Resoluções de Exercícios

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2 ) + Kp, K Z D) Sb tmi p ) k, K Z D) ( ) k + Kp, K Z k 0 k k k 8 E) + Kp, K Z F) Kp, K Z 0 E) Sb tmi p. F) Qunt LOO 0 0 P mín 0,8. ( ) +,, 0,8,90 P má 0,8. () +,,0 0 Dmíni vli: t ; t Z pt:,0 0,8. sn >.( t 0) H +, 0 sn >.( t 0) H pt:. (t 0) + kp, k Z u 80 t 0 + k u 80 t k t + 0k t 0 + k 80. (t 0) + k t k t + 0k Dí: k 0 t is k 0 t is k t 9 is (nã cnvém) LOO 0 0 D 9 8 Obsv qu: -.( ). 9 Lg sã côngus móul p. 0 ) Qunt: ) Qunt: Lg, ) Sb igm n $ cs $ n 0 n $ cs_ i 0 n $ 0 n 0 0 D cs - 0 ssum vl máim qun + 0,. cs (0,0t) f núm mínim, ist é, qun cs(0,0t). Dí: 8 8 N pgu, 900 Km - 0, 08, 8 8 N pigu, 00 Km. + 0,, Entã, S Km LOO 0 0 ) + + kp, k Z Mtmátic sus Tcnlgis MtMátic iv MtMátic Vlum 0

3 + kp, k Z ) + kp, k Z k +, k Z (Sl. P ) m [0, p], tms: k 0 k 9 S *,,, k 9 k ) tgf- p + kp, k Z + kp, k Z k D) + kp, k Z +, k Z Entã: k 0 k k k S *,,,,, 0 ) + kp, k Z + + kp + + kp k +, k Z k D { / +, k Z} pí: P ) p + kp, k Z p + kp, k Z 8 + k, k Z k D { / + 8, k Z} pí: P 9 k k m- m+ 0 sn cs sluçã: m- m+ sn + cs f p + f p m - m+ 9 m + m+ + m m m + m + m + 0 m 0 m. ( m + 0) 0 m 0 u m m 0 ) + p kp, k Z ) k +, k Z 0 sc k sc cs + kp m pí y sc é p, tms: p k, tms sc ; p k, tms sc sc p ; p k, tms sc sc p ; n cicl tms: kp + p p + kp k +.k + 0 s m cs cs, cs cs,...,, k Z tms: 8 vls istints p cs k k, lg, tms 8 vls p sc LOO 0 0 ) ƒ(). sn ( p) tm pí p. ) ƒ() +. cs f + p tm pí p 0p. ) ƒ() sc (p + p) tm pí p. D) ƒ() 0. cssc ( + ) tm pí p. E) O pí ƒ() tg ( + ) é p. F) O pí ƒ(). ctg (p + ) é p 0,. LOO 0 0 ) Tnsã pic vlts ) Pí 0, sg sg. ) Fquênci Hz 0 E y. sn (k. t) ) Pí k 8p k ) S sn (k. t), tms mplitu (tnsã) máim y Mtmátic sus Tcnlgis MtMátic Vlum 0 MtMátic iv

4 Entã:. Lg, y. sn(8p. t) LOO 0 0. cs(ωt + ϕ 0 ) mplitu. cs f. t+ p. ) Pí 0, ) ) Pulsçã D) ϕ 0. Fs Inicil (âng. fs) Fquênci u pulsçã sgun LOO 0 0 ) sn c c cs 0 0 c 0 c 0 ) sn 0 tg 0 b b b ) sn Sj l mi l,, sn l. l cm 0 y ƒ(t). sn (b. t) ) O pí funçã é, hs, ntã:, b b ± b,, b ± b ± 0 ) D c cm gáfic, iviin pí p, tms vl., 0 sn 9 cs y 9 0 sn 0 cs 0 y ,9 8,9 y 9. 0, y,8. 0,,8 y. 0,,9, h,,h Entã, ƒ(,),. sn (,. b),. Dí: S b. sn (,. ),. sn f p,. snf p,, 0 - s b,. Em mbs s css, tms: ƒ(t),. sn (. t), ptnt, b p s igul. LOO 0 0 D pt: N tiângul 0T sn 0 0 sn tg T T tg ctg pt: Á tiângul T T. T.. sn. ctg. ( 0 ). sn. ctg. f sn -p. sn. ctg. ( sn ) T θ M P 0 L, D ) tg ,, 00 ) h, +, h,9 m H 0 D 0, 0,8 km 0, km ) é isócls:, ) sn 0 H, H,. H, H, km m E PE, é msm istânci. EP Sn P,., 00 m. Mtmátic sus Tcnlgis MtMátic iv MtMátic Vlum 0

5 08 09 ) ) Sn h ² + 9 sn h h,. sn, h (,). ( ), ) S é ltu um gu, tms qu:., 0, m cs 0 H m H H 0. H m 0 sn + h sn + h. sn h sn sn. ( sn ) h. sn h. sn ( - sn ) LOO 0 0 plicn Li s ssns, btms + - $ $ $ cs t + + -$ $ $ - n & 9 km. 0 E, 0 sn 0+ sn ( ) 0 (, ) 0 (,) 8 m ,, 00 +,..00,., km 0 D 0' 0' 8 0' cs (8 0 ),0 milhs spst: pimmnt,0 milhs. 0 D ) é isóscls: Sj F ltu tiângul, F é min cs θ. sc i cs i ) D H tg θ H. tg θ H. sc θ. tg θ 0 nsi figu. y. sc θ. tg θ 0 O Sbn qu O m, O m O m, tms qu O - O m. lém iss, tiângul O é isóscls bs. Lg, O t / O t c. plicn li s cssns n tiângul O, sgu qu O + O - $ O $ O $ cs 0c $ $ $ 0 m é min tiângul O, vm $ $ ( O + ) - O $ $ ( + 8- ) - $ $ (- ) - m. M 0' + 8- & ( - ) m. 0 0' N 0 S 0 P Linh hiznt Ptnt, cm!!, sgu qu tiângul é scln 0 D N tiângul ssinl, utilizn li s sns, tms qu: sn 0 sn0 " " sn ( 0 ) sn Mtmátic sus Tcnlgis MtMátic Vlum 0 MtMátic iv

6 08 pt: lis s sns n tiângul sn 0 0 sn 0 0 0º 0 m 0º º LOO 0 0 Mi c m :. 0. pt: cálcul h. N tiângul D tms: h h sn 0 h h, m 0 D Snti nti-hái: ( ) $ u00. fi ivii m 8 cs cngunts, cujs mis sã iguis 0. Lg, ptin, tms qu pc cs 0. Ptnt ci cup p un nst mmnt sá lt P. 09 ) cs cm, cm cm 0º 8 cm 0 D * h h h * S m síli sã :00h, ntã m Luzk h mc sá igul :00h + h h. ) 8 Supnh qu tiângul ist. Entã, cs - cs. bsu, pis cs. 9 Ptnt, tiângul nã ist, l nã cnsguiá fz. 0 ) N tiângul ssinl: é mi i t. cs & 0 c + Ptnt, c m 0 su cmpimnt sá p: $ $ $ $ km. Stélit nt T ) plicn tm s cssns n tiângul ssinl, tms: + ( ) -... cs i -..( / ) km Stélit 0 E Pt: mpimnt l c qu cspn. *.cm cm " l cm * l l Pt: Pímt (p. ) cm + cm (p + ) cm. 0 O c pci pl utmóvl cspn um ângul cntl cuj mi é c0' - c0' 0c $ 80 c. 9 Ptnt, sbn qu i T m.0 km, vm D.0 km. 9 $ 0 E nsi figu. c minuts cspn um ângul 0c 0 c. Lg, θ + 0, sn θ sult pi. P ut l, cm ângul θ cspn slcmnt pnti s hs, m 0 minuts, sgu qu 0 min $ 0c i 0 c. 0 min Dss m, 0c+ 0c + 0 c. 9 0 D c, km 0c, km, 0. 0 km β θ nt T 08 0 * km 99 * km km.000 km 0 s t º º Q 99º º º P Mtmátic sus Tcnlgis MtMátic iv MtMátic Vlum 0

7 09 Vms miti qu c MP m pimmnt 0. Entã, s é 0 istânci m km, nt s us cis, tms: km 0 ). sn 0; [0, p] sn u.,..0 km S.00 km 0 Sj hs minuts h mc n lógi. O ângul pci pl pnti s hs m minuts, é tl qu Ptnt, 0 + $ LOO 0 0 pt: 0 0 E 0 ) sn 0; [0, p] sn nã ist, pis sn. ) Sn 0; [0, p] 0 u p u p S {0, p, p} D) Sn ; [0, p] S ƒ() sn (θ); θ sn θ ƒ() ƒ() ƒ() ƒ().00 Entã, h(t), + 0. sn [.. (t )] h(t), + 0. sn <.t- F - ) h(0), + 0. sn < F, 0. sn < F, 0. sn ( + p) 0, 0. sn, 0.,, 90 sn ( 0 ) 0 y, + 0. sn <.t- F Sn. t θ, tms qu: sn ( 9 ) sn ( + 0 ) sn sn ( ) sn ( ) sn ( + 0 ) sn ( ) sn sn (0 ) sn 0 sn ( 0 ) sn ( 0 0 ) sn ( 0 ) sn 0 sn ( 90 ) sn (0 ) Dí: E (- ) E - - y -, y, + 0. sn θ sn θ 0 y -, 0 y, 0, y, 0 Lg, ltu mínim é, m máim é, m. 0 ( t+ ) sn; E ( t+ ) 00. sn; E 0 sn ( + ) < F ( + ) + kp u ( + ) + kp, k Z (t + ) + k u (t + ) + k t k u t k + ; k Z k 0 t, pis t nã cnvém k t 0, pis t nã cnvém k t t qu nã cnvém Obs.: 0 t ; t Z sp.: Os mss sã nvmb mç. 0 ( t+ ) P sn; E ssum su vl mínim qun Mtmátic sus Tcnlgis 8 MtMátic Vlum 0 MtMátic iv

8 sn ( t + ) ; E. Ist é: ( t+ ). + kp, k Z ( t + ) + k t + + k t k, k Z Entã: k 0 t 0 k t (nã cnvém, pis últim mês cá qun t ). Dí, smnt m jni tms um ppulçã mínim. 08 D ) 0,0 km 0,0 km 0, km ) tg0 0, km, 0, 0,99 km 9,9 m E 0 09 D y- y + sn sn y- y y Dí: Im(ƒ) [, ] 0 E LOO 0 0 ) T 0 S < < p < sn < 0 < n < 0 0 < n < 0 < n < 8 csf p+. cs f p-cs( ). csf- p cs f p. cs( 8) ( ). cs f + 0 p.( ) ++. cs f p. f- p ). sn ( + 0 ) + cs(0 ) sn cs ( 0 f + p ). sn( ) + f- p sn f p + cs ( 0 ) K [, 9 ] Supnh qu ist tl qu: cs K - K - K k 9 K 9. k [, 9 ] 0 sn cs 0 Ds: qunt sn > 0 Z. cs +. sn ] sn * ~ cs - [ sn + cs ] sn + cs \ Substituin: -.sn sn + f p. 8. sn + sn sn - + sn +. sn + 8. sn. sn. sn 0. sn. sn 0 Fzn sn y, tms: y y y! 0 Dí: sn y y - -. cs 0 Pigu: (s ) Z _ ] 980 b h [ +> H` 0 ] 0.00 km b \ pgu: (s ) Z _ ] 980 b h [ +> H` 0 ] km b \ 0 E * + 00 ( 00+ cs ) ,80 + ( 00+ cs ) cs 00 9, 80 cs 0 cs 0 90 u (nã cnvém) Mtmátic sus Tcnlgis MtMátic iv MtMátic Vlum 0 9

9 0 D T(t) +. cs f.t+ p ) (Fls). Pis T(0) +.csf p +. f- p T(0), ) (Fls). Pí h ) (Fls). T má +. D) (Vi). tmptu máim é tingi qun: csf t+ p. Ist é: t + kp, k Z t + k t k, k Z t Z, 0 t 9. 0 sn 80 sn 0 sn0.. cs 0 cs 0 cs 0 cs 0 cs 0 LOO 0 cs 0. cs 0 0 pt: Pí ) p ) p 8 sn 0 cs 0. cs 0 cs 0 ) p D) p 0 0 pt: Imgm ) Im(F) ) Im(F) ) Im(F) D) Im(F) Dí, k t h pimi i. E) (Fls) 0 ) S t 0 V(0) 0 Lg, s itns E stã limins, pis cs f. 0p cs(0). ) Nt qu pí fnômn é s nt s funçõs s itns, D smnt itm D tm pí s. m fit: V(t) 0,. sn f. tp Pí s. 08 S mé lt cu à mi-nit póim cá mi- -i, ntã pí fnômn sá h. Dí itm E stá sct. Qun t 0h ltu y mé sá m. Entã, y, +,8. csf tp, pis, p t 0, cs f. 0 p y, +,8 m. 09 E Pt (n vlt): cs. cs 0, [0, p] Fzn cs y, tms: y. y 0 + y! Lg, cs - y (nã cnvém, pis cs ) y - u - Pt: N intvl [0, 0p] tms 0 vlts cmplts, s n vlt tms ízs, ntã m 0 vlts tms 0 0 ízs. pt: Dmíni ) + kp, k Z + + kp k + kp +, k Z 8 k ) 8 + kp, k Z 8 + kp +, k Z 0 8 ) + + kp, k Z + + kp + kp k D) 0p + kp 0p + kp, k Z +, k Z tg () ; [0, p] k. tg() ± +, k Z k. +, k Z 8 Entã: k 0 k 8 8 k 8 k 8 k 8 9 k 8 9 S *,,,,,,, tg 8 8 Lg, pnt tm cmpimnt 8 m. 0 0 M M tg 0 m 0 D 0 k k 8 8 Mtmátic sus Tcnlgis 0 MtMátic Vlum 0 MtMátic iv

10 0 sn 0 8 D, G D G LOO 0 0 D N P y 0 Nwtn álcul uili: s P P y P y P. cs N 0 m P y P y 0 E F E F 0 P ) Sn P P.sn P mg.sn P 0 tg tg 0 Dí: 8 m E 8 G 0 F (0) + (8p) 0 + () m ) F + P F F + mg.sn m. N F + mg.sn m. P. cs F + mg.sn m. m. g. cs F sn m + mg cs cs F m. sc +tg mg 0 E Pí i? S(t) 0,0. sn( +t) 08 0 cm Pí: P Imgm: y 0,0. sn(θ) sn(θ) y 00, y Dí: 0,0 y 0,0 00, 0 cs + cs ( ) y. > +H y. [sn + ] cssc 09 E ) sn 0 O cm O ) 8 + O cm tg ) y ( ) + y + y ) sn ± ±. y ± Lg, sn f! p y sn + sn ( y ) sn + cs ( y ) ( ) + ( ) + (y ) 0 sc + tg + tg tg. 0 sn + sn ; [0, p] sn +. sn ; [0, p] sn sn tg ; [0, p]. Lg, quçã tm iz. 0 Fzn sn y, tms: y. y Z y! ] y ( nãcnvé m, pis- # sn# ) [ y ] \ Entã: sn u Mtmátic sus Tcnlgis MtMátic iv MtMátic Vlum 0

11 08 y- y. cssc + cssc P isti D(ƒ), vms t: y- y- cssc u cssc u y u y y u y 9 09 D E - cs -sn -(-cs)-(-cs ) - cs ( - cs ).( -cs)-(- cs ).( + cs ) E ; cs (- cs ) E cs ( cs ) 0 D S (. cs b. sn ) + (. sn + b. cs ) S. cs.. b. sn.cs + b. sn +. sn + 0 E.. b. sn.cs + b. cs S. ( cs + sn ) + b. ( cs + sn ) S + b km Jã km ) tg 0.. (0,8) km P ) Á Jã Jsé,. Á Jã, km ) Á tj ã,. Ttl, 9% 0 Sj K istânci pci n i pl pnt Q. N tiângul P EO, tms: - K s θ. cs θ K 0 K ( cs θ), n θ. Lg, K. ( cs ( )) 0 l 0 cm 0 Sj n núm gus sc l cmpimnt gu. km k E P k 0 θ p` Q k Q 0 tg 0 0, 80 n l 0 cm 0 D (0,) Lg: pímt cm 0 sn Tmms um tiângul pticul, psnt n figu bi; n ctt pst é hiptnus m. P pitágs, + b b Entã, tg!!!. b b Obs: (cm sn > 0, pá st n u qunts) 0 Dí, tg 0,8. D: tg Lg:. sn. cs. ( qunt u qunt) ( ) + sn cs. 0 D y + b. sn Pt: tvés gáfic cnclui-s qu pí é p : Z ƒf p + b. ( ) ] - b ] [ + ] ƒf p + b. () ] + b- \ ƒ(). sn b 08 ƒ() sn y sn ; f Sn g(). sn (), n 0. I. (V) O míni l mis mpl g é igul míni l ƒ. II. (F) Iss pqu Im(ƒ) [, ] Im(g) pn, ist é, s Im(g) [, ], ms, s, Im(g) [ -, ]. III. (F) O pí ƒ é p g é. 09 Obsv qu: sn cs (90 ). Entã: (cs + cs cs 89 ) ( cs 89 + cs cs + cs ) 0 Mtmátic sus Tcnlgis MtMátic Vlum 0 MtMátic iv

12 0 cs ( ) 0 + kp k + + kp + kp +, k Z. 0 0 Mtmátic sus Tcnlgis MtMátic iv MtMátic Vlum 0

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