõs ( pttrn rognition ). Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Construção o grfo similri G No xmplo os progrms tmos: s(v,v )= s(v,v )=7 s(v,v )= s(v,v )= s(v,v )= s(v,v )= s(v,v )= s(v,v )= s(v,v )= s(v,v )= Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II v v v v v Fig..7:Grfo similri

5 Grfo omplto m n vértis (K n ): é um grfo simpls om n vértis m qu xist um rst ntr um os prs vértis istintos. K Fig..: xmplo grfo omplto m vértis O grfo figur. é um grfo omplto. Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Grfo iprtio Um grfo G=(V,E) é iprtio s o onjunto vértis V po sr prtiiono m ois suonjuntos V V tl qu rst m E é inint sor um vérti m V um v vérti m V. v v V v ={v,v,v } v V v ={v,v } v Fig..9 : um grfo iprtio v v v 9 v v 7 Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II v v Fig.. : não iprtio Grfo iprtio omplto m m n vértis (Km,n): é um grfo simpls ujo onjunto vértis po sr prtiiono nos onjuntos V om m vértis V om n vértis, tl form qu xist um rst ntr pr vértis v V v V. Exmplo: f K, 7 Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II 7 S pnsrmos m vértis um grfo omo is s rsts omo s roovis, um minho sri um vigm omçno m lgum i, pssno por váris is trminno m lgum outr. minho: Sj v v n os vértis m um grfo. Um minho v pr v n omprimnto n é um sqüêni ltrnno n+ vértis n rsts omçno om o vérti v trminno om o vérti v n. (v,,v,,v,..., v n-, n,v n ) Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II N usêni rsts prlls, pomos suprimir s rsts. (,,,,,) Grfos ontos É um grfo no qul qulqur vérti pr qulqur outro vérti xist um minho. Dfinição: Um grfo G é onto s os quisqur vértis v w m G, xist um minho v pr w. v v v Fig.. : xmplo grfo sm rsts prlls 9 Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II 9 v Fig.: grfo onto Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II

6 Cminho simpls: um minho simpls v pr w é um minho v pr w sm nnhum vérti rptio. (,,): minho simpls pr Fig.: minho simpls (,,,,): não é um minho simpls Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Cilo:é um minho v pr v omprimnto não zro sm nnhum rst rpti. ilo simpls: é um ilo v no qul, xto pr os vértis o iníio o finl qu são mos iguis v, não xistm vértis rptios. (,,,): ilo simpls (,,,,):ilo simpls (,,,,,,): não é ilo simpls Fig. : ilo simpls Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Prolm pont Königsrg (solução prsnt por Eulr m 7) Prgl Rivr B A D C Fig..: Ponts Königsrg Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II B A D C Fig..: molo grfo s ponts Königsrg O prolm é: iniir m qulqur lugr, A,B,C ou D, trvssr pont xtmnt um vz; ntão rtornr pr o lugr iniil. D isussão sor o sistm uto-strs, vmos qu não xist solução, ou sj não xist um ilo Eulr, pois no grfo figur. vérti é inint m um númro ímpr rsts. Cilo Eulr: é um ilo no grfo G qu inlui tos s rsts toos os vértis. O gru um vérti v, δ(v), é o númro rsts inints m v. Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Torm..7 S um grfo G tm um ilo Eulr, ntão G é um grfo onto vérti tm gru pr. Torm.. S G é um grfo onto too vérti tm gru pr, ntão G tm um ilo Eulr. Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Torm..9 S G é um grfo om m rsts vértis {v, v,.., vn} ntão S (vi)=m Em prtiulr som os grus toos os vértis m um grfo é pr. Corolário.. Em qulqur grfo, xist um númro pr vértis gru ímpr. Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II

7 Torm.. Um grfo tm um minho sm rsts rptis v pr w (v w) ontno tos s rsts vértis, s somnt s, l é onto v w são os únios vértis om gru ímpr. Torm.. S um grfo ontém um ilo v pr v, G ontém um ilo simpls v pr v. 7 Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II 7. O prolm o ixiro vijnt Cilos Hmiltoninos Sir Willim R. Hmilton invntou um puzzl () n form um oro. A nto triuiu o nom um i. O prolm r: iniir por qulqur i, vijr pls rsts, visitno i xtmnt um vz, rtornr à i iniil. Em homngm Hmilton, hmmos um ilo m um grfo G, qu ontém vérti m G xtmnt um vz, xto o vérti iníio fim, ilo hmiltonino. Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II. O prolm o ixiro vijnt O prolm o ixiro vijnt Enontrr rot mis urt n qul o ixiro vijnt visit i um vz, iniino trminno n msm i, pssno xtmnt um vz por i. Fig..: grfo pr vigm o ixiro vijnt A solução stá rlion m nontrr um ilo hmiltonino m um grfo. 9 Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II 9. Algoritmo o minho mínimo Em um grfo ponro o omprimnto um minho é som os psos s rsts no minho. omprimnto (,) é omprimnto o minho (,,,) é Fig..: grfo ponro Algoritmo o minho mínimo: nontrr o minho ntr ois vértis os om omprimnto mínimo. Dijkstr: propôs o lgoritmo minho mínimo Dijkstr. Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II. Algoritmo o minho mínimo Algoritmo o minho mínimo Dijkstr Est lgoritmo nontr o omprimnto um minho mínimo o vérti pr o vérti z, m um grfo G onto ponro. Pso rst (i,j) é w(i,j). L(x) é o ll o vérti x L(z) é o omprimnto um minho mínimo z. Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II. Algoritmo o minho mínimo Input: Um grfo onto ponro no qul toos os psos são positivos. Vértis z. Output: L(z), o omprimnto um minho mínimo z. prour: ijkstr(w,,z,l) L():= for ll vrtis x L(x):= T:=st of ll vrtis //T o onjunto vrtis uj istni minim não foi nontr Whil z T o gin solh v T om L(v) min. T:=T-{v} for h x T jnt v o L(x):=min{L(x),L(v)+w(v,x)} n n ijkstr Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II 7 7

8 . Algoritmo o minho mínimo. Algoritmo o minho mínimo z f 7 g Grfo G T: onjunto vértis uj istâni mis urt in não foi nontr Fig..: molo grfo pr o minho mínimo z 7 f g Iníio L()= T={,.,,,f,g,z} Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II. Algoritmo o minho mínimo. Algoritmo o minho mínimo z f 7 g Itrção : solh v=, pois L() é o mínimo ntr L()... L(z) T={,,,,f,g,z} Clul L(x), pr x T jnt L(x):=min{L(x),L()+w(,x)} L()=min(,+)= L(f)=min(,+)= z 7 f g Itrção : solh f L(f)= T={,,,,g,z} Clul L(x), x T jnt f L()=min(,+)= L(g)=min(,+)= Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II. Algoritmo o minho mínimo.algoritmo o minho mínimo 7 f g z Itrção : solh T={,,,g,z} Clul L(x), pr x T jnt L(x):=min{L(x),L()+ w(,x)} L()=min(,+)= L()=min(,+)= L()=min(,+)= z f 7 g Itrção : solh L()= T={,,g,z} Clul L(x), x T jnt L()=min(,+)= 7 Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II 7 Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II

9 . Algoritmo o minho mínimo. Algoritmo o minho mínimo z 7 f g Itrção : solh L( )= T={,g,z} Clul L(x),x T jnt L()=min(,+)= L(z)=min(,+)= z 7 f g Itrção : solh z L(z)= T={,g} Clul L(x), x T jnt z L(g)=min(,+)= 9 Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II 9 Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II Biliogrfi [] Johnsonugh, R. Disrt Mthmtis. Prnti Hll Intrntionl, Lonon, UK, th. E Cp.. Gomi, Rli, Sto Sihmn, Auls PCS - Fun. Eng. Comp. II 9 9