Resoluções de Exercícios

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1 Resluções e Eecícis MTEMÁTIC IV Capítul 0 Funções e Equações Tignméticas Pate II LOCO 0 Cneciments lgébics 0 cs (0 ) cs 0 - sen (70 ) tg ( ) tg ( ) Entã, cs + sen + tg - + ( ) ) kp, k e míni { R / kp, k } funçã nã é efinia se + + kp, k, ist é, kp, k. Entã, míni seá { R / kp, k } ) P p C) Cnsiean tiângul CF pe-se esceve: cs 0c & m, Lg, a altua seá: + + m ) Cnsiean tiângul CF, pe-se esceve:, cs a, ssim, pe-se esceve: 9 sen a+ n & sen a & sen Cnsiean tiângul E pe-se esceve: sen a & &,,, Lg, a altua seá: +, +,,7 m F 7 0 D) tgf + p tgf p tg( 00 ) - 00 " F - 00 N " " E) tgf+ p + + k, k! - + k, k! LOCO 0 0 ) Sen s vétices etângul (amái): C F " plican Teema e Pitágas n Tiângul C tems C 0 m. [0 Veaeia, pis 0% e 0 9 m. 8$ 0 [0 Falsa. áea ampliaa é aa em m p 0 m. [0 Veaeia, pis tg a > tg γ a > γ. 0 [08 Falsa, pis tg c [ Falsa, pis sen a. 0 LOCO 0 0 ) ƒ(). sen ( p) tem peí p. ) ƒ() +. cs f + p tem peí p 0p. C) ƒ() sec (p + p) tem peí p. D D) ƒ() 0. cssec f + p tem peí p. E Cnsiean tiângul E pe-se esceve: sen 0c & m, E) O peí e ƒ() tg f + p é p. F) O peí e ƒ(). ctg f + p ) é p 0,. Matemática e suas Tecnlgias MTEMÁTIC IV MTEMÁTIC Vlume 0

2 0 D O ac está n quaante. Os vales e sen e cs sã psitivs. plican as elações tignméticas, tems: + tg sec [ sec cs tg + ( ) sec & sec " ( psitiva) & cs sec 0 C Substituin as elações tignméticas paa simplificaçã, tems: tg + sec [ sec cs ccs m$ ctg + m ccs m$ ctg + m ccs m$ csec m ccs m $ f p cs 0 D Esceven a epessã em tems e sens e cssens, tems: E csec -cs m$ ccssec - senm$ ctg + ct gm sen cs f -cs p$ f - senp$ f + p cs sen cs sen cs sen sen cs E f - p$ f - p$ f + p cs sen sen. cs sen cs f p$ f p$ f p cs sen sen. cs E csen. cs m $ f p sen. cs LOCO 0 0 D Pensan numa mntana cm ecliviae e 0% e cm esnível e 000 m km tems: 0 Cnsiean cm sen a altua a facaa a ibliteca, tems:,7 tg 0c - -,7 $ tg 0c $ 0,8+,7,8 m 0 C De ac cm s as enuncia, tems a seguinte figua: β α N DC tems: 8 8 R & sen a sen a R N DC tems: R & sen b sen b R a + b 90 cs a sen b, tems: sen a + cs a 8 + n + n & & $ R 80 & R 0 & R R $ R & R $ LOCO 0 Cnsiean a istância pecia até tp a mntana, tems: tg a & & km plican Teema e Pitágas n tiângul acima, tems: + & + & km Ptant, a istância peia seá e km 0 Cm a eta OD é tangente à cicunfeência tignmética em O, tem-se que DOM t 90. ssim, a que MO cm, tiângul MOD, vem OD tg a + sena cs a. MO Daí, lemban que sen a+ cs a, segue que ( csa) + cs a & cs a. + Em cnsequência, vem sen a. + ga, sen MNOP um etângul, tem-se MN OP. Ptant, tiângul MPO, btems OP sen a + MN cm MO + e MP cs a + MP. MO cm + 0 D # 000 m a pate: v km/ 00s a pate: v l f 0 m/s l /s l 0 m 0 l cm v 0 cm/s v l f 0 cm/s cm f f etz LOCO 0 0 D 0 ) P ; Im [0; ) (, LOCO 07 0 ), m 0 cm 0/(8 + ) 0 egaus ),9 m 0 mets 0 m/s Matemática e suas Tecnlgias MTEMÁTIC Vlume 0 MTEMÁTIC IV

3 0 escaa fma cm a paee e sl um tiângul etângul e iptenusa 8 m. istância peia é calculaa pela azã tignmética cssen. cs [ & & 8 & m 8 cs 0 LOCO 0 0 D a pate: N tiângul OT T sen a O O sen a e O tg a T T tg a ctg a a pate: Áea tiângul T T. T.. sen a. ctg. ( O ). sen a. ctg a. f sen a -p. sen a LOCO 0. ctg a. ( sen a) 0 cs &- < < 0 & inica Q Se cs & sen + cs & 9 & sen + n & sen - & sen & & sen! Cm Q sen- - sen Lg, tems: tg & tg & tg - cs 0 E tg sec² + tg² sec² + _ i sec² + sec cs n & & cs ² & cs cs ² & cs & cs sen + cs & sen + e & ( - ) & sen - & sen & 0 & sen & sen² Ptant, sen². 0 base a Tignmetia é: sen² () + cs² () α α M P sen² (b) cs² (b) 0,² 0, 0, sen (b) 0,8 sen (c) cs (b) cs (c) sen (b) cs () c sen( b) 08, ctg (c) tg ( b) sen() c cs ( b) 0, 0 C Tem-se val e sen. sen Sabe-se que tg. (I) cs Mas cm calcula cs? Vams aplica aquela fómula (sen ² + cs ² ). Entã: n + cs² + cs² cs² 9 9 cs². (II) 9 ga, já tems sen² n e cs² n, basta que substitua esses 9 9 vales em (I): ,8 9 9 Entã, tg². 0 C sen0 cs 0 f + p. sen (0 + 0 ) cs 0 sen0 sen0 cs 0 f + p. sen 0. cs 0 cs 0 sen0. sen² 0 +. cs² 0. (sen² 0 + cs² 0 ). 0 Cm p é equivalente a 80º, pems eesceve a epessã a seguinte fma: cs. + sen. + tg. cs 0º + sen 70º + tg º Olan cícul tignmétic, vems que 0º está n quaante. Seu ângul em elaçã à vetical é 0º, lg, cssen e 0º equivale a e 0º que é, só que n quaante, cssens sã negativs, entã cs (0º) -. Paa sen 70º, basta la paa cícul e veá que é. Já paa a tg º, pe-se ve que este ângul está n quaante e faz um ângul e º cm a vetical, que faz cm que a tg º seja igual a tg º cm mesm sinal, pis n quaante sen é sen negativ e cssen também é; a tangente é / + cs Lg, a epessã fica + 07 C tg, < < & Lg, Q ) ctg & ctg, cm tg Q, tems que neste quaante a ctg é psitiva, lg, item é fals. ) sec & sec + tg, lg sec + n & sec + & 9 sec & sec! Mas cm Q, a secante é negativa, lg, sec -, ptant, a altenativa é falsa. C) cs - N item, cegams à cnclusã que sec - $ Mas cm sabems que sec, ficams cm: cs, lg: cs sec cs & cs - - Entã, a altenativa C é a ceta. Matemática e suas Tecnlgias MTEMÁTIC IV MTEMÁTIC Vlume 0

4 08 D Veja a funçã iginal: f() tg (). ctg () Esta funçã f() só eistiá se tg () e ctg () eistiem também. Ou seja, a espsta que eecíci que é a intesecçã as cnições e eistência as funções tangente e ctangente. funçã tangente só eiste paa + k. p, cm k. funçã ctangente só eiste paa k. p, cm k. Ou seja, a tangente nã eiste paa ânguls veticais (90, 70 ) e a ctangente nã eiste paa ânguls izntais (0, 80 ). intesecçã as uas estições seá: k, ne k, u seja, nã pe se nem s ânguls veticais nem s izntais. 09 D N tecei quaante sens e cssens sã negativs. Utilizan a elaçã funamental, tems: sen () + cs () sen () + - n & sen () - & 9 & sen()! & sen()! 9 Cm ac tem etemiae n tecei quaante, tems: sen () -. Calculan a tangente e : sen() - () tg. cs () - 0 C sen Saben que tg, cm! + k e cs cs sen, vem sen cs tg& cs cs & cs sen + sen + sen + sen + n - + sen+! & sen - LOCO 0 0 C 0 Item : veaei _ Ci _ i + _ Ci &_ 0i _ i + _ 0i & 0 km. P elações méticas n tiângul etângul, tems: _ Ci. _ i. _ Ci &_ 0i. _ 0i. _ 0i & km Ptant, a istância ente e a estaa C é km Item : fals C 0 sen & sen & sen 0, &! 0. º C 0 Item C: fals P elações méticas n tiângul etângul, tems: _ Ci _ Xi + _ XCi &_ 0i _ i + _ XCi & XC 8 km Item D: fals C X + XC & 0 X + 8 & X km Item E: fals Ve cmentái item C. Gáfic as questões 0 e 0 0 Paa 7 m e m vem: 7 $ -$ $ ( - ) 7m Queems calcula C+ CG+ GH Cm s tiânguls C e DEF sã cnguentes, FE C. lém iss, FE GH, pis FE // GH. Ptant, $ C+ CG $ $ sen a+ $ cs a $ $ sen c+ 7$ cs c 7 $ + 7 $ 7 m 0 D Paa a 0 e m, tems: HI JE DJ - DE - $ cs 0c - $ 8 m D tiângul CFG, vem: FG HE $ sen a $ sen0c $ Ptant, paa 90 m, segue que $ JE+ HE + 90 $ 8 + $ + m F t 0c & F milas. FH FH N DFH: sen 0 & & FH milas N DFHsen 0 & & F milas F F 0 pós tês as atleta teá peci 0 km, já que sua velciae é e 0 km/. N tiângul assinala, tems: sen 0c & + km Cnsiee tiângul isósceles C e base C. ssim, C cm e C t / C t 0. Sen M pnt méi e C, tiângul MC vem C csc t MC + cs 0c C + C cm Ptant, esulta é + C + C + + ( + ) cm 07 D Na figua a la, tems: C 8 & C P 9 & P C t a + * $ O sistema pssui uas sluções e u e Lg, P tg a & tg a u tg a & 0 u 0. Matemática e suas Tecnlgias MTEMÁTIC Vlume 0 MTEMÁTIC IV

5 08 Cnsiee a figua abai. LOCO 0 0 D N P 0 newtn Cálcul auilia: cs a P P 09 C Seja H. Cm tiângul FH é isósceles e C HK, segue que FK -. lém iss, H CK -. Lg, tiângul FKC, btems: CK - 9+ tg 0c FK - + Desse m, FK P cnseguinte, aina tiângul FKC, vem que: FK cs 0c CF ( - ) CF CF P P. cs a N P P 0 0 P ) Sen a P P. sen a P P mg. sen a ) F + P F a F + mg. sen a m. N F + mg. sen a m. P. cs a F + mg. sen a m. m. g. cs a F sen a F m + m. sec a+tg a mg cs a cs a mg 0 E Peí i? s(t) 0,0. sen( +t) Peí: P Imagem: 0,0. sen q sen q Daí: 0,0 0,0 00, 00,. ( n DPD) cs ( n PC) tg 0 D C Cnsiee a figua abai. D tiângul C, vem que tgc t + C cm e C tg0c 0 senc t + C cm C sen 0c Lg, cm D cm, segue que CD - C e - cm. lém iss, tiângul CDE, btems: sencde t CE + CE CD $ sen0c - cm. CD Ptant, intei mais póim a istância, em cm, pnt até a izntal é a p: 0 C + CE , 0. 0 cs a + cs a ( ) e. > +H. [sen a + cssec a sen a + sen a ( ) sen a + cs a ( ) ( ) + ( ) + ( ) 0 C â & ti ngul tiângul base # altua sen a# cs a & tiângul & sen a# cs a 07 sen cs f () + sen + cs, paa! 0 k$ +, k. sen cs Ptant, a única altenativa ceta é a leta Lemban que cs, vem sec a a sen + cs + a f p f p a + + a + a+ a + a+ + a. Ptant, cm é um ac quaante e sen, segue que 0. [0 Cet. É cla que cs 0 sen 0. Matemática e suas Tecnlgias MTEMÁTIC IV MTEMÁTIC Vlume 0 7

6 09 C [0 Incet. De fat, pis ctg 0 $ cs 0 $. [0 Cet. Tem-se que tg 0. [08 Incet. Lemban que cssec, tems cssec 0 sen. [ Cet. Cm efeit, pis sen 0. f() + csf p, + csf p -, csf p csf p- + k$ u + k$ paa k intei Paa k 0, tems u 8. Paa k, tems (nã cnvém) u 0 (nã cnvém). Respsta: e 8. 0 Cnsiee a figua, em que P e Q sã, espectivamente, s simétics e P e Q em elaçã a RT, cm T petencente a L. Cm Q e Q sã s pnts méis e PR e P R, segue-se que S é baicent tiângul PRP. Lg, RS $ ST e, ptant, RT $ ST. D tiângul PRT vem PT tg 0 + PT $ ST RT e PT $ ST sen 0 + PR PR + PR $ ST. D tiângul PST, btems PT $ ST tg a + tg a ST ST + tg a. Q θ P α α R 0 T S Q P 0 FM + + $ N tiângul C: CM (altua tiângul equiláte) 0 ) N M : sen α ( α 0 e β 0 D ) ) N D M: + + C cs a C C 7 C) N D HC: sen 0 + D) MC t sen 0.. Respstas: ) ; ) 7; C); D). 0 D C +... cs 0 C e- C + C + Saben que cssec a + ctg a e que a é agu, encntams 7 cssec a + f p & sen a 8 + sen a. Finalmente, aplican a Lei s Sens n tiângul QRS, vem PR QR RS $ ST + + sen i. sen a sen i sen i 7 LOCO m 0 + sen 0 L. L 0 C D D t α(altens intens) D t 80 c - ( α+ β) plican teema s sens n tiângul D, tems: sena80c - _ α+ βik sen α Lemban que sen(80 c - ( α+ β)) sen( α+ β), tems: $ sen α sen( α+ β) α 0 β C N tiângul CD: tg b & (). I Matemática e suas Tecnlgias 8 MTEMÁTIC Vlume 0 MTEMÁTIC IV

7 N tiângul CD: tg a + & + ( II). De (I) e (II): + & & & 07 D Se é a altua eifíci Y, em mets, tems: - 0 ) n tiângul etângul RSQ: tg b PT ) n tiângul etângul PTQ: tg a PT Saben que. tg a. tg b, cnclui-se que: - 0. n. n + PT PT D 0 cm 0, m LOCO 0 0º 00 m sen 0 & 0, & & 0, $ 00 & 0 m ltua ttal & 0 m+ 0, m 0, m 0 Cnstuin gáfic a funçã, tems: P(0 ) t P(0 ) 8 8 t De ac cm gáfic, peí cuvs acntece em seis meses, u seja, is timestes. 0, m 09 ) Se tg b +, m 0 0 ) tg b b C) Se b 7º a F R C (; 0) 0 -- M(0; 0) ltua a pipa + 0, m Sen C(; 0) pnt que epesenta escitói a cenaçã n sistema e eis catesians, cnclui-se que CM CF 0, pis CR e RM 0. RF I) N tiângul RMF, tg 0 + RM RF + + RF 0 0 II) RCF t CMF t + CFM t (ângul eten) III) N tiângul RCF, tems: RF 0 tg CR 0 CR CR 0 Lemban que uma funçã está bem efinia apenas quan sã fnecis míni, cntamíni e a lei e assciaçã, vams sup que míni seja cnjunt s númes eais, e que cntamíni seja inteval [,. Desse m, cm a imagem a funçã sen é inteval [,, eve-se te + [, [, [, + [,. Os únics vales e e e que satisfazem à igualae sã e. P cnseguinte,. 0 C ;0 [ Falsa, pis f (0) 0f cs + p 0( - + ) 0. 0 ;0 [ Falsa, pis f(0) 0fcs + p 0 f + p. 0 ; [C Veaeia, pis f() fcs + p 0(0+ ) 0. 0 [D Falsa, pis f(0) 0. [E Falsa, pis s únics vales inteis sã e f(0), f(0) e f(). 0 E ) l 0 cm e V 0 cm/s. Lg: V l f 0 0 f f T f. 0 D altua 0 E sen 0 km cm 0 80 m m,80 m sen ,7 9, m 9, +,8 7 m 07 E altua ente s is anaes. sen 0 0, m 08 ) Veaei, pis, n gáfic, ente 000 Hz e 000 Hz, é pssível uvi um sm cm intensiae abai e 0 b, ist é, abai e 0 w/m. ) Fals, pems uvi acima e Hz. C) Fals, se sm tem 0 b (0 0 w/m ) e a fequência é e 0 Hz, sm está abai limia a auiçã. D) Fals, inteval vai e 00 Hz a Hz. E) Fals, nem sempe, vai epene a fequência. 09 D 0 0 b 0 b 0 b bel 0 b 0 b b 0 b Cnclusã: O nível sn cespne a uma cnvesa nmal. Matemática e suas Tecnlgias MTEMÁTIC IV MTEMÁTIC Vlume 0 9

8 0 C Pel gáfic, quan, E 0, entã a lei que cntém este pnt seá: E sen( ) pis, se, teems: E sen( ) sen(q) km º LOCO 0 0 D cs + sec ( ) t cs + sec t (pis sec ( ) sec ). Entã: (cs + sec ) t cs +. cs. sec + sec t cs +. cs. + sec t cs cs + sec t 0 P 7, cm 0 D ft () cs t + c mg & [ 0, t 0 & f( 0) cs & f( 0) 0 t & fc m cs & fc m - t & f( ) cs & f( ) 0 t & f n cs & f n t & f( ) cs & f( ) 0 f(t) km C ( ) ( 8) + () -.. cs º + -. cs ! ! ! & E altua final a ampa seá e cm. O cmpiment c é a iptenusa tiângul etângul mai fma. Tems: cat. p. sen [ ip. c & 00, & 0, 0 c & c sen 0, 0 & c 0cm, 0 m 00, 08 RE: Cnsiean-se DE C e E +, cm na figua abai, tem-se que: F 0 π π π t E 0 D H : tg i H H H & &, lg q é igual a º, pis tiângul : tg i C é isósceles. + cm H tg i & H tgi. H ntg i. Cm q º Lg, sen q e cs q Entã, sec q sec q Lg, H ntg q. sec q 09 0 C D Sen 0 8 8sen 0 8cs 0 e cs 0 8 plican Teema e Pitágas a tiângul EF, btem-se que EF 0 - E 0-8 & EF. ssim, a altua pste é igual a DF EF + DE +,,9 m. sen 0 altua 00 0, altua 00 ltua 0,. 00 ltua 0 mets 0 I. Sen, em mets, cmpiment a ampa tems: 0 0 sen , II. Obsevan que mets p segun cespnem a 0 mets p minut e sen t temp, em minuts, que ciclista levu paa pece cmpletamente a ampa, tems: 00 t, 0 0 Fazems f(0) paa escbi a imagem. f(0) sen ;. 0- E sen ; 0 - E& f( 0) - sen & f( 0) -. e & f( 0) - Cm -, -, 7 e, ptant, apima-se e, tems cm única pçã item. Matemática e suas Tecnlgias 0 MTEMÁTIC Vlume 0 MTEMÁTIC IV

9 LOCO 07 0 ) Seja a istância ente s pnts e tangência P e Q. 7 m m C m m P Q ) plican Teema e Pitágas a DC, tems: () (C) + (C) 7 + m ) N tiângul etângul PQ (P) + (P) + 8 P Lg, sen PQ t 0 D 0 Na ilustaçã, á paa pecebe que nós tems um tiângul. Tems pimeiamente cab cm 00 m. Quan se pua 0 m ele, fican cm 80 m, aí tems um eslcament bac. ga, a pegunta é: e quant é esse eslcament? Oa, um tiângul, paa eisti, eve te um la mai que val abslut a ifeença s uts is e esse mesm la eve se men que a sma s uts is. Iss vale paa qualque la e qualque tiângul, inclusive paa eslcament bac nesse tiângul. Entã, eslcament bac eve se mai que m e men que m. Tems uma pçã que cniz, a pçã. 0 Nesta questã basta entene que a ampa e m epesenta a iptenusa e um tiângul etângul e a altua máima epesenta catet pst a ângul e inclinaçã cm plan este. Lg: ga cncentems nssa atençã n tiângul etângul a figua, ela tems sen 0, em que inica a altua péi em 0 mets: " 0. 0 Cnsiean a apimaçã, 7 btems a altua mein apimaamente mets. 07 altua a te seá a sma as meias ( + ). O val e seá calcula cnecen a meia e D m C cat. p. tg 0 cat. aj. [ & & & i) sen 0 & $ m cat. p. tg 0 cat. aj.. ii) [ & & & tg 0 &. m Lg, CD 0 m. m θ 8 catet pst altua máima sen 0º 0, iptenusa Lg, altua máima 0, 0, 0, Saben que caa ana tem, mets, entã:., Cntan a pati tée teems: ana. tg i & tg i m 0 D 09 D C cs 0º C 0 0 C e C m X 0 Y 0 Da:, ) O tiângul X é etângul e isósceles: X ) N tiângul Y, cm XY 0, tem-se Y 0 e tg 0 & 0 - & ( + ) 0 & $ & + - & -,0 m 0 m 0 Se P pnt avista n tp péi pels bsevaes. O ângul que mee 0 é um ângul eten tiângul P, ist tems P t & P t 0 Cm DP pssui is ânguls intens cnguentes, pe-se cnclui que ele é isósceles, u seja, P 0 m. sen º & 0m 0 0 & 7 & 7 $, & 0 m H +,0 m H 0+,0 H 0, m Matemática e suas Tecnlgias MTEMÁTIC IV MTEMÁTIC Vlume 0

10 0 O que tenente fez fi esena um tiângul C etângul em, cm catet C 9 m e ângul C t. Cm queems calcula la, basta usa a tangente: tg & & 9 m C 9 0 E Da figua: λ 80 cm 0,8 m. v λ f 0(0,8) 8 m/s. 0 P(t) 0,8. sen [. (t 0) +,7 & & ( + 0) mets Cm é a altua a áve, mens, mets, que é a altua a qual apael é utiliza, tems que a altua a áve é e 0 +,, mets. 07 O peí a funçã f(). senc m é a p: P P 8 c m Lg, as cenaas pnt sã (8, 0) e, ptant, a base tiângul e vétices O, e é cnstante e mee 8 uniaes. Paa u, tems a mai altua pssível. Tman, p eempl, val paa, tems: f(). sen n f().senc m f(). (altua).( t-0) Quan sen > H, teems peç máim e: 0.( t-0) P 0,8 +,7,0 e, quan sen > H, teems 0 peç mínim e: P 0,8 ( ) +,7,90 R$,0 e R$, O temp e uma scilaçã, em seguns, é peí a funçã f(t), que é s. ssim, em seguns atleta faz cm baç 8 8 scilações cmpletas. 0 D u θ u tg i & tg i sec i + tg i & sec i & + sec i 7 & sec i 7 Se seci 7 & sec i cs i 7 & csi & cs i cs i 7 sen i+ cs i 7 sen i - e sen i - & sen i sen i & sen i seni & sen i cm tg 0 cm 0 cm tg 0 cm 7 7 Cnsiee a altua a áve mens, mets e a istância a áve até pnt e visã l. áea máima é aa p: base $ altua 8$ S O S O S O 08 questã tata assunt e ânguls cmplementaes. sen ( ecípc também é veae.) cs_ 90 i Saben iss: sen 80 n cs 0 sen 0 n cs 70 sen 0 é mesm que 0º. Lembe-se e que (cicl tignmétic) Lg: sen0 n cs 0 Multiplican tems: 09 E f() ( sen + cs-sen( -)-cs(-)) ( sen + cs + sen-cs ) ( sen ) & sen Lg,tata-se gáfice sen km α α α 0 90 km N ) Sen km e aplican-se a lei s sens a DN, tems: R + R km sen 0 ) N tiângul CN, etângul em N, tems: cs a N N N N tiângul N, pela lei s sens, tems sen a R Cncluíms, entã, que sen a cs a a º (pis 0 < a < 80º) Lg, N. cs º Matemática e suas Tecnlgias MTEMÁTIC Vlume 0 MTEMÁTIC IV km C