TRANSFERÊNCIAS ÓTIMAS A BAIXO EMPUXO E POTÊNCIA LIMITADA ENTRE ÓRBITAS ELÍPTICAS QUAISQUER

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1 INPE-664-TDI/65 TRANSFERÊNCIAS ÓTIMAS A BAIXO EMPUXO E POTÊNCIA LIMITADA ENTRE ÓRBITAS ELÍPTICAS QUAISQUER Fncisco ds Chgs Cvlho Ts d Doutodo do Cuso d Pós-Gdução m Engnhi Tcnologi Espciis/Mcânic Espcil Contol, ointd plos Ds. Sndo d Silv Fnnds, Antonio Fnndo Btchini d Almid Pdo, povd m 7 d mio d 4. Rgisto do documnto oiginl: < INPE São José dos Cmpos

2 PUBLICADO POR: Instituto Ncionl d Psquiss Espciis - INPE Gbint do Dito (GB) Sviço d Infomção Documntção (SID) Cix Postl 55 - CEP São José dos Cmpos - SP - Bsil Tl.:() /693 Fx: () E-mil: pubtc@sid.inp.b CONSELHO DE EDITORAÇÃO: Psidnt: D. Gld Jn Fncis Bnon - Coodnção Obsvção d T (OBT) Mmbos: D Mi do Cmo d Andd Nono - Conslho d Pós-Gdução D. Holdo Fg d Cmpos Vlho - Cnto d Tcnologis Espciis (CTE) D Inz Stciini Btist - Coodnção Ciêncis Espciis Atmosféics (CEA) Mcin Lit Ribio - Sviço d Infomção Documntção (SID) D. Rlf Gilow - Cnto d Pvisão d Tmpo Estudos Climáti (CPT) D. Wilson Ymguti - Coodnção Engnhi Tcnologi Espcil (ETE) BIBLIOTECA DIGITAL: D. Gld Jn Fncis Bnon - Coodnção d Obsvção d T (OBT) Mcin Lit Ribio - Sviço d Infomção Documntção (SID) Jffson Andd Anclmo - Sviço d Infomção Documntção (SID) Simon A. Dl-Ducc Bbdo - Sviço d Infomção Documntção (SID) REVISÃO E NORMALIZAÇÃO DOCUMENTÁRIA: Mcin Lit Ribio - Sviço d Infomção Documntção (SID) Milúci Sntos Mlo Cid - Sviço d Infomção Documntção (SID) Yolnd Ribio d Silv Souz - Sviço d Infomção Documntção (SID) EDITORAÇÃO ELETRÔNICA: Vivc Snt An Lmos - Sviço d Infomção Documntção (SID)

3 INPE-664-TDI/65 TRANSFERÊNCIAS ÓTIMAS A BAIXO EMPUXO E POTÊNCIA LIMITADA ENTRE ÓRBITAS ELÍPTICAS QUAISQUER Fncisco ds Chgs Cvlho Ts d Doutodo do Cuso d Pós-Gdução m Engnhi Tcnologi Espciis/Mcânic Espcil Contol, ointd plos Ds. Sndo d Silv Fnnds, Antonio Fnndo Btchini d Almid Pdo, povd m 7 d mio d 4. Rgisto do documnto oiginl: < INPE São José dos Cmpos

4 Ddos Intncionis d Ctlogção n Publicção (CIP) C53t Cvlho, Fncisco ds Chgs. Tnsfêncis ótims bixo mpuxo potênci limitd nt óbits líptics quisqu / Fncisco ds Chgs Cvlho. São José dos Cmpos : INPE,. 9 p. ; (INPE-664-TDI/65) Ts (Doutodo m Engnhi Tcnologi Espciis/Mcânic Espcil Contol) Instituto Ncionl d Psquiss Espciis, São José dos Cmpos, 9. Ointdos : Ds. Sndo d Silv Fnnds, Antonio Fnndo Btchini d Almid Pdo.. Óbits.. Óbits ciculs. 3. Óbits líptics. 4. Mcânic obitl. 5. Stélits tificiis. 6. Bixo mpuxo. 7. Potênci limitd. 8. Otimizção d tjtói. 9. Pincípio d máximo d Pontygin.. Tnsfomção cnônic. I.Título. CDU Copyight c do MCT/INPE. Nnhum pt dst publicção pod s poduzid, mznd m um sistm d cupção, ou tnsmitid sob qulqu fom ou po qulqu mio, ltônico, mcânico, fotogáfico, pogáfico, d micofilmgm ou outos, sm pmissão scit do INPE, com xcção d qulqu mtil foncido spcificmnt com o popósito d s ntdo xcutdo num sistm computcionl, p o uso xclusivo do lito d ob. Copyight c by MCT/INPE. No pt of this publiction my b poducd, stod in tivl systm, o tnsmittd in ny fom o by ny mns, lctonic, mchnicl, photocopying, coding, micofilming, o othwis, without wittn pmission fom INPE, with th xcption of ny mtil supplid spcificlly fo th pupos of bing ntd nd xcutd on comput systm, fo xclusiv us of th d of th wok. ii

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7 "O qu hvá pls bnds do futuo? Est Intogção, pn no mu spíito, já s m tonou m pigos obsssão; todos os mus tos, sinto-os m função dl, d sot qu vivo num constnt oscil - do dsânimo mio às mios spnçs." Euclids d Cunh scito bsilio "By th mthods w my ln wisdom: fist, by flction which is noblst; scond, by imittion, which is th sist; nd thid, by xpinc, which is th bittst." Confucius chins thicl tch, philosoph B.C. "Embo ninguém poss volt tás fz um novo comço, qulqu um pod comç go fz um novo fim". Chico Xvi 9

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9 Nunc Esmoçs Alm ftn, cod: Os momntos inflizs pcm noits d ciss Em qu o céu lmb um vulcão; Ribombm tovõs no spço, Cois flm d mot, Pss ido o vnto fot, Tombndo ton no chão... Os nimis pquninos Gitm pdindo socoo Dscndo d moo m moo, Ci nxud co... Ms find bosc nom, No scuo d mdugd, Em iscs d luz doud, Vm o novo mnhc. Assim tmbém n vid, S tvsss gnds povs, N std m qu t novs, Gud clm tiv sã; Sof, ms sv cminh, Vnc somb qu t invd, S ho é d tmpstd, Há novo di mnhã... Emmnul (Pom psicogfdo plo médium Fncisco Cândido Xvi, publicdo no "Jonl Município d Pitngui, no. 5, stmbo d 99)

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11 Ddico st tblho os mus pis: Fncisco Lim d Cvlho Fncisc ds Chgs d Cvlho À minh spos: Clonids Alvs d Olivi Cvlho Aos mus

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13 AGRADECIMENTOS Agdço o Instituto Ncionl d Psquiss Espciis (INPE) Ao CNPq pl bols d psquis. Ao Amigo Ointdo D. Sndo d Silv Fnnds, pl ointção, pl mizd, plo poio, spíito cintífico, pl ddicção pinciplmnt pl pciênci qu tv comigo o longo dsss nos. Ao D. Antônio Fnndo Btchini d Almid Pdo, pl ointção, plo poio spíito cintífico. À Clonids Alvs d Olivi Cvlho, minh spos, pl pciênci ddicção qu tv comigo o longo dsts nos. E os colgs migos do INPE, pl mizd. A todos o mu muito obigdo.

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15 RESUMO Nst tblho é psntd um nális do poblm d tnsfêncis spciis ótims nt óbits coplns coxiis dits, nt óbits coplns não coxiis dits nt óbits não-coplns coxiis dits m cmpo cntl Nwtonino, lizds tvés d sistms populsivos bixo mpuxo potênci limitd. O poblm gl d tnsfêncis é inicilmnt fomuldo como um poblm d My d toi d contol ótimo com lmntos ctsinos vtos posição vlocidd como viávis d stdo. Após dtminção d Hmiltonin máxim qu dscv s tjtóis xtms, plo Pincípio d Máximo d Pontygin, lmntos obitis clássi são intoduzidos tvés d um tnsfomção cnônic tnsfomção d Mthiu dfinid pti d solução gl do núclo intgávl d função Hmiltonin. Os tmos d cuto píodo são limindos d Hmiltonin máxim tvés d um tnsfomção cnônic infinitsiml constuíd tvés do método d Hoi. A Hmiltonin máxim médi qu dscv s tjtóis xtmis ssocids às mnobs d long dução p s tnsfêncis simpls cim citds possui um fom qudátic ns viávis djunts qu possibilit solução ds quçõs cnônics. P s mnobs d long dução, é invstigd xistênci d pontos conjugdos tvés d condição d Jcobi são constuíds s cuvs d isoconsumo fnts um mnob d dução spcificd.

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17 OPTIMAL LOW THRUST LIMITED POWER TRANSFERS BETWEEN ARBITRARY ELLIPTIC ORBITS ABSTRACT Th poblm of low thust limitd pow populsion mnuvs in cntl gvity fild is nlyzd in this wok. Th poblm of optiml dict tnsf btwn copln coxil obits, dict tnsf btwn copln non-coxil obits nd dict tnsf btwn non-copln coxil obits ttd. Th gnl poblm of tnsfs is fomultd initilly s My poblm of th thoy of optiml contol, in which Ctsin lmnts position nd vlocity vctos tkn s stt vibls. Aft th dtmintion of th mximum Hmiltonin tht dscibs th xtmls tjctois, though th Mximum Pontygin Pincipl, clssicl obitl lmnts intoducd though cnonicl tnsfomtion - Mthiu tnsfomtion- dfind fom th gnl solution of th knl intgbl of th Hmiltonin function. Th tms of shot piod limintd fom th mximum Hmiltonin though n infinitsiml cnonicl tnsfomtion constuctd with th Hoi s mthod. Th "mn" mximum Hmiltonin tht dscibs th xtml tjctois ssocitd with th mnuvs of long dution fo th simpl tnsfs mntiond hs qudtic fom in th djoint vibls tht fcilitts th solution of th cnonicl qutions. Fo th mnuvs of long dution, th xistnc of conjugt points though th Jcobi conditions is invstigtd nd th cuvs of qul popllnt consumption with spct to mnuv of spcifid dution constuctd.

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19 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS Pág CAPÍTULO - APRESENTAÇÃO...7 CAPÍTULO - HISTÓRICO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO DE TRAJETÓRIAS ESPACIAIS...9. Dfinição Pquno Históico...9 CAPÍTULO 3 - TEORIA DE CONTROLE ÓTIMO SISTEMAS CANÔNICOS SEMI-GENERALIZADOS E MÉTODO DE HORI Intodução Toi d Contol Ótimo Poblm d My Pincípio d Máximo d Pontygin Sistms Cnôni Smi-gnlizdos Método d Hoi Método d Hoi p Sistms Cnôni Smi-gnlizdos...4 CAPÍTULO 4 - PROBLEMA GERAL DE TRANSFERÊNCIA Intodução Dfinição d Tnsfênci Espcil Ótim Modlos Mtmáti dos Sistms Populsivos Fomulção do Poblm Tnsfomção d Elmntos Ctsinos p Elmntos Obitis Solução do Sistm Govndo plo Núclo Intgávl A Nov Função Hmiltonin...68

20 CAPÍTULO 5 - TRANSFERÊNCIAS ÓTIMAS A BAIXO EMPUXO E POTÊNCIA LIMITADA ENTRE ÓRBITAS COPLANARES E COAXIAIS DIRETAS Intodução Aplicção do Método d Hoi p Tnsfêncis nt Óbits Coplns Coxiis Dits Solução do Novo Sistm Dinâmico Tjtóis Ótims Anális d Condição d Suficiênci p Tnsfêncis nt Óbits Coplns Coxiis Dits Anális Numéic p Tnsfêncis nt Óbits Coplns Coxiis Dits Conclusõs...94 CAPÍTULO 6 - TRANSFERÊNCIAS ÓTIMAS A BAIXO EMPUXO E POTÊNCIA LIMITADA ENTRE ÓRBITAS COPLANARES NÃO-COAXIAIS DIRETAS Intodução Aplicção do Método d Hoi p Tnsfêncis nt Óbits Coplns não Coxiis Dits Solução do Novo Sistm Dinâmico Tjtóis Extmis Anális d Condição d Suficiênci p Tnsfêncis nt Óbits Coplns não Coxiis Dits Anális Numéic p Tnsfêncis nt Óbits Coplns Não-Coxiis Dits Conclusõs...5 CAPÍTULO 7 - TRANSFERÊNCIAS ÓTIMAS A BAIXO EMPUXO E POTÊNCIA LIMITADA ENTRE ÓRBITAS NÃO COPLANARES COAXIAIS DIRETAS...7

21 7. - Intodução Aplicção do Método d Hoi p Tnsfêncis nt Óbits não Coplns Coxiis Dits Tjtóis Extmis Anális d Condição d Suficiênci p Tnsfêncis nt Óbits não Coplns Coxiis Dits Conclusõs...3 CAPÍTULO 8 - CONCLUSÃO Intodução Anális do Poblm d Tnsfênci Estuddo Popost P Tblhos Futuos...6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...9 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR...37 APÊNDICE A - DETERMINAÇÃO DA MATRIZ JACOBIANA...39 A. - Constução d Mtiz d Tnsfomção...39 APÊNDICE B - RESULTADOS NUMÉRICOS PARA TRANSFERÊNCIAS ENTRE ÓRBITAS COPLANARES COAXIAIS DIRETAS...47 B. - Intodução...47 B. Vlidção Numéic...47 B.3 Compção nt Rsultdos Médios Osculdos...55 B.4 Conclusõs Finis...66 APÊNDICE C - RESULTADOS NUMÉRICOS PARA TRANSFERÊNCIAS ENTRE ÓRBITAS COPLANARES NÃO-COAXIAIS DIRETAS...67 C. - Intodução...67 C. Vlidção Numéic...67 C.3 Compção nt os Rsultdos Médios Osculdos...76 C.4 Conclusõs Finis...79

22 APÊNDICE D - RESULTADOS NUMÉRICOS PARA TRANSFERÊNCIAS ENTRE ÓRBITAS NÃO-COPLANARES COAXIAIS DIRETAS...8 D. - Intodução...8 D. Vlidção Numéic...8 D.3 Compção nt Rsultdos Médios Osculdos...88 D.4 Conclusõs Finis...9

23 LISTA DE FIGURAS 4.: Tnsfênci m um cmpo d foç cntl. FONTE: Mc (979) : Gomti d tnsfênci. FONTE: Mc (979) : Vtos unitáios do sistm móvl Cmpo d xtmis cuvs d isoconsumo (tnsvsis) p Pág 5. Cmpo d xtmis cuvs d isoconsumo (tnsvsis) p, Cmpo d xtmis piódics p Cmpo d xtmis cuvs d isoconsumo piódics (tnsvsis) p Cuvs d isoconsumo piódics (tnsvsis) p, o 6. - Estutu d um xtml p φ o 6.- Estutu d um xtml p φ o 6.3 Estutu d um xtml p φ Rotção m tono d linh dos psis A. - Rpsntção dos vtos, h N B.() - Smi-ixo mio m função do tmpo p mnob I... 5 B.(b) - Smi-ixo mio m função do tmpo p mnob I... 5 B.() - Excnticidd m função do tmpo p mnob I... 5 B.(b) - Excnticidd m função do tmpo p mnob I... 5 B.3() - Smi-ixo mio m função do tmpo p mnob II B.3(b) - Smi-ixo mio m função do tmpo p mnob II B.4() - Excnticidd m função do tmpo p mnob II B.4(b) - Excnticidd m função do tmpo p mnob II B.5 - Compção nt o vlo médio osculdo do smi-ixo mio( ) B.6 - Compção nt o vlo médio osculdo d xcnticidd

24 B.7 - Compção nt o vlo médio osculdo d xcnticidd smi-ixo mio B.9 - Compção nt o vlo médio osculdo do smi-ixo mio(, 3 ) B. - Compção nt o vlo médio osculdo d xcnticidd (, 3 ) B. - Compção nt o vlo médio osculdo d xcnticidd smi-ixo mio (, 3 )... 6 B. Evolução tmpol do consumo (, 3 )... 6 B.3 - Compção nt o vlo médio osculdo do smi-ixo mio (,5 ).. 6 B.4 - Compção nt os vlos médio osculdo d xcnticidd (,5 ). 6 B.5 - Compção nt os vlos médio osculdo d xcnticidd smi-ixo, mio ( ) B.6 - Evolução tmpol do consumo (, 5 ) B.7 - Compção nt o vlo médio osculdo do smi-ixo mio (, 6 ).. 64 B.8 - Compção nt o vlo médio osculdo d xcnticidd (, 6 ) B.9 - Compção nt o vlo médio osculdo d xcnticidd smi-ixo mio (, 6 ) B. - Evolução tmpol do consumo (, 6 ) C. - Smi-ixo Mio m função do tmpo C. - Excnticidd m função do tmpo C.3 - Agumnto do Picnto m função do tmpo C.4 - Compção nt o vlo médio osculdo do smi-ixo mio C.5 - Compção nt o vlo médio osculdo d xcnticidd C.6 - Compção nt o vlo médio osculdo do gumnto do picnto C.7 Evolução tmpol do consumo D. - Smi-ixo mio m função do tmpo D. - Excnticidd m função do tmpo D.3 - Inclinção m função do tmpo D.4 - Compção nt o vlo médio osculdo do smi-ixo mio

25 D.5 - Compção nt o vlo médio osculdo d xcnticidd D.6 - Compção nt o vlo médio osculdo d longitud do nodo scndnt.9 D.7 Evolução tmpol do consumo... 9

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27 LISTA DE TABELAS Pág 5. Vlos d k Vlos d u Vlos d k Vlos d u... 9 B. Ddos d ntd p compção dos sultdos nlítico numéico p tnsfêncis nt óbits coplns coxiis dits B. Exmplos d tnsfêncis nt óbits coplns coxiis dits C. Ddos d ntds p compção dos sultdos nlítico numéico p tnsfêncis nt óbits coplns não-coxiis dits C. Exmplos d tnsfêncis nt óbits coplns não-coxiis dits D. Ddos d ntds p compção dos sultdos nlítico numéico p tnsfêncis nt óbits não-coplns coxiis dits D. Exmplos d tnsfêncis nt óbits não-coplns coxiis dits... 88

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29 CAPÍTULO APRESENTAÇÃO A psnt ts vis o studo ds tnsfêncis spciis ótims (consumo mínimo d combustívl) nt óbits líptics quisqu lizds tvés d sistms populsivos d bixo mpuxo potênci limitd m um cmpo gvitcionl d foç cntl. Está dividid m oito cpítulos quto pêndics. Est pimio dscv ognizção do tblho. No Cpítulo é psntdo um bv históico do poblm d otimizção d tjtóis spciis um dscição gl do objtivo d studo dst tblho. No Cpítulo 3 são psntdos sultdos bási sob Toi d Contol Ótimo: nuncido do poblm d My s condiçõs ncssáis xpsss tvés do Pincípio d Máximo d Pontygin; bm como, lgums popidds dos sistms cnôni smi-gnlizdos. É mostdo qu o método d Hoi qundo plicdo sistms cnôni smi-gnlizdos possui impotnt cctístic dfinid pl solução gl do núclo intgávl d nov Hmiltonin qu um tnsfomção d Mthiu, dfinid po st solução gl, intoduz significtivs simplificçõs o lgoitmo. No Cpítulo 4 é psntd um visão gl do studo ds tnsfêncis spciis ótims (consumo mínimo d combustívl) nt óbits líptics quisqu lizds tvés d sistms populsivos bixo mpuxo potênci limitd sistm PL, livmnt ointávl m um cmpo d foç cntl Nwtonino. Tmbém sá psntd toi d tnsfomçõs d lmntos ctsinos p lmntos obitis, qu pod s mpgd n nális complt do poblm. No Cpítulo 5 são nlisds s tnsfêncis d consumo mínimo d combustívl, lizds po sistms populsivos bixo mpuxo potênci limitd, nt óbits coplns coxiis dits, psntndo sultdos mis gis m qu óbit inicil 7

30 é líptic. É plicd vsão cnônic do método d Hoi n dtminção d solução do poblm d otimizção. A nális d condição d suficiênci é invstigd tvés d dtminção d pontos conjugdos - condição d Jcobi. P s mnobs d dução qulqu, ltiv às tnsfêncis nt óbits coplns coxiis dits, os tmos piódi são ditmnt clculdos pti d função gtiz qu dfin tnsfomção cnônic infinitsiml constuíd tvés do método d Hoi,, tmbém são constuíds s tjtóis xtms s cuvs d isoconsumo. No Cpítulo 6 é psntdo um studo complto do poblm d tnsfêncis d consumo mínimo d combustívl nt óbits líptics coplns não-coxiis dits, incluindo nális d condiçõs d suficiênci pondnt à dtminção d pontos conjugdos condição d Jcobi. P s mnobs d dução qulqu, ltiv às tnsfêncis nt óbits coplns não-coxiis dits. No Cpítulo 7 é psntdo um studo complto do poblm d tnsfêncis d consumo mínimo d combustívl nt óbits líptics não-coplns coxiis dits. É tmbém psntd nális d condiçõs d suficiênci pondnt à dtminção d pontos conjugdos condição d Jcobi. P s mnobs d dução qulqu, ltiv às tnsfêncis nt óbits não coplns coxiis dits. No Cpítulo 8 são psntdos os sultdos finis dst ts sugstõs p tblho futuos. No Apêndic A é psntd à dtminção d mtiz Jcobin d tnsfomção d lmntos ctsinos p lmntos obitis. No Apêndic B são psntdos os sultdos numéi p o poblm d tnsfêncis nt óbits coplns coxiis dits. No Apêndic C são psntdos os sultdos numéi p o poblm d tnsfêncis nt óbits coplns não coxiis dits. No Apêndic D são psntdos os sultdos numéi p o poblm d tnsfêncis nt óbits não coplns coxiis dits. 8

31 CAPÍTULO HISTÓRICO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO DE TRAJETÓRIAS ESPACIAIS. Dfinição Pquno Históico O poblm d tnsfi um vículo spcil nt dois pontos m um cmpo gvitcionl com gsto mínimo d combustívl é conhcido como poblm fundmntl d Astonáutic. Tv início com R. H. Goddd (99) qu popôs soluçõs ótims poximds p o poblm d nvi um fogut gnds ltituds, d fom mis conômic possívl. Dv-s sslt qu o pimio studo nlítico sob o poblm d tnsfêncis spciis ótims foi dsnvolvido po Hohmnn m 95, nts do dvnto d E Espcil. Hohmnn stblcu um lips bitngnt como tjtói d mno consumo d combustívl nt s óbits d dois plnts (ssumids como ciculs), considndo qu tnsfênci é lizd tvés d impulsos. No início dos nos 5, Lwdn (95) stblcu os fundmntos d modn nvgção spcil tvés do Cálculo d Viçõs clássico (Toi d Eul-Lgng Bliss, 946; Glfnd Fomin, 963; Elsgolts, 977). Em dois impotnts tblhos, Lwdn ( ) intoduziu noção d "pim vcto", multiplicdo d Lgng ssocido o vto vlocidd, qu dsmpnh impotnt ppl ns tois modns d otimizção d tjtóis spciis. N décd d 6 postios, tois mis modns d otimizção - Pincipio d Máximo d Pontygin (Pontygin t l, 96) Toi d Contnsou (96) - fom mplmnt utilizds n nlís d tis poblms. Os pincipis sultdos nlíti têm sido dsnvolvidos p tnsfêncis d pquns mplituds com dução fix lizds tvés d sistms populsivos d bixo mpuxo potênci limitd,, p tnsfêncis impulsivs nt óbits 9

32 quisqu com dução liv (Mchl, 967, 976; Mchl, Mc Winn, 967; Bll, 968; Edlbun, 967; Gobtz Doll, 969). Exclnts síntss sob sts poblms podm s ncontds nos tblhos d Mc (967), Mchl (967), Gobtz Doll (969). Tblhos mis cnts têm considdo mnobs impulsivs com dução fix (Eckl Vihn, 984; Lwdn, 993) poblms d "ndz-vous" m tono d um ponto (stção spcil) m óbit (Ct, 984, 989, 99; Ct Humi, 987; Ct Bint, 99, 99). A mioi dsts studos, lizdos ns décds d 6 7, m pt d décd d 8, considm hipóts d cmpo cntl Nwtonino. A possibilidd d s mpg foçs scundáis tis como o chtmnto do copo cntl, o sto ns mnobs n tmosféic, s foçs ttivs dvido outos plnts no cso d vigns intplntáis no sistm sol, foi ssltd po Mchl (Mchl, Mc Winn, 967), têm cntmnt dsptdo o intss dos psquisdos. Estudos nlíti, nvolvndo hipóts mis gl d cmpo não-cntl considndo-s tnsfêncis d pquns mplituds com dução fixd, lizds po sistms populsivos d bixo mpuxo potênci limitd têm sido dsnvolvidos utilizndo-s dos métodos d toi d ptubçõs (D Silv Fnnds, 989, 99, 993, 995; D Silv Fnnds Sssin, 989). Estudos numéi p mnobs mis gis têm tido su intss novdo (Pdis Ct, 995; Gulmn, 995; Ulybyshv, 995; Mkopoulos, 996), m pticul, os qu nvolvm hipóts d cmpo não-cntl (Kchichin, 995, 997, 997b). Um bodgm smlhnt p o cso impulsivo, ms lvndo m cont o fito do chtmnto d T ns quçõs d movimnto, pod s ncontd m D Silv Fnnds (986), D Silv Fnnds Mos (989) (qu stud os csos nãosinguls) D Silv Fnnds (989) (qu stud os csos singuls). Out possibilidd studd, po D Silv Fnnds Sssin (989), é sob influênci do chtmnto d T m um tnsfênci d bixo continuo mpuxo, tvés d um xpnsão nlític plicção do método d Hoi p sistms cnôni. 3

33 Ambos os modlos linizdo não-lin p sistms populsivos d bixo mpuxo potênci limitd podm s ncontdos nos tblhos d Edlbum (964, 966) Mc (979), qu ttm do studo d tnsfêncis nt óbits coplns nãocoplns m um cmpo d foç cntl. Dvido o gnd númo d tblhos qu sugim n décd d 6 m otimizção d tjtóis spciis, muitos tblhos d visão fom fitos, dnt ls dstcm-s Bll (968), Gobtz Doll (969) qu psntm um sumo históico do poblm d tnsfênci d tjtóis spciis. Um xclnt tblho d visão foi fito po Mchl, Mc Winn (967) ond é psntd um sínts dos sultdos nlíti p tnsfêncis obitis nt óbits Kplins. No início d décd d 9 um outo tblho d visão foi fito po Bouck (99). Nst tblho l psnt um visão gl do poblm d otimizção d tjtóis, psnt um bom xmplo d sultdos nlíti poximdos, ond é considdo o poblm d um tnsfênci ótim com plicção d um mpuxo bixo contínuo. Mc Vinh (98) ttm do studo ds tnsfêncis nt óbits coplns nãocoxiis dits s tnsfêncis nt óbits não-coplns coxiis dits, n qul é fit um gnlizção dos tblhos d Edlbum p o poblm d tnsfêncis nt óbits coplns coxiis. Nss tblho é intoduzid noção d "Hmiltonin médi solução do poblm d tnsfênci é duzid solução d um sistm d quçõs difnciis d sgund odm, sguido po dus qudtus. N décd d 9, D Silv Fnnds (995), studou o poblm d tnsfêncis nt óbits líptics póxims utilizndo sistms populsivos bixo mpuxo potênci limitd m um cmpo d foç não-cntl qu inclui os fitos d não-sficidd do copo pincipl. Nss tblho é dsnvolvid um solução nlític d pimi odm p o poblm d tnsfênci d bixo mpuxo potênci limit nt óbits líptics vizinhs, m qu o poblm d otimizção é fomuldo n fom d My (Mc, 979) com lmntos ctsinos como viávis d stdo, n qul o método d Hoi é plicdo n dtminção d solução nlític d pimi odm,, são obtids soluçõs nlítics p tnsfêncis d long dução. Os poblms d 3

34 tnsfêncis nt óbits líptics quisqu tmbém têm sido tm d novos studos smi-nlíti numéi po divsos utos. Os tblhos d Lmbck Pussing (993), Kchichin (997, 997b, 997c, 995, 999) Gulmn (995), Wnzl Pussing (996), Gfoy Epnoy (997) ttm d sistms populsivos bixo mpuxo considm cmpo d foç cntl ou não. Po outo ldo, Pdis Ct (995), Ulybyshv (995) Mkoupolos (996) studm s tjtóis ótims ltivs sistms populsivos bixo mpuxo potênci limitd, considndo cmpo d foç cntl Nwtonino. Hissig, Ms Vinh (993) nlism dois métodos p o cálculo ds tnsfêncis nt óbits coplns m um cmpo d foç cntl Nwtonino lizds po mio d sistms populsivos bixo mpuxo potênci limitd com soluçõs poximds obtidos po métodos d médi. Nst tblho é fit um compção dos sultdos obtidos po métodos d médi m pimi poximção com os sultdos numéi obtidos p o poblm gl d tnsfênci. Vl pn sslt qu nst nális não fom incluídos os tmos piódi. Nst ts é psntd um nális do poblm d tnsfêncis spciis ótims nt óbits coplns coxiis dits, nt óbits coplns não-coxiis dits nt óbits não-coplns coxiis dits m cmpo cntl Nwtonino, lizds tvés d sistms populsivos bixo mpuxo potênci limitd. O poblm gl d tnsfêncis obitis coplns é inicilmnt fomuldo como um poblm d My d toi d contol ótimo com lmntos ctsinos vtos posição vlocidd como viávis d stdo. Após dtminção d Hmiltonin máxim qu dscv s tjtóis xtms, plo Pincípio d Máximo d Pontygin, lmntos obitis clássi são intoduzidos tvés d um tnsfomção cnônic tnsfomção d Mthiu dfinid pti d solução gl do núclo intgávl d função Hmiltonin. Os tmos d cuto píodo são limindos d Hmiltonin máxim tvés d um tnsfomção cnônic infinitsiml constuíd tvés do método d Hoi método d ptubçõs bsdo m séis d Li (Hoi, 966; D Silv Fnnds Sssin 989; D Silv Fnnds, 3). A nov função Hmiltonin máxim, sultnt d tnsfomção cnônic infinitsiml, dscv s tjtóis 3

35 xtmis ssocids às mnobs d long dução p s tnsfêncis simpls (sm ndz-vous ). A nális inclui invstigção d xistênci d pontos conjugdos tvés d condição d Jcobi são constuíds s tjtóis xtmis s cuvs d isoconsumo, cuvs tnsvsis o cmpo d xtmis, fnts um mnob d dução spcificd. P s mnobs d dução qulqu, os tmos piódi são ditmnt clculdos pti d função gtiz qu dfin tnsfomção cnônic infinitsiml constuíd tvés do método d Hoi. 33

36 34

37 CAPÍTULO 3 TEORIA DE CONTROLE ÓTIMO SISTEMAS CANÔNICOS SEMI- GENERALIZADOS E MÉTODO DE HORI 3. - Intodução Nst cpítulo são psntdos sultdos bási sob Toi d Contol Ótimo: nuncido do poblm d My s condiçõs ncssáis xpsss tvés do Pincípio d Máximo d Pontygin (96) - stitmnt ncssáios o dsnvolvimnto d nosso studo; bm como lgums popidds dos sistms cnôni smi-gnlizdos (D Silv Fnnds, 994). Po último, psntmos o método d Hoi (966), método d ptubçõs bsdo m séi d Li Toi d Contol Ótimo A sgui nuncimos o poblm d otimizção n fom d My o Pincípio d Máximo d Pontygin Poblm d My Sj o sistm d quçõs difnciis odináis: dx dt f ( x, u), (3.) ond x R n u U R m. 35

38 O poblm consist m dtmin li d contol U u( t), t, t, x( t ), x( t )) ( f f qu conduz o ponto x(t) do spço d fs d um condição inicil x(t ) m t, qu stisfz p condiçõs ϕ l ( x ( t ),..., x ( t ), t ), (3.) n l,...,p, p < n; p um condição finl x(t f ) m t f qu stisfz q condiçõs ψ m ( x( t f ),..., x n ( t f ), t f ), (3.3) m,...,q, q < n; qu minimiz o funcionl IP[ U ] g( t, x( t ), t, x( t )). (3.4) f f As funçõs x i (t), i,...,n, dfinm s viávis d stdo s funçõs u j (t), j,...,m, dfinm s viávis d contol. O subconjunto U é, po hipóts, fchdo limitdo (compcto) dfin o domínio d contol. As funçõs f k (.) são contínus p todos os vlos d (x, u) R n x U. Além disto, s divds pciis f k / x i, i, k,...,n, tmbém são dfinids contínus m todo spço R n x U. A função g(.) tmbém é contínu p todos os vlos d (t, x(t ), t f, x(t f )) s sus divds pciis com spito todos os gumntos são dfinids contínus m todo R n. Intoduzindo notção vtoil, scvmos s Equçõs (3.) (3.3), spctivmnt, como: ϕ( x( t ), t ), ψ ( x( t f ), t f ). 36

39 É impotnt not qu o domínio d contol U impõ stiçõs sob s viávis d contol, d fom qu ssumimos qu s funçõs u j (t), j,...,m, são sccionlmnt contínus, dmitindo dscontinuidds d pimi odm qu s tjtóis gds po u(t), i.. s funçõs x i (t), i,...,n, são contínus Pincípio d Máximo d Pontygin As condiçõs ncssáis o poblm d My cim nuncido são sinttizds no sguint tom, conhcido como Pincípio d Máximo d Pontygin: Tom : S u*(t), t [t *, t f *], é um contol ótimo ntão xistm multiplicdos λ, ν R p, ν f R q λ(t) R n, não s nulndo simultnmnt, função H ( x, λ, u) λ f ( x, u), (3.5) tis qu s sguints condiçõs são stisfits: i - multiplicdos λ, ν ν f são constnts; ii -λ(t) é contínuo stisfz o sistm d quçõs difnciis dx * T Hλ dt d dt λ * H, (3.6) T x com H H(x*(t), λ(t), u*(t)); iii - p todo t [t *, t f *] função H(x*(t), λ(t), u) ting o su máximo m u*(t), 37

40 u *( t) g mx H( x * ( t), λ ( t), u) ; (3.7) u U iv - s condiçõs d tnsvslidd são vificds, i.. condição t f [ δ t λ δ x] δ g t * H, (3.8) * com g λ g t, x( t ), t, x( t )) ν ϕ( t, x( t )) ν ψ ( t, x( t )). (3.9) ( f f f f f v - função H é um intgl pimi do sistm (3.6). O símbolo é utilizdo p indic o poduto scl. Notmos qu o multiplicdo λ é utilizdo como fto d scl; usulmnt, dot-s λ. O Pincípio d Máximo d Pontygin é condição ncssái p otimlidd, pois fim qu cts condiçõs são stisfits po um contol ótimo. Po outo ldo, um contol p o qul o Pincípio d Máximo é vificdo, não é ncssimnt ótimo. Dnominmos d contol xtml, o contol p o qul o pincípio é vificdo. Potnto, um contol ótimo é um contol xtml, ms cípoc não é vddi. O Pincípio d Máximo dv s intptdo como um método p dtminção d cndidtos contol ótimo. S um contol ótimo xist, ntão ptnc um conjunto d contols xtmis. Existm, contudo, condiçõs suficints qu ssgum otimlidd d um contol, ms são d difícil plicção. P lgums clsss spciis d poblms o Pincípio d Máximo d Pontygin é, no ntnto, condição ncssái suficint. 38

41 3.3 - Sistms Cnôni Smi-gnlizdos A sgui psntmos lguns sultdos sob sistms cnôni smi-gnlizdos (D Silv Fnnds, 994) d fundmntl impotânci p toi s dsnvolvid nst tblho. Considmos o sistm d quçõs difnciis dx dt H T λ dλ T H dt x, (3.) govndo pl função Hmiltonin H(x, λ), H ( x, λ) λ f ( x) R( x, λ), (3.) ond x R n dnot o vto d coodnds gnlizds (vto d stdo), λ R n dnot o vto d momntos ssocidos (vto djunto). As funçõs f i (.), i,...,n, s divds pciis d R ( x,λ) com spito x λ stisfzm s hipótss do Tom d Existênci Unicidd. Assumimos qu o sistm d quçõs difnciis dx dt f ( x) T dλ f λ dt, (3.) x 39

42 é intgávl. A solução gl dst sistm é, p o cso d solução piódic, xpss po x ϕ ( c,..., c n, θ ) λ ( ϕ ) T b, (3.3) ond ϕ é mtiz Jcobin ϕ ϕ c, (3.4) com c [c...c n- θ] T ; c k, k,...,n-, são constnts bitáis d intgção; θ é fs ápid, função d fqüênci, b R n é um vto d pâmtos bitáios nvolvndo n constnts fs θ. A fqüênci pod s função ds constnts c k, k,..., n-. Assumimos qu (c ). S solução gl fo xpss m tmos d outo conjunto d pâmtos (constnts fs) bitáios d intgção, B C; ntão xist sguint lção nt os dois conjuntos d pâmtos bitáios, C ψ ( c) B ( ψ ) T b, (3.5) ond ψ é mtiz Jcobin 4

43 ψ ψ c, (3.6) com C [C...C n- Θ] T B R n é um novo vto d pâmtos bitáios. Os sguints sultdos podm s stblcidos: i - Equção (3.3) dfin um tnsfomção d Mthiu indpndnt do tmpo nt s viávis do sistm os pâmtos bitáios d intgção MATHIEU ( λ ; x) ( b; c) ; ii - Equção (3.5) dfin um tnsfomção d Mthiu nt dois conjuntos d pâmtos bitáios d intgção MATHIEU ( b; c) ( B; C) ; iii - função Hmiltonin H é invint com spito sts tnsfomçõs. Os sultdos psntdos nos págfos cim são mplmnt utilizdos no Cpítulo 4 p liz tnsfomção d lmntos ctsinos p obitis. 3.4 Método d Hoi Nst sção é mostdo qu o método d Hoi (966) qundo plicdo sistms cnôni smi-gnlizdos possui um impotnt cctístic dfinid pl solução gl do sistm cnônico intgvl. Um tnsfomção d Mthiu, dfinid po st solução gl, intoduz significtivs simplificçõs o lgoitmo Método d Hoi p Sistms Cnôni Smi-gnlizdos Sj função Hmiltonin H( x, λ; ε ) dsnvolvid m séi d potêncis d um pquno pâmto ε 4

44 H( x, λ ; ε ) H ( x, λ) R( x, λ; ε ), (3.7) com i R( x, λ ; ε ) ε H ( x, λ). (3.8) i i A função Hmiltonin não-ptubd H ( x, λ ) é, po hipóts, lin ns viávis djunts H ( x, λ ) λ f ( ), (3.9) x dfin um sistm dinâmico intgávl. Sj tnsfomção cnônic infinitsiml dfinid pl função gtiz S( ξ, η; ε ), S ( λ ; x) ( η; ξ ), sndo S( ξ, η; ε ) tmbém dsnvolvid m séi d potêncis do pquno pâmto ε, S( ξ, η; ε) ε i S ( ξ, η). (3.) i i A tnsfomção gd pl função S nt s ntigs viávis cnônics (λ, x) s novs (η,ξ) dv s tl qu o novo sistm dinâmico sj mis ttávl qu o oiginl; po xmplo, sj liv d tmos piódi com fqüêncis finits (cuto /ou longo píodo). O novo sistm dinâmico sá 4

45 T dξ dt H η T dη dt H, (3.) ξ sndo nov função Hmiltonin H ( x, λ; ε ) tmbém dsnvolvívl m séi d potêncis do pquno pâmto ε, H ( ξ, η; ε ) H ξ η ε H ξ η. (3.) i (, ) i (, ) i D codo com o lgoitmo do método d Hoi (966), nov função Hmiltonin H função gtiz S são obtids pti ds quçõs bixo: odm zo: H ( ξ, η) H ( ξ, η) (3.3) odm um: { } H, S H H (3.4) H S H H S H H (3.5) odm dois:{, } {, } ond s chvs psntm os pêntsis d Poisson. Tods s funçõs nvolvids ns quçõs cim são xpsss m tmos ds novs viávis cnônics ( η, ξ ). 43

46 Consid qução d m-ésim odm do lgoitmo do método poposto po Hoi (966): * { H, S m } Θ H, m m (3.6) ond s chvs psntm os pêntsis d Poisson, H é Hmiltonin não ptubd, k Θ m é função obtid ds odns ntios, nvolvndo H, H m, S k, H k H, k, K, m. Tods sts funçõs são scits m tmos do novo conjunto d viávis cnônics ( ξ, η) dfinid tvés ds quçõs: k ( x, y) H ( x, y) ε H ( x y) H, (3.7) k, k H (, η) H ( ξ, η) ε k H ( ξ η) ξ, (3.8) k, k ε S( ξ, η) ε k S ( ξ, η), (3.9) k k ond ( x, y) é o conjunto d viávis cnônics iniciis, ( x y) oiginl, H ( ξ,η) é nov Hmiltonin ( ξ,η) cnônic, ( x, y) ( ξ,η) sj mis ttávl qu o oiginl. H, é Hmiltonin S é função gtiz d tnsfomção. Est tnsfomção dv s tl qu o novo sistm dinâmico P dtmin s funçõs S m do sguint sistm d quçõs cnônics: H m, Hoi intoduz um pâmto uxili t tvés 44

47 dξ i H, dt η dηi H dt ξ i i, i, K, n. (3.3) Substituindo n Equção (3.6) st s duz ds dt m Θ m H m, com Θ m scit m tmos d solução gl do sistm ddo pl Equção (3.3), nvolvndo n constnts d intgção. S m H m são funçõs dsconhcids. No qu sgu, um fom difnt é psntd p solv o poblm d intgção ddo pl Equção (3.6), popost po D Silv Fnnds (3). P isto, lgums poposiçõs são psntds. PROPOSIÇÃO. Sj F um função difnciávl ds viávis cnônics i K,, n, s quis stisfzm o sistm d quçõs difnciis ξ i, η i, dξi H, dt η dηi H, dt ξ i i i, K, n (3.3) com Hmiltonin H : H ( ξ,η;ε) H ( ξ,η) R ( ξ,η;ε), (3.3) 45

48 46 ond ( ) ξ,η H dscv um sistm cnônico intgávl,,,,,, n i H dt d H dt d i i i i K ξ η η ξ (3.33) cuj solução gl é dd po ( ) ( ),,,, ;,,, ;,, n i t c c t c c n i i n i i K K K η η ξ ξ (3.34) n c c,,k, são constnts bitáis d intgção, ntão { } t F H F,. (3.35) PROVA. Consid o sistm d quçõs difnciis dfinido pls Equçõs (3.3) (3.3). Sguindo o método d vição ds constnts, solução dss sistm pod s post n fom ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,, ;,,, ;,, n i t t c t c t t c t c n i i n i i K K K η η ξ ξ (3.36) com ( ) ( ) t c t c n,,k funçõs do tmpo, stisfzndo o sistm d quçõs difnciis

49 47,,,,, n i R dt dc c R dt dc c n j i j j i n j i j j i K ξ η η ξ (3.37) com s divds pciis d função R scits m tmos d ( ) ( ) t c t c n,,k t. Sj F um função difnciávl ns viávis cnônics i ξ, i η, n i,, K. A divd d F com spito o tmpo é dd po ( ) dt dc c F t F dt dc c F t F dt F j j i n j n i i i n i i j j i n j n i i i n i i η η η η ξ ξ ξ ξ η ξ,. (3.38) Combinndo s Equçõs (3.37) (3.38), sult ( ) { }.,, R F t F R F t F R F t F dt F i n i i i n i i i n i i i n i i ξ η η η η ξ ξ ξ η ξ (3.39) Po outo ldo, { } { } { } { } R F H F R H F H F dt df,,,,. (3.4) Potnto, ds Equçõs (3.39) (3.4), tm-s qu { } dt df H F,.

50 Lmbndo qu F R são scits como função d c, cn,k t. PROPOSIÇÃO. Consid s condiçõs d Poposição ssum qu solução gl do sistm cnônico intgávl, dfinido pl Equção (3.33), é dd po ξ ξ i i i η η ( c, K, c, E, M ), i ( c, K, c, E, M ), i, K, n, n n (3.4) c K,, cn, sndo constnts bitáis d intgção, E intgl d ngi p o sistm não ptubdo M t c, ond c é um constnt ditiv, ntão { F H } F,. (3.4) M PROVA. D codo com o método d vição dos pâmtos, solução gl do sistm, ddo pl Equção (3.3), com Hmiltonin pod s post, m vitud d Equção (3.4), n fom H, dd pl Equção (3.3), ξ ξ i i i η η ( c ( t), K, c ( t), E( t), M ( t) ), i ( c ( t), K, c ( t), E( t), M ( t) ), i, K, n, n n (3.43) Nst ponto, ssum-s qu E dpnd do tmpo t, m vitud dos tmos d odns supios m R, ( t) M pondnt t c( t) do tmpo ( t) K c ( t), E ( t) ( t) difnciis: c,, n. Potnto, s funçõs dpndnts c stisfzm o sguint sistm d quçõs 48

51 n j n j ξ dc c η dc c i j i j dt dt j j ξ i E ηi E de dt de dt ξ i c η i c dc dtt dc dtt R, η R, ξ i i i, K, n. (3.44) As divds pciis R ξ i R η são scits m tmo d ( t ) K c ( t ), ( t) M ( t). A divd no tmpo d função difnciávl ( ξ,η) i c,, n F é ntão dd po E ( ξ, η) F dt n i n i F ξ i F ηi n j n j ξ dc c i j η dc c i j dt j dt j ξ i E ηi E de dt de dt ξ i M η i M dm dt dm dt. (3.45) Po outo ldo, dm dt dc, (3.46) dt ξi ξi ξi, (3.47) M c t η ηi η i i, i, K n M c t,. (3.48) Combinndo s Equçõs (3.45) - (3.48), substituindo n Equção (3.39), dsd qu Equção (3.4) s plic, sgu qu 49

52 { F H } F,. t Em vitud ds Equçõs (3.47) (3.48), ncont-s qu { F H } F,. M Aqui, F c K c, E M. R são scitos como função d,, n Ago, considmos o poblm d dtmin s funçõs S m Sguindo s Poposiçõs, Equção (3.6) pod s post n fom H m n Equção (3.6). S t m Θ m H m (3.49) com Θ m scit m tmos ds constnts bitáis d intgção d solução gl dfinid tvés ds Equçõs (3.34) ou (3.4), d codo com s Poposiçõs ou spctivmnt. S m H m são funçõs dsconhcids. Sguindo Hoi (966), supõ-s qu tnsfomção cnônic gd pl função gtiz S é tl qu o tmpo t é limindo d nov Hmiltonin. Isto é lizdo tomndo H m como o vlo médio d função dds tvés ds quçõs Θ m. Potnto, s funçõs S m H m são H m Θ m, (3.5) Sm [ Θm Θm ]dt, (3.5) 5

53 ond dnot médi com spito t. Pod s notdo qu o pocsso d médi n intgção ds Equçõs (3.5) (3.5) são fitos considndo dpndênci xplícit no tmpo ou n viávl M ds funçõs. Em outs plvs,,k ou c, K, cn, c, cn E são tomds como pâmtos. Um impotnt sultdo é obtido dss pocsso (Hoi, 966): PROPOSIÇÃO 3. S tnsfomção cnônic gd pl função S é tl qu o tmpo t é limindo n nov Hmiltonin quçõs cnônics. H, ntão H é um intgl pimi ds novs PROVA. Consid função ptubdo R ( ξ, η; ε ) ε k H ( ξ, η) Poposição, k k. D codo com { R H } R,, (3.5) t com R scito como função ds constnts bitáis d intgção d solução gl ds quçõs cnônics dscits po nov Hmiltonin não dpnd xplicitmnt do tmpo t, H possivlmnt o tmpo t. É ssumido qu H k ( η; ε ) H R ( ξ, η; ε ) H ε H ( c, K, c, E) ξ. (3.53), k n k Ds Equçõs (3.5) (3.53), { R, H }. Potnto, { R, H } { R H H, H } { H H } dh,, dt dst modo H (, ) constnt E ξ. η 5

54 D codo com os sultdos sob sistms cnôni smi-gnlizdos psntdos n Sção 3.3, solução gl do sistm cnônico intgávl dfinid tvés ds Equçõs (3.5), dfin um tnsfomção d Mthiu nt s viávis (η,ξ) os pâmtos d intgção (b;c), MATHIEU ( η; ξ ) ( b; c). Consqüntmnt, o método d Hoi qundo plicdo sistms cnôni smignlizdos ci dus tnsfomçõs cnônics: tnsfomção cnônic infinitsiml gd pl função gtiz S tnsfomção d Mthiu dfinid po (3.5), S MATHIEU ( λ ; x) ( η; ξ ) ( b; c). Est sultdo intoduz significtivs simplificçõs n solução foml, tvés do método d Hoi, do sistm dinâmico govndo pl função Hmiltonin H. Visto qu os pêntsis d Poisson são invints com spito tnsfomçõs cnônics, o lgoitmo do método d Hoi pod, nst cso, s ditmnt plicdo o novo conjunto d viávis cnônics (b;c); não sndo mis ncssái invsão d solução gl do núclo intgávl p xpss nov função Hmiltonin H função gtiz S m tmos ds viávis intmdiáis (η,ξ). O sistm d quçõs difnciis p s novs viávis cnônics (b; c) é ddo po dc T dt H b db T dt H, (3.54) c com H ( b,c,ε ) H. 5

55 Est vsão do método d Hoi sá utilizd nos Cpítulos 5, 6 7 p dtmin soluçõs d pimi odm p os poblms d tnsfêncis d long dução m cmpo d foç cntl Nwtonino. 53

56 54

57 CAPÍTULO 4 PROBLEMA GERAL DE TRANSFERÊNCIA 4. Intodução Os poblms d otimizção d tjtóis spciis são fundmntis m Mcânic Espcil têm sido tm d inúmos studos nlíti numéi po mis d cinco décds, dsd os tblhos pionios d Lwdn no início d décd d 5 (Lwdn, 954, 963). N nális d tis poblms, considm-s dois modlos bási p os sistms populsivos bsdos n modulção d vlocidd d jção dos gss: os sistms vlocidd d jção constnt sistms VEC, os sistms potênci limitd vlocidd d jção modulávl sistms PL (Mc, 979). As tjtóis ótims lizds tvés dos sistms VEC, qu podm possui lvdo ou bixo nívl d mpuxo, são cctizds pl ltnânci nt populsdos d tção máxim blísti, cuj conxão é dtmind pl solução do chmdo poblm do co blístico qu dscv volução do vto fundmntl pim vcto o longo d um co não-populsdo (blístico). Po su vz, s tjtóis ótims lizds plos sistms PL, qu possum bixo nívl d mpuxo, são cctizds pl plicção contínu d tção. Nst cpítulo sá psntdo um visão gl do studo ds tnsfêncis spciis ótims (consumo mínimo d combustívl) nt óbits líptics quisqu lizds tvés d sistms populsivos bixo mpuxo potênci limitd sistm PL, livmnt ointávl m um cmpo d foç cntl Nwtonino. O poblm d otimizção é inicilmnt fomuldo como um poblm d My tndo lmntos ctsinos vtos posição vlocidd como viávis d stdo; m sguid, pós plicção do Pincípio d Máximo d Pontygin sá dtmind função Hmiltonin máxim qu dscv s tjtóis xtmis, p finliz sá fit 55

58 um tnsfomção d lmntos ctsinos p lmntos obitis clássi tvés d tnsfomção d Mthiu qu é dfinid pti d solução gl do núclo intgávl d função Hmiltonin D Silv Fnnds (995) Dfinição d Tnsfênci Espcil Ótim O poblm d otimizção consist m tnsfi um vículo spcil do stdo inicil,,, v, J t J (consumo ( ) v p o stdo finl ( f f ( f ) d fom minimiz ( t ) f ( ) mínimo d combustívl). As condiçõs cinmátics ( ),v f, v f cctizm s óbits inicil finl, spctivmnt, confom mostdo n Figu 4.. A dução d tnsfênci pod s liv ou fixd. Nst tblho ssumimos qu os stdos tminis pondm o poblm d tnsfênci simpls (sm ndz-vous). FIGURA 4.: Tnsfênci m um cmpo d foç cntl. FONTE: Mc (979). A minimizção do consumo d combustívl é o citéio mis fqüntmnt ncontdo n pátic o d mio intss po st lciondo à vid útil do vículo spcil. O poblm sá smp discutido m tmos d tnsfênci com mínimo consumo d combustívl, mbo outs vints do poblm xistm n littu, tis 56

59 como: tmpo mínimo p tnsfênci, vlocidd finl mínim, nconto com outo vículo spcil, poblm d Lmbt (Bttin Vughn, 984), tc. 4.3 Modlos Mtmáti dos Sistms Populsivos Confom ssltdo po Mc (979), dtminção ds tjtóis spciis ótims dpnd ssncilmnt do modlmnto mtmático utilizdo p os sistms populsivos. O dsmpnho d um sistm populsivo pod s cctizdo po dois pâmtos ssnciis no domínio d opção, vlocidd d jção máxim o nívl máximo do mpuxo. Rltivo sss dois pâmtos, os sistms populsivos podm s clssificdos m: i) sistms d lto mpuxo, qu são cctizdos plo lto nívl d clção do mpuxo o bixo mpuxo spcífico (populsão convncionl); ii) sistms d bixo mpuxo, qu são cctizdos plo bixo nívl d clção do mpuxo o lto mpuxo spcífico (populsão létic, iônic, tc). Com lção à fom do domínio d opção, os sistms populsivos d bixo mpuxo podm s ssncilmnt clssificdos m vlocidd d jção constnt (VEC) potênci limitd (PL). Nst studo sá ttdo pns d sistms populsivos d bixo mpuxo potênci limitd. O modlmnto mtmático dos sistms populsivos é fundmntl n toi ds tjtóis spciis ótims (Mchl, 976; Mc, 979, 984). Os studos d mnobs obitis (tnsfêncis ou "ndz-vous") são limitdos o cso d sistms populsivos com domínio d opção fixdo, cujo dsmpnho é cctizdo bsicmnt po dois pâmtos: o impulso spcifico máximo I sp, máx zão nt F máx o pso do sistm populsivo no solo. Em lção sts dois pâmtos, os sistms populsivos são clssificdos m dus ctgois: 57

60 ) sistms d lto mpuxo: cctizdos po lvdo nívl d clção ( ) Γ bixo impulso spcífico ( I sp 3. s) máx g. São os sistms d populsão químic convncionl. Os populsdos são d cut dução. b) sistms d bixo mpuxo: cctizdos po pquno nívl d clção ( Γ 4 ) lvdo impulso spcífico ( I sp 3.. s) máx g. São os sistms d populsão létic. Os populsdos são d long dução. No ntnto, do ponto d vist d fomulção mtmátic do poblm d otimizção d tjtóis spciis é convnint clssific os sistms populsivos qunto à modulção d vlocidd d jção dos gss, o qu nos lv distingui dois modlos: ) sistms vlocidd d jção constnt - VEC - mpuxo limitdo, qu podm s d lto ou bixo mpuxo. P tis sistms, intoduz-s p mdid d dsmpnho vlocidd cctístic C, dc dt Γ. b) sistms com vlocidd d jção modulávl potênci limitd - PL - qu são pns d bixo mpuxo. P tis sistms intoduz-s p mdid d dsmpnho gndz J, dj dt Γ. Ests gndzs são funçõs monotonicmnt dcscnts d mss do vículo. A minimizção dls pond à minimizção do consumo d combustívl. É impotnt sslt qu, nst ts sá studdo pns o sistm populsivo d bixo mpuxo potênci limit (PL). 58

61 4.4 - Fomulção do Poblm Consid-s um vículo spcil s dslocndo m um cmpo gvitcionl com cnto d tção Ο. Em um instnt t, o stdo do vículo é dfinido plo vto posição ( t), plo vto vlocidd v ( t) pl gndz J (sistm populsivo bixo mpuxo potênci limitd) qu é xpss po J t f Γ dt, (4.) t ond Γ é mgnitud d clção dvido à foç populsiv (mpuxo) F. A gndz J tmbém é xpss m tmos d mss m po J P - máx, (4.) m m ond P máx é potênci máxim. Dsj-s dtmin o contol ( t) (,, ) v m fom qu gndz Γ t p o stdo finl ( ) qu tnsf o vículo spcil do stdo inicil ( ) f, v f, J t m lgum instnt f t, d tl f J t sj mínim, confom psntdo n Figu 4.. f 59

62 FIGURA 4.: Gomti d tnsfênci. FONTE: Mc (979). O poblm d otimizção d tnsfêncis nt óbits quisqu lizds po sistms populsivos bixo mpuxo potênci limitd (sistm PL) sá fomuldo como um poblm d My com vtos posição vlocidd (lmntos ctsinos) como viávis d stdo. Dst fom, s quçõs d stdo são xpsss po: d dt v, dv dt - µ ΓD, 3 (4.3) dj dt Γ, 6

63 ond é vto posição, v é o vto vlocidd, J é viávl d consumo, Γ é o vto d clção populsiv; D é dição d Γ. P os sistms PL não xistm quisqu stiçõs sob clção populsiv. Nst cso é ssumido qu Γ é livmnt ointávl. Intoduzindo s viávis djunts p, p v p J constói-s função Hmiltonin H, H µ p v pv ΓD 3 p j Γ, (4.4) ond ( ) dnot poduto scl. D codo com Pincípio d Máximo d Pontygin, clção ótim Γ dv s slciond dnt os contols dmissívis d fom mximiz H. Potnto, dição ótim é xpss po D p p v v, (4.5) ond, p v p v. Intoduzindo Equção (4.5) n Equção (4.4), sult H v pvγ p Γ p j E, d condição d stcionidd, ncont-s mgnitud ótim. 6

64 p v Γ. (4.6) p j A clção ótim é dit s modulávl (Mc, 979). Po outo ldo, viávl J é um viávl cíclic ou ignoávl, d condição d tnsvslidd obtém-s qu J pj f ( t ) p. (4.7) Consqüntmnt ds Equçõs (4.6) (4.7) tm-s qu Γ p v. (4.8) Obsv-s qu p o sistm populsivo d potênci limitd clção ótim é igul o vto djunto à vlocidd (vto fundmntl). D li d contol ótimo psntd pls Equçõs (4.5) (4.6) ncont-s função Hmiltonin máxim H xpss po H µ p v pv 3 p v p j. (4.9) Finlmnt, substituindo Equção (4.7) n Equção (4.9) obtém-s µ H p v pv 3 p v. (4.) A clção d gvidd g div d um função potncil U, cuj fom dpnd d hipóts dotd. N mioi dos tblhos consid-s hipóts clássic d cmpo 6

65 gvitcionl cntl Nwtonino, p qul clção é invsmnt popocionl o quddo d distânci dil. A função Hmiltonin (4.) dscv s tjtóis xtmis. H dfinid pl Equção Tnsfomção d Elmntos Ctsinos p Elmntos Obitis Confom psntdo n scção ntio Equção (4.), sgu qu função Hmiltonin máxim H qu govn s tjtóis xtmis pod s xpss po H H, (4.) R ond H dnot Hmiltonin não-ptubd, qu dscv o movimnto m cmpo cntl Nwtonino, H p v p v µ 3, (4.) R é pcl d Hmiltonin ltiv à clção populsiv ótim. R p v (4.3) Dv-s not qu H govn um sistm cnônico smi-gnlizdo, m qu solução gl do sistm cnônico dscito po su núclo intgávl H dfin um tnsfomção d Mthiu qu pmit intoduzi d fom sistmátic conjuntos d lmntos obitis dqudos cd tipo d mnob. 63

66 Solução do Sistm Govndo plo Núclo Intgávl Confom obsvdo n sção ntio, tnsfomção d lmntos ctsinos vtos posição vlocidd p lmntos obitis clássi smi-ixo mio, xcnticidd, gumnto do pipis nomli médi -, mis convnints p o nosso studo, é fit po mio ds popidds dos sistms cnôni gnlizdos (D Silv Fnnds, 994, 994b) bsds ns tnsfomçõs d Mthiu dfinids pl solução gl do sistm cnônico dscito plo núclo intgávl Hmiltonin H d função H qu dscv o sistm. Considmos o sistm d quçõs difnciis dfinido pl Hmiltonin não-ptubd H, d dt v, dv dt µ, 3 dp dt µ [ p 3( p ) ], ) 3 v v dp dt v p, (4.4) A solução do sistm d quçõs difnciis, ddo pl Equção (4.4), divid-s m dus tps: inicilmnt, lizmos intgção ds quçõs d stdo;, m sguid, com solução gl dsts quçõs djunts, mdint o cálculo d mtiz Jcobin d tnsfomção invs dfinid pl solução gl ds quçõs d stdo (v Apêndic A). P o movimnto líptico, qu é o cso qu nos intss no momnto, tm-s qu solução gl d Equção (4.4) é dd po 64

67 65 ( ) ( ), E ) ) ν (4.5) ( ) ( ) [ ], sn s v ) ) ν ν µ (4.6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ [, cot sn sn cot sn sn sn sn sn sn 3 w gi I E gi I E à s E E p I I M M ) ) ) Ω Ω ν ν ν ν ν (4.7) ( ) {[ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ). cotg sn sn sn sn sn 3 Ω w I I s E n p I M M v ) ) ) ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν (4.8)

68 ond, ) sˆ [ Ω ( ν ) sn Ωsn( ν ) I ] i [ sn Ω( ν ) Ωsn( ν ) I ] ) sn( ν ) sn Ik, j [ Ωsn( ν ) sn Ω( ν ) I ] i [ sn Ωsn( ν ) Ω ( ν ) I ] ) ( ν ) sn Ik, j ) w sn Ωsn Ii Ωsn Ij Ik, são os vtos unitáios do sistm móvl (sistm d Guss) o longo d dição dil, cicunfncil noml, spctivmnt, confom mostdo n Figu (4.3);,, I, Ω,, M os lmntos Kplinos; spctivmnt s viávis djunts. As funçõs ( ), ( ) sn ν, ( ) ν,,, I, Ω M são...tc são xpssõs bm conhcids do movimnto líptico, funçõs d nomli médi d xcnticidd (Kovlvsky, 967). Os vtos unitáios i, j k stndm-s o longo dos ixos coodndos x, y z do sistm incil d fênci Oxyz. 66

69 FIGURA 4.3: Vtos unitáios do sistm móvl. A nomli vddi ν nomli xcêntic E s lcionm tvés d qução ν tg tg E, (4.9) nomli xcêntic E s lcion com nomli médi M tvés d Equção d Kpl M E sn E n( t τ ), (4.) ond τ é o tmpo d pssgm plo pipsis n é o movimnto médio. µ n. 3 67

70 D codo com s popidds dos sistms cnôni gnlizdos, s Equçõs (4.5) (4.8), dfinm um tnsfomção cnônic tnsfomção d Mthiu nt os lmntos ctsinos os obitis, Mthiu ( p, p,, v) (, L, ;, L M ), v M, qu não nvolv xplicitmnt o tmpo. A Hmiltonin máxim spito st tnsfomção H é invint com H ( p, p,, v) Η (, L, ;, L M ), (4.) v M, ond Η dnot função Hmiltonin máxim xpss m tmos ds novs viávis cnônics. A Hmiltonin máxim psntd n póxim sção. Η pod ntão s colocd n fom qu sá A Nov Função Hmiltonin P obt função Hmiltonin m tmos dos lmntos obitis, dv-s obsv qu solução do sistm govndo po Η dfin um tnsfomção cnônic Tnsfomção d Mthiu, qu não nvolv xplicitmnt o tmpo. A função Hmiltonin é invint com spito st tnsfomção. Confom psntdo n sção ntio, tmos qu pcl d nov função Hmiltonin ltiv o núclo intgávl (Poblm dos Dois Copos) é xpss po Η n M, (4.) pcl ltiv o contol é dd po 68

71 69, p v Η γ (4.3) com v p obtido ditmnt d Equção (4.8) nov função Hmiltonin máxim é xpss m tmos dos lmntos obitis po ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Η sn sn sn sn 4 sn ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν M M M M M M M M E E E n n

72 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). sn sn sn sn Ω Ω Ω I I I I I I I I I ν ν (4.4) A função Hmiltonin máxim xpss n Equção (4.4) dscv s tjtóis xtmis p o poblm d tnsfêncis nt óbits líptics quisqu m um cmpo d foç cntl Nwtonino. Nos póximos cpítulos são nlisdos lguns csos pticuls d mnobs tis como: tnsfêncis nt óbits coplns coxiis dits, tnsfêncis nt óbits coplns não-coxiis dits tnsfêncis nt óbits não-coplns coxiis dits.

73 CAPÍTULO 5 TRANSFERÊNCIAS ÓTIMAS A BAIXO EMPUXO E POTÊNCIA LIMITADA ENTRE ÓRBITAS COPLANARES E COAXIAIS DIRETAS 5. Intodução Nst cpítulo ptnd-s nlis s tnsfêncis d consumo mínimo d combustívl, lizds po sistms populsivos bixo mpuxo potênci limitd, nt óbits coplns coxiis dits, psntndo sultdos mis gis m qu óbit inicil é líptic. A vsão cnônic gnlizd do método d Hoi plicd n dtminção d um solução foml do poblm d tnsfêncis nt óbits coplns coxiis dits. Est solução foml é complt té pimi odm do pquno pâmto m um cmpo d foç cntl, incluindo tmos sculs piódi. A nális d condição d suficiênci é invstigd tvés d dtminção d pontos conjugdos - condição d Jcobi - são constuíds s tjtóis xtmis s cuvs d isoconsumo Aplicção do Método d Hoi p Tnsfêncis nt Óbits Coplns Coxiis Dits. P o poblm d tnsfênci simpls (sm ndz-vous ) nt óbits coplns coxiis dits m um cmpo d foç cntl Nwtonino com dução fixd pod-s scolh um sistm d fênci dqudo (sistm qu simplific o poblm m studo, um vz qu o cmpo gvitcionl é cntl) d tl fom qu o I 9 o. Um vz qu não xistm viçõs imposts sob I, Ω, tm-s qu, I Ω são nulos. A função Hmiltonin médi p o poblm m qustão s duz Η dscit pl Equção (4.4) 7

74 7 ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). sn sn sn sn Η ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν M M M M M M M E E E n n (5.) ond Η dnot Hmiltonin máxim xpss m tmos ds novs viávis cnônics. A solução foml do poblm d tnsfêncis nt óbits coplns coxiis dits m um cmpo d foç cntl Nwtonino sá fito tvés d plicção do método d Hoi p sistms cnôni smi-gnlizdos, psntdo no Cpítulo 3. Sá considd solução complt, incluindo os tmos sculs piódi, té pimi odm no pquno pâmto, qu pod s dfinido como sndo d msm mgnitud d Γ, d mni qu p plic o método d Hoi consid-s Η como sndo d

75 odm zo, função Hmiltonin Η Γ como sndo d pimi no pquno pâmto, um vz qu Η pod s ftod plo pquno pâmto. Sgundo s quçõs d ptubção qu constitum o lgoitmo do método d Hoi, psntdo ns Equçõs (3.3) (3.5), tm-s qu: Odm zo: Η µ n M 3 Η M (5.) ond Η dnot o tmo d odm zo d nov função Hmiltonin. Est tmo pond o núclo intgávl d Hmiltonin oiginl Odm um: Η. { } Η Η Η, S, (5.3) sndo Η função Hmiltonin máxim xpss n Equção (5.) qu dscv s tjtóis xtms p o poblm d tnsfêncis nt óbits coplns coxiis dits m um cmpo d foç cntl Nwtonino. A fim d dtmin nov função Hmiltonin Η função gtiz S, dtmins solução do sistm cnônico intgávl, ddo po: d dt Η d dt Η d dt Η d dt Η 73