XXIX Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase

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1 XXIX Olimpíaa Brasilira Matmátia GABARITO Sguna Fas Soluçõs Nívl Sguna Fas Part A PARTE A Na part A srão atribuíos pontos para aa rsposta orrta a pontuação máxima para ssa part srá 0. NENHUM PONTO vrá sr atribuío para rspostas qu não oiniirm om o gabarito ofiial, abaixo: Problma Rsposta Sja a fatoração 16 6 sja um sus ivisors mnors o qu 007. Pomos analisar ois asos: - não é múltiplo 6: ntão é um ivisor 6 1 < 007. Portanto pomos ontar toos os ivisors 1, qu são ( 6 1(1 1 1 ivisors. - é múltiplo 6: 1 6 6, são mnors qu 007, mas a partir 6 7, ls são maiors qu 007. Portanto há ivisors nst aso. Portanto o total ivisors 16 mnors o qu 007 é Sja B o onjunto os pontos A uja istânia à origm é mnor o qu sja P ( x ; y um ponto B. Sab-s qu P stá sobr o sgmnto x y ; x, y 0 qu a istânia x y P à origm é mnor ou igual a x y x y. Portanto: x y x 11 ( x x x x x 0 y 11 ± As raízs 1 x x 0 são x 0 1±,qu nos á os pontos xtrmos P 1 1 ;1 1 1 P ;1 B. Pla inquação, tmos qu os pontos B 6 6 stão na rta x y, limitaos plos pontos P 1 P, logo B é o sgmnto rta P 1 P. Qurmos a probabilia p solhr um ponto o onjunto A star ontio no sgmnto P 1 P, qu é a razão ntr P 1P o omprimnto A. Como A stá limitao plos pontos ( 0; ( ;0, su omprimnto val (0 ( 0. O omprimnto B val XXIX Olimpíaa Brasilira Matmátia Gabarito Nívl

2 , portanto p 6 1 p novs 1 0. Iniialmnt, tmos Portanto uns Com isso, obsrvano qu 1 < 1, tmos ( 1( uns 1 > 1 < 11 1 <. uns ( 1( Como é intiro su onsutivo,, é maior o qu, o intiro mais novs próximo é, uja soma os ígitos é 1. uns novs 0. O triângulo ABC é rtângulo m B. Sjam I o ntro a irunfrênia insrita m ABC O o ponto méio o lao AC. S AOI, quanto m, m graus, o ângulo ACB? Solução: o Como ABC é um triângulo rtângulo, ntão AO BO CO. S ABI AOI BAI OAI, ntão ABI AOI (ALA. Com isso, AB AO BO, portanto, triângulo ABO o é qüilátro. Assim, ACB Vamos omçar olorino a primira linha vértis. Caa oloração ssa linha é uma sqüênia ltras A V, por xmplo, A V V A V. Obsrv qu, uma vz oloria a primira linha, s aparrm uas ltras onsutivas iguais, o rstant os vértis o tabuliro já stão trminaos. D fato, ao aparr ois V s onsutivos, os ois vértis imiatamnt abaixo ls vrão sr olorios om ois A s, os qu stão mais abaixo vrão tr ois V s, assim por iant. Isto omplta a oloração ssas uas olunas. Dssa forma, aa oluna vizinha também stará trminaa, pois m aa rtângulo trmos três vértis prviamnt olorios, o qu obriga o quarto vérti a tr sua or trminaa. Então, para aa sqüênia A s V s na primira linha qu ontém plo mnos uas ltras iguais onsutivas, há xatamnt uma manira olorir o tabuliro. Como há 0 tais sqüênias, ontamos 0 oloraçõs possívis. XXIX Olimpíaa Brasilira Matmátia Gabarito Nívl

3 A V V A V A A V V A A V V Falta-nos analisar um sguno aso, m qu não há uas ltras onsutivas iguais na primira linha. Há uas possibilias sqüênias: omçano om A ou omçano om V. A V A V A V Para aa uma ssas sqüênias, há uas maniras solhrmos a primira ltra a sguna linha. Uma vz solhia sta ltra, a sguna linha intira também stará trminaa. Para a primira ltra a trira linha também há possibilias. Com st raioínio, aa vz qu solhmos a primira ltra uma linha, trminamos a oloração sta linha. Logo, omo há uas maniras solhrmos a primira ltra aa linha, há maniras olorirmos o tabuliro, nst sguno aso. Logo, o total oloraçõs é igual a 0 6. Obsrvação: Vja qu, no aso gral, para um quarao n n, o raioínio é análogo. No primiro aso, trmos n 1 oloraçõs; no sguno aso, mais n 1. Logo, trmos n1 n oloraçõs. Soluçõs Nívl Sguna Fas Part B SOLUÇÃO DO PROBLEMA 1: Uma solução: Multipliano a quação aa por, obtmos x y xy x y 0, ou aina, (x x (y y (x xy y 8. Daí, (x (y (x y 8. A únia manira srvrmos 8 omo a soma três quaraos é 8 0, m alguma orm. Logo (x, y (0,, (, 0 ou (,, on onluímos qu as soluçõs são (x, y (,, (, ou (,. Rsrvu a quação aa omo uma soma quaraos igual a 8 ou a uma outra onstant: [ pontos] Intifiou as possibilias para sta soma: [ até pontos] (atribuir 1 ponto para aa aso Conluiu a solução orrtamnt: [ pontos] As pontuaçõs a sguir não s aumulam om as mais nm ntr si. Tstou asos partiulars: [0 ponto] Provou qu x y são ambos pars: [ pontos] Vrifiou qu os pars (,, (, (, são soluçõs: [1 ponto] Outra solução: Esrvno a quação aa omo uma quação o sguno grau m x, tmos: x (y x (y y 0. O isriminant sta quação é (y (y y y 1y. Rsolvno a inquação 0, aina obtmos y. XXIX Olimpíaa Brasilira Matmátia Gabarito Nívl

4 Como y é intiro positivo, as únias possibilias são y 1,, ou. S y 1, fiamos om 1, qu não é quarao prfito. Logo, st aso não tm solução. ± S y, obtmos 16 x 0 ou. Como x é intiro positivo, a únia solução nst aso é (x, y (,. S y, fiamos om 1, absuro! 6 ± S y, obtmos. Nst aso, x ou. Logo, (x, y (, ou (,. Portanto, o onjunto solução é {(,, (,, (, }. Esrvu a quação aa omo quação o sguno grau m uma as variávis: [ pontos] Calulou o isriminant rsolvu a inquação 0 orrtamnt: [ pontos] Conluiu a solução, analisano aa aso orrsponnt aos valors y (ou x: [ pontos] (OBS: Caso o aluno não analis orrtamnt toos os asos, omo srito nst ritério, atribuir 1 ponto para aa aso analisao orrtamnt. As pontuaçõs a sguir não s aumulam om as mais nm ntr si. Tstou asos partiulars: [0 ponto] Provou qu x y são ambos pars: [ pontos] Vrifiou qu os pars (,, (, (, são soluçõs: [1 ponto] Mais uma solução: Obsrv qu 8(x y x xy y (x y (x y (x y, moo qu 8(x y (x y, ou sja, x y 8. Além isso, not qu x xy y (x y é par, portanto ao mnos uma as parlas o primiro mmbro é par (s toos form ímpars, x xy y é ímpar, o qu implia qu x ou y é par. Suponha, sm pra gnralia, qu x é par. Então y (x y xy x é par, assim, y também é par. Logo, os ois fatos aima, onlui-s qu as únias possibilias para os pars (x, y são (,, (,, (, 6, (,, (, (6,. Substituino os pars, vmos qu as únias soluçõs são (,, (, (,. Provou qu x y 8: [ pontos] Provou qu x y são ambos pars: [ pontos] Listou tstou as possibilias pars (x, y: [ pontos] A pontuação a sguir não s aumula om as mais. Tstou asos partiulars: [0 ponto] SOLUÇÃO DO PROBLEMA : Sja k intiro positivo tal qu k n 1. Primiro, notmos qu o algarismo as unias os quaraos prfitos são 0, 1,,, 6, moo qu B é igual a,,, ou 8. Porém, pomos liminar alguns asos: S B, pois nss aso k AAABBB 1 trminaria om xatamnt três zros (not qu A não po sr igual a, pois é ifrnt B; XXIX Olimpíaa Brasilira Matmátia Gabarito Nívl

5 S B, k trminaria om, sria par não múltiplo, já qu os ois últimos algarismos too múltiplo formam outro múltiplo, um absuro. S B, k trminaria om, sria múltiplo mas não, já qu os ois últimos algarismos um múltiplo são, 0, 7 ou 00. Outro absuro. Sobram somnt os asos B B 8. Obsrv qu n k 1 (k 1(k 1 AAABBB 111(A B é múltiplo 111 7, portanto, os primos 7 ivim k 1 ou k 1, moo qu k é a forma 111 x ± 1 ou 111 x ± 8. Além isso, 1116 k < < k <, moo qu x. k 111 x ± 1: Tmos AAABBB k x ± x A B 111x ± x. O ígito as unias A B é B. Not qu 111x ± x (x ± x x tm a msma paria qu x. Assim, s B, x é ímpar, ou sja, é,, 7 ou. S x,, 7,, o algarismo as unias 111x x é,,,, rsptivamnt, moo qu x ou x, para o qual A B iguala , o qu gra a solução x, A 1 n 111. Além isso, s x,, 7,, o algarismo as unias 111x x é,,,, rsptivamnt, moo qu as únias possibilias são x ou x 7, para os quais A B iguala rsptivamnt, o qu também não é possívl. S B 8, x é par, ou sja, é, 6 ou 8. S x, 6, 8, o algarismo as unias 111x x é, 8, 0, rsptivamnt, moo qu obtmos x 6 A B , ou sja, A. Obtmos assim a solução n 888. Além isso, s x, 6, 8, o algarismo as unias 111x x é 8,, 8 rsptivamnt, moo qu obtmos x ou x 8, para os quais A B igual a , rsptivamnt, o qu não é possívl. k 111 x ± 8 : Tmos AAABBB k x ± 111 8x x ± x 7 111(111x ± 76x 1 A B 111x ± 76x 1. Estumos, omo no aso antrior, o ígito as unias 111x ± 76x 1. S B, x é par, ou sja, é igual a, 6 ou 8. S x, 6, 8, o algarismo as unias 111x 76x 1 é,,, rsptivamnt, moo qu x 6 ou 8, para os quais A B iguala rsptivamnt , nnhum os ois grano solução. Além isso, s x, 6, 8, o algarismo as unias 111x 76x 1 é,,, rsptivamnt, moo qu x A B igual a , o qu não é possívl. S B 8, x é ímpar, ou sja, é igual a,, 7 ou. S x,, 7, o algarismo as unias 111x 76x 1 é 0, 8,, 8, rsptivamnt, moo qu x ou x, para os quais A B k >, o qu não é possívl. Além isso, s x,, 7, o algarismo as unias 111x 76x 1 é, 8, 0, 0, rsptivamnt, moo qu x, para o qual A B , o qu não é possívl. Portanto os únios númros n qu satisfazm o nuniao são XXIX Olimpíaa Brasilira Matmátia Gabarito Nívl

6 Ruziu B aos asos B,,, 8 ou : [1 ponto] Analisou orrtamnt os asos B,, ruzino novamnt o problma aos asos B ou B 8: [ pontos] Ruziu o problma a stuar no máximo 0 asos: [ pontos] Estuou mta os (no máximo 0 asos qu ahou: [ pontos] Conluiu: [ ponto] As pontuaçõs a sguir não s aumulam om as mais mas pom s aumular ntr si. Vrifiou qu são soluçõs: [1 ponto por solução] SOLUÇÃO DO PROBLEMA : Uma solução: F E D C A Prolongu AD BC até s nontrarm no ponto F. Vja qu AFB 60 DEC. Com isso, o quarilátro FECD é insritívl. Tmos: (i FDE FCE ADE BCE 180. (ii AD BC ED EC. D (i (ii, onluímos qu ADE BCE. Portanto, EA EB. Além isso, DEA CEB, on onluímos qu AEB DEC 60. Dssa forma, o triângulo ABE é qüilátro lao 8 sua ára é igual a 8 16 m. Mostrou qu os ângulos ADE BCE são iguais: [ pontos] Conluiu qu os triângulos ADE BCE são ongrunts: [ pontos] Mostrou qu o triângulo ABE é qüilátro: [ pontos] Calulou orrtamnt a ára o triângulo: [1 ponto] As pontuaçõs a sguir não s aumulam om as mais nm ntr si. Provou qu o quarilátro CDFE é insritívl: [ pontos] Obsrvou qu o triângulo ABE é qüilátro mas não provou: [1 ponto] Obsrvação: o aluno não pr ponto s não oloar ou rrar a unia ára. B XXIX Olimpíaa Brasilira Matmátia Gabarito Nívl

7 XXIX Olimpíaa Brasilira Matmátia Gabarito Nívl Outra solução: Consir os pontos no plano omplxo. Rprsntarmos o númro omplxo orrsponnt ao ponto X om a ltra orrsponnt minúsula x. Fixmos o ponto méio AB omo origm sjam a b. Assim, sno BAD ABC β, ambos no sntio anti-horário, pomos nontrar as oornaas C D: ( ( ( 8 β β b a b ( 8 a b a Sno a raiz sxta a unia raiz a quação 0 1 x x, i i i i ( ( (1 ( β β Assim, o triângulo ABE, om pontos oornaas A (, 0, B (, 0 (0, E, é qüilátro tm ára 16 8 m. CRITÉRIO DE CORREÇÃO (VÁLIDO PARA SOLUÇÕES COM GEOMETRIA ANALÍTICA TAMBÉM: Enontrou as oornaas C D: [ pontos aa] Enontrou as oornaas E: [ pontos] Conluiu: [ pontos] As pontuaçõs a sguir não s aumulam om as mais nm ntr si. Provou qu o quarilátro CDFE é insritívl: [ pontos] Obsrvou qu o triângulo ABE é qüilátro mas não provou: [1 ponto] Obsrvação: o aluno não pr ponto s não oloar ou rrar a unia ára. SOLUÇÃO DO PROBLEMA : Esolha 0 as ias o país. Ligano uas quaisqur las por uma straa, utilizarmos straas, a ia rstant não porá sr alançaa automóvl. Logo s v onstruir plo mnos 11 straas. Vamos mostrar qu om ssa quantia é possívl atingir nosso objtivo. Suponha qu n 11, mas qu sja possívl iviir as ias o país m ois grupos A B, igamos om a b ias, rsptivamnt, tal sort qu nnhuma ia A possa sr

8 alançaa automóvl a partir qualqur ia B. Então o númro straas no país é no a b máximo a b, moo qu 11, ou aina, (a b (a b Como a b 1, sgu a inquação aima qu a b Logo ( a b ( a b 1 0 ab 1. Mas, omo a b 1 a b são naturais, tmos ab 1 0 0, uma ontraição. Logo, s n 11, smpr é possívl viajar ntr quaisqur uas ias. Mostrou, por mio um xmplo, qu para n não é possívl onluiu qu n v sr plo mnos 11: [ pontos] No aso n 11, obtv, através um argumnto ombinatório, uma siguala quivalnt a a b 11: [ pontos] Conluiu o raioínio, mostrano (aina nas notaçõs aima qu ab 1 xpliano m sguia qu isso é uma ontraição: [ pontos] XXIX Olimpíaa Brasilira Matmátia Gabarito Nívl

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