Cálculo Diferencial e Integral I

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1 Cálculo Diferencial e Integral I Profª Paula Reis de Miranda 0

2 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO SUDESTE DE MINAS GERAIS CAMPUS: CURSO: Rio Pomba PROGRAMA ANALÍTICO DE DISCIPLINA PERÍODO: º SEMESTRE/ANO: º/0 DISCIPLINA: PROFESSOR RESPONSÁVEL PELA DISCIPLINA: PROFESSOR (ES) COLABORADOR (ES): Cálculo Diferencial e Integral I Paula Reis de Miranda CÓDIGO: MAT 5 CARGA HORÁRIA TOTAL: 66 Nº TOTAL DE AULAS: 7 Nº TOTAL DE AULAS PRÁTICAS: Nº TOTAL DE AULAS TEÓRICAS: 50 PRÉ-REQUISITO (S): CO-REQUISITO (S): EMENTA Funções de uma variável real e seus gráficos (Revisão). Limites e Continuidade de Funções Reais. Derivadas. Aplicações da derivada. Máimos e Mínimos. Integral indefinida. Integral definida. Teorema Fundamental do Cálculo. OBJETIVOS Desenvolver a intuição, a capacidade de raciocínio lógico, a observação, a investigação, a análise e o delineamento de conclusões do aluno, testando-os na resolução de problemas no decorrer do curso e na vida profissional. Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt

3 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO N AULAS T P Funções de uma variável real e seus gráficos (Revisão). 8 4 Limites e Continuidade de Funções Reais. 8 Derivadas. 8 4 Aplicações da derivada. 4 4 Máimos e Mínimos Integral indefinida 8 Integral definida. 4 4 Teorema Fundamental do Cálculo. 8 0 METODOLOGIA DE ENSINO O conteúdo será ministrado por meio de aula epositiva dialogada, demonstrativa, trabalhos individuais e em equipes, listas de eercícios estimulando o pensamento crítico, levando o aluno a construir seu próprio conhecimento. RECURSOS DIDÁTICOS - Quadro branco, pincel e apagador; - Apresentação de slides, computador e TV. - Softwares educativos: Winplot e Graphmat - Apostilas e listas de eercícios - Livros da Biblioteca AVALIAÇÃO A avaliação será realizada de forma dinâmica, contínua e processual através de atividades em grupo e individual e a partir da observação e análise do desempenho dos alunos durante a aula seguindo os seguintes critérios: Iniciativa, interesse e autonomia; Participação nas atividades propostas; Capacidade de assimilação e construção dos conceitos estudados. Provas individuais: 50 pontos Provas em dupla e com consulta: 5 pontos Trabalhos e seminários: 5 pontos Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt

4 BIBLIOGRAFIA BÁSICA ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8 ed. V.. São Paulo: Editora Bookman, 007. FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação, Integração. 5 ed. São Paulo: Makron, 006. STEWART, J. Cálculo. 5 ed. V.. São Paulo: Pioneira, 006. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR (MÍNIMO CINCO) ÁVILA, G. Cálculo: Funções de uma variável. Rio de Janeiro: Editora LTC, 994. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 00 HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Tradução Ronaldo Sérgio de Biasi. 7. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, c00. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO (MEC). Secretaria de Educação à distância. Matemática: conversa de professor: matemática. [s.l.]: TV Escola, 995. Vol.. DVD; (h 55min). (DVD Escola, ). SWOKOWSKY, E. W. Cálculo com geometria analítica. V.. São Paulo: Makron Books, 994. Rio Pomba, 0 de fevereiro de 0. Assinatura do professor responsável pela disciplina Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 4

5 0. Revisão 0. Produtos notáveis As igualdades a seguir são alguns dos produtos notáveis que ocorrem freqüentemente na Matemática e com os quais o aluno deverá familiarizar o mais rápido possível. a) a ( c + d) ac + ad b) a + b a b a b c) a + b a + b a + b a + ab + b d) a b a b a b a ab + b e) + a + b + ( a + b) + ab f) a + b c + d ac + ( ad + bc ) + bd g) a + b a + b a + b a + b a + a b + ab + b h) a b a b a b a b a a b + ab b i) a + b + c a + b + c + ab + ac + bc j) ( a b) ( a + ab + b ) a b Observação: a b a + a b + ab + b a b 4 4 a b a + a b + a b + ab + b a b Generalizando: n n n n n n n a b a + a b + a b ab + b a b, sendo n um inteiro positivo qualquer k) ( a + b) ( a ab + b ) a + b Observação: a + b a ab + b a + b ( ) a + b a a b + a b ab + b a + b Generalizando: n n n n n n n a + b a a b + a b... ab + b a + b, sendo n um inteiro positivo ímpar Eercícios: ) Determinar cada um dos seguintes produtos: + y a) b) y ( y + 4) c) ( y + y 5) ( y ) d) ( y ) ( + y ) e) ( ) ( ) f) ( 5 + y ) ( 5 y ) g) + 5y h) ( + ) i) a by j) ( 4 ) + 6 k) ( y ) l) ( + ) ( + 5) m) ( ) ( + 8) n) ( + ) ( 8) o) ( ) ( ) t + 0 t p) + y q) ( + ) r) ( y 5) s) ( y ) t) y y Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 5

6 ) Determinar cada um dos seguintes produtos: a) ( ) ( + + ) b) ( y ) ( y y + 4) c) ( + ) ( 4 + ) d) ( + y + z ) e) ( ) u v + w f) ( ) ( ) g) ( y ) ( 4 + y + 4 y + 8y + 6y 4 ) h) ( y + ) ( 8y 4 7y + 9y y + 4 ) Eercício : Respostas a) 6 + 9y b) c) 5 y y + 4 y y + y 5 y d) 4 9y 6 e) 5 f) 5 g) 6 4 y 9 + 0y + 5y h) i) a 4aby + 4b y 8 4 j) Eercício : Respostas a) y + y y + 4 y + 8 Corrigida b) c) 8 + d) 4 + 9y + z + y + 4z + 6yz e) 6 4 u + v + 4w u v + 4u w 4v w f) g) y h) 4y i) ( y + z) j) ( s ) ( s + s + s + ) k) ( + t ) ( t + t 4 t 6 ) l) ( + y ) ( y ) m) ( ) ( ) n) ( y ) ( y + ) o) ( u + ) ( u ) ( u + 4) ( u 4 + 6) k) 4 9y y + 4 l) m) n) 6 6 o) 4 t t 0 p) + 6 y + y + 8y q) r) 8y 60y + 50y 5 s) t) i) y 6 y + y y y + y y 4y + 4y + z 4zy + z 4 j) s 8 k) t 4 4 l) 8 7 y + 6y m) n) y y + y 8 o) u Fatoração Os métodos mais usuais são os seguintes: a) Fator monônio comum ac + ad a ( c + d) Eemplos: 6 y ( y ) b) Diferença de dois quadrados a b ( a + b) ( a b) y y + y y ( y + ) + 4 9y ( + y ) ( y ) Eemplos: 5 ( 5) ( 5) c) Trinômio quadrado perfeito a + ab + b ( a + b) Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 6

7 a ab + b ( a b ) Eemplos: 6 9 ( ) d) Outros trinômios + ( a + b) + ab ( + a) ( + b) ac + ( ad + bc ) + bd ( a + b ) ( c + d) MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO y + 4y ( y ) + Eemplos: 5 4 ( 4 ) ( ) + y y y + 4y 5 ( ) ( + ) 6 + ( 4) ( + ) ( 4 5 ) ( ) e) Agrupamento de termos ac + bc + ad + bd c a + b + d a + b a + b c + d Eemplos: a 4b + ay by ( a b ) + y ( a b ) ( a b ) ( + y ) y y y ( ) + 8 ( ) ( ) ( y + 8 ) f) Fatores de a ( ) ( ) ( y ) ( y y 4) n n ± b. Observar os produtos notáveis (j) e (k) Eemplos: 5 + ( ) 5 + ( + ) ( ) 4 ( ) + ( ) + ( + ) ( ) 7 ( ) ( ) ) Fatore os seguintes polinômios a) y b) 4 + 8y + z c) 0a b c 5a b c + 0a b c d) 9 e) 5 f) 4 4y m n g) y 6y 4 h) 8 i) y y j) k) + 4y + 4y l) 6y + 64y m) 6m 40mn + 5n Respostas: a) ( ) Eercícios 4 4 n) 6a 7a b + 8b o) p) q) + 8 r) 8 s) 8 4 t) y + 7y + u) ( + ) + ( + ) + v) w) 7 + ) y y 6 y) 6 y y z) 0 y ; c) 5a b c ( bc ac + 6a b ) ; f) ( + ) ( ) h) ( + 4 ) ( + ) ( + ) ( ) mn mn ; g) y ( + 6y ) ( 6y ) ; i) y ( + y ) ( y ) ; j) ( + 4 ) ; l) ( 8y ) ; n) ( + ) ( ) ( + 4) ( + ) ; s) ( ) ( + ) ; u) ( + ) ( + ) ; v) ( + ) ( + ) ; w) ( ) ( ) ( y + ) ( y ) ; y) ( + 4y ) ( y ) ; z) ( 5 ) ( + ) a b a b ; o) ; ) ) Fatore os seguintes polinômios: a) + 8 b) a 7 m) 6 6 c) a + b n) 6 6 d) a b l) a + ay + + y 4y + + y + y + y + y w) u + v 9 ) + y) a b z) a b 7 7 Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 7

8 9 e) a + 9 b f) a + b g) y h) + y z i) + 8y 6 j) 7 8 k) b ab + a Respostas a) ( + )( + 4) b) c) d) e) f) g) (a )(a + a + 9) 4 4 (a + b )(a a b + b ) MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO o) y y p) a + a 5ab + b b q) a + b r) 64 + y s) t) + 8y y 5 u) z v) a + b (a + b)(a ab + b )(a b)(a + ab + b ) 6 6 (a + b)(a ab + b )(a a b + b ) (a + b )(a a b + b ) (4 + 5y)(6 0y + 5y ) h) ( + y z ) ( + y + y + z + yz + z ) i) ( + y ) ( y + 4y + 4y ) j) ( )( + + 4)( + )( + ) k) ( a)( + b) l) ( + y)(a + ) m) ( + y)( y + ) n) o) p) q) r) ( + y)( + y ) ( )( + + )(y + )(y y + 4) (a b)(a + ab + b + a b) (a + b)(a ab + b ) (4 + y)(6 4y + y ) s) t) u) v) w) ) i) 7 y ii) 5 iii) a 7 iv) y 7 z 6 6 v) a 9 vi) vii) y viii) u 0 0 v ( + y )( y + 4y ) 4 4 ( + y)( y + y y + y ) 4 (z + )(z z + 4z 8z + 6) (a + )(a a + a a + ) (u + v)(u u v + u v u v + u v uv + v ) 6 ( + )( + )( + ) y) (a b)(a + b) z) i) ii) iii) iv) v) (a b)(a + ab + b ) ( y)(9 + y + y ) ( )( + + ) 4 (a )(a + a + 4a + 8a + 6) (y z)(y + y z + y z + y z + y z + yz + z ) ( + a)( a + a )( a)( + a + a ) vi) ( )( )( + + ) vii) 4 ( + y)( y + y 4 y + y )( 4 y)( + y + y + y + 4 y ) viii) 4 4 (u + v )(u + v )(u + v)(u v) 0. Logaritmos Definição: Se b a, sendo a um número positivo qualquer e b positivo e diferente de, o epoente é o logaritmo de a na base b, escrevendo-se logb a. Eemplos: 9, logo é logaritmo de 9 na base, isto é, log 9. log 8 é o número, a que se deve elevar a base para obter 8, isto é, 8,. Assim, log 8. Propriedades dos logaritmos: i) O logaritmo do produto de dois números positivos a e b é igual à soma dos logaritmos dos números, isto é: logc ab logc a + logc b ii) O logaritmo do quociente de dois números positivos a e b é igual à diferença dos logaritmos dos números, isto é: a logc logc a logc b b iii) O logaritmo da potência p de um número positivo a é igual ao produto p pelo logaritmo do número, isto é: p log a p.log a c c Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 8

9 Eemplos: a) log 5 log.5 log + log 5 7 b) log log7 log4 4 c) log 5 log 5 iv) 7 7 log log log logb b De fato, fazendo v) logb 0 De fato, fazendo logb b b tem-se: log tem-se: b b 0 b b 0 vi) log b b De fato, pelas propriedades (iii) e (vi) temos: logb b.logb b.. vii) Mudança de base logk a * logb a, k, com k +, k log b k Eercícios ) Passar da forma eponencial para a logarítmica: q i) p r q log r p ii) 8 iii) 4 6 iv) 9 v) 8 4 ) Passar da forma logarítmica para a eponencial: i) log ii) log 64 6 iii) log 6 4 iv) log a v) log 0 a r ) Calcular o valor dos logaritmos seguintes: log i) log4 64 ii) log 8 8 iii) iv) log 0 v) log5 5 5 Respostas: i) ; ii) 4; iii) ; iv) ; v) 7 4) Resolver as seguintes equações: i) log ii) log4 y Respostas: i) 9; ii) 8 ; iii) 5; iv) 8 7 ; v), 5 5) Resolver (use logaritmos): 9 iii) log 5 iv) i) 5 ii) 4 5 iii) 4.5 Respostas: i),898; ii),958; iii) 0,6907 6) Sabendo que log6 5 0,898 e log6 0,86 calcular: log v) 4 log Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 9

10 5 a) log60 b) log6,5 c) log 5 d) log6 0 e) log6 f) log6 5 Respostas: a),84; b) 0,5; c),6; d),67; e) 0,488 ; f) 0,449. Principais Funções Elementares. Função Constante Dado um número real c, denominamos função constante à função f: IR IR definida por f ( ) c. Gráfico Propriedades: a) D(f) IR b) Im ( f ) { c} ; c) f é função par, pois f ( ) f ( ) c, IR; d) f é limitada, pois c f c, IR.. Função Identidade Gráfico Denominamos função identidade à função f: IR IR definida por f ( ) Propriedades: D f IR,. a) b) Im ( f ) IR; c) f é função ímpar, pois IR;; d) f não é limitada.. Função Afim Dados os reais a e b, a 0, denominamos função afim à função f: IR IR definida por f a + b Gráfico Propriedades: D f IR; a) b) Im ( f ) IR; c) Se b 0, f é função ímpar, pois f a a f, IR Se b 0, f não é função par, nem ímpar; d) f não é limitada; e) O gráfico intercepta o eio no ponto cuja abscissa b é a raiz da equação a + b 0 ; portanto em ; 0 a. A interseção com o eio y é ( 0; b )..4 Função Quadrática Dados os reais a, b e c, a 0, denominamos função quadrática à função f: IR IR definida por f ( ) a + b + c. Gráfico Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 0

11 Se a > 0 e b 4ac > 0 Se a > 0 e 0 Se a > 0 e < 0 Se a < 0 e > 0 Se a < 0 e 0 Se a < 0 e < 0 O vértice da parábola é o ponto V de coordenadas: Propriedades: a) D ( f ) IR; b) { } v v ) { } ) Im f y y y y ; +,se a > 0; ou Im f y y y v ;y v,se a < 0; c) Se a > 0, f tem um valor mínimo para b v ; a Se a < 0, f tem um valor máimo para b v ; a O valor mínimo (ou máimo) de f é yv ; 4a d) Se b 0, f é função par, pois e) f não é limitada; f) Quando 0 equação v b e y a f a + c a + c f, IR; >, o gráfico intercepta o eio nos pontos ( ; 0 ) e a + b + c 0. Quando 0 a b c 0, o gráfico intercepta o eio nos pontos + +. Quando < 0, o gráfico não intercepta o eio. 0; c. Em qualquer caso, a interseção com o eio y é o ponto v b + 4ac. 4a 4a ; 0 onde ; 0 onde e são raízes da é raiz da equação.5 Função Recíproca Dado um número real não nulo, o recíproco (ou inverso multiplicativo ou, apenas inverso) de é o real. Denominamos função recíproco à função f: IR* IR definida por f Gráfico. Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt

12 Propriedades: * a) D ( f ) ; * b) Im ( f ) ; c) f é função ímpar, pois * f ( ), IR* d) f não é limitada..6 Função Modular Denominamos função modular à função f: IR IR definida por f ( ) Gráfico Pela definição de módulo, f ( ) se 0 - se < 0 Propriedades: D f IR; a). b) Im(f) IR + c) f é função par, pois f f, IR; d) f não é limitada..7 Função Eponencial Dado um número real a positivo, a 0, denominamos função eponencial de base a à função f: IR IR definida por f ( ) a. Gráfico Se a > Se 0 < a < Propriedades: D f IR a) * b) Im ( f ) + IR +* c) f não é função par, nem ímpar; d) f não é limitada..8 Função Logarítmica Denominamos função logarítmica à função f: IR +* IR definida por a f log. Gráfico Caso a > Caso 0 < a < Propriedades: a) D(f) IR +*; b) Im(f) IR; c) f não é função par, nem ímpar; d) f não é limitada. Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt

13 .9 Função Seno Gráfico Denominamos função seno à função f: IR IR definida por f ( ) sen. Propriedades: a) D(f) IR; b) Im ( f ) { y y } ; ; f sen sen f, IR; c) f é função ímpar, pois d) f é limitada, pois f ( ), IR; e) f é periódica, de período p π..0 Função Co-seno Gráfico Denominamos função co-seno à função f: IR IR definida por f ( ) cos. Propriedades: a) D(f) IR; Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt

14 b) Im ( f ) { y y } ; ; c) f é função par, pois d) f é limitada, pois f ( ), IR; e) f é periódica, de período p π.. Função Tangente f cos cos f, IR; Denominamos função tangente à função f: IR IR definida por f ( ) ( k + ) π D,k. Gráfico tg, onde Propriedades: ( k + ) π a) D ( f ),k ; b) Im(f) IR; f tg tg f, D ; c) f é função ímpar, pois d) f não é limitada; e) f é periódica, de período p π.. Função definida por várias sentenças Uma função f pode ser definida por várias sentenças abertas, cada uma ligada a um D diferente contido no domínio definido. Gráficos (Eemplos), se < 0, se < 0 a) f ( ), se 0 < b) f ( ), se 0, se y y D(f) IR e Im ( f ) {, } D(f) IR e Im(f) R +. Funções polinomiais Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 4

15 Dados os números reais a 0,a,a,a,...,a n,an, denominamos função polinomial à função f: IR n n n IR definida por f ( ) a0 + a + a an + an. Os números a 0,a,a,a,...,a n,an são os coeficientes. As funções constante, afim e quadrática são casos particulares da função polinomial. Demais comentários sobre as funções polinomiais serão vistos nas aplicações de derivadas, ou no decorrer do curso. ) Se f ( ) + 4a z ; (iv) ; (v) a + z ( + z) Eercícios, achar (i) f ( 0 ), (ii) f ( 4), (iii) ) Se f ( ), mostrar que f ( ) f ( ) f ( ) ) Se f ( ) f 4) Se a f a, (iv) f z 5 +. log, mostrar que f ( ) f ( ) + f. log f a, mostrar que 5) Se f ( ) +, achar ( + ) f a h f a e f ( a ) z. z. R.: a + + h h 6) Traçar o gráfico, dar o domínio e imagem das funções: f f i) ii) f ( ) iii) f ( ) iv) f ( ) 5 f + v) vi) f ( ) vii) f ( ) viii) f ( ) + 6 i) f ( ) 6 8 ) f ( ) i) f ( ) ii) f ( ) f e iii) vi) f, (v) f ( ) log log vii) viii) f ( ) ln i) f ( ) f se < se < < 4 se > f + se < 0 se < se f ) i) ii) iii) f ( ) ( 4). R.: (i) ; (ii) iv) f ( ) e iv) y 4 v) f ( ) v) y 7) Numa determinada comunidade economicamente ativa, o número de pessoas cuja renda anual 0 ecede o valor (em real) é igual a. Quantas pessoas nessa comunidade têm uma renda anual entre R$0.000,00 e R$50.000,00? R:00. 8) Seja f : tal que f ( ) + para todo real. Pede-se: a) Calcular f ( ) ; R: ; (iii) Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 5

16 b) Epressar f ( ) como um polinômio inteiro de potências decrescentes na variável real. R: f ( ) + + 9) Seja a função f ( ) a + b,, onde a e b são constantes reais. Pede-se determinar a e b não nulos e tais que f f ( ) + b f + b para todo real. R: a e b 0) Após anos um capital de R$.000,00 aplicado à taa de % ao ano dará um montante (capital + rendimento) M( ) 000 (, ). Calcule: a) O montante após meio ano; R: R$.00,00 b) O rendimento em meio ano. R: R$00,00 ) Suponha que daqui a t anos o valor de um certo carro seja dado por V ( t ) V ( 0,9 ) t, onde V 0 é o valor atual do carro. Qual a porcentagem de desvalorização desse carro em um ano (relativamente ao valor inicial). R: 0% ) Numa cultura de bactérias eistem inicialmente 000 bactérias presentes e a quantidade após t 0,7t minutos é N( t ) Verifique que em 0 minutos a quantidade de bactérias presentes na cultura será superior a ) O radium é uma substância que se desintegra ao longo do tempo. Partindo de uma quantidade inicial Q 0, suponha que a quantidade de radium eistente após t anos seja dada por t Q t Q, a) Calcule a porcentagem da quantidade de radium eistente após.000 anos, relativamente à quantidade inicial. R: 66% b) Que porcentagem da quantidade inicial se desintegra entre o 000 o e 000 o ano? R: % 4) Suponha que uma substância radioativa se desintegre, de modo que partindo de uma quantidade 0,05t Q, a quantidade eistente após t anos seja dada por Q ( t ) Q.e. Dado ln 0,69, calcule t 0 de modo que se tenha Q ( t ) Q0. (Este valor de t é denominado meia-vida da substância). R: 4 anos 5) Partindo de uma quantidade inicial de Q 0 bactérias de uma dada espécie, após t horas a kt quantidade eistente é Q ( t ) Q 0.e onde k é uma constante. Se a quantia inicial dobrar em hora, quanto tempo levará para se ter bactérias partindo de uma quantidade inicial de.000 bactérias? Dado log 0,. R: 0 horas kt 6) a) No crescimento eponencial f ( t ) c.e, verifique que o valor da função no ponto médio de um intervalo qualquer é a média geométrica dos valores nos etremos desse intervalo. b) A população mundial em 950 era de,6 bilhões e em 975 era de 4 bilhões. Admitindo-se o crescimento eponencial, estime a população no ano 000. R: 6, bilhões (Note que a média n geométrica é G....) n k + kt + 7) Sabendo que 0 7, log7 0,845 e log5 0,699, calcule t para que se tenha 0 5. R:,884. 8) O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de gramas por litro logo depois dele ter bebido uma considerável quantidade de cachaça. Considere que esse nível decresce de acordo com a fórmula t N t 0,5, onde t é o tempo medido em horas a partir do momento em que o nível é constatado. Quanto tempo deverá o motorista esperar antes de dirigir seu veículo com segurança se o limite permitido de álcool no sangue é de 0,8 gramas por litro? Use log 0 0 0,0. R: 4 hora. 9) À medida que a altitude de uma nave espacial aumenta, o peso do astronauta diminui até atingir um estado de imponderabilidade. O peso de um astronauta de 60kg, a uma altitude de quilômetros 6400 acima do mar, é dado por W A que altitude o peso do astronauta será inferior a 6400 kg? R: 8.654,468 km. Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 6

17 0) Partindo de uma quantidade inicial de Q 0 bactérias de uma dada espécie, após t horas a quantidade eistente é Q ( t ) kt Q 0.e onde k é uma constante. Se a quantia inicial triplicar em hora, quanto tempo levará para se ter bactérias partindo de uma quantidade inicial de bactérias? Dados: ln,099 e ln0,86. R:,57 horas ) O período T de um pêndulo simples de comprimento c é dado pela fórmula T π c / g, onde g é a aceleração da gravidade. Achar T(em segundos), sabendo que c Tomar π 6,8. R: T,65 segundos ) Resolver a seguinte equação de hidráulica: 0,0 0,06 4,7, 8,cm e. R: 0,0486 ) Dada a fórmula T π c / g, achar c se T,75, π,4 e g,6. R: 6,6 4) Dados A 0,0807, G 0,0056 e P 50 encontre D na fórmula D g P 056 A G ( ) 98,0cm / s.. R:,7. Continuidade. Limites. Noção de Continuidade Toda função cujo gráfico é uma linha geométrica contínua é chamada função contínua. São eemplos de função contínua: a) uma função quadrática, como f ( ) + +, cujo gráfico é uma parábola, portanto uma linha geométrica contínua; f, cujo gráfico é formado por duas semi-retas de origem em (0,0); b) a função módulo, c) a função seno, f ( ) sen, cujo gráfico é a senóide; d) uma função eponencial, como f ( ), cujo gráfico é também uma curva contínua sem interrupções.. Introdução ao Conceito de Limite Consideremos a função f ( ) +, definida em. Ao estudar o seu comportamento quando a variável assume valores cada vez mais próimos de, isto é, quando tende a, observam-se as duas situações: o ) Atribuindo valores menores que, cada vez mais próimos de, ou seja, fazendo tender a pela esquerda: 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999 0,9999 f ( ) +,,4,6,8,9,98,998,9998 f ( ) o ) Atribuindo valores maiores que, cada vez mais próimos de, ou seja, fazendo tender a pela direita: X,4,,,,05,0,00,000 + f ( ) +,8,6,4,,,0,00,000 f ( ) Em ambos os casos nota-se que, quando tende a, f() tende a. Podem-se obter valores de f() tão próimos de f() quanto se quer, bastando para isso escolher suficientemente próimo de. Diz-se, então, que o limite de f() quando tende a é igual a f(). Simbolicamente, escreve-se: lim f ( ) f. lim +. + Assim, Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 7

18 . Definição de Limite Seja uma função f real definida num intervalo contendo a, eceto talvez em a, ou seja, a. Diz-se que lim f ( ) L quando para todo número real ε > 0 podemos obter um número real δ > 0 tal a que, se D ( f ) e 0 a f L < ε. Dando à definição uma forma que não contenha o símbolo do valor absoluto, basta notar que: i) 0 < a < δ equivale a a δ < < a + δ e a f L L ε < f < L + ε < < δ, então ii) < ε equivale a Observação: f ( ) pode ou não estar definida em a, mas precisa estar definida nos demais pontos de um intervalo contendo a. Dado qualquer número ε > 0 (imagina-se ε muito f L < ε para todo (do domínio de f) que esteja num intervalo aberto pequeno), se tiver a δ < < a + δ, a para cada ε dado. Eemplos:, então segue que lim f ( ) a i) Determinar o intervalo ao qual deve pertencer de modo que - 4 com afastamento máimo de ε 0,0004. Resolução: 0 a f L δ δ ε L. O número δ é o que precisa ser determinado, Tese: < < δ < ε f ( ) L < ε, ε > < 0, < 0, < 0,0004 f 4 8 esteja próimo de 0,0004 < < 0,000 0,000 < < 0,000 0,9999 < <,000 4 f 4 8 estará próima de -4 com aproimação de 0,0004 se 0,9999 < <,000. Resposta: A Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 8

19 ii) Determinar o valor de δ δ ( ε ) para que máimo de ε 0,00. Resolução: f L < ε, ε >0 5 < 0,00 6 < 0,00 < 0,00 Resposta: Para que 0,00 ε δ decorre a tese 0 a < < δ. f 5 esteja próimo de com afastamento 0,00 < < 0,00.4 Limites Laterais Quando considera-se lim f ( ), está-se interessado em valores de no intervalo aberto contendo a, mas não o próprio a, isto é, em valores de próimos a a, maiores ou menores do que a. f não eiste Mas, suponha que tem-se uma função f como por eemplo, f ( ). Como para <, f não está definida em nenhum intervalo aberto contendo. Logo lim não tem significado. Entretanto, se estiver restrito a valores maiores do que, o valor de poderá torna-se zero quanto deseja-se, tomando-se suficientemente próimo de, mas maior do que. Em tal caso, deia-se aproimar de pela direita e considera-se o limite lateral direito. f quando tende a a pela direita é L, e denota-se por: lim f + a Desta forma, o limite de L, se, para todo ε > 0, eistir um δ > 0 tal que se 0 a < < δ então f L < ε. Da definição acima, segue que, lim 0 +. Se, entretanto, a variável independente estiver restrita a valores menores do que um número a, diz-se que tende a a pela esquerda; neste caso o limite é chamado de limite lateral esquerdo. f quando tende a a pela esquerda é L, e denotado por: lim f ( ) L. Assim, o limite de Por eemplo, seja a f ( ) a. Logo faz sentido calcular o lim. Portanto, lim 0..5 Limites de funções algébricas O processo anterior é válido para funções especiais chamadas de funções contínuas. Entretanto, a técnica utilizada não é aplicável a outras funções algébricas. Observe os eemplos a seguir: f +, se, é permitido cancelar o fator comum no numerador e denominador. ( ) ( + ) f +. Segue que os gráficos das duas funções são os mesmos eceto f +, mas não está no gráfico Pois para de f ( ). Especificamente, o ponto (, ) está no gráfico de +, conforme ilustrado. Valor da função Gráfico Limite quando f ( ) + lim f Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 9

20 Valor da função Gráfico Limite quando g + limg +, se h ( ), se limh Na ilustração precedente, o limite de cada função, quando se aproima de é, mas no primeiro caso f, no segundo caso g( ) não eiste e no terceiro h. Manipulações algébricas podem ser usadas para determinar certos limites, como por eemplo, nos casos: i) f ( ) 5 +, encontre o lim f ( ) Solução: Observe que o número não pertence ao domínio da função. Fatorando-se o numerador e o denominador, obtém-se f ( ) ( ) ( ) 5 +. neste momento; todavia se tomar o limite de Não pode cancelar o fator cancelamento é permitido. 5 + Assim, lim f ( ) lim lim lim ii) f ( ) 9, encontre o lim f ( ) f quando, tal 9 Solução: Note que o número 9 não está no domínio de f. Para achar o limite, racionalize o denominador como se segue: ( 9) ( + ) lim f ( ) lim lim. lim ( 9) Pelo mesmo princípio de (i) pode-se continuar o processo, ou seja, cancelar 9. ( 9) ( + ) 9 lim lim Ineistência do Limite Considere a função f ( ), cujo D ( f ) { IR / ou } > < e cujo gráfico é: Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 0

21 Observe que os valores de f ( ), quando tende a zero, não tendem a um mesmo número L:, tem-se que f ( ) (ou seja, lim f ( ) + ); se 0 + se 0, tem-se que f ( ) 0 lim f ). (ou seja, 0 Como os limites laterais são diferentes, diz-se, então que não eiste lim f ( ) limites laterais eistem. O Teorema a seguir estabelece a relação entre limites laterais e limites: lim f L lim f L lim f se e somente se a + a a 0. Note que os Outro eemplo: Considere o gráfico abaio: Os limites laterais são: lim f lim lim f lim Como os limites laterais esquerdo e direito são iguais, decorre do Teorema que lim f ( ). Note que o valor da função f 4 é irrelevante para a determinação do limite. Eercícios ) Usando a definição de limites, determine um δ > 0, dado o valor ε. lim ; 0, lim + 5 8; ε 0,00 a) ( ) ε b) 4 ) Calcule os limites indicados das funções: + 4 i) lim viii) lim ii) lim + i) lim 0 iii) lim 5 + τ sen ) lim 4 5 iv) lim 0 v) lim vi) lim 7 49 a i) lim a a ii) lim iii) lim + 5 iv) lim v) lim + 4t + t + vi) lim t 0 t + t 6 vii) lim viii) lim i) lim+ Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt

22 vii) lim 0 + MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO ) Calcular as constantes a e b sabendo que lim ( a + b) 5 e lim a + b 7 4) Verifique se eiste limite das funções abaio, usando limites laterais. a) lim d) lim g) lim e h) lim b) lim 0 e) lim c) lim 0 f) lim 5) Esboce o gráfico e ache o limite indicado: se < i) f ( ) se se < a lim f ; b lim f ; c limf + se < 0 se 0 a lim f ; b lim f ; c lim f ii) f ( ) v) F ( ) 5 ( a) lim F ( ) ; ( b) lim F ( ) ; ( c ) limf ( ) se < f 4 se 4 - se < a lim f ; b lim f ; c lim f iii) + + se < f 4 se + se < a limf ; b lim f ; c lim f iv) + 6) Dada f ( ) + se < k se 4. Ache o valor de k para o qual lim f ( ) 4 eiste. 7) Dada f ( ) se a + b se < < 6 se eistam.. Ache os valores de a e b, tais que lim f ( ) e lim f ( ) ambos 8) As taas para despachar cargas por navio são freqüentemente baseadas em fórmulas que oferecem um preço menor que por quilo quando o tamanho da carga é maior. Suponha que quilos sejam o peso de uma carga, C() seja o seu custo total e 0,80 se 0< 50 C ( ) 0,70 se 50< 00 0,65 se 00< a) Faça um esboço do gráfico de C. lim C lim C lim C lim C Ache cada um dos seguintes limites: b) ; c) + ; d) ; e) se < 9) Seja f definida por: f ( ) 9 se se > a) Faça o gráfico de f. Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt

23 b) Ache, se eistirem: lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ;lim f ( ) + + 0) Calcule os limites: lim sen i) π ii) 4 lim sen π iii) lim cos 0 iv) lim cos π lim tg v) π vi) 4 lim tg π 4 vii) lim log 0 viii) lim 5 i) lim log lim log ) + i) ii) + lim lim + Respostas dos eercícios a) 0, b) 0,0004 i) ii) iii) iv) v) 4 vi) vii) - viii) 0 i) ) 56 i) 4a a ii)0 iii) iv)0 v) vi) vii) + viii) i) + 7 a ; b 4 4 a) b) c) d) e) f) g) h) 5 i) a) - b) c) ii) a) b) - c) iii) a) 0 b) 0 c) 0 iv) a) b) 5 c) v) a) 0 b) 0 c) 0 6 k -6 7 a ; b 8 b)40 c)5 d)40 e)0 9 lim f ; lim f 0; lim f 0 i) + lim f 0 lim f 0; lim f 0 + ii) iii) iv)0 v) vi)- vii) viii)-5 i)0 )0 i) ii)0.7 Definição de Continuidade Diz-se que f ( ) é contínua em a quando lim f ( ) f ( a). a A função f ( ) é chamada de função contínua quando é contínua em todos os pontos nos quais está definida. Em resumo, terá que satisfazer as três condições a seguir: i) f ( a), isto é, f ( ) é definida para a ii) lim f ( ) a iii) f ( a) lim f ( ). a Eemplos: a) Descontinuidade no ponto b) Continuidade no ponto c) Descontinuidade no ponto d) Descontínua no intervalo de a 4, 4 Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt

24 Eemplo: Verificar se as funções a seguir são contínuas nos pontos indicados: a) f ( ) +, no ponto Condição (i): f + 0 lim + 0 Condição (ii): Condição (iii): f lim ( ) +, logo a função é contínua no ponto b) f ( ) +, Condição (i): f.+ f, como a condição (i) não foi aceita a função é descontínua em.8 Propriedades dos Limites lim c c - limite de uma constante é uma constante a) a lim a - limite de uma função linear quando tende para a, a função também tende para a b) a c) Se lim f ( ) e lim g( ) a a lim f ( ) ± g ( ) lim f ( ) ± lim g ( ) eistem ambos, então: a - limite de uma soma (ou diferença) é igual à soma (ou diferença) a a dos limites lim f ( ).lim g ( ) lim f.g - limite de um produto é igual ao produto dos limites a a a, desde que a f lim f a lim lim g 0 - limite de um quociente é o quociente dos limites, a g lim g a desde que o limite do denominador seja diferente de zero c lim f ( ) lim cf a a limite da função - o limite de uma constante vezes uma função é igual à constante vezes o d) Se m, b e a são números reais, então: lim m + b ma + b - para calcular este limite basta recorrer às propriedades anteriores a e) Se n é um inteiro positivo, então: n lim f ( ) n lim f a - o limite de uma potência é igual à potência do limite a f) Se f é uma função polinomial e a é um número real, então: lim f f a a Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 4

25 g) Se a > 0 e n é um inteiro positivo, ou se a 0 e n é um inteiro positivo ímpar, então: n n lim a a h) Se uma função f tem um limite quando tende para a, então: n lim f lim f, desde que n seja inteiro positivo ímpar ou n seja um inteiro positivo par e n a a a lim f > 0 Suponha-se que f ( ) h ( ) g( ) para todo em um intervalo aberto contendo a, eceto possivelmente para o próprio a. lim f L lim g Se, então lim h ( ) a a a L..9 Limites que Envolvem Infinito Observe os valores da função f ( ), quando tende a zero ,5 0, 0,0 0,00 0,000 f ( ) ,5-0, -0,0-0,00-0,000 f ( ) Quanto mais próimo de zero é o valor de, maior é o valor de f ( ). Quando acontece uma situação dessas, diz-se que f ( ) cresce ilimitadamente quando tende a zero. Generalizando, quando tende a um número a e os valores de f ( ) ficam maiores que qualquer número positivo considerado, diz-se então que f ( ) cresce ilimitadamente ou que eiste o limite infinito: lim f ( ) +. a Semelhantemente, se quando tende a a os valores de f ( ) ficam menores que qualquer número negativo considerado, diz-se então que f ( ) decresce ilimitadamente ou que eiste o limite infinito: lim f ( ). Por eemplo, ao considerar f ( ), tem-se: a Observe o gráfico: lim f lim. 0 0 Note que para a função f ( ), quando tende a zero pela direita ilimitadamente, e quando tende a zero pela esquerda f decresce ilimitadamente: f cresce Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 5

26 lim lim 0 Neste caso, diz-se que lim 0..0 Limites no Infinito Há funções que, quando + ou, crescem ou decrescem ilimitadamente. Em resumo, podemos ter: + ; ; + ; + +. Eemplos: f cresce ilimitadamente quando + e também quando. lim + e lim +. + f cresce ilimitadamente quando + e decresce quando. lim + e lim. + f ( ) 4 lim 4 + ( ) e lim ( 4 ). f ( ) lim + lim + e. Há funções que, quando + ou, apresentam tendência para um número real f +. Nesta função observa-se que quanto determinado. É o caso, por eemplo, da função maior for o valor de, tende a zero e, então, f tende a. Portanto, lim + +. Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 6

27 Note também que lim +. Deve-se ter conhecimento que há funções que, quando + ou, não apresentam tendência para nenhum número especificamente. É o caso, por eemplo, das f sen f cos f tg periódicas, e. Limites Fundamentais sen i) lim 0 Intuitivamente observa-se que quanto mais aproima-se de zero, por eemplo 0,000rad, o valor de sen0,000 0, Efetuando-se o quociente sen 0, , ,000 Desta forma, quanto mais próimo de zero estiver o arco mais o limite aproimará de. sen5 5.sen5 sen5 senu Eemplo: lim lim 5.lim 5 lim u 0. u tg Deste limite pode-se concluir também que lim. 0 ii) lim + e ± Eemplo: lim + lim lim lim e.e e iii) lim + e 0 Eemplo: lim + lim + lim + e iv) a lim lna, para a > 0 0 Eemplos: lim lim lim ln e e e lim lim lim ln e lim a 0 Eemplo: v) a lim lim lim ( ( + ) ) 4 + lim 0 Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 7

28 ) Calcule os limites: lim 5 + i) + ii) lim ( 5 + ) iii) lim ( 4 + ) Eercícios + 8 iv) lim + i) lim v) lim + ) lim 6n n + n + 7 vi) lim + i) lim ( n + n ) 6 + n + Respostas: i) + ; ii) + ; iii) ; iv) ; v) 0; vi) + ; vii) ; viii) + ; i) ; ) 9; i) 0 vii) viii) lim lim ) Mostrar que: i) lim + e 0 ii) lim e iii) lim e e + iv) lim e + + a v) lim e vi) lim e + k vii) lim e + + viii) lim e i) lim sen 0 8 k sen ) lim 0 sen i) 4 lim 0 6 ii) lim tg5 5 0 sen iii) lim π π iv) lim 0 sen v) lim ln 0 + vi) lim e e e 0 + lim a 0 vii) a + viii) lim 0 ) Faça a análise matemática das funções abaio, se são contínuas ou descontínuas nos pontos dados: 4 i) f ( ) para e ii) f ( ) para e iii) f ( ) para ; e iv) f, para e 9. Derivadas. Fórmula da distância: A distância entre P e P é: ( ) ( ) + ( ) d P,P y y Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 8

29 . Fórmula do ponto médio: O ponto médio do segmento PP é: + y + y M, Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 9

30 . Retas Coeficiente angular m y y m Forma Ponto-Coeficiente angular Forma Coeficiente angular- Intercepto y y m y m + b Retas especiais: Vertical: m não definido Horizontal: m 0 Paralelas: m m Perpendiculares: mm.4 Introdução à Derivada O conceito de derivada é fundamental no cálculo diferencial e integral. Além de inúmeras aplicações práticas, tais como: determinação de máimos e mínimos e pontos de infleão de uma função. As derivadas também tornam o estudo da física simples e lógico..5 Acréscimos Definição: Seja uma variável independente qualquer e e dois valores particulares desta variável. Chama-se acréscimo de, a diferença que representaremos por..6 Acréscimo de uma função Seja y f ( ) uma função qualquer. Dando a um acréscimo arbitrário representaremos por y. Graficamente teremos:, obteremos, para y, um acréscimo que Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 0

31 Algebricamente obtemos: y f ( ) y + y f ( + ) Subtraindo () de () vem y f + f Nota-se que y é o acréscimo da função e é o acréscimo da variável. Eemplo: Calcular o acréscimo sofrido por cada uma das funções seguintes: f a + b a) Solução: b) f ( ) + Solução: y f + f y a + + b a + b y a + a + b a b y a y f + f y y + + y Note que o acréscimo sofrido pela função é proporcional ao acréscimo da variável. f c) Solução: y f + f y + y + + y +.7 Razão Incremental É a razão entre o acréscimo sofrido pela função, y, e pelo acréscimo dado à variável,. y y f + f : razão incremental. Como: A relação () que é a razão incremental, representa um valor numérico que nos indica a velocidade de variação de uma função num ponto. Eemplo: Calcular a razão incremental das seguintes funções: i) y, Solução: y f ( + ) f ( ) ( + ) Interpretação: a velocidade da função é a mesma da variável em qualquer ponto. ii) y, para e Solução: ( + ) ( + ) + + ( ) + ( ) ( + ) y f f + Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt

32 y Assim para e, temos: + 7 Interpretação: a velocidade de variação da função no ponto é 7 vezes à da variável para um acréscimo de, ou seja, para..8 Derivada ou função derivada Chama-se derivada ou função derivada da função y f ( ) incremental quando 0. Em símbolos: dy y lim ( + ) f f lim 0 0 d em relação a o limite da razão dy df Podemos encontrar na literatura:, y, f ( ),, d y, D f ( ), entre outras. d d Eemplo: Achar a função derivada das seguintes funções: i) y Solução: dy f + f lim lim lim lim ( + ) d f f Logo, ii) f ( ) Solução: dy lim lim 0 0 d iii) f ( ) + 5 lim lim ( + 5) sen. Logo, f f 5 Solução: cos sen cos sen dy sen ( + ) sen lim lim lim d iv) f ( ) sen sen lim cos. lim lim cos. lim lim cos cos Solução: sen sen sen sen dy cos ( + ) cos lim lim lim d + + sen sen sen sen sen + lim lim lim lim sen lim sen sen 0 Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt

33 Definição: Seja MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO.9 Derivada de uma função num ponto f uma função contínua no ponto. Chama-se derivada da função no ponto o o valor numérico (finito) da função derivada para o. Notações: dy f ( o ), y ( o ), d o Eemplo: Calcular a derivada de f ( ) no ponto Solução: A derivada dessa função é y. Logo, no ponto dado o valor será y. 4. Solução: Outra forma de calcular a derivada de uma função f ( ) no ponto f ( ) f ( o ) Eemplo: Sendo y ( o ) f lim o o +, calcular y. ( ) ( ) y lim lim lim o é: Observação: ) Se o limite da razão incremental eistir penas para o ( 0) pela esquerda, diremos que a derivada é lateral. ) Se f ( ) f + ( ) diremos que a função derivável no ponto Notação: f ( ). o f ( o ) f lim f o o ( o ) (à esquerda) e Eemplo: Calcular a derivada de f ( ) ( o ) f ( o ) f lim f + + o o no ponto o 0. o, pela direita ou ( o ) (à direita) f é f f 0 Solução: f ( o ) lim lim lim. Como chegamos em um limite sem resolução, temos que, neste caso, estudar as derivadas laterais. Assim, lim e lim. Logo, não é derivável no ponto o 0..0 Interpretação geométrica da Derivada Seja f ( ) uma função cujo gráfico representaremos a seguir: Considere o ponto P (,y ) fio. Dando a um acréscimo obtemos para y um acréscimo y e conseqüentemente um o ponto Q qualquer na curva. Traçando uma secante s em PQ formará Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt

34 então um triângulo retângulo nos pontos PQR de onde tiramos: triângulo abaio: QR PR y tgβ. Veja em detalhes no Imaginemos que: 0, logo Q P. Desde modo a secante s no ponto PQ à tangente geométrica no ponto P. Nota-se que β α. E também s t. Em símbolos representaremos assim: y lim lim tgβ tgα 0 β α dy Donde: tgα. d o Conclusão: a derivada de uma função f ( ) num ponto representa a tangente trigonométrica do ângulo que a tangente geométrica à curva no ponto P forma com o eio positivo O. Observe o desenho a seguir: o Cada ponto da curva gera uma reta tangente. Recordamos: y a + b é a equação geral da reta. A vogal a na equação representa o coeficiente angular, ou seja, tgα. O ângulo formado pela reta tangente e o eio é α.. Propriedades das Derivadas Veremos agora as propriedades das derivadas, que podem ser comprovadas usando a definição de derivada. Função Representação Derivada Constante y c y 0 Afim y a + b y a Soma algébrica y u ( ) ± v ( ) y u ( ) ± v ( ) Produto y u ( ).v ( ) y u ( ) v ( ) + v ( ) u ( ) u ( ) u ( ) v ( ) v ( ) u ( ) Quociente y y v ( ) v ( ) Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 4

35 Eponencial ( a 0 e a ) Função Representação Derivada u > y a y u u a lna u Logarítmica ( a > 0, a e > 0 ) y loga u y loga e u Seno y sen y cos Co-seno y cos y sen Tangente y tg y sec Cotangente y cot g y cos sec Secante y sec y sec.tg Co-secante y cossec y cossec.cot g Composta y f g( ) * * Potência (epoente real) ( α e + ) Eemplos: Achar a derivada das funções f f 0 y α i) ii) f ( ) sen a f ( ) 0 iii) f ( ) ln ( a + b) f ( ) 0 iv) f ( ) f ( ) v) f ( ) 5 + f ( ) 5 vi) f ( ) 5 6 f ( ) 0 5 vii) f ( ) f ( ) viii) f ( ) + sen f ( ) cos i) f ( ).sen f ( ).sen + cos ( + ). + ) f ( ) f ( ) + ( + ) ( + ) i) f ( ) f ( ) ln ii) f ( ) e f ( ) e lne e iii) iv) v) ( ) y f g.g ou dy dy du f d du d y α α ( u) g ( ) f ln f lne f log f log e dy du f sen. Primeiro façamos: u y senu y. cosu. cos..cos du d dy du f sen. Primeiro façamos: sen u y u y. u cos sen cos du d f f vi) vii). Derivadas Sucessivas f um função f f Sendo ( ) - representa a derivada primeira da função f ( ) ( ) - representa a derivada segunda da função f ( ) Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 5

36 f ( ) - representa a derivada terceira da função f ( ) ( 4) f ( ) - representa a derivada quarta da função f ( )... ( n) f - representa a derivada enésima da função f ( ) Eemplos: f : 4 i) Calcular a derivada segunda da função f ( ) 4 6 f ( ) f ( ) ( ) ii) Calcular a derivada terceira da função f ( ) f cos f sen f cos π π f cos sen no ponto. Aplicações.. Reta Tangente Achar a equação da tangente geométrica à curva Solução: f f f. 6 tgα a 6 A reta tangente passa em: f 9. Portanto Temos: ( ) P,9. y π. no ponto y y a y 9 6 y Logo, y é a equação da tangente no ponto. O gráfico para esta situação é:... Aplicação na Física S f t a equação do espaço percorrido por um móvel qualquer. Seja aumentará de No tempo t o o móvel percorreu o espaço S. S o. Se aumentarmos o tempo de t o espaço Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 6

37 Definições: MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO i) A velocidade média ( Vm ) entre os instantes t o e t é a razão incremental Vm f t + t f t f t f t S S s. t t t t t t o o o o o o S, Isto é: t A velocidade instantânea ( Vi ) que a velocidade no instante t o, será o limite da velocidade média quando t t. Ou seja, Vi lim Vm lim t to t 0 t dt t t o o S ds Logo, dada a equação horária S f ( t ) do ponto do móvel.., a sua derivada ds dt t t o indica em cada instante a velocidade ii) A aceleração média ( a m ) entre os instantes t o e t é a razão incremental ds v v ( t ) e temos: dt v ( to + t ) v ( to ) v ( t ) v ( to ) v vo v am t t t t t t o o v. Isto é: seja t A aceleração instantânea que a é aceleração no instante t o, será o limite da aceleração média quando t t. Assim, v ai lima t t m lim o t 0 t dt t t o ponto material. o dv Conclusão: a derivada. dv dt t t o da função v v ( t ) Observação: a derivada segunda da função S f ( t ) dv d ds d S indica em cada instante t o a aceleração do nos dá a aceleração no instante t o : a dt dt dt dt. Eemplo: um ponto material se desloca numa reta e sua equação horária é S t + t. Determinar nos instantes t 0 e t : a) a posição do móvel; b) a velocidade Vi ; c) a aceleração a i. Solução: t 0 S S 0 0m a) para para t S + S m ds t 0 Vi t + t Vi 0m / s dt t 0 b) para ds t Vi t + t +. 6 Vi 6m / s dt t para c) para para i d S dt t 0 t 0 a 6t a m / s d S i + + i. t a 6t 6. 4 a 4m / s dt t.. Derivadas Implícitas Uma função é implícita quando ela é definida pela equação: + + é uma função implícita onde y Q ( ) y y 0 dois processos: i f,y 0. Por eemplo. Para derivar uma função implícita usamos Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 7

38 º processo) Se as variáveis são de fácil separação, para a forma eplícita que é y Q ( ) normalmente. Eemplo: a derivada de y Q ( ) y 6. derivamos y 0 f, y 0 é encontrada eplicitando a variável y. Assim, º processo) Se as variáveis são de difícil separação derivamos a função na forma implícita e em seguida tiramos o valor de y. y + y 5y + y 0 f,y 0. Sabemos que Eemplo: achar a derivada da função y Q ( ). Derivando com relação a, vem:..4 Taa de Variação y y + y + y 5y 0yy + y y y 0y 5y y y 5y + y y + 0y + Suponha que duas variáveis e y sejam funções de outra variável t, f ( t ) e y f ( t ). Assim podemos interpretar as derivadas d e dy como as taas de variação de e y em relação a t. Em dt dt certas aplicações, e y podem estar relacionadas por uma equação como y + 7y 0. Diferenciando implicitamente em relação a t, obtemos: d d d d d d ( ) ( y ) ( ) + ( 7y ) ( 0) dt dt dt dt dt dt Aplicando a regra da potência com t como variável independente, temos: d dy d dy y + 4y 0 dt dt dt dt d dy ( ) + ( 4y y ) 0 dt dt Eemplos: ) Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e m de raio da base. Se a água entra no tanque à razão de 0,00 m /min, calcule aproimadamente a razão na qual o nível de água está subindo quando a profundidade é de m. Solução: Começamos fazendo um esboço da situação (figura ao lado), com r denotando o raio da superfície de água quando a profundidade é h. Note que tanto r como h são funções do tempo t. dv Em seguida: Dado: 0,00m /min. Determinar: dh quando dt dt h m. O volume V de água no tanque correspondente à profundidade h é V π r h. Esta fórmula relaciona V, r e h. Antes de diferenciar implicitamente em relação a t, epressemos V em termos de uma única variável. Observando a figura ao lado e utilizando semelhança de triângulos, obtemos r ou r h. Conseqüentemente, à h 4 h profundidade h, V π h h π. Diferenciando em relação a t obtemos a seguinte relação geral entre as taas de variação de V e de h no instante t: dv dh π h dt 4 dt Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 8

39 dh 4 dv Se h 0 então:. Finalmente, fazendo h e dt π h dt dh 4. ( ),7.0 m / min dt. π dv dt 0,00m /min, obtemos ) Imaginemos um petroleiro avariado cujo vazamento de óleo cubra uma área circular A de raio r (figura a seguir). Com o passar do tempo, estas grandezas crescem a taas que estão relacionadas. da dr dr da / dt De fato, como A π r, temos π r ou. Isto dt dt dt π r mostra que o raio r cresce a uma taa inversamente proporcional a si mesmo. Por eemplo, se a área cresce, digamos, à taa de m por dr hora, então. Assim, quando r for igual a km, esse raio dt 6,8.r estará se epandindo à metade: dr 5 80cm /h. Quando r atingir dt 6,8 o valor de 4 km, a taa de crescimento do raio estará reduzida à metade: dr,5 40cm /h. dt 6,8.4 Máimos, Mínimos e Pontos Críticos.4. Teste da derivada primeira Usando o sinal da derivada primeira classificaremos os etremos locais. Além disso, indicará onde uma função é crescente ou decrescente em um intervalo. Para determinarmos os etremos de uma função f devemos: f i) encontrar ii) encontrar os números críticos de f, isto é, os valores de para os quais f ( ) 0 ou os valores que f ( ) não eista. iii) aplicar o teste da derivada primeira. Concluir. Observe o esquema abaio Eemplo: Dada f ( ) faça um estudo completo desta curva. Solução: f + 9 i) ii) fazer f ( ) 0. Isto é, + 9 0, cujas raízes são: e. Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 9

40 iii) f ( ) f ( ) MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Conclusão < + f é crescente 5 0 f tem um valor máimo < < f é decrescente 0 f tem um valor mínimo > + f é crescente.4. Teste da derivada segunda Sejam f ( ), f ( ) e f ( ) funções contínuas deriváveis no intervalo J e seja o J. Se f ( o ) 0 e f ( o ) < 0, então o é ponto máimo relativo de f ( ). Se o ( o ) é ponto de mínimo relativo de f ( ). o Determinação dos pontos de infleão: f uma função definida em um intervalo J e Seja i) Se f ( o ) 0 ii) Se f ( o ) 0 eio-. o f 0 e f > 0, então J. Se f ( o ) 0 e f ( o ) 0, então:, o é abscissa de um ponto de infleão com reta tangente paralela ao eio-;, o é a abscissa de um ponto de infleão com reta tangente oblíqua em relação ao Critério geral que nos dá a conclusão. Seja f ( ) uma função contínua com derivadas sucessivas todas contínuas num intervalo J. ( n ) ( n) f f f... f 0 e f 0 então: I) Se i) f ( o ) é máimo relativo de ii) f ( o ) é mínimo relativo de iii) o é abscissa de ponto de infleão de ( o ) ( o ) o o o o o II) Se f ( o ) 0 e f ( o ) 0 desde que, depois de ( o ) f se n é par e f se n é par e ( n) f < 0 ; ( n) f > 0 ; f com reta tangente paralela ao eio- se n é ímpar., o é abscissa de ponto de infleão com tangente oblíqua ao eio-, f 0, a primeira derivada que não se anula é de ordem ímpar. 5 Eemplo: se f ( ) 5, determine os etremos locais de f. Analise a concavidade, determine os pontos de infleão e esboce o gráfico de f. Solução: Começamos por derivar f ( ) duas vezes: f ( ) ( ) f ( ) ( ) Resolvendo a equação f ( ) 0 obtemos os números críticos 0,,. Para achar os possíveis pontos de infleão, consideremos a equação f ( ) 0 6 6, daí obtemos as abscissas, 0,. Façamos, agora, os quadros para tirarmos conclusões sobre os pontos e sobre as concavidades da curva. Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 40

41 Número crítico ( c ) 0 f Sinal de f ( c Conclusão ) f Má. Local: 0 0 Nenhum Nenhuma 0 + Mín. Local: f ( ) 6 6 Intervalo Sinal de f ( ) Concavidade (, 6 / ) Para baio ( 6 /,0 ) + Para cima ( 0, 6 / ) Para baio ( 6 /, + ) + Para cima.5 Aplicação na Economia As derivadas C, c, R e P na Economia são chamadas de custo marginal, custo médio marginal, receita marginal e lucro marginal, respectivamente. O valor C ( ) é chamado custo marginal associado à produção de unidades. Interpretando a derivada como taa de variação, então C ( ) é a taa na qual o custo varia em relação ao número de unidades produzidas. O mesmo pode-se dizer de c ( ), R ( ) e P ( ). Eemplo: um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de reproduções (manuais) de uma mesa colonial é dado por C ( ) Cada mesa é vendida por R$.800,00. Que produção semanal maimizará o lucro? Qual o máimo lucro semanal possível? Solução: Como a receita obtida com a venda de mesas é.800, a função receita R é dada por R.800. A função lucro P é a diferença entre a função receita R e a função custo C, isto é, P ( ) R ( ) C ( ).800 ( ) Para achar o lucro máimo, derivamos, obtendo P ( ) ( 960) Obtêm-se os números críticos de P resolvendo ( 960) 0, ou ( ) ( 0 ) , o que dá ou 0. Como a solução negativa é estranha, basta verificar. A derivada P < 0. Logo, se forem vendidas mesas semanalmente obtém-se lucro máimo. Cuja quantidade é segunda da função lucro P é P ( ) 6 6 P Conseqüentemente.6 Problemas de Otimização Nas aplicações, de uma quantidade física ou geométrica costuma ser descrita por meio de fórmula Q f ( ), na qual f é uma função. Assim Q pode ser a temperatura de uma substância no instante, a corrente em um circuito elétrico quando a resistência é, ou o volume de gás em um balão esférico de raio. Esses valores etremos são às vezes chamados de valores ótimos, porque são, em certo sentido, os melhores valores ou os mais favoráveis valores da quantidade Q. Eemplo: De uma longa folha de papel retangular de 0 cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máima? Solução: A figura ao lado representa o desenho da calha, denota o número de centímetros a ser dobrado de cada lado. A largura da base da calha é 0 cm. A capacidade da calha será máima quando a área do retângulo de lados 0 cm e f, temos for máima. Denotando esta área por Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 4

42 f ( ) ( 0 ) 0. Como 0 0, o domínio de f é 0 5. Se 0 ou 5, não se forma nenhuma calha. Assim, derivando f ( ) 0 4 ( 5 ) de onde o único número crítico é 7,5. Como f ( ) 4 < 0 é máimo local para f. Segue-se que devem ser dobrados 7,5 cm de cada lado para obtermos a capacidade máima. ) Achar a derivada da função no ponto indicado: π π i) y sen para. Resposta y 4 4 ii) y, para y 4 iii) f ( ). Resposta π cos, para. Resposta iv) f ( ) 5 6, para Eercícios π f f +. Resposta ) Calcule a derivada das seguintes funções: i) f ( ) sen. Resposta f ( ) sec cos ii) f ( ) + Resposta f ( ) f.cos Resposta f ( ) 6.cos.sen iii) f 4 + iv) f ( ) 7 +. Resposta 4 f + 4 v) f ( ) + +. Resposta vi) f ( ) cos. Resposta vii) f ( t ) t + t. Resposta f + sen f t t + t viii) f ( s) s + s. Resposta i) f ( ) ) f ( ) f s + s s sen Resposta f ( ) cos cos 6. Resposta f ( ) 6sen6 cos sen f log. Resposta f ( ) loge f 8 ( ) log Resposta f ( ) log e f 6 log + no ponto.resposta f log e 7 + nos pontos e. Respostas f 4 e f ( ) 8 5 y f, y 0. Resposta y 5 i) f ( ) ln ( sen ). Resposta f ( ) ii) iii) iv) v) f ( ) ln ( 6 8 ) vi) vii) ( cos ) y sen 0 f (, y ) 0. Resposta viii) +, considere y Q ( ) 4 y y y 0 y sec. Resposta y y 4 y 4 y y Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 4

43 4 ) Dada a função f ( ) 4 calcular f ( 4). Resposta ( 4) f 4 4 4) Dada a função f ( ) 4, resolver a equação f 0. Resposta f 0 4 5) Calcule a derivada segunda de f ( ) 4 5 +, para 0. Resposta 6) Se f ( ) sen + cos, determine f π para. Resposta 6 π + f 6 7) Determine a derivada segunda de f ( ) 4 5 +, para e. Resposta f 8 e f ( ) 58 8) Seja a função f ( ) calcule f ( 0) f ( 0) f ( 0) f ( 0) + f ( 0) + f ( 0) 9) Achar todas as derivadas da função y 6 +. Resposta + +. Resposta ( 4) y 0 0) Achar a derivada de ordem n da função y. Resposta ( n) n n! y + n ) Deve-se construir uma caia de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 5 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caia de volume máimo. Resposta 7,47 cm. ) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve-se ter a capacidade de 75π cm. O custo do material usado para a base do recipiente é de 5 centavos por cm e o custo do material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm. Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizem o custo do material. Resposta raio: 5 cm e altura: 5 cm. ) Determinar a derivada das funções usando a definição. f a). Resposta dy 6 d b) f ( ). Resposta dy d f 7 c) f ( ) +, no ponto. Resposta d) f ( ) 5 6, no ponto e) +. Resposta + f, no ponto. Resposta f 4) Calcule as derivadas das funções: f 5 4 Autor da Apostila: Professor Flávio Bittencourt 4