Correlação e regressão linear 1 Correlação e regressão linear simples

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1 Instituto Suprior Engnharia Lisboa simpls Argrssãolinaréumamtoologiastatístiaquprmitstablr rlaçõs matmátias ntr a variávl intrss, variávl pnnt, uma mais variávis inpnnts é usaa para prvr o omportamnto a variávl intrss a partir o onhimnto as variávis inpnnts Na prátia vrifia-s qu xist uma rlação ntr uas mais variávis prtn-s xprssar ssa rlação sob uma forma matmátia, sja, nontrar uma xprssão qu ligu ntr si as variávis ara auxiliar a trminação sta xprssão vmos omçar por rolhr analisar aos qu iniqum os valors orrsponnts as variávis onsiraas Uma sguna fas onsist m oloar os pontos num sistma oornaas artsianas - iagrama isprsão Instituto Suprior Engnharia Lisboa sr obtio miant a utilização um molo matmátio qu s ajust aos aos - urva os mínimos quaraos A urva orrsponnt énominaa rgrssão m visto qu éavaliaaapartir Corrlação é o grau ligação ntr uas mais variávis S utilizarmos uas variávis tmos orrlação simpls; om mais uas variávis tmos orrlação múltipla Dntro a orrlação simpls tmos vários asos: Corrlação linar positiva Corrlação linar ngativa Corrlação linar positiva prfita Corrlação linar ngativa prfita No iagrama isprsão é possívl frquntmnt visualizar uma urva rgular qu s aproxima os aos - urva ajustamnto Corrlação não linar Ausênia orrlação No primiro iagrama isprsão a urva ajustamnto é uma rta, sja, a rlação ntr as variávis élinar Nosgunoiagramaa rlação ntr as uas variávis é não linar A rlação mais simpls é a tipo linar, sno possívl tornar linars muitas as rlaçõs não linars rtn-s, om bas m aos amostrais, stimar o valor uma variávl orrsponnt ao valor onhio uma tra variávl Isso po /38 Covariânia Aovariâniantruasvariávis éumamiaaassoiaçãolinar xistnt ntr as uas variávis O valor a ovariânia pn as unias mia utilizaas A ovariânia rprsnta-s por ov rx, ys éaa por: ov rx, ys px ř i xqpy i yq n x iy i n x y n n /38

2 Instituto Suprior Engnharia Lisboa Instituto Suprior Engnharia Lisboa S a ovariânia ntr as variávis é positiva, as variávis rlaionam-s forma irta, sja, aumntam iminum onjuntamnt S a ovariânia ntr as variávis é ngativa, as variávis rlaionam-s forma invrsa, sja, quano uma aumnta a tra iminui S a ovariânia ntr as variávis é nula, não xist uma rlação linar ntr asvariávis Cofiint orrlação Oofiintorrlaçãolinaramostralntruasvariávis também prmit avriguar o grau assoiação linar ntr as uas variávis mas tm a vantagm não pnr as unias mia Rprsnta-s por r éaopor: ov rx, ys r, s x s y om ď r ď, ons x s y são os svios parão as variávis, rsptivamnt Ror qu: s x s y řn řn S o ofiint orrlação é igual a: x i n x n y i n y n, signifiaquxistumaorrlaçãolinarngativaprfita ntr as variávis; 0, signifiaqunãoxistorrlaçãolinarntrasvariávis; `, signifiaquxistumaorrlaçãolinarpositivaprfita ntr as variávis; valors próximos zro, signifia qu a assoiação linar ntr as variávis é fraa 3 Rgrssão linar simpls Arlaçãootipolinarntruasvariávisposrsrita matmatiamnt através a sguint quação: sno: β 0 ` β ` E, avariávlxpliaapnnt; avariávlxpliativainpnnt; E uma variávl tipo rsiual qu inlui tros fators xpliativos não inluíos m ainapossívisrrosmição; β 0 β são onstants: β 0 éaintrsçãoartaomoixovrtial β olivartasãoosparâmtrosartaaajustar Aquaçãoantriorsrvumartaqu,quanoajustaaaos aos o iagrama isprsão, s hama rta rgrssão rta ajustaa Consirmos o sguint iagrama: p p Vamos prrar, ntr toas as rtas o plano xoy aqurprz mlhor a variação para os ifrnts valors Háváriosmétoos para s ajustar uma rta O mais simpls é mramnt aproximativo onsist m snhar uma rta qu nos parça o mlhor ajustamnto possívl É vint a subjtivia st métoo ao qu ifrnts pssoas ajustarão ifrnts rtas, sno toas stas rtas, possívis bons ajustamntos Métoos mais objtivos para ajustar uma rta vrão onsirar as istânias ntr pontos obsrvaos a rta Um bom métoo ajustamnto tm omo solução uma rta qu torn stas istânias tão pqunas quanto possívl, o qu po sr onsguio minimizano as somas as istânias à rta m valor absoluto p 3 p 4 3/38 4/38

3 Instituto Suprior Engnharia Lisboa Instituto Suprior Engnharia Lisboa y 4 y^ 4 ^y 3 ^y y y y 3 ^y x p p p ' p 3 ' 3 p ' x p 3 x 3 p 4 x 4 4 p4 ' S a SQE possuir um mínimo, l oorrrá para os valors a b qu anulm as suas rivaas pariais rlativamnt a a b, istoé,valorsqu satisfaçam as quaçõs: & SQE a 0 SQE b 0 & py i a bx i q0 py i a bx i q x i 0 signaas por quaçõs mínimos quaraos Rsolvio o sistma tr-s-á: & b a y bx ř pxi xqpyi yq n ř xiyi n x y n pxi xq x i n x, 4 Métoo os mínimos quaraos Ométooosmínimosquaraosparaoajustamntoartargrssão onsist na minimização a soma os quaraos os svios vrtiais aa ponto rlativamnt à rta ajustaa (aso i,omi,,5, nafigura antrior) Artaajustaatrántãoaformamatmátia: py a ` bx, on os valors a b são as stimativas para β 0 β,rsptivamnt Sno py i a ` bx i ovalorstimaooi-ésimo valor y, quanox x i,osvio o valor obsrvao y para a rta, isto é, para py i,sráaforma i y i py i passarmosasigná-loporrsíuorrostimação Est rro srá positivo quano o valor obsrvao y i stá aima a rta ngativo quano y i stá abaixo a rta ajustaa No molo assumio, β 0 β são fixos, mas sonhios srão stimaos através os aos Com a apliação o métoo os mínimos quaraos prtn-s ajustar uma rta qu prmita minimizar a soma quaraos os rros SQE SSE, oinglêsrror sum of squars, istoé,nontrar valors para as onstants β 0 β qu tornm a soma mínima A soma quaraos os rros a minimizar srá: SQE py i py i q Assim, os stimaors β 0 β pom obtr-s minimizano a função: SQE i py i a bx i q Fazno, obtém-s s xx px i xq x i n x pn q s x, s yy py i yq yi n y pn q s y s xy px i xqpy i yq x i y i n x y, & b sxy sxx a y bx ovrx,ys s x on s x éavariânia Aovariâniaposrrsritaomo: ov rx, ys Asomaquaraososrrosé: SQE s xy n py i py i q s yy s xy s xx s yy bs xy s yy b s xx Vamos agora aprsntar uma mia o grau assoiação ntr as uas variávis qu prmitm mir a qualia o ajustamnto fito plo métoo os mínimos quaraos: o ofiint trminação Amiaavariabiliaasobsrvaçõs éxprssamfunçãoa soma quaraos os svios totais y i y Avariabiliatotaloonjunto, 5/38 6/38

4 Instituto Suprior Engnharia Lisboa Instituto Suprior Engnharia Lisboa obsrvaçõs é mia pla soma quaraos os svios totais soma quaraos total SQT SST, o inglês total sum of squars: SQT py i yq s yy Esta variabilia total po sr omposta m uas parts A primira, SQE py i py i q, soma quaraos os rros - rros ajust, rprsnta a variabilia à volta a rta rgrssão, stá rlaionaa om a inrtza prvisão éfunçãoasomaquaraosossviosy i py i,sja,rprsntaa variabilia não xpliaa pla rgrssão A sguna, a soma quaraos a rgrssão SQR SSR, o inglês rgrssion sum of squars aa por SQR ppy i yq s xy s xx, rprsnta a variabilia xpliaa pla rgrssão Tm-s ntão qu SQT SQE ` SQR Asomaquaraosargrssão,SQR, posrvistaommamia o fito a rta rgrssão na xpliação na rução avariabilia Quantomaiorforoquoint SQR SQT, maior srá a rução na variabilia qu s onsgu obtr quano s usa o onhimnto para prvr através a rta rgrssão Ao valor st quoint hamamos ofiint trminação rprsnta-s por r : r SQR SQT SQE SQT tomaosvalors0 ď r ď Tm-s: r quano toas as obsrvaçõs stão sobr a rta rgrssão (ajust prfito); r 0 quano o molo rgrssão não tm qualqur utilia na rução a variabilia Esta anális lva-nos a onluir qu r s aproxima quano o grau linaria ntr aumnta O ofiint trminação po sr alulao utilizano muitos os álulos já ftuaos para stimar a rta rgrssão: r s xy s xx s yy Outra mia o grau linaria statístia ntr éaaplo ofiint orrlação linar amostral visto antriormnt Esta mia toma valors ntr Oofiintorrlaçãolinaramostralposrrsrito usano os álulos já ftuaos: r s xy? sxx s yy Obsrv-s qu o quarao o ofiint orrlação é o ofiint trminação Not-s aina, qu sno o numraor r xatamnt igual ao numraor b, porquosnominaorsr b são ambos não ngativos, r b trão smpr o msmo sinal Assim, valors ngativos para r orrsponm a valors ngativos para b monsquênia,arta rgrssão srá rsnt ( variam na razão invrsa, a aumntos orrsponrão iminuiçõs ) A valors positivos r orrsponrá uma rta rsnt trauzino aumntos os valors para aumntos os valors 5 Rta rgrssão x m função y Quano o ajustamnto fito plo métoo os mínimos quaraos éboa qualia, a rta ajustaa py a ` bx, posrutilizaaparaprvros valors om bas m valors A msma rta só v sr usaa para prvr o omportamnto apartirvalors quano r, sja, quano xist orrlação prfita ntr as variávis, pois nst aso as uas rtas rgrssão oinim Quano ă r ă, asuasrtas não oinim, sno onorrnts ara prvr os valors om bas nos valors v utilizar-s a rta rgrssão: px a ` b y ara stimar os ofiints sta rta pro-s omo para a tra,troano as variávis x y Obtém-s: b ov rx, ys s y s xy s yy 7/38 8/38

5 Instituto Suprior Engnharia Lisboa Instituto Suprior Engnharia Lisboa a x b y Obsrv-s qu b ˆ b r Osvalorsr r são iguais para ambas as rtas 6 Erro parão as stimativas Éosvioparãoosrsíuosrros araartargrssão py a`bx, osvioparãoosrroséaopor: řn sẙ x p i q řn py i py i q SQE n n n s? y r Obsrv-s qu 0 pois i 0 ara a rta rgrssão px a ` b y,osvioparãoosrroséao por: s x y s x? r 7 rssupostos o molo Na toria a rgrssão linar amitm-s as sguints hipótss sobr os rros: valor sprao nulo variânia onstant; são mutuamnt inpnnts; são normalmnt istribuíos, sja, E i N p0; σq Avrifiaçãostsprssupostoséfunamntalquanosprtn fazr infrênia (intrvalos onfiança tsts hipótss) Esta vrifiação éfitaatravésaanálisrsíuosrrosobsrvaos, i y i py i S as hipótss rfrias s vrifiarm, os valors i são inpnnts sgum uma istribuição normal 8 Ajustamntos funçõs linarizávis Função Exprssão Transformação Ajustar a rta a: Exponnial py ab x ln py ln a ` x ln b px i, ln y i q Exponnial py a bx ln py ln a ` bx px i, ln y i q otênia py ax b ln py ln a ` b ln x pln x i, ln y i q Hipérbol py x a ` bx a`bx py i, yi Hipérbol py x b ` a a`bx py x Invrsa função om saturação py a ` b x py a ` b x xi, yi,y i xi Logarítmia py a ` b ln x py a ` b ln x pln x i,y i q Curva S py a` b x ln py a ` b, ln y x i xi Crsimnto py a`bx ln py a ` bx px i, ln y i q Rgrssão linar simpls - Infrênia Distribuiçõs por amostragm istribuiçõs amostrais Distribuição por amostragm para o ofiint orrlação amostral R Sno ρ oofiintorrlaçãopopulaional(ofiintorrlação linar arson), s n ą 30 (amostras grans) ρ próximo zro ( ρ ă 0, 6 )tmos: R 9 N ˆρ;? R ; n ara ρ próximo zro (istribuição R simétria) tmos: R n R t n ; 9/38 0/38

6 Instituto Suprior Engnharia Lisboa Instituto Suprior Engnharia Lisboa ara ρ qualqur (istribuição R assimétria) amostras grans, utiliza-s a statístia Z R ln ` `R R (usano a Transformaa Fishr) tmos: ˆ Z R 9 N Z ρ ;?, n 3 on Z ρ ln `ρ ρ,logotmos: Z R Z ρ? 9 N p0; q n 3 Distribuição por amostragm para parâmtros a rta rgrssão Como vimos a rta rgrssão amostral é aa por: om a y bx b Sxy py a ` bx, Artargrssãopopulaionaléaapor: β 0 ` β, on β 0 β são os vrairos parâmtros a rta rgrssão A são os stimaors β 0 β a b são as stimativas β 0 β,logosãoas onrtizaçõs A Tmosqu A S xy A têm istribuição normal E ras β 0, E rs β, VarrAs σy x ` Varrs σ y x, on n σ y x éavariâniaosrros Um stimaor não nvisao σy x éaopor E i n umastimativapor s y x py i py i q n S E i N p0; σq épossívlspifiarasistribuiçõsosstimaors β 0 β Distribuição por amostragm para o parâmtro a rta β 0 : S σ y x éonhiotmos: A β 0 b σ y x ` S σ y x ésonhiotmos: on om S y x i p i n A β 0 b S y x ` N p0; q ; t n, Syy bs xy n S y x S? r n S y x n, Distribuição por amostragm para o parâmtro a rta β : S σ y x éonhiotmos: S σ y x ésonhiotmos: β N p0; q ; σy x? β t n? 3 Distribuição por amostragm para a prvisão 0,am valor, x 0 Amitino a normalia os rros E i tmos qu, p orroqusomt na prvisão, p,tambémsgumistribuiçõsnormaisassimépossívl spifiar a istribuição o stimaor S σ y x éonhiotmos: p 0 0 σ y x ` ` px0 q N p0; q ; /38 /38

7 Instituto Suprior Engnharia Lisboa Instituto Suprior Engnharia Lisboa S σ y x ésonhiotmos: p 0 0 S y x ` ` px0 q t n 4 Distribuição por amostragm para a prvisão méia µ 0, ao um valor, x 0 Dao o valor x 0 prtn-s stimar o valor µ 0 β 0 ` β x 0 Ostimaor éaopor: pµ 0 A ` x 0 S σ y x éonhiotmos: pµ 0 µ 0 σ y x ` px0 q S σ y x ésonhiotmos: pµ 0 µ 0 S y x ` px0 q Intrvalos onfiança N p0; q ; t n Intrvalo onfiança para a transformaa Fishr Z ρ ȷ si α r Zρ Z R? Z α ; Z R `? Z n 3 α, n 3 on Z α ` Φ α éoprntil00 ˆ ` α a istribuição N p0; q z r ln ` `r r Intrvalo onfiança para o ofiint orrlação populaional ρ Usano a tabla a transformaa Fishr, invrtm-s os limits o intrvalo onfiança para Z ρ,obtno-sointrvaloonfiançapara ρ om r z z` Intrvalo onfiança para o parâmtro a rta β 0 S σ y x ésonhiotmos: fi si α r β0 fla S y x n ` t n ; α S ; A ` S y x xx n ` t n ; α, on t n ; α éoprntil00 ˆ ` α a istribuição tn Intrvalo onfiança para o parâmtro a rta β S σ y x ésonhiotmos: ȷ si α r β? t n ; α ; `? t n ; α, on t n ; α éoprntil00 ˆ ` α a istribuição tn Intrvalo onfiança para a prvisão 0,amvalor, x 0 S σ y x ésonhiotmos: fi si α r 0 flp 0 S y x p 0 ` S y x ` `x0 n ` ` `x0 n ` t n ; α t n ; α ; on t n ; α éoprntil00 ˆ ` α a istribuição tn Intrvalo onfiança para a prvisão méia µ 0,amvalor, x 0 S σ y x ésonhiotmos: fi `x0 si α r µ0 flpµ 0 S y x n ` t n ; α ; `x0 pµ 0 ` S y x n ` t n ; α on t n ; α éoprntil00 ˆ ` α a istribuição tn 3 Tsts hipótss 3 Tst hipótss ao ofiint orrlação linar ρ qualqur Hipótss & H 0 : ρ ρ 0 (tst bilatral) ; H : ρ ρ 0,, 3/38 4/38

8 Instituto Suprior Engnharia Lisboa Instituto Suprior Engnharia Lisboa & H 0 : ρ ρ 0 H 0 : ρ ď ρ 0 (tst unilatral à irita) ; H : ρ ą ρ 0 H : ρ ą ρ 0 & H 0 : ρ ρ 0 H 0 : ρ ě ρ 0 (tst unilatral à squra) H : ρ ă ρ 0 H : ρ ă ρ 0 & H 0 : ρ ρ 0 H 0 : ρ ě ρ 0 (tst unilatral à squra) H : ρ ă ρ 0 H : ρ ă ρ 0 Estatístia tst ara amostras grans: Estatístia tst Rgra isão tst bilatral: n T 0 R R t n sno Z R ln ` `R R (tablaa) Rgra isão tst bilatral: Z 0 Z R pz ρ q 0? 9 N p0; q, n 3 pzρ q 0 ln `ρ0 ρ0 qu é a transformaa Fishr s Z 0 ě Z tablao ntão rjita-s H 0,snoZ tablao Z α ; tst unilatral à irita: s Z 0 ě Z tablao ntão rjita-s H 0,snoZ tablao Z α ; tst unilatral à squra: s Z 0 ď Z tablao ntão rjita-s H 0,snoZ tablao Z α 3 Tst hipótss ao ofiint orrlação linar ρ próximo zro Hipótss & H 0 : ρ ρ 0 (tst bilatral) ; H : ρ ρ 0 & H 0 : ρ ρ 0 H 0 : ρ ď ρ 0 (tst unilatral à irita) ; H : ρ ą ρ 0 H : ρ ą ρ 0 s T 0 ě t tablao ntão rjita-s H 0,snot tablao t n ; α ; tst unilatral à irita: s T 0 ě t tablao ntão rjita-s H 0,snot tablao t n ; α ; tst unilatral à squra: s T 0 ď t tablao ntão rjita-s H 0,snot tablao t n ; α 33 Tst hipótss ao parâmtro a rta β 0 Hipótss & H 0 : β 0 pβ 0 q 0 (tst bilatral) ; H : β 0 pβ 0 q 0 & H 0 : β 0 pβ 0 q 0 H 0 : β 0 ď pβ 0 q 0 H : β 0 ą pβ 0 q 0 (tst unilatral à irita) ; H : β 0 ą pβ 0 q 0 & H 0 : β 0 pβ 0 q 0 H 0 : β 0 ě pβ 0 q 0 H : β 0 ă pβ 0 q 0 (tst unilatral à squra) H : β 0 ă pβ 0 q 0 Estatístia tst S σ y x ésonhiotmos: T 0 A b pβ 0q 0 S y x n ` t n 5/38 6/38

9 Instituto Suprior Engnharia Lisboa Instituto Suprior Engnharia Lisboa Rgra isão tst bilatral: s T 0 ě t tablao ntão rjita-s H 0,snot tablao t n ; α ; tst unilatral à irita: s T 0 ě t tablao ntão rjita-s H 0,snot tablao t n ; α ; tst unilatral à squra: s T 0 ď t tablao ntão rjita-s H 0,snot tablao t n ; α 34 Tst hipótss ao parâmtro a rta β Hipótss & H 0 : β pβ q 0 H : β pβ q 0 (tst bilatral) ; & H 0 : β pβ q 0 H 0 : β ď pβ q 0 H : β ą pβ q 0 (tst unilatral à irita) ; H : β ą pβ q 0 & H 0 : β pβ q 0 H 0 : β ě pβ q 0 H : β ă pβ q 0 (tst unilatral à squra) H : β ă pβ q 0 Estatístia tst S σ y x ésonhiotmos: Rgra isão tst bilatral: T 0 pβ q 0? t n s T 0 ě t tablao ntão rjita-s H 0,snot tablao t n ; α ; tst unilatral à irita: s T 0 ě t tablao ntão rjita-s H 0,snot tablao t n ; α ; tst unilatral à squra: s T 0 ď t tablao ntão rjita-s H 0,snot tablao t n ; α 35 Tst hipótss à prvisão 0,amvalor, x 0 Hipótss & H 0 : 0 p 0 q 0 (tst bilatral) ; H : 0 p 0 q 0 & H 0 : 0 p 0 q 0 H 0 : 0 ď p 0 q 0 H : 0 ą p 0 q 0 (tst unilatral à irita) ; H : 0 ą p 0 q 0 & H 0 : 0 p 0 q 0 H 0 : 0 ě p 0 q 0 H : 0 ă p 0 q 0 (tst unilatral à squra) H : 0 ă p 0 q 0 Estatístia tst S σ y x ésonhiotmos: Rgra isão tst bilatral: T 0 p 0 p 0 q 0 t n S y x ` ` px0 q s T 0 ě t tablao ntão rjita-s H 0,snot tablao t n ; α ; tst unilatral à irita: s T 0 ě t tablao ntão rjita-s H 0,snot tablao t n ; α ; tst unilatral à squra: s T 0 ď t tablao ntão rjita-s H 0,snot tablao t n ; α 36 Tst à signifiânia o molo rgrssão Hipótss & H 0 : β 0 H : β 0 (tst bilatral) 7/38 8/38

10 Instituto Suprior Engnharia Lisboa Instituto Suprior Engnharia Lisboa Quano a hipóts nula é vraira não xist uma rlação linar ntr,sja,omolorgrssãoajustaonãoésignifiativo omos fazr st tst utilizano a statístia tst, om istribuição t, já aprsntaa Em altrnativa pomos usar a sguint statístia tst: F 0 p p i iq pi piq n SQR F p; n q SQE n Os álulos nssários são aprsntaos na tabla signaa por ANOVA, o inglês Analysis of varian A méia quaraos a rgrssão pmqrq também s signa por rgrssion man squars pmsrq améiaquaraos os rros pmqeq por rror man squar pmseq Font Soma Graus Méia Estatístia variação quaraos libra quaraos tst F Rgrssão (xpliaa) Erros (não xpliaa) SQR MQR SQR F 0 MQR MQE SQE n MQE SQE n Total SQT n S F 0 ą F tablao ntão rjita-s H 0,snoF tablao F p; n ; αq Rjitar H 0 implia qu part signifiativa a variabilia éxpliaa plo molo rgrssão não rjitar H 0 implia qu os aos não fornm viênia sufiint para suportar o molo Exmplo rtn-s ftuar um stuo para analisar a rlação ntr arsistêniatrminaotipoplástio,,otmpoquorra partir a onlusão o prosso molagm até ao momnto mição a rsistênia,, mhoras Asobsrvaçõsqussgumforamftuaas m pças, solhias alatoriamnt, onstruías om st plástio: (a) Esbo o iagrama isprsão os pontos px i,y i q Rsistênia trminao tipo plástio Diagrama isprsão Tmpo ntr o prosso molagm a mição a rsistênia (b) Dtrmin a ovariânia xistnt ntr as variávis Vamos onstruir a tabla sguint qu failita os álulos o xríio: x i y i x i yi x i y i Total /38 0/38

11 Instituto Suprior Engnharia Lisboa Instituto Suprior Engnharia Lisboa Tm-s: x x i n y y i n , 5 Ovaloraovariâniaéaopor: ov rx, ys x iy i n x y n ˆ 49 ˆ 67, 5 873, 909 () Dtrmin o ofiint orrlação linar amostral Ovaloroofiintorrlaçãolinaramostraléaopor: r ov rx, ys s x s y, on s x s y são os svios parão as variávis,rsptivamnt Tm-s: řn s x x i n x 380 ˆ 49 9, 088 n Logo s y řn r y i n y n () Dtrmin s xx, s yy s xy Tm-s: s yy s xy s xx ÿ ÿ 8807 ˆp67, 5q ov rx, ys 873, 909 0, s x s y 9, 088 ˆ 46, 359 ÿ x i x 380 ˆ ; 46, 359 y i y 8807 ˆ 67, , 5; x i y i x y ˆ 49 ˆ 67, () Calul os ofiints a rta rgrssão intrprt osrsultaos obtios Os ofiints a rta rgrssão são aos por: b s xy s xx, 398 a y bx 49, 76 Obtmos assim a quação a rta rgrssão: py i a ` bx i 49, 76 `, 398x i Intrprtação o liv a rta, b: quanootmpoaumntauma hora, a rsistênia aumnta, 398 Intrprtação a ornaa na origm, a: ovalora rprsnta a rsistênia quano o tmpo é nulo A rsistênia trminao tipo plástio quano tmpo qu orr a partir a onlusão o prosso molagm até ao momnto mição a rsistênia énuloéiguala49, 76 Rsistênia trminao tipo plástio Diagrama isprsão Tmpo ntr o prosso molagm a mição a rsistênia /38 /38

12 Instituto Suprior Engnharia Lisboa Instituto Suprior Engnharia Lisboa (f) Dtrmin SQE, SQT SQR Tm-s: SQE s yy s xy s xx 583, 9; SQT s yy 3640, 5; SQR s xy s xx 3056, 33 (g) Calul o ofiint trminação amostral tir onlusõs ara a qualia o ajust Tm-s: r s xy p963q 0, s xx s yy 4008 ˆ 3640, 5 r SQR 3056, 33 0, SQT 3640, 5 Cra 97, 53 a variabilia, rsistênia trminao tipo plástio, é xpliaa à usta a variávl, tmpoquorr apartiraonlusãooprossomolagmatéaomomnto mição a rsistênia, horas (h) Calul o valor prvisto plo molo para quano o onsumo é litros Calul o rro a stimativa qu omtu ara x i 47 tm-s py i 49, 76 `, 398 ˆ 47 6, 454 km om o rro a stimativa ao por i y i py i 53 6, 43 9, 43 (i) Dtrmin os rros stimativa, a sua méia o rsptivo svio parão avrigú s a istribuição valors os rsíuos sgu uma istribuição normal Os rros stimativa são aos por i y i py i,onpy i 49, 76 `, 398x i,omi,, Obtém-sassim: 0, ; 4, 38745; 3 5, 95569; 4 4, ; 5 8, ; 6 9, ; 7, ; 8, ; 9 9, ; 0 7, 67964; 4, 3735; 6, Os pontos aprsntaos no gráfio sguint rprsntam os rros Ests vm star alatoriamnt istribuíos m torno o ixo as abissas (valor nulo) Tm-s aina: plo qu Rsíuos s ř i 0 ř i ˆ 53, 08367, s a s a 53, , ara avriguar s a istribuição valors os rsíuos po sr onsiraa normal, om um nívl signifiânia 5, pomosusaro 3/38 4/38

13 Instituto Suprior Engnharia Lisboa Instituto Suprior Engnharia Lisboa softwar statístio R ralizar um tst Kolmogorov-Smirnov om orrção Lillifors Formulação as hipótss: H 0 : Aamostraéprovnintumapopulaçãoom & istribuição normal H : Aamostraéprovnintumapopulaçãoom istribuição ifrnt a istribuição normal ; om t n ; α, 8 α α/ α/ t 0 n ; α/ tn ; α/ t 0;0,975, 8 t n ; α t 0;0,975 Nívl signifiânia: α 0, 05; Dimnsão a amostra: n No tput fornio plo softwar statístio R, pomos nontrar as sguints informaçõs: ovalorastatístiatst:d 0 0, 5; o p valu o valor p: p valu 0, 69 Aonlusãoposrrtiraauasformas: ao qu α 0, 05 ă 0, 69 p valu, nãosvrjitarh 0 ao nívl signifiânia 5; ao qu D 0 0, 5 ă 0, 4 D rítio,snod rítio ovalor rítio a statístia tst normalia Lillifors- Kolmogorov-Smirnov, não s v rjitar H 0 ao nívl signifiânia 5; (j) Dtrmin um intrvalo onfiança a 95 para a rsistênia, por aa hora a mais qu orr a partir a onlusão o prosso molagm até ao momnto mição a rsistênia arâmtro a stimar: β ; Nívl onfiança: α 0, 95; Dimnsão a amostra: n ; Variávl fulral: β? t n ; Outros aos: b, 3985, s xx 4008 s y x 7, 6385; b syy bsxy n Logo tm-s t n ; α ă β ă t? n ; α ȷ α ı t n ; α ˆ? ă β ă t n ; α ˆ? α ı t n ; α ˆ? ă β ă ` t n ; α ˆ? α Obtém-s o intrvalo alatório: ȷ si α r β t n ; α ˆ? ; ` t n ; α ˆ? ointrvalotrminista: ȷ 7, , 6385 si 0,95 r, 3985, 8 ˆ? ;, 3985 `, 8 ˆ? β s, 97;, 6673r Estima-s qu o vrairo liv a rta rgrssão populaional situa-s ntr, 97, 6673, omumnívlonfiança95, sja, quano o tmpo qu orr a partir a onlusão o prosso molagm até ao momnto mição a rsistênia aumnta uma hora, a rsistênia aumnta ntr, 97, 6673 unias (k) Dtrmin um intrvalo onfiança a 95 para a rsistênia, quano otmpoquorrapartiraonlusãooprossomolagm até ao momnto mição a rsistênia é nulo arâmtro a stimar: β 0 ; Nívl onfiança: α 0, 95; Dimnsão a amostra: n ; 5/38 6/38

14 Instituto Suprior Engnharia Lisboa Instituto Suprior Engnharia Lisboa Variávl fulral: A β0 n ` t n ; Outros aos: a 49, 74, s xx 4008, s y x 7, 6385 x 49; om t n ; α, 8 Logo tm-s α α/ α/ t 0 n ; α/ tn ; α/ t 0;0,975, 8 t n ; α t n ; α ă A β0 t n ; α ˆ S y x n ` b t n ; α ˆ S y x A t n ; α ˆ S y x ă t n ; α ` b b A ` t n ; α ˆ S y x ` ` b fi fl α ă A β 0 ă ` t 0;0,975 ȷ α ă β 0 ă ȷ α ointrvalotrminista: ff si 0,95 r 49, 74, 8 ˆ 7, 6385 β0 ` ; «49, 74 `, 8 ˆ 7, 6385 ` s35, 666; 63, 78r Estima-s qu ornaa na origm a rta rgrssão populaional situa-s ntr 35, , 78, omumnívlonfiança95, sja, quano o tmpo qu orr a partir a onlusão o prosso molagm até ao momnto mição a rsistênia é nulo, a rsistênia varia ntr 35, , 78 unias (l) Estim pontualmnt através um intrvalo onfiança a99, arsistênia,quanootmpoquorrapartiraonlusão o prosso molagm até ao momnto mição a rsistênia é 40 horas arâmtro a stimar: 0 ; Nívl onfiança: α 0, 99; Dimnsão a amostra: n ; Variávl fulral: p0 0 ` px0 q ` t n ; Outros aos: x 0 40, py 0, 3985 ˆ 40 ` 49, 74 45, 664, s xx 4008, x 49 s y x 7, 6385; Obtém-s o intrvalo alatório: fi si α r β0 fla t n ; α ˆ S y x ˆS y x n ` n ` ; A ` t n ; α ˆ om t n ; α 3, 69 α α/ α/ t 0 n ; α/ tn ; α/ t 0;0,995 3, 69 t n ; α t 0;0,995 7/38 8/38

15 Instituto Suprior Engnharia Lisboa Instituto Suprior Engnharia Lisboa Logo tm-s fi (m) Utilizano um nívl signifiânia 5, tst a signifiânia o molo (tst a signifiânia o parâmtro β ) t n ; α ă p 0 0 «t n ; α ˆ S y x «` px0 q ` t n ; α ˆ S y x p 0 t n ; α ˆ S y x ă t n ; α fl α ` ` px0 q ă p 0 0 ă ff p 0 ` t n ; α ˆ S y x Obtém-s o intrvalo alatório: fi si α r 0 flp 0 t n ; α ˆ S y x ointrvalotrminista: fi si 0,99 r 0 ` ` px0 q ` ` px0 q ă 0 ă ff p 0 ` t n ; α ˆ S y x fl45, 664 3, 69 ˆ 7, 6385 ˆ ` ` px0 q α α ` `x0 n ` ; ` `x0 n ` 45, 664 ` 3, 69 ˆ 7, 6385 ˆ s0, 35; 7, 093r ` ` p40 49q ` ; 4008 ` p40 49q 4008 Estima-s qu a vraira stimativa y quano x 40 situa-s ntr 0, 35 7, 093, omumnívlonfiança99, sja, quano o tmpo qu orr a partir a onlusão o prosso molagm até ao momnto mição a rsistênia é 40 horas, a rsistênia varia ntr 0, 35 7, 093 unias arâmtro a tstar: β ; Formulação as hipótss: & H 0 : β 0 H : β 0 Nívl signifiânia: α 0, 05; Dimnsão a amostra: n ; Estatístia tst: T 0 pβq 0? t n ; (tst bilatral) Outros aos: b, 3985, s xx 4008 s y x 7, 6385; Dtrminação a rgião rítia a rgião aitação: om t n ; α, 8 Obtmos assim as rgiõs: α Não rjição α/ H 0 α/ t 0 n ; α/ tn ; α/ t 0;0,975, 8 t n ; α RA s, 8;, 8r RC s 8;, 8sr, 8; `8r ; ; t 0;0,975 Cálulo o valor a statístia tst: T 0, ,6385 9, 879;? 4008 Disão: Como o valor a statístia tst T 0 9, 879 prtn àrgiãorítiav-srjitarh 0,aonívlsignifiânia5, sja, onluímos qu o molo ajustao é signifiativo 9/38 30/38

16 Instituto Suprior Engnharia Lisboa Instituto Suprior Engnharia Lisboa (n) Tst a hipóts a rsistênia aumntar plo mnos, 5 unias por aa hora a mais qu orr a partir a onlusão o prosso molagm até ao momnto mição a rsistênia, usano um nívl signifiânia 5 arâmtro a tstar: β ; Formulação as hipótss: & H 0 : β ě, 5 H : β ă, 5 Nívl signifiânia: α 0, 05; Dimnsão a amostra: n ; Estatístia tst: T 0 pβq 0? t n ; (tst unilatral à squra) Outros aos: b, 3985, s xx 4008 s y x 7, 6385; Dtrminação a rgião rítia a rgião aitação: α t n ; α α Não rjição H 0 om t n ; α t 0;0,95, 8 Obtmos assim as rgiõs: 0 RA s, 8; `8r RC s 8;, 8s ; Cálulo o valor a statístia tst: T 0,3985,5 7,6385 0, 84;? 4008 Disão: Como o valor a statístia tst T 0 0, 84 prtn à rgião aitação não s v rjitar H 0,aonívl signifiânia 5, sja, não xist viênia statístia sufiint para rjitar a hipóts qu a rsistênia aumnta plo mnos, 5 unias por aa hora a mais qu orr a partir a onlusão o prosso molagm até ao momnto mição a rsistênia ; (o) Ao nívl signifiânia, tst s a vraira ornaa na origm a rta rgrssão populaional é igual a 50 arâmtro a tstar: β 0 ; Formulação as hipótss: & H 0 : β 0 50 H : β 0 50 Nívl signifiânia: α 0, 0; Dimnsão a amostra: n ; Estatístia tst: T 0 A pβ0q 0 n ` (tst bilatral) t n ; Outros aos: a 49, 74, s xx 4008, x 49 s y x 7, 6385; Dtrminação a rgião rítia a rgião aitação: α Não rjição α/ H 0 α/ t 0 n ; α/ tn ; α/ om t n ; α t 0;0,995 3, 69 t n ; α 3, 69 Obtmosassimasrgiõs: RA s 3, 69; 3, 69r RC s 8; 3, 69sr3, 69; `8r ; Cálulo o valor a statístia tst: T 0 0, 0437; ; t 0;0,995 49,74 50 b 7,6385ˆ ` Disão: Como o valor a statístia tst T 0 0, 0437 prtn à rgião aitação não s v rjitar H 0,aonívl signifiânia, sja, não xist viênia statístia sufiint para rjitar a hipóts qu vraira ornaa na origm a rta populaional é 50 unias Conlui-s qu quano o tmpo qu orr a partir a onlusão o prosso molagm até ao momnto mição a rsistênia é nulo a rsistênia é nula 50 unias 3/38 3/38

17 Instituto Suprior Engnharia Lisboa Instituto Suprior Engnharia Lisboa 37 Curvas alibração m anális instrumntal A utilização urvas alibração é usual na anális instrumntal m ngnharia químia ara obtr stas urvas é usual utilizar-s, omo aproximação, o métoo os mínimos quaraos onsirar-s a urva alibração: y a ` bx A toria xposta rlativamnt à rgrssão linar simpls aplia-s à urva alibração y a ` bx A urva alibração orrspon à rgrssão m, sja,iniaomoy varia m função os valors x Not-squa urva orrsponnt à rgrssão m não é a msma (xpto quano r ) No ntanto, xist a onvnção qu é smpr a rgrssão m qu v sr usaa nas xpriênias alibração Na prátia analítia, o ofiint orrlação linar amostral, r, assoiao às urvas alibração éfrquntmntsupriora0, 99 Cofiintsorrlaçãolinaramostral om valors infriors a 0, 9 são rlativamnt inomuns Assim, omo tmos r, quanotmosaurvaalibraçãofinia,y a ` bx, épossívl alular o valor x orrsponnt a um trminao valor y ao Sno y y 0 tmos qu o valor x 0 orrsponnt é ao por: x 0 y 0 a b Osvioparãoaprvisão 0,ao y 0,éaopor: S 0 S y x ` `y0 n ` Aistribuiçãoporamostragmparaaprvisão 0,ao y 0,éaapor: p 0 0 ` py0 q ` n t n ointrvaloonfiança 0,ao y 0,éaopor: fi si α r 0 fl 0 p ` `y0 n ` p 0 ` ` `y0 n ` t n ; α ; t n ; α, on t n ; α sonhio éoprntil00 ˆ ` α a istribuição tn, om σ y x Quano tmos m valors, y,y,,y m,onsiramos ř m y 0 y i m Nst aso, o svio parão a prvisão 0,ao y 0,éaopor: S 0 S y x m ` `y0 n ` Aistribuiçãoporamostragmparaaprvisão 0,ao y 0,éaapor: p 0 0 ` py0 q ` m n t n ointrvaloonfiança 0,ao y 0,éaopor: fi si α r 0 fl 0 p m ` `y0 n ` p 0 ` m ` `y0 n ` on t n ; α sonhio t n ; α ; t n ; α éoprntil00 ˆ ` α a istribuição tn, om σ y x Exmplo Numa xpriênia lvaa a abo para ftuar a alibração um aparlho qu m a onntração uma aa substânia foram usaas 8 amostras onntração onhia pq, tno o aparlho rgistao os valors p q aprsntaos na sguint tabla:,0,,4,6,8,0,,4 5,0 7, 8,8 0,5, 4,3 5,7 7,6, 33/38 34/38

18 Instituto Suprior Engnharia Lisboa Instituto Suprior Engnharia Lisboa (a) Estim, pontualmnt, os parâmtros a quação a rta os mínimos quaraos qu s ajusta aos aos Através os aos obtmos: 8ÿ x i Tm-s: x obtmos: s xy 4, 8; 8ÿ 8ÿ x i 3, 6; yi 8ÿ y i 9, ; 7, 68; 8ÿ x i y i 69, 9 ř 8 xi 3,6 ř 8, 7 y yi 9,, 4 Assim, s xx 8ÿ x i 8 x 4, 8 8 ˆ, 7, 68 8ÿ x i y i 8 x y 69, 9 8 ˆ, 7 ˆ, 4 4, 88 Os ofiints a rta rgrssão são aos por: b s xy s xx 8, 857 a y bx 3, 657 Obtmos assim a quação a rta rgrssão: py i a ` bx i 3, 657 ` 8, 857x i (b) Dtrmin o ofiint orrlação linar amostral Tm-s: s yy 8ÿ yi 8 y 7, 68 8 ˆ, 4 3 Oofiintorrlaçãolinaramostraléaopor: r s xy 4, 88?? 0, 999 sxx s yy, 68 ˆ 3 () Estim através um intrvalo onfiança, a 90, aonntração uma aa amostra para a qual foi ralizaa uma litura, tno o aparlho rgistao o valor 3, Tmos y 0 3, logo obtmos 3, 3, 657 ` 8, 857px 0 px 0, 9 arâmtro a stimar: 0 ; Nívl onfiança: α 0, 9; Dimnsão a amostra: n 8; Variávl fulral: p0 0 ` py0 q ` n t n ; Outros aos: by 0 3,, px 0, 9, y, 4, b 8, 857, s xx syy bsxy, 68 s y x 0, 86; n α α/ α/ t 0 n ; α/ tn ; α/ om t n ; α t 6;0,95, 943 t n ; α t 6;0,95, 943 Logo tm-s t n ; α ă p 0 0 «t n ; α ˆ «` py0 q ` n t n ; α ˆ p 0 t n ; α ˆ p 0 ` t n ; α ˆ ă t n ; α fi fl α ` py0 q ` ă p n 0 0 ă ff ` py0 q ` n α ` py0 q ` ă n 0 ă ff ` py0 q ` n α 35/38 36/38

19 Instituto Suprior Engnharia Lisboa Instituto Suprior Engnharia Lisboa Obtém-s o intrvalo alatório: fi si α r 0 fl p 0 t n ; α ˆ ointrvalotrminista: ff si 0,9 r 0, 9, 943 ˆ, 9 `, 943 ˆ s, 8563;, 9437r ` n ` p 0 ` t n ; α ˆ 0, 86 8, 857 ˆ ` 8 0, 86 8, 857 ˆ `y0 ; ` n ` `y0 ` p3,, 4q p8, 857q ˆ, 68 ; ` p3,, 4q ` 8 p8, 857q ˆ, 68 Estima-s qu a vraira stimativa x quano y 3, 3 situa-s ntr, 8563, 9437, omumnívlonfiança90, sja, quano o aparlho rgista o valor 3,, aonntraçãmaaa amostra, 8563, 9437 unias () Estim através um intrvalo onfiança, a 95, aonntração uma aa amostra para a qual foram ralizaas uas lituras, tno o aparlho rgistao os sguints valors: 4, 86 5, 03 Tmos y 0 4,86`5,03 4, 945 logo obtmos 4, 945 3, 657 ` 8, 857px 0 px 0, arâmtro a stimar: 0 ; Nívl onfiança: α 0, 95; Dimnsão a amostra: n 8; Variávl fulral: p0 0 m ` py0 q ` n t n ; Outros aos: y 0 4, 945, px 0,, y, 4, b 8, 857, s xx, 68, m s y x 0, 86; «α α/ α/ t 0 n ; α/ tn ; α/ om t n ; α t 6;0,975, 447 t n ; α t 6;0,975, 447 Logo tm-s t n ; α ă p 0 0 m ` py0 q ` n «t n ; α ˆ «t n ; α ˆ p 0 t n ; α ˆ ă t n ; α fi fl α ` py0 q ` ă p m n 0 0 ă ff ` py0 q ` m n p 0 ` t n ; α ˆ Obtém-s o intrvalo alatório: fi si α r 0 fl p 0 t n ; α ˆ ointrvalotrminista: ff si 0,95 r 0,, 447 ˆ p 0 ` t n ; α ˆ, `, 447 ˆ s, 0564;, 436r α ` py0 q ` ă m n 0 ă ff ` py0 q ` m n m ` `y0 n ` ; 0, 86 8, 857 ˆ ` 8 0, 86 8, 857 ˆ m ` n ` α `y0 ` p4, 945, 4q p8, 857q ˆ, 68 ; ` p4, 945, 4q ` 8 p8, 857q ˆ, 68 «37/38 38/38