Cosmologia. Observação: quando se aplicar, todos os exercícios desta lista se referem à cosmologia de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker.

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1 Cosmolog Lst de Exercícos 1 Observção: qundo se plcr, todos os exercícos dest lst se referem à cosmolog de Fredmnn-Lemître-Robertson-Wlker. 1. Teorem do Vrl ) Demonstre o teorem do vrl, expctndo sus premsss. Suponh um sstem lgdo de prtículs sob ção uncmente d forç grvtconl e cuj form globl permnece constnte no tempo. Mostre que 2 E K = E G, (1) onde E K é energ cnétc méd e E G é energ potencl méd. b) Pr stuções típcs de gláxs e glomerdos de gláxs (dmensões, velocddes e msss típcs), qul é ordem de grndez esperd ds correções reltvístcs? Há lgum stução strofísc em que s correções reltvístcs poderm ser mportntes? c) Como se pode consderr os efetos reltvístcos no teorem do vvrl? Que tpo de cálculo você fr? Fç um busc bblográfc de ltertur com esse foco/objetvo. d) Estmtv d mss de glomerdos Pr ter um estmtv d ordem de grndez d mss de um glomerdo de gláxs, suponh que mss de tods s gláxs do glomerdo têm mesm ordem de grndez e que o mesmo vle pr s velocddes. Usndo o teorem do vrl, mostre que M 2Rv2 G, (2) 1

2 onde M é mss totl do glomerdo, R é o tmnho crcterístco e v é velocdde crcterístc ds gláxs em relção o centro de mss do glomerdo 1. Supnh que v 10 3 km/s e que R 10Mpc, qul é mss do glomerdo? Dc pr demostrr o teorem do Vrl: Prt de equção de Newton pr um prtícul sob ção d grvdde de N outrs prtículs, d 2 r dt 2 = j Gm j ( r r j ) r r j 3, (3) multplque ess equção por m r (produto esclr) e some sobre tods s prtículs. Mostre que o ldo esquerdo será smplesmente d 2 ( ) 1 dt 2 2 m r 2 ( ) m v 2 = d2 1 dt 2 2 m r 2 2E K. (4) Usndo que j mostre que j Gm m j ( r r j ) r r j 3 r = j Gm m j ( r r j ) r r j 3 r j (5) Gm m j ( r r j ) r r r j 3 = 1 Gm m j 2 j r r j = E G. (6) Desse modo, teremos fnlmente que d 2 ( ) 1 dt 2 2 m r 2 2E K = E G. (7) Fzendo um méd temporl e supondo que form do objeto não mud com o tempo, obtemos o resultdo 1. Observção: o resultdo cm pode ser escrto de form ms gerl pr outros tpos de nterção e é conhecdo como teorem do vrl de Clusus. Um demonstrção um pouco ms cuddos e ms gerl pode ser encontrd n wkped ( theorem). 1 Note que, pelo desvo pelo vermelho, medmos pens componente d velocdde n dreção do observdor (Terr). Como podemos modfcr equção cm pr levr em cont o fto de que só um componente d velocdde é medd? 2

3 2. Esfer sotérmc sngulr Um modelo muto utlzdo pr representr dstrbução de mtér em gláxs é o d esfer sotérmc sngulr (EIS). Como o nome dz, hpótese por trás d EIS é que tempertur (n reldde, dstrbução de velocddes) é mesm em todos os pontos. A prtr dess hpótese, ) mostre que dstrbução de mss d EIS é dd por ρ(r) = σ2 v 2πGr 2. (8) b) Obtenh s curvs de rotção pr ess dstrbução de mtér e comente. Como você construr um modelo d gláx usndo EIS? c) Em um glomerdo de gláxs emssão de ros-x é essenclmente devd os elétrons no plsm ntr-glomerdo. É poss vel usr expressão cm pr determnr densdde d mtér no glomerdo? Nesse cso, quem ser σ v? Ess é densdde dos elétrons ou é densdde totl de mtér? Estme mss contd em um ro de 10 Mpc pr um temperrtur de 7 kev. Dc: Note que p ρσv. 2 2 Logo, se σ v = const., teremos p ρ. A combnção d equção de Euler (pressupondo equlíbro hdrostátco e utlzndo equção de estdo cm) com solução d equção de Posson pr smetr esférc lev um equção ntegro-dferencl pr ρ. Procure soluções dess equção, por exemplo, supondo que el possu form de um le de potênc. Comentáro: ssm como um gás del, mtér escur tmém segue um dstrbução proxmdmente mxwelln de velocddes, mesmo sem ter colsões. Desse modo, o resultdo obtdo no exercíco, supondo um gás del sotérmco, tmbém cb vlendo pr mtér escur. 3. Unddes e ordens de grndez ) A tempertur d rdção cósmc de fundo (RCF) hoje é T 0 = ± [1]. Lembrndo d le de Stephn-Boltzmnn (ρ = σt 4 ) 2 Como no cso de um gás del, p = nkt, onde n é densdde de número de prtículs e T é determndo pel energ cnétc mcroscópc < E >= (3/2)kT. Assm, kt = (2/3) (1/2)mσ 2 v, de modo que p ρσ 2 v, onde ρ é densdde de mss. Comentáro: n expressão d dspersão de velocddes σ 2 v = v 2 v 2, v é velocdde mcroscópc de cd ou prtícul, não confundr com velocdde globl, méd, V de um elemento de volume (que prece n equção de Euler), que no cso do equlíbro é nul. 3

4 clcule densdde (e densdde de energ) dos fótons d RCF. Expresse seus resultdos em g/cm 3. Note que, pr usr le de Stephn- Boltzmnn, estmos supondo que os fótons d RCF obedecem à dstrbução de Plnck, o que é verfcdo expermentlmente com um excelente precsão. b) O prâmetro de Hubble é gerlmente escrto n form H 0 = 100 h Km/s/Mpc. A prtr dess quntdde, obtenh o tempo de Hubble t H = H0 1, em segundos e em nos (em termos de h). Tmbém podemos defnr um dstânc de Hubble pel relção D H = c/h 0. Obtenh D H em klômetros e em megprsecs (Mpc). Clcule t H e D H supondo que h 0.72 [2]. c) Obtenh densdde crítc ρ crt := 3H 2 0/8πG em g/cm 3 em termos de h. Em cosmolog, é muto convenente ntroduzrmos os prâmetros cosmológcos de densdde, defndos pel relção Ω = ρ 0 /ρ crt, onde o índce denot cd componente do conteúdo energétco-mterl do unverso. Clcule Ω γ (prâmetro de densdde dos fótons) em termos de h e pr h = Observções: Os cosmólogos e físcos de prtículs costumm utlzr convenções em que c = 1, onde c é velocdde d luz (no vácuo). Insr ess quntdde pr obter s dmensões correts nos exercícos, qundo for necessáro. O subscrto 0 costum denotr quntddes clculds hoje, ou sej, n presente dde do unverso. 4. Cosmolog newtonn É possível construr um cosmolog purmente newtonn pr um Unverso homogêneo e sotrópco? Mencone lguns problems que surgem em tl construção. 5. Conservção d energ e evolução ds componentes mters Segundo o procedmento dscutdo em ul, ) obtenh equção d conservção d energ dρ d + (ρ + p)3 = 0, (9) que é váld pr um fludo perfeto dptdo às smetrs de um Unverso espclmente homogêneo e sotrópco. 4

5 b) Resolv equção d conservção d energ (9) pr s seguntes equções de estdo p = wρ e p = A α+1 /ρ α. Dc: no prmero cso (equção de estdo lner), p m pode ser um bom Anstz pr encontrr solução. Já no cso em que p é ddo por um le de potênc em função de ρ, pode ser ms convenente trnsformr equção (9) n form ntegrl d ρ 0 = dρ ρ + p, (10) onde os lmtes de ntegrção form escolhdos de modo que ρ ( 0 ) = ρ 0. Observção: A equção de estdo ρ () (com w < 1/3) é um modelo fenomenológco muto utlzdo pr representr energ escur. Já equção de estdo p = A α+1 /ρ α fo propost como um modelo de unfcção mtér-energ escur. Esse fludo fcou conhecdo como gás de Chplygn generlzdo. c) Mostre que, pr 1, ρ() o gás de Chplygn generlzdo se comport como poer e que, pr 1, se comport como constnte cosmológc. Observção: d expressão (10), temos que ( ) ρ dρ = exp = G (ρ), 0 ρ 0 ρ + p de modo que solução sempre pode ser escrt n form ( ) ρ = ρ 0 F, (11) 0 com F (1) = 1 (já que, por construção ρ ( 0 ) = ρ 0 ). Nturlmente, F pode depender de um sére de prâmetros d equção de estdo e tmbém de ρ 0 (nós pens colocmos ρ 0 em evdênc ness expressão). A expressão (11) é muto convenente pr expressr o prâmetro de Hubble, já que contrbução de ( um ) componente pr (H/H 0 ) será dd smplesmente por Ω 0 F 0 = Ω0 F (z). Obtenh F pr os csos p = wρ e p = A α+1 /ρ α dscutdos cm. d) Reescrev equção d conservção de energ ρ 0 ρ + 3H (ρ + p) = 0 5

6 utlzndo como vrável. Mostre que pr rdção (p = ρ/3), mtér (p = 0) e vácuo (p = ρ) s soluções são, respectvmente, ρ r = ρ r0 ( 0 /) 4, ρ m = ρ m0 ( 0 /) 3 e ρ v = ρ v0 = const. Se quser, é fácl encontrr solução pr um equção de estdo um pouco ms gerl, d form p = wρ. Utlze esses resultdos n equção de Fredmnn (14), junto com s defnções dos prâmetros cosmológcos (prâmetros de densdde e prâmetro de Hubble), pr obter (num unverso composto por mtér, rdção, curvtur e constnte cosmológc) H () = H 0 Ω r ( 0 ) 4 + Ωm ( 0 ) 3 ( ) ΩK + ΩΛ (12) onde Ω Λ pode denotr tnto constnte cosmológc, qunto um termo do tpo energ do vácuo, ou um combnção dos dos. 6. Soluções d equção de Fredmnn ) Resolv equção de Fredmnn pr k = 0 e um únco fludo com equção de estdo p = wρ. Sugestão: utlze um Anstz (t) t n. No cso w = 1 esse é um bom chute? Qul solução nesse cso? b) É possível encontrr soluções nlítcs pr o cso p = Aα+1 /ρ α? 7. Acelerção cósmc A prtr ds equções de Fredmnn e d conservção d energ, mostre que ä = (4πG/3) (ρ + 3p). Vemos portnto que não é possível produzr um descelerção do unverso pens com mtér não reltvístc (e sem constnte cosmológc), o que fornece um rgumento fvor d energ escur (ou de um constnte cosmológc não nul). Obvmente ess conclusão é obtd sob hpótese de um fludo perfeto dptdo às smetrs de um Unverso espclmente homogêneo e sotrópco no contexto d reltvde gerl. 8. Equção de Fredmnn e prâmetros de densdde Lembrndo que o prâmetro de Hubble é ddo por H (t) = ȧ (13) (onde é o ftor de escl e o ponto denot dervd temporl), utlze s defnções dos prâmetros de densdde, d densdde crítc, junto com equção de Fredmnn (ȧ ) 2 = 8πG ρ + Λ 3 3 K, (14) 2 6

7 pr obter Ω + Ω Λ + Ω K = 1, onde Ω Λ = Λ/(3H 2 0) e Ω K = K/( 2 0H 2 0). Inclundo constnte cosmológc e curvtur como componentes de mtér, temos smplesmente j Ω j = 1 onde o índce j denot s componentes mters (bárons, mtér escur, fótons, etc.), curvtur e constnte cosmológc. 9. Dstâncs cosmológcs ) Mostre que t dt χ = c t 0 (t ) = c d z 0 H ( ) = c 2 0 dz H (z ) (pr últm guldde, escolh normlzção 0 = 1). b) Resolv ntegrl χ = r 0 dr 1 Kr 2. ( Respost: r = K 1 S K K χ ), onde S K = sen, senh, ou 1, pr K > 0, K < 0 e K = 0 (nturlmente, nesse cso r = χ) A prtr desses resultdos, obtenh expressão d dstânc comóvel r em função de z, em termos de H 0 e Ω 0 (lembre-se que K = Ω K H 2 0, pr 0 = 1). Respost: r = ( 1 z H 0 1 Ω 0 S K 1 Ω 0 H 0 0 dz ), (15) E(z ) onde E (z) = H (z) /H 0. c) A prtr desse resultdo, encontre expressão pr dstânc de lumnosdde D L. Cálculos com 0 explícto. Pr verfcr explctmente que 0 não está presente em nenhum relção entre observáves, podemos repetr o procedmento cm sem fzer escolh ( 0 = 1). Esse procedmento 7

8 é útl pr dqurr um cert prátc em mnpulções comuns em cosmolog. Refç os pssos do exercíco cm (e os d obtenção de D L ) pr um escolh genérc de 0. Mostre que D L = (1 + z) 0 r (z), e que ( 1 S K K χ ). No entnto, K = 2 K 0H0Ω 2 K e d χ = c 0 H ( ) = c z de modo que expressão fnl é dêntc à (15). dz H (z ) 10. Dstâncs cosmológcs pr um escolh dferente d coordend rdl n métrc de Fredmnn Rept s pssos que levm à expressão ds dstâncs cosmológc seguds em ul (ncndo pel trjetór dos fótons, etc.), ms pr métrc express n form ds 2 = dt (t) ( dχ 2 + F (χ)(dθ 2 + sen 2 θ dφ 2 ) ). (16) Qul é expressão de F (χ) pr um Unverso homogêneo e sotrópco? Aqu χ é um coordend rdl. El possu lgum conexão com função χ defnd cm? Como fcm os resultdos do exercíco cm nesse cso? 11. Dstânc dâmetro ngulr e outrs defnções de dstânc ) Como se defne dstânc de dâmetro ngulr? b) Obtenh su expressão em termos do prâmetro de Hubble utlzndo métrc de Fredmnn e detlhdo seus pssos. c) Que outrs defnções de dsânc são utlzds em cosmolog? 12. Comportmento ds dstâncs cosmológcs com o desvo pr o vermelho e composção do Unverso Obtenh numercmente s dstâncs de lumnosdde e de dâmetro ngulr em unddes do ro de Hubble (c/h 0 ). Fç gráfcos de d L e d A em função do desvo pr o vermelho z pr s seguntes combnções de prâmetros de densdde: Ω m = 0.3, Ω Λ = 0 Ω m = 0.3, Ω Λ = 0.7 8

9 Ω m = 1, Ω Λ = 0 Que conclusões você tr desses gráfcos? A prtr de que vlores de z você esper que Ω γ começe ser relevnte? 13. Le de Hubble em segund ordem Como fcm s dstâncs de lumnosdde e de dâmetro ngulr expndds em segund ordem em z? E s outrs dstâncs cosmológcs? 14. Le de Hubble em ordens ms lts e scolejd Obtenh le de Hubble, prtr d dstânc de lumnosdde, expndndo té tercer ordem em z, sem ntroduzr nenhum modelo cosmológco pror, pens usndo homogenedde e sotrop (ou sej, sem utlzr um form específc de H()). Dc: ver s refs. em [4]. 15. Idde do Unverso Utlzndo defnção do prâmetro de Hubble (13) obtenh expressão pr dde do unverso t 0 = t0 0 dt = H d ( ) 4 ( ) 3 ( ). 2 Ω 0 r + 0 Ωm + 0 ΩK + ΩΛ (17) Clcule dde do unverso (em G = 10 9 nos) pr Ω m = 0.3, Ω Λ = 0.7 e h = O vlor de Ω r será ddo pelo resultdo do exercíco (3) (qu, pens com propóstos ddátcos, desprezremos contrbução dos neutrnos). O que ocorre se desprezmos contrbução d rdção? E d curvtur? Como fc dde do Unverso se gor Ω Λ = 0 e Ω K = 0? Supondo que o unverso é plno (K = 0) e desprezndo rdção, fç um gráfco de t 0 em unddes de h 1 G em função de Ω m. Fç o mesmo gráfco, ms gor pr Ω Λ = 0 (e portnto K 0). Dverss estmtvs tus pr dde ds estrels ms velhs ndcm um lmte nferor de 11 G (vej, por exemplo, ref. [3]). Nturlmente esse vlor fornece um lmte nferor pr dde do unverso. A que conclusões você pode chegr, tendo em vst os resultdos que você obteve cm? 9

10 Como mencondo no curso, podemos defnr um níco do unverso extrpolndo curv (t) pr 0. Isso mplc em supor que s componentes de mtér vão contnur se comportr como n equção (12). No entnto, não sbemos como é equção de estdo d mtér temperturs ltíssms, onde podem ntervr números efetos nd não estuddos em lbortóro. Que condções ser precso mpor o comportmento d mtér pr o unverso não ter tdo um níco, ou sej, pr ntegrl (17) dvergr? 16. Horzonte cústco e escl cústc ) Clcule numercmente o horzonte cústco r s (em unddes de comprmento) em z = Utlze os vlores dos prâmetros cosmológcos dscutdos nest lst. Qul sensbldde de r s cd prâmetro cosmológco? b) Clcule escl ngulr θ s ssocd o horzonte cústco. Dc: utlze dstânc de dâmetro ngulr. 17. Equvlênc mtér-rdção ) Determne o vlor do desvo pr o vermelho em que ocorre equvlênc mtér-rdção. Suponh que Ω m = 0.3 e utlze o vlor de Ω γ obtdo nest lst. b) O resultdo depende de Ω Λ e Ω K? 18. Nucleossíntese prmordl e densdde de bárons Cte lgums medds tus de Ω b por nucleossíntese prmordl prtr ds observções de elementos leves. Els estão em cordo com os vlores obtdos prtr de outros observáves cosmológcos? Qus são os problems/questões tus. Dc: ver os rtgos do expermento Plnck e de Gry Stegmn, especlmente rtgos de revsão. 19. Espectro d rdção cósmc de fundo Cte lgums medds tus do espectro d rdção cósmc de fundo e de lgums consequêncs que se tr dess medd (coloque gráfcos e referêncs/urls). Que expermento é ms dequdo pr sondr cd ntervlo de ordem de multpolo l e qul escl ngulr ssocd? Qul medd de l ms lto obtd té gor? Qus fenômenos físcos nfluencm o espectro de potênc nesss escls? 10

11 Qul é form do espectro de polrzção meddo com o Plnck e que consequêncs se tr dele? 20. Efeto Sunyev-Zel dovch Qus expermentos detectrm glomerdos de gláxs trvés do efeto Sunyev-Zel dovch? Qus são s vntgens e desvntgens do Plnck em relção os projetos no solo qunto esse specto? Cte um ctálogo de glomerdos obtdo prtr desse efeto 21. Smulções cosmológcs d estrutur em grnde escl do Unverso Qus são s grndes smulções cosmológcs de N-corpos d tuldde? Qul é o número típco de prtículs envolvdo e qul é resolução/mss típc? Mesms pergunts em relção às smulções hdrodnâmcs. Qus processos físcos são ncluídos ns smulções. Dc: ver rtgos de revsão e sítos nternet dos grndes grupos de smulção. Referêncs [1] J.C. Mther, D. J. Fxsen, R.A. Shfer, C. Moser, D.T. Wlknson, Clbrtor Desgn for the COBE Fr-Infrred Absolute Spectrophotometer (FIRAS), ApJ 512, 511 (1999), stro-ph/ [2] W.L. Freedmn, et l., Fnl Results from the Hubble Spce Telescope Key Project to Mesure the Hubble Constnt, ApJ, 553, 47 (2001), stro-ph/ [3] L. M. Kruss, B. Chboyer, Scence, 299, 5603, 65 (2003); L. M. Kruss, ApJ, 604, 481 (2004), stro-ph/ [4] M. Vsser, Jerk, snp, nd the cosmologcl equton of stte, Clss. Qunt. Grv. 21, 2603 (2004), gr-qc/ ; vej tmbém R. R. Cldwell, M. Kmonkowsk, Expnson, Geometry, nd Grvty, stro-ph/ e T. Chb, T. Nkmur, The Lumnosty Dstnce, the Equton of Stte, nd the Geometry of the Unverse, Prog. Theor. Phys. 100, 1077 (1998); stro-ph/