faculdade de tecnologia de são paulo PARTE INTEGRANTE DA DISCIPLINA MÉTODOS DE CÁLCULO I PARA MECÂNICA E CIVIL

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1 FTECSP fuldd d tnologi d são pulo VETORES VETORES VETORES VETORES VETORES VETORES VETORES VETORES VETORES VETORES VETORES VETORES VETORES VETORES VETORES PRTE INTEGRNTE D DISCIPLIN MÉTODOS DE CÁLCULO I PR MECÂNIC E CIVIL Mtil d ompnhmnto m sl d ul pojtdo p 8 uls Pof K Kut FTECSP 6 fvio d 7 LUNO(): Númo:

2 EMENT DO PROGRM Vtos: onitos ásios Epssão tsin Vtos pllos Bs Poduto sl Poduto vtoil Poduto misto pliçõs Estudo d t Estudo do plno Distânis CRITÉRIO DE VLIÇÃO Povs: p, p p pov sustitutiv ps S médi itméti p p p é mno qu 6,, o luno é pov do mio ou igul 6, o luno é pov do Em tods s povs, som dos vlos ds qustõs é igul, pontos O ontúdo vlido m d um ds povs é umultivo Tods s povs são SEM onsult 4 O luno não podá li pov fo do hoáio stlido ou om out tum 5 tiuisá not d p pns um ds nots ds povs p ou p, nos sguints sos: ) usêni às povs p ou p, quisqu qu sjm os motivos ) S not d p ou p fo infio qu not d p 6 P pov sustitutiv ps, s plid no iníio do smst susqunt, plis os msmos itéios utilidos m p, p os lunos tidos SOMENTE po not MTERIL NECESSÁRIO: lápis, oh, nt i (ul vmlh), pqun égu DT DS PROVS: dt d p : not: dt d p : not: dt d p: not: dt d ps: not:

3 P R E S E N T Ç Ã O O ssunto VETORES é pt intgnt d disiplin Métodos d Cálulo I p os Cusos d Á d Mâni Civil Ess pt ospond poimdmnt do ontúdo totl Po st motivo, um ds uls d smn é svd p uls d VETORES Com o ojtivo d filit s uls, gnh tmpo p s pliçõs solução d íios, psnto ss mtil didátio omo um ltntiv d método d tlho Gosti d gist qu não s tt d um postil É um dno p filit o ompnhmnto ds uls tnto p os lunos omo p o pofsso P d umpimnto totl o pogm stlido, tnsão pofundidd dos ssuntos psntdos nst mtil, foi dvidmnt dimnsiondo p m tono d 8 uls Como os pofssos d Físi d FTECSP utilim hmd fom pol d um vto no plno m sus uls, fi qustão d plo ss fom om o ojtivo d fmilili notção s onvsõs s luns, tnto gáfis, tóis, mtmátis ou pátis fom olods d popósito p qu o dont, junto om os lunos, pudss i pnhndo no do ds uls Dnto do possívl, fi qustão d não fomli muito mtmtimnt, smp usndo um lingugm simpls, d modo qu os lunos pudssm pt s idéis ásis d d ssunto P mio msmnto, á o luno um onsult os livos indidos n págin 59 Como st mtil stá sujito fomulçõs d no p no, soliito os lunos qu psntm sus ítis sugstõs Oigdo KTSUYOSHI KURT Pofsso Plno I d Á d Mtmáti d Fuldd d Tnologi d São Pulo São Pulo, 6 d fvio d 7 (tulição)

4 S U M Á R I O I Eqüipolêni d sgmntos ointdos II Vto III Opçõs om vtos IV Vso d um vto V Ângulo nt dois vtos 5 VI Bss 6 VII Fom tngul d um vto 6 VIII Fundmntos tigonométios 8 IX Fom pol d um vto no plno X Vtos no spço XI Poduto sl 9 XII Dtminnts XIII Poduto vtoil 5 XIV Poduto misto XV Estudo d t do plno 7 Complmnto: Distânis 5 REFERÊNCIS 59 São Pulo, 6 d fvio d 7

5 VETORES I Eqüipolêni d sgmntos ointdos Dois sgmntos d t ointdos B CD são qüipolnts s, somnt s, o sgmnto B o sgmnto CD têm msm DIREÇÃO, o msmo SENTIDO o msmo COMPRIMENTO (módulo) Notção: B CD Dois sgmntos ointdos nulos, ps d não tm dição nm sntido, são onsiddos qüipolnts D B D B C Nst so, BDC dv s um pllogmo C Popidds d qüipolêni: ) Rfliv: B B ) Siméti: s B CD, ntão CD B ) T nsitiv: s B CD CD EF ntão B EF d) Ddo um sgmntod tointdo B um ponto C, EXIST E um ÚNICO ponto D tlqu B CD II Vto Chms vto dtmindo po um sgmnto d t ointdo B, o CONJUNTO d TODOS os sgmntos ointdos EQUIPOLENTES B Notção: v (B) ou simplsmnt v ou ind B B F D E H v C G v v (B) XY tlqu XY B N vdd, é impossívl d psnt um vto Vj, po mplo n ilustção im, os sgmntos B CD EF GH, ms todos têm msm dição, o msmo sntido o msmo ompimnto Potnto, ls psntm o msmo vto, ou sj v(b) v(cd) v(ef) v(gh ) Qulqu um dls

6 são psntnts dss msmo vto Indimos o su ompimnto (módulo) po v ou v(b) Nots: ) O vto v(b) é igul o vto v(cd) s, somnts, B CD ) Os sgmntos nulos, po sm qüipolnts nt si, dtminm um únio vto, hmdo vto NULO, qu indimos po ) S v(b) v(b), ntão são opostosntsi, indimos d) Um vto v é UNIT ÁRIO, s v, indimos â III Opçõs om vtos ) dição: S v(b) v(bc), ntãoo vto som v(b) v(bc) v(c), o qu ospond digonl mio do pllogmo Dí o nom d g do C pllogmo Popidds: ) Comuttiv: ) ssoitiv: ( ) ( ) ) Eist tlqu, d), ist tlqu () B ) Sutção: Chms difnç d dois vtos, indi s :, o vto () S o vto som é v(d) v(b) v(c), ntão (BDC é um pllogmo) o vto difnç é v(cb) B D B D + C C

7 ) Multiplição d um sl k (númo l) po um vto Ddo um vto, não nulo, um sl k (não nulo), hms poduto do númo l k plo vto, o,5 vto k, tl qu dição é d ; msmod, s o sntidoé o ontáiod o módulo é igul k, s k k Not m: o ompimnto d é igul oompimnt o d o ompimnto d,5 é igul,5 vs o ompimnto d Popidds: S são vtosquisqu, m n são sls,ntão vlm s popidds ) ssoitiv: m (n ) (mn) ) Distiutiv m lção à dição d sls: ( m n) m n ) Distiutiv m lção à dição d vtos: m( ) m m d) Idntidd: IV Vso d um vto Um polm omum ns pliçõs é nont um vto unitáio â qu tnh msm dição o msmo sntido d um vto ddo, não nulo, dnomindo vso do vto Isto pod s fito multiplindos plo invso d su ompimnto (módulo), ou sj â D fto, â O posso d multiplição d um vto plo invso d su módulo p ot um vto unitáio om msm dição msmo sntido é hmdo d nomlição d Emplo: Consid o vto d módulo 4 â â â são mos vtos unitáios, ms somnt o vto â é VERSOR do vto â

8 Eíio : No pllogmo BCD, onsid os vtos v(b) v(d), D C 4 ind M, N P, os pontos médios dos ldos CD, B BC, sptivmnt Dtmin os vtos io, m função d ) v(c) D B C ) v (DB) B D C B ) v (NP) D C B d) v (MP) D C ) v (PD) B D C B f) v (MB) D C

9 Eíio : S,45, ntão o ompimnto do vto 5 ) é igul ),6 é igul ),8 é igul d) 5 é igul Eíio : O qudiláto BCD é um pllogmo, m qu v(b) v(d) S X stá d B p D, Y stá + d p C, ntão sv o vto v (XY) m função d C D B V Ângulo nt dois vtos O ângulo nt dois vtos O OB, sptivmnt, são psnt nts quisqu d, não nulos, é mdid θ do ângulo ÔB, θ π, m qu ) θ O ) θ B Csos ptiuls: ) S, ntão têm msmdição sntidosopostos ) S, ntão têm msmdição msmosntido ) S, ntão são otogonis

10 VI Bss Qundo o vto v é sito n fom v k v k, dis qu o vto v é um domposição ns diçõs d v v v, ou sj, v é um ominção lin d v v Ess p d vtos v v 6, não pllos não nulos, é dnomindo um s no plno Os sls k v, v N lidd, s ss mis utilids são s ss otonomis Um s, é hmd otonoml s, os vtos k são hmdos omponnts do vto v m lção à s fom otogonis unitáios ps d istim infinits ss otonomis no plno O, pns um é usd: hmd s nôni psntd po i, j, m qu i j são vtos unitáios ns diçõs dos ios, sptivmnt, no onhido sistm tsino otogonl O j j j O i O i i pti d go, um vto do plno, psntmos po é o omponntdo vto é o omponntdo vto ndiçãodo io O, ndiçãodo io O î Lms: são, ms î ĵ são VII Fom tngul d um vto ĵ Isso p ti qu os sls Fid s otonoml î, ĵ, fi stlid um ospondêni iunívo nt os vtos do plno os ps odndos d númos is, Dond, pssão î ĵ ou simplsmnt, é hmd fom tngul do vto Qum us ss últim notção, dv t o uiddo d não onfundi om notção mtiil do vto, qu é po mtiolun: î ĵ ou Suponh dd s oodnds tnguls do ponto P(, ) siss odnd podm s idntifids omo sndo os omponnts do vto v(op) î ĵ P Usndo o Tom d Pitágos, tms o módulo ou ompimnto do vto : ( ) ( ) ĵ ( ) ( ) O î

11 7 Emplo : Ddos î j î 4 ĵ, psnt lul 4 O Vjmos go, omo pss fom tngul do vto v (B) dtmindo plo sgmnto ointdo B S (, ) B( B, B), ntão v(o) v(ob) Pl g do pllogmo: O B ou sj v (B) Ess é ão pl qul, tmém, s dnot o vto v (B) po B O ompimnto dss vto dtmindo plo sgmnto ointdo B sáddo, ntãopo v(b) ( ) ( ) B B Emplo : Ddos os pontos: ) (, ) B(4, 5) ) P(, ) Q(, ) ) M(, ) N(, ), dtmin s pssõs do v (B), v (PQ) v (MN) Rpsnt os sgmntos ointdos B, PQ MN

12 8 VIII Fundmntos tigonométios Rlçõs tigonométis nos tiângulos tângulos Consid um tiângulo tângulo BC, tângulo m, sjm os ângulos gudos C B sn tto oposto hipotnus tto djnt hipotnus os sn tto oposto hipotnus tto djnt hipotnus os tg tto oposto tto djnt = = sn os tg tto oposto tto djnt sn os TEOREM DE PITÁGORS: Emplo: Consid um tiângulo tângulo ujs mdids dos ttos são: m m Qul é mdid d hipotnus? Clul, m gus, s mdids dos ângulos gudos

13 9 Li dos ossnos Sj BC um tiângulo qulqu, utângulo ou otusângulo C B Li dos ossnos: os  os Bˆ os Ĉ Emplo: Num tiângulo BC, o ângulo d véti md o, os ldos B C mdm 6 m 4 m, sptivmnt Qul é mdid do ldo BC? Vlos notávis d sno ossno sn o = os 6 o = sn 45 o = os 45 o = sn 6 o = os o = tg o = tg 45 o = tg 6 o = sn 5 o = sn 5 o = sn o = os 5 o = os 5 o = os o =

14 sn o = sn 5 o = sn 4 o = os o = os 5 o = os 4 o = sn o = sn ( o ) = sn 5 o = sn ( 45 o ) = sn o = sn ( 6 o ) = os o = os ( o ) = os 5 o = os ( 45 o ) = os o = os ( 6 o ) = IX Fom pol d um vto no plno Um vto, tmém fi dtmindo plo su módulo plo ângulo (imut), o 6, mdido no sntido ntihoáio Em Físi, notção do vto = v (OP) n fom pol é dd po / imut: do á ssumut = minho, dição Em stonomi: distâni ngul, mdid so o hoiont, pti d um ponto oigm, glmnt no sntido dos pontios d um lógio ou vivs Vjmos s tnsfomçõs: P O pti d figu ntio, ddu pssão do vso d = v (OP) m função do imut

15 Emplos: ) D fom pol dos vtos: ) i j ) i i ) i j ) D fom tngul dos vtos: d) u 4,5 / o 5 ) v / o 6 f) w 8 / o 5 ) Dtmin sultnt R, tisqu 5,, dê spost n fom tngul o 45 o O o

16 X Vtos no spço Tods s onsidçõs fits té qui p vtos no plno, podm s lidos d fom smlhnt p vtos no spço, om s dvids dquçõs No spço, qulqu onjunto v, v, v d tês vtos (não ist um plno qu é pllo o tês simultnmnt) é um BSE nlogmnt, povs qu todo vto v do spço é ominção lin dos vtos d s, isto é, smp istm númos is k, k k tis qu: v k v k v k, m qu k, k k são os v omponnts d v m lção à s onsidd Tmém, um s no spço é otonoml s, os tês vtos fom unitáios, dois dois otogonis Dnt s infinits ss otonomis qu istm, dotmos p st uso, hmd s nôni psntd po i, j, k k j i Só p lm os studnts qu, o poduto tsino IR IR IR IR é o onjunto IR = (,, ) tis qu IR, IR, IR, su psntção gométi é o spço tsino dtmindo plos ios tsinos, dois dois otogonis O, O O tn odnd (,, ) ssoid o ponto P nss spço d dimnsõs são s oodnds tsins d P, m qu é distâni d P o plno O, é distâni d P o plno O, é distâni d P o plno O Os tês plnos oodndos dividm o spço m 8 pts hmdos P otnts

17 D msm fom omo fimos om vtos no plno, ddos (,, ) B( B, B, B), fom tngul do vto (,, ) B(,, ) B B B v(b) ( ) î ( ) ĵ ( ) kˆ Ou sj, é d fom î ĵ kˆ = = Isto ospond o vto plido n oigm om tmidd P(,, ), hmdo vto posição d P Potnto, o ompimnto (módulo) do vto é igul i j k = v (OP) = v (B) E o vso d é igul â O P (,,) = Esss omponnts do vso, são dnomindos COSSENOS DIRETORES do vto i j k = v (OP) = v (B) O P (,,)

18 númo l tl qu Pllismo d dois vtos: Dois vtos (um é múltiplo sl do outo) Tmos: î ĵ kˆ î ĵ kˆ são pllos, s ist um 4 Conlusão: S os omponnts dos dois vtos não são nulos, ntão podmos sv: d pllismo d dois vtos, isto é, dois vtos são pllos qundo sus omponnts são popoionis Est é ondição Emplo: Os vtos î ĵ kˆ 4 î ĵ 6 kˆ são pllos, pois ou D fto, os omponnts são popoionis: 4 6 Eíios p ompnsão Ddos (,, ) B(,, ), pds: ) fom tngul do vto v (B), ) o su ompimnto, ) o su vso, d) os ossnos ditos Ddos os vtos 4,,5, dtmin o módulo do vto dfinido po

19 5 Dtmin o ompimnto d mdin ltiv o ldo BC no tiângulo BC, ujs oodnds dos vétis são (,, ), B(,, ) C(,, ) 4 sultnt dos vtos o, / 45, o, / é igul R, o / 5 Clul o vto n fom tngul 5 Os vtos u i j k v i 6 j 4k são pllos? Justifiqu 6 Ddos os pontos (,, ) B(4,, 6), ) dtmin fom tngul do vto dtmindo plo sgmnto ointdo B ) lul distâni d té B

20 7 Ddo o vto igul 9 i 6 j k, dtmin o vto d msm dição msmo sntido qu, ms d ompimnto 6 8 O pllpípdo d figu o ldo é um pllpípdo to tângulo dtmindo pls sts O, OB OC Dtmin C os ossnos ditos do vto v (OP) P Ddos: (,, ), B(, 6, ) C(,, 4) O B 9 Clul o módulo do vto v, s i j 8 i 6 j Dê o vso do vto = v (B) Ddos: (, ;,4 ; 5,) B(,7 ;,4 ; 6,5) Qul dv s o vlo d m IR d modo qu os vtos sjm PRLELOS? i (m) j m k i ( m) j 6 k

21 7 Ddos: P(,, ), Q(,, ) R(,, ), dtmin s oodnds do ponto X(,, ) qu stisfç sntnç v(px) v(rp) v(pq) O qudiláto BCD é um pllogmo dtmindo plos vtos v(b) v(d) Esv o vto w v(xy) m função d, sndos qu o ponto X é ponto médio d B, Y stá D 4 d D p C C B 4 Ddos (, 6, 5) B(6, 4, ), dtmin s oodnds do ponto M qu stá d B p 5 Solução: Sj M(,, ) Pl ntu do ponto M, é vdd qu v(bm) v (B), ou sj, 5 M 6 B ( 6)i ( 4) j k ( 5 i j 5 k Dond, = 9, = = s oodnds do ponto M são (9,, ) 5 Dtmin o vto, s (t ) i t j k, t IR, tl qu Solução: Como (t ) t, ntão impondo ondição: (t ) t Elvndo o quddo, mos os mmos, tms: ( t ) t, o qu sult m um qução do º gu: 5 t t Como = 6, ntão, t = Dond, t = ou t = 5 Conlusão: i j k ou 7 5 I 5 j k

22 6 N figu io, dtmin sultnt (som) dos vtos tl qu, Dê spost n fom tngul 8 45 o o 7 Qul é distâni nt os pontos P(,, ) Q(,, )? Rsposts 9,i,j,95k (omponnts poimdos om dus ss dimis) m = X (,, ) 5 6 w 6 î,5 j om poimção d,4, (unidds d ompimnto) 6

23 XI Poduto sl 9 Chms poduto sl dos vtos î ĵ kˆ î ĵ kˆ, indimos po, o sl dfinido po Pl dfinição, vifimos qu Popidds: S é osθ, m qu θ é mdid do ângulo nts diçõsd um númo l, são tês vtos positiv o,s é gudo; ngtiv o,s é otuso, o nulo, s (ou 9 ) um sl,ntão é vdd qu ) (omuttiv) ) ( λ) λ ( ) (λ) (ssoiti vm lçãoo sl) ) ( ) (distiut iv m lção som) d) Poduto sl nt os vtos d s nôni : î î î ĵ ĵ ĵ kˆ kˆ ĵ kˆ kˆ î, pois, pois θ θ Otogonlidd nt dois vtos: Pl dfinição, é otogonl s, somnts, Mdid do ângulo nt dois vtos: Pl dfinição, o ângulo θ é tlqu osθ, Epssão nlíti do poduto sl: Sjm os vtos ddos n fomtngul, omondfiniçãoim plindo Li dos Cossnos: θ Emplo: S,5î ĵ Conlusão: kˆ 4 î (impotnt!) ĵ 6 kˆ, ntão

24 pliçõs do poduto sl ) PROJEÇÃO DE UM VETOR N DIREÇÃO DE UM VETOR (não nulo) Sj p o vto pojção π θ, Os sos tiviis m qu θ, θ π, otogonl d n dição d, s tm s tm s tm s p p p θ P o so gl, podmos dfini qu: p é pojção p é pllo o vto, stisfsondiçõs p é otogonl o vto p Clulndo os θ no tiângulo tângulo, tms: p osθ, Ms, o vto p Sustituindo p núltim: p potnto, o ompimnto d pojção (o su módulo) é ddo po p Um intptção gométi do poduto sl: O poduto sl d dois vtos mdid d pojção do vto n dição do vto unitáio, pod s intptdo omo sndo Emplo: pojção do vto 4 î kˆ n dição do vto î ĵ 6 kˆ é o vto p Dtmin o vto p o su ompimnto ) CÁLCULO DO TRBLHO EM FÍSIC W O tlho W lido po um foç F F F qundo o su pontod pliçãosofum dslomnto osθ, m qu θ é o ângulo nt s diçõs d F, é ddo po Emplo: Um foç F î ĵ kˆ (m nwtons) mov um ptíul do ponto P( ; ; ) p o ponto Q(5 ; 4 ; ) (m mtos) Dtmin o tlho lido

25 Eíios p ompnsão Qul é mdid do ângulo (m gus) nt s diçõs d i j k i k? Ddos 6,, dtmin ( ) 4 No tiângulo BC d vétis (,, ), B(,, ) C(,, 5), lul mdid do ângulo d véti 4 Dtmin (l) tl qu os vtos Solução: S u é otogonl v, ntão o poduto sl u 4 i 4 j k 4 v i 6 j k sjm otogonis 4 4 u v = Potnto, 6 4 Dond, =, ou sj, 5 4, ujs ís são = 7 ou = 5 Dois vtos u v são tis qu u 8 v 5 Clul o poduto sl dos vtos u v u v 6 Dtmin o ompimnto do vto pojção d î ĵ kˆ n dição do vto 4 ĵ kˆ

26 7 Ss qu o ângulo fomdo nt os vtos é ângulo fomdo plos vtos ( ) ( ) o 6, qu Dtmin o ossno do 8 Dtmin o vlo d m IR d modo qu os vtos (m) i j m k m i j (m )k sjm ORTOGONIS 9 Ddos os vtos, 4, dtmin o poduto sl dos vtos m qu Os vtos 5 são pllos ou otogonis? Justifiqu Rsposts

27 XII Dtminnts Mti qudd d odm n É um tl d númos is ou omplos dispostos m n linhs n oluns: M n n n n n nn ou n n n n n nn Emplos: Um mti qudd d ª odm: M = Um mti qudd d ª odm: M = os sn sn os Dtminnt d um mti qudd d ª odm S M =, ntão dt M digonl sundái digonl pinipl Emplos: ) S M =,5, ntão dt M 4,5 4 os sn ) S =, ntão sn os dt = os sn sn os Dtminnt d um mti qudd d ª odm dt M = 4 Rg d SRRUS m lção digonl sundái dt M = = m lção digonl pinipl

28 Emplo: Clul o dtminnt d mti M = 4 pl Rg d Sus 4 5 Tom d LPLCE 5 Cofto ou Complmnto lgéio C i j do lmnto i j d um mti qudd M é dfinido po C i j= () i+j D i j, m qu D i j é o dtminnt d mti qu s otém liminndo iésim linh jésim olun d mti M No mplo ntio, os oftos: C () D C () D C () D C () D, ssim po dint num totl d 9 oftos 5 Tom d LPLCE O vlo do dtminnt d um mti qudd d odm n é igul som dos podutos dos lmntos d um fil qulqu plos sptivos oftos E : 4 4 = E: 4 =

29 E: sn os 5 os sn = 5 E4: = E 5: i j k = XIII Poduto vtoil Chms poduto vtoil dos vtos sguints ondiçõs:, indimos, o vto stisfndo s i) dição é otogonl o vto o vto ; ii) o sntido é d modo qu tn,, tnh msm ointçãod tn î, ĵ, kˆ (g do solh); iii) o módulo sn, m qu é o ângulo nts diçõs d Ilustção gométi: θ

30 6 Popidds: S, são vtos λ um sl,ntãoé vdd qu ) (não é omuttiv ) ) ( ) ( ) ( ) (ssoitiv m lção o sl) ) ( ) (distiutiv m lção som) Poduto vtoil nt vtos d s nôni: î î ĵ ĵ kˆ kˆ î ĵ kˆ, ĵ kˆ î kˆ î ĵ Consquêni d dfinição: Um vto é PRLELO s, somnt s, Epssão nlíti do poduto vtoil : î ĵ kˆ î ĵ kˆ Conlusão: Clul o poduto vtoil dos vtos io: î ĵ kˆ (impotnt! ) ) î ĵ kˆ î ĵ kˆ ) u 4 v 4 ) ĵ kˆ v î kˆ v

31 pliçõs do poduto vtoil 7 ) Á ltu do pllogmo Sj BCD um pllogmo dtmindo po, B D tl qu v(b) v(d) D h B C Conlusão: á d gião limitd plo pllogmo é igul S = h = S (s onsidd) ) Á ltu do tiângulo D Gomti Pln, qulqu digonl do pllogmo divido m dois tiângulos quivlnts (mdid ds ás são iguis) á do tiângulo BC, é mtd d á do pllogmo BXC C X S v(b) v(c), ntão h á d gião limitd plo tiângulo B BC é igul S BC = E qul é ltu h do tiângulo? Eíios p ompnsão Ddos os vtos =, = =, dtmin os podutos: ) ) ( ) Ddos os pontos: (,, ), B(,, ) C(,, ), sjm os vtos v (B) v (C), lul

32 S, ntão lul o poduto vtoil d om 8 4 Dtmin á do tiângulo BC d vétis (,, ), B(,, ) C(,, ) Qul é ltu dss tiângulo m lção o ldo B (ou m lção o véti C)? 5 Dtmin o ponto C ptnnt o io dos d modo qu o tiângulo BC tnh á igul 4 u Ddos (,,) B(,4,) Solução: Todo ponto ptnnt o io dos têm siss odnd nul Logo, o ponto C é d fom (,, ) C(,, ) B(, 4, ) = v(b) i 4 j = v(c) i k i (,, ) 4 4 i j 8 k 64 j k Potnto, á do tiângulo BC é 64 4, ou sj, 64 8 Elvndo o quddo, mos os mmos, 64 44, ou 8 = 8 8 Conlusão: C(,, 8) ou C(,, 8) 6 Dtmin o vto tlqu 6, é otogonlos vtosv î ĵ v î kˆ Solução: Como é otogonl v v, ntão é pllo o poduto vtoil v v Tmos, ntão: v v = i j k Sndo pllos, tms: v v Tomndo, módulo, mos os mmos: v v Potnto, 6 6, ou sj,

33 9 P 4 k j i vto o,, P 4 k j i vto o, 7 Ddos os vtos,, dtmin o poduto 8 Clul ltu do tiângulo BC ltiv à s BC d vétis (,,), B(,, 5) C(,, 7) 9 Dtmin o ponto ptnnt o io dos d modo qu o tiângulo BC tnh á igul u Ddos B(,, 5) C(,, ) Ddos os vtos w) (v u w) (v u dtminos vtos, w v, u

34 Dtmin á do qudiláto BCD d vétis (,, ), B(,, 4), C(,, 5) D(, 4, ) Solução: D C Dividimos o qudiláto BCD m dois tiângulos po um ds sus digonis Po mplo: BC CD, lulmos s sus ás v(b) i 4 k BC, v(c) 4 i j 5 k i 4 = 4 j k = 6 B Como 6 6, ntão á do tiângulo BC é S BC 6 u CD d v(c) v(d) i 4 i 4 j j 5 k, i d 4 5 = 4 j k Como d 6, ntão á do tiângulo CD é S CD 5 6 u Conlusão: S S S u BCD BC CD Clul o vlo d λ l, sndos qu (,, ), B( λ,, ) C(,, ) são vétis d um tiângulo d á igul 6 Clul á do pllogmo BCD dtmindo plos vétis (,, ), B(,, ) D(, 5, )

35 4 Dtmin o ponto C ptnnt o io dos d modo qu o tiângulo BC tnh á igul 4 u Ddos: (,, ) B(,, 8) 5 S o poduto vtoil d dois vtos, não nulos, é um vto pllo o io dos, ntão o qu s pod di so os vtos? 6 S o poduto vtoil d dois vtos, não nulos, é igul o vto nulo, ntão o qu s pod onlui so os vtos? Rsposts 7 i j 8 k (,, ) ou (,, ) ) 8 i j k ) i j 5 k C(, 4, ) ou C(, 4, )

36 XIV Poduto misto Chms poduto misto dos vtos númoldfinidopo nss odm,o,, Ou sj, é o poduto sl do vto om o vto É po st ão qu não é nssáio olo o pntêss m Não f sntido pns m poduto vtoil d l) (qu é um númo (qu é um vto) om Então, é oto sv ) ( do sv é ms ; ) ( ou Popidds: Sjm, vtos os Então, é vdd qu ) O poduto misto é ltndo, isto é, pmutndo dois vtos lt o su sinl: Consqüntmnt, s hmds pmutçõs ílis não ftm o poduto misto Est popidd pod s ilustd filmnt po mio do digm io: Dois podutos mistos luldos no msmo sntido são iguis ssim, no sntido indido pls flhs,, no sntido ontáio o ds flhs, Dois podutos mistos luldos m sntidos ontáios são númos opostos; ssim omo é luldo no sntido ds flhs, no sntido ontáio o ds flhs, vl lção ) Pmutndo os símolos não lt o sultdo, ou sj D fto, omo o poduto sl é omuttivo, ntão: ltndo é Epssão nlíti do poduto misto: S,, potndo à págin 6, tmos: Conlusão: (impotnt!)

37 Emplo: S î ĵ kˆ, ĵ kˆ î ĵ kˆ, ntão pliçõs do poduto misto ) Volum ltu d um pllpípdo Sj o pllpípdo BCDEFGH dtmindo pls sts B, D E, sptivmnt, plos vtos, dição d ltu h : H G E F D C h B O volum V do pllpípdo é igul V = (á d s) (ltu), m qu á d s BCD é á d um pllogmo, igul ltu h é o vlo soluto d pojção do vto n dição do vto : h = ( vlosoluto do podutosl d om ) (módulo do vto qu dá dição d pojção) = Sustituindo, V = Conlusão: V = (impotnt!) Emplo: Clul o volum do pllpípdo BCDEFGH dtmindo pls sts B, D E, m qu ( ; ; ), B( ; ; ), D( ; ; ) E(; ; 5)

38 ) Volum ltu d um pism d s tingul Como qulqu plno digonl d um pllpípdo, divido m dois pisms d ss tinguls d volums iguis F Então, V BCDEF = 4 D E su ltu h m lção à s qu ontém os vétis, B C é igul h = C B Emplo: Dtmin o volum do pism d s tingul BC, D sndo um véti d s opost Ddos : (,, ), B(,, ), C(,, ) D(,, ) ) Volum ltu d um ttdo Ttdo é um piâmid d quto fs tinguls Consid um pllpípdo dtmindo pls sts B, C D, omo n figu io Vj qu ltu h é msm do pllpípdo m lção à s qu ontém os pontos, B C O volum d um piâmid D qulqu é ddo po V = (á d s) (ltu) h = C B

39 5 Eíios p ompnsão Clul o volum do ttdo d vétis ( ; ; ), B( ; ; ), C( ; ; ) D( ; ; ) S ( ; ; ), B( ; ; ) C( ; ; ) são vétis d s d um pism tingul D( ; ; ) um véti d s opost, ntão lul ltu ltiv à s BC Solução: D h C B v(d) v(c), v(b) =, k j i Potnto, u igul é BC s lção à m h ltu Dond Dtmin um ponto D no io dos tl qu o ttdo BCD tnh volum igul 8 uv Ddos: ( ; ; ), B( ; ; ) C( ; ; )

40 4 Enont o volum do ttdo BCD d vétis (,, ), B(, 6, ), C(6,, ) D(,, ) 6 5 Dtmin ltu do pllpípdo dtmindo pls sts BC, BD B, m lção à s qu ontém os pontos B, C D Ddos: (,, ), B(,, ), C(,, ) D(,, ) 6 Consid o ttdo BCD d vétis (,, ), B(,, ), C(,, ) D(,, ) Dtmin ltu dss ttdo m lção à s BCD Rsposts: uv 5 u u

41 XV Estudo d RET do PLNO 7 ) Equção d t Chms vto dito d um t, qulqu vto v, não nulo, pllo ss t v Vtoilmnt, um t fi dtmind po um d sus pontos d um vto dito dss t v Ddos: (,, ) v î ĵ kˆ, sj X(,, ) um ponto gnéio (viávl) d t Tommos, po mplo, o vto v (X) : v X(,,) Como v(x) é pllo v, ntão, (,, ) Ess sistm d quçõs é hmdo sistm d quçõs d t n fom siméti, ou po uso d lingugm, quçõs d t n fom siméti Emplo: Esv s quçõs d t n fom siméti qu ontém (,, 5), é pll o vto v 5 7 Po outo ldo, fndo fom pméti t, tmos, dnominds quçõs d t n Emplo: Esv s quçõs pmétis d t qu ontém o ponto (,, 5) tm dição do vto v 5 î ĵ kˆ

42 8 CSOS PRTICULRES: ) S î ĵ, ntão t é pll o plno O v : O ) S ĵ kˆ, ntão t é pll o plno O v : O ) S î kˆ, ntão t é pllo plno O v : O

43 9 d) S v kˆ, ntão t é pll o io O : O ) S v ĵ, ntão t é pll o io O : O f) S v î, ntão t é pll o io O : O

44 ) Equção do plno 4 Chms vto noml um plno π, qulqu vto n, não nulo, otogonl ss plno π Clo qu, s n é noml, ntão n é otogonl um p d vtos d diçõsdifnts, pllosoplno n é pllo π Potnto, o poduto vtoil d om, é um vto pllo n Vtoilmnt, um plno fi dtmindo po um d sus pontos po um vto noml ss plno n π Ddos: (,, ) ptnnt o plno π um vto noml ss plno n î ĵ kˆ Sj um ponto X(,, ) gnéio (viávl) dss plno n Tommos, po mplo, o vto v (X) : X(,,) π (,,) Como o vto v(x) é otogonl n, ntão o poduto sl v(x) n Potnto, Conlusão: d =, é dnomind qução do plno π n fom gl

45 Ess fom d psnt o plno é muito útil, pois os ofiints d, psntm tmnt, os omponnts do 4 vto noml n Po mplo, qução + 5 = psnt qução do plno qu tm omo vto noml n î ĵ 5 kˆ O tmo indpndnt d qução, dpnd do ponto solhido POSIÇÃO RELTIV ENTRE RET/PLNO E PLNO/PLNO ) t otogonl um plno v n é otogonl π s, somnt s, é pllo n v π ) t pll um plno é pll π s, somnt s, v é otogonl n n v π ) plnos pllos n π é pllo π s, somnt s, n é pllo n π n π

46 4 d) plnos otogonis π é otogonl s, somnt s, n π π n n é otogonl n π CSOS PRTICULRES D EQUÇÃO DO PLNO ) S n ĵ kˆ (vto plloo plnoo), ntão o plno π d qução d é um plno pllo o io O n π ) S n î kˆ (vto plloo plno O),ntão o plno π d qução d é um plno pllo o io O n π ) S n î ĵ (vto plloo plno O ), ntãoo plno π d qução d é um plno pllo o io O π n

47 d) S n î (vto pllo o io O), ntão o plno π d qução d é um plno o plno O pllo 4 π n ) S n ĵ (vto pllo o io O), ntão o plno π d qução d é um plno pllo o plno O π n f) S n kˆ (vto pllo o io O), ntão o plno π d qução d é um plno pllo o plno O n π g) S o tmo indpndnt d =, ntão o plno π d qução + + = ontém oigm O(,, ) Emplo: O plno d qução + =, ontém oigm (,, )

48 Eíios p ompnsão 44 Dtmin qução do plno qu ontém o ponto (, 7, 5), tm omo vto noml n î 5 ĵ kˆ Dtmin s quçõs d t n fom siméti qu ontém os pontos (,, 7) B(,, 4) 5 Esv qução do plno qu ontém o ponto (,, 6), é otogonl à t d qução 7 4 Esv s quçõs d t n fom pméti qu ontém o ponto (,, 8), é pll à t s d qução Dtmin qução do plno qu ontém o ponto (,, ), é pllo o plno d qução = 6 Dtmin mdid do ângulo θ fomdo pls diçõs ds ts s d quçõs : s: 4, 5

49 7 Dtmin qução do plno qu ontém t d qução 5,, é pllo o plno d qução = 45 8 Dtmin qução d t t n fom siméti qu ontém o ponto (,, ), é otogonl às ts s d : quçõs s : 9 Dtmin qução do plno qu ontém os pontos (,, ), B(,, ) C(,, )

50 Dtmin o ponto d intsção d t : om o plno d qução + 5 = 46 Solução: O mlho minho é onsid s quçõs pmétis, ou sj, = t t t, t sustitui n qução do plno: ( + t) ( t) + ( + t) 5 =, o qu dá t = (ss é o ponto d intsção m oodnds pmétis) P ot o msmo ponto m oodnds tnguls, st sustitui ns quçõs pmétis im: 4 Conlusão: s oodnds do ponto d intsção são (,, ) Enont qução d t: intsção dos plnos d quçõs + = =, sptivmnt Solução: Os dois plnos ddos não são pllos, pois sus vtos nomis não são pllos 4 O poduto vtoil d sus nomis i j k = i j k dá dição d t intsção P ot um ponto d 4 4 t intsção, liminmos um ds viávis no sistm, po mplo viávl 4 Sutindo, mos os mmos: + = Fimos, po mplo, = Com isso, = 4 = 9 ssim, um ponto d t intsção é (9, 4, ) Conlusão: qução d t intsção é 9 4 n fom siméti s ts, s t são ononts no ponto h qução d t t, otogonl s d quçõs :, s: Solução: dição d t t é dd plo poduto vtoil ds diçõs d s: v t i j k v v i j k t s s

51 47 O ponto é intsção ds ts s Potnto, solvmos o sistm fomdo pls quçõs: s:, : Como =, ª qução s tnsfom m 4 4 dá qu o, Potnto, s oodnds são (, 4, 4) qução d t t qu ontém (, 4, 4) tm dição do vto v t, n fom siméti, é 4 4 Dtmin qução do plno qu ontém t d qução, o ponto ( 5,, ) 4 Dtmin qução do plno qu ontém o ponto (,, ), é pllo à t, 4, é noml o plno + = 5 Dtmin qução do plno qu ontém o ponto (,, ), é otogonl o plno α : =, é pllo à t d quçõs pmétis t t

52 6 Dtmin qução do plno qu ontém os pontos (,, ) B(,, ), é pllo à t d qução = = 48 7 Dtmin qução do plno qu ontém o ponto (,, ), é otogonl os plnos d quçõs 5 4 = =, sptivmnt 8 t qu ontém (,, ) é ppndiul o plno + =, intpt st plno no ponto X Dtmin s oodnds d X Rsposts = = = 6 + = = 8 X,,

53 49 Eíios d visão Dtmin o mno ângulo fomdo pl issti dos qudnts ímps o vto ĵ 4 î v Fç o gáfio Solução: = Um vto qu dá dição d issti dos qudnts ímps = é j i u ( snt ) 4 Potnto, mno mdid do ângulo nt issti o v vto v é tl qu v u v u os = 5 4 = 5 Conlusão: 9 8, 5 os (usndo luldo) Dd t d qução IR t, t t t, o ponto (, 5, 7), dtmin qução do plno qu ontém o ponto t Solução: Um ponto d t é dd, ou sj, P(,, ), su dição v P(,,) v = k j i Como P ptnm o plno, o vto (,5,7) 7 k j 6 i (P) v é pllo o plno Potnto, o poduto vtoil k 8 j 4 i 7 6 k j i v (P) v, dá dição noml n o plno ssim, qução do plno é d fom : d = Tomndo, po, o ponto (, 5, 7) ptnnt o plno: 4 + (5) d =, o qu impli d = 8 Conlusão: qução do plno é = ou = Ddos os vtos 4,, dtmin os podutos Solução: ) O poduto é o poduto misto dos vtos, Potnto, = 6 4 ) O poduto é o poduto sl do vto om o vto = Potnto, =

54 5 4 Clul o volum do ttdo OBC d figu o ldo, ) pl Gomti do nsino médio (,,) ) vtoilmnt Solução: ) Pl Gomti Bási: O volum d um piâmid d s OBC O C(,,) B(,,) é igul V = (á d s) (ltu), ou sj, V = (ádo tiânguloobc)(ltu O) uv ) Po vtos, tmos: v(ob) j, v(oc) i v(o) k, o poduto misto dos tês vtos 6 Dond, o volum do ttdo V = 6 uv Ddo o tiângulo BC d vétis (,, ), B(,, ) C(,, ), dtmin mdid do ângulo d véti C Solução: C(,, ) mdid do ângulo d véti C, é mdid do ângulo nt os B(,, ) os vtos v(c) i k v(cb) i j k (,, ) 4 Potnto, os C, o qu impli C os 96, (usndo luldo) 6 Dtmin s oodnds do ponto d intsção d t d qução =, = = om o plno d qução

55 7 Clul o ângulo (m gus) fomdo pls diçõs ds ts : s :, Ddos os vtos u 5, v w, lul o duplo poduto vtoil ( u v ) w 4 Solução: Como i u v 5 = j k i j 5 k, ntão, ( u v ) w i j k 5 4 i 5 j k 5 9 Clul sultnt dos vtos no plno,, tis qu,,, 8, Dê spost n fom tngul o 45 o 6 o O tiângulo BC d vétis (,, ), B(,, ) C(, 4, ) é um tiângulo otusângulo Clul o ângulo otuso dss tiângulo Solução: C(, 4, ) Os ompimntos dos ldos são: B v(b) i j k (,, ) B(,, ) C v(b) 4 i 4 j 4 BC v(bc) i j k

56 É um tiângulo isósls, já qu os ldos B BC têm mdids iguis Como o mio ldo é C (mio ldo s opõ o mio ângulo), ntão o mio ângulo é do véti B ( é o ângulo nt os vtos v(bc) i j k v(b) i j k ) 5 5 Conlusão: os B, B os 7, (usndo luldo) 5 Dtmin o vlo l d d modo qu os vtos î 4 ĵ 5kˆ î ( ) ĵ kˆ sjm ORT OGONIS Ddos os vtos u 5, v w, dtmin os ângulos α, β γ qu o vto 4 = u v w, fom om os ios,, sptivmnt Solução: Dtminmos os ossnos ditos do vto o vso d é 4 i j k Potnto, os os,6, Como 8, ntão 4 os 4 8 os os os 76,4 (usndo luldo) 8 8 Dtmin qução d t qu ontém o ponto (,, 4), é pll os plnos α β d quçõs + + = = 4, sptivmnt Solução: Os plnos ddos não são pllos, pois os sus vtos nomis 4 8 9,5 n i j k n i j não são pllos Potnto, s (,, 4) intptm sgundo um t P qu um t sj pll dois plnos R O poduto vtoil d n n, ou sj, snts, é piso qu t sj pll à intsção d i j k n n i j k dá dição d t, pll os plnos qução d t é 4

57 Complmnto: DISTÂNCIS 5 ) Distâni d ponto ponto Em um sistm tsino otogonl no IR, vimos qu s (,, ) B( B, B, B), ntão v(b) B Com isso, p dtmin distâni nt B, st dtmin o módulo do vto v (B) Potnto, distâni é dd po d (, B) = Emplo: Clul distâni nt os pontos (,, 5) B(,, ) ) Distâni d ponto t Considmos um t (dtmind po um ponto plo vto dito v ), um ponto P qulqu do IR não ptnnt Sj distâni d P à igul d (P, ) u v(p) Tmos: d u θ P H v Conlusão: d (P, ) = u v v Emplo: h distâni do ponto P(,, ) à t :

58 54 ) Distâni d ponto plno Sjm ddos um plno d qução ponto ( ponto P( P,, P,, P d, ) ) do plno não ptnnt o plno Sj d (P, π ), distâni do ponto P o plno π P n d H π Conlusão: d (P, π ) = P P P d Emplo: Qul é distâni do ponto P(,, ) o plno :? d) Distâni nt dus ts vss d) S dus ts s são plls, ntão d (, s) é o sgmnto d ppndiul omum B ; s du distâni d ponto à t d (, s) ou d (B, ) s B

59 55 d) S s ts s são ononts, ntão distâni d (, s) = B s : d) P dus ts s vss d quçõs s: pllos π π qu ontém, sptivmnt, s ts s, onsidmos dois plnos P P n π d π P Q s Tmos: dição d t é dição d t s é v v distâni nt s é s î î d (, s) ĵ ĵ kˆ PQ kˆ pss po P (, pss po P (,,, ) ) Como (PQ) é otogonlàs ts s, osplnos são pllos, ntãoo vto v(pq) é pllo o vto noml v os dois plnos n : v(pq) λ n λ (v vs ) mdid d pojção do vto v(p P ) n dição do vto v (PQ) é distâni nt s dus ts vss s Tmos: Conlusão: d (, s) = v(p P ) (v v ) v v s s

60 Emplo: Clul distâni nt s dus ts : s:, 56 ) Distâni d t plno Sjm ddos um t : m um plno : n p d d π S é pll o plno π, ntão distâni d (, π ) é distâni d um ponto qulqu d um plno π Isto não é o msmo qu distâni d um ponto qulqu d π à t!!! Todos os pontos d stão igul distâni d π, ms ospontosd π não stão todos à msm distâni d Conlusão: distâni d (, π ), s du distâni d (P, π ) Emplo: h distâni d t : o plno π : = π π um pontoqulqu f) Distâni nt dois plnos pllos S os plnos ntão d (, ) é distâni distâni d ponto plno d d um pontoqulqu : : d d π π o plno π o plno π d d, são pllos, ou S du, potnto, Emplo: Clul distâni nt os plnos pllos : 4 :

61 57 Eíios p ompnsão h distâni nt os pontos P(,, ) Q(,, ) Rsp: u Clul distâni do ponto P(,, ) à t : = = Solução: P(,,) u (,,) v i j k u v(p) d P, u sn Como u v u v sn ntão u v v d ou P, d P, u v v Como u v i j k, u v 6 v, ntão d P, 6 u Qul é distâni d P(,, 4) o plno π : =? Rsp: u 5 4 Dtmin distâni nt s ts :, s: Rsp: u

62 5 h distâni d t 5t t t, t IR o plno π: Rsp: 6 u 58 6 Clul distâni nt os plnos pllos : : 7 Solução: P(,,) n j k Tomndo um ponto d, po mplo: = = = ou sj (,, ) Sj (,, ), ntão 7 v(p) v(p) n d, d P, poj v(p) n n = ( ) 7 7 = u 7 Qul é distâni do ponto P(,, ) à t d qução : =, = 4 Rsp: u

63 59 R E F E R Ê N C I S NTR NETO, t l Gomti nlíti : noçõs d Mtmáti V6, São Pulo: Modn, 979 NTON, H Cálulo, um novo hoiont V V, 6d Poto lg: Bookmn, BOULOS, P ; CMRGO, I d Gomti nlíti: um ttmnto vtoil, d São Pulo: Pnti Hll, 5 IEZZI, G t l Mtmáti: iêni pliçõs V, São Pulo: tul, LORETO, C d C ; LORETO JUNIOR, P Vtos Gomti nlíti São Pulo: LCTE, 5 MUNEM, M Cálulo, V V Rio d Jnio: LTC, 98 SIMMONS, G F Cálulo om Gomti nlíti V V, São Pulo: MGwHill, 987 STEINBRUCH, ; WINTERLE, P Gomti nlíti, d São Pulo: Mkon Books, 987 STEWRT, J Cálulo V V, 4d São Pulo: Pioni Thompson Lning, SWOKOWSKI, E W Cálulo om Gomti nlíti V V, d São Pulo: Mkon Books, 994 WINTERLE, P Vtos Gomti nlíti São Pulo: Mkon Books, São Pulo, 6 d fvio d 7 Pof K Kut