Relações Exercício: Seja A=B={1,2,3,4,5}. Define-se a relação R (menor do que) sobre A como: a R b se e somente se a<b. Neste caso R={...

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1 Rlçõs Ligçõs ntr lmntos onjuntos são rprsntos usno um strutur hm rlção. No nosso i--i stmos frqüntmnt utilizno o onito rlçõs: Comprr ojtos (mior, mnor, igul); Mrio-Mulhr, Pi-pr-filho, Pi-mã-filho; t. Rlçõs pom sr uss pr rsolvr prolms tis omo: Dtrminr quis prs is são ligs por linhs érs m um r; Bus um orm viávl pr ifrnts fss um projto; Elorção um moo útil rmznr informçõs m nos os omputionis. Rlçõs Dfinição Rlçõs: Po-s finir rlçõs omo um suonjunto o prouto rtsino ntr onjuntos. Rlçõs Bináris: Dos ois onjuntos quisqur A B, um rlção inári ntr A B é um suonjunto otio o prouto rtsino AxB sts onjuntos. Um rlção inári A m B é um onjunto R prs ornos, on o o lmnto pr vm A o o vm B, ou sj R AxB. Quno (,) R, iz-s qu stá rliono om B. Us-s notção R, pr notr qu (,) R. O númro rlçõs ináris A m B é o por A. B Rlçõs Exmplo: A={,,} B={r,s} AxB={(,r),(,s),(,r),(,s),(,r),(,s)} é o Prouto Crtsino A B. R ={(,r),(,s),(,s),(,r)} é um Rlção A m B. Po-s izr: R s, R s, R s, R r. Ms: /R s (o pr orno (,r) R. r s R r X X s X X Rlçõs Exríio: Sj A=B={,,,,5}. Dfin-s rlção R (mnor o qu) sor A omo: R s somnt s <. Nst so R={... Osrv qu o qu rlmnt import m um rlção é qu nós simos prismnt quis lmntos m A stão rlionos quis lmntos m B. Conjuntos Originos Rlçõs Dfiniçõs: Sj R AxB um rlção A m B. Então: Domínio R, noto por Dom(R) é o onjunto toos os lmntos m A qu stão rlionos om lgum lmnto m B. Pr o xríio ntrior Dom(R) ={,,,}. Contromínio ou Imgm R, noto por Rn(R) ou Im(R) é o onjunto toos os lmntos B qu são sgunos lmntos prs R. Pr o xríio ntrior Rn(R) ={,,,5}. S x A, fin-s o onjunto R(x) os R-rltivos x omo sno o onjunto toos os y m B om propri qu x stá rliono y por R, ou sj, R(x)={y B x R y} Pr o xríio ntrior R() ={,5}. Similrmnt, s A A, ntão R(A ), o onjunto os R-rltivos A é o onjunto toos os y m B om propri qu x stá rliono y por R x A. Pr o xríio ntrior s A ={,} R(,) ={,,5}. Oprçõs Rlçõs Dfiniçõs: Como rlçõs são onjuntos, é possívl plir s oprçõs usuis sor onjuntos tmém sor rlçõs. O onjunto rsultnt tmém srá omposto por prs ornos finirá um rlção. Sjm R S AxB us rlçõs A m B. Então: R S fin um rlção tl qu: (R S) = R ^ S R S fin um rlção tl qu: (R S) = R v S R - S fin um rlção tl qu: (R - S) = R ^ /S = (,) R ^ (,) S R fin um rlção tl qu: (R) = /R =(,) R

2 Rlçõs Intrns Dfiniçõs: Um Rlção Intrn sor o onjunto A é um rlção A m A (ou sj, é um suonjunto AxA). Exmplo: Sj A={,,,}. Quis prs ornos stão n rlção R={(,) ivi }? R={(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)} Exríio: Consir s sguints rlçõs sor o onjunto os intiros: R = {(,) } R = {(,) > } R = {(,) = ou = - } R = {(,) = } R5 = {(,) = + } R6 = {(,) + } Quis sts rlçõs ontém um os prs ornos: (,),(,),(,),(,-) (,)? Propris s Rlçõs Intrns Rlção Rflxiv - Dfinição: Um rlção inári intrn R m um onjunto A é rflxiv s, pr too A, R, ou sj ( A (,) R) A rlção igul é rflxiv, pois pr qulqur A, =. A rlção é rflxiv no onjunto os númros ris. A rlção inlusão é rflxiv n fmíli toos os suonjuntos o onjunto Univrso. Exmplo: A rlção R={(,) ivi } é rflxiv não onjunto os númros intiros xluino o zro. Do o onjunto A={,,}, rlção R={(,),(,),(,)} NÃO é rflxiv. Propris s Rlçõs Intrns Rlção Simétri - Dfinição: Um rlção inári intrn R m um onjunto A é simétri s, pr too A A, s R ntão R, ou sj,((,) R (,) R) A rlção igul é simétri, pois pr qulqur A, s =, ntão =. A rlção é NÃO é simétri no onjunto os númros ris. A rlção sr irmão não é simétri no onjunto tos s pssos, ms é simétri no onjunto toos os homns. Rlção Assimétri - Dfinição: Um rlção inári intrn R m um onjunto A é ssimétri s, pr too A A, s R ntão /R, ou sj,((,) R (,) R) Propris s Rlçõs Intrns Rlção Anti-Simétri - Dfinição: Um rlção inári intrn R m um onjunto A é nti-simétri s, pr too A A, s R R, ntão =, ou sj,((,) R ^ (,) R =) A rlção suonjunto próprio é nti-simétri no onjunto toos os suonjuntos o onjunto Univrso. É possívl possuir um rlção qu sj o msmo tmpo simétri nti-simétri, omo por xmplo rlção igul. Propris s Rlçõs Intrns Rlção Trnsitiv - Dfinição: Um rlção inári intrn R m um onjunto A é trnsitiv s, pr too A, A A, s R R, ntão R, ou sj,,((,) R ^ (,) R (,) R) As rlçõs, < = são trnsitivs no onjunto os númros ris. As rlçõs, = são trnsitivs n fmíli toos os suonjuntos o onjunto Univrso. A rlção sr mã NÃO é trnsitiv. Propris s Rlçõs Intrns Exríio : Dtrmin s s rlçõs ixo são rflxivs, simétris, ssimétris, nti-simétris ou trnsitivs : ) R= { (,),(,),(,),(,),(,),(,) } ) R= {(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)} Rsposts : ) N, N, N, N, N N ) S, N, S, N, N, S

3 Propris s Rlçõs Intrns Exríio : Dtrmin s s rlçõs ixo são rflxivs, simétris, ssimétris, nti-simétris ou trnsitivs : Consir s rlçõs sor o onjunto os intiros: R = {(,) } R = {(,) > } R = {(,) = ou = - } R = {(,) = } R5 = {(,) = + } R6 = {(,) + } Rprsntção Rlçõs Além rprsntr s rlçõs xpliitno propris os prs ornos ou listno toos os prs, tmém é possívl rprsntr rlçõs usno: Mtrizs s s. Grfos irionos (ígrfos). MATRIZES DE RELAÇÕES Sjm A={,,..., m }, B={,,..., n } R um rlção A m B. A mtriz mxn rlção R po sr oti sguint mnir: s i R j, ou sj, s ( i, j ) R r ij = s i \R j, ou sj, s ( i, j ) R M R é nomin Mtriz R. Rprsntção Rlçõs Exmplo : Sjm A={ {,,} B={r,s} rlção R A m B por R= { (,r),(,s),(,r)}. Então mtriz M R R é: M R(x) = Exmplo : Dfin rlção rprsnt pl mtriz: M R(x) = Solução: Como M é x, fzmos: A={,,} B={,,,} Então, omo (i,j)r s somnt s mij=, tmos: R={(,),(,),(,),(,),(,),(,)} Rprsntção Rlçõs DÍGRAFOS DE RELAÇÕES Sj R um rlção m um onjunto A={,,..., m }. Os lmntos A são rprsntos por pontos ou írulos hmos nós ou vértis. Os nós orrsponnts i j são intifios omo i j rsptivmnt. S i R j, isto é, s ( i, j ) R, ntão ont-s os nós i j trvés um ro olo-s um st no ro n irção i pr j. Quno toos os nós orrsponnts os prs ornos rlção R stivrm ontos trvés ro orintos, tm-s ntão um grfo orinto ou ígrfo rlção R. Rprsntção Rlçõs Exmplo : Sjm A={,,,} R={(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}. O ígrfo R é: Rprsntção Rlçõs Exmplo : Expliit rlção trmin plo ígrfo ixo:

4 Crtrizção s Propris usno Mtrizs Dígrfos Rflxiv: Mtrizs: A mtriz M R possui toos os lmntos igonl prinipl igul. Dígrfos: Pr toos os vértis o ígrfo, xistm rsts qu ligm o vérti l msmo. M R = Crtrizção s Propris usno Mtrizs Dígrfos Simétri: Mtrizs: A mtriz M R é simétri m rlção igonl prinipl, ou sj, [M R ]=[M R ] T. Dígrfos: S lgum vérti o ígrfo prtir um rst pr um outro vérti, v origtorimnt xistir um rst no sntio ontrário. M R = Crtrizção s Propris usno Mtrizs Dígrfos Assimétri: Mtrizs: A mtriz M R v tr igonl prinipl igul zro, lém isso, m ij m ji. Dígrfos: S lgum vérti o ígrfo prtir um rst pr um outro vérti, não po xistir um rst no sntio ontrário. Crtrizção s Propris usno Mtrizs Dígrfos Anti-Simétri: Mtrizs: A mtriz M R po tr igonl prinipl igul zro, lém isso, m ij m ji. Dígrfos: S lgum vérti o ígrfo prtir um rst pr um outro vérti, não po xistir um rst no sntio ontrário. M R = M R = Prtição Cortur um Conjunto Dfinição: Sj S um o onjunto A={A,A,...,A m } on A i é um suonjunto S m UA i =S i= Então o onjunto A é hmo ortur S os onjuntos A,A,...A m orm S. S lém isso, os onjuntos Ai form mutumnt isjuntos, ou sj m A i = i= Então A é hmo prtição S os onjuntos A,A,...A m são hmos loos S. Prtição Cortur um Conjunto Exmplo: Sj S={,,} onsirmos os sguints suonjuntos S, A={{,},{,}} B={{},{,}} C= {{},{,}} D={{,,}} E={{},{},{}} F= {{},{,},{,}} Os onjuntos A F são orturs S nqunto C, D E são prtiçõs S.

5 Rlção Equivlêni Dfinição: Um rlção R m um onjunto A é um Rlção Equivlêni s:. R for rflxivo;. R for simétrio;. R for trnsitivo. Exmplos: A igul númros m um onjunto númros ris; A similri triângulos m um onjunto triângulos; A rlção ntr linhs qu são prlls m um onjunto linhs um plno. Rlção Equivlêni Exmplos: Suponh qu mtríul os stunts m um Univrsi sig o squm: Iniil o Nom: Horário Mtríul: A-G H-N O-Z 8: :59 : - :59 : - 6:59 Sj R rlção qu ontém (x,y) x y são stunts om noms omçno om ltrs o msmo loo. Consqüntmnt, x y pom s mtriulr n msm hor s somnt s (x,y) R. Po-s notr qu R é rflxiv, simétri trnsitiv. Rlção Equivlêni Exmplos: D rlção R fini sor os Nturis omo: R={(x,y) x-y.mod.=} (rsto ivisão por = ) Pomos osrvr lguns os prs ornos st rlção...{...,(,),(,),(,),(,5),(5,),(,),(5,5),......,(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),...} Est rlção é rflxiv, simétri trnsitiv. É possívl intifir ois suonjuntos (prtiçõs ou loos) os Nturis on sts propris (rflxiv, simétri trnsitiv) s mntém. Ests us prtiçõs são: O suonjunto os Númros Prs o os Númros Ímprs. Clss Equivlêni Torm: Um rlção quivlêni num onjunto ivi-o m prtiçõs, olono os lmntos qu são rlionos um os outros num msm lss, nomin lss quivlêni. Ests lsss quivlêni pom sr trts omo ntis. Exmplo: A figur sguir mostr prtição o onjunto os Nturis m us lsss quivlêni. Prs Ímprs N Clss Equivlêni Exmplo: Sj A={,,,,5,6,7} sj R rlção móulo ongrunt por R={(x,y) (x-y) é ivisívl por } Mostr qu R é um rlção quivlêni, snh o grfo R trmin s lsss quivlêni grs plos lmntos A. R={(,),(,),(,),(,),(,7),(7,),(,7),(7,), (7,7),(,),(,5)(5,),(5,5),(,),(,6),(6,),(6,6)} 7 5 Clss Clss Clss 6 É Rflxiv, Simétri Trnsitiv. Rlçõs Equivlêni Exríios:. Sj A={,,,} sj rlção quivlêni R sor A fini por R={(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,). Dtrmin tos s lsss quivlêni R.. S {{,},{},{,5}} é um prtição o onjunto A={,,,,5}. Dtrmin rlção quivlêni R orrsponnt.. Sj A={,,}. Dtrmin s rlção R uj mtriz é ixo é um rlção quivlêni. Quis s lsss quivlêni? 5

6 Rlçõs Comptiili Dfinição: Um rlção R m A é hm um rlção omptiili s l é rflxiv simétri. Exmplo: Sj X={ll,, og, gg, lt} sj R rlção por R={(x,y) x y possum lgum ltr m omum}. R={(ll,ll),(,),(og,og),(gg,gg),(lt,lt), (ll,),(,ll),(ll,lt),(lt,ll),(,og),(og,), (,gg),(gg,),(,lt),(lt,),(og,gg),(gg,og) (gg,lt),(lt,gg)} Dsnho o grfo. Rlçõs Comptiili R é um rlção omptiili x y são hmos omptívis s xry. Emor um rlção quivlêni m um onjunto fin um prtição um onjunto m lsss quivlêni, um rlção omptiili não nssrimnt fin um prtição. Entrtnto, um rlção omptiili fin um ortur o onjunto. Rlçõs Orm Rlçõs são uss frqüntmnt pr lguns ou toos os lmntos um onjunto. Ornmos plvrs usno xry, on x vm nts o y no iionário. A rlção orm é um gnrlizção o onito mnor ou igul ( ) ou mior ou igul ( ). A rlção orm é intrn só xist s omprr lmntos o msmo onjunto. Um rlção orm é rflxiv, nti-simétri trnsitiv. Um onjunto A, junto om su rlção orm R é hmo post (prtilly orr st) é noto por (A,R). Rlçõs Orm Rlção Orm Totl Dfinição: Um rlção orm R m um onjunto não vzio A tl qu toos os lmntos A são omprávis pl R hm-s Rlção Orm Totl m A. x y(x,y A ^ (xry v yrx)) S toos os lmntos pom sr omprávis ntr si, st rlção é Orm Totl. Exmplo: A rlção no onjunto A={,,8,6,...,n,...) fini por x é múltiplo y é um rlção orm totl m A. A orm nturl x y no onjunto os númros ris é um rlção orm totl. Rlçõs Orm Rlção Orm Pril Dfinição: S rlção é rflxiv, nti-simétri trnsitiv ms não é univrsl, ou sj, não vl pr toos os lmntos o onjunto onsiro (lguns não são omprávis) é um Rlção Orm Pril. Exmplo: A rlção no onjunto os númros nturis por x y (rlção ivisiili) é um Rlção Orm Pril m N (rflxiv, nti-simétri trnsitiv), porqu ois númros nturis nm smpr são omprávis por st orm, omo, por xmplo, 5 7 (5 não ivi 7 7 não ivi 5). Rlçõs Orm Exmplo:. Mostr qu rlção é um rlção orm sor o onjunto os intiros. Dig s l é um rlção orm totl ou pril. Solução: ={(n,n) n n Z ^ n é mior ou igul n} pr too intiro => é rflxiv, ntão = => é nti-simétri, ntão => é trnsitiv Além isso pr qulqur Z, ou OU Logo, (Z, ) é um Rlção Orm Totl sor o onjunto os intiros.. Mostr qu rlção é um rlção orm sor o onjunto potêni o onjunto {,,}. Dig s l é um rlção orm totl ou pril. 6

7 Rlçõs Orm Digrms Hss Conjuntos munios um Rlção Orm Conjuntos munios um rlção orm são um rlção portnto po-s snhr su ígrfo. No ntnto, muits rsts não prism str prsnts m virtu s propris rlção orm (rflxiv trnsitiv). Pr simplifir rprsntção, rtir-s sus ígrfos s rsts qu smpr vm str prsnts. As struturs otis st form são hms DIAGRAMAS DE HASSE rlção orm. Digrms Hss Exmplo: Consir o ígrfo rlção orm sor o onjunto A={,,,}: Rflxiv loops pom sr omitios Trnsitiv Assumino s rsts pr im Sustitui-s os írulos por pontos Digrms Hss Exmplo : Sj A={,,,,6,8,}. Consir rlção ivisiili sor A Digrms Hss Dfiniçõs: S (A,R) é um onjunto munio um rlção orm, A, ntão:. S R, iz-s qu pr. S R não xist nnhum tl qu R R, izs qu é o prssor imito (srv-s ).. S R, iz-s qu su. S R não xist nnhum tl qu R R, izs qu é o sussor imito. Digrms Hss Outr mnir s onstruir Digrms Hss: O Digrm Hss um onjunto munio um rlção orm (A,R) é o ígrfo no qul os vértis são lmntos A. Existirá um rst um vérti pr um vérti smpr qu. Ao invés snhr um st pr, olo-s mis lto o qu snh-s um linh ntr ls. Fi suntnio qu o movimnto pr im ini sussão. Digrms Hss Exmplo : Sj S={,,} sj A=P(S) (o onjunto potêni S). Dsnh o Digrm Hss o onjunto munio rlção orm (A, ). A={,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}} {,} {} {,,} {,} {} {,} {} 7

8 Digrms Hss Exmplo : Sj A={,,,,6,8,9,,8,}. Dsnh o Digrm Hss o onjunto munio rlção orm ivi (A, ) Digrms Hss Exríio : Dtrmin o Digrm Hss rlção orm qu tm o sguint ígrfo: Digrms Hss Exríio : Dsrv os prs ornos rlção trmin plo Digrm Hss sor o onjunto A={,,,} o ixo. Dtrmin o Digrm Hss s rlçõs sor o onjunto A={,,,,5} uj mtriz é:. M= Elmntos Extrmos Rlçõs Dfinição: Consir o onjunto munio rlção orm (A,R). Então: ) Um lmnto A é hmo um lmnto mximl A s não xist A tl qu R. ) Um lmnto A é hmo um lmnto miniml A s não xist A tl qu R. Exmplos: (N*, ): lmnto miniml: mximl: não tm (R, ): lmnto miniml: não tm mximl: não tm ({,,,}, ): lmnto miniml:, mximl: Elmntos Extrmos Rlçõs Exmplos: Consir o onjunto munio rlção orm (A,R) su igrm Hss., são lmntos mximis A, são lmntos minimis A Elmntos Extrmos Rlçõs Exmplos: Quis lmntos o onjunto munio rlção orm ({,,5,,,,5}, ) são mximis quis são minimis? 5 5, 5 são lmntos mximis A 5 são lmntos minimis A 8

9 Elmntos Extrmos Rlçõs Dfinição: Sj o onjunto munio um rlção orm (A,R). Então: ) Um lmnto A é hmo um mior lmnto A s R pr too A. ) Um lmnto A é hmo um mnor lmnto A s R pr too A. Elmntos Extrmos Rlçõs Exmplos: A B C D (A): mnor lmnto é, não tm mnor lmnto. (B): não tm mnor lmnto, é o mior lmnto. (C): não tm mior nm mnor lmnto. (D): é o mnor lmnto, é o mior lmnto. Cminhos m Rlçõs Dígrfos Dfinição: Sj R um rlção sor o onjunto A. Um minho omprimnto n pr é um sqüêni finit =,x,x,...,x n-, tl qu: ARx, x Rx,..., x n- R Not qu um minho omprimnto n nvolv n+ lmntos A (não nssrimnt istintos). O moo mis fáil visulizr um minho é om o ígrfo um rlção: sussão rsts, sguino os sntios inios. Então: =,,5,, é um minho omprimnto. =,,5 é um minho omprimnto. =, é um minho omprimnto. 5 Cminhos m Rlçõs Dígrfos Um minho qu omç trmin no msmo vérti é hmo um ilo ( são ilos). Cminhos omprimnto são os prs ornos (x,y) qu prtnm R. Cminhos m rlçõs R pom sr usos pr finir novs rlçõs stnt útis. Dfinição: xr n y signifi qu há um minho omprimnto n x té y m R. Dfinição: xr y signifi qu há um minho x té y m R (R é hm rlção ontivi pr R). 5 Cminhos m Rlçõs Dígrfos Exmplo: Sjm A={,,,,} R={(,),(,),(,),(,),(,),(,)}. Expliit : )R )R Prouto Boolno A= B= (^)v(^) (^)v(^) (^)v(^) A B= (^)v(^) (^)v(^) (^)v(^) (^)v(^) (^)v(^) (^)v(^) v v v A B= v v v A B= v v v 9

10 Cminhos m Rlçõs Mtrizs S R é um rlção sor A={,,..., m } ntão M R =M R M R. Pr n> pr um rlção R sor A, ntão: M Rn = M R M R... M R (n ftors) Exmplo: Sjm A={,,,,5} M R = M R M R = = Exmplo: Sjm A={,,,,} R={(,),(,),(,),(,),(,),(,)}. Expliit : )R )R Rlçõs Extrns Qunto os onjuntos, um rlção é it EXTERNA s tomrmos os lmntos onjuntos istintos vrifirmos rlção ntr sts lmntos. Num rlção xtrn tmos: A A... An Exmplo: Dos os sguints onjuntos: P profssors; D isiplins ofris m um smstr; L os lois on srão ministrs s uls H os horários s uls: P={Pulo, Crlos, Mri, Hnriqu} D={INE5, INE58, INE577, INE5} L={CTC5, CTC, CTC, CTC} H={8-, -} Rlçõs Extrns As sguints rlçõs pom sr finis ntr sts onjuntos: Pulo INE577 Mri INE58 Pulo INE5 =R=Profssors x Disiplins Crlos INE5 Hnriqu INE5 INE5 CTC5 INE5 CTC =R=Disiplins x Sls INE577 CTC INE58 CTC INE5 8- INE5 - =R=Disiplins x Horários INE INE58 8- Rlçõs Extrns As su-rlçõs um rlção pom sr otis trvés xtrção propris qu rtrizm rlção. Isto é fito trvés oprçõs slção projção. Por xmplo o s slionr Pulo R ri-s um nov su-rlção qu ini quis s isiplins qu o profssor Pulo irá ministrr. Ests mnipulçõs pom sr fits no omputor utilizno lingugns s os omo SQL. Cominção Rlçõs Bináris D msm form qu nós pomos mnipulr onjuntos trvés s oprçõs união, intrsção, omplmnto, pomos utilizr sts oprçõs pr moifir ominr rfinr rlçõs xistnts pr prouzir novs rlçõs. Not qu, um vz qu rlçõs A m B são suonjuntos AxB, us rlçõs A m B pom sr omins toos os moos m qu s pur ominr ois onjuntos. Oprçõs ntr Rlçõs: Sjm R S us rlçõs A m B. Então s sguints rlçõs são finis:. ~R: Rlção Complmntr R é fini omo: (,) ~R (,) R Cominção Rlçõs Bináris Oprçõs ntr Rlçõs:. R S: Rlção Intrsção R om S é fini omo: (,) R S (,) R ^ (,) S. R S: Rlção União R om S é fini omo: (,) R S (,) R v (,) S. R - : Rlção Invrs R é fini omo: (,) R - (,) R

11 Cominção Rlçõs Bináris Oprçõs ntr Rlçõs: Exríios: Sjm A={,,,}, B={,,} R S A m B finis por: R={(,),(,),(,),(,),(,),(,)} S={(,),(,),(,),(,)} Mostrr: ) ~R = {(,),(,),(,),(,),(,),(,)} ) R S={(,),(,),(,)} ) R S={(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)} ) R - ={(,),(,),(,),(,),(,),(,)} Composição Rlçõs Bináris Dfinição: Sj R rlção A pr B S rlção B pr C. Então rlção srit omo RoS é hm rlção ompost R S on RoS={(x,z) x A ^ z C ^ y(y B ^ (x,y) R ^ (y,z) S)} A oprção otnção RoS R S é hm omposição rlçõs. Not: RoS é vzi s intrsção imgm R o omínio S for vzi. RoS não é vzi s xistir plo mnos um pr orno (x,y) R tl qu o sguno mmro for o primiro mmro um pr orno S. Composição Rlçõs Bináris Exmplo: Sjm A={,,,} s rlçõs R S sor A finis por: R={(,),(,),(,),(,),(,)} S={(,),(,),(,),(,),(,)} Como (,) R (,) S, ntão tmos qu (,) RoS. Tmém (,) R (,) S, ssim, (,) RoS. Continuno om st prosso, nontr-s qu: RoS={(,),(,),(,),(,),(,)} Composição Rlçõs Bináris Osrvçõs: Em grl RoS SoR Torm: A oprção omposição sor rlçõs é ssoitiv, isto é: (RoS)oP = Ro(SoP) Torm: Sjm A, B C onjuntos, R um rlção A m B S um rlção B m C. Então: (RoS) - = S - or - Composição Rlçõs Bináris Usno Grfos Atrvés os grfos R S po-s filmnt onstruir visulizr o grfo RoS. A R B S C m x n y o w p z f q A f RoS C x y w z Composição Rlçõs Bináris Exríios: Sj R={(,),(,),(,)} S={(,),(,5),(,),(,)}. Ah RoS, SoR, Ro(SoR), (RoS)oR, RoR, SoS RoRoR. RoS={(,5),(,),(,5)} SoR={(,),(,),(,)} Ro(SoR)={(,)} (RoS)oR={(,)} RoR={(,),(,)} SoS={(,5),(,),(,)} RoRoR={(,),(,)}

12 Composição Rlçõs Bináris Exríios: Sj R S us rlçõs sor o onjunto os nturis positivos N + : R={(x,x) x N + } S={(x,7x) x N + } Ah RoS, SoR, RoR, RoRoR RoSoR. RoS={(x,x) x N + } SoR={(x,x) x N + } RoR={(x,x) x N + } RoRoR={(x,8x) x N + } RoSoR={(x,8x) x N + } Composição Rlçõs Bináris Composição usno Mtrizs Rlçõs Torm: S R é um rlção A m B S é um rlção B m C, ntão: M RoS =M R M S Além isso, s A =m (rinli A = m), B =n C =p: M R tm orm mxn M S tm orm nxp M RoS tm orm mxp Pr onstruir mtriz MRoS, prorrmos iésim linh MR Késim olun MS prourno o mnos lmnto j, tl qu o lmnto posição j linh posição j olun prorri sj. Então posição [i,k] MRoS r, so ontrário r. Composição Rlçõs Bináris Exmplo: Sj A={,,} sjm R S rlçõs sor A om mtrizs: M R = M s = R={(,),(,),(,),(,),(,),(,)} S={(,),(,),(,),(,),(,)} RoS={(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)} E mtriz rlção ompost RoS é: M RoS = Composição Rlçõs Bináris Exríio: Sj A={,,,,5} sjm R={(,),(,),(,)} S={(,),(,5),(,),(,)}. Otr s mtrizs RoS SoR. M R = M s = M RoS = M SoR = Rtiulos Vmos voltr s Rlçõs Orm: Rlmrno lguns onitos funmntis: ) Um lmnto A é hmo um lmnto mximl A s não xist A tl qu R. ) Um lmnto A é hmo um lmnto miniml A s não xist A tl qu R. ) Um lmnto A é hmo um mior lmnto A s R pr too A. ) Um lmnto A é hmo um mnor lmnto A s R pr too A. Rtiulos Alguns Conitos Novos: Dfinição: Consir um POSET (A,R) um suonjunto B A. ) Um lmnto A é hmo ot suprior B s R pr too B. ) Um lmnto A é hmo ot infrior B s R pr too B. Exmplo: Consir o POSET ={,,,,,f,g,h}, ujo igrm Hss é mostro. Ah tos s ots supriors infriors pr os suonjuntos B={,}; ={,,}. B não tm ot infrior. h,,,f,g h são ots supriors f g B. f,g h são ots supriors B. são ots infriors.

13 Rtiulos Mis Alguns Conitos Novos: Dfinição: Consir um POSET (A,R) um suonjunto B A. ) Um lmnto A é hmo mnor ot suprior (LUB) B s for um ot suprior B R, smpr qu é um ot suprior B. ) Um lmnto A é hmo mior ot infrior (GLB) B s for um ot infrior B R, smpr qu é um ot infrior B. Exmplo: Consir o POSET ={,,,,,f,g,h} B={,}; ={,,}. Ah os ULB GLB B B. LUB(B)= GLB(B)= f h g Rtiulos Exmplo: Sj A={,,,,5,...,} o POSET ujo igrm Hss é mostro. Ah mnor ot suprior mior ot infrior B={6,7,} s ls xistirm Rtiulos Dfinição: Um POSET (A,R) é hmo um RETICULADO s too pr lmntos {,} possui tnto um mnor ot suprior (LUB), omo um mior ot infrior (GLB). Osrvçõs: Rtiulos possum muits propris spiis. São usos m muits pliçõs ifrnts tis omo molo fluxo informçõs. Els tmém tm um ppl importnt n álgr ooln. Dnot-s o LUB({,}) por v (oprção junção) not-s o GLB({,}) por ^ (oprção nontro). Rtiulos Exmplo: Dtrmin s os POSETS rprsntos por um os igrms Hss ixo são rtiulos. f f h f g Os posts (A) (C) são rtiulos, pois pr lmntos tm tnto um LUB omo um GLB. Já o post (B) não é um rtiulo, pois os lmntos não possum mnor ot suprior (LUB). (not qu,, f são ots supriors, ms nnhum pr os outros ois) Rtiulos Alguns Exmplos Intrssnts: Sj S={,,} L=P(S). Como smos, é um rlção orm pril m L (L, ). Dtrmin s (L, ) é um rtiulo. Not qu pr quisqur onjuntos A B L, ntão junção A B (AvB) é su união A B, o nontro A B (A^B) é su intrsção A B. Logo, L é um rtiulo. {,} {} {,,} {,} {} {,} {} Rtiulos Alguns Exmplos Intrssnts: Consir o post (Z +, ), on pr m Z +, s é ivisívl por. Então (Z +, ) é um rtiulo m qu s oprçõs junção nontro são rsptivmnt: v = mm(,) ^ = m(,)

14 Rtiulos Exríio: Quis os igrms Hss sguir rprsntm rtiulos? f g f ) ) ) ) ) f) g)