UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE MATEMÁTICA SANDRO AZEVEDO CARVALHO

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1 86 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE MATEMÁTICA SANDRO AZEVEDO CARVALHO PENSAMENTO GENÉRICO E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS NO ENSINO FUNDAMENTAL SEQUÊNCIA DIDÁTICA Orintor: Pro. Dr. Cyr Cvon Ripoll Porto Algr 2010

2 87 SEQUÊNCIA DIDÁTICA A squêni iáti sguir onsist m um prévi milirizção os lunos om o pnsmnto gnério om o métoo mtmátio rgumntção, n qul s z um rvisão ontúos ritmétios sxto sétimo nos, trvés qustõs rátr gnério. Ns qustõs ntizm-s s propris s oprçõs om númros nturis, intiros rionis xplor-s, prllmnt, o pnsmnto gnério m im ontúos qu torimnt são milirs os lunos. Entr s propris stus, stm-s omuttivi ssoitivi ição multiplição istriutivi multiplição m rlção à ição. O motivo solh ss ontúo é qu s propris s oprçõs om númros são o qu justiim s oprçõs nvolvno xprssõs lgéris polinomiis, ojtivo mior issrtção. Sno ssim, os sguints ssuntos são trtos nst squêni iáti: 1. Qu tipo rsposts po-s nontrr o rsolvr prolms mtmátios? 2. Os lgoritmos s qutro oprçõs lmntrs. 3. Disussõs gnéris sor s oprçõs sutrção ivisão sor múltiplos ivisors. 4. Pri rsto ivisão númros nturis. 5. Divisiili. 6. Propris s oprçõs: omuttivi ssoitivi ição multiplição istriutivi multiplição m rlção à ição, nvolvno os mpos numérios N, Z, Q. Em ul onstm os ojtivos spíios, o rotiro s qustõs srm proposts, os proimntos s xpttivs. Durnt s uls usm-s smpr os sguints ojtivos gris: Fmilirizr os lunos om o rioínio gnério, prtir prsntção qustõs rátr gnério. Estimulr rgumntção omunição iéis mtmátis, tnto por srito qunto orlmnt, ntizno nssi qu os rgumntos sjm unmntos mtmtimnt.

3 88 Fmilirizr os lunos, os pouos, om o uso ltrs pr rprsntr númros mnir gnéri, introuzino nturlmnt s xprssõs lgéris sus oprçõs. Aul 1: Qu tipo rsposts pomos nontrr o rsolvr prolms mtmátios? Ojtivos: Aprsntr propost trlho. Com o ojtivo omçr smistiir Mtmáti m rlção qustõs uj rspost é pns um númro, hmr tnção os lunos milirizá-los om lguns irnts tipos rsposts possívis m Mtmáti: um númro, mis um númro, porém um qunti init, um inini númros, um impossiili, um xprssão, um xplição ou justiitiv, um igur, t. Iniir rápi songm onhimntos mtmátios os lunos. Rotiro qustõs: 1. Prnh o quro om um númro qu lt pr qu igul 5 + = 9 sj vrir. 2. Prnh os quros om númros nturis qu ltm pr qu igul + = 9 sj vrir. 3. Agor, rsolv qustão 2 utilizno númros intiros. 4. Enontr um númro qu, o sr lvo o quro, ê omo rsulto um númro ngtivo. 5. Esrv m lingugm mtmáti: som ois númros rprsntos por x por y. 6. Expliqu porqu o númro 2 é o únio númro primo pr. Proimntos: Aul xpositiv m qu o prossor z prgunts orlmnt ou no quro os lunos, prourno stlr um iálogo om os msmos, stimulno-os rlxõs justiitivs pr sus rsposts.

4 89 Expttivs: Espr-s qu os lunos prm ( s surprnm té!) om lgums irnts possiilis rsposts pr prolms Mtmáti. Espr-s tmém, lgum iiul m rlção às prgunts sor númros intiros srit lgéri. Auls 2 3: Algoritmos Aição, Sutrção, Multiplição Divisão Númros Nturis Ojtivos: Lvntr qustionmntos om os lunos sor os lgoritmos ição, multiplição sutrção númros nturis. Lmrr ou prsntr os noms os trmos s oprçõs om ojtivo ilitr omunição utur. Iniir o trlho om qustõs rátr gnério. Sonr s strtégis álulo mntl utilizs plos lunos, im sonr s ls plim orm onsint lgums propris s oprçõs om númros nturis ou s tntm simplsmnt rptir mntlmnt os lgoritmos triionis. Rotiro qustõs: ) Num prti vío gm, Crlos z 2597 pontos Anrson z 1110 pontos mis. Quntos pontos os ois izrm o too? ) Em outr prti, Crlos z 7621 pontos Anrson z 6235 pontos. Crlos z quntos pontos mis qu Anrson? A prtir rsolução s qustõs () (), zr os sguints qustionmntos: 1. Quno é qu oorr o vi 1 ns içõs nvolvno us prls? O qu signii o vi 1 nsss içõs? 2. Ns sutrçõs, quno é qu prismos pir mprsto? O qu signii pgr 1 mprsto? E por qu o próximo lgrismo i vlno um uni mnos o qu nts mprstr 1? 3. N multiplição, por qu vmos ixr um s m rno quno o sguno tor tm ois lgrismos? 4. Clul mntlmnt rgistr su pnsmnto no rno:

5 90 ) = ) = ) = ) 3 24 = ) 5 81 = ) 7 45 = g) = Proimntos: Aul xpositiv m qu o prossor z prgunts os lunos, orlmnt no quro, prourno stlr um iálogo om os msmos, stimulno-os rlxõs justiitivs pr sus rsposts. Expttivs: Espr-s qu os lunos prsntm úvis qunto o nom os trmos s oprçõs iiuls pr omunir sus iéis o grupo. Espr-s um o prtiipção turm. Aul 4, 5 6: Introução Ltrs pr Rprsntr Númros n Aorgm Sutrção Divisão Númros Nturis Ojtivos: Ronhr utilizr os noms os trmos s oprçõs omo um ilitor omunição. Rlmrr o signiio os símolos <, >,. Osrvr qu no onjunto os númros nturis nm smpr é possívl tur um sutrção ou um ivisão. Introuzir o trmo ontrxmplo ronhr st nomnltur omo um ilitor omunição. Fzr um rv rvisão sor ivisiili no onjunto os númros nturis (númros primos númros ompostos, onjunto ivisors onjunto múltiplos). Rotiro qustõs:

6 91 1. Sor sutrção númros nturis Chmmos irnç ou rsto o rsulto sutrção ois númros. Di s irmção qu sgu é vrir ou ls, justiino su isão. A irnç ntr ois númros nturis quisqur é smpr um númro nturl. ) Exist lgum númro nturl, qui rprsnto pl ltr, qu z om qu o rsulto sutrção númros? 10 sj um númro nturl? S xistir, qul é ou quis são sts ) Qul v sr o mnor númro nturl, rprsnto pl ltr n, moo qu o rsulto sutrção n 14 sj um númro nturl? ) Como vm sr ois númros nturis pr qu irnç ntr ls sj um númro nturl? ) Como vm sr ois númros nturis, rprsntos por por, pr qu irnç sj um númro nturl? 2. Sor ivisão númros nturis: ) Di s irmção qu sgu é vrir ou ls, justiino su isão: A ivisão ntr númros nturis quisqur rsult smpr m um númro nturl. (Em ul, v-s ntizr qu ivisão sj xt). ) Exist lgum númro nturl rprsnto por, moo qu rsulto ivisão 12 é um númro nturl? S xistir, qul é ou quis são sts númros? ) Exist lgum númro nturl y tl qu ivisão 7 y tnh por rsulto um númro nturl? S xistir, qul é ou quis são sts númros? ) Como pomos rprsntr o númro nturl x moo grntir qu o rsulto ivisão x 7 sj um númro nturl? Proimntos: Pr primir prt tivi (sutrção númros nturis) s qustõs srão srits no quro os lunos trlhrão iniviulmnt. Dpois isso, o prossor stimulrá um isussão om turm, xplino orrigino s qustõs, ino um luno rsponsávl por ntrgr um olh om s rsposts onsirs initivs.

7 92 Pr sgun prt (ivisão númros nturis), turm srá ivii m grupos. Novmnt, s qustõs srão srits no quro. Toos os lunos vm opir rsponr s qustõs no rno grupo ntrg um olh om s rsposts pr o prossor. No trlho m grupos, prtiipção o prossor vrá sr mínim s onntrr m úvis pontuis. Após o trlho m grupos, s soluçõs srão isutis no grn grupo um luno irá rsponsávl por srvr um rltório, om s soluçõs onsirs inis. Expttivs: Durnt o trlho iniviul, spr-s qu os lunos tnhm muit iiul om o tipo nunio s qustõs. No trlho m grupos, spr-s qu os lunos isutm ntr si irnts soluçõs, xprssno sus pontos vist. Espr-s tmém qu os lunos prsntm iiuls pr omunirm sus iéis orlmnt ou por srito. Ain, spr-s lgum iiul om o uso ltrs pr rprsntr númros. Aul 7 8: Propris Comuttiv Assoitiv Aição Multiplição Númros Nturis Ojtivos: Rvisr ou prsntr s propris s oprçõs om númros nturis, m prtiulr, omuttivi ssoitivi ição multiplição, lmrno ou prsntno os noms os às propris om ojtivo o ilitr omunição utur. Justiir mnir pris s propris omuttiv ssoitiv ição multiplição númros nturis. Rotiro qustõs: 1. Osrv s sguints sntnçs: Pr toos os númros nturis m n, m + n = n + m m n = n m ) Tnt nunir om plvrs sss sntnçs mtmátis. O qu ls signiim? ) As sntnçs im são propris (rtrístis) ição multiplição númros nturis. Alguém onh o nom sss propris? ) Voê onsgu nontrr um xmplo plição sts propris?

8 93 ) A sutrção númros nturis tmém possui propri omuttiv? Justiiqu. 2. Osrv s sguints sntnçs: Pr toos númros nturis,, ( + ) + = + ( + ) ( ) = ( ) ) Tnt nunir om plvrs sss sntnçs mtmátis. O qu ls signiim? ) As sntnçs im são propris (rtrístis) ição multiplição númros nturis. Alguém onh o nom sss propris? ) Voê onsgu nontrr um xmplo plição sts propris? ) A sutrção nturis tmém possui propri ssoitiv? Justiiqu. Proimntos: Ants ormulr s qustõs, o prossor xpõ um ul sor s propris s oprçõs justiino-s prtir mtril mnipultivo o ontxto gométrio, (o tlhmnto msm nontr-s n issrtção). Pr rlizção tivi, turm srá ivii m grupos. As qustõs srão srits no quro, om xção (1) (2) qu já mnionm o nom s propris srão ixs pr pois rsponis s qustõs (1) (2). Toos os lunos vm opir rsponr s qustõs no rno grupo ntrg um olh om s rsposts pr o prossor. Prtn-s qu prtiipção o prossor sj mínim s onntr m úvis pontuis. Após o trlho m grupos, s soluçõs srão isutis no grn grupo um luno irá rsponsávl por srvr um rltório, om s soluçõs onsirs inis. Expttivs: Espr-s qu os lunos prsntm um mior snvoltur n omunição n rgumntção mtmáti, ms qu in prsntm iiuls nst tr. Espr-s tmém um mior miliri om o uso s ltrs pr rprsntr númros. Imgin-s qu os lunos não onsigm rsponr s qustõs (1), (1), (2) (2), pois provvlmnt ns séris ntriors não tivrm um trlho muito oo ns propris s oprçõs. Espr-s qu os lunos tnhm mis snvoltur om o uso ontrxmplos, proporion pls uls ntriors.

9 94 Auls 9 10: Rsto Divisão Númros Nturis Ojtivos: Rvisr onitos nvolvios m ivisiili intiros positivos, m prtiulr sor o rsto ivisão, hj vist mior iiul m grl prsnt plos lunos qunto à ivisão. Rotiro qustõs: 1. Um prossor tm 50 omons pr istriuir ntr sus 14 lunos. Qul é o númro mínimo omons qu l vrá omprr moo qu, o juntr om sts 50 omons qu l já possui, toos os lunos rm msm qunti qu não sorm omons? 2. Quis são os rstos possívis n ivisão um númro nturl por 2? E por 7? 3. Quis são os rstos possívis n ivisão um númro nturl por, 0? Justiiqu. 4. Ao iviirmos 25 por 7, otmos o rsto igul 4 (onirm isto!). Qunto sorrá s iviirmos por 7? E quno iviirmos por 7? 5. S, o iviirmos um númro nturl n por 7 otivmos rsto 4, qul srá o rsto quno iviirmos n + 2 por 7? E n + 5 por 7? Proimntos: Pr rlizção tivi, turm srá ivii m upls ou trios. Novmnt, s qustõs srão srits no quro. Toos os lunos vm opir rsponr s qustõs no rno grupo ntrg um olh om s rsposts pr o prossor. Prtn-s qu prtiipção o prossor sj mínim s onntr m úvis pontuis. Após o trlho m grupos, s soluçõs srão isutis no grn grupo um luno irá rsponsávl por srvr um rltório om s soluçõs onsirs inis. Expttivs: Espr-s qu os lunos onsigm tur pssgm solução sos prtiulrs pr o so gnério om mis snvoltur. Espr-s tmém um prtiipção tiv os lunos.

10 95 Aul 11: Quoint Rsto Divisão Númros Nturis Ojtivos: Rotiro qustõs: Rvisr onitos quoint rsto n ivisão númros nturis. Avnçr no sntio gnrlizr s qustõs trlhs n ul ntrior. 1. O quoint ivisão um númro intiro positivo n por 8 é 5 o rsto é zro. Quis são o quoint o rsto ivisão n + 8 por 8? E n 8 por 8? 2. O quoint ivisão um númro intiro positivo n por um númro intiro positivo m ( m 0 ) é 6 o rsto é zro. Quis são o quoint o rsto ivisão n m por m? E n m por m? 3. O quoint ivisão um númro intiro positivo n por 4 é 7 o rsto é 2. Quis são o quoint o rsto ivisão n + 4 por 4? E n 4 por 4? 4. Sno qu n é um múltiplo 4, quis são o quoint o rsto ivisão n + 4 por 4? E n 4 por 4? Proimntos: Pr rlizção tivi, turm srá ivii m upls ou trios. Novmnt, s qustõs srão srits no quro. Toos os lunos vm opir rsponr s qustõs no rno grupo ntrg um olh om s rsposts pr o prossor. Prtn-s qu prtiipção o prossor sj mínim s onntr m úvis pontuis. Após o trlho m grupos, s soluçõs srão isutis no grn grupo um luno irá rsponsávl por srvr um rltório om s soluçõs onsirs inis. Expttivs: Pr st tivi, spr-s qu os lunos tnhm um mior snvoltur no trtmnto ivisão vio à tivi it ntriormnt. Espr-s qu os lunos onsigm plir um rioínio gnério pr rsolvr s qustõs qu nontrm mis ili pr srvr omunir os rsultos. Espr-s tmém um mior utonomi por prt os lunos.

11 96 Auls 12 13: Divisiili m N Ojtivos: Rvisr onitos nomnlturs nvolvios m ivisiili intiros positivos (múltiplos, ivisors, sr ivisívl, t.) Rvisr o onito númro primo. Rotiro qustõs: 1. O númro N é otio multiplino-s toos os númros nturis 1 té 7. Di s s irmçõs ixo são vrirs ou lss, justiino sus rsposts: ) N é ivisívl por 5. ) N é múltiplo 9. ) O númro 11 é tor N. ) O númro 6 é ivisor N. 2. O númro B é otio pl multiplição toos os númros 1 té n. Qul v sr o mnor vlor n moo qu B sj ivisívl por: ) 5 ) 6 ) 9 ) 15 ) 17 ) Já vimos m qustão ntrior qu os possívis rstos ivisão um númro nturl por 2 são... ou... Pnsno ntão n ivisão por 2, srá qu xist lgum rlção ntr um númro nturl sr pr ou ímpr o rsto ivisão por 2? S xistir, srv st rlção ê um intrprtção pr o quoint ivisão. Proimntos: Pr rlizção tivi, turm srá ivii m upls ou trios. Novmnt, s qustõs srão srits no quro. Toos os lunos vm opir rsponr s qustõs no rno grupo ntrg um olh om s rsposts pr o prossor. Prtn-s qu prtiipção o prossor sj mínim s onntr m úvis pontuis. Após o trlho m grupos, s soluçõs srão isutis no grn grupo um luno irá rsponsávl por srvr um rltório om s soluçõs onsirs inis. Expttivs: Espr-s qu os lunos não rorm ou tnhm iiuls om os onitos ivisor, tor, múltiplo, sr ivisívl por númros primos, té msmo pl xpriêni qu

12 97 tivmos m uls ntriors. Apsr sts iiuls, spr-s qu os lunos onsigm rgumntr ou justiir orm mis utônom sus soluçõs. Aul 14: Aição Númros Prs Ímprs Ojtivos: Justiir prismnt pri som nvolvno númros prs ímprs. Rotiro qustõs: 1. Expliqu omo ronhmos s um trmino númro nturl é pr ou ímpr. 2. Rspon om V pr vriro ou om F pr lso, justiino su rspost.. ( ) A som ois númros prs é smpr pr.. ( ) A som ois númros ímprs é smpr ímpr.. ( ) A som um númro pr om um númro ímpr é smpr pr.. ( ) A som ois númros ímprs é smpr pr. Proimntos: Pr rlizção tivi, turm srá ivii m upls ou trios. Novmnt, s qustõs srão srits no quro. Toos os lunos vm opir rsponr s qustõs no rno grupo ntrg um olh om s rsposts pr o prossor. Prtn-s qu prtiipção o prossor sj mínim s onntr m úvis pontuis. Após o trlho m grupos, s soluçõs srão isutis no grn grupo um luno irá rsponsávl por srvr um rltório om s soluçõs onsirs inis. Expttivs: Espr-s qu os lunos utilizm o rgumnto, trlho n ul ntrior, ormr upls lunos vriino s sorou ou não lgum luno sm upl, im justiir s rsposts s qustõs sor pri. Tmém s spr mior omptêni m rlção à orgnizção srit s rsposts. Aul 15: Pri Númros Nturis Consutivos

13 98 Ojtivos: Justiir prismnt pri som nvolvno númros prs ímprs. Rlmrr os onitos sussor um númro nturl númros nturis onsutivos. Rotiro qustõs: Ns qustõs ixo, omplt om V s irmção or vrir ou om F s or ls, justiino rspost: 1. A som um númro nturl om su sussor é. ( ) smpr pr.. ( ) às vzs pr, às vzs ímpr.. ( ) smpr ímpr. 2. A som três númros nturis onsutivos é. ( ) smpr pr.. ( ) smpr ímpr.. ( ) às vzs pr, às vzs ímpr. 3. Em qu sos som três númros nturis onsutivos rsult m pr? E m qu sos rsultm m ímpr? Justiiqu. Proimntos: Os msmos qu ul ntrior. Expttivs: Espr-s qu os lunos utilizm os rsultos ul ntrior im justiir sus rsposts às tivis st ul. Espr-s qu os lunos prsntm úvis qunto os onitos sussor um númro nturl númros onsutivos. Aul 16: Multiplição Númros Prs Ímprs Ojtivos: Justiir prismnt pri o prouto nvolvno númros prs ímprs. Rvr onito sussor, oro triplo um númro nturl.

14 99 Rotiro qustõs: Ns qustõs ixo, omplt om V s irmção or vrir ou om F s or ls, justiino rspost: 1. O prouto um númro nturl om su sussor é ( ) smpr pr. ( ) smpr ímpr. ( ) às vzs pr, outrs vzs ímpr. 2. O oro um númro nturl é ( ) smpr ímpr. ( ) smpr pr. ( ) às vzs pr, outrs vzs ímpr. 3. O sussor o oro um númro nturl é ( ) smpr pr. ( ) smpr ímpr. ( ) às vzs pr, outrs vzs ímpr. 4. O triplo um númro nturl é ( ) smpr pr. ( ) smpr ímpr. ( ) às vzs pr, outrs vzs ímpr. 5. Em qu so o triplo um númro nturl srá pr? E Em qu so srá ímpr? Proimntos: Ants lnçr s qustõs, o prossor rtom ul ntrior qustion sor pri multiplição nturis, qul srá isuti juntmnt om os lunos. Pr rsponr s qustõs mnions im, turm não srá ivii m grupos. Os lunos trão lir trlhrm iniviulmnt ou m onjunto om outros olgs. Prtn-s qu prtiipção o prossor s rstrinj úvis pontuis, sno mínim st prtiipção. As qustõs srão psss um vz srá o um tmpo pr qu os lunos isutm rsolvm s msms. Expttivs: Espr-s qu os lunos prsntm um o snvoltur n solução s qustõs, vio à smlhnç om s tivis its ns uls ntriors. Aul 17: Propri Distriutiv Multiplição Númros Nturis

15 100 Ojtivos: Rvisr ou prsntr propri istriutiv multiplição m rlção à ição m N. Justiir istriutivi m N. Rvr o onito ár um rtângulo. Aplir propri istriutiv multiplição no álulo mntl. Rotiro qustõs: 1) Quntos pontos há m igur? Quntos são zuis? Quntos são or--ros? Cont os pontos utilizno strtégis ivrss. 2) Esrv um xprssão qu rprsnt ár o rtângulo ixo: ) Consirno o rtângulo los mis ( +). ) Consirno o rtângulo zul o rtângulo or ros. 3) Esrv um xprssão qu rprsnt ár o rtângulo zul ixo:

16 101 ) Consirno o rtângulo los mis ( - ). ) Consirno o rtângulo too o rtângulo or ros. 4) Clul os sguints proutos utilizno propri istriutiv multiplição: ) 8 23 = ) 6 25 = ) 2 19 = ) = ) 12 9 = ) = 5) Clul mntlmnt: ) 5 24 = ) 6 15 = ) 8 39 = Proimntos: Iniilmnt, ul xpositiv m qu o prossor qustion o grupo nqunto prsnt o ssunto ul, poio no ontxto numério gométrio. Postriormnt, xríios pr prtir o uso propri istriutiv nvolvno númros nturis. Finlmnt, xríios álulo mntl rgistro o proimnto álulo mntl. Expttivs: Espr-s qu os lunos onsigm omprnr propri istriutiv multiplição m rlção à ição númros nturis prm su utilizção no lgoritmo multiplição inorporm, plino-, por xmplo, no álulo mntl. Aul 18: Númros Intiros (Conitos Gris) Ojtivos: Rvisr onitos nvolvios no mpo numério os intiros (númros positivos,

17 102 númros ngtivos, lolizção n rt numéri, móulo, oposto ou simétrio, rgrs ição). Prprr os lunos om onitos qu srão útis pr nminhmntos uturos, tis omo s justiitivs pr s propris s oprçõs om númros intiros, postriormnt, om númros rionis. Rotiro qustõs: 1) Cit lgums situçõs m qu é nssário rprsntr um númro ngtivo. 2) No onjunto os númros nturis, irnç ntr ois númros nm smpr é um númro nturl, por xmplo, 3 5 não á omo rsulto um númro nturl. E irnç ntr ois númros intiros smpr é um númro intiro? 3) Qul númro nturl é o ntssor o zro? Qul númro intiro é o ntssor o zro? 4) Exist lgum numro intiro qu não possui ntssor? 5) Consir rt numéri ixo, on stão mros lguns númros intiros rprsntos pls ltrs o, x, y, w z. O númro mro om ltr o rprsnt o númro zro. Rspon om V ou F, justiino su rspost: ( ) x é um númro ngtivo. ( ) y é um númro positivo. ( ) w z. ( ) S istâni x té o zro é igul à istâni z té o zro, ntão x z são opostos. ( ) x z. ( ) z é ngtivo. ( ) wé positivo. Proimntos: Aul xpositiv m qu o prossor lnç qustõs os lunos im qu ls rtomm onitos rltivos o mpo numério os intiros. Alguns sptos qu prtnmos rtomr são: situçõs prátis uj rprsntção nssit os númros intiros, irnçs smlhnçs ntr os númros nturis os númros intiros, istriuição os númros intiros num rt numéri, o onito móulo um númro

18 103 intiro, oprçõs nvolvno os númros intiros, t. O prossor prourrá irionr s prgunts, os onitos iniiis, tis omo móulo oposto, às oprçõs om intiros. Expttivs: Espr-s qu os lunos onsigm lmrr-s lguns onitos sor os númros intiros, ms tmém s imgin qu prsntm iiuls qunto o onito móulo sor s rgrs s oprçõs. Espr-s um prtiipção tiv os lunos n isussão. Aul 19: Comuttivi Assoitivi Aição Comuttivi Multiplição Númros Intiros Ojtivos: Rvr s rgrs multiplição númros intiros nvolvno ois tors. Justiir propri omuttiv ição multiplição propri ssoitiv ição númros intiros. Rotiro qustõs: Pr st ul, não oi loro um rotiro rígio qustõs pr os lunos trlhrm iniviulmnt ou m grupos. Proimntos: Aul xpositiv m qu prossor lunos rtomm s rgrs ição multiplição númros intiros prourm justiir s propris s oprçõs om sss númros utilizno rsultos trlhos m uls ntriors (prtino lgums hipótss sor s prls os tors utilizno omuttivi ição multiplição númros nturis). Conorm o snrolr ul, o prossor orlmnt onvi os lunos prtiiprm, qustionno-os sor os pssos rgumntção, rvno onitos qu strão sno utilizos soliitno qu rçm sozinhos lguns rgumntos. I) Inii-s ul rtomno s propris ição multiplição númros nturis. II) Após isso, rvism-s s rgrs ição, pss-s trtr omuttivi ss oprção, poino-s no qu já é onhio sor s propris s oprçõs om númros nturis ns rgrs s oprçõs om númros intiros:

19 104 Prls msmo sinl: sommos os móulos os númros, prmnno o sinl omum os ois númros. Prls sinis ontrários: sutrímos os móulos os númros (mior mnor), prmnno o sinl o númro om mior móulo. III) Hipótss iniiis pr o trlho: númros intiros om 0, 0. Dst orm, os símolos omo rtmnt rprsntm númros intiros ngtivos ou zro,,, trímos qu. 1º so - prls positivs:. Justiitiv: Pls hipótss iniiis, pom sr nros omo númros nturis, ição númros nturis é omuttiv. 2º so - prls om sinis irnts. Móulo o positivo mior ou igul o móulo o ngtivo:. Justiitiv: Tmos qu. D msm orm,. Móulo o positivo mnor ou igul o móulo o ngtivo:.. Justiitiv: Tmos qu. D mnir nálog, 3º so - prls ngtivs:.. Justiitiv: Tmos qu. D orm nálog, Ms,., pois os pom sr nros omo númros nturis, ição númros nturis é omuttiv. IV) Qunto à ssoitivi ição númros intiros, vio o grn númro sos onsirr pns nunimos, pós lguns xmplos prtiulrs: s, rprsntm númros intiros quisqur, ntão.

20 105 V) A omuttivi multiplição númros intiros orr orm smlhnt à ição prtir s sguints rgrs: Ftors msmo sinl: multiplimos sus móulos o rsulto i positivo. Ftors sinis ontrários: multiplimos sus móulos o sinl i ngtivo. 1º so tors positivos: Justiitiv: Pls hipótss iniiis, pom sr nros omo númros nturis já smos qu multiplição númros nturis é omuttiv. 2º so tors ngtivos:. Justiitiv: Tmos qu. justii no 1 o so,. D orm nálog pl omuttivi 3º so tors sinis irnts: i) Justiitiv: Tmos qu. Como é positivo ou zro, ntão, sgurmnt é ngtivo ou zro. D msm orm,, pl msm rgr ntrior pl omuttivi multiplição númros intiros positivos, já justii no 1º so.. ii) Justiitiv: Análog à ntrior. Expttivs: Espr-s, iníio, lgum iiul no ntnimnto o ssunto por prt os lunos, vio não só à gnrli os rgumntos, ms tmém, vio à lt poio m mtril onrto ou ontxto gométrio. No ntnto, om o nmnto ul, sprs qu os lunos omm ompnhr mlhor os rioínios, osrvno o su nmnto s s hipótss iniiis té s onlusõs. Aul 20: Assoitivi Multiplição Númros Intiros

21 106 Ojtivos: Justiir propri ssoitiv multiplição númros intiros. Rotiro qustõs: Não oi loro um rotiro rígio qustõs pr st ul. Proimntos: Aul xpositiv m qu prossor lunos prourm justiir propri ssoitiv multiplição númros intiros. Conorm o snrolr ul, o prossor orlmnt onvi os lunos prtiiprm, qustionno-os sor os pssos rgumntção, rvno onitos qu stão sno utilizos soliitno qu rçm sozinhos lguns rgumntos. Pr multiplição nvolvno três tors, há s sguints possiilis: Consirm-s três númros intiros 0, º so: Nst so,,, pom sr intrprtos omo númros nturis, pr os quis ssoitivi multiplição já stá grnti. Portnto 2º so: Prtn-s mostrr qu.. Iniilmnt, tm-s

22 107. D orm nálog,. Conlui-s qu 3º so:. Prtn-s mostrr qu Tm-s qu Por outro lo, Portnto,.... Os mis sos são justiios orm nálog. Expttivs: Espr-s qu os lunos monstrm mlhor snvoltur ntnimnto o ssunto ul vio às sus xpriênis m uls ntriors. Espr-s um prtiipção mior os lunos n tivi. Auls 21 22: Distriutivi Multiplição Númros Intiros Ojtivos: Justiir propri istriutiv multiplição m rlção à ição nvolvno númros intiros. Rotiro qustõs:

23 108 Não oi loro um rotiro rígio qustõs pr st ul. Proimntos: Aul xpositiv m qu prossor lunos prourm justiir propri istriutiv multiplição m rlção à ição númros. Conorm o snrolr ul, o prossor orlmnt onvi os lunos prtiiprm, qustionno-os sor os pssos rgumntção, rvno onitos qu strão sno utilizos soliitno qu rçm sozinhos lguns rgumntos. I) Inii-s ul rvisno propri istriutiv multiplição nvolvno númros nturis. II) Pr istriutivi multiplição m rlção à ição, há s sguints possiilis:,,,,,, III) Consirm-s três númros intiros,, moo qu 0, 0, 0. Dst orm,, rprsntm númros ngtivos om. IV) Justiino qu : Primiro, vrii-s lguns xmplos prtiulrs pr qu os lunos omprnm o qu stá sno xposto. Dpois, utiliz-s ii lnç ois prtos, prtir os msmos xmplos ntriors om 0. Por último, trt-s o so mis grl, ou sj, os númros intiros 0 0, om prtos. Como, pom sr onsiros psos m um lnç ois, tm-s situção ilustr n Figur 15. Arsntno um númro psos iguis no prto squro lnç o msmo númro psos iguis no prto irito (Figur 16), o squilírio s mntém (mis ntuo gor). Ou sj, s rprsntrmos o númro igul psos rsntos nos ois los lnç por 0, trmos qu (Figur 17).

24 109 Figur 15 Figur 16 Figur 17 O so po sr trto sguint orm:. Ms,, omo nos intiros ngtivos qunto mior é o móulo, mnor é o númro, pois stá mis sto o zro, tmos qu. V) Justiino so: 1º so: Qur-s grntir qu. Nst so,,, pom sr intrprtos omo númros nturis, pr os quis istriutivi stá grnti. Logo,. 2º so: Qur-s grntir qu. Pl rgr ição númros intiros sinis irnts, om, tm-s. Além isso, é um númro nturl, pois. Como propri istriutiv tmém vl pr sutrção nturis, tm-s. Agor, lulno, osrvmos qu. N primir igul, utilizs rgr multiplição númros intiros om sinis irnts, n sgun igul, rgr ição númros intiros om sinis irnts o to qu. Portnto,. 3º so: Qur-s mostrr qu vl igul. Pl rgr ição númros intiros sinis irnts, om, tm-s qu. Além isso, pl rgr multiplição númros intiros sinis irnts. Ms, omo é um númro nturl, ntão. Portnto,. Agor, lulno

25 110, tmos qu númros intiros sinis irnts, om. 4º so: Qur-s mostrr qu, pl rgr ição. Portnto,. Iniilmnt, tm-s. Além isso,. Logo,. Ms, Portnto,.. Os mis sos pom sr justiios orm nálog. Expttivs: Espr-s pr istriutivi qu os lunos tnhm mis iiul o qu nos sos ntriors, já qu qui ominmos s oprçõs multiplição ição númros intiros, sno nssário utilizr s rgrs sts us oprçõs. Espr-s lgum onusão om s rgrs sinis. Ms, qunto à strtégi utiliz, spr-s qu os lunos ompnhm m vio à similri om o qu oi ito ns uls ntriors. Aul 23: Esrit Mtmáti Ojtivos: Rvisr onitos sussor, ntssor, oro, triplo, quro, uo sus rsptivs rprsntçõs lgéris. Truzir pr lingugm lgéri sntnçs srits ou ls m língu mtrn, nvolvno os onitos mnionos im. Rotiro qustõs: 1. Rspon s sguints qustõs sor númros intiros:. Exist lgum númro intiro qu não possui sussor? S xistir, qul é ss númro?. Como pomos rprsntr o sussor o númro intiro n?. Exist lgum númro intiro tl qu su ntssor não é um númro intiro? S

26 111 xistir, qul é ss númro?. Como pomos rprsntr o ntssor o númro intiro m? 2. Assoi rs à su srit mtmáti: (A) O oro um númro. 3 (B) O triplo um númro. 2 2 x y (C) O quro um númro. 2p 1 (D) O uo um númro. 2 x (E) O oro o sussor um númro. 2 (F) O oro o ntssor um númro. 3 m (G) O quro irnç ois númros. 2 2 x y (H) A som os quros ois númros. 2t 1 ( I) O quro som ois númros. 2 (J) A irnç os quros ois númros. 2 r Proimntos: Em upls ou trios os lunos rsponm às qustõs upl ou trio ntrg um olh om s rsposts. Expttivs: Espr-s qu os lunos tnhm um o snvoltur nst tivi, pois om miori sts lunos, o ssunto oi trlho n sxt séri. Pom, porém, prsntr lgum iiul, por xmplo, om s sntnçs irnç os quros o quro irnç. Auls 24 25: Oprçõs Propris m Z Esrit Algéri Ojtivos: Rtomr prounr os onitos trlhos té o momnto rltivos o mpo numério os intiros.

27 112 Aplir onsintmnt s propris s oprçõs m Z. Prmitir o luno um ontto mior om lingugm lgéri, n qul s ltrs rprsntm númros intiros. Clulr o vlor xprssõs numéris provnints xprssõs lgéris. Rotiro qustõs: 1. A som s is ois irmãos é 35 nos. Dqui ino nos, qul srá som sus is? Justiiqu. 2. S, n qustão (1), hmrmos i um os irmãos m i o outro irmão n, rsolv o msmo prolm, gor om o uso ltrs. 3. A irnç ntr s is ois irmãos é ino nos. Dqui st nos, qul srá irnç ntr s is os ois irmãos? 4. S, n qustão (3), hmrmos i um os irmãos i o outro irmão, rsolv o msmo prolm, gor om o uso ltrs. 5. Consir multiplição ois númros intiros x y. ) Como pomos rprsntr o prouto (rsulto multiplição) sts ois númros, s não onhmos os vlors x y? ) Como pomos rprsntr o triplo o númro x? E o quáruplo o númro y? ) Como pomos rprsntr o prouto o triplo x om o quáruplo y? 6. Consir multiplição ois númros intiros, igmos u v. ) S somrmos três o sguno tor, v, multiplirmos novmnt, omo pomos rprsntr st novo prouto? ) Qul srá irnç (rsulto sutrção) ntr ss rsulto o ntrior? ) Conirm su onlusão om os sguints xmplos: u = 2 v = 5, u = -3 v = 2, u = 4 v = -5, u = -2 v = Consir multiplição ois númros intiros, igmos p q. ) S somrmos três o primiro tor, p, multiplirmos novmnt, omo pomos rprsntr st novo prouto? ) Qul srá irnç (rsulto sutrção) ntr ss rsulto o ntrior? ) Conirm su onlusão om os sguints xmplos: p = 2 q = 5, p = -3 q = 2, p = 4 q = -5, p = -2 q = Sj x um númro intiro ngtivo. Nsts oniçõs rspon:

28 113 ) ) pr x É positivo ou ngtivo? Justiiqu. ímpr x É positivo ou ngtivo? Justiiqu. 9. Osrv s sguints iguls nvolvno três númros intiros onsutivos: (-4, -3, -2) (4, 5, 6) (22, 23, 24) Intiiqu um prão sguir rspon: Srá qu o prão qu voê intuiu vl pr toos os númros intiros? Como voê po grntir isso? 10. Quntos quis são os númros intiros x tis qu: ) x 5 ) x 5 ) x 5 OBS.: o símolo not o móulo ou vlor soluto um númro. Proimntos: A tivi stá prvist pr sr rliz m us uls. A turm srá ivii m grupos ois ou três lunos. Srá ntrgu os grupos um olh om s qustõs. O prossor ompnhrá o trlho os grupos, no sugstõs slrno nunios lgums qustõs. No so m qu mis um grupo tnh úvis m lgum qustão, o prossor rá os slrimntos pr o grn grupo. Expttivs: Espr-s qu os lunos monstrm utonomi n rlizção o trlho. Como primir tivi ss tipo, nvolvno srit lgéri propris s oprçõs, spr-s lgum iiul os lunos m srvr s rsposts orrtmnt, utilizno s propris s oprçõs m Z. Esprm-s, tmém, iiuls pr omprnr os nunios s qustõs (6), (7) (9).

29 114 Aul 26: Númros Rionis (Conitos Gris) Ojtivos: Rvisr onitos nvolvios no mpo numério os rionis (rçõs quivlnts, ição sutrção númros rionis n orm rionári). Prprr os lunos om onitos qu srão útis pr s justiitivs s propris s oprçõs om númros rionis xprssos n orm rionári. Rotiro qustõs: Pr st ul, não oi loro um rotiro rígio qustõs pr os lunos trlhrm iniviulmnt ou m grupos. As qustõs são irions n tnttiv zr om qu os lunos rsgtm lgums noçõs trlhs ns séris ntriors, tis omo rprsntção rionári um númro rionl, o onito rçõs quivlnts s oprçõs om númros rionis n orm rionári. Proimntos: Aul xpositiv m qu o prossor lnç qustõs os lunos im qu ls rtomm onitos rltivos o mpo numério os rionis. Prtn-s orr nssi práti nssi struturl os númros rionis. As oprçõs srão rviss pns om rprsntção rionári os númros rionis, já qu n sxt séri oi trlh pssgm rprsntção rionári pr iml vi-vrs om miori os lunos st turm. Pr ição sutrção, usrmos rçõs quivlnts, pois st onito srá útil quno trlhrmos s propris s oprçõs. Expttivs: Espr-s qu os lunos onsigm lmrr-s s oprçõs om os númros rionis rprsntos n orm rionári. Como há lunos oriunos outrs sols, spr-s qu prçm irnts strtégis pr ição sutrção rçõs, tis omo o uso rçõs quivlnts sm o álulo o mínimo múltiplo omum o uso o mínimo múltiplo omum, sm sr êns o onito rçõs quivlnts. Aul 27: Propris Comuttiv Assoitiv Aição Númros Rionis

30 115 Ojtivos: Justiir s propris omuttiv ssoitiv ição númros rionis rprsntos n orm rionári. Rotiro qustõs: Pr st ul, não oi loro um rotiro rígio qustõs pr os lunos trlhrm iniviulmnt ou m grupos. Prtn-s trlhr propri omuttiv propri ssoitiv ição númros rionis rprsntos n orm rionári, poino-s no onhimnto sor propris s oprçõs om númros intiros no onito rçõs quivlnts. Proimntos: Aul xpositiv m qu prossor lunos prourm justiir propri omuttiv propri ssoitiv ição númros rionis rprsntos n orm rionári, utilizno rsultos trlhos m uls ntriors. Conorm o snrolr ul, o prossor orlmnt onvi os lunos prtiiprm, qustionno-os sor lguns pssos rgumntção, rvno onitos qu strão sno utilizos soliitno qu rçm sozinhos lguns rgumntos. I) Inii-s ul rtomno s propris ição númros nturis númros intiros. II) Após isso, rvis-s ição rçõs, pss-s trtr omuttivi ss oprção. (1), on,,, são númros intiros 0. on,,, são númros intiros 0. (2),

31 116 Ms (1) (2) são iguis, pl omuttivi ição intiros (no numror). Portnto,, on,,, são númros intiros 0. III) Assoitivi ição:, (1) on,,,, são númros intiros 0., (2) on,,,, são númros intiros 0. Como (1) (2) são iguis, ntão, on,,,, são númros intiros 0. Expttivs: A spito o trlho rlizo té qui, spr-s qu os lunos tnhm iiuls pr ompnhr os rgumntos, priniplmnt no so ssoitivi, vio à su pou hili no trto om rçõs vio à qunti ltrs qu prismos utilizr pr rprsntr gnrimnt númros rionis n orm rionári. Aul 28: Propris Comuttiv, Assoitiv Distriutiv Multiplição Númros Rionis Ojtivos:

32 117 Rvisr rgr multiplição rçõs. Justiir omuttivi ssoitivi multiplição númros rionis istriutivi multiplição m rlção à ição númros rionis rprsntos n orm rionári. Rotiro qustõs: Pr st ul, não oi loro um rotiro rígio qustõs pr os lunos trlhrm iniviulmnt ou m grupos. Prtnmos trlhr omuttivi ssoitivi multiplição númros rionis istriutivi multiplição m rlção à ição númros rionis rprsntos n orm rionári, poino-nos no onhimnto sor propris s oprçõs om númros intiros n rgr multiplição ição rçõs. Proimntos: Aul xpositiv m qu prossor lunos prourm justiir s propris omuttiv, ssoitiv istriutiv multiplição númros rionis rprsntos n orm rionári, utilizno rsultos trlhos m uls ntriors. Conorm o snrolr ul, o prossor orlmnt onvi os lunos prtiiprm, qustionno-os sor lguns pssos rgumntção, rvno onitos qu strão sno utilizos soliitno qu rçm sozinhos lguns rgumntos. I) Inii-s ul rvisno-s multiplição rçõs, pss-s trtr omuttivi ss oprção., Rgr Comuttivi Rgr multiplição multiplição m Z multiplição no numror no nominor on,, são númros intiros 0. II) D orm smlhnt, pr ssoitivi multiplição númros rionis:.,

33 118 on,,,, são númros intiros 0. III) Pr istriutivi multiplição m rlção à ição númros rionis: (1), on,,,, são númros intiros 0. (2), on,,,, são númros intiros 0. Como (1) (2) são iguis, ntão vl propri istriutiv multiplição. Expttivs: Espr-s qu os lunos tnhm mior ili om o trto s propris omuttiv ssoitiv multiplição o qu tivrm om ição, vio à mior simplii rgr multiplição rçõs. Porém, spr-s mior iiul om propri istriutiv, pois qui prm s us oprçõs.