Estruturas de Dados. Organização. Grafos I: Definição. Algumas Aplicações. Conceitos & Aplicações. Introdução aos Grafos
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- Ricardo Martins Bacelar
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1 Ornizção Estruturs Dos Grfos I: Conitos & Apliçõs Introução os Grfos Dfinição Trminoloi Alums Propris Exmplos Apliçõs Grfos Prof. Riro J. G. B. Cmpllo Prt st mtril é so m ptçõs xtnsõs slis isponívis m ttp://ww.tstruturs.nt (Goori & Tmssi). Dfinição Alums Apliçõs m rfo po sr finio omo um pr (, A), on: : onjunto nós mos vértis (ou nós). A : onjunto prs vértis mos rsts (ou ros). Tnto vértis qunto rsts pom rmznr lmntos. Quno rsts rmznm rnzs numéris, o rfo é ito ponro. Exmplo: m vérti po rprsntr um roporto rmznr um óio ltrs. m rst po rprsntr um rot vôo ntr ois roportos rmznr istâni ntr ls. HNL SFO LA DF ORD LGA MIA PD Molm Ciruitos Eltrônios: Pls iruito imprsso. Ciruitos intros. Rs Trnsport: Rprsntção Roovis. Mp ôos. Rs Computors: Rs Lois. Intrnt. Bnos Dos:... Dirm Enti-Rlionmnto. sl1 sl1 mt.rown.u s.rown.u rown.u qwst.nt tt.nt ox.nt Jon Pul Dvi
2 Trminoloi érti finl um rst: são vértis finis (n vrtis ou npoints). Arsts inints m um vérti:, são inints m. értis jnts: são vértis jnts. Gru um vérti (): i j m surfo S um rfo G é um rfo tl qu: Os vértis S são um suonjunto os vértis G. As rsts S são um suonjunto s rsts G. Surfo Lços: tm ru (númro rsts inints m ). j é um lço (slf-loop). Arsts prlls (ou múltipls): i são rsts prlls (possum vértis finis x z m omum). f Grfos sprovios lços rsts prlls são nominos simpls. m surfo ror (spnnin surp) G é um surfo qu ontém toos os vértis G. Surfo ror Cmino: sqüêni ltrnnt vértis rsts. omç om um vérti. trmin m um vérti. rst é pri sui por sus vértis finis. Cmino simpls: P P 1 m rfo G é onxo s xist um mino ntr qulqur pr vértis G. m omponnt onxo um rfo G é um surfo onxo G. Grfo onxo mino no qul toos os sus vértis rsts são istintos. Exmplos: P 1 =(,,,,) é um mino simpls. P =(,,,,,,,f,,,) é um mino qu não é simpls. f G é ito ompltmnt onxo ou omplto s pr vértis é jnt. Grfo não-onxo om ois omponnts onxos
3 Cilo: Cmino irulr (o primiro último vértis são iuis). Cilo simpls: Cilo ujs rsts vértis intrmiários são toos istintos. Exmplos: C 1 =(,,,,,f,,,,,) é um ilo simpls. C =(,,,,,,,f,,,,,) é um ilo não-simpls. C f C 1 Grfo sprovio ilos é nomino ílio. 9 m árvor é um rfo onxo qu não possui ilos. A árvor é it livr ou não nriz s não possui riz. m florst é um rfo qu não possui ilos. Loo, to árvor é um florst, ms rípro não é vrir. Os omponnts onxos um florst são árvors. Árvor Florst 1 A B C D E m árvor ror (spnnin tr) um rfo onxo é um surfo ror qu é um árvor. m árvor ror não é úni, mnos qu o rfo sj um árvor. Existm muits pliçõs árvors rors: P. x. no projto rs omunição. m florst ror um rfo é um surfo ror qu é um florst Grfo Árvor ror 11 Arst irion (irt ): um pr orno vértis (u,v). primiro vérti u é orim. suno vérti v é o stino. ini um rlção ssimétri. Arst não-irion: um pr não-orno vértis (u,v). ini um rlção simétri. Grfo iriono (irfo): tos s rsts são irions.., mp rots vôo. Grfo não-iriono: tos s rsts são não-irions..., mp istânis vôos. ORD ORD vôo AA 1 9 mils PD PD PS. m rfo misto po sr smpr trnsformo m um rfo iriono. 1
4 Arsts prlls (ou múltipls): f 1 f são rsts irions prlls (possum msm orim stino). Gru ntr (in-r): O ru ntr o vérti é, pois possui rsts ntr (inomin s), i.., rsts qu o possum omo stino. Gru sí (out-r): O ru sí o vérti é, pois possui rsts sí (outoin s), i.., rsts qu o possum omo orim. Não foss por f 1, f, j o rfo o lo sri simpls. f 1 f i Ess é um ipóts pr muitos loritmos m rfos. j m onito importnt m rfos irionos é o onito lnçili (rility): Dos ois vértis u v um irfo G iz-s qu u lnç v (v é lnçávl prtir u) s G possui um mino iriono u pr v. m irfo G é ito fortmnt onxo (stronly onnt) s pr quisqur ois vértis u v G, u lnç v vi-vrs. Propri funmntl, por xmplo, no projto ml viári um i (sntio s rus vnis). Exmplo: B A C D E 1 m ilo iriono um irfo é um ilo on tos s rsts são prorris oro om sus rsptivs irçõs. Exmplo: B m irfo é ito ílio s não possui ilos irionos. A C D E m ornção topolói é um ornção os vértis tl qu pr qulqur rst o irfo o vérti orim possui orm mnor qu o vérti stino. Tl ornção xist pns pr irfos ílios. Exmplo Aplição: Grfos prêni ntr trfs políti xução sqünil Exmplo: Exmplo:
5 O omplmnto G um rfo não-iriono G é o rfo otio prtir os vértis G ontos pns om s rsts não xistnts m G: G 1 1 G O rfo trnsposto G T um rfo iriono G é o rfo otio prtir G om tos s sus rsts m irçõs oposts: G 1 G T 1 1 Alums Propris Útis * Propri 1: Σ v (v) = m Prov: rst é ont us vzs. * Propri : Em um rfo não-iriono simpls: m n (n 1)/ Prov: vérti tm ru máx. (n 1). * Propri : Em um rfo iriono simpls: m n (n 1) Prov: pr rst não irion pomos tr us irions. Notção: n m (v) númro vértis. númro rsts. ru o vérti v i.. o no. rsts inints m v. Exmplo: n = m = (v i ) = Σ v (v) = 1 1 m rfo simpls G é ito nso s m s proxim o limitnt suprior n propri ou ntrior. G é ito sprso s m é muito mnor o qu o limitnt... próximo n 1 pr G onxo. Outros Exmplos Apliçõs Cminos Mis Curtos: O oornor um projto psquis om urção nos plnj um políti sustituição omputors. Novos molos pom sr quirios por $. S vnios pós 1 no, ls rtêm um vlor $1. Após nos, o vlor rvn i pr $, pós nos os omputors stão osoltos não possum vlor. Custos mnutnção rsm om i, sno stimos m $ no 1o. no srviço, $ no o. $ no o. Consirno qu não s sj utilizr omputors osoltos no projto: otn um políti sustituição omputors om usto totl mínimo o lono os nos projto.
6 Outros Exmplos Apliçõs Cminos Mis Curtos (ont.): nó ini o númro nos ompltos o projto um ro lino um nó outro ini ompr um omputor no instnt rfrnt o nó sí vn ss omputor no instnt rfrnt o nó o usto ro é: (ompr)+(mnutnção)-(rvn) solução usto mínimo: mino mis urto Outros Exmplos Apliçõs Cminos Mis Lonos: Consir um projto onstrução qu tn sio prvimnt suiviio m tivis, onform tl ixo: k Ativi k Durção k (is) Ativis Prssors 1 Função Snmnto --- Pilrs 1, is Tto Eltrii Bási 1 Aquimnto 1, Prs 1,, 9 Amnto, Pr plnjr qumnt ompr mtril ontrtção mpros, é nssário um n trfs. Outros Exmplos Apliçõs Cminos Mis Lonos (ont.): Pomos rprsntr ss prolm n form um rfo iriono, nomino R CPM (CPM Projt Ntwork): Outros Exmplos Apliçõs Cminos Mis Lonos (ont.): Not qu o mnor tmpo ftívl pr o iníio um tivi j é o plo mino mis lono o nó iníio o nó j. 1 1 Iníio Fim Iníio Fim um nó pr tivi, mis nós rtifiiis iníio fim. psos os ros orrsponm à urção tivi rfrnt o nó prti o ro. Loo, o tmpo mínimo pr ompltr o projto é o plo mino mis lono ntr os nós iníio fim r CPM. Pr o xmplo im, tm-s: Iníio Fim = is.
7 Outros Exmplos Apliçõs Árvors Grors Mínims: Muitos prolms otimizção pom sr formulos n form um rfo onxo soluionos nontrno su árvor ror mínim (sortst spnnin tr), tmém nomin árvor ror usto mínimo. Exmplo: Dntr um onjunto ltrntivs, qul o suonjunto lins omunição (.. firs óptis) qu oritorimnt intrlium too um onjunto is um usto mínimo? Exríios Exrit os onitos isutios sor rfos lorno xmplos oriinis pr ilustrr um sss onitos. Elor rprsnt por rfos luns xmplos prolms qu possm sr soluionos trvés : Cminos mis urtos Cminos mis lonos Árvors rors mínims Ornção topolói Not: Consult litrtur! Biliorfi M. T. Goori n R. Tmssi, Dt Struturs n Aloritms in C++/Jv, Jon ily & Sons, /. N. ivini, Projto Aloritmos, Tomson,. Eição,. T. H. Cormn, C. E. Lisrson, n R. L. Rivst, Introution to Aloritms, MIT Prss, n Eition, 1.
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