Geração de Redes de Transistores Otimizadas Utilizando uma Abordagem Baseada em Grafos

Transcrição

1 Grção Rs Trnsistors Otimizs Utilizno um Aorgm Bs m Grfos Julio S. Domingus Júnior, Viniius N. Possni, Rnto S. Souz, Flip S. Mrqus, Lomr S. Ros Jr. Grupo Arquitturs Ciruitos Intgros GACI Univrsi Frl Plots (UFPl) Plots, RS Brsil {jsomingus,vnpossni,rssouz,flipm,lomrjr}@inf.ufpl.u.r Astrt. This ppr prsnts n ltrntiv thniqu to gnrt optimiz logi lls t trnsistor lvl using grph-s pproh. Two lgorithms r prsnt in orr to livr optimiz trnsistor ntworks n ru Booln xprssions tht rprsnt th ntworks. Th first uss n gs shring strtgy in grph strutur, whil th othr xploits gs omprssion. Rsults monstrt tht oth lgorithms n livr goo rsults whn ompring to tritionl pprohs tht r pl to livr only sris-prlll trnsistor rrngmnts. Rsumo. Est trlho tm o ojtivo prsntr um solução ltrntiv pr grção éluls lógis otimizs no nívl trnsistors trvés um orgm s m grfos. Nst sntio, ois lgoritmos istintos sos m grfos form snvolvios, um pr otimizr rs trnsistors utilizno omprtilhmnto rsts outro pr xtrir xprssõs Boolns qu rprsntm os grfos otimizos trvés téni omptção rsts. Rsultos monstrm viili utilizção os lgoritmos, os quis são pzs prsntr gnhos quno ompros às orgns lássis pr grção rs trnsistors. 1. Introução O vnço tnologi tul pr o snvolvimnto iruitos intgros tm prmitio qu vz mis trnsistors sjm intgros m um únio hip. Entrtnto, o projto os iruitos intgros v sr rlizo om utilizção mnor ár silíio possívl, moo qu o usto m ár o iruito não s torn proiitivo. Ess rstrição umnt importâni fs projto n onpção iruitos VLSI (Vry Lrg Sl Intgrtion), o qu lv os projtists à nssi utilizr frrmnts qu filitm o trlho projtr os iruitos, ssim omo iminuir o tmpo projto. Em prtiulr, frrmnts volts pr sínts lógi lgoritmos spilmnt snvolvios pr st fim têm ontriuío onsirvlmnt pr filitr xução projtos. Em projtos ustomizos no nívl r trnsistors, élul lógi um loo funionl é oni mnulmnt, o qu mn muito tmpo. Nst sntio, torn-s nssário tr lgoritmos fiints pr grção utomáti éluls otimizs. Exmplo isto são s frrmnts CAD (Computr Ai Dsign) pr iruitos intgros qu trlhm om otimizção m nívl sínts lógi, plino lgoritmos ftorção no intuito rivr rs lógis otimizs [Bryton 1987],

2 [Mintz 2005], [Yoshi 2006], [Golumi 2008]. A ftorção mnipul um xprssão Booln ri omo ntr, fim ruzir o númro litris qu ompõm ss xprssão. Postriormnt, ss xprssão otimiz é mp pr um r trnsistors om númro ruzio hvs. Existm n litrtur métoos ltrntivos, omo por xmplo, otimizção s n utilizção grfos. Nss orgm r trnsistors é mp pr um strutur grfo, on rst possui ssoição irt om um trnsistor n r. A iéi prinipl é tntr minimizr qunti rsts [Kohvi 1970], [Ditmyr 1971], [Wu 1985], [Zhu 1993] ou té msmo rir um novo grfo om mnor númro rsts [Kgris 2007]. Porém, sss mnipulçõs no grfo vm grntir qu o omportmnto lógio o iruito iniil não sj ltro. Com plição sss ténis é possívl otr um iruito om msm função lógi, ntrtnto, om mnor númro trnsistors, rsultno m mnor ár, mnor onsumo nrgi mior fiiêni. Nst ontxto, st trlho prsnt um métoo pr grção rs trnsistors otimizs trvés um orgm s m grfos xtrção xprssão Booln qu rprsnt ss r otimiz. A orgm propost r omo ntr um Som Proutos (SOP) trnsform m um grfo, qu, postriormnt, é minimizo trvés o omprtilhmnto rsts, rsultno m um grfo qu é mpo irtmnt pr um r trnsistors otimiz. Então, trvés um lgoritmo qu pli omptção rsts o grfo, xprssão Booln qu rprsnt r otimiz é oti. Além isso, o lgoritmo é pz ronhr o tipo rrnjo trnsistors qu ompõm o iruito pós otimizção, intifino rrnjos onhios omo rs Whtston Brig. Ess tipo rrnjo, quno po sr tingio, onsgu rprsntr rs om um númro ruzio trnsistors, quno ompro o quivlnt n form rrnjo séri-prllo. Atrvés intgrção os lgoritmos snvolvios, surgiu frrmnt hm Soptimizr [Possni 2011]. O rstnt st rtigo stá orgnizo sguint form: A sção 2 prsnt os onitos ásios nssários pr o ntnimnto st trlho. A sção 3 prsnt o métoo proposto pr otimizr s rs trnsistors. N sção 4 é prsnto o lgoritmo grção xprssõs Boolns prtir o grfo otimizo. A sção 5 isut os rsultos xprimntis. Finlmnt, s onlusõs são prsnts n Sção Conitos Prliminrs Um r trnsistors po sr rprsnt por um grfo. Um grfo é um pr orno G = (V, E) qu omprn um onjunto V vértis ou nós, juntmnt om um onjunto E rsts ou linhs, qu são ois lmntos o suonjunto V. Um grfo irigio é um pr orno D = (V, A) om V vértis, A um onjunto prs ornos vértis, hmos ros, rsts irigis, ou flhs. Um ro = (x, y) é onsiro sr irigio prtir x pr y, ntão y é hmo ç x é hmo u o ro; y é ito sr um sussor irto x, x é ito sr um ntssor irto y. S um minho onuz prtir x pr y, ntão y é ito sr um sussor x ssívl prtir x, x é ito sr um prssor y.

3 Difrnts tipos struturs os pom sr uss pr rmznr grfos m um sistm omputor. A mtriz jêni é um ls. Ess é um mtriz A n x n, on n é o númro vértis no grfo. S xist um rst um vérti x pr um vérti y, ntão o lmnto A(x,y)=1, so ontrário é 0. Em omputção, st mtriz torn fáil trf nontrr sugrfos ntro um grfo mior. Além rprsntção função Booln, grfos tmém pom sr usos pr rprsntr rs trnsistors. Nst so, rst rprsnt um trnsistor os vértis são os pontos onxõs (noos) ntr os trnsistors. Normlmnt, s rs trnsistors CMOS são onstruís trvés ssoiçõs séri-prllo. Dss form, litrl xprssão Booln torn-s um rst (trnsistor) n rprsntção o grfo. Portnto, s mnor o númro litris m um xprssão, mnor os trnsistors nssários pr implmntr ss função Booln. Um função Booln é um função form f: B n B, on B ={0,1} é um omínio Boolno n é um intiro não-ngtivo. No so m qu n = 0, função é simplsmnt um lmnto onstnt o B. Ms grlmnt, um função Booln vlors é um função o tipo f: X B, on X é um onjunto ritrário on B é um omínio Boolno. S X = [n] = {1, 2, 3,..., n}, ntão f é um squêni inári omprimnto n. Portnto, xistm mis 2 funçõs. A rprsntção um função Booln é fit por um onjunto vriávis qu pom ltrr o vlor sí um função. Por xmplo, onsir função f (,, ) =. +!.. O su onjunto vriávis é o onjunto {,, }. Um vtor ntr é um lmnto finio no omínio Boolno ini o vlor vriávl qu fin o spço Boolno. Um vtor ntr v ϵ B n prtn o onjunto ON-st s, somnt s, f(v) = 1. Cso ontrário, s f (v) = 0, ntão v prtn o OFF-st f. Emor os vtors v1 = {1,1,0} v2 = {0,1,1} prtnm o ON-st finio função f (,, ) =. +!., o vtor v3 = {1,0,0} vi pr o OFF-st f (,, ). Um xprssão lógi é um rprsntção função Booln. C função é úni pr qulqur plição f: B n B m too o spço Boolno. No ntnto, um função Booln tm rprsntçõs infinits. Tos s funçõs Boolns pom sr xprsss m um form nôni trvés som proutos (SOP) ou prouto soms (POS). A SOP é it nôni quno tos s vriávis prm m toos os proutos. C instâni um vriávl Booln é hm litrl. Um prouto litris é formlmnt hmo uo. Por xmplo, {,, } é um uo intrprto omo.. ou pns omo. Um mintrmo é um uo qu ontém tos s vriávis qu rprsntm função. Mps Krnugh [Krnugh 1953] o métoo Quin-MClusky, sguno [Quin 1955] [MClusky 1956], são s prinipis ténis otimizção xustiv pr ois nívis minimizção. Emor ls não sjm lgoritmos prátios pr iruitos grn port, ls são fáis usr simpls ntnr. O lgoritmo Exprsso [Mgr 1993] é um métoo hurístio pr ois nívis minimizção qu é omputionlmnt mnos ustoso prsnt ons rsultos. Esss métoos têm omo ojtivo rução o númro litris, liminno runânis m um SOP.

4 Grlmnt, o númro litris um xprssão SOP-irrunnt (ISOP), não é mínimo. Nst sntio, porímos utilizr form ftor pr rprsntr funçõs Boolns. D oro om [Bryton 1987], um form ftor po sr fini omo um rprsntção um função lógi qu tnh um únio litrl ou um som proutos m form ftor. É muito smlhnt um xprssão lgéri om prêntss. Ess rprsntção om prêntss pr sr rprsntção mis qu pr uso n sínts lógi multinívl. Existm vários métoos ftorção [Bryton 1987], [Mintz 2005], [Yoshi 2006], [Golumi 2008] pr otnção ifrnts forms ftors um função lógi. Esss métoos vrim s os purmnt lgérios, qu são stnt rápios, os hmos métoos Boolnos, qu são mis lntos, ms são pzs otr mlhors rsultos. Um vz qu otnção um form ftor mínim pr um função Booln ritrári é um prolm NP-ifíil [Mintz 2005], toos os lgoritmos prátios pr ftorção são hurístios fornm um solução, orrt logimnt quivlnt, ms não nssrimnt um solução ótim. As forms ftors são spilmnt intrssnts pr grr rs trnsistors, qu postriormnt irão ompor s ports lógis ou éluls lógis. Normlmnt, ports lógis são ris sguino lgum stilo topologi. Os stilos mis omuns são Pss-Trnsistor Logi (PTL) Complmntry Séris-Prlll (CSP) ou CMOS (tmém onhi omo CMOS státi). Inpnntmnt topologi, sí élul é lig VDD ou GND trvés um ou mis minhos trnsistors introntos. Um minho VDD pr sí élul é hmo Pull-up, nqunto um minho GND pr sí élul é hmo Pull-own. Existm váris ténis pr um grção utomtiz rs trnsistors. Alguns métoos pr grção rs PTL são nontros m [Buh 1997], [Hsio 2000], [Shlr 2001], [Shlr 2002], [Avi 2003], [D Ros Jr. 2006] [D Ros Jr. 2007]. A miori ls é so m grfos, tis omo igrms isão inári (BDDs). Nst so, nó um BDD é um ponto isão qu orrspon um multiplxor us ntrs. Figur 1. R trnsistors PTL riv um BDD. Consir função f (,,, ) tl qu o ON-st o OFF-st são rprsntos pls Equçõs 1 2, rsptivmnt.

5 ON-st (f) =!.!+!.!+!.+!.! (1) OFF-st (f) = (2) A Figur 1 mostr um BDD qu rprsnt o ON-st função f, su r trnsistor riv onsirno topologi PTL. N topologi CSP os plnos omplmntrs s éluls são implmntos usno plnos isjuntos trnsistors séri-prllo. O plno Pull-up (Pull-own) orrspon o onjunto trnsistors introntos ntr sí élul VDD (GND). Enqunto o plno Pull-up é omposto pns por trnsistors PMOS, o plno Pull-own é omposto por trnsistors NMOS. Quno o plno Pull-up é rivo qução ON-st um função Booln, topologi o plno Pull-own é o omplmnto m séri-prllo o plno Pull-up. D mnir smlhnt, s éluls CSP tmém pom sr rivs prtir qução OFF-st. Nst so, o plno Pull-own é rivo irtmnt qução o Pull-up é o omplmnto m séri-prllo o plno Pull-own. Consir s forms ftors xprsss pls Equçõs 3 4: ON-st (f) =!.(!+!)+!.(!+!) (3) OFF-st (f) =.(+)+.. (4) A Figur 2 mostr éluls CSP rivs o onjunto ON-st OFF-st s Equçõs 3 4, rsptivmnt. Osrv qu litrl sts quçõs orrspon um pr trnsistors n port lógi. Portnto, o mnor númro litris n form ftor, impli m um mnor númro trnsistors n élul lógi. ) Célul riv o ON-st(f) ) Célul riv o OFF-st(f) Figur 2. R trnsistors CSP CMOS (f). Ao invés usr um form ftor pr rivr um r trnsistors, xistm ténis, tis omo [Kohvi 1970], [Ditmyr 1971], [Wu 1985], [Zhu 1993], [Kgris 2007] [D Ros Jr. 2009], s quis plim um onjunto rgrs oprçõs pr liminr rsts um grfo. C rst o grfo orrspon um trnsistor. Portnto, o omprtilhmnto s rsts oprçõs plis no grfo

6 rsult num grfo mis otimizo pr implmntr ports lógis. A prinipl ontriuição sts ténis é qu ls são pzs tingir rs trnsistors om rrnjos rig, tmém hmos Whtston Brig. Ess tipo ssoição, quno tingi, lv um ontgm trnsistors mnor s ompro à implmntção séri-prllo. 3. Algoritmo Proposto pr Otimizção Rs Trnsistors O grfo iniil rprsnt um SOP, tnto pr o onjunto ON-st ou OFF-st um função Booln. C prouto um SOP rprsnt um únio minho ntr ois nós trminis (vértis) qu são rotulos omo. A orgm propost rliz otimizçõs m us tps. Primirmnt, o métoo omprtilhmnto rsts é plio trvssno o grfo prtir o nó trminl pr o nó trminl. Em um sgun tp, o prosso otimizção é plio n irção opost, prtir o trminl pr o trminl. Usno st strtégi, é possívl lnçr ssoiçõs trnsistors o tipo Whtston Brig. Alguns métoos, tis omo [Kohvi 1970], [Ditmyr 1971], [Wu 1985] [Zhu 1993], tntm omprtilhr s rsts um form gulos, sm prstr tnção pr mlhor slção rsts qu srão unis m itrção. Outros métoos tntm onstruir o grfo trvés um prosso grul insrção rsts [Kgris 2007]. Esss métoos tmém pom tingir rrnjos Whtston Brig. No ntnto, tmos osrvo mpirimnt qu é oportuno pr minimizr o grfo, plir omprtilhmnto séri-prllo nts tntr lnçr ssoiçõs Whtston Brig. Est é prinipl ifrnç ntr orgm propost os métoos isponívis n litrtur. 3.1 Comprtilhmnto Arsts Como primiro psso o métoo omprtilhmnto rsts, toos os minhos no grfo são prorrios fim ronhr rsts iêntis (rsts qu são rprsnts plo msmo litrl). Quno ss onição é vrifi, s rsts iêntis são movis pr xtrmi o grfo on postriormnt srão omprtilhs. Ess prosso rposiionmnto rsts é rlizo om o ojtivo fzr om qu s rsts nits otimizção possum plo mnos um vérti m omum. Assim, itrção omprtilhmnto é m fini, mntno um vérti m omum ntr s rsts nits, outro vérti qu srá mslo um vérti qu postriormnt srá o ponto rmifição ntr os minhos. A Figur 3 ilustr os vértis rsts nvolvios urnt um prosso omprtilhmnto. Vérti omum Vérti rmifição Vérti mslo Vérti omum Vérti rmifição ) ) Figur 3. Vértis rsts nvolvios urnt o prosso omprtilhmnto rsts.

7 Consir Equção 5, qu rprsnt função lógi XOR qutro ntrs. O grfo iniil pr st função é ilustro n Figur 4., on tmém é possívl vr s rsts qu fzm onxõs ntr os prs vértis. f =!.!.!. +!.!..! +!..!.! +!... +.!.!.! +.!.. +..!.+...! (5)!! 5! 6 7!!! 8 9! 10!! 11! ! 15! 16! 17! ! 22! ! 3! 6! 7 8 9! 10! ! 15! 16 17! ! ) ) 2! 3 3!! !! 8!! 9! !!!!! !! 15!! 16! 15 16! 17! ! 22!! 22! ) ) 6 7! ! 8! 10!! 12!!! 12!!! 15! 16! 15!!! ! 21!! ) f) 8! ! 10!!!!! 15!!!! ! 21! 19 g) h) Figur 4. Comprtilhmnto rsts plio função lógi XOR 4 ntrs.!!!! O omprtilhmnto rsts lv iminuição n ontgm rsts omo ilustr Figur 4.. Ns figurs ixo, os vértis qu srão mslos são stos por írulos, nqunto os vértis sm ltrção são rprsntos por pontos prtos. Por xmplo, n Figur 4., rst! foi omprtilh os vértis 1, 5, 8 11 form mslos m um únio vérti. N squêni, rst é omprtilh, o qu rsult no grfo mostro n Figur 4.. Postriormnt, os vértis 8 17, um vz, são

8 onsiros o novo ponto prti o prosso otimizção, on o lgoritmo prour rsts iêntis ntr sss ois vértis o trminl. Dst form, s rsts! ligs o vérti 8 srão omprtilhs, n squêni, isso oorr om s rsts. Postriormnt, o msmo prosso é plio pr s rsts! ligos o vérti 17. Isto é monstro n Figur 4.. Como po sr visto n Figur 4., prtino os vértis 6, 12, 15 21, um vz, prorrno o grfo m irção o trminl, não é possívl rlizr novs otimizçõs, já qu rsts iêntis não são nontrs ntr sts vértis. Nst momnto, sgun tp otimizção é inii. O grfo é prorrio prtino o trminl m irção o trminl. Assim s rsts são intifis são omprtilhs, omo monstro n Figur 4.. N sqüêni, s rsts! srão omprtilhs, rsultno no grfo Figur 4.f. Agor, onsir os vértis omo novos pontos prti pr o métoo omprtilhmnto. Há us rsts! onts no vérti 10, omo mostro n Figur 4.f. Então é possívl rmovr rst! ont os vértis unino os vértis Nst so, união os vértis rsult m us rsts onts ntr os vértis Quno ss onição é tt, pns um sss rsts prmn no grfo, omo ilustr Figur 4.g. Est prosso é plio novmnt, ms st vz pr s rsts qu stão onts o vérti 10, unino os vértis Ess prosso riv us rsts! onts ntr os vértis 19 21, um sts rsts srá rmovi rsultno no grfo finl prsnto n Figur 4.h. Como po sr visto n Figur 4.h, não é possívl rlizr outrs otimizçõs. Assim, o prosso otimizção é onluío o grfo finl é ntrgu. Cso lgum s oprçõs otimizção gr um minho inválio, um rotin ruprção é invo o omprtilhmnto inválio é rvrtio. Est rotin é prsnt n próxim susção. Outro xmplo xução o lgoritmo proposto é ilustro pl Figur 5 pl Figur 6. Consirno Equção (6) omo ntr o lgoritmo, pós lgums itrçõs omprtilhmnto, o métoo é pz tingir r mínim ilustr pl Figur 6.. A r riv plo métoo proposto implmnt um rrnjo Whtston Brig om o msmo númro hvs r oti plo métoo srito m [Zhu, 1993], utilizno msm xprssão Booln omo ntr. f =..!.f +..h +...g +.! !.f +...h +..g +!.. (6) h g!! f! g h f! ) ) Figur 5. () grfo otio prtir Equção (6) () grfo rsultnt pós lgums itrçõs.! h!! g! g h f f

9 ! h! g f 4! h! g f ) )! h! g f ) Figur 6. Pssos intrmiários () () o prosso otimizção pr Equção (6) solução mínim nontr m (). Como po sr visto, pr o xmplo função XOR pr o xmplo Equção (6), o métoo proposto rlizou s mlhors solhs rsts nits os omprtilhmntos, rsultno n implmntção mínim pr xmplo. Porém, pnno SOP ntr, pom xistir ivrss possiilis solh rsts nits. Difrnts solhs pom rsultr m ifrnts soluçõs. Assim, o prosso pr slionr os nitos qu lvrão à solução il é um trf ifíil. Portnto, fim fzr mlhor solh, lgums hurístis vm sr plis. O métoo proposto implmnt um strtégi gulos pr slionr rsts. Est strtégi onsist m slionr os nitos qu irão rsultr n mior rução rsts. N miori os sos, st strtégi lv ons rsultos. Em lguns sos, ifrnts solhs por rsts nits rsultrão no msmo númro rsts limins o grfo. Então, strtégi gulos não onsgu istinguir quis são os mlhors nitos. Pois, no omprtilhmnto tul o rsulto srá o msmo inpnnt solh. Porém, um solh ruim nss momnto po ftr omprtilhmntos futuros. Assim, st orgm é fortmnt pnnt orm s rsts. Est prolm isão é monstro sguir. Consir Equção (7), qu é rprsnt plo grfo ilustro n Figur 7.. Aplino solh gulos, srá slion rst nit. O prosso otimizção onvrg pr solução prsnt n Figur 7.. No ntnto, rlizno um outr solh, o prosso otimizção po lnçr solução il, onform prsnt Figur 7.. f = (7)

10 ) ) ) Figur 7. Algums possiilis solução pr Equção (7). Outro xmplo é monstro n Figur 8 qu rprsnt Equção (8). Nst so, inpnnt os nitos à otimizção solhios, o númro rsts sr ruzio srá iêntio, o qu torn isão in mis ifíil. Not qu, quno rst é omprtilh nts s outrs, o rsulto finl é o grfo Figur 8.. Por outro lo, s o prosso otimizção é iniio omprtilhno s rsts, m um tp postrior, s rsts, o grfo rsultnt é o ilustro n Figur 8.. Assim, s rsts pom sr omprtilhs. Postriormnt, é possívl omprtilhr rsts. E, por fim, é nssário liminr um s rsts runnts. Dst form, é possívl tingir solução ótim ilustr pl Figur 8.. f = (8) ) ) ) ) Figur 8. Algums possiilis solução pr Equção (8).

11 3.2 Vrifição Equivlêni Lógi Pr grntir qu r trnsistors otimiz sj quivlnt SOP ntr, um proimnto vlição é plio pr rtifir qu toos os mintrmos stão rprsntos no grfo rsultnt. Além isso, é priso grntir qu flsos minhos (Snk-Pths) não sjm introuzios n r. Um Snk-Pth é um minho qu não oini om qulqur um os mintrmos xprssos n SOP ntr. Est proimnto onsist m omprr minho om os proutos qu ompõm SOP originl. S um minho qu não prtn à SOP foi introuzio, um rotin vrifi s st minho é snsiilizávl ou não-snsiilizávl trvés um vtor ntr. Em rs trnsistors um minho é ito não-snsiilizávl s ontivr trnsistors ontrolos por um vriávl om ms s polris, por xmplo,!. Em outrs plvrs, st minho não é um minho válio n r. S o minho introuzio não é snsiilizávl, ntão l é ito, um vz qu não ltr o omportmnto lógio o iruito. Cso ontrário, o grfo pris sr rsturo um tp ntrior otimizção qu grou o minho inválio, srtno s ltrçõs qu tnhm lvo o prolm. Nst sntio, um rotin rsturção é invo. Est rotin é rsponsávl por ruprr s rsts vértis qu form liminos o grfo rontá-los n r. Bsimnt, função ss rotin é xutr o prosso invrso o ilustro n Figur 3. O lgoritmo ruprção prt um onfigurção omo ilustr plo grfo Figur 3. volt pr o sto ilustro plo grfo Figur 3.. Assim, rrst qu rivou o omprtilhmnto inválio é ignor ns próxims uss por nitos otimizção. Not qu, pr o xmplo função XOR, toos os proutos originis Equção 5 stão prsnts no grfo rprsnto pl Figur 4.h. No ntnto, trvés o omprtilhmnto rsts, lguns novos minhos tmém form introuzios. Esss minhos são prmitios porqu não são minhos snsiilizávis. 4. Algoritmo Proposto pr Extrção Exprssão Booln O lgoritmo isutio té sção ntrior r um xprssão omo ntr, instni o grfo pli s otimizçõs. Contuo, sts otimizçõs são rlizs irtmnt so o grfo. Um vz qu s po sjr otr xprssão otimiz qu rprsnt st grfo, um sguno lgoritmo vrá sr plio. Est sção srv um lgoritmo pr xtrir s xprssõs Boolns prtir o grfo qu rprsnt s rs trnsistors otimizs. A xtrção um xprssão Booln rqur trvssis sussivs m um grfo um nó trminl pr outro. O lgoritmo xut sss trvssis plino omptção rsts no grfo. A itrção o lgoritmo, s rsts jnts ssois m séri são ompts, rsultno m um úni rst. S não houvr mis rsts m séri srm ompts, o lgoritmo prorr o grfo novmnt, ms st vz visno à omptção rsts ssois m prllo. Quno não há mis rsts m prllo srm ompts, o lgoritmo é riniio à prour omptção m séri. Est prosso é itrtivo pár quno não há possiili plir omptção tnto m séri qunto m prllo. Os pssos omptção o grfo são monstros n Figur 9. O grfo iniil é prsnto n Figur 9.. O prosso inii psquisno rsts jnts ligs m

12 séri m sugrfos. Nst xmplo, os primiros onjuntos rsts srm ompts stão ligos o nó trminl. Por xmplo, s rsts!f,!,! stão ssois m séri, pom sr ompts pr um úni rst. Portnto, o sugrfo omposto por sss rsts é sustituío por um nov rst, qu rprsnt um onjunto rsts. Nst so, st nov rst é rprsnt plo prouto!f.!.!. D mnir smlhnt, s rsts f.... são ris. Est prosso é ilustro n Figur 9..!F!E!C!F.!E.!C D B A D B A F E C F.E.C ) ) (!F.!E.!C+F.E.C) D.A.B (!F.!E.!C+F.E.C).D.A.B ) ) Figur 9. Pssos o lgoritmo omptção rsts. Dpois xutr primir itrção omptção m séri, o lgoritmo prour por ssoiçõs prlls. N Figur 9., xistm ois sugrfos m prllo. Como ilustro n Figur 9., s rsts!f.!.! f.. pom sr ompts m um úni rst qu srá rprsnt omo!f.!.! + f... Nst ponto, não há mis rsts m prllo. Então, um nov itrção tntno nontrr rsts m séri é pli novmnt. Dss form, ivrss itrçõs omptção séri/prllo são plis, finlizno quno não ont iminuição no númro rsts o grfo. Assim, o grfo prsnto n Figur 9. po sr ompto, rsultno no grfo ilustro pl Figur 9.. O grfo finl prsnt pi rprsntr função Booln trvés xprssão otimiz (ftor) ((!f.!.! + f..)... ). Usno omptção no grfo tmém torn-s possívl intifir s onfigurçõs Whtston rig. Um vz qu ns onfigurçõs rig xist plo mnos um rst qu não nontr-s nm m séri nm m prllo om s mis, o grfo finl otio pós omptção possuirá o mnos ino rsts rmnsnts ( onstrução mínim um r rig). É importnt rlmrr qu o ojtivo prinipl o lgoritmo onsist m xtrir xprssão Booln qu rprsnt xtmnt o grfo otimizo. Quno um grfo po sr ompto m um úni rst, isto signifi qu xistm pns ssoiçõs trnsistors purmnt séri-prllo. Isto não ont no so rs om ssoiçõs rig. Pr rs rig um psso iionl vrá sr xuto pr qu xprssão Booln poss sr riv. Um xmplo omptção grfo qu rprsnt um r o tipo rig po sr visto n Figur 10.

13 A B!C G!D E A.B.!C G!D E!A!B D!A.!B D ) ) Figur 10. Pssos omptção plios m rs o tipo rig. Consirno omptção grfo um r o tipo rig, é nssário plir trvssis m toos os minhos possívis o grfo, fim xtrir xprssão Booln qu rprsnt st grfo. Est proimnto finl é rlizo utilizno um mtriz jêni pr rprsntr o grfo ompto. A xprssão po sr xtrí plino um lgoritmo so no lgoritmo us m profuni sor mtriz jêni. A psquis inii smpr m um noo trminl finliz no outro noo trminl. A Figur 11 prsnt tos s psquiss sor mtriz jêni qu rprsnt o grfo ompto Figur Pilh Cminhos Pilh Cminhos 0 A.B.!C!A.!B 1 0 A.B.!C!A.!B 1 1 E 4 1 E 4 2 A.B.!C G!D 3 2 A.B.!C G!D 2 3!A.!B G D 2 3!A.!B G D 3 4 E!D D 0 4 E!D D 0 ) ) Pilh Cminhos Pilh Cminhos 0 A.B.!C!A.!B 1 0 A.B.!C!A.!B 1 E 4 1 E 1 2 A.B.!C G!D 2 2 A.B.!C G!D 4 3!A.!B G D 3 3!A.!B G D 3 4 E!D D 0 4 E!D D 0 ) ) Figur 11. Cminhos n mtriz jêni no so r rig. A us m profuni inii-s no noo trminl, ou sj, sor o íni zro mtriz jêni. Ess lgoritmo utiliz um pilh pr mntr o minho prorrio. Est pilh rmzn os ínis mtriz jêni qu rprsnt os noos o grfo. A prtir linh zro, o lgoritmo prour ínis on são rprsnts rsts jnts no grfo. Nst ponto, olun 2, qu rprsnt rst.!., é primir solh. Portnto, o íni 2 é iiono à pilh. Atrvés um rotin rursiv, linh 2 é o próximo ponto pr psquis. Nst linh, primir olun qu ini um jêni é olun 0. No ntnto, st linh já foi visit, pois su íni já stá n pilh vértis visitos. Dst form, próxim rst sr visit é g. Portnto, próxim linh é íni 3. Est prosso é rptio trvés os vértis intrligos, l é finlizo quno o trminl oposto é tingio. No xmplo prsnto n Figur 11, o íni 1 rprsnt o noo trminl.

14 No finl, pilh ontrá um squêni ínis, os quis rprsntm um minho ntr mos os trminis. C minho onstruío simoliz um prouto ntr s rsts, xprssno um minho ntr os trminis. No xmplo Figur 11, há qutro minhos rsultnts. A omposição s suxprssõs otis rsult m um xprssão Booln qu rprsnt r trnsistors. Alguns proutos m um minho são quivlnts os proutos outros minhos. Assim, ténis ssoitivs pom sr plis pr ruzir o númro litris xprssão finl. Nst xmplo, o rsulto st prosso é prsnto n Equção (9). 5. Rsultos Exprimntis f =..!.(!.+g..)+!.!.(g.!.+.) (9) A frrmnt Soptimizr foi totlmnt snvolvi n lingugm Jv. Os lgoritmos propostos form implmntos trvés um onjunto lsss Jv form intgros n frrmnt, ssim omo iliot Prfus [Prfus.org 2011], qu é us pr visulizção os grfos gros. A fim vlir s xprssõs grs plos métoos propostos, xprimntos form rlizos m um omputor om prossor Cor2Duo 4GB mmóri RAM, rono o sistm oprionl Uuntu its. O primiro xprimnto rlizo utilizou um onjunto 10 funçõs Boolns om 7 vriávis ntr, qu form solhis ltorimnt pr vlir o omportmnto o métoo proposto nst rtigo. Exprssõs lógis form ris pr rprsntr um s 10 funçõs. Est xprssõs srvirm ntr à frrmnt SIS [Sntovih 1992] pr qu, ntão, puéssmos otr sus vrsõs quivlnts m soms proutos. A Tl 1 prsnt os rsultos otios, omprno o métoo ftorção frrmnt SIS om mtoologi propost onsirno o númro litris. O númro totl litris SOP m su form nôni é mostro n sgun olun. A trir olun mostr o númro litris otios ns xprssõs ftors usno o lgoritmo Quik-ftor o SIS. A qurt olun prsnt o númro rsts o grfo rsultnt frrmnt Soptmizr. Por fim, o prntul gnho o Soptimizr m rlção o SIS é monstro n últim olun. Consirno qu o númro litris, ssim omo o númro rsts o grfo, inim o númro trnsistors um port lógi, po-s izr qu m toos os sos orgm propost otv rsultos mlhors. Anlisno s rs otis plo Soptimizr, form intifis ivrss onfigurçõs o tipo rig. O SIS gr pns xprssõs om s primitivs lógis ásis: E, OU invrsão. Logo, rs trnsistors grs prtir sts quçõs trão pns ssoiçõs o tipo séri-prllo. Dst moo, um os ftors qu ontriui pr o umnto n ontgm trnsistors é impossiili o uso ssoiçõs o tipo rig. Em um sguno xprimnto, o msmo tipo nális o primiro xprimnto foi rlizo pr o onjunto funçõs lógis 4 ntrs lss P. Est onjunto funçõs é omposto por 3982 funçõs lógis. C SOP foi ftor om frrmnt SIS utilizno os métoos ftorção Quik-ftor Goo-ftor. Além isso, s SOPs tmém form sinttizs om o Soptimizr. O métoo proposto foi pz proporionr mlhors soluçõs, ruzino o númro totl trnsistors ns rs finis, onform srito n Tl 2.

15 Função Tl 1. Comprção ntr SIS o Soptimizr Númro litris SOP Númro litris rsultnts o Quik-ftor/SIS Arsts o grfo no Soptimizr Gnho (%) F F F F F F F F F F Do totl 3982 funçõs lógis, o Soptimizr prsntou 1966 rs trnsistors mnors quno omprs om s soluçõs o SIS. Em 1973 rs trnsistors ontgm trnsistors é xtmnt igul o SIS. Ns outrs 43 rs, o métoo proposto prsntou um ontgm trnsistors ligirmnt mior qu o SIS. A Figur 12 mostr istriuição os gnhos ou prs orgm propost m rlção o SIS (tnto pr o lgoritmo Quik-ftor qunto pr Goo-ftor). Como po sr visto, o métoo omprtilhmnto rsts o Soptimizr é pz ruzir té 5 trnsistors m lgums rs. Por outro lo, o SIS lnç mlhors rsultos pr lgums funçõs. Nsts sos, o lgoritmo implmnto no Soptimizr não foi pz grr ssoiçõs o tipo rig. Tl 2. Contgm totl trnsistors pr o onjunto funçõs lss P 4 ntrs Totl Trnsistors Soptimizr Goo-ftory Quik-ftory Soptimizr X SIS Nº Funçõs Lógis % lss P Númro Trnsistors Mnor % Númro Trnsistors Igul % Númro Trnsistors Mior %

16 Figur 12. Distriuição funçõs Boolns lss P onsirno prs gnhos m númro trnsistors otios plo Soptimizr tno o SIS omo rfrêni. A vlição o lgoritmo grção xprssõs Boolns proposto nst trlho tmém foi onsir. O rsulto intgrção o lgoritmo grção xprssõs om o Soptimizr ru o nom Soptimizr+ nos rsultos xprimntis. O primiro xprimnto om o foo n vlição o Soptimizr+ onsistiu m plir o métoo proposto no onjunto funçõs 4 ntrs lss P.. Tos s 3982 xprssõs form ftors por mio o métoo omprtilhmnto rsts o Soptimizr, sno qu s xprssõs rsultnts form grs trvés o Soptimizr+ m r 8 minutos. Os rsultos otios monstrrm qu tos s xprssõs grs plo Soptimizr+ form lógimnt quivlnts às xprssõs ntr. A Tl 3 prsnt um omprção ntr ftorção o SIS os lgoritmos o Soptimizr Soptimizr+, onsirno um suonjunto 10 funçõs s 3982 lss P. A sgun olun mostr o númro litris SOP qu rprsnt função. A trir olun mostr o númro litris form ftor gr plo SIS. A qurt olun prsnt o númro rsts grs plo Soptimizr. A últim olun prsnt o númro litris lnço plo Soptimizr+. Após sss xprimntos, o númro trnsistors (númro rsts os grfos ou númro litris s xprssõs) foi ontilizo, fim prmitir um omprção o lgoritmo omprtilhmnto rsts (Soptimizr), om o lgoritmo grção xprssão Booln prtir o grfo (Soptimizr+). Como spro, m 2192 funçõs ( 3982), os númros são os msmos quno o grfo rsultnt rprsnt somnt ssoiçõs trnsistors o tipo séri-prllo. No ntnto, quno o grfo rsultnt é um ssoição o tipo rig,, s xprssõs o Soptimizr+ têm um mior númro litris. Isso s v o fto, s primitivs lógis E OU rprsntrm ssoiçõs séri-prllo ns rs trnsistors. Dst moo, trmos runnts são insrios n xprssão Booln qu rprsntm rs om ssoiçõs o tipo rig no so s xprssõs o Soptimizr+. Além isso, tmém omprou-s s xprssõs grs plo Soptimizr+ ftorção o SIS, usno omo ntr s msms funçõs 4 ntrs lss P. O lgoritmo proposto nst trlho otv mlhors rsultos m um onjunto 107 funçõs. Em 2011 sos, os rsultos otios form os msmos.

17 Tl 3. Rlção ntr 10 funçõs lss P n ontgm litris rsts Função Númro litris SOP Númro litris rsultnts o Quik-ftor/SIS Arsts o grfo no Soptimizr Númro litris Soptimizr No ntnto, pr 1864 funçõs, o lgoritmo o SIS otv mlhors rsultos. Isso po sr xplio porqu tulmnt o lgoritmo proposto pr grção xprssõs ftors o Soptimizr+ não é pz liminr minhos não snsiilizávis m um r trnsistors. Dst form, msmo qu o grfo rsultnt sj mnor m númro rsts, no momnto trvssi pr grção xprssão ftor, torn-s nssário rplir minhos. Isso rrt m um umnto no númro litris xprssão finl. Um xmplo ss prolm é prsnto n Figur 13. O minho formo pls rsts, g! não é snsiilizávl, o qu vriávl pr m ms s polris. O métoo proposto gr xprssão.(g.!+)+!(g.+!), om 8 litris, quno pori sr ruzi pr. +!.(g. +!), om 6 litris. A!B G D!A 6. Conlusõs Trlhos Futuros Figur 13. Exmplo minho não-snsiilizávl. Est trlho prsntou lgoritmos sos m grfos pr grr rs trnsistors xtrir xprssõs Boolns qu rprsntm sss rs. Tis lgoritmos monstrm-s ftívis, pois são pzs trtr rs o tipo Whtston rig, ifrntmnt ténis ftorção, qu só pom grr rs om onfigurção o tipo séri-prllo. Quno ompro om onfigurção séri-prllo, rs rig são pzs ruzir ontgm trnsistors m váris funçõs lógis. Est é um qustão importnt, um vz qu rução o númro trnsistors m ports lógis n tnologi CMOS po ruzir o onsumo nrgi /ou o trso o iruito.

18 O métoo grção xprssõs ftors om s no grfo prnh um lun ntr o Soptimizr outrs frrmnts qu utilizm xprssõs omo ntrs. O lgoritmo proposto foi pz grr s xprssõs s rs om ssoiçõs o tipo séri-prllo ssoiçõs o tipo Whtston Brig rprsnts por grfos. Exprssõs Boolns não tm um opror pr notr ssoiçõs o tipo Whtston Brig. Dst form, quno st tipo ssoição é xprsso por oprors primitivos, trmos runnts são iionos n xprssão Booln. Como trlhos futuros, prtn-s liminr minhos não-snsiilizávis s xprssõs grs plo Soptimizr+. Isso po sr fito utilizno métoos Boolnos urnt mnipulção o grfo. Dst form, srá possívl ruzir ontgm trnsistors lnçr xprssõs mnors m trmos litris. Rfrênis Avi, M., Yilirim, T. (2003). Gnrl sign mtho for omplmntry pss trnsistor logi iruits. Eltronis Lttrs, [S.l.], v. 39, n. 1, p Bryton, R. K. (1987). Ftoring logi funtions. IBM Journl of Rsrh n Dvlopmnt, v. 31, n. 2, p Buh, P. t l. (1997). Logi synthsis for lrg pss trnsistor iruits. In: ICCAD, p D Ros Jr., L. S., Mrqus, F., Croso, T., Ris, R., Sptnkr, S., Ris, A. (2006). Fst Disjoint Trnsistor Ntworks from BDDs. In: SBCCI, p D Ros Jr., L. S., Mrqus, F., Shnir, F., Ris, R., Ris, A. (2007). A Comprtiv Stuy of CMOS Gts with Minimum Trnsistor Stks. In: SBCCI, p D Ros Jr., L. S., Shnir, F., Ris, R. P., Ris, A. I. (2009). Swith Lvl Optimiztion of Digitl CMOS Gt Ntworks. In: ISQED, p Ditmyr, D. L. (1971). Logi sign of igitl systms. Allyn n Bon. Hsio, S., Yh, J., Chn, D. (2000). High prformn multiplxr-s logi synthsis using pss-trnsistor logi. In: ISCAS, p Golumi, M. C., Mintz, A., Rotis, U. (2008). An improvmnt on th omplxity of ftoring r-on Booln funtions. Disrt Appl. Mth, Vol. 156, n. 10, Kgris, D. t l. (2007). A Mthoology for Trnsistor-Effiint Suprgt Dsign. IEEE Trnstions on Vry Lrg Sl Intgrtion (VLSI) Systms, Krnugh, M. (1953). Th Mp Mtho for th Synthsis of Comintionl Ciruits. AIEE Trnstions, [S.l.], p Kohvi, Z. (1970). Swithing n Finit Automt Thory. Nw York: MGrw-Hill. MClusky, E. J. (1956). Minimiztion of Booln Funtions. Bll Systms Thnil Journl, [S.l.], v. 35, p Mgr, P. t l. (1993). Esprsso-Signtur: A nw xt minimizr for logi funtions. In: DAC, p

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