Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior. Placas. Placas

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1 e Cscs e Cscs 76 º Ao d Licecitur e Egeri Aeroáutic Pedro V. Gbo - 9 e Cscs. Teori de Fleão de U plc é u corpo tridiesiol co: u ds sus diesões uito eor do que s outrs dus; curvtur d su superfície édi cofigurção iicil é ul. superfície édi Eeplos de plcs: Tpos de es; Tps de esgoto; Piéis lteris e teldos de edifícios; Discos de turbis; Fudos de tques. Pedro V. Gbo - 9

2 e Cscs.. Itrodução As plcs pode ser clssificds e grupos: fis co defleões peques; fis co defleões grdes; espesss. Cosider-se plcs fis qudo rzão d su espessur pelo ldo eor é iferior /; Iteresse e coecer relção etre forçs e oetos eteros co s deforções, tesões e deslocetos: Forçs d superfície: Forçs cocetrds qudo ctu u poto; Forçs distribuíds rbitrriete por u áre fiit. Forçs do corpo: Forçs que ctu oseleetos voluétricos d plc; Result de cpos grvíticos ou géticos e, o cso de ver ovieto, d iérci d plc. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Itrodução O prieiro estudo sigifictivo ds plcs deu-se os os 8; Desde etão, for resolvidos uitos probles de fleão de plcs: A teori fudetl: Nvier; Kircoff; Lév. Resoluções uérics: Glerki; Wl. Pedro V. Gbo - 9

3 e Cscs.. Coporteto Gerl de Cosidere u plc ão crregd ode o plo coicide co o plo édio sedo, ssi, defleção e z igul zero. As copoetes do desloceto u poto s direcções, e z são u, v e, respectivete. Qudo, devido crregetos lteris, eiste deforção, superfície édi u poto qulquer (, ) te defleção. Os pressupostos fudetis d teori de fleão co defleões peques (teori clássic de plcs isotrópics, oogées e fis) bsei-se geoetri ds deforções. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Coporteto Gerl de Pedro V. Gbo - 9

4 e Cscs.. Coporteto Gerl de Hipótese de Kircoff (pressupostos fudetis):. A defleão d superfície édi é peque coprd co espessur d plc. O declive d superfície deflectid é, portto, uito pequeo e o qudrdo do declive é desprezável coprdo co uidde;. O plo édio perece se etesão pós fleão;. Secções pls iicilete oris à superfície édi perece pls e oris à superfície pós fleão. Isto idic que s etesões de corte verticis, γ z e γ z, são desprezáveis. A defleão d plc está, ssi, priciplete ssocid às etesões de fleão. Coclui-se que etesão orl ε z resultte do crregeto trsversl pode ser oitido.. A tesão orl o plo édio, σ z, é peque coprd co s outrs copoetes e pode ser despresd. Est suposição tor-se irrelist proiidde de crgs cocetrds elevds. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Relções Etesão-Curvtur Por for perceber o proble de fleão d plc cosidere-se geoetri de deforção. Coo cosequêci do pressuposto (), s relções de etesão-desloceto são u v ε ; ε ; ε z z u v γ ode γ γ, γ z γ z e γ z γ z. Itegrdo equção de ε z, te-se u v ; γ z ; γ z z z ( ), idicdo que defleão lterl ão vri espessur d plc. Pedro V. Gbo - 9

5 e Cscs.. Relções Etesão-Curvtur D es for, itegrdo s epressões de γ z e γ z te-se u z u,, ( ) ; v z v ( ) Tor-se clro que u (,) e v (,) represet, respectivete, os vlores de u e de v superfície édi. Co bse o pressuposto () coclui-se que u v. Assi, u z ; v z Ests equções estão de cordo co o pressuposto (). Substituido ests equções s equções ds etesões obté-se ε z ; ε z ; γ z Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Relções Etesão-Curvtur A curvtur de u curv pl é defiid coo t de vrição do âgulo do declive d curv e relção à distâci o logo d curv. Devido o pressuposto (), o qudrdo du declive pode ser cosiderdo desprezável e s derivds prciis ds equções teriores represet s curvturs d plc. Assi, s curvturs κ superfície édi e plos prlelos o plo z, z e são, respectivete κ ; κ ; κ r r r Ode κ κ. A últi epressão tbé é coecid coo torção do plo édio e relção os eios e. Pedro V. Gbo - 9

6 e Cscs.. Relções Etesão-Curvtur Assi, s relções etesão-curvtur d plc pode represetr-se seguite for ε zκ ; ε zκ ; γ zκ Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Tesões e Resulttes de Tesões No cso de u estdo de tesão tridiesiol, s tesões e s etesões estão relciods pel lei de Hook geerlizd, válid pr u teril isotrópico oogéeo: [ σ ν ( σ σ )] ; ε [ σ ν ( σ σ )] ; ε [ σ ν ( σ σ )] ε z z z z E E E τ τ τ z z γ ; γ z ; γ z G G G ode τ τ, τ z τ z e τ z τ z. E é o ódulo elástico logitudil, ν é o coeficiete de Poisso e G éo ódulo elástico trsversl ddo por E G ( ν ) Pedro V. Gbo - 9

7 e Cscs.. Tesões e Resulttes de Tesões Substituido ε z γ z γ z, obté-se s relções tesão-etesão d plc fi: σ E E ; ν ν ( ε νε ) ; σ ( ε νε ) τ Gγ Itroduzido s curvturs d plc, ests epressões fic co for seguite σ σ Ez Ez ( κ ) νκ ν ν ν Ez Ez ( κ ) νκ ν ν ν Ez Ez τ κ ν ν Pode ver-se que tesão desprece superfície édi e vri lierete o logo d espessur d plc. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Tesões e Resulttes de Tesões As tesões distribuíds pel espessur d plc produze oetos flectores, oetos torsores e forçs de corte verticis. Estes oetos e forçs por uidde de coprieto são coecids por resulttes de tesões. D figur, pr tesão σ, te-se t t t zσ ddz d zσ dz M t Pedro V. Gbo - 9 d

8 e Cscs.. Tesões e Resulttes de Tesões D es for, pr s outrs tesões obtê-se s seguites resulttes de tesão M σ t M σ t zdz M τ ode M M. Pr s forçs de corte por uidde de coprieto, te-se Q t τ z dz Q t τ z É iportte otr que pesr d teori de plcs fis oitir o efeito ds deforções γ z τ z /G e γ z τ z /G fleão, s forçs verticis Q e Q ão são desprezáveis. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Tesões e Resulttes de Tesões Substituido s equções ds tesões e fução dos deslocetos s equções dos oetos podeos derivr s fóruls dos oetos fletores e torsores e fução ds curvturs e defleões M D( κ νκ ) D ν M D( κ νκ ) D ν M D ode D é rigidez de fleção dd por ( ν ) κ D( ν ) Et D ν ( ) As forçs de corte verticis Q e Q serão obtids is trde. Pedro V. Gbo - 9

9 e Cscs.. Tesões e Resulttes de Tesões Substituido s equções dos oetos s equções ds tesões pode obter-se s tesões e fução dos oetos M M z M z z σ ; σ ; τ t t t A tesão ái ocorre s superfícies superior e iferior (e z±t/) d plc. Dest álise pode observr-se que eiste u correspodêci direct etre os oetos e s tesões. Dqui se coclui que s equções de trsforção ds tesões e dos oetos são álogs. A álise do círculo de Mor e tods s coclusões sobre s tesões tbé se plic os oetos. A deterição ds tesões σ z, τ z e τ z trvés d lei de Hook ão é possível porque ão se relcio co s etesões. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Tesões e Resulttes de Tesões As equções difereciis de equilíbrio de u eleeto de plc sujeito u estdo de tesão geérico pode ser usds pr σ τ τ z z σ τ σ z τ z z τ z z τ z Ds dus prieirs equções s tesões de corte τ z e τ z são, depois de itegrr t σ τ τ z dz z E t z ( ) ν t σ τ τ z dz z E t z ( ) ν Pedro V. Gbo - 9

10 e Cscs.. Tesões e Resulttes de Tesões Pode observr-se que s distribuições de τ z e τ z espessur d plc vri de cordo co u lei prbólic. A copoete σ z pode clculr-se usdo terceir equção de equilíbrio, substituido pr τ z e τ z e itegrdo σ E t t z z ( ) ν z A tesão orl σ z vri for de u prábol cúbic o logo d espessur d plc. Est tesão é desprezável de cordo co o pressuposto (). As tesões de corte direcção z tbé são cosiderds uito peques qudo coprds co s outrs tesões. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.5. Vrição d Tesão Detro d Plc As copoetes d tesão (e cosequeteete s resulttes de tesão) vri, gerlete, de poto pr poto u plc crregd. Ests vrições são goverds pels codições de equilíbrio d estátic. O cuprieto dests codições estbelece certs relções coecids por equções de equilíbrio. Cosidere u eleeto dd d plc sujeito u crregeto por uidde de áre uiforeete distribuído, p. Pedro V. Gbo - 9

11 e Cscs.5. Vrição d Tesão Detro d Plc Assue-se que iclusão do peso d plc, sedo u vlor pequeo, o crregeto p ão fect precisão do resultdo. U vez que o eleeto d plc é uito pequeo, por siplicidde, ssue-se que s copoetes de forç e de oeto estão distribuíds uiforeete e cd u ds fces. N figur els estão represetds por u vector úico, represetdo os vlores édios, plicdo o cetro de cd fce. Co u udç de posição, por eeplo d fce esquerd pr fce direit, copoete do oeto M que ctu fce egtiv de vri e vlor reltivete à fce positiv de. Est vrição pode ser represetd por u série de Tlor trucd M M d Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.5. Vrição d Tesão Detro d Plc Us-se derivd prcil pois M é fução de e. Trtdo tods s copoetes de for siilr, obté-se o estdo ds resulttes de tesão prtir d figur. Coo o sotório ds forçs direcção z te que ser zero obté-se ou sej Q Q dd Q Q dd pdd p O equilíbrio dos oetos e toro de é goverdo por M M dd dd Qdd Pedro V. Gbo - 9

12 e Cscs.5. Vrição d Tesão Detro d Plc ou M Os produtos dos teros ifiitesiis, coo o oeto de p, for oitidos. D es for, do equilíbrio dos oetos e toro de te-se M M M Q Q Filete, resolvedo s equções do equilíbrio dos oetos e orde às forçs por uidde de coprieto e substituído os resultdos equção do equilíbrio d forç terior result e M M M p Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.5. Vrição d Tesão Detro d Plc Est é equção diferecil de equilíbrio pr fleão de plcs fis. Agor pode escrever-se epressões pr s forçs de corte verticis Q e Q e fução d defleão, usdo s equções ci pr Q e Q jutete co o resultdo dos oetos d secção.: ode é o operdor de Lplce. D D ( ) Q D D ( ) Q Pedro V. Gbo - 9

13 e Cscs Pedro V. Gbo Vrição d Tesão Detro d Plc U vez que equção diferecil de equilíbrio d fleão de plcs coté icógits, M, M e M, ão é possível obter u solução directete. Os probles de plcs são, iterete, estticete ideteridos. Pr reduzir o proble u icógit é ecessário usr s relções oeto-desloceto. e Cscs Pedro V. Gbo A Equção d Plc.6. A Equção d Plc A equção diferecil básic pr defleão de plcs pode ser fcilete derivd co bse os resultdos obtidos teriorete. Itroduzido equção diferecil de equilíbrio s epressões pr M, M e M te-se ( ) p D D D ν ν ν Agrupdo os teros e, filete D p ν D p

14 e Cscs Pedro V. Gbo A Equção d Plc Est equção, que foi derivd pel prieir vez por Lgrge e 8, pode ser escrit u for copct D p κ κ κ D p ode ( ) Est equção é equção diferecil pr defleão de plcs fis. Pr deterir, é ecessário itegrr est equção co s costtes de itegrção depedetes ds codições de froteir proprids (ver secção seguite). Est equção tbé pode ser escrit e fução ds curvturs: e Cscs Pedro V. Gbo A Equção d Plc Qudo ão esiste crregeto lterl plc equção reduz pr ou Substituido s equções ds forçs de corte verticis e equção diferecil pr defleão s equções ds tesões τ z, τ e σ z obté-se pr ests tesões ( ) ( ) t z t Q Et Q z t E z ν ν τ ( ) ( ) t z t z p Et p z z t t E z ν ν σ ( ) ( ) t z t Q Et Q z t E z ν ν τ

15 e Cscs.6. A Equção d Plc A tesão de corte ái, à seelç de u vig co secção rectgulr, ocorre e z, e pode ser represetdo pels equções τ Q ; τ t z, z, Assi, cve pr deterir s copoetes d tesão, usdo s fóruls derivds, é solução d equção diferecil d defleão pr. Outr for de obter equção diferecil d defleão é igulr tesão orl à plc o crregeto superficl por uidde de superfície superfície superior d plc. Assi, co zt/ e σ z -p, e usdo equção de σ z te-se Et ν ( ) p Q t Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.6. A Equção d Plc É sigifictivo otr que so ds copoetes do oeto flector é ivrite. Isto é M M D ν D ν Defiido M, fução oeto ou so do oeto, por ( ) ( ) M M M D ν s epressões pr s forçs de corte pode ser reescrits seguite for M Q ; Q M Pedro V. Gbo - 9

16 e Cscs.6. A Equção d Plc Dest for pode escrever-se equção d plc e dus equções. A prieir, usdo equção do equilíbrio ds forçs verticis e fução oeto, é M M p A segud, usdo defiição de fução oeto, é M D Assi, reduz-se equção d plc dus equções difereciis prciis de segud orde que é por vezes preferível, depededo do étodo de solução usdo. Sbedo o crregeto e s codições de froteir, pode obter-se M d prieir equção e depois segud equção forece. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.6. A Equção d Plc Pode ser deostrdo que s equções ci tê es for que s equções que descreve defleão de u ebr esticd uiforeete e crregd lterlete. Dest for, eiste u logi etre fleão de u plc e probles de ebr, o que perite derivr iúers técics eperietis e técics uérics proids. Pedro V. Gbo - 9

17 e Cscs.7. Codições de Froteir A equção diferecil de equilíbrio derivd teriorete te que ser stisfeit detro d plc. A distribuição de tesão plc tbé te que ser tl que coode s codições de equilíbrio e relção às forçs ou deslocetos ipostos froteir. A solução d equção d plc requer que dus codições de froteir sej stisfeits e cd etreidde. Ests pode ser u dd defleão e declive, ou forç e oeto, ou u cobição. A difereç básic etre s codições de froteir plicds plcs e s ds vigs é eistêci de oetos torsores o logo ds etreiddes d plc. Estes oetos pode ser substituídos por forçs equivletes. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.7. Codições de Froteir Vos cosiderr s codições de froteir de u plc rectgulr co etreiddes e b prlels os eios e, respectivete. Cosiderdo dois coprietos eleetres sucessivos d etreidde, pode ver-se que, o eleeto do ldo direito ctu u oeto de torção M d, equto o do ldo esquerdo ctu u oeto [ M ( M ) d]d. Pedro V. Gbo - 9

18 e Cscs.7. Codições de Froteir N figur os oetos estão represetdos coo biários de forçs estticete equivletes. Assi, u região ifiitesil d etreidde detro d li trço iterropido, pode ver-se forç pr ci M e forç pr bio M ( M )d. A so lgébric dests forçs pode ser diciod à forç de corte Q pr produzir u forç trsversl efectiv, por uidde de coprieto, pr u etreidde prlel o eio, V. Assi V M Q D ( ν ) d Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.7. Codições de Froteir De for siilr, pode obter-se, pr u etreidde prlel o eio, que V M Q D ( ν ) d As equções ci deve-se Kircoff: u distribuição de M o logo de u etreidde é estticete equivlete u dsitribuição de forçs de corte. Pr lé dests forçs s etreiddes, tbé pode eistir forçs cocetrds, F c, produzids os ctos. Cosiderdo, por eeplo, o cso de u plc rectgulr co crregeto uifore e co poios siples s etreiddes, cção dos oetos torsores o cto (,b) é, sbedo que M M, Fc M D( ν ) Pedro V. Gbo - 9

19 e Cscs.7. Codições de Froteir O sil egtivo idic o setido pr ci. Devido à sietri do crregeto uifore, est forç te que ter es gitude e setido e todos os ctos d plc. Assi, se estes ão fore fios, os ctos d plc descrit tede levtr. As forçs diciois dos ctos pr plcs co diferetes codições s etreiddes pode ser obtids de eir siilr; por eeplo, qudo dus etreiddes djcetes estão fis ou livres, te-se F c, pois o logo dests etreiddes ão eiste oeto torsor. Agor, pode forulr-se u vriedde de situções orlete ecotrds. As cosições de froteir o logo d etreidde de u plc retgulr co etreiddes prlels os eios e são descrits e seguid. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.7. Codições de Froteir Etreidde ebutid ou ecstrd: Neste cso, tto defleão coo o declive desprece etreidde cosiderd, isto é ; ; ( ) Pedro V. Gbo - 9

20 e Cscs.7. Codições de Froteir Etreidde co poio siples: Neste cso, te-se defleão e oeto flector igul zero etreidde e questão. Assi ; M ν ; ( ) A prieir dests equções iplic que o logo d etreidde ; Dest for s codições de froteir pode ter for equivlete ; ; ( ) Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.7. Codições de Froteir Etreidde livre: Neste cso, te-se oeto flector e forç de corte verticl igul zero etreidde e questão. Isto é ν ; ( ν ) ; ( ) Pedro V. Gbo - 9

21 e Cscs.7. Codições de Froteir Etreidde desliste: Neste cso, etreidde é livre de se over verticlete, s rotção ão é peritid. O poio ão é cpz de resistir qulquer forç de corte. Logo ; ( ν ) ; ( ) Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.7. Codições de Froteir Outros tipos de codições de froteir pode ser lisdos de for idêtic. Pode observr-se que s codições de froteir pode ser de dois tipos básicos: -U codição de froteir geoétric ou cieátic descreve costrgietos ds etreiddes relciodos co defleão ou declive; -U codição de froteir estátic igul s forçs iters (ou oetos) s etreiddes d plc às forçs de corte eters (ou oetos) dds. Dest for, u etreidde ecstrd s dus codições são cieátics; u etreidde livre s dus codições são estátics; s etreiddes de poio siples e deslizte s cosições são ists. E vez de especificr cosições de froteir oogées, é possível especificr outros vlores de corte, oeto, rotção ou desloceto. Nestes csos, codições de froteir ão oogéis são represetds substituido os zeros ds codições ci por vlores especificdos. Pedro V. Gbo - 9

22 e Cscs.8. Solução d Defleão de Co equção fudetl d plc obtê-se defleões de plcs pes co dificuldde cosiderável. É cou obter u solução usdo o étodo iverso. Neste étodo, prte-se de u solução ssuid pr que stisfç equção fudetl e s codições de froteir. Algus csos pode ser lisdos co utilisção de polióios pr e e co coeficietes ideteridos. Norlete, ão é trivil escoler séries co u for ceitável. O étodo deste tipo is cou é o ds séries de Fourier, e que, tedo obtido u solução pr o crregeto siusoidl, qulquer outro crregeto pode ser lisdo trvés de séries ifiits. Este étodo preset u vtge iportte que cosiste o fcto de u úic epressão ser plicd e tod superfície d plc. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.8. Solução d Defleão de Os étodos de eergi deve ser usdos álise de csos geris. Estes pode ser plicdos pr obteção de u solução, uits vezes for de séries ifiits. Estes dois étodos tê dus fuções: -Pode forecer soluções ects qudo s cofigurções do crregeto e geoetri são siples; -Pode ser usds coo bse pr técics proids trvés d álise uéric plicd probles is reis. Outro étodo usdo pr resolver equção d plc é o étodo ds difereçs fiits. Neste cso s equções são substituíds por epressões de difereçs fiits que relcio (e M) e ós distcidos por u coprieto fiito. As equções, este cso, só pode ser resolvids uericete. Pedro V. Gbo - 9

23 e Cscs.8. Solução d Defleão de Eeplo. Deterie defleão e tesão u plc rectgulr uito coprid e estreit (>>b) que te poios siples s etreiddes e b s seguites codições: ) A plc suport u crregeto ão uifore ddo por π p( ) p si b ode costte p represet itesidde do crregeto o logo d li b/, prlel o eio ; b) A plc suport u crregeto uifore de p. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.8. Solução d Defleão de Eeplo. U plc rectgulr de u poço de elevdor está sujeit oetos flectores uiforeete distribuídos M M b e M M, plicdos o logo ds sus etreiddes. Derive equção que gover defleão d superfície os seguites csos: ) M M b ; b) M -M b. Pedro V. Gbo - 9

24 e Cscs.9. Métodos de Eergi de Etesão Coo ltertiv os étodos de equilíbrio, álise d deforção e d tesão u corpo elástico pode ser feit trvés de étodos de eergi. Ests dus técics são, respectivete, álises etoi e lgrgi d ecâic. Est últi, é estid devido o fcto de que equção fudetl de u corpo elástico pode ser derivd trvés d iiizção d eergi ssocid à deforção e o crregeto. Os étodos de eergi são úteis e situções que evolve fors irregulres, crregetos ão uifores, secções trsversis vriáveis e teriis isotrópicos. Vos coeçr por ver s técics de eergi trvés do cso de plcs fis. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.9. Métodos de Eergi de Etesão A eergi de etesão gurdd detro de u corpo elástico, pr u estdo de tesão geérico, é ddo por U ( σ ε σ ε σ zε z τ γ τ zγ z τ zγ z ) V dddz A itegrção etede-se todo o volue do corpo. Co bse os pressupostos d secção., pr plcs fis σ z, γ z e γ z pode ser oitidos. Assi, itroduzido lei de Hook, epressão ci reduz à seguite for, que evolve pes tesões e costtes elástics, τ U σ ( σ νσ ) σ ( σ νσ ) τ dddz E E G V Pedro V. Gbo - 9

25 e Cscs Pedro V. Gbo Métodos de Eergi de Etesão ou Pr u plc co espessur costte, est equção pode ser escrit e teros d defleão co jud ds equções que relcio tesão co defleão. Assi, Itegrdo e z desde t/ t/ obté-se ( ) V dddz G E U τ σ σ νσ σ ( ) V dddz z E U ν ν ν ( ) A dd D U ν ν ode A represet áre d superfície d plc. e Cscs Pedro V. Gbo Métodos de Eergi de Etesão Altertivete, equção d eergi pode ser escrit for O segudo tero dest equção é coecido coo curvtur gussi. Pode observr-se que eergi de etesão é u fução ão lier (qudrátic) d deforção ou tesão. Dest for, o pricípio d superposição ão é válido pr eergi de etesão. Ests equções são úteis forulção de váris técics de eergi e de vários étodos de eleetos fiitos. E seguid vos ver lgus étodos cous de eergi de etesão bsedos eergi potecil e vrição d deforção du corpo elástico. ( ) A dd D U ν

26 e Cscs.9. Métodos de Eergi de Etesão Pricípio do trblo virtul Supo-se que u corpo elástico sofre u desloceto icreetl rbitrário, ou sej, u desloceto virtul. Este desloceto ão precis de eistir e tão pouco ser ifiitesil. Qudo se cosider o desloceto ifiitesil, coo é prátic cou, é rzoável cosiderr que o siste de forçs que ctu o corpo é costte. O trblo virtul relizdo pels forçs de superfície T por uidde de áre o corpo o processo de levr o corpo do seu estdo iicil pr o estdo de equilíbrio é ( T δu T δv T δ) δw A Aqui A é áre liite d superfície e δu, δv e δ são os deslocetos virtuis s direcções, e z, respectivete. z da Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.9. Métodos de Eergi de Etesão A otção δ idic u vrição de u prâetro. A eergi de etesão δu dquirid por u corpo de volue V coo resultdo d etesão virtul δu z z z z V ( σ δε σ δε σ δε τ δγ τ δγ τ δγ ) O trblo totl relizdo durte o desloceto virtul é zero, ou δu δw Assi, o pricípio do trblo virtul de u corpo elástico é δ U δw z z dv Pedro V. Gbo - 9

27 e Cscs.9. Métodos de Eergi de Etesão Pricípio d eergi potecil íi Desde que os deslocetos virtuis ão ltere for do corpo e que s forçs de superfície sej cosiderds costtes equção terior pode ser escrit seguite for: Nest epressão δπ δ ( U W ) Π U W represet eergi potecil do corpo. A prieir equção represet codição de eergi potecil estcioári do siste. Pr u equilíbrio estável eergi potecil te que ser íi. Pr todos os deslocetos que stisfç s codições de froteir e s codições de equilíbrio, eergi potecil ssue u vlor íio. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.9. Métodos de Eergi de Etesão Este pricípio ce-se o pricípio d eergi potecil íi. A eergi potecil gurdd u plc sujeit u crregeto lterl distribuído p(,) é Π ( σ ε σ ε τ γ ) dddz ( p) V No cso d plc ter u espessur costte, est equção pode ser escrit Π ( M κ M κ M κ ) dd ( p) A Pode eplicr-se fisicete os teros de U epressão ci. Coo / κ represet curvtur d plc o plo, o âgulo que correspode o oeto M d é igul ( / )d. A eergi de etesão ou o trblo relizdo pelo oeto M éetão -.5M κ dd. A A dd dd Pedro V. Gbo - 9

28 e Cscs.9. Métodos de Eergi de Etesão A eergi de etesão resultte dos oetos M d e M d são iterpretdos d es for. O pricípio d eergi potecil é epress seguite for: δπ ( M δκ M δκ M δκ ) dd ( pδ) A A dd Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.9. Métodos de Eergi de Etesão Método de Ritz O étodo de Ritz é u procedieto coveiete pr deterir soluções co o pricípio d eergi potecil íi. Este étodo é descrito pr o cso d fleão elástic de plcs. Prieiro escole-se u solução pr defleão for de u série que coté os prâetros ideteridos (,,,...). A defleão escolid te que stisfzer s codições de froteir geoétrics. As codições de froteir estátics ão precis de ser respeitds. Obviete, u escol proprid pr epressão d defleão é iportte pr que se obte u solução precis. Por isso, é desejável ssuir u epressão pr que sej quse idêtic à verddeir superfície deflectid d plc. Pedro V. Gbo - 9

29 e Cscs.9. Métodos de Eergi de Etesão Depois, usdo solução selecciod, deteri-se eergi potecil Π e teros de. Pr que eergi potecil sej íi o equilíbrio te que se ter Π Π, K, Dest for te-se u siste de equções lgébrics que são resolvids pr os prâetros. Depois, itroduzido os vlores obtidos epressão ssuid pr defleão, obté-se solução pr u ddo proble. Gerlete, iclui u úero fiito de prâetros e, por isso, os resultdos fiis são pes proidos. Obviete, se o ssuido for ecto, solução tbé será ect. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.9. Métodos de Eergi de Etesão As vtges do étodo de Ritz prede-se co o fcto de ser reltivete fácil trtr probles co diferetes codições de froteir s etreiddes d plc. Este étodo, é ssi, u dos is siples pr resolver defleões de plcs e cscs trvés de u clculdor. A plicção ds técics de eergi de etesão e probles de fleão, de trcção e de istbilidde e plcs e cscs serão presetds is trde. Pedro V. Gbo - 9

30 e Cscs.. Itrodução. Rectgulres Neste cpítulo vão cosiderr-se s tesões e defleões e plcs rectgulres fis. Coo visto o cpítulo terior o eleeto de plc rectgulr é u odelo ecelete pr desevolver relções básics e coordeds crtesis. Por outro ldo, vos ver que plcs sujeits à fleão frequeteete lev soluções for de séries que ão são viáveis pr cálculos uis de vlores uéricos. Isto é, s defleões e oetos são, uits vezes, descritos por séries ifiits coplicds. Estes cálculos são, obviete, relizdos co fcilidde por u coputdor. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Itrodução As plcs rectgulres são, gerlete, clssificds de cordo co o tipo poios usdos: co poios siples; ecstrds ou ebutids; Pcs co istur de codições de poio; e fudções elástics; cotíus: Ests plcs orlete cosiste e plcs isolds suportds por vigs ou colus iterédis. Pedro V. Gbo - 9

31 e Cscs.. Solução de Nvier (Plc Rectgulr co Apoios Siples) Cosidere u plc rectgulr de ldos e b co poios siples e tods s etreiddes e sujeito u crregeto p(,). A orige ds coordeds é colocd o cto superior esquerdo coo ostr figur. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução de Nvier (Plc Rectgulr co Apoios Siples) E gerl, solução do proble de fleão fz uso ds séries de Fourier seguites pr crg e defleão: p (, ) (, ) p π π si si b π π si si b ode p e represet os coeficietes deterir. Este étodo foi itroduzido por Nvier e 8. As defleões tê que stisfzer equção diferecil pr defleão de plcs co s seguites codições de froteir (, ) (, b) Pedro V. Gbo - 9

32 e Cscs.. Solução de Nvier (Plc Rectgulr co Apoios Siples) Pode, fcilete, costtr-se que equção d defleão cupre estes costrgieto e que os coeficietes tê que stisfzer equção diferecil d defleão. A solução correspodete o crregeto p(,) requer, ssi, que se deterie p e. Pr perceber elor equção de cosidere que superfície deflectid verddeir d plc é u superposição de curvs siusoidis de e cofigurções diferetes s direcções e, respectivete. Os coeficietes d série são s coordeds cetris áis ds curvs seo e os s e os s idic o úero de eis curvs seo s direcções e, respectivete. Por eeplo, o tero si(π/)si(π/b) está ilustrdo figur. Auetdo o úero de teros série uet-se precisão do resultdo. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução de Nvier (Plc Rectgulr co Apoios Siples) Pr u cso de crregeto geérico procede-se d seguite for. Pr deterir os coeficietes p, cd ldo d equção do crregeto é ultiplicdo por e itegrdo etre os liites, e,b: b p (, ) π π si si dd b π π si si dd b b π π π π p si si si si dd b b Pedro V. Gbo - 9

33 e Cscs Pedro V. Gbo Solução de Nvier (Plc Rectgulr co Apoios Siples) Pode ostrr-se por itegrção direct que Etão, os coeficietes d epsão de Fourier dupl são ( ) ( ) ( ) ( ) b d b b d b si si si si π π π π ( ) b dd b p b p si si, π π O cálculo de equção de requer que se substitu s equções de p e de equção diferecil de defleão d plc, o que dá si si b D p b b π π π π π π e Cscs Pedro V. Gbo Solução de Nvier (Plc Rectgulr co Apoios Siples) Est equção te que ser válid pr todos os e. Etão coclui-se que ou Dqui, resolvedo e orde, te-se D p b b π D p b π b D p π

34 e Cscs.. Solução de Nvier (Plc Rectgulr co Apoios Siples) Filete, substituido este resultdo equção do, obté-se equção de superfície de defleão d plc. p π si π si π D b b ode p já foi obtido teriorete. Pode observr-se que, sedo si(π/) e si(π/b) pr todos os e e e, série é covergete. Dest for, est equção é u solução válid pr fleão de plcs rectgulres co poios siples sujeit vários tipos de crregeto. N prói secção serão presetds váris plicções do étodo de Nvier pr csos prticulres. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução de Nvier (Vários Crregetos) Qudo u plc rectgulr está sujeit u crregeto uiforeete distribuído p(,)p, os resultdos d secção terior são u pouco siplificdos. A equção do p depois d itegrção dá ou ou íd p p ( cosπ )( cosπ ) π [ ( ) ] ( ) [ ] p p π p 6 p π (,,,K ) Coo p pr vlores pres de e, estes só to vlores ípres. Pedro V. Gbo - 9

35 e Cscs.. Solução de Nvier (Vários Crregetos) Substituido p equção de, obté-se 6 p π π si si 6 π D b b (,,,K ) E teros físicos, plc crregd uiforeete te que deflectir u for siétric. Est cofigurção result qudo e são ípres. A defleão ái ocorre o cetro d plc (/,b/) e o seu vlor é 6 p 6 π D π π si si b Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução de Nvier (Vários Crregetos) ou ( ) ( ) 6 p 6 π D b As copoetes do oeto obté-se substituido equção ci s equções dos oetos. Assi M 6 p π ν b b π π si si b Pedro V. Gbo - 9

36 e Cscs.. Solução de Nvier (Vários Crregetos) M M 6 p π 6 ( ν ) π b ν b b Pode observr-se que os oetos flectores M e M são zero e (,) e (,b), respectivete. No etto, o oeto torsor M ão desprece s etreiddes e os ctos d plc. b π π si si b π π cos cos b Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução de Nvier (Vários Crregetos) A preseç de M cus u lterção d distribuição ds recções os suportes. Lebreos, o etto, que o pricípio de St. Vet perite cosiderr distribuição de tesão ilterd e secções disttes ds etreiddes e ctos. Pedro V. Gbo - 9

37 e Cscs.. Solução de Nvier (Vários Crregetos) Eeplo. U piel de prede qudrdo, sujeito u diferecil de pressão p, pode cosiderr-se que te poios siples e tods s sus etreiddes. Deterie: ) A defleão ái; b) O oeto áio; c) A tesão ái. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução de Nvier (Vários Crregetos) Eeplo. U piel do cão de u rzé de ldos e b te poios siples e tods s etreiddes. Deterie s recções os poios ssuido que o teril está distribuído pelo cão todo por for crir o seguite cregeto p ( ) π π p si si b, ode p represet itesidde d crg o cetro d plc, coo ostr figur. Pedro V. Gbo - 9

38 e Cscs.. Solução de Nvier (Vários Crregetos) Eeplo. Deterie s equções d superfície elástic de u plc rectgulr co poios siples e dus situções: ) A plc está sujeit u crg P distribuíd uiforeete u áre cd; b) A plc suport u crg potul e,. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução de Lév (Plc Rectgulr) N secção terior viu-se que o cálculo dos oetos flectores co o étodo de Nvier te u covergêci let co o ueto do úero de teros d série. U étodo iportte que resolve este proble foi desevolvido por Lév e 9. Outr vtge d solução de Lév é que e vez de usr u série dupl usse u série úic. E gerl, é is fácil relizr cálculos uéricos co séries úics do que co séries dupls. Pedro V. Gbo - 9

39 e Cscs.. Solução de Lév (Plc Rectgulr) O étodo de Lév é plicável à fleão de plcs rectgulres co codições de froteir prticulres e dus treiddes oposts (por eeplo, e ) e codições de froteir rbitráris s resttes etreiddes (±b/). Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução de Lév (Plc Rectgulr) A solução totl cosiste solução oogéi d equção e d solução prticulr p d equção co seguite for p p D Pedro V. Gbo - 9

40 e Cscs.. Solução de Lév (Plc Rectgulr) U vez que é idepedete do crregeto, pode derivr-se u úic epressão pr que sej válid pr plcs rectgulres co dus codições de froteir prticulres e dois ldos opostos. Obviete, pr cd crg específic p(,) te que se obter u solução pr p. A solução oogée é escolid co for gerl seguite π si f( ) π cos ode f () te que ser obtid de for stisfzer s codições os poios e ±b/ e stisfzer equção ci. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução de Lév (Plc Rectgulr) Vos descrever o étodo ssuido que os ldos opostos d plc rectgulr e e tê poios siples coo ostr figur. Neste cso equção terior fic f ( ) π si Est equção cupre s codições de froteir pr poios siples s etreiddes o logo de. Pedro V. Gbo - 9

41 e Cscs Pedro V. Gbo Solução de Lév (Plc Rectgulr) Pr copletr solução, teos que plicr s codições de froteir os dois ldos rbitrários co ±b/. Substituído equção de e, te-se Pr que est equção sej válid e todos os é preciso que A solução gerl dest equção é si,, K f d f d d f d π π π f d f d d f d π π e D e C e B e A f π π π π e Cscs Pedro V. Gbo Solução de Lév (Plc Rectgulr) Ou usdo idetiddes trigooétrics A solução oogée fic, ssi, Ode A, B, C e D são costtes que serão deterids is trde pr csos especificdos. Pode observr-se que s codições de froteir pr poios siples são respeitdos s etreiddes e se solução prticulr for epress co série de Fourier úic D C B A f π π π π cos si cos si si cos si cos si D C B A π π π π π ( ) si p k π ode k () são fuções de pes.

42 e Cscs.. Solução de Lév (Plc Rectgulr) Vos epdir p(,) tbé co u série de Fourier ode p p (, ) p ( ) ( ) p(, ) π si si π d Substituido pr p e p(,) equção p(,)/d e otdo vlidde d epressão resultte pr todos os vlores de etre e, obté-se d k d k π d k d π Depois de deterir u solução prticulr, k, dest equção diferecil ordiári, pode clculr-se p. O étodo é ilustrdo co o seguite eeplo típico. p D Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução de Lév (Plc Rectgulr) Plc Rectgulr co Apoios Siples e Crregeto Uifore Neste cso p(,)p pelo que equção de p () fic p p (,,K ) Logo, equção de k fic d k d A solução prticulr dest equção é A solução pr p fic, etão, π π d k π p k d πd p p 5 π D k 5 p π si 5 5 π D Pedro V. Gbo - 9

43 e Cscs.. Solução de Lév (Plc Rectgulr) Est solução represet defleão de u tir co crregeto uifore co poios siples e prlel o eio. Tbé pode ser escrit seguite for p p ( ) D A codição que diz que defleão d plc te que ser siétric e relção o eio (te que ter os esos vlores pr e ) é stisfeit pel equção de se A D. Depois, diciodo cotribuição de p te-se,,k B π cos C π p π si si 5 5 π D Est equção stisfz equção fudetl d fleão de plcs e s codições de poios siples e e. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução de Lév (Plc Rectgulr) As codições de froteir e flt são Se plicros ests codições à equção de obté-se dus epressões, que serão stisfeits pr todos os se ode b ± b p B cosα C siα 5 5 π D Bα C cosα Cα siα b πb α Pedro V. Gbo - 9

44 e Cscs.. Solução de Lév (Plc Rectgulr) A solução dests equções dá seguites costtes B p πp b tα 5 5 π Dcosα C A defleão d superfície d plc pode, dest for, ser escrit,,k p π Dcosα p 5 π D α tα α π α π cos si si 5 cosα b cosα b Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução de Lév (Plc Rectgulr) A defleão ái ocorre o cetro d plc (/,), todo o vlor de U vez que p 5 π D,,K,, K ( ) ( ) 5 5 α tα cosα 5 5π 9 defleão ái d plc fic co for seguite 5 p p 5 8D π D,,K ( ) 5 α tα cosα O prieiro tero represet defleão ái do eio de u tir co poios siples e crregeto uifore. Pedro V. Gbo - 9

45 e Cscs.. Solução de Lév (Plc Rectgulr) O segudo tero é u série de covergêci rápid. Por eeplo, o cso de u plc qudrd (b e α π/), defleão ái é 5 p p p ( L) D π D D Pode ver-se que, eso tedo pes o prieiro tero d série, solução obtid é precis té o terceiro lgriso sigifictivo. Itroduzido otção equção d defleão ái pode escrever-se δ 5 8 π 5,,K ( ) 5 α tα cosα p δ, D Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução de Lév (Plc Rectgulr) De u for idêtic à secção terior pode derivr-se epressões pr os oetos, forçs de corte e tesões d plc. Os oetos áios plc tbé se pode escrever for M, δ p M, δ p, Vlores uéricos pr os coeficietes δ, δ e δ são ostrdos tebel pr váris rzões de specto b/. Pode ver-se que, à edid que b/ uet, e M, uet equto M, diiui. Pedro V. Gbo - 9

46 e Cscs.. Solução de Lév (Plc Rectgulr) Eeplo. U jel de u prédio lto, é proid por u plc rectgulr co etreiddes co poios siples e ecstrd. A plc está sujeit u crregeto uifore devido o veto de itesidde p. Derive u epressão pr defleão d superfície. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução de Lév (Plc Rectgulr) Eeplo.5 U crregeto uifore p ctu u vrd rectgulr co poios siples os ldos opostos e, co o ldo b livre e etreidde ecstrd. Descrev derivção d epressão pr defleão. Pedro V. Gbo - 9

47 e Cscs.. Solução de Lév (Plc Rectgulr) Eeplo.6 Derive u epressão pr superfície deflectid de u piel de cão uito logo e estreito sujeito u crregeto uifore p. Assuir que, e tê poios siples. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.5. Solução de Lév (Crregetos Não Uifores) Vos plicr o étodo de Lév csos de plcs rectgulres co crregetos ão uifores que são pes fução de. Assuido que s etreiddes e tê poios siples, o crregeto é epresso co série de Fourier p ( ),,K,,K π p si ode π p p( ) si d Usdo o procedieto d secção. obté-se p π p si π D Pedro V. Gbo - 9

48 e Cscs.5. Solução de Lév (Crregetos Não Uifores) Est epressão represet defleão de u tir sujeit u crregeto p() e stisfz equção p()/d be coo s codições de froteir de poios siples e e. Assuido que s dus etreiddes rbitráris ±b/ tbé tê poios siples. A epressão totl d defleão fic,,k B π cos C π p π si si π D Ode s costtes B e C são deterids co s codições e ±b/: e /. Assi π D,,K p α tα π π π π cos si si cosα b cosα b Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.5. Solução de Lév (Crregetos Não Uifores) ode α πb/, coo teriorete. Itroduzido u dd distribuição de p() pode obter-se p e depois clculr-se. Os oetos e tesões são deterids pel for usul. Vlores de p pr lgus csos de distribução de p() estão ostrdos figur. Pedro V. Gbo - 9

49 e Cscs.5. Solução de Lév (Crregetos Não Uifores) Por eeplo, cosidere-se fleão de u plc cregd idrostticete: p π p p si d ( ) (,,K) π Est equção jutete co terior represet defleão. Cosiderdo u plc qudrd (b), defleão o cetro d plc (/,) é p. D Este resultdo é etde d defleão de u plc rectgulr co poios siples sujeit u crrgeto uifore. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.6. Moetos Distribuídos s Arests Vos cosiderr u plc rectgulr co poios siples e tods s etreiddes sujeit oetos distribuídos siétricos e ±b/. Descrevedo os oetos pel série de Fourier f b π ( ) M si ± Pedro V. Gbo - 9

50 e Cscs.6. Moetos Distribuídos s Arests Nest epressão, M represet os coeficietes deterir π M f ( ) si d As codições de froteir são D f Pedro V. Gbo - 9 (, ) b ± b ( ) ± Pr se obter solução deste proble é ecessário ssuir que superficie de deforção te for já obtid teriorete,,k B π cos C π p π si si 5 5 π D e Cscs.6. Moetos Distribuídos s Arests Co p e,,,..., isto é Est equção cupre equção p/d e s prieirs codições de froteir, coo já foi visto. As seguds codições de froteir são stisfeits qudo. Colocdo α πb/, coo teriorete, te-se de ode se tir B π cos C π π si si b B cos α C siα B C b tα Pedro V. Gbo - 9

51 e Cscs.6. Moetos Distribuídos s Arests Agor, equção d defleão fic Substituido est equção, jutete co defiição de f(), terceir codição de froteir te-se Dqui obté-se A defleão fic πd D π b π π C si tα cos si π C π cosα si C ( π ) α si cos M πd cosα M Pedro V. Gbo - 9 M π si b π tα cos si π e Cscs.6. Moetos Distribuídos s Arests Os oetos e s tesões são obtids prtir dest epressão. No cso de teros oetos uiforeete distribuídos f()m, logo M M π Substituido est equção, jutete co defiição de f(), terceir codição de froteir te-se ( π ) α M si b π tα cos cos si π D π Pr o cso de u plc qudrd (b), defleão e oetos o cetro d plc são M.68 M.9M 56 M. M D Pedro V. Gbo - 9

52 e Cscs.6. Moetos Distribuídos s Arests A defleão o logo do eio de sietri é dd por M b t si α π π D cos α ( ) Qudo b, pode colocr-se tα α e cosα, e epressão ci reduz M b πd,, K É curioso que este resultdo é igul o d defleão o cetro de u tir de coprieto b sujeit dois oetos iguis e opostos s etreiddes. No cso de u plc co oetos ti-siétricos, (M ) b/ -(M ) -b/, pode derivr-se epressão d defleão de for idêtic odificdo terceir codição de froteir. π M b si D Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.6. Moetos Distribuídos s Arests Neste cso te-se D b / ( M ) D ( M ) b / b / b / O cso geérico pode ser derivdo coo u cobição de situções siétrics e ti-siétrics. As soluções co oetos distribuídos siétricos e ti-siétricos são úteis pr resolver probles co vrids codições de froteir s etreiddes. Pedro V. Gbo - 9

53 e Cscs.7. Método d Superposição A defleão e tesão u plc rectgulr co qulquer codição s etreiddes e crregeto rbitrário pode ser deterids pelo étodo d superposição. De cordo co este étodo, u proble copleo pode ser prieiro substituído por váris situções is siples e que cd u pode ser resolvid pelo étodo de Nvier ou pelo étodo de Lév. As defleões obtids por cd cso siplificdo são, depois, diciods de for que equção fudetl p/d e s codições de froteir sej stisfeits o proble origil. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.7. Método d Superposição Cosidere-se, por eeplo, fleão de u plc sujeit u crregeto lterl co u etreidde ecstrd e s outrs co poios siples. A solução coeç co o pressuposto de que tods s etreiddes tê poios siples. Depois, u oeto flector o logo d rest é plicdo co u gitude dequd pr eliir s rotções devido o crregeto lterl. O eeplo seguite é usdo pr ilustrr o étodo. Pedro V. Gbo - 9

54 e Cscs Pedro V. Gbo Método d Superposição Eeplo.7 U plc rectgulr te s rests oposts e co poios siples e s outrs dus ±b/ ecstrds. A plc está sujeit u crg uiforeete distribuíd co itesidde p. Derive u epressão pr superfície deflectid e pr os oetos. e Cscs Pedro V. Gbo Método de Ritz.8. Método de Ritz A eergi de etesão U ssocid à fleão de u plc é dd por ( ) A dd D U ν O trblo relizdo pel forç lterl superfície p(,) pode ser represetdo por A pdd W ode A é áre d superfície d plc. A eergi potecil ΠU-W fic, etão, ( ) Π A dd p D D ν

55 e Cscs Pedro V. Gbo Método de Ritz A plicção deste étodo pode ser ilustrdo trvés d fleão de u plc rectgulr co ldos e b ecstrd e tods s etreiddes e sujeit u crregeto uifore p. As codições de froteir são ( ) ( ) b,, e Cscs Pedro V. Gbo Método de Ritz Itegrdo por prtes o últio tero d equção d eergi de etesão obtése A S A dd d dd A S S A dd d d dd De cordo co s codições de froteir, os dois prieiros itegris são idêticos. Assi A dd

56 e Cscs.8. Método de Ritz Dest for, eergi de etesão d fleão fic D U Assuido que defleão te seguite for A Pedro V. Gbo - 9 dd π π cos cos b s codições de froteir são cuprids. Substituido este resultdo equção d eergi obté-se D b π π U π cos cos b π π cos cos b b dd e Cscs.8. Método de Ritz de ode U π bd que é válid pr r s. O trblo relizdo por p é ou W b b r s r s rs r b b p π π cos cos dd b W p b s Pedro V. Gbo - 9

57 e Cscs Pedro V. Gbo Método de Ritz Ds codições de iiizção Π/, te-se que é válid pr r e r. Retirdo todos os teros ecepto o prieiro, est equção dá p b b b b D r r r r π b b D p π D p 8. No cso de u plc qudrd (b), p /(π D). A defleão ái ocorre o cetro d plc e é obtid trvés d substituição de equção d defleão. e Cscs Pedro V. Gbo Método de Ritz Este resultdo é cerc de.5% ior do que o vlor obtido usdo o étodo d Secção.7 pr u plc ecstrd, que é is elbordo. É de otr que o resultdo é uito preciso, tedo e cot que só foi usdo u tero d série. De u odo gerl, utilizção de tão poucos teros ão result u precisão tão grde o étodo de Ritz.

58 e Cscs.8. Método de Ritz Clculdo defleão d plc cosiderdo sete prâetros,,,,, e obté-se o seguite siste de equções: Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.8. Método de Ritz A solução deste siste de equções lieres pr u plc qudrd (b) dá p.77 Dπ p.89 Dπ p. Dπ p. 6 D p.8 Dπ p.68 Dπ Substituido estes vlores equção d defleão defleão ái é obtid o cetro d plc co o vlor Este vlor é ectete igul o que seri obtido co o étodo d Secção.7. Pedro V. Gbo - 9

59 e Cscs.8. Método de Ritz Eeplo.8 U porção rectgulr ( b) do cão de u ofici te s sus etreiddes ecstrds e suport u crg P plicd posição,. Deterir defleão ái d plc. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Itrodução. Métodos Nuéricos Nos cpítulos teriores for usdos étodos de equilíbrio e de eergi pr probles de fleão de plcs. Nlgus csos, ests soluções lítics ão são possíveis e é ecessário recorrer étodos uéricos proidos. Estes étodos uéricos perite o egeeiro resolver probles práticos, co fors e crregetos reis. Os étodos uéricos is iporttes são: O étodo ds difereçs fiits; O étodo dos eleetos fiitos. Pedro V. Gbo - 9

60 e Cscs.. Difereçs Fiits O étodo ds difereçs fiits substitui equção diferecil d plc e s epressões que defie s codições de froteir co equções de difereçs equivletes. A solução de u proble de fleão reduz-se, ssi, à solução siultâe de u cojuto de equções lgébrics escrits pr todos os ós defiidos detro d plc. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Difereçs Fiits As epressões ds difereçs fiits pode ser obtids prtir d defiição d prieir derivd d fução f() co respeito : d li d Δ Δ O ídice represet u poto rbitrário curv. Nu itervlo Δ est epressão represet u proição à derivd d Δ d Δ é prieir difereç vçd de o poto, Δ d d Pedro V. Gbo - 9

61 e Cscs Pedro V. Gbo Difereçs Fiits A prieir difereç trsd e é As difereçs cetris cotê ós colocdos sietricete e relção. Assi, prieir difereç cetrl é U procedieto idêtico este pode ser usdo pr se obtere s derivds de orde ior. Vos, dqui pr frete, cosiderr pes s diferecçs cetris. d d ( ) d d δ e Cscs Pedro V. Gbo Difereçs Fiits A segud derivd pode ser escrit usdo represetção de difereç d prieir derivd: A segud difereç cetrl e, depois de substituir os resultdos ds prieirs difereçs epressão ci, é ( ) ( ) d d δ Δ Δ ( ) ( ) d d Δ Δ δ A terceir difereç cetrl é ( ) ( ) δ δ δ δ δ δ δ ( ) ( ) ( ) ( ) d d

62 e Cscs Pedro V. Gbo Difereçs Fiits e qurt difereç cetrl é ( ) ( ) δ δ δ δ δ δ δ d d 6 ( ) ( ) ( ) e Cscs Pedro V. Gbo Difereçs Fiits Vos ver o cso d fução de defleão (,) de dus vriáveis. Cosiderdo u plc rectgulr e colocdo ΔΔ, divide-se plc u l qudrd. δ δ δ δ δ

63 e Cscs Pedro V. Gbo Difereçs Fiits Aqui, os ídices e idic direcção e que s difereçs são clculds. Co bse defiição de derivd prcil, s epressões ci pode escrever-se pr u poto d seguite for e ( ) ( ) [ ] ( ),, ( ) ( ) [ ] ( ),, ( ) ( ) ( ) [ ] ( ),,, ( ) ( ) ( ) δ δ δ δ ( ) ( ) ( ) [ ] ( ),,, e Cscs Pedro V. Gbo Difereçs Fiits As derivds ists são ( ) ( ) ( ) δ δ δ δ δ δ ( ) ( ) δ δ ( ) ( ) ( ) δ δ δ ( ) [ ]

64 e Cscs.. Difereçs Fiits Tedo à disposição s váris derivds for de proições de difereçs, pode fcilete obter-se s equções de difereçs fiits equivletes às equções d plc. Pr referêci lgus operdores de difereçs fiits estão represetdos e esque figur seguite. O poto cetrl e cd esque é o poto de referêci de cd operdor. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Difereçs Fiits Pedro V. Gbo - 9

65 e Cscs Pedro V. Gbo Difereçs Fiits Fóruls siilres pode ser derivds qudo os ós ão estão espçdos uiforeete. No cso de u l rectgulr co Δ e Δk, pode substituir-se o por k s derivds de e relção teriores. Por eeplo, ( ) ( ) k ( ) ( ) k k k δ δ δ δ ( ) ( ) k e Cscs Pedro V. Gbo Difereçs Fiits O operdor fic ( ) ( ) k A eos que sej especificdo, dqui pr frete serão cosiderdos pes ós equidisttes (ΔΔ). Os operdores de difereçs e coordeds crtesis e estão be dptds pr resolver probles co doíios rectgulres. Qudo plc te cotoros irregulres são ecessários operdores especiis juto à froteir. U ds ls ão crtesis pr ests codições são s ls trigulres. Se plc tiver for de u prlelogro, é coveiete e is preciso usr coordeds prlels às rests d plc.

66 e Cscs.. Difereçs Fiits A l polr é usd e situções e que eiste fors i-siétrics. Os operdores de difereçs fiits e qulquer siste coordedo são obtidos trvés d trsforção ds equções que relcio s coordeds e esse siste. E todos os csos, o procedieto pr deterir s defleões e oetos é o ostrdo seguir. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução ds Equções (Difereçs Fiits) Podeos, gor, trsforr equção diferecil d plc flectid u equção lgébric. Vos escrever est equção pr u ó iterior; o poto por eeplo. Referido o operdor, equção de difereçs correspodete à equção fudetl d plc é p D [ ( ) 8( ) ] 9 Pedro V. Gbo - 9

67 e Cscs.. Solução ds Equções (Difereçs Fiits) Epressões idêtics são escrits pr todos os ós detro d plc. Ao eso tepo, s codições de froteir tê que ser covertids pr for de difereçs fiits. O cojuto de equções de difereçs é, depois, resolvido pr se obtere s defleões. Coo étodo ltertivo o proble d fleão d plc, equção fudetl d plc pode ser substituíd por dus equções de segud orde, coo já foi visto teriorete. A plicção do operdor ests equções o poto dá ( M M M M M ) p M ( ) D Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução ds Equções (Difereçs Fiits) Outrs equções idêtics são escrits pr o resto dos ós detro d plc. A solução do proble requer que se deterie os vlores de M e de for stisfzer s equções lgébrics e s codições de froteir. No cso de u plc co poios siples e tods s rests, M e são zero esss rests e, por isso, pode resolver-se o prieiro grupo de equções idepedeteete do segudo pr deterir todos os vlores de M detro d froteir. O segudo cojuto é resolvido depois. Pr plcs co outrs codições de froteir (ecstreto, livre, cobições, etc..) é ecessário resolver tods s equções e siultâeo. E plcs co codições de froteir ists os vlores de M pode ser diferetes s rests. A defleão, este cso, obté-se is fcilete trvés do prieiro étodo. Pedro V. Gbo - 9

68 e Cscs.. Solução ds Equções (Difereçs Fiits) Tedo os vlores de M e dispoíveis os ós, pode derivr-se s epressões dos oetos e forçs de corte. No poto, estes são e M M D ν D ν D( ν ) M ( ) [ ( )] [ ( )] Q Q M ( M M ) ( M ) Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução ds Equções (Difereçs Fiits) As tesões são fcilete obtids coo teriorete. O étodo ds difereçs fiits é elor copreedido trvés de lgus eeplos uéricos. Pedro V. Gbo - 9

69 e Cscs.. Solução ds Equções (Difereçs Fiits) Eeplo. Use técic ds difereçs fiits pr lisr fleão de u plc qudrd ( ) e que tods s rests tê poios siples e que está sujeit u crregeto uiforeete distribuído p. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução ds Equções (Difereçs Fiits) Eeplo. Deterie defleão e os oetos e vários potos de u plc qudrd de ldo co tods s rests ecstrds sujeit u crregeto uiforeete distribuído p. Cosidere / e utilize dus fors de solução: ) Aplicção ds dus equções de segud orde; b) Aplicção d equção fudetl. Pedro V. Gbo - 9

70 e Cscs.. Solução ds Equções (Difereçs Fiits) Eeplo. U cão, e que etde suport u crregeto uifore, é represetdo por u plc cotíu co s rests oposts (±/) ecstrds e s outrs (,) co poios siples. O eio d plc () tbé te u poio siples. Obter s defleões os potos, e. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução ds Equções (Difereçs Fiits) Eeplo. Cosidere o cso de u plc rectgulr crregd uiforeete co dus rests cotígus co poios siples, terceir livre e qurt ecstrd. Use o étodo ds difereçs fiits co / pr deterir e vários potos. Pedro V. Gbo - 9

71 e Cscs.. Solução ds Equções (Difereçs Fiits) Eeplo. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Solução ds Equções (Difereçs Fiits) Eeplo. Pedro V. Gbo - 9

72 e Cscs.. Proprieddes do Eleeto Fiito O étodo dos eleetos fiitos te-se desevolvido e siultâeo co os coputdores digitis e o ueto do iteresse os étodos uéricos. Este étodo perite estitiv ds tesões e defleões u plc co u gru de fcilidde e de precisão uc tes possível. No étodo dos eleetos fiitos, plc é discretizd u úero fiito de eleetos (orlete co for trigulr ou rectgulr) ligdos os ós e e froteirs iter-eleeto ipotétics. Assi, o equilíbrio e coptibilidde tê que ser verificds e cd ó e o logo ds froteirs etre eleetos. Eiste vários étodos de eleetos fiitos. Vos, pes, ver o étodo cou de deslocetos fiitos ode o cojuto ds equções lgébrics fudetis é epresso e teros dos deslocetos odis ideteridos. Pedro V. Gbo - 9 e Cscs.. Proprieddes do Eleeto Fiito Vos, prieiro, defiir u série de prâetros relevtes pr u eleeto fiito de u plc isotrópic. As derivções bsei-se o pressuposto d teori de peques defleões. E gerl, plc pode ter qulquer for e qulquer crregeto. Cosidere-se u plc fi que é substituíd por u cojuto de eleetos fiitos trigulres. As proprieddes de u eleeto discreto vão desigr-se de e. Pedro V. Gbo - 9