Autômatos Finitos. Autômatos finitos não deterministas

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1 Autômtos Fntos Compldores 1 Autômtos ntos, ou máqun de estdos ntos, são um orm mtemátc de descrever tpos prtculres de lgortmos. Autômtos ntos podem ser utlzdos pr descrever o processo de reconhecmento de pdrões em cdes de entrd. Um utômto nto pode ser representdo trvés de um gro, onde os nós representm os estdos e os rcos representm s trnsções entre estdos. 1. Os utômtos ntos são reconhecedores 2. Podem ser de dos tpos: ) Autômtos ntos não determnsts (Nondetermnstc Fnte Automt NFA) ) Autômtos ntos determnsts (Dtermnstc Fnt Automt DFA) Os utômtos ntos determnsts e os não determnsts são cpzes de reconhecer s mesms lngugens. Autômtos ntos não determnsts Um NFA (utômto nto não determnístco) consste em: 1. Um conjunto nto de estdos S. 2. Um conjunto de símolos de entrd,, o leto de entrd. Consdermos que nunc é um memro de. 3. Um unção de trnsção que dá, pr cd estdo e pr cd símolo em {, um conjunto de estdos seguntes. 4. Um estdo s 0 de S é dstngudo como o estdo de prtd (estdo ncl). 5. Um conjunto de estdos F, um suconjunto de S, que é dstngudo como os estdos de cetção (estdos ns). Podemos representr um NFA por um gro de trnsção, onde os nós são estdos e s rests rotulds representm unção de trnsção. Exste um rest rotuld do estdo s pr o estdo t, se e somente se t or um dos estdos seguntes o estdo s e à entrd. Esse gro é muto precdo com um dgrm de trnsção, exceto pelo to de que: ) O mesmo símolo pode rotulr rests de um estdo pr város estdos derentes. ) Um rest pode ser rotuld por em vez de símolos do leto de entrd. Exemplo: o gro de trnsção pr um NFA reconhecendo lngugem d expressão regulr ( )*, que descreve tods s cdes de s e s termnndo com cde As úncs cdes que chegm o estdo de cetção são quels que termnm com.

2 2 Autômtos Fntos Tels de trnsção Podemos representr um NFA por um tel de trnsção, cujs lnhs correspondem estdos, e cujs coluns correspondem os símolos de entrd e. A entrd d tel pr um determndo estdo e um símolo de entrd represent o vlor d unção de trnsção plcd esses rgumentos. Se unção não tver normções sore esse pr estdo-entrd, colocmos n tel pr o pr. A tel de trnsção pr o NFA presentdo cm: Estdo 0 {0, 1 {0 1 {2 2 {3 3 Acetção ds cdes de entrd Um NFA cet cde de entrd x se e somente se houver lgum cmnho no gro de trnsção do estdo ncl pr um dos estdos ns, de modo que os símolos o longo do cmnho componhm x. Rótulos o longo do cmnho são gnordos, pos cde vz não contru pr cde construíd o longo do cmnho. Exemplo: cde é cet pelo NFA nteror. I) O cmnho rotuldo por prtr do estdo 0 té o estdo 3: II) Outro cmnho prtr do estdo 0, que não é de cetção Um NFA cet um cde desde que lgum cmnho rotuldo por ess cde leve do estdo ncl pr um estdo de cetção. A exstênc de outros cmnhos levndo um estdo de não cetção é rrelevnte. Autômtos ntos determnsts Um DFA (utômto nto determnst) é um cso especl de um NFA, onde: 1. Não exstem movmento so entrd 2. Pr cd estdo s e símolo de entrd, exste extmente um rest sndo de s, rotuld com. Se estvermos usndo um tel de trnsção pr representr um DFA, então cd entrd n tel é um únco estdo. O DFA é um lgortmo smples, concreto, pr reconhecer s cdes. É propíco que cd expressão regulr e cd NFA possm ser convertds pr um DFA. É o DFA que mplementmos qundo constuímos nlsdores léxcos. Exemplo: lgortmo smulndo um DFA. s = s0; c = nextchr(); enqunto (c!= eo) { s = move(s, c); c = nextchr();

3 se (s está em F) return sm ; senão return não ; Exemplo: gro de trnsção de um DFA cetndo lngugem ( )*. Compldores De expressões regulres pr os utômtos A expressão regulr é notção escolhd pr descrever nlsdores léxcos e outros tpos de sotwre que zem processmento de pdrão. No entnto, mplementção desse sotwre requer smulção de um DFA ou NFA. Como um NFA gerlmente pode escolher zer um movmento so um símolo de entrd ou so, ou mesmo escolher entre zer um trnsção so ou so um símolo de entrd rel, su smulção não é tão ácl como de um DFA. Frequentemente é mportnte converter um NFA pr um DFA que cete mesm lngugem. Conversão de um NFA em um DFA Cd estdo do DFA construído corresponde um conjunto de estdos do NFA. É possível que o número de estdos DFA sej exponencl no número de estdos NFA, o que poder gerr dculddes qundo tentássemos mplementr esse DFA. No entnto, pr lngugens res, o NFA e o DFA possuem proxmdmente o mesmo número de estdos, e o comportmento exponencl não é vsto. Exemplo: construção de suconjuntos de um DFA prtr de um NFA. nclmente, echo- (s 0 ) é o únco estdo em Dsttes, e não está mrcdo; enqunto (exste um estdo não mrcdo T em Dsttes) { mrc T; pr (cd símolo de entrd ) { U = echo- (move(t,)); se (U não está em Dsttes) nclu U como um estdo não mrcdo em Dsttes; Dtrn[T, ] = U; O lgortmo constró um tel de trnsção Dtrn pr D. Cd estdo em D é um conjunto de estdos do NFA, e construímos Dtrn de modo que D smule em prlelo todos os movmentos possíves que N pode zer so determnd cde de entrd. Precsmos explorr os conjuntos de estdos em que N pode estr depos de ver lgum cde d entrd. Antes de ler o prmero símolo de entrd, N pode estr em qulquer um dos estdos echo- (s 0 ). Operção Descrção echo- (s) Conjunto de estdos do NFA que podem ser lcnçdos prtr do estdo s do NFA pens so -trnsções. echo- (T) Conjunto de estdos do NFA que podem ser lcnçdos prtr de lgum estdo s do NFA no conjunto T pens so -trnsções.

4 4 Autômtos Fntos =U s em T echo- (s). move(t, ) Conjunto de estdos do NFA pr os qus exste um trnsção so o símolo de entrd prtr de lgum estdo s em T. O estdo ncl de D é echo- (s0), e os estdos de cetção de D são todos queles conjuntos de estdos de N que ncluem pelo menos um estdo de cetção de N. Clculndo -echo(t). emplhe todos os estdos de T n plh; nclze echo- (T) pr T; enqunto (plh não está vz) { desemplhe t, o elemento do topo, d plh; pr (cd estdo u com um rest de t pr u rotuldo com ) se (u não está em echo- (T) { nclu u em echo- (T); emplhe u n plh; Exemplo: NFA N pr ( )* Tel de trnsção: Estdo do NFA Estdo do DFA A B {0, 1, 2, 4, 7 A B C {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 B B D {1, 2, 4, 5, 6, 7 C B C {1, 2, 4, 5, 6, 7, 9 D B E {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10 E B C O gro de trnsção: C A Algortmo smulndo um NFA: S = echo- (s 0 ); B D E

5 Compldores 5 c = nextchr(); whle (c!= eo) { S = echo- (move(s,c)); c = nextchr(); (s!= ) return sm ; else return não ; As estruturs de ddos de que precsmos são NFA. 1. Dus plhs, cd um contendo um conjunto de estdos NFA. oldsttes, contém o conjunto corrente de estdos, ou sej, o vlor de S. newsttes, contém o próxmo conjunto de estdos. No lgortmo não é mostrd um etp do processo n qul, enqunto percorremos o loop, newsttes é trnserdo pr oldsttes. 2. Um rry ooleno lredyon, ndexdo pelos estdos do NFA, pr ndcr qus estdos estão em newstte. Emor o rrnjo e plh contenhm mesm normção, é ms rápdo nterrogr lredyon[s] do que pesqusr pelo estdo s n plh newsttes. 3. Um rrnjo dmensonl move[s,] contendo tel de trnsção do NFA. Inclundo um novo estdo s, que se se não estr em newsttes. ddstte(s){ push s em newsttes; lredyon[s] = TRUE; or (t em move[s, ]) (! lredyon[t]) ddstte(t); Implementção do psso S = echo- (move(s,c)). or (s em oldsttes){ or (t em move[s,c] (! lredyon[t]) ddstte(t); desemplh s de oldsttes; or (s em newsttes){ desemplh s de newsttes; emplh s em oldsttes; lredyon[s] = FALSE; Construção de um NFA prtr de um expressão regulr Pr expressão, constru o NFA onde é um novo estdo, o estdo ncl desse NFA, e é outro novo estdo, o estdo de cetção pr esse NFA. Pr qulquer suexpressão em, constru o NFA onde e são estdos novos, os estdos ncl e de cetção, respectvmente. Suponh que N(s) e N(t) sejm NFAs pr s expressões regulres s e t, respectvmente. ) Consdere r = s t.

6 6 Autômtos Fntos N(s) N(t) ) Consdere r = st. N(s) N(t) c) Consdere r = s*. N(s) d) Consdere r = (s). Então L(r) = L(s), e podemos usr de novo o NFA N(s) como N(r). Convertendo um expressão regulr pr um DFA O lgortmo ms smples pr trduzr um expressão regulr em DFA us um construção ntermedár, em que um NFA é dervdo d expressão regulr, enqunto o NFA é utlzdo pr construr um DFA equvlente. expressão regulr NFA DFA progrm Algortmo pr construção de um DFA prtr de um expressão regulr r. Entrd: um expressão regulr r. Síd: um DFA D que reconhece L(r). Método: 1. Constru um árvore sntátc T prtr d expressão regulr umentd (r)#. 2. Clcule nullle, rstpos, lstpos e ollowpos pr T. nullle(n) é verdder pr um nó d árvore sntátc n se e somente se suexpressão representd por n tver em su lngugem. rstpos(n) é o conjunto de posções n suárvore com rz n em que corresponde o prmero símolo de pelo menos um cde n lngugem d suexpressão cuj rz é n. lstpos(n) é o conjunto de posções n suárvore, cuj rz é n, que corresponde o últmo símolo de pelo menos um cde n lngugem d suexpressão cuj rz é n.

7 Compldores 7 ollowpos(p), pr um posção p, é o conjunto de posções q em um árvore sntátc complet tl que exste lgum cde x= 1, 2,..., n em L(r)#, tl que, pr lgum, exste um meo de explcr nclusão de x como memro de L(r)# csndo com posção p d árvore sntátc e +1 com posção q. 3. Constru Dsttes, o conjunto de estdos do DFA D, e Dtrn, unção de trnsção pr D. Os estdos de D são conjuntos de posções em T Exercícos 1. Fç um NFA cetndo L(* *). 2. Convert pr o DFA o NFA cm. 3. Fç os utômtos ntos (determnsts ou não determnsts) pr s lngugens xo: ) Tods s cdes de letrs mnúsculs que contêm s cnco vogs em ordem. ) Tods s cdes de dígtos sem dígtos repetdos. c) Tods s cdes de s e s que não contêm susequênc. 4. Pesqus: ) Descrev o lgortmo que converte um DFA em um NFA. ) Descrev o lgortmo McNughton-Ymd-Thompson, que converte um espressão regulr em um NFA. c) Descrev o lgortmo que constró um DFA prtr de um expressão regulr r. 5. Constru DFAs pr s seguntes expressões regulres: ) ( )* ( ) ) ( )* ( )( ) c) ( )* ( )( )( ) Blogr Compldores: prncípos, técncs e errments Aho, Alred. Lm, Monc. Seth, Rv. Ullmn, Jerey D. São Pulo: Person Addson-Wesley, Compldores: prncípos e prátcs Louden, Kenneth C. São Pulo: Poner Thomson Lernng, 2004 Implementção de lngugens de progrmção: Compldores Prce, An. Toscn, Smão Porto Alegre: Bookmn: Insttuto de Inormátc d UFRGS,