O Algoritmo Polinomial de Shor para Fatoração em um Computador Quântico

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1 Unversdade Federal de Pernambuco Departamento de Matemátca Dssertação de Mestrado: O Algortmo Polnomal de Shor para Fatoração em um Computador uântco por Máro Sansuke Maranhão Watanabe Manoel Lemos Orentador Este trabalho contou com o apoo fnancero da CAPES Recfe, Setembro de 2003.

2 Tese submetda ao Corpo Docente do Programa de Pós-graduação do Departamento de Matemátca da Unversdade Federal de Pernambuco como parte dos requstos necessáros para a obtenção do Grau de Mestre em Cêncas. Aprovado: Manoel José Machado Soares Lemos Orentador Ramón Oreste Mendoza Ahumada Cláudo Benedto Slva Furtado O ALGORITMO POLINOMIAL DE SHOR PARA FATORAÇÃO EM UM COMPUTADOR UÂNTICO Por Máro Sansuke Maranhão Watanabe UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Cdade Unverstára - Tels. (081) Fax: (081) RECIFE - BRASIL Setembro

3 Para Ana Teresa e Ana Júla, mnha melhor poesa, mnha outra paxão.

4 Agradecmentos Agradeço, em prmero e muto especal lugar, à mnha esposa Ana Teresa que, para dzer pouco, é perfeta, enquanto humana. A sua precosa dedcação e ncondconal amor são a paz de espírto que me permte estar nesse camnho. Agradeço à mnha mãe Maurna pelo permanente ncentvo a tudo aqulo que, de alguma forma, acrescente dgndade e valores mperecíves à mnha exstênca. Também, manfesto meus agradecmentos ao Departamento de Matemátca da UFPE concretzado nas pessoas de seus professores, alunos e funconáros. Em partcular, aos professores Manoel Lemos e Ramón Mendoza pela dsponbldade em compartlhar este trabalho nas condções de, respectvamente, orentador e co-orentador do projeto. Agradeço à CAPES pelo apoo fnancero. 2

5 O Algortmo Polnomal de Shor para Fatoração em um Computador uântco RESUMO Sstemas de crptografa largamente dfunddos como o RSA fundamentam a sua efcênca na suposção de que, em termos prátcos, é mpossível fatorar números nteros sufcentemente grandes em uma escala de tempo acetável. Mas precsamente, não exstem, até o momento, algortmos de fatoração em tempo polnomal que possam ser mplementados nos atuas computadores. Dentre os algortmos conhecdos, o mas efcente requer um tempo computaconal de ordem exponencal na quantdade de dígtos bnáros do número a ser fatorado. Em 1994, baseado nos trabalhos anterores de Benoff, Bennett, Deutsch, Feynman e Smon, dentre outros, Peter Shor apresentou um algortmo de fatoração que requer assntotcamente uma quantdade em ordem polnomal de passos em um computador quântco para fatorar um número ntero de tamanho arbtráro. Esse algortmo ao nvés de abordar o problema de decompor tal número em dos fatores não trvas pelo método dreto de dvsões sucessvas, utlza o problema equvalente de encontrar a ordem de um certo ntero modulo o número fatorado, onde esse ntero é escolhdo aleatoramente relatvamente prmo com o número fatorado. Shor faz uso de um algortmo quântco para calcular essa ordem. A computação quântca revela um paradgma computaconal bastante adverso da computação clássca. Enquanto esta últma é realzada através de operações bnáras determnístcas com base na lógca booleana clássca, a computação quântca fundamenta as suas operações nos postulados que descrevem o comportamento quântco da matéra. Portanto, é probablístca no seu modus operand. Essa dferença entre os formalsmos lógcos da computação clássca e da computação quântca é um reflexo dreto da natureza dos sstemas físcos que são utlzados para mplementar concretamente cada uma dessas computações. Esta dssertação apresenta o algortmo de Shor para fatoração em um computador quântco. Na seqüênca, ntroduzmos no capítulo 1 alguns concetos báscos da computação clássca com o objetvo de crar um ambente de déas favorável à apresentação da computação quântca como uma extensão, tão natural quanto possível, do modelo clássco computaconal. Assm, no capítulo 2, apresentamos as bases do formalsmo matemátco que modela a computação quântca, atendo-nos apenas aos aspectos concetuas que são, dreta ou ndretamente, aplcados na descrção do algortmo de Shor. Os capítulos 3 e 4 são dedcados à apresentação do algortmo de fatoração de Shor, feta em duas partes. A prmera dz respeto a parte não quântca e aborda os aspectos algébrcos do algortmo. Também é demonstrado o teorema que assegura a vabldade probablístca da solução desse problema. No capítulo 4, apresentamos a parte quântca do algortmo de Shor. O ponto alto da dssertação é alcançado mostrando-se como encontrar a ordem de um ntero módulo o número a ser fatorado relatvamente prmo com este, conclando o algortmo quântco com uma nterpretação clássca de seus dados de saída, medante o uso da expansão de um número raconal em frações contínuas.

6 The Shor s Polynomal Algorthm for Factorng n a uantum Computer ABSTRACT Cryptographc systems such as RSA are based on the assumpton that, n practce, nteger factorng for too large numbers s mpossble n an acceptable perod of tme. So far, there s no polynomal algorthm runnng n classcal computers for factorng an arbtrary sze nteger. The most effcent known algorthm demands an exponental computatonal tme on the number of bnary dgts of the factored number. In 1994, based on the prevous works of Benoff, Bennett, Deutsch, Feynman and Smon, among others, Peter Shor presented a factorng algorthm that requests a polynomal amount of steps for factorng an arbtrary nteger n on a quantum computer. That algorthm approaches the problem by splttng the n nto two non trvals factors by fndng the order of a certan nteger a mod n. The nteger a s randomly chosen among the ones relatvely prme wth n. Shor uses an quantum algorthm to evaluate that order. uantum computaton uses a very dfferent computatonal model when compared wth classcal computaton. Whle the latter s acheved by means of determnstc bnary operatons based on the boolean logc, quantum computaton works based on the postulates that descrbes the quantum behavor of matter. So, t s probablstc n yours modus operand. The dfference between the classcal and quantum computaton logc formalsms s a straght reflecton of the physcal systems that are used to buld each of these computatons. Ths work presents the the Shor s polynomal algorthm for factorng n a quantum computer. In the frst chapter we ntroduce some classcal computaton basc concepts n vew to create an deal envronment that allow us to ntroduce the quantum computaton as an extenson as natural as possble of the classcal computatonal model. In the second chapter we gve the mathematcal formalsm whch models the quantum computaton focusng our attenton over the conceptual ponts that wll be appled on the Shor s algorthm descrpton. Chapters 3 and 4 are devoted to presentng the Shor s factorng algorthm. The presentaton dvdes nto two parts. The frst part, n Chapter 3, approaches the non quantum algebrac features of the algorthm and we also demonstrate the theorem that proves that the algorthm s probablstcally feasble. In chapter 4 we present the quantum features of Shor s algorthm. The man pont s acheved when we show how to fnd the order of a mod n. For that purpose we make a classcal nterpretaton of the quantum algorthm output data by usng the expanson of a ratonal number n contnuous fractons.

7 Sumáro Introdução 4 1 Computação Clássca Bt, Regstros e Espaço de Estados Álgebra Booleana e Portas lógcas Portas Lógcas Elementares Estado, Evolução e Medção de um Regstro Computação uântca Matrzes e Transformações Untáras Sstemas uântcos Postulados da Teora uântca ubts Regstros uântcos Estados Correlaconados Transformações Untáras e Portas uântcas Portas uântcas Elementares O Operador Untáro U f A Transformada uântca de Fourer U F O Algortmo de Deutsch-Jozsa Algortmo de Fatoração de Shor - parte I Concetos Incas O Algortmo de Fatoração de Shor O Passos do Algortmo de Shor Comentáros sobre o algortmo Efcênca do Algortmo Algortmo de Fatoração de Shor - parte II A Parte uântca do Algortmo de Shor O Cálculo do Período P A Extração do Período por Frações Contínuas Consderações Probablístcas do Algortmo uântco

8 Introdução Sstemas de crptografa largamente dfunddos como o RSA fundamentam a sua efcênca na suposção de que, em termos prátcos, é mpossível fatorar números nteros sufcentemente grandes como, por exemplo, da ordem de Mas precsamente, não exstem até o momento algortmos de fatoração em tempo polnomal que possam ser mplementados nos atuas computadores. Dentre os algortmos conhecdos, o mas efcente [9, 10] requer um tempo computaconal O ( exp [ (log 2 N) 1 3 (log 2 log 2 N) 2 3 ]). Ou seja, trata-se de um algortmo exponencal na quantdade O(log 2 N) de dígtos bnáros de N, onde N é o número ntero que se deseja fatorar. Em 1994, baseado nos trabalhos anterores de Benoff, Bennett, Deutsch, Feynman e Smon, dentre outros, Peter Shor [16] apresentou um algortmo de fatoração que requer assntotcamente O ( (log 2 N) 2 (log 2 log 2 N)(log 2 log 2 log 2 N) ) passos em um computador quântco para fatorar um número ntero N com O(log 2 N) dígtos bnáros. Esse algortmo, que opera em tempo polnomal, ao nvés de abordar o problema de decompor N em dos fatores não trvas pelo método dreto de dvsões sucessvas, utlza o problema equvalente de encontrar a ordem de y a (mod N), onde 1 < y < N é um número ntero escolhdo aleatoramente tal que mdc(y, N) = 1. Shor faz uso de um algortmo quântco para calcular essa ordem. A computação quântca revela um paradgma computaconal bastante adverso da computação clássca. Enquanto esta últma é realzada através de operações bnáras determnístcas com base na lógca booleana clássca, a computação quântca fundamenta as suas operações nos postulados que descrevem o comportamento quântco da matéra. Portanto, é probablístca no seu modus operand. Essa dferença entre os formalsmos lógcos da computação clássca e da computação quântca é um reflexo dreto da natureza dos sstemas físcos que são utlzados para mplementar concretamente cada uma dessas computações. De fato, enquanto os métodos computaconas clásscos são mplementados fscamente por sstemas eletrôncos descrtos pelas les do eletromagnetsmo, os algortmos quântcos devem ser fscamente mplementados por sstemas dscretos de partículas como átomos, elétrons e fótons, cujo comportamento é governado pelas les da mecânca quântca. 4

9 5 Esta dssertação apresenta o algortmo de Shor para fatoração em um computador quântco e fo, na maor parte, baseada no artgo [11] de S.J. Lomonaco Jr. Em nossa abordagem, optamos por ntroduzr no capítulo 1 alguns concetos báscos da computação clássca com o objetvo de crar um ambente de déas, de forma tal, que tornasse possível a apresentação da computação quântca como uma extensão, a mas natural quanto possível, do modelo clássco computaconal. Assm, no capítulo 2, apresentamos as bases do formalsmo matemátco que modela a computação quântca, atendo-nos apenas aos aspectos concetuas que são, dreta ou ndretamente, aplcados na descrção do algortmo de Shor. Neste capítulo, faz-se um sstemátco uso dos postulados da teora quântca que descrevem o comportamento de um sstema computaconal quântco. Os capítulos 3 e 4 são dedcados à apresentação do algortmo de fatoração de Shor, feta em duas partes. A prmera, contda no capítulo 3, dz respeto a parte não quântca e aborda os aspectos algébrcos do algorítmo no que dz respeto à equvalênca entre o problema de encontrar dos fatores não trvas de um ntero N e o de descobrr a ordem de y a (mod N). Também é demonstrado o teorema que assegura a vabldade probablístca do método de solução desse problema. No capítulo 4, apresentamos a parte quântca do algortmo de Shor. O ponto alto da dssertação é alcançado mostrando-se como encontrar a ordem de y a (mod N), conclando o algortmo quântco com uma nterpretação clássca de seus dados de saída, medante o uso da expansão de um número raconal em frações contínuas.

10 Capítulo 1 Computação Clássca Neste capítulo ncal, apresentamos de forma breve alguns temas báscos da computação clássca que julgamos necessáros para a ntrodução dos concetos da computação quântca que vrão a segur. Optamos aqu por uma abordagem que permta a cração de uma ambênca favorável à apresentação das déas futuras. Dessa forma, poderemos estabelecer mas adante um nstrutvo parelelo que evdence as dferenças concetuas entre esses dos paradgmas da computação. 1.1 Bt, Regstros e Espaço de Estados Os computadores clásscos utlzam o bt, ou dígto bnáro, como o componente básco da memóra. O bt representa a menor quantdade de nformação dgtal capaz de ser armazenada porque pode estar, de cada vez, em apenas um de dos estados dstntos e mutuamente exclusvos. A concepção desse prncípo de memóra justfca-se pela relatva facldade, do ponto de vsta físco, de se armazenar a nformação dgtal através da dstnção entre dos valores de uma grandeza físca contínua como tensão ou corrente elétrca. Dessa forma, o estado de cada bt corresponde a um estado físco dstnto da máquna. Essa característca de armazenamento faz com que o sstema bnáro de numeração seja a escolha natural para representar as nformações envolvdas na computação clássca. Assm, do ponto de vsta matemátco, um bt está assocado a uma varável x {0, 1}, onde o conjunto {0, 1} é dto o espaço de estados do bt. Desse modo, um bt x pode estar a cada nstante em apenas um dentre os dos possíves estados 0 ou 1, mas nunca em uma sobreposção smultânea de ambos. 6

11 Computação Clássca 7 Por sua vez, um regstro é uma área mas extensa de memóra formada pela justaposção de uma quantdade fnta de k bts. Isto é, um regstro está assocado a uma k-upla (x k 1,, x 0 ) {0, 1} k, onde o produto cartesano {0, 1} k = {0, 1} {0, 1} }{{} k é dto o espaço de estados desse regstro. Além dsso, como herda o prncípo de funconamento de cada um de seus bts componentes, um regstro pode estar a cada nstante em apenas um dos 2 k dferentes estados possíves e mutuamente exclusvos do seu espaço de estados. } {{ } k bts fg.1 Um regstro com k bts Observação Note que cada um desses 2 k possíves estados corresponde bunvocamente ao armazenamento de um número ntero 0 N 2 k 1. De fato, exste uma bjeção natural φ entre o conjunto das k-uplas {(x k 1,, x 0 ); x {0, 1}} e o conjunto {N Z; 0 N 2 k 1} defnda por: φ(x k 1,, x 0 ) = x k 1 2 k x x 0 2 0, que é a representação bnára de N. Além dsso, os valores mínmo e máxmo armazenados ocorrem quando, respectvamente, x = 0 e x = 1 para todo. Mas claramente, φ(0,, 0) = 0 e φ(1,, 1) = k 1 j=0 2j = 2 k 1. Abaxo, lustramos a representação bnára do número 13 em um regstro de cnco bts fg.2 Representação bnára do número 13 Em síntese, um regstro é capaz de armazer somente um valor de cada vez, sto é, não é possível um mesmo regstro de k bts clásscos armazenar smultaneamente uma sobreposção de dos, ou mas, números nteros dstntos 0 N 1, N 2 2 k 1. Observação Dado um número ntero postvo N podemos estar nteressados em avalar a quantdade mínma k de bts que deverá possur um regstro para ser capaz de armazená-lo. Afrmamos que será necessáro um regstro com log 2 N k bts, onde o símbolo denota o menor ntero maor que. Com efeto, k deverá satsfazer N 2 k 1 < 2 k, donde log 2 N < k.

12 Computação Clássca Álgebra Booleana e Portas lógcas A Álgebra Booleana, assm nomeada em homenagem ao seu descobrdor o matemátco nglês George Boole ( ), caracterza-se pelo fato de que suas varáves e funções apenas podem operar com os valores 0 e 1. Também conhecda como álgebra de chaveamentos, a álgebra booleana, por suas característcas, é o modelo matemátco adequado para descrever a dnâmca de funconamento dos crcutos lógcos dgtas. As Funções booleanas são da forma f : {0, 1} k {0, 1} m, cuja entrada é um estado x = (x k 1,, x 0 ) {0, 1} k e cuja saída é um estado y = (f m 1 (x),, f 0 (x)) {0, 1} m. Funções booleanas são mplementadas na prátca através de crcutos eletrôncos dgtas chamados portas lógcas. Ou seja, a mesma operação que uma função booleana realza abstratamente com os números 0 e 1, a porta lógca correspondente realza de forma concreta com, dgamos, os estados de tensão elétrca de 0 e 5 volts. Essa correspondênca costuma levar ao emprego ndstnto das duas expressões Portas Lógcas Elementares Dentre as portas lógcas, ou correspondentes funções booleanas, exstem três que merecem uma especal referênca. Tas portas são as funções Not, And e Or, que funconam como blocos elementares para a construção de qualquer outra porta lógca. Isso sgnfca que qualquer função booleana pode ser mplementada através de uma combnação adequada dessas funções ou portas báscas [21, pp 62-64], por sso mesmo denomnadas de funcões booleanas elementares ou portas lógcas elementares. A segur, apresentamos tas funções. A porta Not A porta lógca Not, tabém conhecda como operação de negação ou nversão, é denotada pelo símbolo e mplementa a correspondente função booleana : {0, 1} {0, 1} defnda por (x) = 1 x. Ou seja, essa função atua sobre um únco bt e nverte o seu estado. Portanto, a função Not possu apenas uma entrada e uma saída. Esquematcamente, essa porta é representada pelo segunte dagrama: x y acompanhado de sua tabela-verdade: x y

13 Computação Clássca 9 A porta And A porta lógca And, tabém denomnada operação de dsjunção, é denotada pelo símbolo e mplementa a correspondente função booleana : {0, 1} k {0, 1}, k 2, defnda por: 1 se (x k 1,, x 0 ) = (1, 1,, 1) (x k 1,, x 0 ) = 0 se (x k 1,, x 0 ) (1, 1,, 1). A função And pode ter mas de duas entradas, mas possu apenas uma saída. Exbmos abaxo a representação esquemátca da ocorrênca mas usual da porta And, sto é, o caso em que k = 2: x 1 y x 0 cuja tabela-verdade é: x 1 x 0 y A porta Or A porta lógca Or, também chamada de operação de conjunção, é denotada pelo símbolo e mplementa a correspondente função booleana : {0, 1} k {0, 1}, k 2, defnda por: 0 se (x k 1,, x 0 ) = (0, 0,, 0) (x k 1,, x 0 ) = 1 se (x k 1,, x 0 ) (0, 0,, 0). Assm como a porta anteror, a função Or pode ter mas de duas entradas, mas possu apenas uma saída. Também exbmos abaxo a representação esquemátca da ocorrênca mas usual da porta Or, sto é, o caso em que k = 2: x 1 y x 0

14 Computação Clássca 10 cuja tabela-verdade é: x 1 x 0 y Observação (Um comentáro sobre reversbldade) Dentre as portas lógcas elementares, apenas a porta Not é reversível. Por uma porta reversível, queremos qualfcar aquela que está assocada a uma função booleana nversível. Assm, a nversa da função (x) = y é a função 1 (y) = x, defnda por 1 (y) = 1 y. De fato, ( 1 )(x) = x. Além dsso, note que a função Not é auto-nversa, sto é, 1 =. Em termos smples, uma porta lógca, ou correspondente função booleana, será reversível se for possível determnar o valor de entrada (nput) uma vez que se conheça o valor de saída (output). Ou seja, se for possível reverter a operação. Neste sentdo, note que mesmo conhecendo o valor de saída das funções And e Or, os valores de entrada permanecem ndetermnados. Veremos no capítulo dos que, ao contráro do que ocorre na computação clássca, toda porta quântca é reversível. Como afrmamos no níco desta seção, qualquer função booleana pode ser mplementada como uma combnação adequada das portas lógcas elementares Not, And e Or. A segur, lustraremos esse fato escolhendo para exemplo uma função booleana que será utlzada em dos momentos no capítulo segunte: em uma prmera aplcação da computação quântca conhecda como Algortmo de Deutsch-Jozsa e na defnção de um certo operador lnear untáro. Este últmo, de uso essencal no algortmo de fatoração de Shor. Assm, pretendemos torná-la, desde já, famlar. Exemplo A função Xor (Or exclusvo) A porta lógca Xor é denotada pelo símbolo e mplementa a correspondente função booleana : {0, 1} 2 {0, 1} defnda por: x 0 se x 1 = 0 (x 1, x 0 ) = 1 x 0 se x 1 = 1. Em tempo, esclarecemos que o símbolo, aqu empregado, em nada se relacona com a sua usual denotação de soma dreta. Isso posto, apresentamos abaxo uma mplementação da função Xor como uma composção das funções elementares Not, And e Or.

15 Computação Clássca 11 (x 1, x 0 ) = ( (x 1, (x 0 )), (x 0, (x 1 ))) É medata a verfcação que o resultado destas operações lógcas satsfaz a tabela-verdade: x 1 x 0 y Estado, Evolução e Medção de um Regstro Nosso propósto nesta seção é apresentar os concetos de estado de um sstema, evolução de um sstema e medção desse sstema aplcados ao caso específco de nosso nteresse, onde esse sstema é um regstro clássco de k bts. Defnção O estado de um regstro de k-bts é uma k-upla (x k 1,, x 0 ) {0, 1} k, dto o seu espaço de estados. Consdere, por exemplo, um regstro composto por 3 bts. Nesse caso, o espaço de estados desse regstro é formado por oto estados dstntos, sto é, exstem somente oto combnações dstntas para a trpla (x 2, x 1, x 0 ), x {0, 1}. De modo lustratvo, podemos vsualzar os dferentes estados desse regstro ternáro como sendo os oto vértces de um cubo de aresta untára, conforme a fgura abaxo: Assm, o espaço de estados do regstro é o conjunto formado pela unão dsjunta desses oto vértces. De modo geral, o espaço de estados de um regstro de k bts pode ser vsualzado como os 2 k vértces de um cubo de aresta untára k dmensonal.

16 Computação Clássca 12 Defnção Consdere um regstro de k bts que se encontra ncalmente no estado x = (x k 1,, x 0 ) {0, 1} k. Dzemos que o regstro evolu de x para y quando passa do estado x para o estado y = f(x), onde f : {0, 1} k {0, 1} k é uma função booleana. Um regstro evolu de um estado para outro sob a ação de uma porta lógca, ou função booleana. Assm, consdere o exemplo anteror com o regstro de 3 bts no estado ncal (0, 1, 1). A aplcação sucessva de três portas lógcas podera levar o regstro a evolur para, dgamos, os estados sucessvos (0, 0, 1), (1, 1, 1) e, fnalmente, (1, 1, 0). Tas funções booleanas que provocaram essas evoluções poderam ser, por exemplo, as portas lógcas A, B e C ndcadas no dagrama abaxo: Porta A Porta B Porta C Estado 0 Estado 1 Estado 2 Estado 3 Note que cada porta lógca é composta nternamente pela portas elementares Not, And e Or. Neste dagrama, o tempo flu da esquerda para a dreta e os estados de 0 a 3 consttuem a evolução sequencada do regstro pela ação das sucessvas portas. A Medção de um regstro Medr um regstro sgnfca observar o estado no qual se encontra através de algum processo computaconal adequado. Na computação clássca, observar o estado de um regstro num certo nstante equvale a observar o estado ndvdual de cada um de seus bts componentes. Isto é, se sabemos, por exemplo, que após a aplcação de uma sequênca de portas lógcas um regstro de 3 bts deverá ter armazenado em s o número 6 em dígtos bnáros, então, nequvocamente, o estado do prmero bt será 0 e o estado dos segundo e tercero bts será 1. Ou seja, a medção de um regstro clássco é um processo determnístco. Mas anda, a observação do estado de um regstro não altera esse estado. Fatos mutos adversos ocorrem na computação quântca como veremos a segur.

17 Capítulo 2 Computação uântca 2.1 Matrzes e Transformações Untáras Apresentamos na sequênca alguns concetos báscos da álgebra lnear que serão utlzados nos postulados que descrevem o comportamento dos sstemas quântcos nos quas estamos nteressados, a saber, os sstemas de bts e regstros quântcos. Dessa forma, seja M m,n (C) o espaço das matrzes com entradas (a j ) C, onde 1 m e 1 j n. Agora, consdere as seguntes defnções: Defnção Seja A M m,n (C). Defnmos a matrz adjunta de A como sendo a matrz A M n,m (C) tal que A = A t. Isto é, a adjunta da matrz A é a matrz conjugada de sua transposta. Defnção Dzemos que uma matrz A M m,n (C) é uma matrz untára se e somente se A A = I n, onde I n denota a matrz dentdade n n. Em partcular, note que se m = n então uma matrz A M n (C) é untára se e somente se A 1 = A. Agora, consdere o conjunto das matrzes coluna C M n,1 (C). Decorre da defnção a segunte propredade: Propredade Uma matrz coluna C = (c 1 ) n 1 é untára se e somente se: c c c n1 2 = 1 13

18 Computação uântca 14 Demonstração. Suponha que C é untára. Então C C = I 1 = 1. Isto é, c 11 c 11 + c 21 c c n1 c n1 = 1 (2.1) e a conclusão segue de medato. Recprocamente, seja C uma matrz coluna tal que c c c n1 2 = 1 (2.2) Assm, podemos escrever (2.2) na forma (2.1). Ocorre que o lado esquerdo da gualdade (2.1) é exatamente C C. Isto é: C C = 1 = I 1 e, portanto, C é untára. Fnalmente, sejam V e W dos espaços vetoras complexos com produto nterno hermtano e com bases ortonormas, respectvamente, α = {e 1, e 2,, e n } e β = {f 1, f 2,, f m }. Além dsso, sejam U : V W uma transformação lnear e A M m,n (C) a matrz de representação de U em relação às bases α e β. Nessas condções, temos a segunte defnção: Defnção Uma transformação lnear U : V W é dta untára se e somente se A é uma matrz untára. Além dsso, A é a matrz de representação do operador U : W V, adjunto de U, em relação às bases β e α. Mas anda, se V = W então U U = UU = I, onde I é o operador dentdade. 2.2 Sstemas uântcos Na computação clássca, o formalsmo matemátco que descreve o funconamento dos bts e regstros está de acordo com a manera como se comportam os sstemas físcos que mplementam concretamente esses sstemas lógcos. Neste caso, os sstemas físcos são dmnutos chaveamentos elétrcos que controlam a passagem ou nterrupção de corrente medante a dstnção entre os dos valores de tensão que concretzam os estados abstratos 0 e 1. Em contrapartda, o formalsmo matemátco que descreve o funconamento dos bts e regstros quântcos deverá estar de acordo com os sstemas físcos que podem mplementar concretamente essa computação. Tas sstemas quântcos são usualmente sstemas solados e dmnutos como átomos, elétrons, fótons etc. Assm, apresentaremos a segur três postulados orundos da mecânca quântca e que são sufcentes para descrever o comportamento dos sstemas quântcos com os quas remos ldar, a saber, qubts e regstros quântcos. O formalsmo matemátco que será apresentado na próxma seção estará de acordo com esses postulados.

19 Computação uântca Postulados da Teora uântca Dzemos que um sstema é solado quando não está nteragndo com o ambente no qual está nserdo. Ademas, passaremos a usar a notação ket, devda a Drac, para denotar o vetor de estado de um sstema quântco. Postulado (Estado de um sstema) O Estado de um sstema quântco solado é completamente descrto por uma matrz untára C = (c 1 ) M n,1 (C). Postulado (Evolução de um sstema) Um sstema quântco solado no estado C 1 evolurá para um novo estado C 2, após um certo ntervalo de tempo, de acordo com onde U M n (C) é uma matrz untára. C 2 = U C 1 Comentáro. Note que este postulado é consstente com o prmero. De fato, como C 1 M n,1 (C) e U M n (C), temos que C 2 M n,1 (C). Além dsso, C 2 é untára. Com efeto, Portanto, C 2 é um estado quântco váldo. C 2 C 2 = (U C 1 ) (U C 1 ) = C 1 U U C 1 = C 1 C 1 = I 1 Postulado (Medção de um sstema) uando um sstema quântco no estado c 11 c 21 C =. c n1 é meddo, ele colapsa com probabldade P rob() = c 1 2 para o estado 0. = 1 -ésma posção. 0 fornecendo como resultado da medção o valor, onde 0 n 1.

20 Computação uântca ubts O espaço de estados de um bt clássco era smplesmente o conjunto {0, 1}. Ou seja, os úncos e mutuamente exclusvos estados nos quas um bt podera estar eram os valores 0 e 1. Nesta seção apresentaremos o conceto de qubt, ou bt quântco, cujo espaço de estados é algo muto adverso. Mas anda, o própro conceto de estado de um qubt possu uma natureza bem dferente dos estados 0 e 1 do bt clássco. Assm, nosso próxmo objetvo será responder às perguntas: ondem vvem os qubts e como são defndos. Seja H um espaço vetoral complexo com um produto nterno hermtano,. Tal produto nterno nduz uma norma nesse espaço. Dzemos que H é um espaço completo se toda sequênca de Cauchy de vetores de H for convergente para um vetor pertencente ao própro espaço com relaçao a essa norma. Defnção Dzemos que um espaço vetoral complexo H com produto nterno hermtano é um Espaço de Hlbert se for completo com relação à norma nduzda por esse produto nterno. Um qubt é um sstema quântco cujo espaço de estados é um Espaço de Hlbert bdmensonal. Mas adante, veremos que regstros quântcos consttuídos por dos ou mas qubts também são sstemas cujo espaço de estados também é um Espaço de Hlbert com dmensão, embora maor do que dos, fnta. Com sso estamos dzendo que todos os espaços de Hlbert com os quas ldamos na computação quântca são espaços vetoras de dmensão fnta. Agora, como todo espaço vetoral de dmensão fnta possu uma base ortonormal, sempre escolheremos tas bases para os espaços de Hlbert com os quas trabalharemos. O motvo dessa escolha é manter a coerênca com a defnção e com os postulados da seção Além dsso, denotaremos por estados puros os vetores da base do espaço de Hlbert que for tomado como espaço de estados do sstema em questão. Consdere o espaço de Hlbert C 2 com a base ortonormal canônca dada pelo conjunto das matrzes coluna untáras C = {(1 0) t, (0 1) t }. Por defnção, C 2 é o espaço de estados de um qubt. Utlzaremos a notação Ket de Drac para representar os vetores desse espaço. Em partcular, denotamos os vetores da base canônca C pelos símbolos abaxo: 0 = ( 1 0 ) 1 = ( 0 1 ) (2.3) Defnção Um qubt é um sstema quântco cujo vetor de estado ϕ C 2 é dado por ϕ = a a 1 1 onde a C, a a 1 2 = 1 e C 2 é um espaço de Hlbert de dmensão dos.

21 Computação uântca 17 Note que esta defnção de qubt satsfaz a propredade e, portamto, é coerente com o postulado Anda, os estados quântcos ϕ são vetores untáros de C 2. De forma lustratva, podemos representar um qubt e seu espaço de estados pelo segunte gráfco: 1 a 1 a 0 0 Como formam uma base ortonormal de C 2, dzemos que os estados 0 e 1 são os estados puros do qubt. Fora esses, qualquer outro vetor de estado ϕ de um qubt é uma combnação lnear de 0 e 1, conforme nos dz a defnção Também se dz que um estado ϕ é uma sobreposção desses estados puros. Dante dsso, uma prmera grande dferença entre bts e qubts torna-se evdente. Enquanto um bt pode exstr em apenas dos estados 0 e 1, um qubt pode exstr em nfntos estados que são as nfntas possbldades de combnações lneares dos estados puros que satsfazem a defnção Agora, suponha que um qubt esteja no estado ϕ = a a 1 1 no momento em que é observado. Pelo postulado 2.2.3, esse vetor de estado ϕ deverá colapsar, no momento da observação, para um dos estados puros 0 ou 1 fornecendo como resultado os valores, respectvamente, 0 com probabldade a 0 2 ou 1 com probabldade a 1 2. Por essa razão, os coefcentes a 0 e a 1 são dtos ampltudes de probabldade. Também usamos a notação: P rob(0) = a 0 2 P rob(1) = a 1 2 Dessa forma, embora um qubt, enquanto estado quântco solado, possa exstr em nfntas sobreposções dos estados puros, somente é possível extrar deles nformações equvalentes a valores de bts clásscos, sto é, 0 ou 1. A razão dsso é o fato de que para extraírmos nformação de um qubt é necessáro observá-lo, ou seja, é necessáro nteragr com o sstema. Mas, quando sso ocorre, o qubt dexa de ser um sstema quântco solado e colapsa em um dos estados puros. Contudo, o crtéro que o sstema quântco utlza para escolher em qual desses dos estados puros rá colapsar são as ampltudes de probabldade de cada um no momento da observação. Em síntese, o postulado dz que: A medção de um estado quântco não puro altera esse estado.

22 Computação uântca 18 Esse fato atesta outra surpeendente característca da computação quântca que a dferenca largamente da computação clássca. A saber, o estado de um bt clássco não se altera quando o medmos ou observamos. Portanto, enquanto o ato de medr um sstema clássco é um processo determnístco, medr um sstema quântco é um processo probablístco. Exemplo Suponha que temos 100 computadores quântcos e em cada um deles exsta um qubt no estado ϕ = no exato momento em que decdmos medr esses qubts smultaneamente nos 100 computadores. O que a teora quântca nos dz através do postulado é que em aproxmadamente 70 desses computadores deveremos obter como resultado o valor 0, pos em 70% dos casos o vetor de estado ϕ rá colapsar para o estado puro 0 e em aproxmadamente 30 deles deveremos obter o valor 1, pos em 30% dos casos o vetor de estado ϕ deverá colapsar para o estado puro 1. Tendo em vsta esse processo probablístco, note que uma stuação muto especal ocorre no segunte caso. Suponha que temos um qubt no estado quântco: ϕ = (2.4) Isso sgnfca que P rob(0) = P rob(1) = 1 2. Ou seja, em 50% dos casos obteremos o valor 0 como resultado da medção e nos demas 50% obteremos o valor 1. uando sso ocorre, dzemos que o vetor de estado ϕ do qubt está em uma sobreposção unforme de estados puros. Mas adante, estenderemos esse conceto a regstros quântcos e exploraremos as vantagens computaconas desse tpo de sobreposção. 2.4 Regstros uântcos Semelhante ao que ocorre na computação clássca, um regstro quântco é uma justaposção ordenada de um número fnto de qubts e, portanto, também é um sstema quântco. Assm, nossa próxma tarefa será apresentar o espaço de Hlbert onde vvem os regstros quântcos e como são defndos. Para sso, lembramos que um regstro clássco de k bts tem como espaço de estados o produto cartesano {0, 1} k dos k espaços de estado {0, 1} correspondentes a cada um de seus bts componentes. Por sua vez, o espaço de estados de um regstro quântco de m qubts é o espaço de Hlbert dado por m vezes o produto tensoral de C 2, sto é: C 2 C 2 }{{} m Incalmente, consdere o espaço de estados C 2 C 2. Sabemos que se {e 1,, e m } e {f 1,, f n } são bases dos espaços vetoras, respectvamente, H 1 e H 2, então o conjunto

23 Computação uântca 19 {e f j 1 m e 1 j n} é uma base de H 1 H 2. Em partcular, temos que os vetores 0 0, 0 1, 1 0, 1 1 (2.5) consttuem uma base de C 2 C 2, um espaço de Hlbert de dmensão quatro. Notação Com o objetvo de smplfcar a escrta dos vetores (2.5), convencona-se usar a segunte notação: a b = ab, a, b {0, 1} Dessa forma, os vetores (2.5) passam a ser escrtos como 00, 01, 10, 11. Agora, como C 2 C 2 C 4, estes símbolos podem ser dentfcados com a base ortonormal canônca de C 4 cujos vetores passam a representar os estados puros de C 2 C 2. Ou seja, (2.6) Dante dsso, consdere um regstro quântco formado por dos qubts com vetores de estado ϕ 1 = a a 1 1 C 2 e ϕ 2 = b b 1 1 C 2. Dessa forma, o estado quântco do regstro ψ C 2 C 2 será o produto tensoral dos estados ϕ 1 e ϕ 2. Ou seja, ψ = ϕ 1 ϕ 2 = (a a 1 1 ) (b b 1 1 ) = a 0 b a 0 b a 1 b a 1 b (2.7) Ademas, note que 1 a b j 2 = 1 (2.8),j=0 pos, a a 1 2 = 1 e b b 1 2 = 1. Isso nos dz que o vetor de estado de um regstro de dos qubts é um vetor untáro ψ C 2 C 2. Assm, ψ satsfaz a propredade e, portanto é consstente com o postulado Logo, ψ é um estado quântco váldo. Dessa forma, podemos apresentar a segunte defnção: Defnção Um regstro de dos qubts é um sstema quântco cujo vetor de estado ψ C 2 C 2 é dado por onde c C, ψ = c o 00 + c c c c k 2 = 1 e C 2 C 2 é um espaço de Hlbert de dmensão quatro. k=0

24 Computação uântca 20 Agora, suponha que um regstro de dos qubts encontra-se no estado ψ = c o 00 + c c c 3 11 (2.9) no momento em que é meddo. Pelo postulado tal estado ψ deverá colapsar para um dos estados puros 00, 01, 10 ou 11, fornecendo como resutado um dos valores, respectvamente, 0, 1, 2 ou 3 com probabldade P rob() = c 2. Assm, embora um regstro de dos qubts possa exstr, enquanto estado solado, em nfntas sobreposções de estados dada pela equação (2.9), a sua medção apenas permte extrar nformações equvalentes aos valores possíves de serem armazenados em um regstro clássco de dos bts. Ou seja, 0 (0, 0), 1 (0, 1), 2 (1, 0) e 3 (1, 1). Confra a observação do capítulo 1. Também no caso de um regstro quântco de dos qubts, podemos ter um estado de sobreposção unforme dado por: ψ = (2.10) 2 Ao ser meddo nesse estado, o regstro quântco deverá fornecer um dos resultados 0, 1, 2 ou 3 com guas probabldades de 25%. Faremos agora a generalzação do conceto de regstro quântco para o caso em que esse regstro é composto por m qubts. Contudo, cabe antes uma ressalva quanto à notação mas adequada para representar os vetores da base canônca do espaço vetoral C } 2 {{ C } 2. m Assm, note que, sendo { 0, 1 } uma base de C 2, temos que um elemento da base de C 2 C 2 é dado genercamente por: b m 1 b 1 b 0 (2.11) onde b {0, 1}. Se usarmos a notação então o vetor acma pode ser escrto como b m 1 b 1 b 0. Ocorre que para regstros com um número m sufcentemente grande de qubts, mesmo esta notação torna-se nadequada. Dessa forma, note que a sequênca de números b m 1 b 1 b 0 é a representação bnára do número ntero não negatvo (cf. observação 1.1.1) Com sso, podemos adotar a segunte notação: c = b m 1 2 m b b (2.12)

25 Computação uântca 21 Notação Seja b m 1 b 1 b 0 a representação bnára do número ntero não negatvo c dada pela equação (2.12). Assm, denotamos: c = b m 1 b 1 b 0 = b m 1 b 1 b 0 No caso de um regstro quântco de três qubts, por exemplo, os oto vetores da base canônca de C 2 C 2 C 2 podem ser representados da segunte forma: 0 = = = = = = = = 111 Em prncípo, o emprego dos símbolos 0 e 1 podera causar alguma confusão. Contudo, o contexto em que forem empregados dexará sempre muto claro se estão sendo aplcados no sentdo da notação 2.4.2, acma, ou se denotam os estados puros de um qubt smples dados pelas gualdades (2.3). Após essas consderações sobre a notação, faremos a generalzação dos concetos para um regstro quântco de m qubts. Para sso, adotaremos, mutats mutands, as construções e defnções fetas para o caso m = 2. Dessa forma, temos a segunte defnção: Defnção Um regstro quântco de m qubts é um sstema quântco cujo vetor de estado ψ } C 2 {{ C } 2 é dado por: m onde c x C, 2 m 1 x=0 ψ = 2 m 1 x=0 c x x c x 2 = 1 e C 2 C 2 é um espaço de Hlbert de dmensão 2 m com base canônca { 0, 1, 2,, 2 m 1 }. Como C 2 C 2 C 2m, essa base pode ser dentfcada com a base ortonormal canônca de C 2m cujos vetores passam a representar os estados puros de C 2 C 2. Assm, para 0 x 2 m 1, temos a segunte dentfcação: 0 x x-ésma posção

26 Computação uântca 22 Agora, suponha que um regstro quântco de m qubts encontre-se no estado ψ = c c c c 2 m 1 2 m 1 (2.13) no exato momento em que é meddo. Pelo postulado 2.2.3, esse estado ψ deverá colapsar para um dos estados puros 0, 1, 2,, 2 m 2 ou 2 m 1 e fornecer, respectvamente, como resultado dessa medção um dos valores 0, 1, 2,, 2 m 2 ou 2 m 1 com probabldade P rob(x) = c x 2, para 0 x 2 m 1. Note que tas valores são os 2 m números nteros não negatvos possíves de serem armazenados em um regstro clássco de m bts. Mas uma vez, confra a observação Como um caso partcular da sobreposção de estados dada pela equação (2.13), temos a generalzação da equação (2.10) dada pela segunte defnção: Defnção Dzemos que o vetor de estado ϕ de um regstro de m qubts está em sobreposção unforme se ϕ = 1 2 m 1 x 2 m Nesse caso, ao se medr um regstro em estado de sobreposção unforme, o resultado será um dos valores 0, 1, 2,, 2 m 2 ou 2 m 1 com guas probabldades P rob(x) = 1 2 m. x= Estados Correlaconados O estado de um sstema físco clássco sempre pode ser descrto em termos dos estados de suas partes componentes. Assm, na computação clássca, o estado de um regstro de k bts sempre pode ser apresentado na forma de uma k-upla (x k 1,, x 0 ) {0, 1} k onde cada coordenada x {0, 1} é nequvocamente o estado de cada um dos k bts ndvduas que compõem o resgstro. Por sua vez, o estado de um sstema quântco nem sempre pode ser descrto em termos dos estados ndvduas de suas partes. Esse fato não possu contrapartda no mundo clássco de nossa experênca dreta e, por sso, é não ntutvo. Dessa forma, na computação quântca, pode não ser possível expressar o estado de um regstro quântco de m qubts através dos estados separados de cada um desses qubts. Formalmente, resummos tal fato na segunte defnção: Defnção Seja ψ o vetor de estado de um regstro quântco de m qubts. Dzemos que ψ é um estado correlaconado se não puder ser escrto como o produto tensoral dos estados ndvduas de seus m qubts. Caso contráro, os m 1-qubts são dtos ndependentes.

27 Computação uântca 23 Assm, consdere, por exemplo, um regstro de dos qubts cujo vetor de estado ψ é dado por: ψ = (2.14) 2 Das equações (2.7) temos que, de modo geral, um regstro de dos qubts dado pelo produto tensoral de seus qubts componentes é da forma: ψ = a 0 b a 0 b a 1 b a 1 b 1 11 (2.15) Logo, ao gualarmos as equações (2.14) e (2.15), caímos no segunte sstema de equações: a 0 b 0 = 1 2 a 0 b 1 = 0 a 1 b 0 = 0 a 1 b 1 = 1 2 que, claramente, não possu solução. De fato, se assummos que a 0 então b 1 = 0. Por outro lado, se fazemos b 0 então a 1 = 0 e em qualquer dos casos concluímos que a b = 0, uma contradção. Portanto, não exstem números a 0, a 1, b 0 e b 1 tas que o vetor de estado ψ possa ser expresso como o produto tensoral de estados ndvduas dados por ϕ 1 = a a 1 1 e ϕ 2 = b b 1 1. Em outras palavras, não exstem tas estados ndvduas, mas apenas o estado correlaconado ψ de ambos qubts. Medção de qubts ndependentes e correlaconados Incalmente, mostraremos que quando um regstro quântco é formado por qubts ndependentes, a medção de um desses qubts não provoca o colapso de todo o sstema. Para ver sso, consdere um regstro quântco formado por dos qubts ndependentes cujo vetor de estado seja ncalmente ψ 1 = c c c c 3 11 Como os qubts são ndependentes, então exstem a 0, a 1, b 0 e b 1 C tas que o estado ψ 1 pode ser escrto como o produto tensoral dos estados de seus qubts dados por ϕ 1 = a a 1 1 e ϕ 2 = b b 1 1. Ou seja, ncalmente temos: ψ 1 = ϕ 1 ϕ 2 Agora, suponha, sem perda de generaldade, que ao realzarmos a medção do prmero qubt, este colapse para o estado puro 0 C 2. Dessa forma, o regstro passa do estado ψ 1 para ψ 2 = 0 ϕ 2.

28 Computação uântca 24 Afrmamos, que ψ 2 anda é um estado quântco. De, fato: ψ 2 = 0 (b b 1 1 ) = b b = b b 1 01 Logo, como b b 1 2 = 1, temos que ψ 2 C 2 C 2 é um estado quântco váldo. Assm, embora o regstro quântco tenha passado do estado ψ 1 para ψ 2, este últmo anda é uma sobreposção de estados e não um estado puro. Isso mostra que a medção de um dos qubts ndependentes não provocou o colapso do regstro como um todo. Por outro lado, se um regstro encontra-se em um estado quântco correlaconado, então a medção de um dos qubts afetará todos os demas, provocando o colapso de todo o sstema. Dessa forma, consdere o exemplo do regstro de dos qubts no estado correlaconado ψ dado pela equação (2.14). Ao medrmos esse regstro o vetor de estado ψ poderá colapsar, com guas probabldades de 1 2, para um dos estados puros 00 ou 11. Contudo, nunca rá colapsar para os estados 01 ou 10, pos P rob(1) = P rob(2) = 0. Com sso, suponha que realzamos a medção de um dos qubts. Se este colapsar para o estado puro 0 então, necessaramente, o outro será forçado a colapsar também para o estado puro 0 e o sstema como um todo rá colapsar para o estado 00, já que não é possível ocorrer 01. Smlarmente, se o resultado da medção de um dos qubts for o estado puro 1 então o outro necessaramente também rá colapsar para o estado 1, levando todo o sstema para o estado 11. Assm, a medção de qualquer dos qubts correlaconados provoca o colapso de todo o regstro quântco. 2.5 Transformações Untáras e Portas uântcas Até agora, vmos os aspectos referentes ao vetor de estado de um qubt e sua medção que comportam-se de acordo com os postulados e A partr desta seção, passaremos a abordar o comportamento dnâmco dos qubts, sto é, a manera como evoluem de um estado a outro de acordo com o postulado No capítulo um, vmos que a evolução dos estados de um regstro clássco dá-se pela ação de uma porta lógca. Ocorre que, naquele caso, os espaços de estados de um regstro de k bts são produtos cartesanos da forma {0, 1} k. Por sso, exge-se que as portas lógcas que provocam tas evoluções sejam, naturalmente, as funções booleanas f : {0, 1} k {0, 1} k, onde as entradas são k-uplas x = (x k 1,, x 1, x 0 ) e as saídas são k-uplas f(x) = (f k 1 (x),, f 1 (x), f 0 (x)), ambas consttuídas de 0 s e 1 s. Na computação quântca, os espaços de estados dos qubts são espaços vetoras. Dessa forma, é natural, em prmero lugar, que as funções que provocam as mudanças de estado sejam as transformações lneares do espaço nele mesmo. Mas anda, como os estados

29 Computação uântca 25 são vetores untáros e as bases são ortonormas, também é natural que, dentre as transformações lneares, sejam escolhdas as untáras. De fato, estas preservam a norma e a ortogonaldade dos vetores sobre os quas atuam. Por essa razão, o postulado exge que as transformações que provocam a evolução dos vetores de estado dos qubts sejam aquelas cuja matrz de representação na base canônca ortonormal do espaço sejam matrzes untáras. Assm, pela defnção 2.1.3, dado um regstro quântco formado por m qubts, as transformações untáras U que provocam sua evolução são os operadores lneares tas que U U = UU = I (2.16) onde I é o operador dentdade do espaço vetoral de Hlbert C } 2 {{ C } 2. m Assm, uma consequênca medata do postulado é que os operadores lneares que provocam mudanças nos estados dos qubts são operadores nversíves. De fato, U 1 = U. Agora, da mesma forma como na computação clássca as funções booleanas são mplementadas por portas lógcas, na compução quântca os operadores untáros são mplementados por portas quântcas. Ora, pelo que afrmamos no níco deste parágrafo, temos que Toda porta quântca é reversível. Tal comportamento das portas quântcas é mas uma das notáves dferenças em relação à computação clássca. Como vmos na observação 1.2.1, a maora das funções booleanas elementares clásscas são rreversíves. Também, como no caso clássco, exstem portas quântcas dtas elementares. Neste caso, consderam-se portas quântcas elementares aquelas que atuam sobre regstros de um, dos ou até três qubts por serem as de mplementação físca mas smples. Dessa forma, toda porta quântca pode ser construída a partr de um número fnto de portas elementares [17, Seção 2] Portas uântcas Elementares Neste seção daremos quatro exemplos de portas quântcas elementares. As duas prmeras atuam sobre regstros smples de apenas um qubt, a tercera atua sobre regstros de dos qubts e a quarta sobre regstros de três qubts. A porta quântca U NOT A porta U NOT desempenha na computação quântca uma função smlar àquela realzada pela função Not da computação clássca. Ou seja, se o estado de um qubt é 0 a porta U NOT converte para 1 e vce versa. Como é um operador lnear, basta defnr a porta U NOT : C 2 C 2 em relação aos vetores da base. Assm, temos: U NOT 0 = U NOT 1 =

30 Computação uântca 26 Logo, a matrz de transformação de U NOT em relação à base canônca ortonormal de C 2 é a matrz untára A M 2,2 (C) dada por: ( ) 0 1 A = 1 0 A Transformação de Hadamard - H A transformação de Hadamard é um operador untáro H : C 2 C 2, assm defndo nos vetores da base: H 0 = H 1 = Sua matrz de representação em relação à base canônca ortonormal de C 2 é a matrz untára A M 2,2 (C) dada por: ) A = ( Uma das mportantes aplcações dessa porta quântca elementar é a capacdade de crar um estado de sobreposção unforme quando atua sobre um qubt no estado 0. De fato, note que H 0 = é exatamente o estado dado pela equação (2.4). A porta quântca U CNOT A porta U CNOT (controlled-not) atua sobre um regstro de dos qubts e o seu efeto é alterar o estado do segundo qubt, controlado pelo estado do prmero. Especfcamente, a porta U CNOT nega o estado do segundo qubt se o estado do prmero é 1 e dexa nalterado se o estado do prmero for 0. Assm, a porta quântca U CNOT : C 2 C 2 C 2 C 2 é defnda nos vetores da base canônca da segunte forma: U CNOT 00 = 00 U CNOT 01 = 01 U CNOT 10 = 11 U CNOT 11 = 10 e sua matrz de representação em relação à base canônca ortonormal de C 2 C 2 é a matrz untára A M 4,4 (C) dada por: A =

31 Computação uântca 27 A porta quântca U CCNOT Também denomnada operador de Toffol, a porta U CCNOT (controlled-controlled-not) atua sobre um regstro quântco de três qubts e o seu efeto é negar o estado do tercero qubt se e somente se o estado dos dos prmeros é 11. O operador lnear de Toffol U CCNOT : C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 é assm defndo em relação aos vetores da base: U CCNOT 000 = 000 U CCNOT 001 = 001 U CCNOT 010 = 010 U CCNOT 011 = 011 U CCNOT 100 = 100 U CCNOT 101 = 101 U CCNOT 110 = 111 U CCNOT 111 = 110 Sua matrz de representação em relação à base canônca ortonormal de C 2 C 2 C 2 é a matrz untára A M 8,8 (C) dada por: A = O Operador Untáro U f Sabemos que a maora das portas lógcas clásscas são rreversíves. Por outro lado, toda porta quântca é reversível. Assm, é natural perguntarmos se os algorítmos clásscos podem ser quantcamente mplementados. Ou seja, será que sempre exstrão operadores lneares que possam mplementar uma computação classcamente exeqüível? Felzmente, Deutsch mostrou [5] que sempre será possível construr portas quântcas reversíves para toda função que possa ser classcamente mplementada. Assm, apresentamos nesta seção o operador lnear U f que desempenhará um papel fundamental na parte quântca do algortmo de fatoração de Shor. Dessa forma, consdere uma função booleana clássca f : {0, 1} k {0, 1} m. Isto é, as entradas dessa função são k-uplas (x k 1,, x 1, x 0 ) = x e as saídas são m- uplas (f m 1 (x),, f 1 (x), f 0 (x)) = f(x). Antes de mas nada, note que, pela observação 1.1.1, temos 0 x 2 k 1 e 0 f(x) 2 m 1, onde x e f(x) são números nteros não