SUAVIZAÇÃO DA FRONTEIRA DEA: O CASO BCC N-DIMENSIONAL COM MULTIPLICIDADE SIMULTÂNEA DOS INPUTS E DOS OUTPUTS

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1 SUAVIZAÇÃO DA FRONTEIRA DEA: O CASO BCC N-DIMENSIONAL COM MULTIPLICIDADE SIMULTÂNEA DOS INPUTS E DOS OUTPUTS Flávi Bini Ni Mstro Ennhri Proução Univrsi Frl Fluminns Ru Psso Pátri, 5, São Dominos, CEP: 4-4, Nitrói, RJ, Brsil lvini@prilnt.om.r Huo Pimnt Mstro Ennhri Proução Univrsi Frl Fluminns Ru Psso Pátri, 5, São Dominos, CEP: 4-4, Nitrói, RJ, Brsil huo.pimnt@hp.om João Crlos C. B. Sors Mllo Dpto. Ennhri Proução Univrsi Frl Fluminns Ru Psso Pátri 5, 4-4, São Dominos, Nitrói, RJ, Brsil. smllo@prouo.u.r Rsumo A rprsntção ométri rontir DEA é linr por prt, por isso não possui um plno tnnt únio ns DMUs xtrmo-iints (vértis ). Plo msmo motivo, o molo os multipliors (ul o molo o nvlop) mit múltipls soluçõs ótims ns DMUs xtrmoiints, o qu impossiilit o onhimnto s rõs sustituição (tros). Um solução pr ss prolm é sustituição rontir oriinl por um suvição ss rontir, moo qu rontir suvi s próxim oriinl, qu tnh rivs ontínus m toos os pontos. Até or xist solução pns pr o molo BCC om pns um input, ou pns um output. No prsnt rtio, é nrli solução mnion pr o so BCC N-imnsionl om multiplii simultân os inputs os outputs, isto é, qulqur númro inputs qulqur númro outputs. É nontr um nov rontir, rprsnt por um qução qu omin toos os inputs os outputs, on s txs sustituição (tros) são, ntão, irtmnt rtiros. Além isso, é it um nrlição pr o álulo o ru os polinômios proximnts pr qulqur númro inputs outputs oro om o númro DMUs xtrmoiints. Plvrs-hv: DEA Suvição Aproximçõs polinomiis. INTRODUÇÃO A Anális Envoltóri Dos (Dt Envlopmnt Anlysis DEA) oi snvolvi por Chrns, Coopr Rhos (978) pr trminr iiêni unis proutivs (Dision Mkin Units DMUs), trvés onstrução um rontir iiêni, tl orm qu s DMUs qu possuírm mlhor rlção "prouto/insumo" srão onsirs mis iints strão situs sor st rontir, s mnos iints strão situs num rião inrior à rontir, onhi omo nvlop (nvoltóri).

2 Os molos DEA lássios prsntm us ormulçõs quivlnts (Coopr t l., ). Um s ormulçõs, onhi omo molo o Envlop, in um rião viávl proução trlh om um istâni (não ulin) DMU à rontir st rião. A outr ormulção, hm molo os Multipliors, trlh om rão soms ponrs proutos rursos, sno ponrção solhi orm mis vorávl DMU, rspitno-s trmins oniçõs. As us ormulçõs, por s onstituírm m prolms uis, ornm msm iiêni pr DMU. No ntnto, lém iiêni, outrs inormçõs pom sr xtrís os molos itos. O molo o nvlop orn proção n rontir DMU iint prmitino intiição nhmrk pr DMU iniint. É spil intrss osrvr o qu oorr ns DMUs iints: ls são o su próprio nhmrk, ssim, o PPL o nvlop i ltmnt nro. Já o molo os multipliors orn os oiints ponrção qu DMU triui input output. O to DMU triuir vlors irnts sss multipliors é ssêni o DEA. C DMU tm lir vlorir quilo m qu é mlhor, inorno s vriávis m qu o su smpnho não é om. Qulqur molo DEA v prsrvr, m mnor ou mior ru, ss lir. O uso prátio s intrprtçõs os multipliors srr m um iiul inrnt o PPL o molo os multipliors. D to, o torm s ols omplmntrs tmém prmit irmr qu os multipliors são os oiints qução o hiprplno tnnt à rontir no ponto proção DMU (Estllit Lins Anulo-M, ). Or, s DMUs iints (mis proprimnt, s xtrmo-iints) ormm os vértis rontir nls, por não xistirm rivs, não xist hiprplno tnnt, mor xist um inini hiprplnos suport. Tm-s, portnto, um inini multipliors pr DMU xtrmo-iint, toos ls onuino à iiêni pr sss DMUs. Portnto, lém DMU tr lir pr trminr os sus próprios psos (o qu é sávl), pr s DMUs qu vm srvir xmplo, omo tntors os prátis stão, é impossívl sr quis os psos qu ls tivmnt triuírm vriávl. A trminção importâni input output, ou o álulo psos somr, i ssim ompromtio quno s li om DMUs xtrmo-iints. A usêni vlors únios pr os psos s DMUs xtrmo-iints imp o álulo rivs irionis m to rontir, sno um ostáulo o uso DEA omo rrmnt uxilir m prolms multiritério. Em rts situçõs é sávl m um prolm multiritério triuir psos os ritérios sm ulmntos vlor o isor (por xmplo, quno vários isors não hm oro). DEA sri um ótim rrmnt pr isso, não oss o to qu não são onhios os psos triuíos por lums DMUs. É óvio qu s o númro DMUs xtrmo-iints or pquno m rlção o totl o númro DMUs, po-s inorr os psos triuíos pls xtrmo-iints trlhr pns om os psos triuíos pls mis DMUs (Estllit Lins t l., ; Sors Mllo t l., ). O prolm não unii os multipliors pr s DMUs xtrmo-iints oi oro por ivrsos psquisors, ms om soluçõs iints. Suno Rosn t l. (998), os vlors os multipliors pom vrir ntr o vlor lulo om s n riv à squr o lulo om s n riv à irit. Esss utors irmm sr impossívl ontornr ss multiplii vlors m propost um quro SIMPLEX moiio pr lulr os limits vrição os multipliors. A impossiili rri por Rosn t l. (998) orr ntur linr por prts rontir DEA. Sors Mllo (), Sors Mllo t l. (, 4) mostrm qu é possívl ontornr ss impossiili mint sustituição rontir DEA oriinl por outr qu tnh propris smlhnts, ms ontinumnt irniávl. Entr s propris mntis, stá triuição iiêni unitáris às DMUs xtrmo-iints o molo DEA oriinl. A téni, isuti m trmos ris xmplii pr sos us três imnsõs (Sors Mllo t l.,, 4), onsist m suvir rontir DEA oriinl, rspitno s propris ásis DEA: onvxi, monotonii rsnt os inputs om os outputs, msms DMUs iints triuição psos irnts por DMU.

3 Os molos té or snvolvios srvim pns pr sos iimnsionis ( pou plição práti) ou multiimnsionis, ms om multiplii não simultân outputs inputs, o qu onstitui um séri limitção. Est rtio xpn os rsultos otios por Sors Mllo t l. (, 4 ) o stur o so suvição rontir DEA pr o molo BCC N-imnsionl om múltiplos inputs outputs. O msmo rrnil tório ntrior, ou s, topoloi psuo-métri os métoos vriionis irtos srão usos nst nrlição. O molo qu srá qui prsnto prmit trminr vlors únios pr os multipliors usos por DMU iint. Além isso, prsrv rontir tão próximo qunto possívl oriinl mntno lir DMU trminr os sus próprios multipliors. Por outro lo, st nrlição r minho pr usr outrs vntns suvição, por xmplo, sustituição tos s s por um úni. Um plição st téni, m molos om limitçõs imnsionis, po sr vist m Goms t l. (4).. SUAVIZAÇÃO NA FRONTEIRA Em Sors Mllo t l. (, 4), oi trto o prolm suvição rontir DEA Bi Triimnsionl trvés um psuo-métri qu trt proximi simultân s unçõs sus rivs, um v qu rontir suvi v str não só próxim oriinl omo tmém possuir rivs smlhnts oriinl, on xistir rivs. Foi ntão proposto, no so iimnsionl, utilição irnç o omprimnto ro s unçõs ntr ois pontos omo um mi proximi, tnto s própris unçõs qunto s sus rivs. Como nss so rião rontir qu ontém DMUs iints onsutivs é um smnto rt qu é o mnor omprimnto ro ntr pontos, pns o ro unção suvi é suiint pr rtrir su proximi om oriinl, vno st sr minimio. A proximi s rivs é onsir no omprimnto ro, pois xistêni rivs vlor m irnt inlinção rt suport o smnto rtri um osilção urv m torno o smnto, qu quivl um mior omprimnto ro. O omprimnto ro é rprsnto por: x x, on y(x) é qução rontir suvi ( I ) x x Os msmos rumntos pom sr nrlios pr prolms imnsão suprior, sustituino-s smnto rt por um rião o hiprplno intrl simpls por intrl múltipl... Formulção Grl o Molo Suvição Pr molos DEA om pns output, suvição onsist m prourr um unção qu minimi o omprimnto ro (ou su nrlição n-imnsionl), qu ontnh s DMUs Prto iints qu tnh rivs priis sun orm m toos os pontos. Por ili omputionl, po-s minimir o quro o omprimnto ro, sm ltrr o rsulto. Então, pós trminr s DMUs xtrmo-iints no molo DEA lássio, suvição é oti plo prolm vriionl (II).

4 min L s F ρ ρ ρ ρ ρ ( X ) output( X ), X E { X : X é DMU Prtoiint} ρ X F R i i i ρ ρ X X F x S (II) O to o molo sr BCC (Bnkr t l., 984) xi qu rontir s onvx F ou s,. Com st rstrição iionl otém-s o Torm Inxistêni Solução i Ótim, u prov stá m Sors Mllo t l. (4). Est torm rnt qu não xist solução qu mlhor s proxim, mor s possivl nontrr soluços qu s proximm o suiint pr srm uss. Est lulo é ito om um orm smlhnt à o métoo os Elmntos Finitos (Ry, 99).. SUAVIZAÇÃO DO MODELO DEA BCC N-DIMENSIONAL (N inputs M outputs) Em Sors Mllo t l. (4) oi proposto um molo suvição pr o so triimnsionl ( inputs output ou input outputs) qu pori sr ilmnt stnio pr os sos miors imnsõs s qu s tivss output vários inputs, ou input vários outputs. Pr tl, otou-s um proximnt polinomil únio pr to rontir, o qu rrt vntul nssi trlhr om unçõs polinomiis ru mis lvo. O prsnt trlho vis trtr multiplii simultân inputs outputs, prtino o msmo rioínio snvolvio m Sors Mllo t l. (). Pr isso, oi proposto um polinômio únio pr to rontir suint orm: o I P O, m (... m ) P I, n... x n ), on: ( III ) O ru o polinômio os outputs (P O ) I ru o polinômio os inputs (P I ) m númro vriávis (númro outputs) n númro vriávis (númro inputs) x i inputs i outputs A rontir suvi srá rprsnt por um qução qu li toos os inputs outputs, on os outputs srão rprsntos por um polinômio P O ru O m vriávis i, os inputs srão rprsntos por um polinômio P I ru I, sr trmino, n vriávis x i... Molo Grl Suvição BCC N-Dimnsionl O polinômio os outputs srá primiro ru suint orm: o P, m (... m )... m m ( IV ) O uso tl polinômio onr simplii os álulos. Assim, por simplii linum, o ru o polinômio os inputs ( I ) pssrá sr rrio pns omo. D um orm rl, omo oi visto, qução rontir suvi (III) srá sustituí pl qução (V), omo suir: 4

5 o I P, m (... m ) P, n... xn ) ( V ) Os oiints qução, qu são os oiints os polinômios, srão trminos trvés o prolm prormção não linr, onorm molo ixo: x mx xn mx n m min... x min x i x n min i s P o, m i i ( i mx... mi,...,.. ) P n mx ),.. m, i I, n i..n... x i xn... x ni m, i ), DMUxtrmo iint..n (VI.) i (VI.) (VI.) ( VI ) A ormulção (VI) rprsnt o molo rl DEA suvio pr qulqur númro vriávis ntr sí. A unção otivo é pl intrl n-upl, on x i min x i mx rprsntm o mnor o mior vlor input. A rstrição (VI.) rnt qu s DMUs xtrmo-iints stm ontis n rontir suvi. A rstrição (VI.) rnt monotonii rsnt rontir, nqunto onvxi é rnti por (VI.). Como s rivs priis um output m rlção outro são onstnts, su não inlusão n intrl não tri minimição. Ess inlusão sri nssári s oss prtnio minimir o omprimnto ro n-imnsionl um supríi nívl UP o -P i. Assim, unção otivo prsnt stá li à minimição um omprimnto ro n-imnsionl num supríi nívl mntém, ssim, o msmo rrnil tório suvição mnor imnsão... Dtrminção o ru o polinômio Pr omçr, o ru o polinômio P I v sr trmino. Sors Mllo t l. (4) trminrm o ru o polinômio pr o so triimnsionl om o prinípio qu o númro vriávis isão v sr mior qu o númro rstriçõs iul, pr não oorrrm inviilis. O msmo prinípio srá qui plio. C DMU xtrmo-iint orrspon um rstrição iul qu impõ qu l s nontr n rontir suvi, portnto o númro rstriçõs é iul o númro DMUs xtrmo-iints. E omo s vriávis são xtmnt os oiints os polinômios proximnts, o númro vriávis isão srá o númro oiints os polinômios, qu possui um rlção xt om o ru o polinômio, omo srá mostro suir. No prsnt rtio, é prsnt um orm álulo o ru o polinômio pr qulqur númro inputs outputs. Pr isso, usou-s um órmul rl pr álulo o númro oiints (ou trmos) um polinômio omplto ru nvr vriávis, rprsnto nrimnt por: P k k n vr k k x x... xn vr int qu stisç ik, n vr ik k n vr i ( VII ) 5

6 trmos(,) trmos(,) Pr i té nvr trmos(i,) i Pr té Fim Pr Fim Pr trmos(, ) trmos(i, ) trmos(i -, ) trmos(i, -) ( VIII ) O loritmo (VIII) im lul rursivmnt o númro oiints ou trmos o polinômio omplto pr ru númro vriávis nvr, trvés l, tl ixo oi mont pr té vriávis ru : (ru o polinômio) Nvr (númro vriávis) Tl : Númro oiints ou trmos o polinômio omplto pr ru númro vriávis nvr. Como po sr osrvo, trt-s um mtri simétri, isto é, o númro oiints o polinômio ru om m vriávis é o msmo qu o polinômio ru m om vriávis. Pr qução rontir suvi m stuo, onorm oi ito, o ru o polinômio os inputs v sr trmino oro om o n DMUs xtrmo-iints. Pr trminr tl vlor, vmos str luns pontos: Um oiint po sr limino á qu iviino-s to qução plo su vlor, iul prmnrá. Convnion-s, sm pr nrli, qu trá su oiint limino. Só é nssário um oiint (onstnt), pois o oiint os outputs po sr somo o oiint os inputs, por s trtr um qução. O númro totl oiints ou vriávis isão srá som o n oiints o polinômio os outputs o n oiints o polinômio os inputs. O númro vriávis output input, m n, rsptivmnt, são onhios. D poss isso, po-s trminr o ru o polinômio os inputs suint orm: Pr o vlor m (númro outputs) onhio (ru) sno, prour-s n tl o númro oiints, qu srá hmo no. No so, vê-s qu no m.

7 D msm orm, s ni, o n oiints o polinômio os inputs. Pr não hvr inviilis, tm-s suint onição: N DMUs xtrmo-iints < N oiints no ni m ni ( IX) Prour-s n tl, pr o vlor n (númro inputs) onhio, o mnor vlor ni qu stisç: ni > N DMUs xtrmo-iints m ( X ) m sui, trmin-s qu ru orrspon... Molo BCC om inputs outputs Os proimntos sritos são xmpliios pr o molo DEA BCC pr inputs outputs, qu porá sr ilmnt stnio pr qulqur númro vriávis. A qução rontir suvi srá, ntão, suint orm: I P, ( XI ) Pr trminr o ru o polinômio, rorr-s o proimnto ntrior. Tm-s: n númro inputs m númro outputs D qução (IX), vm: N DMUs xtrmo-iints < ni ou N DMUs xtrmo-iints < ni A prtir rlção im é mont tl suir: N DMUs xtrmo-iints Gru o polinômio Tl : Rlção ntr o númro DMUs xtrmo-iints o ru o polinômio pr o so inputs outputs. Pr o xmplo qu srá xposto no próximo itm, on s tm DMUs xtrmo-iints, srá nssário um polinômio ru, ino qução rontir omo suir: x x x xx x ( XII ) O molo rl suvição iri: 7

8 min s i x x x x xmx xmx xmin xmin mx mx mx i mx, x, x, x, x x x mx mx mx mx i ) ) ) ) x i x i (XIII.) (XIII.) (XIII.4) (XIII.5) (XIII.) (XIII.7) (XIII.8) (XIII.9) x i x i xx x i (XIII.) ( XIII ) A ormulção (XIII) rprsnt o molo DEA suvio pr inputs outputs, on: Função otivo: minimi psuo-istâni ntr rontir suvi oriinl pl intrl upl, on x min min mx x mx rprsntm o mnor o mior vlor input Rstriçõs: (XIII.) DMUs xtrmo-iints stm ontis n rontir suvi. Dv hvr um rstrição sts pr DMU xtrmo-iint. (XIII.) (XIII.5) monotonii rsnt rontir (XIII.) (XIII.9) onvxi rontir As rstriçõs (XIII.) (XIII.9) são sustituís por um rstrição mis ort (XIV.), qu orç toos os trmos o polinômio srm onvxos. Isto é ito vio impossiili trminr os vlors mis ris possívis os oiints qu rntm o umprimnto s rstriçõs (XIII.) (XIII.9) pr toos os vlors x, pnno o ru o polinômio. O molo (XIV) rprsnt, ssim, ormulção o molo DEA BCC suvio pr inputs outputs, utilino um polinômio ru, om rnti onvxi. 8

9 min s i, xmx xmx xmin x min mx i mx mx mx x mx mx mx mx i ) ) ) ) x i x i x i x i x xx i (XIV.) (XIV.) ( XIV ) (XIV.) (XIV.4) (XIV.5) (XIV.).4. Exmplo Utilição o Molo BCC pr inputs outputs Pr mostrr utilição o molo xposto no prsnt rtio, srá utili mtri os prsnt n tl, qu ontém DMU s, inputs outputs: DMUs X X Z Z A B C D E F G H I J Tl : Mtri os utili no molo DEA BCC O sotwr SIAD (Sistm Intro Apoio à Disão), (Anulo M t l., ), oi utilio pr s nontrr s DMU s xtrmo-iints. Form intiis, no molo BCC, DMU s xtrmo-iints, sr: A, D, E, F, H J. Atrvés rlção Tl, tm-s qu é nssário um polinômio os inputs (P I ) ru, ntão qução (XII) rprsnt qução rontir suvi, (XIV) é o molo sr utilio pr o so m stuo. Utilino os vlors Tl ns quçõs (XIV), h-s o suint sistm (XV) qu vrá sr rsolvio pr s nontrr os oiints o polinômio. 9

10 ( ) ( ) (XV.) (XV.9) (XV.8) 4 (XV.7) 4 (XV.) (XV.5) (XV.4) 75 (XV.) (XV.) (XV.) s min 4 x x x x x x x x x x (XV) Rsolvno intrl upl, h-s (XVI) qu vrá sr rsolvio por lum sotwr prormção quráti. (XVI.) (XVI.9) (XVI.8) 4 (XVI.7) 4 (XVI.) (XVI.5) (XVI.4) 75 (XVI.) (XVI.) (XVI.) s / ) ( / ) ( min (XVI) Após rsolvr o prolm (XVI) hou-s os suints rsultos pr os oiints:

11 Vriávl Vlor E Tl 4: Vlor s vriávis isão o prolm suvição pr o so stuo Dss orm, rontir DEA BCC oriinl o so stuo porá sr sustituí pl rontir suvi rprsnt pl qução (XVII): x.89x.x.xx CONCLUSÕES x (XVII) Foi prsnt nst rtio um mtooloi pr rsolvr o prolm trminção psos únios m molos DEA BCC om multiplii simultân inputs outputs. A mtooloi propost é um xtnsão mtooloi snvolvi m Sors Mllo t l. (4) qu tm omo s sustituição rontir DEA oriinl (linr por prts) por outr suvi (om rivs ontínus). A rontir suvi srá rprsnt por um qução polinomil qu li os inputs os outputs. O molo suvição qui proposto prsntou um umnto o númro álulos lérios m rlção o molo N-imnsionl sm multiplii simultân os inputs outputs (Sors Mllo t l., 4), ss númro torn-s v mior om o umnto o númro inputs, outputs DMUs xtrmo-iints. Como s váris tps os álulos são rlis m prorms irnts, tp mis mor é trnsposição os ntr ls, torn-s mis vint vntos nssi snvolvr um sotwr spíio pr o prolm suvição, qu prmitirá o stuo sos mis omplxos. Foi stuo um so inputs outputs, prtir um mtri os om DMU s, pr mostrr utilição o molo proposto. Não oi intrss ntrr m tlhs o so sr stuo, motivo plo qul prtiu-s irtmnt mtri os sm miors xpliçõs sor os siniios vriávl ssim omo o prolm m si. O prsnt stuo vio suprir nssi lvnt m Sors Mllo t l. (4) snvolvimnto pr o so múltiplos inputs outputs, ms os molos om rtornos onstnts sl (CCR) in prism sr ontmplos. Por im, v sr mniono qu o molo suvição prmit liminr ois os rns prolms m DEA: riõs Prto iniints s imnsão não omplt. O primiro vio à xistêni um rstrição monotonii, o suno plo to rontir sr srit por um úni qução polinomil. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [] Bnkr, R.D., Chrns, A., Coopr, W.W., Som mols or stimtin thnil sl iniinis in Dt Envlopmnt Anlysis, Mnmnt Sin (9) (984) 78-9.

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