Índice. 1. Um pouco de cálculo. 2. Movimento unidimensional. 3. Movimentos bi e tridimensional. 4. As leis de Newton

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1 i Índice. Um pouco de cálculo. Intodução aos vetoes.... Intodução às deivadas Integação Intepetação cinemática das deivadas e integais...9 Eecícios.... Movimento unidimensional. Intodução...5. Classificação dos movimentos unidimensionais Deteminação de (t) a pati de v(t) e de v(t) a pati de a(t) Aceleação constante...3 Eecícios Movimentos bi e tidimensional 3. Intodução Decomposição de movimentos O movimento aceleado Movimentos planos descitos po coodenadas polaes...43 Eecícios As leis de Newton 4. Intodução Refeenciais Aplicações das leis de Newton Movimento cicula Foça etadada popocional à velocidade Foças obsevadas na natueza Foças ineciais...75 Eecícios...79

2 ii 5. Tabalho e enegia 5. Tabalho e enegia cinética Potência Enegia potencial Foças consevativas Deteminação da foça a pati da enegia potencial Foças dissipativas Consevação de enegia Copo são sob a ação de um potencial abitáio... Eecícios Sistema de patículas. Consevação de momentum 6. Cento de massa Movimento do cento de massa Sistemas onde a massa vaia... Eecícios Colisões 7. Impulso Tanspote de momentum paa uma supefície. Pessão de um gás Colisão e consevação de momentum...3 Eecícios Dinâmica do copo ígido 8. Intodução Rotação em tono de um eio fio Enegia otacional e momento de inécia Dinâmica da otação em tono de um eio fio Equilíbio estático de um copo ígido Aceleação constante Momentum angula Toque e momentum angula de um sistema de patículas Relação tabalho-enegia otacional Consevação do momentum angula Combinação de tanslação e otação...6 Eecícios Oscilações 9. O movimento hamônico simples...75

3 9. O sistema massa-mola O sistema massa-mola com gavidade O pêndulo matemático O pêndulo físico Oscilação de dois copos O sistema mola-cilindo Oscilações amotecidas Oscilações foçadas...88 Eecícios...9 iii. Movimento ondulatóio. Intodução Popagação de pulsos numa coda Ondas sonoas Ondas hamônicas....5 Efeito Dopple....6 Ondas estacionáias Funções de onda no caso estacionáio Intefeência... Eecícios.... Gavitação. Intodução...5 Eecícios.... Mecânica dos fluidos. Intodução...5. Hidostática Pincípio de Aquimedes Dinâmica dos fluídos Teoema de Benouilli Viscosidade...38 Eecícios Temologia e temodinâmica 3. Intodução Medida da tempeatua Equação de estado...49

4 iv 3.4 Intepetação micoscópica da tempeatua Dilatação témica Calo e tabalho Tansmissão de calo...57 Eecícios Temodinâmica do gás ideal 4. Intodução Capacidade témica Tipos de epansões Método de Rüchhadt paa deteminação de γ...7 Eecícios...7

5 Um pouco de cálculo UM POUCO DE CÁLCULO. Intodução aos vetoes Eistem gandezas físicas que podem se especificadas fonecendo-se apenas um númeo. Assim, po eemplo, quando dizemos que a tempeatua de uma sala é de C temos a infomação completa, não sendo necessáio nenhum dado adicional. Gandezas deste tipo são conhecidas como escalaes. Po outo lado, se estivemos discutindo o deslocamento de um copo, é necessáio indica a distância pecoida ente dois pontos, a dieção e o sentido do deslocamento. A gandeza que desceve este movimento é denominada de veto e seá o objeto de estudo desta seção. Eistem ainda gandezas chamadas tensoes que necessitam de um númeo maio de infomações, em geal dadas na foma de matizes, que fogem à abangência deste teto. Geometicamente, os vetoes são epesentados po uma seta, cujo compimento é chamado de módulo (escolhendo-se uma deteminada escala). A dieção e o sentido da seta fonecem a dieção e sentido do veto. Usualmente, ele é epesentado po uma leta em negito (a, AB, etc.) ou com uma seta sobe a leta ( a, AB, etc.). Po outo lado, o módulo do veto é epesentado apenas po uma leta ou com o veto colocado ente baas (a, a, AB, etc.) Consideemos uma patícula deslocando-se de A paa B. Este deslocamento é epesentado po uma seta indo de A até B, como a mostada na Fig..(a). O caminho efetivamente seguido pela patícula pode não coincidi com o seu deslocamento (veto), confome ilusta a Fig..(b). Se consideamos pontos intemediáios (P), tais como o mostado na Fig..(c),

6 Um pouco de cálculo podeemos eventualmente mapea o tajeto, poém a soma esultante seá sempe o veto AB, caacteizado pelo seu módulo (compimento), dieção e sentido. As gandezas vetoiais combinam-se segundo deteminadas egas. Assim, no deslocamento da Fig.. definimos a opeação soma de vetoes, AP + PB AB, que veemos com mais detalhes a segui. B B B A A A P Fig.. - (a) Veto descevendo o deslocamento de uma patícula ente os pontos A e B, (b) tajetóia eal da patícula e (c) soma de deslocamentos. Consideemos os vetoes a e b mostados na Fig... O esultado da adição destes dois vetoes é a esultante, denotada po a + b. O pocedimento empegado paa efetua a adição geomética de vetoes pode se intuído a pati da Fig.. e é o seguinte: taça-se (em escala) o veto a e em seguida o veto b com a oigem na etemidade de a. Une-se a etemidade final de b com a oigem de a e assim temos o veto soma, como ilustado na Fig... (a) (b) (c) a Fig.. - Adição geomética dos vetoes a e b. Usando este pocedimento geomético paa a adição de vetoes, vemos que esta satisfaz as popiedades comutativa: a + b b + a e associativa: (a + b) + c a + (b + c), como indicado na Fig..3. b

7 Um pouco de cálculo 3 A subtação de vetoes é facilmente intoduzida definindo-se o negativo de um veto como sendo o veto com sentido oposto ao oiginal. Assim, a b a + ( b), como ilustado na Fig..4. Note que tanto a adição como a subtação podem se epesentadas simultaneamente pela constução do paalelogamo epesentado na Fig..5. a a b (a) b a (b) Fig..3 - Popiedades (a) comutativa e (b) associativa. b b Fig..4 - Subtação geomética dos vetoes a e b. a b Fig..5 - Rega do paalelogamo paa a adição e subtação geomética dos vetoes a e b. A adição geomética de vetoes tidimensionais é muito mais difícil e paa evitá-la costuma-se utiliza o método analítico, que consiste na decomposição espacial dos vetoes e na manipulação individual de seus componentes. A decomposição de um veto só pode se efetuada com elação a um sistema de a a b a + b b a + b b a b b + c a + b + c a b a c

8 4 Um pouco de cálculo coodenadas de oientação conhecida no espaço. Considee a decomposição de um veto no plano, confome mosta a Fig..6, onde θ é o ângulo ente a e o semi-eio positivo. Dependendo do ângulo θ, as componentes podem se positivas ou negativas. Po definição, este ângulo aumenta quando o veto oda no sentido anti-hoáio. O conhecimento dos componentes de um veto é suficiente paa especificá-lo completamente, além de possibilita a manipulação matemática simultânea de váios vetoes. De acodo com a Fig..6 temos a a cosθ e a y a senθ, de onde sai que: a a a + a y tg θ a y /a y a y a θ a Fig..6 - Decomposição do veto a num sistema de coodenadas catesianas. Muitas vezes é conveniente a intodução de um veto de módulo unitáio, chamado veso, na dieção de um deteminado veto, que pode então se escito como a aêa. Assim sepaamos o módulo do veto (a) de sua dieção e sentido ( ê a ). Da mesma foma, é conveniente taça vesoes paalelos aos eios do sistema de coodenadas escolhido, como mosta a Fig..7. Nomalmente, no sistema de coodenadas catesianas eles são chamados de î, ĵ e kˆ. Costumamos dize que estes vesoes fomam uma base completa poque qualque veto pode se epesso como combinação linea deles, da foma:

9 Um pouco de cálculo 5 a a î + a y ĵ + a z kˆ y kˆ ĵ î z Fig..7 - Vesoes no sistema de coodenadas catesianas. onde a î, a y ĵ e a zkˆ são denominadas de componentes vetoiais do veto a. Note que se estivemos tatando com vetoes contidos no plano y, temos a z. A soma analítica de vetoes pode se efetuada da foma: a + b a î + a ĵ + a kˆ + b î + b ĵ ( ) ( b kˆ ) y z y + ( a + b ) î + ( a + b ) ĵ + ( a + b ) kˆ î + ĵ kˆ y y z z y + Assim, a + b, y a y + b y, z a z + b z. Logo: O veto esultante tem como componentes a soma das espectivas componentes dos vetoes individuais. Como eemplo, considee 3 vetoes coplanaes dados po: a î ĵ, b 3î + ĵ e c.5î. As componentes do veto esultante são: e y - + +, de modo que 3.5î + ĵ. O ângulo θ pode se encontado de acodo com: tg θ y / / θ 5.9 e o módulo é: ( 3.5) Uma opeação que veemos apaece com feqüência nos póimos capítulos é a multiplicação envolvendo vetoes, que pode se de tês tipos: z z

10 6 Um pouco de cálculo a) Multiplicação de um veto po um escala - esulta num outo veto paalelo ao pimeio, poém com o módulo multiplicado po uma constante. Se esta constante fo negativa eiste a invesão do sentido do veto. b) Poduto escala - o poduto escala ente a e b esulta num númeo (e não num veto) que é definido como a.b ab cosφ, onde ϕ é o ângulo ente eles. Geometicamente, temos o poduto do módulo de um veto pela pojeção do outo sobe si. Este tipo de poduto apaece no cálculo do tabalho mecânico, potência de uma foça, etc. a φ b Fig..8 - Poduto escala ente dois vetoes a e b. c) Poduto vetoial É epesentado po c a b. O veto esultante tem o módulo dado po c ab senϕ, e dieção pependicula ao plano que contém a e b. Novamente, ϕ é o ângulo ente a e b. O sentido de c pode se deteminado pela ega da mão dieita, ilustada na Fig..9. Usa-se a seguinte eceita: Empue com as pontas dos dedos o veto a no sentido de supepôlo ao veto b. O polega indicaá o sentido do veto c. a c b Fig..9 - Rega da mão dieita paa a ealização do poduto vetoial.

11 Um pouco de cálculo 7 Ao contáio do poduto escala, o poduto vetoial não é comutativo, isto é, ele muda de sinal ao mudamos a odem dos vetoes, isto é, a b b a. Este fato pode se compovado pela ega da mão dieita. Algumas popiedades inteessantes dos podutos escala e vetoial são:. distibutiva (escala): a.( b + c) a.b + a. c. distibutiva (vetoial): a ( b + c) a b + a c 3. poduto misto: a. ( b c) b. ( c a ) c.( a b) 4. duplo poduto vetoial: a ( b c) ( a. c ) b ( a.b) c Paa o cálculo do poduto vetoial, notamos que: î î ĵ ĵ kˆ kˆ, pois o ângulo ente dois vetoes iguais é nulo e î ĵ kˆ, ĵ kˆ î e kˆ î ĵ, como pode se visto pela ega da mão dieita. Vejamos a segui alguns eemplos de multiplicação vetoial. (i) a 4î e b ĵ a b 8kˆ (ii) a î + 3ĵ e b î - ĵ a b ( ) î + 3ĵ î ĵ 3 î î - î ĵ + ĵ î - 3ĵ ĵ - kˆ. Uma outa maneia de se faze o poduto vetoial é pelo uso de matizes. Considee a î + 3ĵ kˆ e b î ĵ+ kˆ. Podemos calcula o veto esultante pela co-fatoa da matiz: 7 a b î ĵ 3 - kˆ - ( 6 ) î ( 4 + ) ĵ + ( 3) kˆ 5(î ĵ kˆ ) Este mesmo esultado pode se encontado utilizando-se a popiedade distibutiva (vetoial). A vaiação dos vetoes é um fato etemamente impotante. Vamos analisa, po eemplo, o movimento cicula unifome, esquematizado na Fig...

12 8 Um pouco de cálculo y ωt ω t s s Fig.. - Repesentação do movimento cicula. Duante um intevalo de tempo t etemamente cuto (infinitesimal), a distância pecoida é s ω t. O veto velocidade é dado po: v s/ t e paa calculá-lo tomamos, de acodo com a Fig..: cos ωt + ω t î + sen ωt + ω t ( ) ( ) ĵ s cosωt î sen ωt ĵ [ cos ωt cos ω t sen ωt sen ω t] î + [ sen ωt cosω t + cos ωt sen ω t] ĵ cosωt î sen ωt ĵ Paa t muito pequeno ( t ) temos cosω t e sen ω t ω t, e assim, s ω t sen ωt î + ω t cos ωt ĵ v ωsen ωt î + ωcosωt ĵ Desta foma, a vaiação tempoal do veto posição nos leva a um veto velocidade v que é tangencial à óbita do movimento cicula. Note que se definimos um veto ω ωkˆ, podemos esceve v î cosωt ĵ senωt kˆ ω ω sen ωt î + ω cosωt ĵ

13 Um pouco de cálculo 9 Como vemos, o conhecimento de como as gandezas físicas vaiam é tão impotante quanto o conhecimento da pópia gandeza. Como o veto é caacteizado pelo módulo, dieção e sentido, ele apesentaá vaiação sempe que um destes elementos muda. Podemos te: a) Vaiação do módulo, como indicado na Fig..: v v v v - v v Fig.. Vaiação do módulo de um veto. b) Vaiação da dieção, como no movimento cicula visto anteiomente: a Fig.. - Vaiação da dieção de um veto. a a a a a Este tipo de cálculo que fizemos, consideando a vaiação do veto em intevalos pequenos, é etemamente útil em Física e nos leva ao chamado cálculo infinitesimal (válido quando t ). Abodaemos este tópico a segui.. Intodução às deivadas Em Física, a manipulação matemática das váias gandezas é tão impotante quanto o conhecimento da pópia gandeza. Nem sempe as opeações elementaes de álgeba são suficientes paa tais manipulações, sendo necessáia a intodução de novas opeações e conceitos matemáticos. Dente estes, são de etema impotância os de deivada e integal. a a Como ilustação, consideemos um copo que se desloca a uma distância d num intevalo de tempo t. Com estes dados, o máimo que

14 Um pouco de cálculo podemos faze é calcula a velocidade média do copo no intevalo mencionado. Se quisemos conhece a velocidade instantânea do copo num deteminado ponto de sua tajetóia, deveemos analisa seu compotamento nas vizinhanças deste ponto e tão mais eata seá a esposta quanto mais limitada fo a vizinhança. É comum nesta situação que descevemos encontamos divisões de númeos quase nulos e, neste caso, tais divisões devem se feitas de uma maneia especial. Vamos inicia a abodagem deste assunto pelo conceito intuitivo de limite. Consideemos a função f ( ) 4 +. Queemos estuda seu compotamento quando a vaiável assume valoes cada vez mais póimos de. Paa isto, vamos constui a seguinte tabela: f() f() Ela mosta claamente que quando tende a, f() tende a 5 e estaá mais póimo de 5 quanto meno fo a difeença ente e. Este fato é epesso matematicamente da seguinte foma: lim f ( ) 5 que que dize que o limite da função f() quando tende a é 5. Outos eemplos que podemos cita são: lim

15 Um pouco de cálculo lim ( + /) lim Paa funções polinomiais, isto é, funções que tenham dependência do tipo n, vale a seguinte popiedade: lim f ( ) f ( c) c Eistem outos limites que são um pouco mais difíceis de seem demonstados e que são melho discutidos nos livos de Cálculo. Po eemplo temos: lim sen lim ( + /) e Vamos a segui usa o conceito de limite paa intoduzi a opeação de difeenciação (deivadas). Seja a função f() definida num intevalo do eio, no qual o ponto está contido, como mosta a Fig..3. Chamaemos de azão incemental da função f() elativa ao ponto, a quantidade: f() f ( ) f ( ) f()-f( ) Fig..3 - Definição da azão incemental.

16 Um pouco de cálculo A azão incemental da função f() epesenta o quanto a função é incementada quando é vaiado de a. Esta azão pode se positiva, negativa ou nula dependendo se a função é cescente, decescente ou constante no intevalo consideado. A deivada de uma função é definida como: f '( ) lim É também comum escevemos, temos: f '( ) lim o f f ( ) f ( ) f '( ) df / d. Fazendo + ( + ) f ( ) A deivada da função num ponto epesenta a taa de vaiação da função ao nos afastamos deste ponto. Vamos, a segui, obte a deivada de algumas funções. ) f() + 3 ( ) ( ) + f () ( + ) f Logo: '( ) lim ( ) 3 ) f ( ) f + f ( + ) f ( ) ( + ) ( + + ) + ( + + ) ( + + ) + + E assim, f '() lim o + +

17 Um pouco de cálculo 3 3) f () cos f ( + ) f ( ) cos( + ) cos sen + sen ( ) ( ) onde utilizamos cos(a+b) - cos(a-b) - sena senb, com a + / e b /. Desta foma temos: f ' () lim sen + sen ( ) ( ) sen Geometicamente, podemos veifica que a deivada da função f() num deteminado ponto epesenta a tangente do ângulo fomado pela eta tangente à cuva em com o eio das abcissas (). Este fato está ilustado na Fig..4. É fácil veifica quando fazemos tende a, a eta que passa po estes dois pontos confunde-se cada vez mais com a tangente à cuva no ponto. Logo: f ' ( ) lim f() f ( ) f ( ) tg α f() tangente f( ) α Fig..4 Intepetação geomética da deivada. Uma vez visto o significado matemático da deivada, passemos a apesentação de cetas egas que facilitam bastante os cálculos: df ) função constante: f ( ) c d

18 4 Um pouco de cálculo f () f ' (ega do tombo) ) função potência: n ( ) n n 3) função soma: f() u() + v() f () u () + v () E.: f() f () ) função poduto: f() u(). v() f () u () v() + u(). v () E.: f() 3 (4+) f () 6 (4+) + 3 (4) 5) função quociente: ( ) u() / v() u' f '() f ( ) v( ) u( ) v' ( ) v( ) 6) funções tigonométicas: f sen f ' cos ( ) ( ) f() cos f () - sen f() tg f () sec 7) função eponencial: f() a f () a lna Todas estas popiedades que acabamos de menciona podem se demonstadas a pati da definição da deivada em temos da azão incemental. Demonstaemos aqui apenas uma delas, a da função poduto f() u() v(), e deiaemos as outas paa o cuso de Cálculo. Neste caso temos: u f ( + ) f () u( + ) v( + ) u( ) v( ) ( + ) v( + ) u( ) v( ) u( + ) v( ) + u( + ) v( ) u ( + ) [v( + ) v( ) ] + v( ) [ u( + ) u( ) ] Tomando o limite paa tendendo a zeo:

19 Um pouco de cálculo 5 f '() lim + lim o u v ( ) [ v( + ) v( ) ] + ( ) [ u( + ) u( ) ] de onde obtemos: f '( ) u( ) v' ( ) + v( ) u' ( ) Rega da cadeia: Muitas vezes, duante o uso de deivadas em Física, encontamos a situação em que F () g(y), com y f(), o que coesponde à chamada função composta, isto é, função de uma outa função. Po eemplo, F() sen ( ), de onde temos g(y) siny e y. Neste caso, devemos usa a ega da cadeia, dada po: df d dg dy dy d No pesente eemplo F() sen, com g(y) siny e y. dg /dy cos y e dy/d F'() cos( ) Logo, Tomemos um outo eemplo onde F () ( ) 4. Chamando y , temos g(y) y 4 de foma que a deivada é: F () 4y 3 (4 + 9 ) 4( ) 3 (4 + 9 ).3 Integação Como acabamos de ve, conhecendo-se a função f() é possível calcula sua taa de vaiação f () (deivada). Uma pegunta lógica a se feita neste ponto é: conhecendo-se f () é possível enconta-se f(), ou em outas palavas, eiste a opeação invesa, ou anti-deivada? A esposta é sim e a opeação invesa denominada integação seá discutida a segui de uma foma bastante intuitiva, deiando-se o igo matemático paa o cuso de Cálculo. Vamos considea a função f() mostada na Fig..5 e supo conhecidas as deivadas em todos os pontos (,,,...). Pela definição de taa de vaiação (ou azão incemental) temos:

20 6 Um pouco de cálculo f() taa 3 taa taa Fig..5 Função f() usada paa a demonstação 3 da opeação invesa da deivada. f () f ( ) taa tal que f( ) f( ) + taa.( ). Assim, conhecendo-se a taa de vaiação e a função no ponto, temos condições de detemina a função no ponto. Da mesma foma, conhecendo-se a função no ponto e a taa, que é a taa ente e, podemos detemina a função em. Se dividimos o eio em váios intevalos sucessivos nos quais conhecemos a taa de vaiação da função f(), podemos mosta que: f( n ) f( ) + taa.( ) + taa.( ) +... taa n.( n n- ) de foma que podemos enconta a função f() e sabemos as váias taas de vaiação ao longo do eio. Vamos, a segui, toma todos os intevalos com o mesmo tamanho, ou seja:... n n- de modo que: f( n ) f( ) + (taa + taa taa n). Tomando o limite em que tende a zeo, as váias taas de vaiação tansfomam-se nas deivadas, de modo que:

21 Um pouco de cálculo 7 f df d ( ) f ( ) + ( ) n todos s's Como fizemos, temos agoa um númeo infinito de intevalos e, consequentemente, infinitos temos na somatóia. Além disto, estamos somando númeos df/d que vaiam continuamente. Neste caso, ao invés de usamos a soma de númeos discetos, intoduzimos a opeação, denominada integação, que epesenta uma soma contínua. A pati desta definição, podemos esceve: f ( n ) f ( ) + n ( df ) onde usamos d como notação no caso em que. Como vemos, esta opeação pemite enconta-se f() a pati de f () e po isso dizemos que a integação é a opeação invesa da difeenciação. Se quisemos, po eemplo, calcula a integal: I d ( ) d m+ ( ) d m+ m + m d d + m + d onde a constante C está epesentando f( ), que deve se conhecido. A ega acima é bastante impotante na integação de polinômios. Alguns eemplos simples são: 3 d + C 3 3 ( + + ) d C 3 5 ( ) d C 8 A integal de uma deteminada função também possui uma intepetação geomética como no caso da deivada. Paa vemos tal C

22 8 Um pouco de cálculo intepetação, vamos considea n g () d. Paa cada ponto, multiplicamos o valo da função g() po uma lagua d mostada na Fig..6 (infinitesimalmente pequena) e somamos todos os podutos. Em cada ponto temos a áea de um etângulo infinitesimal de base d e altua g(). Baseados neste fato, podemos intepeta geometicamente a integal de uma função g() n como sendo a áea sob a cuva, isto é, g ( ) d áea sob a função g() ente os pontos e n. g() g() d n Fig..6 - Intepetação geomética da integal. Podemos veifica este fato calculando a integal de g() 4 ente e, e compaando o valo obtido com a áea da função neste intevalo. Temos: 4 d 4 d 4. ( ) Nesta última passagem intoduzimos os limites de integação, substituindo a constante de integação C. a b g ()d F( ) b a F(b) F(a) Calculando a áea do tiângulo sombeado da Fig..7 obtemos: áea ½.4., que coincide com o esultado obtido po integação.

23 Um pouco de cálculo 9 4 g() 3 Fig..7 Áea da função g() 4 ente e. Algumas popiedades impotantes das integais são: () c g() d c g() d onde c é uma constante () [g () + g ()] g () d + g () d (3) sen d d d (-cos ) d - cos + C (4) cos d d d (sen) d sen + C Intepetação cinemática das deivadas e integais Na cinemática encontamos váias aplicações do cálculo de deivadas e integais. Analisando o movimento de um copo, estas idéias fluem espontaneamente dos agumentos físicos. Vamos considea um copo deslocando-se numa tajetóia S, confome mosta a figua abaio. Chamamos de i e f os pontos inicial e final do movimento. O conhecimento específico da tajetóia não é suficiente paa pedizemos a velocidade do copo paa cada posição. É necessáio o conhecimento das posições sucessivas S(t) com o decoe do tempo. Suponha que a tajetóia do copo seja dividida em pedaços s, como mosta a Fig..8. Um s paticula liga o ponto S j ao ponto S j+ e o intevalo de tempo decoido paa que o copo eecute este deslocamento é t. A velocidade média neste intevalo de tempo é v s / t. Esta velocidade seá tão mais póima da velocidade eal

24 Um pouco de cálculo (instantânea) do copo na posição S j quanto mais póimos foem os pontos j e j +. Isto ocoe poque neste caso s confunde-se cada vez mais com a tajetóia eal do copo. No limite em que t (e consequentemente, s ) tende a zeo, temos a definição da velocidade instantânea: s ds v lim i t t dt que é deivada da posição em elação ao tempo. Suponha agoa que queemos enconta a distância total pecoida pelo copo. Isto pode se feito dividindose a tajetóia em pequenos segmentos S j e ealizando a soma S j. y s s j+ f i s j S j S j S j+ Fig..8 - Copo deslocando-se numa tajetóia S. É óbvio que quanto menoes foem os segmentos S j, mais a soma acima se apoimaá da distância eal pecoida pelo copo, poque, novamente, quanto menoes foem os S j, melho eles se encaiam na tajetóia. No limite em que S j eles se confundem completamente com a tajetóia e assim: distância pecoida lim Sj S j É usual no caso em que S j definimos S ds e substituimos a somatóia pela integal: distância pecoida j ds S S i

25 Um pouco de cálculo Eecícios Uma sala tem dimensões m 3. Uma mosca pate de um de seus cantos e voa paa o canto diametalmente oposto. Qual é o módulo do deslocamento? Podeia sua tajetóia se meno do que este deslocamento? Escolha um sistema de coodenadas convenientes e esceva este deslocamento na foma vetoial. Considee os vetoes a a î + a y ĵ+ a zkˆ e b bî + b y ĵ+ bzkˆ. Moste que a.b a b + a b + a b e que a b ( a b a b ) î ( a b a b ) ĵ + ( a b a b ) kˆ +. z z y y y y 3 Podemos combina dois vetoes de módulos difeentes e te esultante nula? E no caso de 3 vetoes? 4 Considee um copo em movimento cujo veto posição é dado (em cm) po 3cosωt î + 4sen ωt ĵ. Usando pocedimento semelhante ao utilizado no teto paa o movimento cicula, a) moste num gáfico em escala o veto num deteminado instante t; b) após um intevalo de tempo t pequeno, moste no mesmo gáfico o novo veto ; c) calcule o deslocamento s (t + t) (t) sofido pelo copo no intevalo t; d) calcule v s/ t e veifique sua oientação paa ωt, π/, π e 3π/; e) calcule. v e discuta o esultado; f) calcule v e discuta o esultado. 5 Considee os vetoes a î + 3ĵ + 4kˆ e b î ĵ + 3kˆ. a) detemine: a.b, a + b, a b e a b. b) qual é a componente de a paalela a b? c) qual é a componente de a pependicula a b? 6 Considee o veto a do poblema anteio. z a) faça um gáfico em escala mostando o veto e os ângulos θ e φ, definidos na Fig..9. b) calcule o módulo do veto e os valoes de θ e φ. c) calcule a componente de a paalela ao veso ê ( î + ĵ + )/ 3 d) calcule a componente pependicula a este veto. z y kˆ. z z y

26 Um pouco de cálculo Fig..8 7 Faça a adição e subtação geomética dos seguintes vetoes: 3 î ĵ e b 3î + ĵ. a 8 Faça os podutos escala e vetoial dos vetoes: a î + ĵ + 3kˆ e b î 4ĵ + kˆ. 9 Enconte a pojeção do veto a î + ĵ + 3kˆ na dieção paalela ao veso ê ( î ĵ + kˆ )/ 3. Faça o mesmo paa a pojeção pependicula. Moste que o poduto vetoial v é um veto constante quando o movimento é cicula. Moste que v. paa o movimento cicula. O que isto significa? Calcule a deivada das seguintes funções: a) f() 3 + b) f() sen/ c) f() e (+ + 3 ) d) f() ( + )/( 3 + 3) 3 Calcule a deivada das funções acima nos pontos: a) b) π c) d) z θ z φ a P y y

27 Um pouco de cálculo 3 4 Pocue num handbook de matemática: a) a deivada de f() ln b) a integal de f() / 5 Detemina a deivada das seguintes funções: a) y 4 5 b) y c) y sen + cos d) y + e) y sen f) y / g) y /( + ) h) y e i) y cotg j) y k) y / 6 Calcule as deivadas das funções: a) f() tg b) f() e a (no ponto ) c) f() sen (no ponto π) d) f() n + cos e) f() sen (cos) f) f() e sen (no ponto ) 7 Calcule d. Sugestão: Faça tgθ + + tg θ + sec θ. Po outo lado, d/dθ sec θ d sec θ dθ. Como tgθ, os limites de integação ficam: quando θ e quando θ π 4. 8 Calcule as seguintes integais indefinidas: a) I 3 d 3 b) I ( 7 4 ) + d

28 4 Um pouco de cálculo + c) I ( 5 8 ) d 9 Calcule as integais definidas: a) I π ( 3 sen + cos ) d b) I (5 + ) d c) I e d d) I π 4 sen cos d - Considee a paábola y +-3. a) Usando o conceito de deivada, enconte a posição que coesponde ao etemo (máimo ou mínimo); b) Substituta o valo de na equação da paábola paa enconta o valo de y ; c) Complete quadados paa enconta os pontos do vétice, e y ; d) Enconte os pontos paa os quais a paábola cuza o eio ; e) Faça um esboço (gáfico com poucos detalhes) da paábola; f) Usando integação, enconte a áea sob a paábola compeendida ente os pontos e.

29 Movimento unidimensional 5 MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL. Intodução Dente os váios movimentos que iemos estuda, o movimento unidimensional é o mais simples, já que todas as gandezas vetoiais que descevem o movimento são paalelas. Como o movimento ocoe em apenas uma dimensão, é necessáia apenas uma coodenada paa especifica a posição de um copo em cada instante de tempo. Consideemos um copo que no instante t enconta-se na posição. Após um intevalo de tempo t t t, o copo estaá na posição no instante de tempo t. Definimos o deslocamento como sendo e a velocidade média do copo neste intevalo de tempo como: v t t t O sentido do deslocamento do copo é dado pelo sinal do pópio deslocamento ou da velocidade média (são popocionais). Geometicamente, a velocidade média ente os pontos e coesponde à inclinação da eta que passa po estes pontos, confome mosta a Fig... α tgα v / t t t t t Fig.. - Posição de um copo com função do tempo.

30 6 Movimento unidimensional Quanto meno fo o intevalo de tempo consideado, isto é, quanto mais póimos estiveem os pontos e, mais fielmente v epesentaá a velocidade eal do copo naquele intevalo de tempo. Logo, a velocidade instantânea (eal) é definida como: ( t) v lim t t que nada mais é do que a deivada da posição com elação ao tempo. Geometicamente, se tivemos um gáfico de posição conta tempo, a velocidade instantânea coesponde à inclinação da eta tangente à cuva num d dt deteminado instante de tempo, como ilusta a Fig... α α tgα v(t ) tgα v(t ) t t Fig.. - Intepetação geomética da velocidade instantânea. Quando a velocidade instantânea é constante num deteminado intevalo de tempo, dizemos que o movimento é unifome e que v (t) v. Po outo lado, quando a velocidade não é constante no tempo, o movimento é chamado de aceleado. Neste caso, a vaiação da velocidade com o tempo é caacteizada po uma gandeza denominada aceleação. Se a velocidade do copo no instante t é v e no instante t é v, a aceleação média é definida como: v a t v t v t e no gáfico de velocidade conta tempo ela coesponde à inclinação da eta que passa pelos pontos v e v. Quando consideamos o limite em que t tende t S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica Mecânica, calo e ondas

31 Movimento unidimensional 7 a zeo, suge a idéia de aceleação instantânea, gandeza esta que caacteiza localmente a vaiação da velocidade do copo. Logo: ( t) a lim v t t dv dt Geometicamente, a aceleação é a inclinação da eta tangente à cuva no gáfico de velocidade, como mosta a Fig..3. v(t) tgα a(t) α t t Fig..3 Intepetação geomética da aceleação instantânea. O movimento do copo pode se classificado de acodo com a maneia em que a aceleação se compota no tempo. Quando a aceleação é constante, o movimento é chamado de unifomemente aceleado e se constitui numa classe impotante de situações que analisaemos. Antes de posseguimos, vamos mosta alguns eemplos dos conceitos que acabamos de ve. Eemplo : Seja um copo deslocando-se de tal foma que sua posição é dada po (t) 4t, com t dado em s e em cm. Na Fig..4(a) vemos o gáfico desta função. A velocidade do copo em cada instante de tempo pode se encontada tomando-se a deivada de (t) e assim, (t) (cm) v(t) (cm/s) t (s) 3 4 t (s) Fig..4 - Posição (a) e velocidade (b) de um copo como função do tempo

32 8 Movimento unidimensional d v ( t) 8t (em cm/s) dt que é a equação da linha eta mostada na Fig..4(b). Se quisemos calcula a aceleação como função do tempo, devemos toma a deivada de v(t) que é obviamente uma constante. dv a dt ( t) 8 cm/s A velocidade média do copo ente os instantes t s e t 3s pode se calculada atavés da epessão: ( 3) ( ) 36 4 v 6 cm/s t 3 Este mesmo esultado podeia se obtido da seguinte foma: ( 3) + v( ) v v 6 cm/s ou seja: A velocidade média é a média das velocidades nos instantes consideados. Este é um esultado que só vale paa um movimento cuja aceleação é constante. Eemplo : O movimento de um copo é descito po (t) 3t + 4t +, sendo esta função mostada na Fig..5. A posição inicial do copo é cm e pelo gáfico vemos que nos instantes iniciais do movimento, o deslocamento se dá no sentido positivo do eio, até atingi um ponto máimo a pati do qual o movimento se invete, ocoendo a pati daí no sentido negativo do eio. Queemos esponde à seguinte pegunta: quanto tempo o copo leva paa volta à posição inicial? Paa isto fazemos (t), isto é, -3t + 4t + -3t + 4t t (-3t + 4) de onde tiamos que o copo está na posição nos instantes t (posição inicial) é t 4/3 s, que coesponde ao tempo necessáio paa a patícula volta à posição inicial. S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica Mecânica, calo e ondas

33 Movimento unidimensional 9 (cm) t (s) - - Fig..5 - Posição de um copo como função do tempo. A velocidade é dada po v(t) d/dt -6t + 4 (cm/s), que está mostada na Fig..6. Notamos que: v > paa t < /3 s, v paa t /3 s e v < paa t > /3 s. O gáfico da velocidade do copo coesponde à uma eta com coeficiente angula negativo. O tempo t /3 s define o ponto de etono. A aceleação é dada po: a dv dt 6 cm / e é no sentido oposto ao da velocidade na fase inicial (t < /3 s). v (cm/s) 4 s /3 /3 t (s) - -4 Fig..6 - Velocidade de um copo como função do tempo.

34 3 Movimento unidimensional. Classificação dos movimentos unidimensionais O movimento unidimensional é classificado de acodo com as vaiações da posição, velocidade e aceleação com o decoe do tempo. Assim, temos os seguintes tipos de movimentos: Pogessivo: Retógado: Aceleado: Retadado: (t) aumenta com o tempo; (t) diminui com o tempo; v(t) e a (t) tem o mesmo sentido; v(t) e a(t) tem sentidos opostos. No eemplo anteio (Eemplo ), a classificação do movimento é: t < /3s movimento pogessivo e etadado e t > /3 movimento etógado e aceleado..3 Deteminação de (t) a pati de v(t) e de v(t) a pati de a(t) Como vimos anteiomente, o conhecimento de (t) pemite o cálculo de v(t) atavés de uma deivação e também a(t) atavés de outa deivação. O poblema inveso consiste na deteminação de (t) a pati de v(t) ou a(t). Paa isto, temos que ealiza uma integação, pois estamos pocuando a função cuja deivada é conhecida. Assim, t ( t) + ( ) dt + v( t) d dt t t Conhecendo-se a velocidade do copo, deteminamos sua posição como função do tempo atavés de uma integação simples. Lembe-se que o que estamos fazendo nada mais é do que dividi o intevalo de tempo total em pequenos intevalos dt nos quais a velocidade é consideada constante. O poduto vdt fonece a pequena distância pecoida (ou deslocamento sofido) em dt e a soma deles, que é a opeação de integação, fonece o deslocamento total do copo. Num gáfico de v(t) conta t, o deslocamento do copo é a áea sob a cuva, como mostado na Fig..7. Note que áea negativa indica deslocamento no sentido negativo do eio. t dt S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica Mecânica, calo e ondas

35 Movimento unidimensional 3 v(t) áea (t) t t t Fig..7 - Cálculo da posição a pati da velocidade de um copo. Eemplo : A velocidade de um copo é dada po: v(t) 3t + 4 e sabemos que paa t ele localiza-se em. Vamos calcula (t). Assim, t 3 ( t) + ( 3t + 4) dt t + 4t + Eemplo : Dado a(t) 3t, calcula v(t) e (t) v( t) v + t 3t dt v + 3 t Vemos que paa conhece v(t) pecisamos sabe a velocidade inicial. Paa acha (t) fazemos: t t + t ( ) ( ) ( ) 3 t + v t dt + v + t dt + vt Deste eemplo podemos conclui que paa a deteminação de v(t) a pati de a(t) é necessáio o conhecimento do valo inicial v da velocidade. A deteminação pecisa de (t) a pati de v(t) implica no conhecimento da posição inicial. e v são denominados de condições iniciais do movimento. 3

36 3 Movimento unidimensional.4 Aceleação constante Este caso envolve um númeo gande de poblemas e, assim, devemos tata-lo em paticula. Sendo a aceleação constante, podemos calcula a velocidade como: t t + v( t) v + a dt v + a dt v at e o deslocamento atavés de outa integação: e substituílo na segunda: t t ( t) + v( t) dt + ( v + at) dt + vt + at Podemos elimina t da pimeia equação: ( v v )/ a a ( t) + ( v v ) v a + a t ( v v ) ( ) v v v + ( v + v vv ) Logo: v v + a( ) a v, que é conhecida como equação de Toicelli, válida apenas quando a aceleação é constante. Um caso especial do movimento unifomemente aceleado ocoe paa a 9.8 m/s g, que coesponde ao movimento vetical de copos sujeitos ao campo gavitacional da Tea, póimos à supefície. Neste caso, é comum tata o deslocamento como altua (h) e adota o sentido positivo de h como sendo oposto ao de g. Eemplo: Uma bola é lançada paa cima, com velocidade inicial v como mosta a Fig..8. Assim, usando a equação de Toicelli temos: ( h) v gh v( h) ± v gh v Paa um deteminado h, eistem duas soluções paa v. A positiva epesenta o copo em ascensão e a negativa o copo está na descendente. Vemos também que o ponto de etono (v ) ocoe paa uma altua máima v S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica Mecânica, calo e ondas

37 Movimento unidimensional 33 h ma v / g mostada na Fig..9. Po outo lado, a dependência tempoal é dada po v(t) v gt e h(t) ½ gt g v +h Fig..8 Lançamento vetical de uma bola. Ao atingi o ponto máimo da tajetóia, v e t ma v /g. Logo: h ma v / g como obtido anteiomente. Paa a obtenção do tempo total da tajetóia fazemos h(t f ) t (v - gt ) que nos dá duas soluções: t i (início do movimento) e t f v /g que é o dobo do tempo gasto paa que a bola atinja h ma. v(h) v g h Fig..9 Dependência da velocidade com a altua no lançamento vetical.

38 34 Movimento unidimensional Eecícios O maquinista de um tem movendo-se com velocidade v, vê, a uma distância d à sua fente, um tem cagueio movendo-se no mesmo sentido com velocidade v. Ele aciona os feios, tansmitindo ao tem uma aceleação -a. Moste que se: d > (v - v ) /a não haveá colisão e se d < (v - v ) /a haveá colisão. Gotas de água caem de um chuveio sobe o piso situado a m abaio. As gotas caem em intevalos egulaes e quando a pimeia atinge o chão, a quata está começando a cai. Detemine a posição de todas as gotas no instante em que uma tinge o chão. 3 A posição de uma patícula que se desloca ao longo do eio depende do tempo de acodo com a equação: at bt 3, em cm, t em s. a) em que ponto é máimo? b) qual é a velocidade e em que instante ela é nula? c) qual é a aceleação e em que instante ela é nula? 4 Um avião com velocidade v ateiza num pota-aviões com uma aceleação negativa a A t. Qual é o compimento mínimo da pista? 5 Dois copos localizam-se na oigem do eio quando t s. O copo A tem velocidade constante de m/s. O copo B está inicialmente em epouso mas sujeito a uma aceleação constante de m/s. a) epesente esquematicamente, num mesmo gáfico, as posições dos copos A e B como função do tempo. b) qual é o instante de tempo em que ocoeá a colisão? c) qual é a posição em que isto ocoeá? d) qual é a velocidade do copo B no instante da colisão? e) em que instante de tempo as velocidades dos dois copos seão iguais? S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica Mecânica, calo e ondas

39 Movimentos bi e tidimensional 35 3 MOVIMENTOS BI E TRIDIMENSIONAL 3. Intodução O movimento unidimensional que vimos no capítulo anteio é um caso paticula de uma classe mais ampla de movimentos que ocoem em duas ou tês dimensões. Se o movimento de um copo está completamente estito a um plano, ele é denominado movimento plano ou bidimensional. Neste caso, a posição é especificada atavés de coodenadas polaes (, θ) ou catesianas (, y), como indicadas na Fig. 3.. θ Fig. 3. Posição de um copo no plano y. + y cosθ y senθ tgθ y/ Paa o caso do movimento no espaço (3 dimensões) a posição do copo é especificada em coodenadas esféicas (, θ, φ) ou catesianas(, y, z), indicadas na Fig. 3.. y z y θ z φ P Fig Posição de um copo no espaço. P y y sen θ cosφ y sen θ sen φ z cosθ + y + z tgθ + y / z tgφ y /

40 36 Movimentos bi e tidimensional Paa movimentos planos e espaciais, as gandezas cinemáticas (, v e a ) não são necessaiamente paalelas como acontece no movimento unidimensional. Desta foma, é de impotância fundamental tata estas gandezas vetoialmente. Se no tempo t a posição do copo fo descita pelo veto posição e no tempo t, pelo veto posição, podemos dize que o deslocamento sofido pelo copo é dado po onde não é necessaiamente a distância pecoida pelo copo. Havendo um deslocamento num intevalo de tempo t t t, podemos defini as velocidades média ( v m ) e instantânea ( v ) da foma: v m t d v lim t t dt Vemos que a velocidade sempe eistiá quando houve mudanças no módulo e/ou dieção do veto posição. A vaiação tempoal de um veto pode se analisada atavés da vaiação tempoal de suas componentes, da foma: d dy î + y î + z kˆ v î + ĵ + dt dt e isto pode se feito poque os vesoes dz dt î, ĵ e kˆ não vaiam com o tempo. Eemplo: Vamos detemina a velocidade de um copo cujo veto posição é dado po: 4t î + 3t ĵ. Tomando-se as deivadas tempoais das componentes de temos: v d / dt 8t î + 3 ĵ Vamos usa este eemplo paa demonsta uma elação impotante. Podemos esceve: kˆ S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica Mecânica, calo e ondas

41 Movimentos bi e tidimensional 37 ( t + t) 4( t + t) î + 3( t + t) ĵ 4t î + 3t ĵ + 8t t î + 3 t ĵ + 4( t) î No caso em que t é muito pequeno, ( t) << t e o temo ( t) pode se despezado. Assim, t + t ( ) ( t) + ( t) + v t e dizemos que esta é uma apoimação de pimeia odem em t, já que o temo ( t) foi despezado. A aceleação do copo é definida como: v dv a lim t t dt e, potanto, sempe haveá aceleação quando houve mudanças do veto velocidade, seja em módulo, dieção ou sentido. Eemplo: A velocidade de um copo é dada po v( t) 3t î + t ĵ + t 3 kˆ Logo, a aceleação é dada po a( t) 6t î + ĵ + 3t kˆ dy/dt e 3. Decomposição de movimentos d dy dz Do fato que v î + ĵ + kˆ tiamos que v d/ dt, v y dt dt dt v z dz/ dt, de modo que se olhamos paa cada componente, o movimento do copo pode se analisado independentemente, ou seja, a velocidade na dieção só depende da vaiação da coodenada com o tempo, etc. Este esultado pode se genealizado e o movimento espacial de um copo pode se tatado independentemente em cada uma das tês dieções. Resumindo, temos o chamado pincípio da independência dos movimentos ou pincípio de Galileu: Quando um copo se enconta sob a ação simultânea de dois ou mais movimentos, cada um se pocessa como se os demais não eistissem. Em outas palavas, a posição do móvel depois de um intevalo de tempo sob a ação do movimento composto é a mesma que esultaia se o móvel se deslocasse po etapas em cada dieção. Como um eemplo típico,.

42 38 Movimentos bi e tidimensional consideemos o caso de um baco com velocidade v b atavessando um io cuja coenteza tem velocidade v. O baco pecoeá uma tajetóia que consiste em desloca-se v t na dieção do io e v b t na dieção pependicula, como mosta a Fig Assim, v t î + v t ĵ e v v î v ĵ. b + b v v b t ĵ î escevendo: v t Fig Movimento de um baco num io com coenteza. 3.3 Movimento aceleado Podemos genealiza o que vimos paa o movimento unidimensional + ( t) dt S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica Mecânica, calo e ondas t v t v( t) v + a( t) dt A integação de vetoes pode se eecutada componente a componente, como no caso da deivação. Potanto, z z + t v z ( t)dt e assim po diante. No caso da aceleação se constante temos: v + at e + v t + a v t

43 Movimentos bi e tidimensional 39 Podemos analisa este movimento atavés do sistema de equações: Paa a velocidade: v v v y z v v v y z + a + a + a y z t t t y z Paa a posição: o y z + v t + + v t + y + v t + z a a a y z t t t Vamos em seguida ve alguns eemplos de movimento aceleado. a) Lançamento de pojétil a g Um caso impotante de movimento plano é aquele onde temos: ĵ (com g 9.8 m/s ) que coesponde ao movimento de um copo atiado de maneia abitáia. Neste caso, o movimento seá aceleado na dieção y e não aceleado nas demais. Vamos imagina a situação em que o copo é lançado obliquamente de maneia a foma um ângulo θ com a supefície, como mostado na Fig. 3.4 Fig. 3.4 Lançamento oblíquo de um pojétil. v v v v y cosθ sen θ Tomando-se o eio paalelo à supefície e o eio y na vetical, a velocidade inicial v pode se decomposta em v v cos θ e vo y v sen θ. Na dieção não eiste aceleação, poém na dieção y temos a y -g de modo que: v ( t) ( t) v y v v + v θ cos θ t + v cos θ t

44 4 Movimentos bi e tidimensional v y y (t) v ( t) y y g t v + v y t o g t sen θ g t Eliminando-se o tempo do pimeio conjunto de equações t / e substituindo no segundo obtemos: ( ( ) ) v y y ( ) + v y g v v que epesenta uma tajetóia paabólica como indicada na Fig A altua máima pode se calculada tomando-se dy/d. Assim, v v y g ( ) v v y ma + v g e substituindo em y(t) tiamos: y y ma y + v θ ( v ) y g y y ma R Fig Movimento paabólico decoente do lançamento oblíquo. Vamos toma y e calcula qual é o alcance do pojétil ao longo do eio. Paa isto fazemos y e assim obtemos: v v y g vr R ma ( ) S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica Mecânica, calo e ondas

45 Movimentos bi e tidimensional 4 Descatando a solução R, que coesponde ao início do movimento, temos R v v / g, e usando-se v sen θ e v v cos θ y y obtemos: v v R sen g ( ) θ de onde concluímos que o ângulo que apesenta o maio alcance é θ 45 o b) Movimento cicula Este deslocamento é caacteizado pelo fato de que o módulo do deslocamento pemanece constante. Assim, imaginamos o aio veto que desceve o movimento ente t e t + t. O ângulo θ vaido pelo aio veto duante o intevalo de tempo t pemite o cálculo da velocidade angula como ilustado na Fig dθ ω lim dt t θ t y t+ t θ t θ Fig. 3.6 Movimento cicula. Quando ω é constante, temos θ ω dt ωt e assim podemos esceve: cosωt e y senωt, ou em notação vetoial: cosωt î + senωt ĵ v d ωsenωt î + ωcosωt ĵ dt a dv ω cosωt î ω senωt ĵ ω dt t

46 4 Movimentos bi e tidimensional que é sempe oposta a dieção adial. Potanto, a a ω v / visto que v ω e esta aceleação é conhecida como centípeta po esta diigida ao ponto cental do movimento e é uma caacteística impotante do movimento cicula unifome. c) Movimento ciclóide É o movimento de um ponto da boda de um disco odando, confome mosta a Fig Consideando um sistema de eios no qual é paalelo ao chão, temos a combinação de um movimento tanslacional unifome com um movimento cicula unifome. Paa o movimento tanslacional, t + v t e, paa o movimento cicula, cosωt e y senωt. Fig Movimento ciclóide. Desta foma, y y + v t + cosωt + sen ωt Ao utilizamos a notação vetoial e fazendo y, v t + cosωt î + sen ωt ( ) ĵ S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica Mecânica, calo e ondas

47 Movimentos bi e tidimensional 43 v d ( v ωsenωt) î + ωcosωt ĵ dt dv a ω cosωt î ω senωt ĵ ω c dt Eemplo: Considee um disco descendo um plano inclinado, fomando um ângulo θ com a hoizontal, como mostado na Fig Vamos detemina (t) e y(t) de um ponto localizado na boda do disco. Escolhendo o eio da maneia indicada na figua, temos a g senθ e a y. Então, t + c, y y t + y c v t + gsen θ t + cosβ e y v y t + senβ, onde β ωt (movimento aceleado) é o ângulo que o disco odou. P θ Fig. 3.8 Disco descendo um plano inclinado 3.4 Movimentos planos descitos po coodenadas polaes Vamos considea um movimento cicula no qual o copo pecoe um compimento de aco s, que está associado a um ângulo θ de acodo com: s θ, sendo o aio da tajetóia. A velocidade tangencial é: ds dθ v ω dt dt

48 44 Movimentos bi e tidimensional Paa epesenta v, vamos intoduzi os vesoes ˆ e θˆ, que são adequados paa se tabalha com coodenadas polaes. O veso ˆ tem a mesma dieção e sentido do veto posição. O veso θˆ é pependicula a e tangente ao cículo, apontando paa a dieção em que θ e s cescem como indica a Fig Desta foma, podemos esceve e v em coodenadas polaes da seguinte maneia: ˆ dθ v v θ ˆ θˆ dt î Fig. 3.9 Movimento plano descito po coodenadas polaes. Devemos nota que ˆ e θˆ são vesoes que vaiam com o tempo. Paa enconta esta vaiação em temos dos vesoes î e ĵ que são fios vemos que ˆ cos θ î + sen θ ĵ e θ ˆ sen θ î + cos θ ĵ. Desta foma, dˆ dt dθ dθ dθ sen θ î + cos θ ĵ dt dt dt dˆ θ dθ dt dt ĵ dθ ( cos θ î + sen θ ĵ) ˆ dt ( sen θ î + cosθ ĵ) dθ θˆ dt Uma vez que conhecemos a maneia pela qual ˆ e θˆ vaiam com o tempo, podemos enconta v e a a pati de. y θ θˆ ˆ S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica Mecânica, calo e ondas

49 Movimentos bi e tidimensional 45 ˆ d dˆ dθ v θˆ dt dt dt dv dθ dˆ θ dθ a ˆ dt dt dt dt onde foi suposto que ω dθ/dt é constante. Como dθ/dt v/, temos a v / ˆ ω, que é a aceleação centípeta no movimento cicula unifome. ( ) ˆ Se o movimento fo unifomemente aceleado, isto é, se dω/dt α constante, a epessão paa a aceleação se modifica. Tomando a deivada de v ω θˆ temos: d ˆ dˆ a ˆ ω θ θ + ω α θ ω ˆ dt dt de onde vemos que além da aceleação centípeta suge uma aceleação tangencial dada po α θ ˆ. A descição de um movimento etilíneo atavés de coodenadas polaes é feita baseando-se na Fig. 3.. Podemos elaciona v e v θ da seguinte foma: ou y θ θˆ v v v cosθ - v θ senθ v y v cosθ + v θ senθ v v cosθ + v y senθ v θ -v senθ + v y cosθ ˆ Fig. 3. Descição de um movimento etilíneo atavés de coodenadas polaes. v θ θ v y θ v v

50 46 Movimentos bi e tidimensional Paa o caso que estamos tatando, v v e v y. Potanto, v v cosθ e v θ v senθ, ou seja: v vcos θ ˆ vsen θ θˆ Eecícios Considee um cilindo de aio R olando sem desliza num plano hoizontal. O cento de massa do cilindo possui aceleação a. Qual é a aceleação angula do cilindo? Qual é o ângulo β que o cilindo oda como função do tempo? Dois copos A e B estão em movimentos cicula unifomes de tajetóias concênticas com aios a e b e velocidades angulaes ω a e ω b. Detemine a velocidade elativa ente os dois copos. 3 Detemina a aceleação de um copo que desliza pela osca de um paafuso com passo h e aio R. Despeze o atito e considee que o copo patiu do epouso. 4 É necessáio lança da tea uma bola po cima de uma paede de altua H que se enconta a uma distância S (Fig. 3.). Qual é a meno velocidade inicial com que a bola pode se lançada? v H S Fig. 3. Lançamento de pojétil sobe uma paede de altua H. S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica Mecânica, calo e ondas

51 Movimentos bi e tidimensional 47 5 Uma bala é dispaada de um canhão com velocidade v. Detemine a egião geomética onde a bala cetamente não caiá. 6 Um plano inclinado foma um ângulo α com o plano y, confome mosta a Fig. 3.. Um copo é lançado com velocidade v, fomando um ângulo θ com o eio y. Despezando o atito calcule: ma, z ma e o tempo que o pojétil demoa paa etona ao eio y. 7 Uma peda é lançada com velocidade inicial de m/s. Sabendo-se que ela ficou s no a, calcule: a) o ângulo de lançamento (com a hoizontal) b) a altua máima atingida c) o alcance d) outo ângulo de lançamento paa o qual a peda teá o mesmo alcance. (Neste caso o tempo seá difeente de s). z v θ α y Fig. 3. Lançamento oblíquo num plano inclinado. 8 Um copo tanslada com velocidade v 5 m/s sobe um plano hoizontal sem atito. Subitamente ele enconta pela fente um plano inclinado (também sem atito) de ângulo θ 3 e altua H,8 m, confome mosta a Fig Tomando-se g m/s, pegunta-se: a) a que distância d do final do plano inclinado o copo caiá? b) qual é a altua máima que o copo atingiá?

52 48 Movimentos bi e tidimensional H y ma v θ d Fig Lançamento oblíquo de um copo po meio de uma ampa. 9 Um pequeno copo é lançado da oigem com velocidade v / 3 m/s fomando um ângulo θ 6 com a hoizontal. Outo copo é lançado segundo depois, com a mesma velocidade v, poém na hoizontal e de uma altua H, como mosta a Fig Suponha que haja uma colisão ente os dois copos e que g m/s. a) Em que instante de tempo ocoe a colisão? b) Qual deve se o valo de H paa que a colisão ocoa? c) Quais as coodenadas e y da colisão? 3. Um pequeno copo é lançado da oigem com velocidade v segundo um ângulo θ com a hoizontal. Outo copo é lançado com a mesma velocidade v, poém na hoizontal e de uma altua H, como mosta a Fig Qual deve se o valo de H tal que eles atinjam o mesmo ponto no eio O? v H O θ v Fig Lançamento de dois copos. S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica Mecânica, calo e ondas

53 Movimentos bi e tidimensional Moste que o movimento de um pojétil lançado com v e θ é descito vy g vy pela paábola: y( ) g v g, com v v cosθ e v y v senθ. b) Enconte o ângulo α que a tajetóia faz com a hoizontal paa qualque (tgα dy/d), c) Enconte ma coespondente ao topo da tajetóia (tg α ). d) Enconte o alcance R, fazendo α π θ

54 5 Movimentos bi e tidimensional S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica Mecânica, calo e ondas

55 As leis de Newwton 49 AS LEIS DE NEWTON 4 4. Intodução Até o momento estudamos váios tipos de movimento sem no entanto nos peocupamos com suas causas. Já sabíamos intuitivamente que paa se modifica o movimento de um copo é necessáia a ação de um agente eteno. De fato, na ausência completa de ação etena, o copo pemanece num estado de movimento constante. A maneia pela qual o agente eteno age sobe o copo é atavés da atuação de uma foça. Potanto, a foça nada mais é do que a quantificação da ação de um copo sobe outo. A foça pode se definida como uma gandeza física capaz de altea o estado de movimento de um copo ou a foma deste copo. O estado de movimento de um copo é caacteizado pelo seu momentum linea, que é definido como: p mv de foma que a eistência de uma foça poduz alteações em p. O compotamento de um copo quando sujeito a foças etenas é egido pelas leis de Newton, epessas como: Lei I - Todo copo pemanece em epouso ou em movimento etilíneo unifome, a menos que seja obigado a modifica seu estado de movimento pela ação de foças etenas. Lei II - A modificação do movimento é popocional à foça atuante, ou seja, F dp / dt. Lei III - A toda ação coesponde uma eação igual e oposta ou, as ações mútuas de dois copos são sempe diigidas em sentidos opostos.

56 5 As leis de Newwton A pimeia lei estabelece justamente o que havíamos dito anteiomente, isto é, paa modificamos p (gandeza que quantifica o estado de movimento do copo) é necessáio um agente eteno eecendo uma foça sobe o copo. Suponha po eemplo, um cometa movendo-se em movimento etilíneo unifome. Ele continuaá neste estado até chega nas poimidades de um planeta, que atavés da foça gavitacional, modificaá seu estado de movimento fazendo com que o momentum p mude em módulo e dieção. Esta idéia que acabamos de apesenta, emboa bastante lógica, não o ea na época de Galileu, pois se aceditava que paa mante um copo em movimento etilíneo unifome ea necessáia a ação de agentes etenos. O único estado natual e espontâneo paa um copo ea o epouso! A foça também é necessáia paa altea a foma de um copo. Duante a defomação as patículas deste copo são aceleadas até atingiem uma nova situação de equilíbio. O equilíbio de um copo pode se de tipos difeentes. Inicialmente, um copo só estaá em equilíbio quando a esultante das foças agindo sobe ele fo nula. O equilíbio é dito estável quando uma pequena petubação tia o sistema de equilíbio, mas a vizinhança do copo age de foma a estaua o equilíbio. O equilíbio é dito instável quando uma pequena petubação tia o sistema do equilíbio e a vizinhança age no sentido de amplifica este efeito. Vamos considea que a quantidade de matéia num deteminado copo não se modifica. Neste caso, a ação de uma ou mais foças leva a uma aceleação: F mdv / dt m a e a constante de popocionalidade ente foça e aceleação é denominada massa do copo. A unidade de massa é Kg (SI) ou g (CGS) enquanto que a da aceleação é m/s (MKSÁ) ou cm/s (CGS). Potanto, a unidade de foça é definida como: [F] N Kg.m/s no Sistema Intenacional (SI) ou [F] dyn g.cm/s no sistema CGS, sendo potanto, dyn -5 N.

57 As leis de Newwton 5 Quando a massa de um copo vaia, como po eemplo, duante a eaustão de combustível num foguete, a foma mais geal da segunda lei de Newton fica: dp d dv dm F ( m v) m + v dt dt dt dt A epessão p mv paa o momentum de um copo é válida quando este tem velocidade bem meno que a velocidade da luz, c, que é de apoimadamente 3. km/s. Paa velocidades altas (v c), p m v / c v m(v) v onde m é chamado de massa de epouso e m(v) vaia de uma maneia que copo tona-se cada vez mais pesado quanto mais se aumenta sua velocidade. Poém, se v/c <<, a apoimação m m é bastante boa. Quando um copo enconta-se póimo à supefície da Tea, esta eece sobe ele uma foça que é denominada peso, dada po: w mg e que está diigida paa o cento da Tea. A massa de um copo, como vimos, é quantificada atavés da azão ente a foça e a aceleação, Associado à massa, há uma popiedade impotante que é denominada inécia. Imagine uma locomotiva e um cainho de bebê sobe o chão sem atito, completamente lives paa se moveem. Ao eecemos uma ação sobe cada um deles (po eemplo, um empuão), o cainho começa a anda enquanto que o tem ofeeceá fote esistência à mudança de movimento po possui uma inécia maio. Copos com maioes massas apesentam maio inécia e, conseqüentemente, maio esistência a mudanças no seu estado de movimento. Todos os copos apesentam a tendência de pemanece no seu estado oiginal de movimento quando acionados subitamente po um agente eteno. Uma ilustação deste fato é o que ocoe com os passageios no inteio de um automóvel em movimento etilíneo unifome que é feado ou faz uma cuva acentuada. No pimeio caso, a tendência do passageio é choca-se conta o

58 5 As leis de Newwton páa-bisa enquanto que no segundo, a tendência é sai pela tangente à cuva. Este tipo de compotamento está elacionado com a inécia do passageio. Das tês leis de Newton, a 3 a é aquela que sem dúvida eige um maio esclaecimento. Ela desceve uma popiedade impotante das foças: sua ocoência em paes, isto é, toda ação coesponde uma eação de mesma intensidade, poém de sentido oposto. Um fato impotante a se obsevado é que ação e eação não se cancelam (ou se equilibam) poque agem em copos difeentes. Um eemplo disto é o de um copo sobe uma mesa como ilustado na Fig. 4.. O copo eece uma foça N ' sobe a mesa e esta esponde eecendo sobe o copo uma foça N N'. N e N ' constituem um pa ação-eação. A Tea eece sobe o copo a foça peso w paa a qual eiste uma eação w ' eecida do copo sobe a Tea. w e w ' ' constituem outo pa ação-eação poém w e N não constituem pa ação-eação. Devido ao fato do copo esta em equilíbio, pela a Lei de Newton, a e potanto F. Logo: w + N w N Quando dois copos isolados constituem um sistema, as únicas foças eistentes são as que constituem o pa ação-eação. Neste caso, olhando paa o sistema como um todo, vemos que: N copo mesa N w w ' Fig Foças agindo num copo sobe uma mesa.

59 As leis de Newwton 53 F + F d dt dp dp + dt dt dp dt ( p + p ) e assim concluímos que o momentum total se conseva na ausência de foças etenas já que F e F constituem foças etenas ao sistema. Esta lei de consevação do momentum é de gande impotância no estudo de colisões ente copos, onde as foças envolvidas são intenas ao sistema. 4. Refeenciais As gandezas cinemáticas só têm sentido físico quando medidas com elação a um ponto de efeência. Assim, se consideamos po eemplo, um tem movendo-se com velocidade v na dieção > e um homem dento do tem movendo-se com velocidade -v (na dieção < ), obsevamos que paa uma pessoa paada foa do tem, a velocidade do homem seá nula. Com este eemplo vemos claamente que o conceito de movimento está intinsecamente ligado ao de efeencial. Consideemos um sistema de coodenadas O (, y, z) fio no espaço, no qual a posição de um copo é especificada pelo veto posição: î + y ĵ + z kˆ a pati do qual podemos enconta a velocidade e a aceleação da maneia tadicional: v & î + y& ĵ + z& kˆ a && î + && y ĵ + && z kˆ Consideemos a segui um segundo sistema de coodenadas O (, y, z ) movendo-se com velocidade v ' v' o î + v' oy ĵ + v' oz kˆ com elação ao efeencial fio, confome mosta a Fig. 4.. O veto R desceve a posição do ponto O com elação ao ponto O. Se este efeencial estive unifomemente aceleado, R (t) seá dado po:

60 54 As leis de Newwton O z z O R v ' y y Fig Refeenciais em movimento elativo. R(t) R + vt + a R t Po outo lado, olhando paa a figua vemos que a adição geomética dos vetoes nos fonece: R + ou R, onde desceve a posição do copo visto po um obsevado solidáio ao efeencial móvel. Este obsevado veá a velocidade do copo dada po: v & & & R v v a que é a velocidade que o copo possui no sistema de coodenadas O menos a velocidade de O com elação a O. A aceleação po sua vez é: a a que é a aceleação no sistema fio menos a aceleação elativa ento os dois efeenciais. No caso paticula em que o sistema móvel O' não está aceleado ( a R ) temos a a, isto é, a aceleação é a mesma nos dois efeenciais. Refeenciais deste. tipo, onde a lei de Newton tem a mesma foma ( F ma ma ) são chamados de efeenciais ineciais. 4.3 Aplicações das leis de Newton Como vimos, as leis de Newton são as leis básicas da Mecânica Clássica. Em pincipio, qualque poblema de dinâmica pode se esolvido a R R t

61 As leis de Newwton 55 atavés de sua aplicação. Passaemos agoa a analisa uma séie de eemplos que ilustam tais leis. De modo geal, os poblemas envolvendo foças podem se classificados em duas categoias. Na pimeia, conhecemos as foças que agem sobe o copo e queemos enconta seu efeito, epesso atavés de mudanças na velocidade e posição. Na segunda categoia, conhecemos o movimento do copo e a pati disto queemos detemina o conjunto de foças agindo sobe ele. A solução de um poblema pode se encontada atavés de una sequência natual de análises. Pimeiamente, o poblema deve esta claamente colocado e se ele apesenta váias pates, cada uma delas deve se analisada antes de se considea o sistema como um todo. Sempe que houve contato ente copos, lembe-se que ação e eação agem em copos difeentes. a) Plano inclinado sem atito Queemos enconta o movimento de um copo colocado sobe um plano com ângulo de inclinação θ como mostado na Fig As foças agindo sobe ele são: o peso w, que é diigido paa baio e a foça de eação N, que é nomal à supefície. N y θ W θ Fig Plano inclinado sem atito. Como o copo não pode peneta no plano inclinado, concluímos que o movimento só deve ocoe na dieção paalela a ele. Isto implica em que a foça esultante na dieção pependicula ao plano é nula e assim:

62 56 de onde obtemos: Mg cos θ + N F F y Ma N Mg cos θ As leis de Newwton Mgsen θ Ma a gsen θ e como a é constante, o movimento paalelo ao plano é do tipo unifomemente aceleado já visto anteiomente. b) Copo suspenso po codas Imagine um copo suspenso po duas codas confome mosta a Fig As codas ficaão sujeitas às tensões T e T diigidas ao longo de seu compimento e, potanto, agindo sobe o copo. Como este está em equilíbio, a soma total das foças agindo sobe ele é nula, de foma que: F Fy T cosθ T cosθ T senθ + T senθ Mg θ θ θ T T θ y M Mg Fig Copo suspenso po codas. Destas duas equações tiamos T e T :

63 As leis de Newwton 57 T T Mg cos θ cosθ sen θ + sen θ Mg cosθ cos θ sen θ + sen θ Mg cosθ sen ( θ + θ ) Mg cos θ sen ( θ + θ ) No caso da coda esisti somente a uma tensão máima T ma, podemos analisa se T ou T ultapassa tal limite. Em dinâmica, os poblemas envolvendo codas e fios são bastante feqüentes e, potanto, vamos tece algumas consideações a este espeito. Vamos considea uma coda de massa M c e compimento L que sustenta um copo de massa M ao longo da vetical (ve Fig.4.5). Queemos calcula a tensão na coda em toda a etensão de seu compimento. M T Mg M Fig Copo suspenso po uma coda com massa. Se isolamos o ponto de contato ente o copo e a coda temos T Mg. Po outo lado, se tomamos um ponto a uma altua sobe o copo, a massa total abaio dele é M+(M C /L) e paa que a coda esteja em equilíbio, a tensão deveá se: M T() Mg + L Isto mosta que à medida que subimos pela coda seu nível de tensão aumenta e no ponto de contato com o teto T (M + M c ) g, como espeado. No entanto, se a massa da coda fo despezível, a tensão é a mesma em cada ponto ao longo de seu compimento e ela funciona apenas como tansmissoa de esfoços. c g

64 58 As leis de Newwton c) Dois copos ligados po uma coda Considee dois copos com massas M e M ligados po uma coda sem massa e podendo desliza sobe uma mesa sem atito. Eiste ainda uma foça F agindo sobe M, como indicado na Fig Queemos enconta a tensão na coda e a aceleação do sistema. Como a coda tem massa despezível, ela simplesmente tansmite a foça. Isolando os copos, temos: T M a F T M a M M T T F Fig Copos ligados pó uma coda. O sistema está vinculado de foma tal que os copos são obigados a anda juntos e assim a a a. Logo: F F M a M a a M + M MF T Ma M + M d) Copos em contato Uma foça F é aplicada sobe um copo de massa M que está em contato com outo copo de massa M, como mosta a Fig Ambos estão colocados sobe uma mesa sem atito e a questão que se petende esponde é sobe a foça que é tansmitida ao copo. Como os copos se movem juntos, a aceleação seá a mesma paa os dois e então podemos esceve: F ( M + M ) a a M F + M

65 As leis de Newwton 59 Voltamos agoa a analisa o copo. Chamando T a foça que faz sobe, temos: T M M F a M + M e assim vemos que este esultado é simila ao do caso em que os dois copos estão ligados pela coda. F M M Fig Copos em contato. e) n copos conectados po codas Temos n copos conectados po codas confome mosta a Fig. 4.8 e queemos calcula a tensão na coda que conecta um pa qualque destes copos. Como os copos possuem mesma massa M e se deslocam juntos quando submetidos à ação da foça F, podemos esceve que a aceleação do sistema é a foça dividida pela massa total, isto é, a F/(nM). A foça T i po sua vez movimenta todos os copos a sua esqueda, desde i até n. O númeo destes copos é n - i + e potanto: ( n i ) F MF + T i ( n i + ) Ma ( n i + ) nμ n n n- n- 3 Fig Copos conectados po codas. f) Sistema com polias: máquina de Atwood Vamos considea inicialmente uma coda ao edo de uma polia sem atito e sem massa como indica a Fig. 4.9(a). Como a coda possui massa despezível, ela simplesmente tansmite a tensão e potanto, F F F. F

66 6 As leis de Newwton F F F N π α θ (a) F θ θ (b) F F Fig Coda ao edo de uma polia (a) e pequena poção da coda (b). Desta foma, é como se a polia simplesmente mudasse a dieção da foça. Podemos calcula a foça nomal à polia da seguinte maneia. Tomemos uma pequena poção de coda definida pelo ângulo θ, como mosta a Fig. 4.9(b). Pojetando as foças F na dieção adial temos: ( θ ) dn Fsen F θ enquanto que a componente tangencial se anula. Paa encontamos a foça nomal total (somada em módulo) devemos intega no ângulo: α N Fdθ αf (em módulo) A máquina de Atwood é um dos eemplos mais simples envolvendo polias, onde duas massas, M e M são inteligadas atavés de uma coda sem massa, como mostado na Fig. 4.. Chamando a tensão na coda de T, temos: T - M g M a -T+M g M a de onde tiamos a A tensão T é dada po: ( M M) ( M + M ) g T M g + M a M g + M ( M M) ( M + M ) g

67 As leis de Newwton 6 e a foça eecida sobe o supote da polia é: 4M T ( M + M ) + M g T T T T T a M M M g M g Fig Máquina de Atwood. g) Bloco sobe a mesa puado po copo na vetical A Fig. 4. mosta um bloco de massa M sobe uma mesa sem atito, puado po outo bloco de massa M sob a ação da gavidade. Isolando o bloco temos: T Ma enquanto que ao isola o bloco obtemos: M g T M a Combinando estas duas equações obtemos a aceleação do sistema como: M g a M + M

68 6 As leis de Newwton T M T a M M g Fig Bloco sobe a mesa e copo na vetical. h) Peso apaente de um objeto num elevado aceleado Vamos imagina um objeto no inteio de um elevado aceleado como indica a Fig. 4.. Qual seia seu peso apaente se ele estivesse sendo medido po una balança? O objeto pessiona a balança com una foça N, que é o pópio peso apaente medido po ela. Pela 3 a lei de Newton, a balança poduz uma foça N, só que diigida paa cima. O objeto anda junto com o elevado de foma que a a lei de Newton fica: N Mg Ma N M (g + a) Se o elevado estive aceleado paa cima, o peso apaente é maio que Mg,enquanto que se a aceleação fo paa baio, o peso apaente seá meno que Mg. a N Mg M Fig Objeto num elevado aceleado.

69 As leis de Newwton Movimento cicula Como vimos anteiomente, quando um copo enconta-se em movimento cicula, eiste uma aceleação adial, denominada centípeta, que é dada po a v /, onde é o aio do movimento cicula e v é a c velocidade tangencial. É clao que a velocidade tangencial pode vaia e, potanto, eisti uma aceleação tangencial. Vamos a segui estuda váios casos deste tipo de movimento. a) Pêndulo cônico Considee um pêndulo de compimento L, fomando um ângulo θ com a vetical e descevendo um cículo de aio R no plano hoizontal, como indica a Fig Qual é a velocidade tangencial da massa M? Paa esponde esta pegunta, vamos analisa as foças agindo sobe ela. θ L Tsenθ Tcosθ R Mg M Fig Pêndulo cônico. Na dieção adial temos T senθ Mv /R, enquanto que na dieção vetical, T cosθ Mg. Dividindo uma equação pela outa obtemos: tgθ v / Rg ou então: v Rg L R R L R g R isto ocoeá? Suponha que o fio se ompa com uma tensão T. Paa que velocidade

70 64 As leis de Newwton b) Movimento cicula vetical Considee um copo de massa M peso a uma coda de compimento R sem massa, posto paa oda em movimento cicula no plano vetical, como mostado na Fig A posição do copo é especificada pelo ângulo θ e tal que no ponto máimo () θ e no ponto mínimo () θ π. Inicialmente estamos inteessados em detemina a tensão na coda quando o copo se movimenta com velocidade constante. Na dieção adial temos: T + Mg cosθ Mv /R T M T θ Mv R Mg cosθ Mg R Fig Movimento cicula vetical. Deste esultado vemos que T Mv /R - Mg é a tensão mínima paa θ o e T Mv /R + Mg é a tensão máima paa θ π. A Fig. 4.5 mosta um gáfico completo de T conta θ. A velocidade mínima capaz de mante o movimento cicula ocoe quando T e vale v min gr. Paa velocidades infeioes a esta, não é possível have movimento cicula na vetical. T(θ) Mv + Mg R Mv Mg R π π θ Fig Tensão na coda em função do ângulo θ.

71 As leis de Newwton 65 c) Pêndulo simples O movimento pendula é um dos movimentos mais estudados em Mecânica Clássica, ao lado do movimento hamónico do sistema massa-mola. Considee o pêndulo da Fig. 4.6 deslocado de um ceto ângulo θ. Usando a a lei de Newton nas dieções adial e tangencial temos espectivamente: T Mg cosθ Mv Mg sen θ Ma t /L θ T L θ Mg Fig Pêndulo simples. Vamos supo que a condição inicial do movimento seja θ θ e v, de foma que T Mg cosθ. Como a t dv/dt ( dv/dθ)( dθ/dt) ( dv/dθ) v/ L temos paa a dieção tangencial: dv Mgsen θ M dθ que pode se integado, esultando em: gl v L glsen θ dθ v dv θ v sen θ dθ v dv θ A ealização desta integal é simples e leva a: gl ( cos θ cos θ) v v

72 66 As leis de Newwton Logo: v /L - g(cosθ - cosθ) e assim, a tensão no fio vaia com θ de acodo com: T Mg(3cosθ - cosθ ) d) Coda giante Imagine uma coda de massa M e compimento L colocada paa gia num plano hoizontal (sobe uma mesa sem atito) com velocidade angula ω, confome mosta a Fig Queemos enconta a tensão na coda a uma distância do ponto de fiação. Paa isto vamos considea um elemento de compimento, como mostado na figua, cuja massa é m ( M/L). Este elemento está sujeito às tensões T() e T( + ). Pela a lei de Newton temos: M T( ) T( + ) m ω ω L ω T() m T(+ ) Fig Coda giando sobe uma mesa sem atito. Podemos e-esceve esta epessão como: T ( + ) T( ) No limite em que tende a zeo ficamos com: lim T ( + ) T( ) Mω L A segui, vamos intega ente os pontos e : dt Mω d L

73 As leis de Newwton 67 T T( R ) Mω L dt d T Mω L ( ) T T( ) Mω T L Paa enconta o valo de T, notamos que T paa L (a coda acaba neste ponto). Logo, MωL MωL T T e conseqüentemente: T() Mω L ( L ) A Fig. 4.8 mosta o gáfico de T(). T() Mω L Fig. 4.8 Tensão na coda como função da posição adial. 4.5 Foça etadadoa popocional à velocidade Quando um copo move-se no inteio de um fluido (gás ou liquido), age sobe ele uma foça popocional à velocidade, poém na dieção oposta ao movimento. Esta foca é denominada viscosa. Assim, vamos imagina um copo com velocidade inicial v, movendo-se num meio viscoso. Pela a lei de Newton temos: L ma dv m dt bv

74 68 As leis de Newwton Esta equação, chamada de equação difeencial, pode se esolvida se isolamos v e t e a segui integamos: dv v b m dt v v dv v b m t dt Logo: l n v ln v ( t) v ln v v v bt ep m bt m de modo que a velocidade do copo decesce eponencialmente como mosta a Fig v(t) v Fig Velocidade de um copo jogado com velocidade v num meio viscoso. Vamos imagina agoa um copo num meio viscoso caindo sob a ação da gavidade. O balanço das foças leva à seguinte equação de movimento: dv mg bv m dt A velocidade vai aumentando até que a foça gavitacional é equilibada pela foça viscosa. A pati deste ponto teemos dv/dt e conseqüentemente não haveá mais mudanças de velocidade. Dizemos então que o copo atingiu sua velocidade teminal v T que é dada po: mg bv T v T mg b t

75 As leis de Newwton 69 Paa esolvemos a equação de movimento vamos supo que o copo patiu do epouso. Isolando v e t temos: dv g bv m dt Fazendo a substituição: g m b g bv/m l n g b m bv m u g bv/m v dv g bv m g t du u dv t dt t m b dt du g bv/m ep g A velocidade do copo cesce como mosta a Fig. 4.. v(t) { bt / m} v t t Fig Velocidade de um copo aceleado num meio viscoso. 4.6 Foças obsevadas na natueza As foças eistentes ente as pates de um sistema são oiundas de inteações fundamentais tais como: foças gavitacionais, foças eletomagnéticas e foças nucleaes (fotes e facas). Estas foças, esponsáveis pela eistência da matéia, seão vistas em váios cusos futuos. Nós vamos aqui aboda apenas os efeitos macoscópicos destas foças. a) Focas elásticas: lei de Hooke Denominamos de elásticos aqueles copos que ao sofeem defomações quando sujeitos a esfoços, têm a popiedade de ecupeaem

76 7 As leis de Newwton sua foma oiginal quando tais esfoços são emovidos. Vamos imagina a seguinte epeiência: consideemos uma mola com uma das etemidades fia na paede e com uma foça F aplicada na outa, como ilusta a Fig. 4.. k F Fig Mola tacionada. Antes da aplicação da foça F, a mola tem um compimento live. Após a aplicação desta, ela distende-se paa um novo compimento, tal que a defomação é dada po. Se fomos aumentando gadativamente a foça F e medindo a defomação associada, veificaemos a eistência de dois tipos de compotamento. Inicialmente, a foça e a defomação são dietamente popocionais, mas confome F aumenta isto deia de se vedade. Num gáfico de F conta, mostado na Fig. 4., a egião de lineaidade vai do ponto até o ponto. Neste egime, denominado de elástico, vale a elação: F k onde k (inclinação da eta) é chamada de constante de mola e a epessão acima, conhecida como lei de Hooke. Se olhamos micoscopicamente paa o mateial, neste egime os váios planos de átomos sofem deslocamento elativo ente si, mas um deteminado átomo pemanece sempe ligado à sua posição oiginal. F Fig Defomação de uma mola eal sujeita a uma foça F.

77 As leis de Newwton 7 O egime que vai de a é denominado plástico e a defomação causada nesta egião é pemanente. Micoscopicamente, os planos atômicos pulam de uma posição paa a seguinte, geando defomações pemanentes no mateial. Ao atingi o ponto, o mateial não esiste mais ao esfoço e ompese. elástico plástico Fig Descição micoscópica dos egimes elástico e plástico. b) Focas de contato e atito Quando duas supefícies sólidas são colocadas em contato, eiste uma esistência ao deslocamento elativo destas supefícies que é denominada de atito. O atito tem sua oigem no fato de que as supefícies não são micoscopicamente pefeitas, de maneia a se estabeleceem váios pontos de contato que dificultam o movimento elativo ente as supefícies, como mosta a Fig Fig Supefícies eais em contato. Devido a esta natueza da foça de atito, espeamos que quanto mais fote uma supefície fo pessionada conta a outa, maio deve se a esistência ao deslizamento, ou seja, maio é o atito. Logo, a foça de atito é

78 7 As leis de Newwton popocional à foça nomal ente as duas supefícies: F at α N. Outo fato que influencia a intensidade da foça de atito é a qualidade da supefície: se esta fo bem polida, o atito seá meno. Finalmente, o tipo de mateial usado na confecção de copo também é impotante na deteminação de F at : se o mateial fo macio, a tendência é que ele se amolde à outa supefície e isto dificulta o deslizamento. A qualidade da supefície e a dueza do mateial especificam o coeficiente de atito µ que definiemos a segui. Vamos imagina um epeimento onde uma foça F vaiável é aplicada sobe um copo de massa M, inicialmente em epouso sobe uma supefície áspea, como esquematizado na Fig Se F é elativamente pequena, o copo continua em epouso e neste caso, F F at. Note que se F, F at, indicando que a foça de atito só eiste se houve tendência ao deslizamento. Se continuamos a aumenta F, esta atinge um valo máimo paa o qual o copo se enconta iminência de desliza. Neste ponto define-se o coeficiente de atito estático como F ma µ e N. A pati daí, o copo enta em movimento e qualque incemento em F contibui eclusivamente paa acelea o copo, como mosta a Fig Na situação de movimento, a foça de atito é F at µ d N, onde µ d é chamado de coeficiente de atito dinâmico. Assim, no egime estático F at µ e N e no egime dinâmico F at µ d N, sendo µ d < µ e (veificado epeimentalmente). F at M F Fig Copo puado sobe uma supefície com atito. Como eemplo do cálculo de foça de atito, tomemos um copo de massa M sobe um plano inclinado, como mosta a Fig Da. a lei de Newton temos: N Mg cosθ e Mg senθ - F at Ma

79 As leis de Newwton 73 µ e N µ d N F at iminência de deslizamento deslizamento 45 o F Fig Vaiação da foça de atito com a foça etena aplicada. No caso do copo esta na iminência de deslizamento, a e F at µ e N. Desta foma, µ e tgθ. N F at a Mg θ Fig Copo sobe um plano inclinado com atito. Como segundo eemplo, vamos analisa um oto no paque de divesões, mostado na Fig Este oto é constituído de um cilindo de aio R, com fundo, colocado paa oda com velocidade angula ω, tendo váias pessoas no seu inteio. Assim que o cilindo atinge a otação máima, o fundo é etiado e as pessoas são mantidas no seu inteio somente pelo atito do contato com a paede. Sendo µ o coeficiente de atito estático, g a aceleação da gavidade local, queemos enconta a mínima velocidade angula capaz de mante a pessoa equilibada. Neste caso, a foça nomal é dada pela foça centípeta e então,

80 74 As leis de Newwton Mg µ e N µ e Mω R ω min g µ R e ω F N at µ e N Mω R Mg Fig Roto com atito num paque de divesões. Como eemplo final desta seção, vamos tata o caso de uma polia com atito. Como já discutimos anteiomente, uma polia ideal (sem atito) apenas modifica a dieção de uma foça sem modifica seu valo. Queemos agoa analisa como a pesença do atito modifica F compaada com F. Paa isto, vamos toma um elemento da polia mostada na Fig. 4.9 e veifica as foças sobe ele. T+ T F F θ θ θ µn N Fig Coda em polia com atito. T Na dieção : N ( ) θ + θ T + T sen Tsen

81 As leis de Newwton 75 θ θ θ Como θ é pequeno, sen e cos e assim, N Na dieção y: T θ θ θ θ ( T + T) + T T + T θ θ θ ( T + T) cos T cos + µ N T T µ N µ T θ µ T θ no limite em que θ, temos lim θ ( T / θ) dt / dθ µ T potanto: dt F θ µ dθ dt µ T F T F l n µθ F F ep F e dθ { µθ} 4.7 Foças ineciais Quando a obsevação de um movimento é feita de um efeencial não inecial (aceleado), as leis de Newton deiam de se válidas, isto é, a foça sobe o copo não obedece a elação F mdv / dt. Como a lei de foça neste caso fica bastante difícil de se escita, pincipalmente poque ela depende da posição momentânea do copo, nós intoduziemos uma foça eta no poblema, que é equivalente ao efeito poduzido pelo fato do efeencial se não inecial. Com a adição destas foças fictícias, chamadas de foças ineciais, a lei de Newton passa a se novamente válida. Note que as foças ineciais simulam o efeito de uma foça eal, poém elas não são eecidas po nenhum elemento do sistema. Vamos ilusta o uso das foças ineciais atavés dos váios eemplos que seguem. a) Vagão aceleado

82 76 As leis de Newwton Vamos considea um vagão aceleado como mostado na Fig. 4.3 dento do qual enconta-se um obsevado. Se deiamos um copo cai a pati do epouso, paa um obsevado eteno, a tajetóia é tal que a única foça agindo sobe o copo é Mg. Paa um obsevado no inteio do vagão aceleado, a tajetóia do copo é tal que indica a eistência de uma foça Ma, de foma que a foça total vista po ele é: F Mg Ma onde o temo ente Ma é a foça inecial. Ma a Mg Fig Copo em queda live visto po um obsevado aceleado. Po outo lado, se o copo estive peso po uma coda no teto do vagão, um obsevado eteno veá o copo aceleado tal que: T + Mg Ma (obsevado em epouso) Paa um obsevado no inteio do vagão, o copo não está aceleado e, potanto, paa ele, a equação de foças é: T + Mg Ma (obsevado aceleado) b) Foça centífuga Consideemos uma platafoma giando com velocidade angula ω e sobe ela um copo peso ao cento po uma haste sem massa, como mostado na Fig Paa um obsevado eteno à platafoma, a única foça agindo

83 As leis de Newwton 77 sobe o copo é a foça centípeta F Mω, que mantém o copo na sua tajetóia cicula. Paa este obsevado, a a lei de Newton vale na sua foma usual: F Mω Ma Paa um obsevado sobe a platafoma, o copo está em epouso ( a ), poém a haste continua tensionada po um valo que pode se medido com um dinamômeto. Paa ele, deve então eisti uma foça contáia à da haste que mantenha o equilíbio do copo. Esta foça também vale Mω, poém é diigida paa foa do cículo. Ela é chamada de foça centífuga e só eiste no efeencial não inecial. M ω Fig Copo solidáio a uma platafoma odando com velocidade ω. c) Foça de Coiolis Um segundo tipo de foça inicial eistente em efeencial giante é a foça de Coiolis, que depende da velocidade e é pependicula a ela quando medida no efeencial giante. Consideemos dois obsevadoes, um no cento e o outo na boda de uma platafoma giante, como na Fig Num deteminado instante, o obsevado do cento (A) aemessa um copo com velocidade v paa o obsevado da boda (B). Quando o copo chega na boda, o obsevado B já deslocou-se de um ângulo θ e paa ele, o copo foi submetido a uma foça que se desviou paa a esqueda. O segmento de aco descito pelo obsevado B, localizado a uma distância do cento é s θ ωt. Po outo lado, o copo anda uma distância com velocidade constante v e potanto vt. Conseqüentemente, s

84 78 As leis de Newwton v ω t. Paa o obsevado B, este segmento de aco é consequência da aceleação povocada pela foça de Coiolis: s ( vω) t a t ou então: F c mvω, pependicula à velocidade. Esta foça tem dieção tangencial e o sentido oposto ao da otação do efeencial. c A v B A θ B s v Fig Obsevadoes numa platafoma giante. As foças ineciais em efeenciais giantes são de etema impotância devido ao fato que a Tea é um efeencial deste tipo. Estas foças podem se escitas em temos de podutos vetoiais se consideamos o veto ω como sendo pependicula à platafoma giante. F centífuga m ω ( ω ) m ω( ω. ) + m ( ω. ω) m ω mω v F Coiolis onde v é a velocidade no efeencial giante. Como eemplo do efeito da foça de Coiolis, vamos analisa o caso de um copo que cai de uma altua h sobe a supefície da Tea, na linha do Equado. Na ausência de otação, o copo caiia eatamente na dieção adial. Devido à otação da Tea, a foça de Coiolis poduziá uma pequena defleão que queemos calcula. Vamos despeza a foça centífuga supondo que ela já está incluída em g. Vamos faze um cálculo simplificado paa detemina a defleão. Supoemos v gt adial muito maio que a velocidade poduzida pela foça de Coiolis.

85 As leis de Newwton 79 a c dv dt c ωg t v c d dt ωg t 3 ω 3 Como o tempo de queda é h ωg t h temos. Usando g 3 g 5 ω π 7.3 ad e h m obtemos cm s gt Eecícios - Enconte o ângulo θ da Fig tal que o sistema pemaneça em epouso. Despeze o atito. - Enconte a azão ente as massas M e M tal que o sistema pemaneça em epouso na Fig Despeze o atito. Kg Kg θ M M 6 o 3 o Fig Fig Enconte a aceleação do copo de Kg da Fig Enconte a massa do copo A tal que a aceleação do copo B da Fig é nula. 6 Kg fio Kg 5 Kg A Kg B Kg Fig Fig. 4.36

86 8 As leis de Newwton 5 - No sistema da Fig o copo A desliza sobe uma supefície com coeficiente de atito µ. As codas e polias não têm massa. a) enconte as aceleações dos blocos A e B; b) enconte a tensão na coda ligada ao copo A. µ M A B M Fig Dado o ângulo θ de um plano inclinado sem atito, qual deve se a aceleação a R tal que o bloco de massa m mostado na Fig não deslize? m a R θ Fig Se o plano inclinado do poblema anteio tive um coeficiente de atito µ, qual são as aceleações máima e mínima tal que o bloco não deslize? 8 - Uma coda de compimento L e densidade linea de massa λ passa po uma polia sem atito. Ela é solta do epouso, estando um compimento pendente de um lado e L- do outo.

87 As leis de Newwton 8 a) detemine a aceleação como função de ; b) paa que situação a aceleação é nula? 9 - a) O sistema da Fig é live de atito. Detemine o valo da foça F tal que o copo A não desça nem suba. b) Se houve um atito estático µ ente as supefícies dos blocos, quais os valoes de foças máima e mínima tal que o copo A não desça nem suba? M F M M A Fig Um copo com velocidade inicial v peneta num meio que poduz uma foça viscosa F b v. Detemine a máima distância que o copo peneta neste meio. - No sistema mostado na Fig. 4.4 enconte: a) a aceleação do conjunto e b) a foça na coda, no ponto A. - O sistema mostado na Fig. 4.4 usa polias sem massa. Enconte as aceleações de cada bloco e a tensão na coda. polia sem atito 3 Kg M M A Kg M Fig. 4.4 Fig. 4.4

88 8 As leis de Newwton 3 - No sistema mostado na Fig. 4.4, o bloco em contato com a supefície hoizontal sem atito está sujeito a uma foça F. Eiste um atito estático µ ente este bloco e o bloco A de tal maneia que não eiste movimento elativo ente os tês blocos que compõem o sistema. Calcule: a) o ângulo θ, b) a tensão na coda e c) µ mínimo. 4 - N copos ligados ente si atavés de codas sem massa são puados em uma ampa po meio de uma foça F. Calcule a tensão na coda ligada ao i-ésimo copo. 5 - Considee o pêndulo cônico mostado na Fig. 4.43, onde a coda que liga a massa M ao ponto O não tem massa. a) enconte o ângulo θ como função da velocidade da massa M b) enconte a tensão da coda no ponto O µ F A M M θ M θ L µ M Fig. 4.4 Fig Um copo de massa M enconta-se penduado atavés de uma coda ideal sobe um bloco tiangula de ângulo θ, confome mosta a Fig Não eistindo atito ente os blocos, pegunta-se qual é a aceleação máima que pode se dada ao sistema tal que o copo M pemaneça em contato com o bloco tiangula. Neste caso, qual é a tensão na coda? Se o sistema estive se deslocando com velocidade constante, qual o valo da tensão na coda e da nomal? 7 Um bloco de massa M epousa sobe uma mesa com coeficiente de atito estático µ e. Uma foça F é aplicada ao bloco de maneia a foma um ângulo θ com a hoizontal, como mosta a Fig

89 As leis de Newwton 83 Supondo que o bloco esteja sempe na iminência de desliza, a) qual o ângulo θ que pemite que a foça aplicada seja mínima? e b) neste caso, qual seá o valo da foça F min? a R M θ M F θ Fig Fig Um bloco de massa M enconta-se sobe outo bloco de massa M, que desliza sobe o chão, confome mosta a Fig O atito estático ente os dois blocos é µ e e o atito cinético ente o bloco e o chão é µ c. a) Detemine a máima foça F que pode se aplicada ao bloco sem que o bloco deslize sobe ele. b) se a foça fo aumentada tal que M começa a desliza, e o atito cinético ente os blocos também é µ c, qual seá a aceleação de cada massa? 9 - Um bloco de massa M enconta-se sobe outo bloco de mesma massa, num plano inclinado liso, de ângulo θ, confome mosta a Fig O atito estático ente os dois blocos é µ, e ente o bloco infeio e o plano é zeo. a) Detemine a máima foça F que pode se aplicada ao bloco supeio sem que este deslize sobe o bloco infeio. b) Neste caso, qual seá a aceleação do sistema? F M M F M M θ Fig Fig. 4.47

90 84 As leis de Newwton - Um copo de massa m enconta-se sobe um bloco tiangula de ângulo θ e massa M, confome mosta a Fig Não eiste atito ente o bloco tiangula e o chão, e o atito estático ente os dois blocos é µ. Pegunta-se: a) qual a foça hoizontal máima F que pode se aplicada ao bloco m tal que ele não deslize sobe a cunha? b) qual é o valo da nomal nesta situação? F θ m M Fig. 4.48

91 Tabalho e enegia TRABALHO E ENERGIA Tabalho e enegia cinética O conceito de enegia é um dos mais impotantes em Física. De uma foma geal, dizemos que um copo contém uma deteminada quantidade de enegia quando ele tem capacidade de eece foça e ealiza tabalho sobe um segundo copo. Paa estabelecemos o conceito de enegia, vamos inicialmente defini tabalho em uma dimensão como: W F ( ) d que nada mais é do que a áea da cuva F () ente os pontos e. Esta foça é a foça total agindo sobe o copo, isto é, ( ) F ( ) F N i i Vemos que só há ealização de tabalho quando a foça e o deslocamento foem não nulos. Podemos ainda defini um tabalho infinitesimal como sendo: dw F ( ) d onde d é um deslocamento infinitesimal no qual F () pode se consideada constante. A unidade de tabalho é N.m J ou dyn.cm eg (J 7 eg). A pati da definição de tabalho dada acima, podemos usa a a Lei de Newton paa defini o que é enegia cinética. W Fd m dv d m dt dv d d dt d

92 86 Tabalho e enegia W m v dv d m d A quantidade K ( v ) d d d m v ( ) m v ( ) mv p / m é denominada de enegia cinética. O esultado mostado acima, chamado de teoema do tabalho-enegia, estabelece que o tabalho ealizado po um sistema de foças é igual à vaiação da enegia cinética do copo no intevalo consideado. Matematicamente, W K( ) - K( ) Eemplo: Vamos considea um copo movendo-se sobe um plano com coeficiente atito dinâmico µ. Queemos detemina, usando tabalho e enegia, qual é a vaiação da velocidade do copo com a distância e qual é a distância pecoida até ele paa. A condição inicial paa este eemplo é que na oigem ( ) a velocidade é v. A foça agindo sobe o copo é F at - µn - µmg de foma que o tabalho é W -µmg. Quando o tabalho é negativo significa que estamos etiando enegia cinética do copo. Pelo teoema tabalho-enegia, temos: de onde encontamos: W µ Mg v Mv ( ) v g µ A posição paa a qual o copo páa é dada pela condição v(), isto v / g. é, ( ) µ Mv O enfoque que demos ao tabalho até este ponto foi baseado no caso unidimensional. Podemos genealiza a definição de tabalho paa o caso tidimensional esquematizado na Fig. 5. como: S W F.ds K S K S S ( ) ( )

93 Tabalho e enegia 87 S S d s Fig Realização de tabalho paa o caso ti-dimensional. e desta foma, apenas a componente da foça paalela ao deslocamento ealiza tabalho. Lembando da definição de poduto escala, podemos esceve: W F d + Fydy + y y z z F dz de foma que o tabalho em tês dimensões pode se entendido como a sona dos tabalhos em cada dimensão. Este fato está de acodo com o pincípio de Galileu da independência os movimentos que vimos no Cap. 3. Como o poduto F.d s pode vaia ao longo do caminho de integação, o cálculo de W pode muitas vezes se complicado. Como eemplo deste tipo de cálculo, vamos toma o caso de um copo descendo um plano inclinado sem atito e patindo do epouso, como mostado na Fig. 5.. z m y Mg N Mg senθ θ s Fig Copo descendo um plano inclinado sem atito. Caso : Como pimeia maneia de esolve este poblema vamos considea um eio s paaleo ao plano e, conseqüentemente, também paalelo à componente de foça mg senθ que ealiza tabalho. As componentes N e mg

94 88 Tabalho e enegia cosθ são pependiculaes ao deslocamento e, potanto, não ealizam tabalho. Temos: W S mgsenθ ds mgsenθ s mv mv v gs senθ Caso : Podemos ainda escolhe o sistema de coodenadas catesianas y também mostado na Fig. 5.. Usando N mg cosθ, as equações neste caso ficam: F N senθ mg senθ cosθ F y N cosθ - mg mg (cos θ - ) - mg sen θ e assim podemos calcula o tabalho nas duas dieções: W F d mg sen θcosθ mv W y y F d y y mgsen θ y mv de onde tiamos: v v + v g sen θ ( cosθ + ysen θ) y y. Como s cosθ e y -s senθ, temos: v gs senθ (cos θ + sen θ) e potanto, v gssen θ, que concoda com o esultado obtido anteiomente. Caso 3: Uma teceia maneia de se calcula o tabalho ealizado sobe um copo é atavés da paametização da tajetóia, que se taduz no conhecimento de y(). Neste caso, de acodo com a Fig. 5.3, ds d + dy d dy + d S S ( ) dy W F + S Sds F S S d d

95 Tabalho e enegia 89 d s d dy tajetóia Fig Paametização de uma tajetóia S. No eemplo do plano inclinado que estamos tatando, dy y tgθ tgθ d y dy + + tg θ secθ d cosθ z F mgsen W mg ( sen s θ θ )d cosθ W mg sen θ cosθ mv Como s cosθ v gssen θ, como já havíamos encontado. Resumindo, vimos tês maneias de se calcula W. No caso ), escolhemos uma coodenada natual paa o poblema e a solução foi simples. No caso ), escolhemos coodenadas catesianas e a solução já foi mais complicada. No caso 3), a tajetóia foi paametizada po y y(), mas este método só é conveniente quando a tajetóia fo complicada, como po eemplo, y 3 /3, etc. S S Uma outa situação que consideaemos a segui é a de um copo vinculado a move-se sobe um cilindo sem atito e que é solto de um ângulo θ com velocidade nula, como indica a Fig Uma análise ápida das foças agindo sobe o copo indica que apenas a componente tangencial mg cosθ é capaz de ealiza tabalho. N e mg senθ são pependiculaes à tajetóia. Neste

96 9 Tabalho e enegia poblema, a coodenada natual é o ângulo θ. Vemos que: F S mg cosθ e ds - Rdθ, já que s e θ aumentam em sentidos opostos. Assim, R y θ S M Mg cosθ Fig Copo vinculado a move-se sobe um cilindo sem atito. W θ θ mgcosθ Rdθ mgr(sen θ sen θ ) W K v mgr ( sen θ sen θ) ( θ) gr( sen θ sen θ) mv 5. Potência Quando um agente eteno ealiza tabalho sobe um copo, podemos defini potência como sendo a taa tempoal de enegia que ele é capaz de fonece ao copo. Assim, no caso de uma foça constante, dw F.d s e P dw / dt F. ds F.v. A unidade de potência é enegia/tempo: dt P J / s Watt W. [ ] ( ) 5.3 Enegia potencial Nem sempe o tabalho ealizado sobe um copo po um agente eteno é convetido totalmente em enegia cinética. Muitas vezes o tabalho dá oigem a um outo tipo de enegia, chamada enegia potencial. Analogamente à enegia cinética, um copo com enegia potencial tem a

97 Tabalho e enegia 9 capacidade de ealiza tabalho. Em geal, nesta situação eiste um agente eteno ealizando tabalho sobe o sistema de inteesse. Atavés da ealização deste tabalho, o agente eteno tansfee enegia paa o sistema, que a amazena de alguma foma. Quando o agente eteno é etiado, o sistema libea a enegia amazenada (enegia potencial) atavés da ealização de tabalho e convete esta enegia em enegia cinética. Dente os váios tipos de enegia potencial, os mais comuns são a gavitacional, elástica (mola) e elética (Coulombiano). Como eemplo de enegia potencial gavitacional, vamos considea um copo que se desloca uma altua h h h. Paa isto é necessáio um agente eteno tabalhando conta a foça peso, como indicado na Fig Neste caso, F et mg e o tabalho ealizado é: W et F et h mg h U U onde U mgh é definido como enegia potencial gavitacional. O tabalho feito pela foça peso é W p mg h ( U U ) Se soltamos o copo, a enegia potencial U mg h se tansfomaá em enegia cinética. Na vedade, o que fazemos é da condições paa a foça peso ealiza tabalho: W mg h mv v g h h F et h mg h Fig Copo sob a ação da foça gavitacional.

98 9 Tabalho e enegia 5.4 Foças consevativas Como vimos na secção anteio, a enegia potencial está associada à eistência de uma foça à qual demos condições de ealiza tabalho. Como eemplo, temos a foça gavitacional, foça eletostática e foça elástica (de mola). Estas foças são denominadas consevativas. Quando as foças consevativas são as únicas eistentes no sistema, a soma das enegias cinética e potencial (chamada de enegia mecânica total) pemanece constante. Se uma foça é consevativa, o tabalho total ealizado sobe um copo é nulo do ele efetua uma tajetóia fechada e etona à posição inicial. Isto que dize na tajetóia fechada a foça consevativa não etia e nem cede enegia ao sistema. Matematicamente, F.ds Imaginemos que um copo está indo do ponto S ao ponto S pela tajetóia C, sob ação de uma foça consevativa, como mosta a Fig Ao atingi S, o copo etona ao ponto inicial S pelo caminho C. C S S C Fig Tajetóia fechada seguida pelo copo sob a ação de foça consevativa. Nestas condições temos: F.ds F.ds + F.ds C C C C F.ds F.ds

99 Tabalho e enegia 93 Po outo lado, se invetemos o sentido de pecuso do caminho C, a integal muda de sinal e assim, F.ds C C F.ds Conseqüentemente, concluímos que o tabalho ealizado po uma foça consevativa independe do caminho que conecta os pontos e. Ele só depende da posição dos pontos inicial e final do movimento, o que tona lógico associa-se uma enegia potencial a cada ponto do pecuso. Lembando-me do caso da foça peso, W F.ds ( U U ) U e paa um deslocamento infinitesimal, dw F.d s. As enegias potenciais mais comuns são: a) gavitacional (póimo à supefície da Tea): F mgŷ, ds dy y U y y U Potanto, U(y) mgy + C b) Elástica (de uma mola): F k ˆ, ds d U ( mg) dy mg y mg ( ) U( ) k d ( ) U( ) k + C c) Eletostática: F α ˆ e ˆ.ds U( ) ( ) U α d U( ) α α + C d

100 94 Tabalho e enegia 5.5 Deteminação da foça a pati da enegia potencial Cono vimos anteiomente, à toda foça consevativa está associada uma enegia potencial. Muitas vezes conhecemos a enegia do sistema e a pati dela queemos enconta a foça e o movimento do copo. Consideando apenas o caso unidimensional, du F d F du d ou seja, o conhecimento da enegia potencial pemite o cálculo da foça que age sobe o copo. No caso de foças adiais, é fácil veifica que: F du d O uso desta epessão é impotante quando queemos detemina as posições de equilíbio de um copo. Consideemos, po eemplo, a enegia potencial de uma mola, que como vimos, é dada po: U() ½ k. Neste caso, F() -k. Vemos que no ponto, du/d e assim F() e assim esta é uma posição de equilíbio. Neste caso, o equilíbio é estável, pois quando o copo se afasta da oigem a mola eece uma foça estauadoa no mentido de tazê-lo de volta. Po outo lado, se consideamos um potencial do tipo: U() C + a como mosta a Fig. 5.7, a foça seá dada po: F C ( + a ) Neste caso também temos du /d em, poém agoa o equilíbio é instável pois quando o copo se afasta da oigem, teemos uma foça positiva que o obiga a se afasta ainda mais. Note que:

101 Tabalho e enegia 95 d U d C < 4 a De um modo geal, dado U(), teemos equilíbio se U ( ). O equilíbio seá estável se U ( ) > e instável se U ( ) <, onde é o ponto de equilíbio. U() Fig. 5.7 Potencial com ponto de equilíbio instável. 5.6 Foças dissipativas Além das foças consevativas temos ainda as chamadas foças dissipativas, que ao contáio das pimeias, emovem enegia do sistema, tansfomando-as em outas fomas de enegia, como po eemplo, calo. Na pesença de foças dissipativas, o tabalho ealizado po estas foças é igual à vaiação da enegia mecânica total do sistema. Tomemos po eemplo, o caso do atito. Lançando-se um copo de massa m com velocidade v sobe a mesa com atito µ, o tabalho ealizado pela foça de atito é: W µ mg mv mv onde é a distância pecoida pelo copo e a difeença de enegia é dissipada na foma de calo.

102 96 Tabalho e enegia 5.7 Consevação de enegia Até agoa vimos que um sistema mecânico pode apesenta dois tipos de enegia potencial, do tipo: e a cinética: U() K mv F().d + C A soma dessas enegias é denominada enegia mecânica total do sistema num deteminado ponto E mec U + K Na ausência de foças dissipativas esta quantidade é uma constante de movimento, isto é, de mec dt Como eemplo, vamos considea o sistema massa-mola na ausência de foças dissipativas. A enegia mecânica é dada po: Como m dv/dt E mec mv k e d /dt v, temos: + k de mec vk + vk dt No caso de have foças dissipativas, de m E mec Wfd P dt onde P é a enegia dissipada. No caso do poblema com atito que esolvemos na secção anteio temos:

103 Tabalho e enegia 97 a µ g v ( ) v g µ E de dt mec mec mv µ mgv mv µ mg ( ) µ mg v µ g 5.8. Um gáfico desta potência como função de está mostado na Fig. P µ mgv Fig Potência como função da posição. O uso da lei de consevação de enegia é muito impotante poque quase sempe pemite a esolução de poblemas sem a necessidade de se esolve a equação de movimento. Vamos a segui apesenta alguns eemplos que utilizam o pincípio da consevação de enegia. a) Pêndulo simples Este poblema já foi esolvido atavés da a Lei de Newton, de onde v θ Lg cosθ cos θ. Vamos obte este mesmo esultado obtivemos ( ) ( ) usando consevação de enegia. O pêndulo é solto com v na posição θ, como indica a Fig Escolhendo a posição do teto como U, temos E E ( θ ) mgl cosθ ( θ) mgl cosθ + mv v µ g

104 98 Tabalho e enegia E ( θ ) E( θ ) mgl cosθ mgl cosθ + mv de onde tiamos que v ( ) Lg( cosθ cos θ ) θ. U θ L M Fig Pêndulo simples. b) Máquina de Atwood Este dispositivo, também já discutido com a a Lei de Newton está esquematizado na Fig. 5.. Vamos supo que os copos são soltos em y e y. A consevação da enegia mecânica fonece: m gy + m gy mgy + m gy + mv + m v Deivando em elação ao tempo temos: m gv + m gv + m v dv /dt + m v dv /dt, onde a dv/ dt e a dv / dt. Como a coda é inetensível, a m m a U Fig Máquina de Atwood.

105 Tabalho e enegia 99 v onde sai que: v e a a, e potanto: ( m m ) gv + ( m + m ) av a, de ( m m) ( m + m ) g paa cima, pois é positiva e a a, paa baio pois é negativa. c) Copo peso num ao po meio de uma mola Vamos considea um copo de massa m peso a um ao sem atito atavés de uma mola constante k e compimento live nulo. O copo é solto do ponto mostado na Fig. 5., com velocidade inicial nula. Queemos enconta as velocidades nos pontos e. Usando consevação da enegia mecânica temos: E ( ) k( R) + mg( R) ( ) k( R) E E ( ) mv + mgr + mv v Fazendo E() E() e E() E() obtemos espectivamente: kr + mgr kr + mgr e v 4, e potanto, v v. m m m k R U Fig Copo peso num ao po meio de uma mola.

106 Tabalho e d) Foça viscosa Vamos ve um eemplo onde a enegia não se conseva. Consideemos um copo lançado com velocidade v num meio viscoso cuja foça de atito é F -bv. Neste caso não temos enegia potencial, só enegia cinética. No início do movimento, K mv. Paa um deslocamento infinitesimal : dk d K K Como K mv temos bv dk dt ( v + v) K( v) dk dt dk dt dt d bv K v. Logo, m b m K Integando ente e t temos: dk K l n K K bv dk dt v bv b dt m b t, de onde sai que: K m K ep{-bt/m} e potanto, mv mv ep{-bt/m}. Tiando a aiz obtemos: v v ep{-bt/m}, que coincide com o esultado obtido com a a lei de Newton. 5.8 Copo sob a ação de um potencial abitáio Quando um copo move-se num potencial abitáio consevativo, E mv + U( é como aquele mostado na Fig. 5., a enegia total ( ) ) uma constante de movimento. Nos pontos e, K, E U(, ) e, potanto, v. Estes pontos são chamados pontos de etono. O movimento

107 Tabalho e enegia só ocoe ente e, pois foa desta egião U() > E e a enegia cinética teia que se negativa, o que implicaia numa velocidade imagináia. Paa encontamos a equação de movimento, fazemos: v d dt m ( ) E U() d E U() dt m de movimento. Integando esta igualdade teemos (t), que epesenta a equação K U Fig Copo movendo-se num potencial abitáio. Eecícios - Um copo é aceleado unifomemente a pati do epouso até atingi a velocidade v f no tempo t f. Moste que a potência instantânea fonecida ao copo é: t t ( t) mvf P - Considee o sistema da Fig. 5.3, onde a foça F é constante e os planos têm coeficiente de atito dinâmico µ. Calcule o tabalho total ealizado pelas foças agindo no sistema quando o mesmo desloca-se uma distância infinitesimal. f

108 Tabalho e M F M θ Fig Considee o potencial de Lennad-Jones comumente utilizado como sendo a enegia de inteação ente dois átomos constituindo uma molécula: 6 [ ] U( ) C ( ) ( ) a) Faça um gáfico de U() conta, b) Moste que o mínimo de enegia (posição de equilíbio) ocoe em, c) Ache a foça ente os átomos como função de e d) Qual é a enegia necessáia paa sepaa os átomos que constituem a molécula? 4 - Um pêndulo de massa m e compimento l é solto do ponto θ 6 o a pati do epouso, como indicado na Fig Ao atingi a posição vetical θ o, o codão do pêndulo enconta um pego colado a uma distância d do teto. Enconte a distância d mínima que a massa m eecute otação ao edo do pego. 5 - Um copo de massa m move-se no inteio de um tilho cicula vetical de aio R (Fig. 5.5). Quando m está na posição mais baia sua velocidade é v. a) Qual é o mínimo valo de v tal que o copo pecoa todo o tilho? b) Se v fo 78% do valo deteminado em a), o copo sobe pelo tilho até o ponto P, pedeá contato com o tilho. Detemine a coodenada θ deste ponto. 6 - Um copo de massa M, sujeito a um potencial U() - cosπ, é solto na oigem ( ) com velocidade v. a) Faça um esboço do potencial na egião - ; b) Enconte a foça F() agindo no copo e c) Qual é a máima velocidade v que pode se dada ao copo de tal maneia que ele fique confinado na egião -?

109 Tabalho e enegia 3 P l θ θ R m m Pego v Fig. 5.4 Fig Uma massa m escoega sem atito ao longo da montanha ussa mostada na Fig A pate cicula tem aio R e a massa pate do epouso no ponto B, à altua h medida em elação à base dos tilhos. a) Qual é a enegia cinética de m no ponto P? b) Qual é a aceleação de m no ponto P, admitindo que a massa pemaneça no tilho? c) Qual é o meno valo de h paa que m eecute o movimento cicula? d) Paa um valo h maio do que este mínimo esceva a epessão da foça nomal eecida pelo tilho sobe a massa. 8 - Um copo de Kg é solto num plano inclinado de um ponto que dista 4 m de uma mola de constante de foça k N/m. A mola está fia paalelamente ao plano, inclinada de θ 3 (Fig. 5.7). a) Calcula a compessão máima da mola, admitindo que a sua massa seja despezível; b) Calcula a compessão máima da mola, quando o plano inclinado tem atito (coeficiente de atito ente ele e o copo igual a,); c) No caso do plano com atito, qual a altua atingida pelo copo no seu etono paa cima? 9 - Dois copos andando com mesma velocidade v sobe um plano hoizontal estão distanciados de d. Após subiem uma ladeia de altua h, qual seá a distância ente eles? (Fig. 5.8).

110 4 Tabalho e m B P R m 4m h k 3 o Fig. 5.6 Fig Um bloco desliza com velocidade v sobe um plano hoizontal sem atito. Subitamente ele enconta uma ampa com ângulo de inclinação θ e coeficiente de atito dinâmico µ. Qual altua máima H o bloco sobe na ampa? - Um copo de massa M é peso po uma coda de compimento L e pode oda em tono do ponto O, como indicado na Fig Qual é a mínima velocidade que o copo pode te ao passa pelo plano hoizontal de foma que ele fique em movimento cicula? d d h M v L O Fig. 5.8 Fig Um copo colocado eatamente na vetical de uma supefície cilíndica sem atito, começa a desliza com velocidade v, confome mosta a Fig. 5.. (a) Enconte sua velocidade em função do ângulo θ. (b) Enconte a foça nomal como função do ângulo θ. (c) Detemine o ângulo θ paa o qual copo se despende do cilindo. 3 - Um copo de massa m é peso a uma mola vetical, de constante de mola k, como mosta a Fig. 5.. O copo é solto a pati do epouso, da posição y, sendo que nesta situação a mola não está distendida. a) Esceva a enegia potencial como função de y (tome o zeo de enegia potencial

111 Tabalho e enegia 5 gavitacional na posição onde a mola não está distendida). b) Complete quadados e faça um gáfico de U(y) conta y, c) usando este gáfico, enconte a posição de equilíbio do copo, d) qual é o deslocamento máimo ealizado pelo copo? e) qual é a velocidade máima atingida pelo copo? m v θ k R M y Fig. 5. Fig Um pêndulo simples de massa m e compimento L enconta-se em epouso na vetical. Subitamente a massa ecebe um impulso instantâneo que lhe confee uma velocidade v, como mosta a Fig. 5.. Enconte: a) a velocidade tangencial como função do ângulo θ, b) a tensão na coda como função do ângulo θ, c) a meno velocidade (v ) min que pemite ao pêndulo ealiza uma volta completa em tono do pino O. 5 - Um bloco de massa M desliza sobe uma mesa com coeficiente de atito cinético µ 3/4. Ele colide com uma mola de massa despezível, de constante de mola k, inicialmente na posição elaada, como mosta a Fig Na hoa que o bloco atinge a mola ele possui velocidade v Mg /k. a) enconte a enegia cinética como função da posição, b) complete quadados e faça um gáfico de E k (), c) qual a defomação máima da mola? d) que fação da enegia inicial é dissipada pelo atito neste pocesso?

112 6 Tabalho e O θ L v M v k m v Fig. 5. Fig Considee um copo de massa m peso a um ao de aio R, sem atito, atavés de uma mola de constante k e compimento live nulo, como mosta a Fig O copo é solto do ponto O com velocidade inicial nula. Tomando o zeo da enegia potencial gavitacional como mostado na figua, enconte: a) a enegia mecânica do sistema no ponto O, b) uma epessão paa a enegia mecânica no ponto P descito pelo ângulo θ, c) a velocidade da massa no ponto P, d) a foça de eação do tilho no ponto P, e e) o meno valo de k paa que a massa pemaneça em contato com o tilho. O R m θ k P U Fig. 5.4

113 Sistemas de patículas Consevação de momentum 7 SISTEMA DE PARTÍCULAS CONSERVAÇÃO DE MOMENTUM 6 6. Cento de massa Quando foças etenas agem sobe um sistema composto de váios copos, cada um deles movimenta-se, em pincípio, de uma foma difeente. O movimento total do sistema é bastante complicado, poém eiste um ponto paticula, chamado cento de massa, cujo movimento pode se encontado com facilidade. Sua intodução visa facilita a solução de poblemas envolvendo muitos copos e seu compotamento é como se toda massa do sistema estivesse concentada sobe ele. Paa um sistema composto de N massas, o cento de massa é definido como: N i m i X CM N i m i i N i N i m m i i Y Z CM CM N i N i m y i m z i i i onde (X CM, Y CM, Z CM ) são as coodenadas do cento de massa e ( i, y i, z i ) são as coodenadas do i-ésimo copo. Paa um sistema de duas patículas em uma dimensão, po eemplo, MX CM m + m Tomemos alguns casos paticulaes: a) m m,, d X CM d/

114 8 Sistemas de patículas Consevação de momentum b) m m,, d X CM d/3 Paa um sistema com distibuição contínua de massa, fazemos m i dm, Σ e a definição de X CM é genealizada como: V X CM M V dm Como eemplo, vamos calcula a posição do cento de massa de uma baa ígida de compimento L e a massa M, mostada na Fig. 6.. Neste caso: L d dm λd Fig Baa ígida de compimento L e massa M. X CM X M L dm M M L M L CM L L λ d Como segundo eemplo, vamos enconta o cento de massa de um semicículo de aio R e massa M mostado na Fig. 6., onde πr é o compimento do semicículo. y M dm λds Rdθ πr dθ θ R Fig Semicículo de aio R e massa M. X CM M π R cos θ π π ( M ) Rdθ R cosθdθ R sen θ πr π π

115 Sistemas de patículas Consevação de momentum 9 Y CM M π R sen θ π π ( M ) Rdθ R sen θdθ R cos θ R.6 R πr π π π 6. Movimento do cento de massa Tomando a deivada tempoal na equação que define a coodenada X CM do cento de massa em uma dimensão, temos: d M dt CM m d dt + m d dt +... onde p i m i v i é o momentum do i-ésimo copo. Tomando-se novamente a deivada tempoal e usando-se a a Lei de Newton: dv N dp N M CM i Ma F F dt CM dt i i Assim, a esultante de todas as foças atuantes sobe o sistema obedece a a Lei de Newton, desde que seu efeito seja consideado sobe o cento de massa. É inteessante nota-se que quando somamos todas as foças eistentes no sistema, estamos consideando, além das foças etenas, as foças intenas eecidas po um copo sobe o outo. Desta foma F N i F i N i F int i Como sabemos, as foças intenas sempe ocoem aos paes (ação - eação) e cancelam-se mutuamente quando efetuamos a soma sobe todos os N int constituintes do sistema Fi. Assim, costumamos dize que as i foças intenas não modificam o estado de movimento do sistema como um todo e potanto, + N i i F et i

116 Sistemas de patículas Consevação de momentum Ma CM N i F et i F et Somente foças etenas são capazes de modifica o estado de movimento do cento de massa do sistema, que se move como se fosse una única patícula N de massa M m i, sob a ação da foça etena esultante que atua no i sistema. Eemplo: Imaginemos um pojétil lançado obliquamente que eplode no ponto alto da tajetóia de modo que a pimeia metade cai veticalmente, confome mosta a Fig Queemos calcula a tajetóia da segunda metade. Eiste apenas a foça etena peso agindo sobe o sistema. Desta foma, de acodo com o que vimos no Cap. 3 sobe lançamento de pojéteis, m v θ m m Fig Pojétil lançado obliquamente que eplode no ponto alto da tajetóia. Y X CM v CM v Após a eplosão, que ocoe em cosθ t senθ t t ma demoa paa atingi o topo da tajetóia, temos: v senθ g gt v senθ, tempo que a massa m g constante v ( ) sen θ t t ma y g v t sen θ t g g YCM

117 Sistemas de patículas Consevação de momentum Vemos que a altua da massa é a mesma que a do cento de massa, ou em outas palavas, eles caem juntos. Podemos calcula a posição da massa de acodo com: X CM v cos θ t m m mv senθ + g ( t) v v cos θ t senθ g e, Y CM v gt senθ t m my + m v gt senθ t gt y ( t) v senθ t YCM que assim como m cai junto com o cento de massa. Da equação paa (t) eliminamos o tempo: t + v v senθ /g cosθ e pela substituição deste em y (t) encontamos a equação da tajetóia y ( ) após a eplosão: ( + v senθ / g) tgθ v senθ g y ( ) + g 4v cos θ Daqui obtemos que y ocoe quando ma 3 v senθ, como g espeado. Na ausência de foças etenas, a velocidade do cento de massa é constante, de onde segue que P m v i i i também é uma constante de movimento. Isto que dize que duante colisões ou movimentos elativos ente as váias pates do sistema, o momentum total é consevado. Quando

118 Sistemas de patículas Consevação de momentum estudamos colisões, as leis de consevação de enegia e momentum seão de etema impotância. 6.3 Sistemas onde a massa vaia Sistemas onde a massa vaia são difíceis de seem esolvidos pela aplicação dieta da a Lei de Newton poque m e v vaiam simultaneamente. Vamos considea a situação mostada na Fig Uma quantidade de massa m, com velocidade v ', deposita-se sobe um copo de massa m deslocandose com velocidade v. Vamos supo a eistência de uma foça F que pode altea o momentum do sistema. No instante imediatamente anteio à colisão: P(t) mv + mv' e no instante imediatamente posteio à colisão: P(t + t) (m + m) ( v + v) m ( v + v) + mv onde o temo de odem supeio m v foi despezado po se muito pequeno. m v ' F m v Fig Sistema com massa vaiável. A vaiação do momentum é dada po: P P( t + t) P(t) m v m( v' v) Podemos econhece u v' v como sendo a velocidade de m elativa à massa m, de foma que ficamos com: P m v m u. Dividindo-se esta epessão po t e tomando o limite paa t, obtemos: dp m dv dm F u dt dt dt

119 Sistemas de patículas Consevação de momentum 3 ou altenativamente, ma F dm + u dt que é a a lei de Newton, poém modificada pelo temo dm u, conhecido po dt foça de empuo (não confundi com a que apaece no pincípio de Aquimedes, que veemos posteiomente ao tata a mecânica dos fluidos). Na ausência de um agente eteno, esta é a foça que é eecida sobe o sistema pela poção de massa que foi adicionada ou que deiou o sistema. Passemos agoa a analisa alguns eemplos em que a equação acima se aplica. a) Coeia de caga - Cai aeia a uma taa dm/dt sobe uma coeia deslocando-se com velocidade constante v, como mosta a Fig Neste caso, a aceleação é nula e a velocidade da aeia sendo adicionada elativa à coeia é u, pois tomamos o sentido positivo das velocidades paa a dieita. A foça necessáia paa mante a coeia com velocidade v é: F dm dt u aeia v Fig Coeia de caga. b) Foguete no espaço sem gavidade - Em váias situações físicas o sistema consegue um gande impulso atavés da ejeção de massa. Consideemos um foguete num instante de tempo t, como esquematizado na Fig Vamos supo que o foguete esteja no espaço sem gavidade. Ente t e t + t, uma quantidade m de massa seá epelida do foguete com uma velocidade u