2 Fluxo em meios porosos não saturados

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1 Fluxo m Mios Porosos ão Saturaos 23 2 Fluxo m mios porosos não saturaos 2.1. Mios porosos saturao não saturao O fluxo através um mio poroso não-saturao é naa mais o qu um caso spcial fluxo simultâno fluios não miscívis BEAR, Para o caso mais comum m solos não saturaos, sss fluios são nominaos molhant não-molhant, sno sts a água o ar, rspctivamnt. Assim, o fluxo m um mio poroso não-saturao ocorr quano a água s movimnta através um solo com grau saturação S infrior a 100% com rlação ao fluio molhant, com parts os spaços vazios ocupaos plo ar, consirao aqui stagnao, isto é, qu não s ncontra m movimnto. a figura 2.1 são ilustraas as istribuiçõs a prssão água abaixo a suprfíci o solo. Figura 2.1 Distribuição poro-prssão típica m um horizont solo. A zona saturaa é a rgião na qual os vazios o solo stão totalmnt prnchios por água a carga prssão é positiva. A franja capilar, por sua vz, é a rgião ascnsão capilar na qual o solo aina s ncontra saturao, porém sujito a uma carga prssão ngativa.

2 Fluxo m Mios Porosos ão Saturaos 24 A zona não-saturaa é a rgião na qual os vazios o solo são prnchios por ar água, também submtia a uma poroprssão ngativa. ssa zona, a istribuição inicial poroprssõs é incrta pnno as caractrísticas o mio poroso, sno ncssário para sua trminação miçõs m campo. A prssão u ar inicaa na Figura 2.1, é chamaa prssão ntraa ar; qu caractriza a intrfac ntr a franja capilar a zona não-saturaa, surgino assim uma propria própria os solos não-saturaos nominaa sucção, finia pla ifrnça ntr a prssão ntraa ar u ar a prssão a água u w nos vazios o solo, como finio pla quação abaixo. sucção = u ar u w 2.1 Com a iminuição o grau saturação, os vazios maiors, rsponsávis m gran part pla conutivia hiráulica o mio poroso, são os primiros a srm rnaos, intrrompno o canal fluxo, com o volum água nls rmanscnt s concntrano sob forma mniscos no contato com as partículas. A maior part o fluxo s transfr para os vazios mnors, iminuino assim o coficint prmabilia o mio m até 100 mil vzs m rlação ao su valor na conição saturaa. Para baixos tors umia ou altas sucçõs o coficint prmabilia po sr tão pquno qu pom sr ncssários graints hiráulicos lvaos ou intrvalos tmpo muito grans para qu sja possívl tctar a ocorrência fluxo no mio. S, por simplicia for sconsirao o valor a prssão ntraa ar, a sucção sria ntão xprssa apnas m função a prssão ngativa água nos vazios: sucção = γ 2.2 = u w w m qu γ w é o pso spcifico a água a carga prssão. ot qu como < 0, ntão a sucção assum smpr um valor positivo, qu s torna nulo quano a carga prssão for maior ou igual a zro. os solos não-saturaos, as proprias hiráulicas tais como a conutivia hiráulica o tor umia volumétrica θ variam com as

3 Fluxo m Mios Porosos ão Saturaos 25 muanças a carga prssão vio à prsnça ar no mio poroso. A variação ssas proprias po sr rprsntaa plas curvas caractrísticas θ = θ, chamaa curva rtnção água ou curva caractrística sucção, =, nominaa curva conutivia hiráulica Curva caractrística sucção O tor umia volumétrica θ é finio pla quação 2.3 como a razão ntr o volum água V w prsnt no intrior o mio poroso su volum total V. θ = V w /V 2.3 os solos não-saturaos a sucção stá rlacionaa com o tor umia volumétrica θ através a curva caractrística sucção ou curva rtnção água, ilustraa na figura 2.2, on são xibios três pontos staqu. O primiro é constituío plo valor a prssão ntraa ar u ar, qu corrspon ao valor a sucção para a qual o ar comça pntrar nos poros maior iâmtro no solo. O sguno ponto é aqul corrsponnt ao tor umia volumétrica rsiual θ r a partir o qual tm qu s acrscntar m um gran valor à sucção para prouzir pqunas variaçõs na umia volumétrica. O trciro, finalmnt, corrspon ao tor umia volumétrica saturação, toricamnt igual à porosia o solo, já qu nst ponto toos os vazios stão prnchios pla água. Porém, como obsrvao na figura 2.2, st ponto po sr ifrnt nos procssos umcimnto θ s scagm θ s, sno maior nst último. Ess tipo comportamnto stá associao à não uniformia os poros, à prsnça bolhas ar qu prmancm no solo urant o procsso umcimnto a possívis muanças struturais Grscovich, 1994; Richart imm, 2000.

4 Fluxo m Mios Porosos ão Saturaos 26 Figura 2.2 Curva caractrística rtnção típica um solo siltoso Frlun Xing, A curva caractrística rtnção po sr trminaa através nsaios laboratório ou aplicação rlaçõs mpíricas. As técnicas xprimntais consagraas para a mição a sucção são as papl filtro a placa sucção ifrnciano-s principalmnt quanto ao nívl sucção aplicaa, a partir as quais pom sr obtios pontos a citaa curva Villar, o métoo o papl filtro, paronizao pla norma ASM D , o solo é colocao m contato com o papl filtro, mnor umia, qu absorv crta quantia água até qu o sistma solo + papl ntr m quilíbrio hiráulico. Dispono-s a curva calibração o papl, a sucção ntão po sr trminaa m função a quantia água o solo absorvia plo papl. A curva caractrística sucção é muito aftaa pla strutura o solo, sno inispnsávl a utilização amostras informaas Soars, Quanto a rlaçõs mpíricas, na litratura ncontram-s as proposiçõs sugrias por van Gnuchtn 1980, Srivastava Yh 1991, Frlun Xing 1994, ntr outros. st trabalho foram aotaos para a rprsntação a curva caractrística rtnção os molos propostos por van Gnuchtn 1980 por Srivastava Yh 1991, aprsntaos a sguir.

5 Fluxo m Mios Porosos ão Saturaos Molo Srivastava Yh 1991 Srivastava Yh 1991 utilizaram a sguint função xponncial para molagm a curva caractrística rtnção m solos não saturaos: α xp θ = θ + θ θ 2.4 r s r na qual θ r é o tor umia volumétrica rsiual, θ s o tor umia volumétrica saturao, a carga prssão, α xp é um parâmtro qu varia acoro com o tipo solo qu rprsnta a taxa rução o tor umia volumétrica a mia qu a carga prssão iminui. O formato típico a curva rtnção acoro com sta rlação é aprsntao na figura 2.3. Figura 2.3 Forma típica a curva caractrística rtnção conform molo xponncial. Ess molo aprsnta um valor capacia rtnção spcífica θ C = ifrnt zro para a situação saturação a uma prssão nula. Em uma situação ral, sprzano-s as variaçõs volum, isso não poria acontcr. Assim, po-s consirar qu a aplicação o molo Srivastava Yh 1991 sria aquaa para problmas qu nvolvam fluxo

6 Fluxo m Mios Porosos ão Saturaos 28 somnt na zona não-saturaa. Cab aina rssaltar qu ss molo não é capaz rprouzir a zona ascnsão capilar, caractrizaa pla prssão ntraa ar, também não rprsnta a histrs mostraa na figura 2.2 α xp é o msmo para ciclos umcimnto ou scagm Molo van Gnuchtn 1980 A quação 2.5 foi proposta por van Gnuchtn 1980 para rprsntação a rlação ntr o tor umia volumétrico a carga prssão m solos nãosaturaos, θ = θ + r θ θ s [ ] q p 1+ α vg r 2.5 m qu α vg, p q são parâmtros a srm ajustaos acoro com o tipo solo. Valors p q são pnnts ntr si, acoro com a rlação abaixo van Gnuchtn, 1980: 1 p = q Sguno Millr t al 1998 o parâmtro α vg stá rlacionao com a imnsão méia os poros o parâmtro q com a uniformia a istribuição os poros ifrnts imnsõs. O formato típico uma curva acoro com a quação 2.5 é ilustrao na figura 2.4. Est molo, ao contrário o antrior, aprsnta uma capacia rtnção nula para a conição saturação aina é capaz caractrizar a zona ascnsão capilar. Com ssas caractrísticas, o molo van Gnuchtn tornou-s o mais utilizao para simulação o comportamnto hiráulico solos nãosaturaos, tno sio incorporaos m vários softwars comrciais como o programa computacional PlaxFlow. Entrtanto, st molo também não consira a histrs obsrvaa ntr procssos umcimnto scagm.

7 Fluxo m Mios Porosos ão Saturaos 29 Figura 2.4 Forma típica a curva caractrística rtnção acoro com o molo van Gnuchtn Curva conutivia hiráulica A outra curva caractrística na invstigação o comportamnto hiráulico solos não-saturaos s rfr à qu rlaciona a prmabilia com a carga prssão. Sguno Soars 1999, os métoos para a trminação a prmabilia não saturaa os solos tanto m campo como no laboratório, pom sr iviios m uas catgorias: Métoos Rgim Prmannt Prmâmtro Gulph - campo Métoos Rgim ransint Métoo o prfil Instantâno campo laboratório. Porém sss métoos são muito ifícis srm aplicaos, gralmnt vio a fnômnos ifusão o ar m virtu as pqunas quantias fluxo mias. Dst moo, psquisaors propusram métoos inirtos para a trminação a curva conutivia hiráulica com bas na curva caractrística sucção, surgino sta forma molos statísticos molos mpíricos Frlun t al., 1994; van Gnuchtn, 1980; Srivastava Yh, 1991, ntr outros. st trabalho, foram novamnt implmntaos os molos propostos por van Gnuchtn 1980 Srivastava Yh 1991, scritos a sguir.

8 Fluxo m Mios Porosos ão Saturaos Molo Srivastava Yh 1991 Para a utilização sta formulação mpírica é ncssário conhcr-s ivrsos pontos a curva caractrística sucção o solo não-saturao, bm como o valor a conutivia hiráulica na conição saturaa. O xponncial Srivastava Yh 1991 para a curva conutivia hiráulica consist basicamnt na quação 2.7, on α xp rprsnta o msmo parâmtro mprgao no ajust a curva caractrística sucção quação 2.4 s nota o valor a conutivia hiráulica saturaa [L -1 ]. α xp = 2.7 s Uma forma squmática a curva conutivia hiráulica saturaa não saturaa para o molo xponncial é mostraa na figura 2.5. Figura 2.5 Forma típica a curva a função conutivia hiráulica para o molo xponncial.

9 Fluxo m Mios Porosos ão Saturaos Molo van Gnuchtn 1980 Dntr os molos statísticos utilizaos para scrvr a função conutivia hiráulica, po-s stacar o molo proposto por Mualm 1976 basao na imnsão istribuição statística os vazios um mio poroso. A partir st molo statístico, van Gnuchtn 1980 propôs a sguint formulação mpírica para rprsntação a função conutivia hiráulica: 1/ 2 1/ p p 1 1 θ 2 θ = θ 2.8 s m qu a umia volumétrica rlativa θ é finia por: θ θ r θ = θ θ s r = 1 [ ] q p 1+ α vg 2.9 na qual p, q, α vg, são os msmos parâmtros mprgaos nas quaçõs para stablcimnto a curva caractrística sucção, sno qu rprsnta o valor a carga prssão. Figura 2.6 Forma típica a curva a função conutivia hiráulica para o molo van Gnuchtn 1980.

10 Fluxo m Mios Porosos ão Saturaos Equação govrnant o fluxo m mio poroso não-saturao Consirano um volum lmntar submtio a um fluxo água nas irçõs x, y z, como inicao na figura 2.6. A quação ifrncial qu govrna o fluxo po sr scrita como: M w ρ w v x y z = 2.10 m qu ρ w é a massa spcífica a água, v é o vtor vlocia suprficial fluxo um opraor ifrncial qu pn a imnsão o problma. O trmo o lao squro a quação 2.10 rprsnta o balanço massa nas três irçõs cartsianas, nquanto qu o trmo o lao irito rprsnta a taxa variação no tmpo a massa água M w armaznaa no volum lmntar. Figura 2.7 Volum lmntar sujito a fluxo água nas irçõs x, y z. A massa água po sr scrita m trmos a massa spcifica ρ w, o grau saturação S, a porosia o mio n o volum ifrncial x.y.z como sno: M w ρ S n x y z 2.11 = w

11 Fluxo m Mios Porosos ão Saturaos 33 Substituino a quação 2.11 na quação 2.10 liminano os trmos comuns, chga-s m ρ w S n ρ w v = 2.12 Obsrvano-s qu θ = n S 2.13 consirano-s qu o fluio o mio são incomprssívis, ntão a quação 2.12 po sr r-scrita como: θ v = 2.14 Amitino-s coniçõs fluxo laminar o fluio através o mio poroso, vm pla li Darcy: v = z na qual é a matriz a conutivia hiráulica, qu para problmas fluxo não-saturao pn a carga prssão, z+ é o vtor os graints hiráulicos, obsrvano-s qu z são, rspctivamnt, as cargas lvação prssão no ponto consirao. Substituino a quação 2.15 na quação 2.14 rsulta m: θ [ + ] = 2.16 m qu é um vtor unitário na irção a aclração a gravia z. no m vista qu na quação 2.16 o tor umia volumétrico é função a carga prssão curva rtnção:

12 Fluxo m Mios Porosos ão Saturaos 34 θ = θ 2.17 aplica-s a rgra a caia na obtnção a rivaa m rlação ao tmpo o lao irito a quação 2.16, θ θ = 2.18 rlação: Introuzino-s a capacia rtnção spcífica C finia pla θ C = 2.19 obtém-s a quação 2.18, θ = C 2.20 Substituino-s finalmnt a quação 2.20 m 2.16 a quação govrnant o fluxo m mio poroso não-saturao po sr scrita como: [ + ] = C 2.21 Esta quação 2.21 é conhcia como quação Richars, classificaa como quação ifrncial parcial sguna orm não-linar. A não linaria surg vio à variação a conutivia hiráulica o mio poroso m função os valors a carga prssão. a formulação aprsntaa, o fito a fas o ar no movimnto a água foi sconsirao, simplificano-s o problma. O caso mais gral sria o fluxo bifásico água-ar, on os movimntos ambas as fass, consqüntmnt sua intração, vm sr consiraos simultanamnt ilsn t al.,1986.

13 Fluxo m Mios Porosos ão Saturaos 35 A solução a quação Richars vrá atnr às coniçõs contorno qu pom sr xprssas m trmos carga prssão prscrita conição Dirichlt: x, t = m Γ ou m fluxo prscrito conição wman: n [ ] + = v m Γ na qual Γ = Γ 1 +Γ 2 fin o contorno o omínio o problma. A solução a quação 2.21 vrá, aina, atnr à conição inicial o problma: x,0 = 0 x 2.24 Obsrv finalmnt qu para a solução numérica a quação 2.21 é ncssária a trminação as curvas caractrísticas = θ = θ qu, como foi stacao antriormnt, são proprias intrínscas o matrial para um trminao fluío Solução numérica a quação Richars plo métoo os lmntos finitos A quação Richars quação 2.21 aprsnta uma gran nãolinaria, já qu tanto a conutivia hiráulica quanto a capacia rtnção spcífica C são funçõs a carga prssão, variávl qu s busca trminar Miqultto ão xistino soluçõs analíticas a quação para anális problmas com gomtrias complxas, as aproximaçõs numéricas são as mais rcomnaas para st tipo problma. Dntr os métoos numéricos mais utilizaos pom sr citaos o Métoo as Difrncias Finitas MDF o métoo os Elmntos Finitos MEF.

14 Fluxo m Mios Porosos ão Saturaos 36 Para a solução aproximaa a quação Richars foi aotao nst trabalho o Métoo os Elmntos Finitos MEF, on o contínuo é iviio m lmntos, qu s ncontram ligaos ntr si através nós istribuíos aos longo sus contornos. Consirano-s * uma solução aproximaa no omínio o lmnto, a quação 2.21 po sr scrita como: * * * [ + ] C = R 2.25 m qu R * rprsnta o rsíuo a solução aproximaa. A solução aproximaa no omínio o lmnto é usualmnt scrita no métoo os lmntos finitos consirano-s: * = 2.26 na qual nota a matriz as funçõs intrpolação, finias m função o tipo lmnto finito aotao, rprsnta o vtor as cargas prssão noais. Assim, r-scrv-s a quação 2.25 como: * [ + ] C = R 2.27 Aplicano-s o métoo os rsíuos ponraos Huyakorn Pinr, 1983, a minimização o rsíuo R * é obtia através a introução funçõs ponração qu, no métoo Galrkin, são as próprias funçõs intrpolação. { [ + ] C } = Intgrano-s por parts os ois primiros trmos quação 2.28 vm:

15 Fluxo m Mios Porosos ão Saturaos 37 Γ Γ Γ + Γ n n ] [ ] [ 0 = t C 2.29 na qual Γ rprsnta o contorno o lmnto n o vtor unitario xtrno, normal ao contorno. Consirano-s = B 2.30 agrupano-s os trmos, rsulta: = + t C B B Γ Γ + B B n ] [ 2.31 qu é a solução aproximaa a quação Richars plo métoo os lmntos finitos. Esta quação, para fitos simplificação, po sr finia como, a nívl o lmnto finito: Q' Q t F H = Com a matriz fluxo = B B H 2.33 o vtor vazão noal quivalnt ao fluxo prscrito na fac o lmnto, Γ Γ + = B n Q ] [ 2.34

16 Fluxo m Mios Porosos ão Saturaos 38 o vtor vazão noal quivalnt rlacionao aos fitos gravitacionais carga lvação, Q ' = B 2.35 a matriz capacia rtnção qu trauz as variaçõs o tor umia m rlação à poroprssão m caa lmnto. F = C 2.36 Clia t al obsrvaram qu os rsultaos o MEF aprsntam oscilaçõs na prvisão a carga prssão, concluino qu a iagonalização a matriz F quação 2.36 é conição ncssária suficint para a liminação ss problma. Atribuíram ss comportamnto oscilatório ao fato qu no MEF as rivaas no tmpo são istribuías spacialmnt quano s consira a formulação a matriz consistnt, ou sja, quano as msmas funçõs intrpolação são usaas para a construção toas as matrizs vtors a formulação numérica. Fisicamnt, a iagonalização rprsnta qu a propria rlativa à capacia rtnção não stá mais istribuía nos lmntos, mas concntraa m sus nós, rsultano m uma matriz iagonal lumping. st trabalho aotou-s o sguint squma iagonalização a matriz F proposto por Milly 1985, xprsso pla quação F = δ C i, j i i 2.37 m qu δ i,j é o lta ronckr, C é a capacia rtnção spcífica o nó i libra i. i i rprsnta as funçõs intrpolação associaas ao grau