Notas de Cálculo Integral em R. Pedro Lopes Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico 2o. Semestre 2009/2010

Transcrição

1 Nots de Cálulo Integrl em R Pedro Lopes Deprtmento de Mtemáti Instituto Superior Ténio 2o. Semestre 2009/200 Ests nots onstituem um mteril de poio o urso de Cálulo Diferenil e Integrl I pr s lieniturs em Engenhri Informáti e Computdores, em Engenhri de Redes e Comunições, em Engenhri Eletróni e em Engenhri e Gestão Industril do Instituto Superior Ténio no Tgus Prk, no 2o. semestre de 2009/200 e não pretendem ser um substituto dos mnuis esolres disponíveis.

2 Introdução. Motivção do Cálulo Integrl em R e definição de integrl Suponhmos que pretendemos lulr áres de figurs plns. Por eemplo, omo lulr áre de um írulo de rio r r > 0? Estbeleçmos desde já que s áres om que trblhremos qui serão tipimente áres deitds por gráfios de funções, pelo eio dos XX e por rets vertiis - ou outrs áres obtids á ust de tis áres. Assim sendo bordemos novmente o álulo d áre do írulo. Esolhendo eios, este é ddo pel epressão 2 + y 2 = r 2. Ms est não é um função. Pr tl esrevemos y à ust de obtendo s funções f ± = ± r 2 2. Esolhendo função f +, áre pretendid é o dobro d áre d figur bio do gráfio de f e im do eio dos XX. Pretendemos, então, onstruir um objeto mtemátio que, ddos um função f, pr já positiv e um intervlo [, b], ontido no domínio de f, lhes ssoi áre deitd pelo gráfio de f, pelo eio dos XX e pels rets de equção = e = b. Eemplo. Elementr Considere-se função onstnte f = > 0, pr todo o em [, b] < b. Qul é áre d figur pln deitd pelo gráfio dest função f, pelo eio dos XX e pels rets de equção = e = b? Clrmente ess áre é b e é isso que o tl objeto mtemátio nos deve forneer neste so prtiulr. f PSfrg replements k k m k M k b Figure : Áre deitd pel função onstnte, pelo eio dos XX e pels rets vertiis = e = b E se função onsiderr tiver um gráfio do tipo d função presentd n figur 2? Inspirndo-nos no eemplo Elementr im podemos estimr áre pretendid d seguinte mneir. Começmos por tomr um deomposição, isto é, um suessão finit de, digmos, n + pontos no intervlo [, b], ordendos de form resente em que = 0 e o último n = b. Pretendemos esolher estes pontos de tl mneir que função f restrit d um dos subintervlos formdos por pontos onseutivos d suessão im meniond, [ k, k ] se preç o mis possível om um função onstnte. Seguidmente onsidermos restrição d função em us um dos subintervlos [ k, k ] e tentmos vlir ontribuição d áre bio d função f, im do eio dos XX e entre s rets vertiis de equção = k e = k ver novmente figur 2. Clrmente, ess ontribuição é superior inf [k, k ] f k k ver figur 3 e inferior sup [k, k ] f k k ver figur 4. No que se segue, usremos notção m k f pr designr inf [k, k ] f, omitindo frequentemente f em m k f sempre que sej lr função f em us. Anlogmente, M k f designrá sup [k, k ] f, omitindose frequentemente f em M k f. Assim, somndo ests ontribuições de todos os subintervlos [ k, k ], 2

3 obtemos seguinte estimtiv pr áre pretendid : m k k k áre pretendid M k k k k= k= f M k PSfrg replements m k k k b Figure 2: Como lulr áre trejdo? f M k PSfrg replements m k k k b Figure 3:...estimtiv por defeito... Definição. As soms im designm-se por soms de Drbou de f reltivmente à deomposição d em questão: m k k k é som de Drbou inferior de f reltivmente d, notção s d f e M k k k k= k= 3

4 f M k PSfrg replements m k k k b Figure 4:...estimtiv por eesso... é som de Drbou superior de f reltivmente d, notção S d f Com est notção obtemos: s d f áre pretendid S d f Observção. Monotoni ds soms de Drbou Dd um deomposição d do intervlo [, b], onsideremos um nov deomposição de [, b] que é obtid de d por esolh de um novo ponto k entre os pontos k e k d deomposição d. Como se relionm entre si s soms de Drbou de f reltivmente d e d? As lterções provêm só do que se pss entre k e k. Enqunto que pr deomposição d só há um ínfimo resp., um supremo ser luldo, pr deomposição d há que onsiderr o ínfimo resp., supremo de f restrit [ k, k ] e o ínfimo resp., supremo de f restrit [ k, k]. Notemos qui que um deomposição d obtid de um deomposição d por dição de pontos se hm refinmento de d; diz-se tmbem que d é mis fin que d. Obtemos então: Proposição. Sej f um função itd em [, b]. Se d é um deomposição mis fin que d de [, b], então: s d f s d f S d f S d f Dem. - eeríio - Já que o onjunto ds soms de Drbou inferiores pr tods s deomposições do intervlo [, b] onstituem um onjunto mjordo e não vzio porquê? então eiste o supremo desse onjunto, o qul hmmos Definição.2 Integrl inferior de f sobre [, b] Design-se por Integrl inferior de f sobre [, b], notção fd, o supremo: sup s d f := sup{s d f d é deomposição de [, b]} d é deomp. de [,b] Anlogmente, design-se por Integrl superior de f sobre [, b], notção fd, o ínfimo: inf S df := inf{s d f d é deomposição de [, b]} d é deomp. de [,b] 4

5 Observmos que Proposição.2 Pr qulquer deomposição d de [, b], s d f fd áre pretendid fd S d f Dem. - eeríio - Suponhmos que fd = fd. Então o supremo ds proimções por defeito à áre pretendid oinide om o ínfimo ds proimções por eesso à áre pretendid, ou sej obtivémos áre pretendid. Definição.3 Sej f um função itd em [, b]. Se fd = fd então f diz-se integrável em [, b] e hm-se integrl de f sobre [, b], notção fd, esse vlor omum dos integris superiores e inferiores: fd = fd = fd Observção.2 pretendid. Este integrl de f sobre [, b] é o tl objeto mtemátio que nos dá áre 2. Est é um mneir bem intuitiv de obter áre pretendid 3. Note-se, no entnto, difiuldde em obter tl áre pretendid pelo proesso indido: Há que onsiderr d um de tods s deomposições do intervlo de integrção, [, b] - ms ests são infinits ver figur 5 pr um eemplo de um suessão infinit de deomposições de um intervlo [, b]; b Pr d um ds deomposições d, lulr, pr d um dos subintervlos [ k, k ], o ínfimo e o supremo d função restrit esse subintervlo; Clulr s soms de Drbou pr d um ds deomposições obtidos os supremos e ínfimos referidos im d Clulr o supremo ds soms de Drbou inferiores e o ínfimo ds soms de Drbou superiores...no entnto... Eemplo.2. Clulr fd, pr função onstnte, f =, qulquer que sej em [, b], isto é, lulr áre itd pelo gráfio dest função f, pelo eio dos XX e pels rets de equção = e = b. Tome-se um deomposição, d de [, b], om pontos = 0,,..., n, n = b. Como função é onstnte igul, então, pr qulquer k: m k = e M k = donde, e s d f = S d f = m k k k = k k = k k = b k= k= k= M k k k = k k = k k = b k= k= k= 5

6 d : b PSfrg replements d 2 : 0 b d 3 : b... Figure 5: Suessão infinit d, d 2, d 3,... de deomposições do intervlo [, b] e portnto {s d f d é deomposição de [, b] } = {b } = {S d f d é deomposição de [, b] } logo, ou sej fd = b = fd = b fd o que oinide om noss observção iniil. 2. Clulr fd, onde f =, qulquer que sej em [, b]. Tome-se um deomposição de [, b], om pontos 0 =,,..., n = b. resente em [, b], tem-se m k = k ; M k = k Então, Porque f é ontíınu e s d f = = m k k k = k k k = k= Em prtiulr, k= k + k k k k + k k k k k= k k k = k= k= k= 2 k 2 k S df = b 2 2 S d f fd = sup{s d f d é deomposição de [, b] } = sup{b 2 2 S d f d é deomposição de [, b] } = = b sup{ S d f d é deomposição de [, b] } = = b 2 2 inf{s d f d é deomposição de [, b] } = b 2 2 fd Assumindo que f = é integrável em [, b], então os integris inferiores e superiores são iguis o integrl sobre [, b] obtendo-se fd = b 2 2 fd 6

7 donde fd = 2 b2 2 Er este o resultdo que se esperv? 3. Sej f = r 2 2 em [ r, r]. Clulr s soms de Drbou superiores e inferiores reltivmente um deomposição d de [ r, r]. Será fáil lulr o supremo resp., o ínfimo ds soms de Drbou inferiores resp., superiores sobre tods s deomposições de [ r, r]? 4 Sej f = pr rionl e f = 0 pr irrionl. Clulr s soms de Drbou superiores e inferiores reltivmente um deomposição d de um intervlo [, b]. Será f integrável em [, b]?.2 Quis são s funções integráveis? Mostrmos de seguid um lsse de tis funções depois de um resultdo ténio importnte: Proposição.3 Sej f um função itd em [, b]. f é integrável em [, b] é equivlente dizer que pr todo o ɛ > 0, eiste um deomposição d de [, b] tl que S d f s d f < ɛ. Dem. Tome ɛ > 0. Como f é integrável em [, b] fd = Então eiste um deomposição d de [, b] tl que fd = sup{s d f d é deomposição de [, b] }. Anlogmente, porque fd ɛ 2 < s d f fd = eiste um deomposição d 2 de [, b] tl que fd = inf{s d f d é deomposição de [, b] }. S d2 f < fd + ɛ 2 Sendo d um refinmento omum de d e d 2, tem-se, reesrevendo donde S d f < s d f < fd + ɛ 2 fd + ɛ 2 S d f s d f < ɛ provndo ssim que se f é integrável em [, b] então, ddo ɛ > 0, eiste um deomposição d de [, b] tl que S d f s d f < ɛ. Provemos gor reípro. Suponh então que pr todo o ɛ > 0, eiste um deomposição d de [, b] tl que S d f s d f < ɛ. Como s d f fd fd S d f então, 0 fd fd S d f s d f < ɛ 7

8 donde, neessrimente, fd = fd ou sej f é integrável em [, b]. Est proposição dá-nos um ondição de integrbilidde que é mis fáil de usr - e que vmos usr já de seguid. Proposição.4 Sej f ontínu em [, b]. Então f é integrável em [, b]. Dem. Tome ɛ > 0. Sendo f ontínu em [, b] então f é uniformemente ontínu em [, b]. Eiste, então δ > 0 tl que quisquer que sejm e de [, b] om < δ, f f < ɛ b. Sej d um deomposição de [, b] om pontos = 0,,..., n = b tl que pr todo o k se tenh k k < δ. Como f é ontínu em [, b], então M k = fξ k pr erto ξ k em [ k, k ] e m k = fη k pr erto η k em [ k, k ], pr d k. Então S d f s d f = = < M k k k k= m k k k = k= fξ k fη k k k < k= k= ɛ b k k = ɛ b M k m k k k = k= k k = ɛ b = ɛ b ou sej, ddo ɛ > 0, eiste deomposição d de [, b] tl que S d f s d f < ɛ, donde f é integrável em [, b], pel proposição nterior..3 Um fórmul pr lulr o integrl de erts funções N seção nterior onseguimos rterizr um lsse de funções integráveis. Fi no entnto dúvid seguinte. Será que pr lulr o integrl desss funções há que seguir definição de integrbilidde? Como noutros ontetos d mtemáti, s definições seguem noss idei intuitiv de um determindo objeto. No so presente, definimos integrl seguindo noss intuição de omo proimr áre lulr. O que ontee muits vezes, e o so presente é mis um eemplo disso, é que n práti usr s definições é muito omplido. Em ertos sos prtiulres, demonstr-se que definição pode ser substituíd por lgo mis simples. No so presente, vmos ver que pr tod função integrável f sobre um intervlo [, b], pr qul eist um outr função F tl que F = f em [, b], o integrl fd é ddo por F b F. Estes resultdos, que são demonstráveis, são onheidos por Teorems e tmbem Proposições, Lems, et. onsonte o onteto e su importâni reltiv. Teorem. Regr de Brrow Sej f integrável em [, b]. Sej F um função tl que F = f pr todo o em [, b]. Então: k= fd = F b F Dem. Sej d um deomposição de [, b] om pontos = 0,,..., n = b. Pr d k, vmos plir o Teorem de Lgrnge F e o intervlo [ k, k ]. Tem-se, então, F k F k k k = F ξ k = fξ k pr erto ξ k em ] k, k [, pr d k. Reesrevendo, F k F k = fξ k k k 8

9 e omo m k fξ k M k, pr d k, tem-se donde e portnto s d f = m k k k k= s d f fξ k k k k= M k k k = S d f k= F k F k S d f k= s d f F b F S d f Como F b F não depende d deomposição em questão, então esse vlor é um mjornte ds soms de Drbou por defeito e um minornte ds soms de Drbou por eesso; em prtiulr, Finlmente, omo f é integrável em [, b], então fd F b F fd = fd = donde s desigulddes nteriores pssm igulddes, e portnto fd = F b F fd fd De qulquer mneir este Teorem não é milgroso! Dd um função integrável f, há que pereber se eiste função F uj derivd sej f - ess F design-se por primitiv de f. Pode não eistir tl F ou tlvez não ns forms em que estmos hbitudos bordr funções. De qulquer mneir eistem ténis que nos permitem lulr esss funções num grnde vriedde de sos. O estudo desss ténis e su plição vi ser o nosso próimo tópio..4 Ténis de Primitivção Proposição.5 Sej F 0 um primitiv de f em ], b[. Então qulquer outr primitiv de f em ], b[ tem form F = F 0 +, pr todo o em ], b[ e onde é um onstnte. Observção.3 Suintmente, dus primitivs de um função num intervlo diferem por um onstnte. Dem. Sejm F 0, F e f omo no enunido. Sej G = F F 0, pr todo o em ], b[. Como F 0 e F são mbs primitivs de f em ], b[: G = F F 0 = f f = 0 pr todo o em ], b[. Fie um ponto 0 em ], b[ e sej um ponto qulquer de ], b[\{ 0 }. Aplindo o Teorem de Lgrnge G no intervlo de etremos 0 e tem-se, pr erto ξ no interior desse intervlo, donde G 0 G = G ξ = 0 G = G 0 isto é, função G ssume sempre o mesmo vlor, isto é G é um função onstnte, G = pr todo o em ], b[. Dd definição d função G onluímos que F F 0 = 9

10 pr todo o pertenente ], b[. Dd um função trvés de um epressão f, primitivr f é de um ert form, divinhr epressão d função uj derivd é f. Eemplo.3 Sendo um onstnte rel, de vem que onde é um onstnte. Sendo α, de vem Pr α = temos = P = + α+ = α α + P α = α+ α + + log = donde P = log + Um eemplo de plição d segund fórmul im: P 3 2 = P 2 3 = = Proposição.6 Lineridde d Primitivção Suponh que F = fe G = g num erto intervlo ], b[ e que e b são onstntes reis. Então P f + bg = P f + bp g pr todo o em ], b[. Dem. Tem-se F + bg = F + bg = f + bg donde P f + bg = P F + bg = F + bg + = P f + bp g Eemplo.4 P = P + 3P + P 2 = =

11 .4. Primitivs Imedits De seguid presentmos um list ds hmds Primitivs Imedits. Sej u um função difereniável num intervlo ], b[. P u u α = uα+ α+ P u u = log u + P u e u = e u + + α P u sinu = osu + P u osu = sinu + P u + u 2 = rtnu + P P P u u 2 = rsinu + u u u2 + = rgshu + = log + u u u u2 = log + u 2 +, pr u > P u se 2 u = tnu + P u s 2 u = otu + P u seu tnu = seu + P u su otu = su + Bst derivr o segundo membro ds epressões im pr se onsttr vlidde dests primitivs. Eemplo.5 P = 2 P = = P P = 3 P = 3 log P e 2 = 2 P 2e2 = 2 e = P = 2 P = 2 rtn2 + P tn = P sin os = P os os P log P = 8 P = 8 log = P os os P ot = = log sin + = log os + = log se + = P log log = + log+ + = 2 log2 +

12 ou + P = P = P + = P + P = = rsin + 2 P = rsin = = rsin 2 + se + tn P se = P se se + tn = P se2 + se tn = log se + tn + se + tn s + ot P s = P s = = log s + ot + s + ot P sin os = P 2 sin2 = 2 2 P 2 sin2 = 4 os2 + P sin os = P os os = + os2 + = 2 os2 + P sin 2 = P os2 2 = P 2 P os2 2 = P 2 os2 = 2 4 sin2 + P sin 3 = P sin sin 2 = P sin os 2 = P sin P sin os 2 = = os + P os os 2 = os os2+ + = os + 3 os3 + P sin 4 = P sin 2 sin 2 = P sin 2 os 2 = P sin 2 P sin os 2 = = 2 4 sin2 P 4 sin2 2 = 2 4 sin2 4 2 P 2 sin2 = = 2 4 sin sin2 2 + P tn 2 = P se 2 = tn + P tn n+ = P tn 2 tn n = P se 2 tn n = P se 2 tn n P tn n = = n tnn P tn n donde P tn n+ = n tnn P tn n.4.2 Primitivção por prtes A regr d primitivção por prtes é um onsequêni d regr d derivd do produto de dus funções. Relembrndo, dds dus funções difereniáveis u e v, tem-se: que reesrevendo dá Então, uv = u v + uv uv = uv u v P uv = P uv u v = P uv P u v = uv P u v A fórmul d primitivção por prtes é então: P uv = uv P u v Pr que serve est fórmul? Suponh que tem um função pr primitivr e já viu que primitiv não é imedit. Se função primitivr tiver form de um produto onde um dos ftores é derivd de um função onheid, então fórmul im pode judr - ou não! 2

13 Eemplo.6 P e fç-se u =, v = e, donde v = e então, plindo fórmul d primitivção por prtes P e = e P e = e P e = e e + Note-se que se se tivesse feito obter-se-i, por plição d mesm fórmul u = e, v =, donde v = 2 2 P e = P e = e 2 2 P e 2 2 ou sej pssámos de ter que primitivr polinómio de o. gru em multiplido por e pr ter que primitivr polinómio de 2o. gru em multiplido por e. A situção piorou deldrmente. Eemplo.7 Obtem-se, P log fç-se u = log, v =, donde v = P log = P log = log P log = log P = log P = log + Observção.4 Este truque de enrr u é usdo tmbem n primitivção de rsin e rtn. Eemplo.8 P log n = P log n = log n P log n = log n P n log n = = log n np log n isto é P log n = log n np log n Obtem-se, P sin e fç-se u = sin, v = e, donde ve P sine = sine P sin e = sine P ose Aprentemente, ontinumos om um primitiv d mesm ompleidde que primitiv originl. No entnto, em P ose fç-se u = os, v = e, donde ve obtendo-se e substituindo im vem P ose = ose P os e = ose + P sine P sine = sine P ose = sine = sine ose P sine ose + P sine = 3

14 e slientndo só o que interess P sine = sine ose P sine donde e finlmente 2P sine = sine ose P sine = 2 sine ose + Com um bordgem nlog obtem-se Mis eemplos, P ose = 2 sine + ose + P sin n = P sin n sin fç-se u = sin n, v = sin, donde v = os Obtem-se P sin n = P sin n sin = sin n os P sin n os = = os sin n + P n sin n 2 os os donde P sin n = n sinn os + n n P sinn 2 Eeríio: lulr fórmuls de reorrêni pr.4.3 Primitivção por substituição P s n, P os n e P se n A primitivção por substituição é um onsequêni d derivd d função ompost. Considere-se seguinte situção: Queremos onheer F, primitiv de e onheço Gt, primitiv de fγt γ t, onde f : I R : f γ : J I : t γt é um bijeção difereniável do intervlo I sobre o intervlo J. Então, F γt = F γt γ t = fγtγ t = G t donde F γt e Gt diferem por um onstnte, isto é, F γt = Gt + donde ou sej já que γ é um bijeção. F γγ = Gγ + 2 F = Gγ + 2 4

15 N práti, sugere-se o uso d hmd notção de Leibnitz, qundo se lulm primitivs por substituição: P f = fd notção de Leibnitz = ft d dt onde t = γt im = dt = Gt + = Gγ + O uso d notção de Leibnitz é onveniente se reordrmos que o fzer primitivção por substituição tudo o que está epresso n vriável ntig tem de pssr estr epresso n vriável nov. Tendo presente que n notção de Leibnitz figur d, isso judrá reordr que há que fzer substituição de d por d dt, que é frequentemente esqueid. dt Eemplo.9 P sin sin = d = = t 2, d sint dt = 2t 2t dt = 2 t = 2 os + sint dt = 2 ost + = P log = log d = t = log, = e t d dt = et e t t et dt = t dt = = log t + = log log + Outros eemplos é um onstnte 2 2 d d 2 2 d fzer = sint... fzer = tnt... fzer = set... A finlizr est seção hmmos à tenção de que, à semelhnç d primitivção por prtes, primitivção por substituição é um método lterntivo pr tenttiv de álulo de um primitiv um vez que se tenh verifido que ess primitiv não é imedit..4.4 Primitivção de funções rionis Um função rionl é um quoiente de polinómios. Eemplo.0 R = π, R 2 = Ddos polinómios A e P, onsidere função rionl A P. A frção diz-se imprópri qundo o gru do polinómio A é mior ou igul o gru do polinómio P. A frção diz-se própri qundo o gru do polinómio A é menor que o gru do polinómio P. Nos eemplos im R é frção imprópri, enqunto que R 2 é frção própri. Ms dd qulquer frção imprópri A P, eistem polinómios Q e R tis que A = P Q + R em que gru de R é menor que gru de P. Então A P Q + R = = Q + P P P R 5

16 Assim A P = Q + P R Note-se que PQ é um som de primitivs imedits já que Q é um polinómio. Por outro ldo é um frção própri. P R Eemplo. P = P = rtn = P = P P 2 + = P 2P + 2 = De seguid vmo-nos onentrr em omo primitivr funções rionis que são frções própris. Sej um frção própri..o Cso: P só tem rízes reis: então R P Eemplo.2 P tem rízes simples, e 2, riz dupl 3 e riz qudrupl 5, donde P = k = k onde k é um onstnte. Então, por um Teorem d Álgebr R P = R k = = A + B + + C 2 + D D E E E E 5 onde A, B, C, D 2, D, E 4, E 3, E 2, E são onstntes determinr. Conseguimos ssim reesrever frção própri à ust de funções imeditmente primitiváveis, só fltndo determinr os oefiientes onstntes. Eemplo = A + B B Vmos usr o método dos oefiientes indetermindos pr lulr s onstntes. Reesrevemos o ldo direito d epressão im de modo fir n form de um frção om denomindor 2 : donde = A + B B = A 2 + B 2 + B = A 2 +B 2 +B = A 2 2++B 2 +B 2 = 2 A+B + 2A+B 2 B +A obtendo-se o sistem de três equções três inognits: = A + B 0 = 2A + B 2 B = A 6

17 donde A = B = 0 B 2 = 2 donde P = P = log = log 2 + Eemplo = A + B + + C 2 Vmos dest vez usr o método do nulmento pr lulr s onstntes. Multiplindo mbos os membros d iguldde im por obtem-se isto é = A B C = A + B + C + 2 e finlmente lulndo pr = vem A = = = 3 2 = = Fi lro, então que pr se lulr B há que multiplir mbos os membros d epressão iniil por +, simplifir e finlmente lulr epressão ssim obtid pr =, obtendo-se: B = = 2 2 = = 3 = Sem mis omentários 2 3 C = = = 3 =2 Então 2 3 P + 2 = P = P + P P 3 2 = = log 3 log + + log 2 + = 3 = log log log = log Note-se que, neste so s rízes em questão são reis e simples - é neste so que o método do nulmento funion melhor. Tentemos lulr s onstntes do so nterior pelo método do nulmento = A + B B 7

18 A onstnte A obtem-se multiplindo mbos os membros por, simplifindo e lulndo ess epressão simplifid pr = 0: A = = = =0 A onstnte B 2 obtem-se tmbem multiplindo mbos os membros por 2, simplifindo e lulndo em = : B 2 = 2 + = 2 + = 2 = No entnto, mesm bordgem não permite lulr B porquê?. Entretnto já sbemos que: = B Só nos flt rrnjr um equção que envolv B. Pr obter um tl equção bst-nos lulr iguldde im pr um vlor prtiulr de - e de preferêni que não omplique os álulos. Por eemplo =. Tem-se então: = B = = = donde isto é, donde si = B 2 = B 2 B = 0 = 2o. Cso: P tem rízes imgináris Se P tem ríz p + iq então tmbem tem ríz p iq e P é divisível por p + iq p iq = p 2 + q 2 Se p + iq tem multipliidde m então p iq tmbem tem multipliidde m e então P é divisível por m m p + iq p iq = p 2 + q 2 m Então frção própri R P reesreve-se R P = + Eemplo M m + N m m + M m + N m p 2 + q 2 = = + + M 2 + N 2 m M + N p 2 + q 2 p 2 + q 2 p 2 + q Usndo o método dos oefiientes indetermindos pr lulr s onstntes, = A + B + C = A + B + C = A B + C 3 8

19 donde = A 2 + A + A + B 2 + C B C = 2 A + B + A B + C + A C e portnto 3 = A + B 2 = A B + C 2 = A C uj solução é A = B = 2 C = 3 usndo por eemplo regr de Crmer. Pelo método do nulmento onseguimos obter A A = = = 3 3 = = E pr lulr B, gor que já sbemos que A =? Multipos mbos os membros por e tommos ite qundo, isto é, = + 3 = + B + 0 B C donde B = 2. Finlmente, pr lulr C voltmos à iguldde iniil e lulmo-l pr = 0: = C =0 =0 =0 isto é, donde Então Em prtiulr, P = + C C = 3 = P + P = log + P P = P = P P = log P = log P = log rtn = log P = = 9

20 .4.5 Métodos vnçdos de primitivção Suponh que f é um função rionl de e α, onde α é um onstnte rel. Eemplo.6 f = e4 e 2 e 2 + = Re2 Se nos for pedido pr lulr um primitiv de um tl função, bordgem pertinente será muito provvelmente primitivção por substituição, fzendo e α = t donde = α logt e d dt = αt Então, por eemplo, P e4 e 2 e 4 e 2 + = e 2 e 2 e 2 + d = 2 e 2 e 2 d = + = t t + dt = dt 2 Considere gor um função rionl em e m +b +d Eemplo.7 f = t = e 2, = d logt, 2 dt = 2t tt dt t + 2t = t + dt = 2 t log t + + = 2 e2 loge Primitivção por substituição, fzendo Clulr t m = + b + d, donde = dtm b t m Funções rionis em sin e os Eemplo d donde d dt = função rionl em t f = sin5 + 3 sin 3 os 3 2 sin os 7 3 os sin 2 Primitivção por substituição, notndo que Anlogmente sin = sin 2 + = 2 sin 2 os 2 2 os sin2 2 = 2 sin 2 os 2 os 2 2 = os 2 2 +sin2 2 os 2 2 os = os 2 + = = tn tn tn 2 + tn 2 2 Esrevendo sin e os à ust de tn 2, s funções rionis em sin e os pssm ser funções rionis em tn 2. Assim interess qui primitivr por substituição, fzendo d t = tn, = 2 rtn t, 2 dt = 2 + t 2 Funções rionis em e 2 + β + γ ou em e em 2 + β + γ 20

21 Eemplo.9 Como f = β + γ = + β 2 2 ± α 2 Primitivr por substituição fzendo e seguidmente fzer u = + β 2, du d = u = α tnt, ou u = α set, ou u = α sint onforme o so. Observção.5 O estudo de ténis de primitivção que qui enerrmos ompreendeu qutro grndes tópios: Primitivs imedits Primitivs de funções rionis Primitivção por prtes Primitivção por substituição As primitivs imedits são os elementos básios ds ténis de primitivção. As funções rionis formm um lsse interessnte de funções já que dd um tl função eiste sempre su primitiv e há tenis muits lrs e definids pr lulr ess primitiv, omo vimos. A primitivção por prtes e primitivção por substituição são rtifíios que reorremos qundo função primitivr não é nem de primitivção imedit nem função rionl. Reorrendo às respetivs fórmuls de primitivção por prtes e/ou de primitivção por substituição espermos onseguir pssr o problem d primitiv d função em questão pr um ds dus tegoris iniiis: primitivs imedits ou primitivs de funções rionis..5 Cálulo Integrl novmente Começmos est seção reordndo que noss motivção pr o Cálulo Integrl tinh sido o álulo de áres de figurs plns e que isso nos levou definir um objeto mtemátio que ssoiv um função integrável positiv f e um intervlo [, b] ontido no seu domínio, áre deitd pelo gráfio dess função, pelo eio dos XX e pels rets de equção = e = b, o integrl de f sobre [, b], fd. No entnto, tods s definições que demos e resultdos que obtivémos não dependem de f ser positiv. Vmos portnto pssr onsiderr funções não neessrimente positivs ns nosss disussões. Fim desde já s pergunts: qul o signifido tribuir fd se f for um função negtiv? Qul o interesse de integrr funções que não sejm neessrimente positivs? A seguinte proposição ontribui pr s resposts. Proposição.7 Sej f itd em [, b]. Então b f d = fd b f d = fd Em prtiulr, se f é integrável em [, b], f tmbem é e b f d = fd 2

22 Dem. Sej d um deomposição de [, b] om pontos = 0,,..., n = b. Pr qulquer k donde m k f = inf{ f [k, k ]} = sup{f [ k, k ]} = M k f n s d f = m k f k k = Então k= Mk f k k = M k f k k = S d f k= f d = sup{sd f d é deomposição de [, b]} = sup{ Sd f d é deomposição de [, b]} = Anlogmente, = inf{s d f d é deomposição de [, b]} = Em prtiulr, se f é integrável em [, b], então b f d = fd = donde, f é integrável em [, b] e b f d = fd fd = b f d = fd k= fd fd = f d Fimos então om um interpretção pr o integrl de um função negtiv: é o integrl d função simétri multiplido por menos um. De um form suint embor pouo preis, é áre om sinl negtivo. Proposição.8 Monotoni do integrl Sej f g, pr todo o em [, b]. Então fd Em prtiulr, se f e g são integráveis, gd, fd fd gd gd Dem. Sej d um deomposição de [, b] om pontos = 0,,..., n = b. Como f g, pr qulquer k M k f = sup{f [ k, k ]} sup{g [ k, k ]} = M k g e m k f = inf{f [ k, k ]} inf{g [ k, k ]} = m k g donde ests desigulddes imp desigulddes ds soms de Drbou superiores e inferiores, resp. que por su vez imp desigulddes dos integris superiores e inferiores resp. eeríio, isto é: fd Em prtiulr, se f e g são integráveis, gd, fd fd gd gd 22

23 Corolário. Se g 0 em [, b], então gd 0 Dem. Fzer f = 0 n proposição nterior. Corolário.2 Se l f L em [, b] l e L onstntes, então lb fd Lb Dem. Usr proposição nterior. Qundo l > 0 interpretção geométri é que áre dd pelo integrl de f é mior ou igul do que áre do retângulo de ltur l e bse b e menor ou igul que áre do retângulo de ltur L e bse b. Tem-se ind pr l > 0: l fd b Isto sugere seguinte, Definição.4 Se f é integrável em [, b], o vlor médio de f é L f = fd b Proposição.9 Deomposição do intervlo de integrção Sej f itd em [, b] e < < b. Então, fd = fd + fd fd = fd + fd Em prtiulr, se f é integrável em [, ] e em [, b], f será tmbem integrável em [, b], tendo-se Dem. Sej δ > 0. Como fd = fd + fd então eiste deomposição d de [, ] tl que fd = inf{s d f d é deomposição de [, ]} S d f < fd + δ 2 e nlogmente, eiste um deomposição d 2 de [, b] tl que donde, somndo, S d f = S d2 f < S d f + S d2 f < fd + δ 2 fd + fd + δ onde d é um deomposição de [, b] que ontem etmente os pontos de d e de d 2. Então, pr todo o δ > 0 eiste um deomposição d de [, b] tl que S d f < fd + 23 fd + δ

24 Como fd é o ínfimo ds S df sobre tods s deomposições de [, b], então fd fd + fd Mostrmos gor desiguldde ontrári provndo ssim iguldde. Sej d um deomposição de [, b] inluindo o ponto, tl que S d f < fd + δ Sej d um deomposição de [, ] usndo etmente os pontos de d que pertenem [, ] e d 2 um deomposição de [, b] usndo etmente os pontos de d que pertenem [, b]. Então, b fd + fd S d f + S d2 f = S d f < fd + δ donde fd + fd fd estbeleendo ssim, om jud d desiguldde estbleid ntes, que Anlogmente, fd = fd = fd + fd + Finlmente, se f é integrável tnto em [, ] omo em [, b], fd = fd + donde f é integrável em [, b] om fd = fd = fd + fd + fd = fd fd fd fd + A proposição seguinte é generlizção óbvi de dois n subintervlos de [, b]. Corolário.3 Sej f um função itd em [, b]. = 0,,..., n. Então, fd = k= k k fd fd = fd Sej d um deomposição de [, b] om pontos fd = k= k k fd Em prtiulr, se f é integrável em [ k, k ] pr d k, f será tmbem integrável em [, b], tendo-se fd = Dem. Por indução no número de subintervlos. k= k k fd Corolário.4 Se f é integrável em [, b] e < < b então f é integrável em [, ] e em [, b], om fd = fd + fd 24

25 Dem. fd fd = = fd = fd = fd + fd + donde, subtrindo ordendmente, b 0 = fd fd = fd fd fd fd + fd fd Como s dus prels dentro dos prentesis são mbs não negtivs e su som é zero, então fd fd = 0 fd fd = 0 o que impli que f é integrável m [, b] om fd = fd + fd Corolário.5 Se f é integrável em [, b] e < < d < b então f é integrável em [, d] Dem. Aplir orolário nterior o intervlo [, b] e o ponto d e depois o intervlo [, d] e o ponto. Observção.6 Este último orolário permite firmr que se função é integrável num intervlo então é integrável em qulquer subintervlo desse intervlo. Em prtiulr dd f integrável em [, b], se firmos o etremo inferior de integrção e deirmos vrir o etremo superior de integrção estmos definir um função do etremo superior de integrção: F = ftdt, [, b] Estudremos, seguidmente lgums proprieddes dest função..6 Integrl indefinido Definição.5 Sej f integrável em [, b]. A função F = design-se por integrl indefinido de f. ftdt, [, b] Proposição.0 Sej f integrável em [, b]. O integrl indefinido de f é um função ontínu em [, b].. Dem. Ddo em [, b] tem-se +h F + h F = h 0 h 0 ftdt +h ftdt = ftdt = 0 h 0 25

26 já que +h 0 = lh ftdt Lh = 0 h 0 h 0 h 0 onde l e L são o íınfimo e o supremo de f em [, b]. Como h 0 F + h F h 0 F + h = F, ou sej F é ontínu em qulquer ponto do intervlo [, b]. = 0, então Teorem.2 Teorem Fundmentl d Análise Sej f integrável em [, b] e onsidere-se o integrl indefinido de f F = ftdt, [, b] F é difereniável em todo o ponto de [, b] onde f é ontínu, tendo-se F = f Dem. Sej δ > 0 e suponh-se f ontínu em. Por definição de ontinuidde eiste ɛ > 0 tl que se < ɛ então f f < δ Por outro ldo, F F donde, F F f = f = ftdt ftdt fdt = ftdt fdt ft f dt = ft f dt δdt = δ e nlogmente pr < donde, ddo δ > 0 eiste ɛ > 0 tl que F F se 0 < < ɛ então f < δ = δ = ft f dt, ft f dt pr > ou sej isto é sempre que f sej ontínu em. F F = f F = f Observção.7 Dus proprieddes do integrl que usámos nest demonstrção:. b λf + µg = λ f + µ 2. g f Lineridde do Integrl A demonstrção dest segund propriedde é simples. Sej f integrável em [, b]. Então, em [, b] tem-se trivilmente ft ft ft donde ft dt ftdt 26 f ft dt

27 ou sej ftdt ft dt Eemplo.20 Clulr: 0 0 sint3 dt Já que ft = sint 3 é um função integrável sobre intervlos itdos e integris de tis funções sobre intervlos degenerdos isto é, intervlos onstituídos por um só ponto são nulos, estmos então pernte um indeterminção do tipo 0 0. Aplindo regr de Cuhy, vmos estudr o ite do quoiente ds derivds: 0 sint3 dt sin = = 4 donde sint3 dt 4 = 4 Corolário.6 Se f é ontínu em [, b], então f é primitivável em [, b] - su primitiv é o seu integrl indefinido. Observção.8 O que é que ontee om funções omo f = e 2, g = log, sin h =.7 Integrção por prtes Proposição. Se u e v são funções C em [, b] então Dem. Notr que: uv = [uv] b u v, uv + onde [uv] b := ubvb uv u v = uv = [uv] b.8 Integrção por substituição Proposição.2 Sej f integrável em [, b] e ϕ : [α, β] um bijeção difereniável. Então, fd = β α fϕtϕ tdt Dem. Omitid. Os seguintes orolários dest proposição dão uns primeiros eemplos d importâni del. 27

28 Corolário.7 Invriâni por trnslção Se f é integrável em [, b] então, ddo τ em R, f τ é integrável em [ + τ, b + τ] e tem-se, fd = +τ +τ f τd Dem. Aplir o teorem nterior om ϕt = t τ, donde ϕ t =. Tem-se, fd = β α fϕtϕ tdt = +τ +τ ft τ dt = +τ +τ f τd y f f τ PSfrg replements b + τ b + τ Figure 6: As áres trejdo são iguis Corolário.8 Invriâni por simetri Se f é integrável em [, b] então f é integrável em [ b, ], fd = b f d Dem. Aplir o teorem nterior om ϕt = t, donde ϕ t =. Tem-se, fd = β fϕtϕ tdt = b f t dt = α b b b f tdt = f tdt =.9 Teorem d médi Teorem.3 Sejm f e g integráveis em [, b]. Se g tem sinl onstnte em [, b] tem-se, fgd = µ gd em que µ é um número ompreendido entre o supremo e o ínfimo de f em [, b]. f d 28

29 y f f PSfrg replements b b Figure 7: As áres trejdo são iguis Dem. Suponh-se g 0, pr todo o em [, b] e sejm l = Então l f L, pr todo o em [, b]. Donde, Então, inf f, e L = sup f [,b] [,b] lg fg Lg, pr todo o [, b] l gd fgd L Se gd = 0 vem fgd = 0. Se gd > 0, vem l fgd b gd L gd donde fzendo µ = fgd gd obtem-se o resultdo. Corolário.9 Se f é ontínu em [, b] então eiste ξ em [, b] tl que fgd = fξ gd Eemplo.2 donde 3π 2π sin d = ξ 3π 2π 2 3π 3π 2π sind = 2 ξ, sin d π om 2π ξ 3π 29

30 2 Aplições Geométris do Integrl Como vimos, o integrl permite-nos lulr áres de figurs plns tis omo quels representds ns figurs 8 e figur 9 f PSfrg replements k k m k M k b Figure 8: Áre trejdo: ftdt y f = 2 PSfrg replements b 0 g = Figure 9: Áre trejdo: 0 ft gt dt Vmos gor ver que erto tipo de volumes, omprimentos de linhs e áres de figurs não plns podem ser luldos trvés do integrl em R. Começmos pelos sólidos obtidos por rotção de um áre sob um gráfio em torno do eio dos XX: 2. Volume obtido por rotção de figur pln em torno do eio do XX Considere figur 0. A rotção d áre mis esureid em torno do eio dos XX dá origem um ilindro elementr de rio f e ltur d portnto, de volume elementr dv = π f 2 d figur : O integrl sobre o intervlo [, b] deste dv, som s ontribuições ssoids d um dos d, donde 30

31 f PSfrg replements b d Figure 0:... sólido obtido por rotção em torno do eio dos XX f b PSfrg replements d Figure : Volume elementr o volume totl V é: Eemplo 2. Volume d esfer de rio r figur 2. V = π f 2 d f = r 2 2 PSfrg replements d r r Figure 2:... lulndo o volume d esfer de rio r. 3

32 r π r2 2 2 d = r r r π r 2 2 d = = 4 3 πr3 2.2 Volume obtido por rotção de figur pln em torno do eio dos Y Y Considere figur 3 que esboç rotção d figur trejdo em torno do eio dos Y Y, Neste so o y fb PSfrg replements f b Figure 3: Rotção em torno do eio dos Y Y rio do ilindro elementr é f y donde o volume é V = fb f π f y 2 dy Notr tmbem que, se função f é invertível, podemos fzer substituição y = f, donde V = f fb f f π f f 2 f d = π 2 f d 2.3 Outro tipo de rotção de figur pln em torno do eio dos Y Y Considere figur 4. Nest situção, o volume elementr é diferenç do volume de dois ilindros figur 5, o de bse de rio e o de bse de rio + d: dv = π + d 2 f π 2 f = π 2 + 2d + d 2 f π 2 f 2πfd nd so V = 2πfd 2.4 Comprimentos de linhs Suponhmos que queremos lulr o omprimento de um linh que é o gráfio de um função figur 6. O omprimento elementr é dl onde dy 2 2 dl 2 = d 2 + dy 2 = + d 2 = + f d 2 d 32

33 f PSfrg replements b d Figure 4:... outro sólido obtido por rotção em torno do eio dos Y Y PSfrg replements b f d y Figure 5:... volume elementr dl dy PSfrg replements b d Figure 6:... lulndo o omprimento d linh donde dl = + f 2d 33

34 e finlmente, o omprimento totl d linh é: Eemplo 2.2 l = + Comprimento d irunferêni de rio r figur 7. f 2d f = r 2 2 PSfrg replements b r r Com bse n figur 7, tem-se, r 2 r l = 2 r r 2 d = 2r 2 = 2r [ rsint ] = 2r Figure 7: Cirunferêni de rio r metde r π 2 π 2 r2 d = = rt 2r 2 = 2πr r2 r 2 t rdt = 2r 2 t 2 dt = 2.5 Áres de superfíies Suponhmos que queremos lulr áre d superfíie obtid por rotção em torno do eio dos XX do gráfio d função n figur 6. A ontribuição d áre elementr, ds, obtid por rotção do elemento de linh dl está esboçdo n figur 8. Ess ontribuição é: dl = + f 2 d f PSfrg replements b d Figure 8: Elemento de áre d superfíie ds = 2πfdl = 2πf + f 2 d 34

35 e portnto áre d superfíie obtid por rotção do gráfio n figur 6 em torno do eio dos XX é: Eemplo 2.3 S = 2πf + f 2 d A áre d esfer de rio r r > 0. Com bse n figur 7 e usndo fórmul im obtemos S = r r 2π r r r r 2 2 d = 2πrd = 4πr 2 r Pr finlizr est seção, deimos omo eeríio notr que se superfíie é obtid por rotção de um gráfio de função omo d figur 6 ms em torno do eio dos Y Y áre é dd por: 3 Integris Impróprios S = 2π + f 2 d Integris impróprios são queles em que se reliz integrção de um função integrável sobre um intervlo não itdo, omo por eemplo + 0 sin t dt t ou qundo o intervlo de integrção é itdo ms função integrnd não é itd, omo por eemplo t 2 dt ou finlmente qundo nem o intervlo de integrção é itdo nem função integrnd é itd. 3. Integris Impróprios: Intervlo de integrção não é itdo Comeemos então por estudr os integris impróprios de funções integráveis sobre intervlos não itdos. Definição 3. Sej f um função definid em [, [ e integrável em todo o intervlo [, ] qulquer que sej o >. Se eiste definimos ftdt ftdt def. = ftdt dizendo, então, que ftdt é um integrl impróprio onvergente. Eemplo 3. Então t dt dt = t t dt diverge. [ ] dt = logt t = log log = log = 35

36 f = PSfrg replements y Figure 9: Áre infinit f = 2 PSfrg replements y Figure 20: Áre finit b t 2 dt dt = t2 [ dt = ] t2 t = = + = Então t dt onverge. Grfimente: Se f é integrável em qulquer subintervlo fehdo e itdo de ], ] omo por eemplo, qulquer função ontínu em R fz sentido onsiderr 36 ftdt

37 Cso este ite eist definimos ftdt def. = ftdt dizendo-se então que este integrl impróprio é onvergente. De notr que o estudo d nturez destes integris isto é, se são ou não onvergentes se reduz o estudo d nturez de integris do tipo gtdt já que ftdt = = ftdt = u = t,... f udu f u du = f udu = Por outro ldo se forem onvergentes, diremos que é onvergente. ftdt 0 e 0 ftdt ftdt Proposição 3. Sej f definid em [, [ e integrável em qulquer intervlo [, ] om >. Sej λ um onstnte rel não nul. Então, os integris, f e onvergem mbos ou divergem mbos - isto é, têm mbos mesm nturez. Em so de onvergêni, tem-se ind, λf = λ Dem. Notndo que, so um dos seguintes ites eist, se tem, λ f = λ λf f f = λ f o que impli que qulquer um dos outros ites tmbem tem que eistir, então onvergêni de um integrl impli onvergêni do outro integrl. Por outro ldo, se um dos integris diverge então o outro integrl tmbem tem que divergir. De fto omo bámos de ver, se um dos integris onverge então um dos ites im eiste o que impli que os outros ites tmbem eistm. Proposição 3.2 Sejm f e g definids em [, [ e integráveis em qulquer intervlo [, ] om >. Se onvergem, então, f e f + g g tmbem onverge e tem-se f + g = f + g 37

38 Dem. Tem-se, ou sej, eiste o ite f + g = f + g = f + g f + o que quer dizer, por definição, que o integrl impróprio d integrnd f + g onverge tendo-se ind g = f + g f + g = f + g Observção 3. Se f e g não onvergem então nturez do integrl impróprio d som f + g tnto pode ser onvergente omo divergente: Eeríio 3. Qul nturez de f + g qundo f = = g b f = = g? Proposição 3.3 Sej f definid em [, [ e integrável em qulquer intervlo [, ] om >. Então, pr >, têm mesm nturez e, em so de onvergêni, f f = e f + f Dem. Anlogmente à s demonstrções nteriores, notndo que f = f + f = f f + em que, n últim iguldde, f pss pr for do ite, já que não depende de que é vriável sobre qul se está lulr o ite. Eemplo 3.2 Sej Então, 0 f é onvergente porque é onvergente omo vimos trás. f = { e tne, 0 < < 0 00, t 2 dt f 38

39 Teorem 3. Integrção por prtes Se u e v são funções ontínus om derivd ontínu em [, [, e [ ] Se u v onverge e uv é finito então, e tem-se Dem. Omitid. uv onverge [ ] uv = uv Teorem 3.2 Integrção por substituição Sej f definid em [, [ e integrável em qulquer intervlo [, ] om >. Sej ϕ um bijeção difereniável de [α, [ sobre [, [. Então, ftdt e têm mesm nturez e, em so de onvergêni, são iguis. u v f ϕt ϕ tdt Dem. Omitid. O estudo dos integris impróprios tem lgums semelhnçs om o estudo ds séries. Em prtiulr, ddo um integrl impróprio, pretendemos ser pzes de sber se ele onverge ou não muits vezes mis do que sber o vlor desse integrl - em so de onvergêni. Pr isso, vmos ter, por um ldo, um oleção de funções uj nturez dos respetivos integris impróprios vi ser onheid e por outro ldo, vmos ter resultdos que nos permitem relionr nturez de dois integris impróprios. Assim, qundo quisermos nlisr nturez de um novo integrl impróprio, tentmos relioná-lo om outros de nturez já onheid trvés de resultdos omo o seguinte: Teorem 3.3 Critério de mjorção Sejm f e g positivs e definids em [, [ e integráveis em qulquer intervlo [, ] om >. Sej ind f g pr todo o >. Se Se g f onverge, então diverge, então Dem. Começmos por observr que F = é resente já que f > 0. Assim, o ite f f g tmbem onverge. tmbem diverge. F = f eiste em R, podendo portnto ser infinito. Seguidmente mostrmos que se g onverge, então função F é mjord e que portnto o referido ite é finito, ou sej, onvergêni de g impli onvergêni de f. De fto, omo ft gt pr todo o t, então f g, donde, f g < A segund firmção do teorem é o ontrreíproo d firmção que bámos de provr. Eemplo

40 Qul nturez de Comeemos por dt + t 4? Eemplo 3.4 Qul nturez de em que α é um prâmetro rel? Sepremos o so α = : donde donde Assim, dt dt t α [ ] dt = logt t = log = t α om α = é divergente. Anlisemos gor pr α : [ dt = tα α + t α+] = { t α dt = α, pr α > pr α < Então pr se verigur nturez de e que t 4 mjorção { t α dt = onverge pr α > diverge pr α dt +t 4 notmos que + t 4 t 4 é integrnd de um integrl impróprio onvergente - dt +t é onvergente. 4 α+ α + dt t α om α = 4 >. Pelo ritério de Corolário 3. Sejm f e g positivs e definids em [, [ e integráveis em qulquer intervlo [, ] om >. Suponh-se ind que g > 0 pr todo o > e que eistem onstntes positivs e 2, tis que f g 2 pr todo o > Então, têm mesm nturez. Dem. é equivlente f f g 2 g f 2 g e g pr todo o > pr todo o > Se f onverge então, pelo ritério de mjorção g tmbem onverge donde g = g tmbem onverge. Reipromente, se g onverge então 2g tmbem onverge e pelo ritério de mjorção f onverge. Anlogmente pr integris divergentes. 40

41 Corolário 3.2 Critério do ite Sejm f e g positivs e definids em [, [ e integráveis em qulquer intervlo [, ] om >. Suponh-se ind que g > 0 pr todo o > e que eiste, em R, f l = g Se l > 0 então Se l = 0 então Se l = então f e g têm mesm nturez [ ] g onverge = f onverge 2 [ f onverge = g onverge ] 3 Notr importâni dos ontrreíproos de 2 e 3 Dem. l = f g é equivlente dizer, por definição de ite, que Pr todo o ɛ > 0 eiste pelo menos um δ > 0 tl que, sempre que > δ então f g l < ɛ e desembrçndo de módulos e reesrevendo est últim epressão Pr todo o ɛ > 0 eiste pelo menos um δ > 0 tl que, sempre que > δ então l ɛ < f g < l + ɛ Cso : l > 0. Tomndo ɛ = l 2 > 0, há-de eistir um δ > 0 tl que om > δ se tenh l 2 < f g < 3l 2 Então, estmos ns ondições do Corolário nterior om = l 2 e 2 = 3l 2. Segue-se que os integris impróprios em questão têm mesm nturez. Cso 2: l = 0. Tomndo ɛ = > 0, há-de eistir δ > 0 tl que om > δ se tenh < f g < Como s funções são positivs então segund desiguldde im pode-se reesrever n form f g Então pelo ritério de mjorção, se g onverge, então f tmbem onverge. Cso 3: l = - fi omo eeríio. Eemplo 3.5 Qul nturez de d? Considerndo função integrnd, que é um função rionl em, notmos que pr muito grnde o omportmento do polinómio no numerdor é ddo por 2, enqunto que o do polinómio no denomindor é ddo por 3. Como = = = = 3 >

42 então, pelo ritério do ite, os integris impróprios d têm mesm nturez notr que = 2. Como 3 d é integrl impróprio divergente ver eemplo 3., então o integrl impróprio em estudo tmbem é divergente. b e log 3 d? Compremos integrnd log 3 om 3 pr subsequentemente tentrmos plir o ritério do ite: log 3 3 = log = o que não nos dá, neste so em prtiulr, nenhum indição sobre nturez do integrl em estudo. Compremos então integrnd em us om 2 : log 3 2 log = = 0 d use Cuhy... e então pelo ritério do ite, o integrl impróprio em questão é onvergente. e 2 d? Pr resolver este eemplo, omeemos por estbeleer nturez de mis um oleção de integris impróprios. Eemplo 3.6 Qul nturez de em que α é um prâmetro rel? Pssemos o so α 0. Tem-se, donde Portnto, 0 dt = eαt 0 dt e αt O so α = 0 orresponde um integrl divergente eeríio. 0 [ e αt dt = α e αt] = [ ] 0 α e α { dt dt = α, pr α > 0 0 eαt pr α < 0 0 dt e αt Voltemos então à questão d onvergêni de Como { e 2 e onverge pr α > 0 diverge pr α 0 e 2 d = e = 0 2 então, porque dt 0 e é onvergente orresponde o so α = no eemplo im, pelo ritério do ite, t e 2 d tmbem é onvergente. 42

43 Teorem 3.4 Sej f definid em [, [ e integrável em qulquer intervlo [, ] om >. Se f onverge então Dem. Sejm f + e f s funções definids por Temos então f + = f = f tmbem onverge f + f 0, Prte Positiv de f 2 f f 0, Prte Negtiv de f 2 y f + f PSfrg replements e omo tnto f + omo f são positivs, então onvergêni de Finlmente, omo f = f + f, então Observção 3.2 Figure 2: Prte Positiv f+ e Prte Negtiv f de f f = f + + f f f + e f f f e o ritério de mjorção imp onvergêni de f é onvergente trvés d Proposição 3.2. De um modo gerl, não é verdde que onvergêni de Definição 3.2 f + e de f. f implique onvergêni de f. Se f onverge diz-se que f é bsolutmente onvergente. Se f onverge ms f não onverge, diz-se que f é simplesmente onvergente. Seguidmente provmos um resultdo que nos permitirá presentr pelo menos um integrl simplesmente onvergente. 43

44 Teorem 3.5 Sejm u e v ontínus om derivd ontínu em [, [. Se u é deresente om u = 0 e v é itd em [, [, então uv onverge Dem. Tem-se, pelo Teorem d integrção por prtes, uv = uv uv u v = uv já que u = 0. Rest-nos então mostrr que u v onverge, pr se obter o resultdo. Como u v = u v M u = Mu porque v é mjord e porque u é deresente e porque [ ] Mu t dt = M u tdt = M u tdt = M ut = [ ] = M ut = M u u = M 0 u provndo-se ssim que onverge. Eemplo 3.7 Bst notr que 0 sin uv sin d onverge = os u v = Mu donde est integrnd está ns ondições do Teorem om u = e v = os donde segue que o integrl impróprio em onsiderção onverge. Vmos gor ver que ess onvergêni é simples, ou sej que, pesr de, omo vimos, 0 onvergir, 0 sin d não onverge. Consideremos então sin d Pr em [kπ + π 6, kπ + 5π 6 ], sin 2 isto é, donde, nπ 0 e portnto, k+π kπ sin d = sin d n k+π k=0 onverge simplesmente. kπ kπ+ 5π 6 kπ+ π 6 0 ver figur 22, donde sin d 2 2π 2 kπ + π 3 = 3 k + 3 k+π kπ kπ+ 5π 6 kπ+ π 6 k+2 k+ sin d k+2 3 k+ d d 2 kπ + 5π 6 d 2π 3 sin d n sin k+2 d 3 k=0 k+ d = n+ 3 d = logn + 3 n 0 sin d 44

45 PSfrg replements sin 2 π 6 5π 6 π + π 6 π + 5π 6 2π + π 6 2π + 5π 6 Figure 22:... onde sin é mior que Integris Impróprios: A função integrnd não é itd Definição 3.3 Sej f não itd em ], b] ms integrável em qulquer subintervlo fehdo de ], b]. Suponh-se ind que eiste e é finito Definimos + f = + dizendo que o integrl impróprio onverge. Se o ite im não eiste dizemos que o integrl impróprio diverge. Anlogmente, se f não é itd em [, b[ ms integrável em qulquer subintervlo fehdo de [, b[ e se eiste e é finito definimos b f = b dizendo que o integrl impróprio onverge. Se o ite im não eiste dizemos que o integrl impróprio diverge. Eemplo 3.8 f f f f Qul nturez de Tem-se, Então, 0 d diverge. Qul nturez de d? [ ] dt = logt t = 0 + dt = 0 + t 0 d? 0 + [ ] = 2 t 45

46 e então 0 d onverge. Suponhmos que f está definid em ], b[ e é integrvel em qulquer subintervlo fehdo de [, b]. Se, pr erto em ], b[, forem mbos onvergentes, então dizemos que f onverge tendo-se f e f Definição 3.4 f = f + f Sej f definid em ], [ integrável em qulquer subintervlo fehdo de ], [. Suponh-se ind que + f e onvergem mbos. Então dizemos que f onverge, tendo-se Eemplo 3.9 Qul nturez de Como pelo menos um dos integris 0 f = 0 d + f + d? e diverge de fto, divergem mbos, té então o integrl em questão é divergente. No so de f ser não itd junto podemos onverter o integrl impróprio de integrnd não itd em integrl impróprio sobre intervlo não itdo: f f d ftdt = fzendo u = t,... b e se f fosse não itd junto b: ftdt = fzendo u = b t,... b Isso permite-nos desde logo dr os seguintes eemplos: Eemplo 3.0 f + u u 2 du fb u u 2 du Qul nturez de Tem-se, Portnto dt t α = b dt t α? u α u 2 du = b du u 2 α { dt t α = onverge pr α < diverge pr α 46

47 Qul nturez de Tem-se, e portnto dt b t α = b dt b t α? u α u 2 du = b du u 2 α { dt b t α = onverge pr α < diverge pr α As onversões im de integris impróprios de integrnds não itds pr integris imprópios de integrnds itds sobre intervlos não itdos permitem-nos tmbem obter nest seção os nlogos dos resultdos d seção nterior. Registmos qui unimente os nlogos do ritério de mjorção e do ite: Teorem 3.6 Critério de mjorção Sejm f e g positivs e definids em ], b] e integráveis em qulquer intervlo [, b] om < b. Sej ind f g em ], b]. Se g onverge, então f tmbem onverge. Se f diverge, então g tmbem diverge. Corolário 3.3 Critério do ite Sejm f e g positivs e definids em ], b] e integráveis em qulquer intervlo [, b] om < b. Suponh-se ind que g > 0 em ], b] e que eiste, em R, l = + f g Se l > 0 então Se l = 0 então Se l = então f e g têm mesm nturez 4 [ ] b g onverge = f onverge 5 [ f onverge = g onverge ] 6 Notr tmbem importâni dos ontrreíproos de 5 e 6 47