Análise da Confiabilidade de Sistemas

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1 Aálise da Cofiabilidade de istemas. Cosiderações Gerais! A aálise da cofiabilidade de um sistema a partir de seus compoetes básicos é um dos mais importates aspectos da egeharia de cofiabilidade! Um sistema correspode a um cojuto de ites como subsistemas, compoetes, software e operadores (elemeto humao), cujo fucioameto adequado e coordeado implicam o próprio fucioameto do sistema! Na aálise da cofiabilidade de um sistema, portato, tora-se ecessária a avaliação ão só das relações etre compoetes mas também das cofiabilidades dos mesmos a fim de podermos determiar a cofiabilidade do sistema como um todo! No capítulo aterior ós discutimos a aálise de cofiabilidade a ível de compoete, ou seja, elemeto ou item para o qual possuímos iformação dispoível para estimar a sua cofiabilidade! Neste capítulo apresetaremos procedimetos para a modelagem das relações etre compoetes e posterior quatificação da cofiabilidade do sistema. Em particular, estaremos aptos a respoder as seguites pergutas: Como as probabilidades de falha de compoetes podem ser utilizadas a avaliação do desempeho do sistema? Qual é o impacto da arquitetura do sistema a cofiabilidade do mesmo? Quais são os beefícios da utilização de compoetes redudates? Qual é o impacto de falhas de modo comum a cofiabilidade do sistema?! Abordaremos os seguites métodos para a avaliação da cofiabilidade do sistema a partir de seus compoetes costituites: Diagrama de Blocos Árvore de Falhas 2. Diagrama de Blocos! Diagrama de Blocos são freqüetemete utilizados a prática para modelar o impacto das falhas (ou fucioameto) de compoetes o desempeho do sistema! abemos que cofiabilidade é defiida como sedo a probabilidade de um sistema (ou compoete) realizar a sua fução por um período de tempo. Assim: Erique López Droguett --

2 L Um diagrama de blocos reflete a relação fucioal etre os compoetes do sistema Cada bloco correspode a uma fução desempehada por um compoete ou cojuto de compoetes para o qual dispomos de dados de cofiabilidade Diagrama de Blocos é uma rede descrevedo a fução do sistema. e um sistema possui mais de uma fução, etão cada fução é cosiderada idividualmete e um diagrama de blocos distito é estabelecido para cada fução do sistema.! or exemplo, cosidere um sistema com compoetes distitos: Cada um dos compoetes é ilustrado por um bloco como mostrado a seguir: Quado existem uma coexão etre os potos a e b, podemos dizer que o compoete i está fucioado, ou seja, que o modo de falha a i b L represetado ão ocorre < Lembre: modo de falha correspode a uma das formas que o compoete ou sistema pode falhar. Assim, se cada bloco correspode a uma ou mais fuções desempehadas pelo compoete, etão a ocorrêcia do modo de falha implica que o mesmo ão está fucioado satisfatoriamete orém, isto ão sigifica que o compoete i satisfaz todas as suas fuções. Apeas podemos afirmar que uma fução ou um cojuto de fuções específicas represetadas por este bloco são satisfatoriamete desempehadas, ou seja, o modo de falha ou modos de falha ão ocorrem Note que o sigificado de estar fucioado deve ser especificado em cada caso e depede dos objetivos da aálise em questão! Em resumo: As diversas maeiras através das quais compoetes estão itercoectados para a realização de uma determiada fução do sistema podem ser ilustradas por um diagrama de bloco Veja a próxima figura: Erique López Droguett -2-

3 7 4 L a Quado tem-se uma coexão estabelecida etre os potos a e b, pode se dizer que a fução do sistema represetada pelo diagrama de blocos é realizada. Isto sigifica que um ou mais modos de falha ão ocorrem b! istema em érie: Cosidere um sistema formado por compoetes idepedetes. O modelo em série assume que todos os compoetes idepedetes devem estar fucioado para que o sistema desempehe a sua fução apropriadamete O sistema falha se qualquer um de seus compoetes falha Apesar da hipótese de compoetes idepedetes ou da codição de que a falha do primeiro compoete acarreta a falha do sistema ão podem ser estritamete válidas para muitos sistemas, a prática porém o modelo em série é geralmete uma aproximação tato razoável como coveiete da situação real O diagrama de blocos para um cojuto de compoetes que estão em série é mostrado a seguir: a 2 b A cofiabilidade do sistema, R () t, pode ser obtida a partir das cofiabilidades de seus compoetes: < or exemplo, cosidere apeas dois compoetes em série com cofiabilidades R(), t R2() t. ejam: Erique López Droguett -3-

4 E E 2 Eveto de que o compoete ão falha Eveto de que o compoete 2 ão falha Como a probabilidade de que um compoete opere (ão falhe)durate um período de tempo t é a sua cofiabilidade, etão temos que E ( ) = R( t) e E ( ) = R( t) 2 2 Agora, para um sistema em série, a cofiabilidade para uma missão t, R () t, é a probabilidade de que todos os compoetes simultaeamete operem satisfatoriamete durate a missão t: R () t = ( E E 2 ) assumido que os compoetes são idepedetes (a falha ou ão falha de um deles ão altera a cofiabilidade do outro), etão a cofiabilidade do sistema é simplesmete o produto das probabilidades idividuais de completar a missão: R () t = E ( ) E ( ) = R() tr2() t Ou seja, para que o sistema fucioe, ambos os compoetes devem fucioar. < Geeralizado para compoetes idepedetes em série: R () t = R () t = R () t R () t R () t i= i 2 < É importate otar que para um sistema em série tem-se: R () t mi R(), t R2 (), t, R () t { } L A cofiabilidade de um sistema em série uca é maior do que a meor cofiabilidade de seus compoetes costituites A desigualdade acima resulta do fato de que 0 Ri () t e da multiplicação. Assim, é importate que todos os compoetes teham cofiabilidade elevadas particularmete para sistemas cotedo um grade úmero de compoetes. Veja a tabela a seguir: Erique López Droguett -4-

5 R t i () Número de Compoetes x x x x Compoetes com taxa de falha costate: < e cada compoete possui uma taxa de falha costate, λ i, ou seja, o tempo de falha de cada compoete é distribuído de acordo com a distribuição Expoecial, etão a cofiabilidade do sistema é: R() t = Ri() t = exp( λit) = exp λit i= i= i = ou seja, ( ) R () t = exp λ t ode λ é a taxa de falha do sistema dada por λ = i= λ i L Quado todos os compoetes em série possuem taxa de falha costate, o sistema também possui taxa de falha costate < É importate otar que apesar de todos os compoetes terem tempos de falha goverados pela distribuição Expoecial, estas distribuições ão são ecessariamete as mesmas, ou seja, as taxas de falha dos compoetes podem (e em geral são) distitas Erique López Droguett -5-

6 L Exemplo : Cosidere um sistema composto por quatro compoetes em série os quais são idepedetes e possuem a mesma taxa de falha costate λ. e R ( 00) = 0. 95, ecotre o MTTF de cada compoete. < O tempo de falha do sistema também e distribuído expoecialmete, logo ou 00λ 00( 4) λ R () t = e = e = 095. λ = L( 095. ) = ortato, MTTF = = hrs < Em geral, quado todos os compoetes em série possuem taxa de falha costate, o MTTF do sistema é forecido por: MTTF = = λ MTTF i i= i= i Compoetes com tempos de falha dados pela distribuição de Weibull: < e as falhas dos compoetes são goveradas por distribuições de Weibull, etão a cofiabilidade do sistema em série é dada por: R i t t () t = exp β exp i i = = α i = αi β i h com α, α,, α e β, β,, β, respectivamete 2 2 < A taxa de falha do sistema é obtida a partir de ht () = f() t Rt (), logo t β i t t () t = exp exp i i i i i i = α = α α = αi β β β i i i Erique López Droguett -6-

7 obtedo-se h () t = i t β α α i= i i β i L O sistema em série ão possui tempo de falha do tipo Weibull apesar de todos os seus compoetes possuírem falhas goveradas por distribuições de Weibull. L Exemplo 2: Um sistema é formado por quatro compoetes em série cada um dos quais possuido tempo de falha distribuído de acordo com Weibull e com parâmetros forecidos a seguite tabela: Compoete arâmetro de Escala, α i arâmetro de Forma, β i Estime a cofiabilidade do sistema. < Temos que: t t t t R () t = exp or exemplo, para uma missão de 0 horas, a cofiabilidade do sistema atige o seguite valor: R ( 0) = e = %! istema em aralelo (Ativo): Dois ou mais compoetes estão em paralelo, ou são redudates, quado todos os compoetes devem falhar para que o sistema falhe Erique López Droguett -7-

8 e pelo meos um dos compoetes fucioa, etão o sistema cotiua a fucioar (ão falha) Ativo sigifica que todos os compoetes estão operado durate o período de missão do sistema O diagrama de blocos para um cojuto de compoetes que estão em paralelo ativo é mostrado a seguir: A cofiabilidade do sistema formado por compoetes idepedetes e em paralelo ativo correspode a meos a probabilidade de que todos os compoetes falhem, ou seja, é igual a probabilidade de que pelo meos a 2 b um compoete fucioe: < ara apeas dois compoetes R ( t) = E ( E2) = E ( E2) = E ( E2) o qual resulta em R () t = ( E) ( E2) Assim, a cofiabilidade do sistema é: [ ][ 2 ] R () t = R () t R () t < Geeralizado para compoetes idepedetes: [ i ] R () t = R () t i= Note que para um sistema em paralelo ativo R () t max R(), t R2 (), t, R () t { } Erique López Droguett -8-

9 uma vez que [ Ri () t ] i= de falha do compoete de maior cofiabilidade deve ser meor do que a probabilidade L A cofiabilidade de um sistema em paralelo ativo é pelo meos igual a cofiabilidade do seu compoete mais cofiável. ara um sistema redudate os quais todos os compoetes possuem taxa de falha costate, a cofiabilidade do sistema é λit [ ] R ()= t e i= ode λ i é a taxa de falha do i-ésimo compoete L Exemplo 3: ara um sistema formado por dois compoetes em paralelo ativo e possuido taxas de falha costates λ e λ 2, determie o MTTF do sistema < A cofiabilidade do sistema é dada por ( λt λ2t )( ) R ()= t e e resultado em R () t = e + e e λ t λ t ( λ + λ ) t 2 2 < O MTTF do sistema é etão estimado como λt λ2t ( λ+ λ2) t [ ] MTTF = R () t = e + e e dt obtedo-se 0 0 MTTF = + λ λ λ + λ 2 2! istemas em érie-aralelo: Erique López Droguett -9-

10 istemas complexos tipicamete icluem compoetes em paralelo e em série. Veja a figure que segue: A cofiabilidade de um sistema em série-paralelo é determiada a partir 2 A 3 B a 6 b 4 5 C das cofiabilidades dos seus subsistemas a depeder se o mesmo está em série o paralelo: < Idetifique e categorize os subsistemas série ou paralelo < Determie a cofiabilidade de cada subsistema em série < Determie a cofiabilidade de cada subsistema em paralelo < Utilize cada subsistema em série e/ou paralelo como um ovo bloco fazedo parte de um ovo sistema em um ível mais elevado de detalhameto < Repita os passos ateriores até completar a aálise or exemplo, cosidere o sistema mostrado ateriormete: < Iicialmete dividimos o diagrama de blocos em subsistemas em série e paralelo < No caso acima, tem-se que o subsistema A é formado pelos compoetes e 2 em paralelo. Logo, a cofiabilidade deste subsistema é [ ( )( 2 )] R () t = R () t R () t A < ubsistema B é formado pelo subsistema A em série com o compoete 3, assim RB() t = RA() t R3 () t Erique López Droguett -0-

11 < ubsistema C é costituído pelos compoetes 4 e 5 em série, logo RC () t = R4() t R5() t < Como os subsistemas B e C estão em paralelo e ambos em série com o compoete 6, a cofiabilidade do sistema é determiada como: [ ( )( )] R() t = RB() t RC() t R6 () t < e supormos que R = R2 = 090., R3 = R6 = 098., e R4 = R5 = 099., etão 2 [ ] R B = (. 00) (. 0 98) = e 2 R C = (. 0 99) = [ ] R = ( )( ) ( 0. 98) = % L Exemplo 4: Um sistema possui 00 compoetes distribuídos em três subsistemas diferetes. ubsistema A é composto por 20 compoetes em série sedo que cada um deste compoetes apreseta uma cofiabilidade de 95%. ubsistema B tem 20 compoetes em série cada um destes com cofiabilidade de 93%. ubsistema C é formado por 60 compoetes em série sedo que cada compoetes apreseta uma cofiabilidade de 96%. Os subsistemas B e C estão cada um em série com o subsistema A, mas estão em paralelo etre si. Qual é a cofiabilidade do sistema? < Observe a figura que segue a cofiguração do sistema forecido: < Agora calculamos os valores das cofiabilidades para os subsistemas: B A C Erique López Droguett --

12 20 R A = = R B = = R C = = < ubsistema paralelo de B e C: ( )( ) R = R R = 030. BC B C < Cofiabilidade do sistema: R = R R = % A BC Redudâcia em Alto Nível versus Redudâcia em Baixo Nível: < istemas redudates podem ser obtidos a partir de duas cofigurações básicas: Cada compoete do sistema pode possuir um ou mais compoetes em paralelo a este, o que é cohecido como Redudâcia em Baixo Nível O sistema como um todo pode ser colocado em paralelo com um ou mais sistemas idêticos a este. Esta cofiguração é cohecido como Redudâcia em Alto Nível < or exemplo, cosidere um sistema simples composto de dois compoetes em série: Redudâcia em baixo ível é mostrada a seguir A B A B Redudâcia em alto ível é mostrada a seguir: A B A B Erique López Droguett -2-

13 < Impacto do tipo de redudâcia a cofiabilidade do sistema: e é cosiderado que ambos os compoetes possuem a mesma cofiabilidade, R () t = R () t = R() t, etão a A cofiabilidade do sistema com redudâcia em baixo ível é dada por: [ ( ) ] ( 2 ) R() t = Rt () = Rt () Rt () b ara o sistema com redudâcia em alto ível, tem-se ( ) Ra () t = Rt () = 2Rt () Rt () Através da comparação das cofiabilidades deste dois tipos de sistemas, pode-se dizer que: B L Um sistema com redudâcia em baixo ível possui maior cofiabilidade do que com redudâcia em alto ível. Como chegamos a esta coclusão? Observe que 2 [ 2 ] [ 2 ] ()[ 2 ()] ()[ 2 () ] 2 2 Rt ()[ Rt () ] R() t R() t = Rt () Rt () Rt () Rt () b a = Rt Rt Rt Rt = 2 0 com igualdade obtida quado Rt ( ) =. Note que esta equação somete é válida quado os compoetes são mutuamete idepedetes e se as suas respectivas cofiabilidades são idepedetes da cofiguração a qual os compoetes são colocados. Este resultado também pode ser justificado ituitivamete: O sistema falha tato com a cofiguração em baixo ível como a de alto ível se ambos os compoetes A falham ou ambos os compoetes B falham Etretato, o sistema com cofiguração de redudâcia em alto ível também falha se apeas Erique López Droguett -3-

14 um compoete A falha ou apeas um compoete B falha assumido que estas falhas ocorres em percursos distitos L O sistema em redudâcia em alto ível possui um maior úmero de trajetórias que o levam a falhar. Na prática, a cofiguração de redudâcia em baixo ível é geralmete preferível com relação a cofiguração de redudâcia em alto ível devido a possuir maior ível de cofiabilidade e meores custos de substituição (mauteção) L Exemplo 5: Um equipameto de rádio trasmissão cosiste de três sistemas pricipais: fote de potêcia, um receptor, e um amplificador, com cofiabilidades de 0.8, 0.9, e 0.85, respectivamete. Calcule as cofiabilidades deste sistema para ambas as cofigurações de redudâcia em alto ível e baixo ível cosiderado subsistemas de dois compoetes em paralelo. < ara redudâcia em alto ível: [ ] R a = = < ara redudâcia em baixo ível: R b = [ ( 08. ) ][ ( 09. ) ][ ( 085. ) ] = ! istemas em Redudâcia k-n: Redudâcia k-n (lê-se k de N) é um geeralização de N compoetes em paralelo quado existe a codição de que k compoetes do total de N compoetes idêticos e idepedetes devem fucioar para que o sistema também fucioar Note que: < Devemos ter k N < Quado k = tem-se o caso de redudâcia completa, ou seja, é apeas ecessário que qualquer compoete opere satisfatoriamete para o sistema fucioar Erique López Droguett -4-

15 < Quado k = N, tem-se que os N compoetes estão em série, ou seja, todos devem fucioar para o sistema fucioar Cofiabilidade de um sistema k-n: < ode ser obtida a partir da distribuição de probabilidade Biomial < e cada compoete é cosiderado como sedo um eveto idepedete com probabilidade costate de sucesso R (a sua cofiabilidade), etão N x ( ) = x R ( R ) x N x é a probabilidade de que exatamete x compoetes estejam operado < Observe que esta coclusão é válida pois N N! = x x! ( N x)! correspode ao úmero de maeiras que x sucessos (ão falhas) podem ocorrer a partir de N compoetes, equato que R ( R) x N x é a probabilidade de x sucessos e N - x falhas para um úico arrajo de sucessos e falhas < ortato R N = ( x) x= k é a probabilidade de k ou mais sucessos a partir de N compoetes L Exemplo 6: Um certo tipo de foguete utilizado o trasporte de satélites para a orbita terrestre requer que três de suas quatro turbias operem satisfatoriamete para que o foguete atija a orbita da Terra. e cada turbia possui uma cofiabilidade de 0.97, estime a probabilidade de sucesso do foguete alcaçar a orbita. Erique López Droguett -5-

16 < Nós queremos a cofiabilidade da missão, ou seja, a probabilidade de sucesso: logo, R 4 x = ( 097. ) 4 x x= R = 4( 0. 97) ( 0. 03) = % x O caso de falhas expoeciais: < e a distribuição do tempo de falha é Expoecial com taxa de falha λ, sabemos que a cofiabilidade (probabilidade de sucesso) de cada compoete do sistema é Rt ()= λ e t < Etão, a cofiabilidade do sistema k-n é dada por: R ()= t N x e N λxt [ e λt N x ] x= k < ode-se mostrar que o MTTF do sistema k-n este caso é MTTF = R () t dt = 0 N λ x x= k < Note que se k =, etão o MTTF obtido a partir da expressão aterior correspode ao tempo médio de falha para um sistema composto de N compoetes idêticos em paralelo e com taxa de falha costate L Exemplo 7: No exemplo aterior, cosidere que é requerido que as turbias operem em potêcia máxima por um período de 8 miutos. e a taxa de falha costate de cada turbia é λ = /mi, determie o MTTF do foguete. < A cofiabilidade de cada turbia para uma missão de 8 miutos é ( 8) R() 8 = e = 097. Erique López Droguett -6-

17 < O MTTF de cada turbia é MTTF = = mi < Logo, o MTTF do sistema é calculado como MTTF = = 532. mi 3 4! Falhas de Causa Comum ( Commo-Cause Failures ): Até agora trabalhamos com a hipótese de que todos os N compoetes do sistema falham de forma idepedete Esta hipótese, etretato, pode ser muitas vezes violada em sistemas. or exemplo: < Diversos compoetes que obtém eergia elétrica a partir do mesmo gerador < Codições ambietais como calor excessivo ou vibração podem afetar diversos compoetes da mesma forma < Erros operacioais ou de mauteção, falhas de projeto, uso de materiais de baixa qualidade a fabricação podem também cotribuir para a ocorrêcia de falhas de causa comum O modo de falha de causa comum pode ser cosiderado em série com os compoetes que são afetados por este tipo de falha A figura que segue mostra um modo de falha de causa comum associado a três compoetes em paralelo: A B R ' C A cofiabilidade do sistema é dada por [ ( )( )( )] ' R () t = R () t R () t R () t R () t A B C Erique López Droguett -7-

18 É importate otar que: < ara podermos represetar o modo de falha de causa comum via diagrama de blocos é ecessário que sejamos capazes de idetificar e separar as falhas idepedetes das falhas de causa comum < ara que o sistema redudate teha impacto positivo a cofiabilidade do sistema, ou seja, para que seja eficiete, a falha de causa comum deve possuir baixa probabilidade de ocorrêcia (deve ter elevada cofiabilidade) Erique López Droguett -8-

19 3. Árvore de Falhas L! Árvore de falhas é um método gráfico de aálise de sistemas alterativo a diagrama de blocos! Árvore de falhas difere com relação ao diagrama de blocos os seguites aspectos É um processo de aálise dedutivo estruturado em termos de evetos ao ivés de compoetes (por exemplo, equipametos) A aálise é realizada em termos de falhas ao ivés de cofiabilidade (sucesso a operação de equipametos) Uma das vatages de focalizar a aálise em termos de falhas é que falhas são em geral mais fáceis de defiir e idetificar do que ão-falhas, além do fato de que ormalmete existe um úmero bem mais reduzido de formas que um sistema pode falhar do que maeiras do mesmo fucioar (ão falhar)! Assim, pode-se dizer que: Árvore de Falhas é um processo dedutivo através do qual um eveto idesejável chamado de eveto topo é postulado e as possíveis formas deste eveto ocorrer são sistematicamete deduzidas O eveto topo é assim o foco da aálise e em geral correspode a um eveto catastrófico (por exemplo, ruptura de taque) ou uma falha sigificativa O processo de costrução de uma árvore de falha é dedutivo pois cosiste a sistemática decomposição das falhas começado do eveto topo e camihado em direção das causas (evetos básicos) A aálise qualitativa cosiste em idetificar as diversas combiações de evetos que acarretam a ocorrêcia do eveto topo Esta etapa qualitativa pode ser seguida por uma aálise quatitativa com o ituito de estimar a probabilidade de ocorrêcia do eveto topo or exemplo, um eveto topo pode correspoder a falha do circuito de cotrole em eviar sial. O processo dedutivo de costrução da árvore de falha é realizado a fim de se idetificar e icluir todas as falhas (a medida do possível como veremos adiate) dos compoetes do sistema que cotribuem para a ocorrêcia do eveto topo É possível icluir ão só modos de falha idividuais de compoetes mas também erros humaos, falhas de softwares, e as iterações destes elemetos durate a operação do sistema Erique López Droguett -9-

20 A árvore de falha em si é uma represetação gráfica das várias combiações de falhas que acarretam a ocorrêcia do eveto topo! É importate otar que a prática uma árvore de falha ão ecessariamete cotém todos os modos falha possíveis dos compoetes do sistema: omete aqueles modos de falha que efetivamete cotribuem e são relevates a ocorrêcia do eveto topo são icluídos a costrução da árvore de falha < or exemplo, se a perda de eergia de um circuito causa este em abrir um cotato, que por coseqüêcia evia um sial para um outro sistema etrar em operação, etão uma árvore de falha com eveto topo circuito de cotrole falha em gerar sial ão icluiria um eveto falha do gerador apesar do compoete gerador de eergia ser parte itegral do circuito de cotrole. Isto se deve ao fato de que o eveto topo ão ocorre quado o gerador falha Os evetos fazedo parte de uma árvore de falhas muitas vezes ão são exaustivos, ou seja, ão correspodem a totalidade dos evetos que cotribuem para a ocorrêcia do eveto topo < omete aquele evetos cosiderados importates devem ser icluídos < Deve-se otar, porém, que a iclusão ou ão de um eveto relevate ão é arbitrária: Esta escolha é iflueciada pelo processo de costrução da árvore de falha Como o sistema é projetado Como o sistema é operado Histórico operacioal do sistema Dados de falha dispoíveis A experiêcia do aalista < Logo: L Em cada ível da árvore de falha, os evetos cosiderados represetam as causas imediatas, ecessárias, e suficietes para a ocorrêcia do eveto (evetos) em um ível imediatamete superior a estes, icluido o eveto topo Erique López Droguett -20-

21 ! Etapas a aálise de sistemas via árvore de falha: Defia o sistema, as suas froteiras, e o eveto topo Costrua a árvore de falha a qual simbolicamete represeta o sistema e os seus evetos relevates a ocorrêcia do eveto topo Realize uma aálise qualitativa (avaliação lógica) do as combiações de evetos que acarretam a ocorrêcia do eveto topo Realize uma aálise quatitativa (avaliação probabilística) que cosiste em associar probabilidades de falha a os evetos básicos e estimado a probabilidade do eveto topo! A figura que segue mostra os símbolos utilizados a costrução de árvores de falha: ortões Lógicos: Evetos: AND:portão lógico o qual um eveto de saída (resultate) somete ocorre se todos os evetos de etrada tem ocorrido. Em álgebra Booleaa, a saída deste portão correspode a operação de iterseção dos evetos de etrada OR:um portão lógico o qual um eveto de saída ocorre se pelo meos um dos evetos de etrada tem ocorrido. Em álgebra Booleaa, a saída deste portão correspode a operação de uião dos evetos de etrada Eveto Básico: eveto que ão requer mais detalhameto (desevolvimeto) Eveto Icompleto: é um eveto que ão é desevolvido pois ou ão há iformação suficiete (dados) ou porque o mesmo é cosiderado pouco relevate (cosequecias míimas) por parte do aalista Eveto Itermediário: eveto que resulta da combiação lógica de outros evetos e geralmete correspode à saída de um portão lógico Trasferêcias: usados para coectar porções de uma mesma árvore Trasferêcia ara: idica que a árvore é desevolvida posteriormete (em outra págia) a ocorrêcia do portão de "trasferêcia para" Trasferêcia De: idica que esta porção da árvore deve ser coectada à porção idicada pelo portão de "trasferêcia de" Erique López Droguett -2-

22 L Exemplo 8: Na figura que segue, o portão OR idica que a ruptura do taque ocorre ou por sobrepressão ou por fadiga da parede do taque (falha ierete ao taque). A falha devido a fadiga é cosiderada como eveto básico. or outro lado, o eveto sobrepressão é cosiderado como itermediário e posteriormete desevolvido através do uso de um portão AND. Assim, se o eveto temperatura excessiva e falha da V ocorrerem, etão a ruptura do taque ocorrerá. Ruptura do Taque obrepressão Fadiga da arede Temperatura Excessiva Falha da V! Costruido uma Árvore de Falha: O desevolvimeto de uma árvore de falha é um procedimeto dedutivo, ou seja, é a sistemática decomposição das falhas começado do eveto topo e prosseguido em direção às suas causas ara melhor eteder o coceito de árvore de falha, veja o exemplo que segue L Exemplo 9: Cosidere um circuito elétrico represetado pelo se diagrama de blocos a seguir A x B y C D Erique López Droguett -22-

23 < A fução deste sistema é forecer correte elétrica o poto y. < Logo o eveto topo pode ser Não Há Correte em Y < Claramete, o eveto topo resulta da ausêcia simultâea de correte a partir dos três ramos deste sistema em paralelo: Falha do compoete A Falha do compoete B Falha do compoete C ou falha do compoete D < A árvore de falha resultate para este eveto topo é mostrada a seguir: Não Há Correte em Y C e D Falham A Falha B Falha C Falha D Falha! Resolva agora o próximo caso Exemplo 0 (Resolver): Cosidere o circuito elétrico represetado pelo seu diagrama de blocos mostrado a seguir: x y A fução deste sistema é forecer correte o poto y. Costrua a árvore de falha para o eveto topo Ausêcia de Correte em Y Erique López Droguett -23-

24 Exemplo : Cosidere o sistema de bombeameto mostrado a seguir. Vazão suficiete de água é bombeada do taque T- quado apeas uma da duas bombas - ou -2 opera adequadamete. Todas as válvulas de V- até V-5 estão ormalmete abertas. O sistema de cotrole automaticamete acioa ambas as bombas - e -2 quado há a ecessidade de água. e uma das bombas falha a partida ou durate operação, o sistema aida realiza a sua fução satisfatoriamete se apeas uma das bombas operar. Ambas as bombas e o sistema de cotrole utilizam a mesma fote de eergia origiada pelo gerador AC. Assuma que sempre há suficiete água o taque T-, ão há falhas humaas, e ão há falhas relevates as tubulações. Desevolva uma árvore de fala para este sistema. T- V-2 - V-4 V- Taque de Água V-3-2 V-5 istema de Cotrole Gerador AC < ara o eveto topo Falha o Forecimeto de Água, a árvore de falha é mostrada a figura que segue: Falha o Forecimeto de Água Não Há Água a aída de V- Gerador AC Falha istema de Cotrole Falha Não Há Água a aída das Lihas A, B Ruptura do Taque T- V- Falha Fechada Não Há Água a aída da Liha Não Há Água a aída da Liha 2 V-2 Falha Fechada - Falha V-4 Falha Fechada V-3 Falha Fechada -2 Falha V-5 Falha Fechada Erique López Droguett -24-

25 < Note que ós cosideramos apeas um modo de falha para ambas as bombas. L L! Aálise Qualitativa de uma Árvore de Falha: A avaliação lógica ou qualitativa de uma árvore de falha cosiste a determiação de todas as combiações de evetos que levam a ocorrêcia do eveto topo, ou seja, a idetificação dos cojutos de cortes míimos Corte correspode a um cojuto de evetos que levam a ocorrêcia do eveto topo. Corte Míimo é um corte o qual ão possui evetos desecessários, ou seja, todos os evetos deste corte devem ocorrer para causar a ocorrêcia do eveto topo. L L É importate otar que cortes e cortes míimos são defiidos o cotexto de falha do sistema: < O complemeto lógico de um corte é uma cojuto de evetos chamado de camiho < O complemeto lógico de um corte míimo é um camiho míimo Camiho é um cojuto de evetos cuja ocorrêcia implica o fucioameto do sistema. Camiho Míimo é o camiho que ão possui evetos desecessários, ou seja, possui o míimo de evetos ecessários para garatir o fucioameto do sistema. < Logo, camihos e camihos míimos são defiidos detro do domíio de sucesso (fucioameto) do sistema A avaliação qualitativa de uma árvore de falha evolve a determiação dos seus cortes míimos Os cortes míimos podem ser obtidos através de simples maipulação Booleaa dos evetos represetados a árvore de falha com o objetivo de expressar o eveto topo em termos de evetos básicos ão redudates, ou seja, em termos de seus cortes míimos < Note que redudâcia existe quado um mesmo eveto ocorre mais de uma vez a árvore de falha ou quado este eveto é um subcojuto de um outro eveto Erique López Droguett -25-

26 Ates de cotiuar, a tabela a seguir apreseta as regras de maipulação algébrica Booleaa as quais utilizaremos a determiação dos cortes míimos de árvores de falha ropriedade Exemplo Comutativa X Y = Y X X Y = Y X Associativa X ( Y Z) = ( X Y) Z X ( Y Z) = ( X Y) Z Distributiva X ( Y Z) = ( X Y) ( X Z) Idempotêcia X X = X X X = X Absorção X ( X Y) = X X ( X Y) = X Complemeto X X = X X = Ω Teorema de Morga ( X Y) = X Y X = X ( X Y) = X Y Veja o próximo exemplo Exemplo 2: implifique a seguite expressão: [( A B) ( A B) ( A B) ] Erique López Droguett -26-

27 < implificado, obtemos: implificação [( A B) ( A B) ( A B) ] ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) [ ( )] ( ) [ ] ( ) A A B B A B A B [ ( )] ( ) ( ) [ ] ( ) A B A B A B B A B [ A ( B A) ] ( A B) ropriedade Utilizada de Morga de Morga Complemeto Distributiva Distributiva Absorção Distributiva A ( A B) Absorção A B O procedimeto para a determiação dos cortes míimos de uma árvore de falha que utilizaremos é deomiado de Método da ubstituição ucessiva: < Ecotra-se a expressão Booleaa de cada portão da árvore de falha de tal forma que somete evetos básicos são evolvidos < ara tato, diversas maipulações Booleaas (veja tabela acima) são empregadas para reduzir as expressões de evetos a sua forma mais compacta < O processo de substituição iicia-se a partir do portão represetado o eveto topo e prossegue em direção à base da árvore de falha, ou seja, de cima para baixo < Ao fial deste processo de substituição, a expressão fial correspoderá aos cortes míimos da árvore de falha. Cada corte Erique López Droguett -27-

28 míimo correspode a um ou mais evetos cuja realização simultâea implica a ocorrêcia do eveto topo (falha do sistema) ara melhor eteder este processo, cosidere o próximo exemplo Exemplo 3: Cosidere a árvore de falha do exemplo 9. Ecotre os cortes míimos e os camihos míimos. < Vamos chamar de G o portão represetado o AND do eveto topo e G 2 o portão OR represetado o eveto C e D Falham < Assim, começado do topo tem-se: T = A B G ode T correspode ao eveto topo. or sua vez, G = C + D ubstituido a expressão aterior do eveto topo, T = A B ( C + D) expadido e simplificado, ecotramos os cortes míimos como: T = A B C + A B D < Os camihos míimos podem ser obtidos como complemeto dos cortes míimos: ( )( ) ( ) T = ABC + ABD = ABC ABD = A + B + C A + B + D T = A + AB + AD + AB + B + BD + AC + BC + CD T = A + B + CD Árvore de ucesso: < Vimos o exemplo aterior que mesmo para um sistema bastate simples, a obteção dos camihos míimos a partir da iversão (complemeto lógico) dos cortes míimos requer um trabalho cosiderável! < Em situações práticas, muitas vezes uma árvore de sucesso se costitui em um método alterativo para a determiação dos camihos míimos de um sistema a partir de uma árvore de falha Erique López Droguett -28-

29 L < Árvore de ucesso é um método que é coceitualmete o mesmo que árvore de falha: Defie-se um eveto topo que correspode a um eveto desejável Os evetos itermediários e básicos são assim especificados de forma a garatir a ocorrêcia (desejável) do eveto topo Árvore de ucesso represeta as diversas combiações de evetos desejáveis (sucessos) que garatem a ocorrêcia do eveto topo. L < Uma árvore de sucesso é o complemeto lógico de uma árvore de falha: e o complemeto lógico do eveto topo de uma árvore de falha é utilizado como o eveto topo de uma árvore de sucesso, etão a estrutura lógica (Booleaa) represetada pela árvore de sucesso é o complemeto lógico da árvore de falha A partir de uma árvore de sucesso cujo eveto topo é o complemeto do eveto topo de uma árvore de falha, obtemos os camihos míimos do sistema. Assim, para costruir uma árvore de sucesso a partir de uma árvore de falha ós simplesmete utilizamos os complemetos de todos os evetos itermediários e básicos da árvore de falha, assim como ivertemos todos os portões lógicos da árvore de falha: AND OR e OR AND or exemplo, ivertedo a árvore de falha do exemplo 9, obtemos Há Correte em Y C e D Operam A Opera B Opera C Opera D Opera Erique López Droguett -29-

30 edo A A fucioa B B fucioa C C fucioa D D fucioa Obtemos os seguites camihos míimos: T = A + B + CD ode T correspode ao complemeto do eveto topo da árvore de falha, ou seja, Há Correte em Y Tete agora resolver os seguites casos Exemplo 4 (Resolver): Cosidere a árvore de falha do exemplo 0. (a) Ecotre os cortes míimos (b) Determie os camihos míimos utilizado árvore de sucesso Exemplo 5 (Resolver): Cosidere a árvore de falha do exemplo. (a) Ecotre os cortes míimos (b) Determie os camihos míimos utilizado árvore de sucesso Ateção com o úmero de evetos básicos em um corte míimo: < Ao se determiar os cortes míimos de uma árvore de falha, devese dar maior importâcia aqueles cortes míimos possuido um ou dois evetos básicos pois estes são mais prováveis de ocorrerem do que cortes míimos compostos de múltiplos evetos básicos < or exemplo, se um eveto básico possui probabilidade de ocorrêcia a ordem de 0-2, etão podemos esperar que um corte míimo composto por dois evetos básicos teha probabilidade de ocorrêcia a ordem de 0-4, equato que um corte míimo triplo (três evetos básicos) teria probabilidade a ordem de 0-6 Erique López Droguett -30-

31 < A partir desta iformação, pode-se traçar como um provável objetivo a elimiação ou miimização da probabilidade de falha de cortes míimos formados por apeas um eveto básico < Em geral, a ordeação de cortes míimos por tamaho forece uma idéia qualitativa da importâcia dos diversos cortes míimos ecotrados < Da mesma forma, evetos básicos aparecedo em mais de um corte míimo deverão ser aalisados ateciosamete e serão cadidatos a posterior elimiação (deste modo de falha se possível) ou miimização de sua probabilidade de ocorrêcia < e uma aálise quatitativa é realizada, etão aqueles cortes míimos com probabilidades de ocorrêcia mais elevadas devem receber especial ateção Erique López Droguett -3-

32 ! Aálise Quatitativa de uma Árvore de Falha: abemos que cada corte míimo é uma combiação de evetos básicos que devem obrigatoriamete ocorrer para causar o eveto topo e C, C,, são os cortes míimos, etão o eveto topo T pode 2 C ser expresso em termos de seus corte míimos como ode cada corte míimo T = C + C + + C básicos E, E 2,, E k 2 C i pode ser formado por um ou mais evetos A probabilidade de que o eveto topo T ocorra durate um período de tempo t é ode C i T ( ) = C ( + C+ + C ) 2 represeta o eveto de que os elemetos (equipametos, operadores, software) represetados este corte míimo falhem ates da missão t < O sial + correspode a operação lógica de uião ( ), equato que é a operação lógica de iterseção ( ) < Note que T idica o eveto topo e ão a variável aleatória tempo! < Todos os cortes míimos são assim avaliados para um tempo de missão t < A um eveto básico pode ser associado um simples valor de probabilidade de falha sob demada (exemplo, bomba falha a partida), ou probabilidade de falha durate o período t de operação do sistema e os cortes míimos são mutuamete exclusivos (ão ocorrem simultaeamete), etão T ( ) = C ( ) + C ( 2) + + C ( ) () Na prática, porém, os cortes míimos ão são mutuamete exclusivos. Neste caso, a probabilidade de iterseção (ocorrêcia simultâea) de dois ou mais cortes míimos deve ser estimada < or exemplo, cosidere que temos os seguites cortes míimos: C C 2 = A B = A C Erique López Droguett -32-

33 Etão, T ( ) = A ( B+ A C) resultado em T ( ) = AB ( ) + AC ( ) AB ( AC ) e os evetos básicos são idepedetes, etão C ( ) = ( AB ) ( ) C ( ) = AC ( ) ( ) 2 L e T ( ) = ( AB ) ( ) + ( AC ) ( ) ABC ( ) ( ) ( ) ara se obter a probabilidade do eveto topo é suficiete estimar as probabilidades de falha dos evetos básicos. Em geral, se os evetos básicos que compõem um determiado corte míimo são mutuamete idepedetes, etão C ( ) = E ( E E ) = E ( ) E ( ) E ( ) i 2 ik 2 ik ode ik é o úmero de evetos básicos o corte míimo C i A Eq. () pode ser uma boa aproximação mesmo quado os cortes míimos ão são mutuamete exclusivos mas as probabilidades de ocorrêcia dos evetos básicos são pequeas (em geral, quado todos os evetos básicos possuem probabilidades de ocorrêcia meores do que 0.) < Isto é verdadeiro porque os produtos cruzados, como ABC ( ) ( ) ( ) cosistem (assumido evetos básicos idepedetes) de produtos etre probabilidades de evetos básicos < or exemplo, se a probabilidade de um eveto básico é da ordem de 0-6, etão a probabilidade de iterseção de dois ou mais evetos será da ordem de 0-2 ou meor < Esta aproximação para a probabilidade do eveto topo é cohecida como Aproximação do Eveto Raro: T ( ) C ( ) + C ( ) + + C ( ) 2 a qual forece uma estimativa coservadora (pessimística) da probabilidade de falha do sistema Erique López Droguett -33-

34 < Como um exemplo, vamos cosiderar que A ( ) = B ( ) = C ( ) = logo, AB ( ) ( ) = AC ( ) ( ) = 0 6 e ABC ( ) ( ) ( ) = 0 9 Etão, pelo método exato a probabilidade do eveto topo é T ( ) = Utilizado a aproximação do eveto raro, tem-se T ( ) Obviamete, quato meores forem as probabilidades dos evetos básicos, melhor será a aproximação. Cofiabilidade do sistema: < É obtida diretamete a partir da probabilidade de falha do mesmo, ou seja, do eveto topo. < Assim, a cofiabilidade do sistema para uma missão com duração t é dada por: R () t = ( C + C2+ + C ) < e as probabilidades dos evetos básicos são reduzidas, etão podemos utilizar a aproximação do eveto raro. Neste caso, a cofiabilidade do sistema é obtida aproximadamete como R() t C ( ) + C ( 2) + + C ( ) [ ] Exemplo 6: Cosidere a árvore de falha do exemplo 9. Ecotre a probabilidade de ocorrêcia do eveto topo se as probabilidades dos evetos A, B, e C são iguais a 0.. < Os cortes míimos ecotrados o exemplo 3 foram: C C 2 = A B C = A B D Erique López Droguett -34-

35 < Utilizado a aproximação do eveto raro, tem-se T ( ) ABC ( ) ( ) ( ) + ABD ( ) ( ) ( ) logo, T ( ) = < Note, porém, que os cortes míimos C e C 2 ão são mutuamete exclusivos. < Assumido que todos os evetos básicos são idepedetes, a probabilidade exata do eveto topo é T ( ) = ABC ( ) ( ) ( ) + ABD ( ) ( ) ( ) ABCD ( ) ( ) ( ) ( ) resultado em T ( ) = ! Tete agora resolver os próximos casos Exemplo 7 (Resolver): Cosidere a árvore de falha do exemplo 0. Utilizado os cortes míimos ecotrados o exemplo 4, determie a probabilidade de ocorrêcia do eveto topo. Cosidere as seguites probabilidades de falha: () = ( 2) = () 3 = 0. ( 4) = ( 5) = ( 6) = 00. ( 7) = Exemplo 8 (Resolver): Cosidere a árvore de falha do exemplo. Utilizado os cortes míimos ecotrados o exemplo 5, determie a probabilidade de ocorrêcia do eveto topo. Assuma que: Todas as válvulas possuem a mesma probabilidade de falhar fechada igual a 0.02 As bombas possuem probabilidade de falhar igual a 0.0 A probabilidade de ruptura do taque é As probabilidades de falha do sistema de cotrole e do gerador são iguais a 0.00 Erique López Droguett -35-