BOLETIM. Nº. 02, Volume 1

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1 BOLETIM SEÇÃO BRASILEIRA DA ISBA Nº. Volume Seembro 4

2 BOLETIM ISBRA Volume Número Seembro 4 Bolem Ofcal do Capíulo Braslero da Inernaonal Socey of Bayesan Analyss ISBRA Presdene: Secreáro: Tesourero: Josemar Rodrgues Luís A. Mlan José Galvão Lee CARTA DO PRESIDENTE Josemar Rodrgues vosemar@power.ufscar.br Fnalmene a ISBRA exse ofcalmene. Após varas das e vndas e muo pacênca consegumos regsrar a ISBRA no Regsro Cvl das Pessoas Jurídcas de São Carlos sob o número 75. O próxmo passo será consegur o CGC para abrrmos uma cona exclusva para a ISBRA. Em feverero dese ano realzamos o 7EBEB em São Carlos cuo relaóro fo dvulgado no bolem da ABE. Para os neressados nese eveno emos a dsposção o CD das avdades programada durane o mesmo. Esvemos parcpando do ISBA4 realzado em Vna Del Mar Chle onde fzemos um relaóro a ISBA sobre as avdades da ISBRA e envamos uma cara ao prof. Berger presdene da ISBA ofcalzando a ISBRA como capulo braslero da ISBA. Nesa segunda edção do bolem conamos com quaro argos seleconados durane 7EBEB depomenos de város pesqusadores sobre o congresso da ISBA no Chle um documeno sobre a cração da ISBRA e uma dvulgação do COBALII a ser realzado no período de 6-//5 no Méxco. Gosara de agradecer aos colegas que colaboraram com ese bolem e em especal ao aluno Mlon Y. Sao. Cordas saudações Josemar Rodrgues CONTEÚDO ISBRA - Sua Hsóra Sobre Nosso Pono de Vsa... ISBA 4 World Meeng: Um Enconro Cenífco Para Se Ter Na Memóra... 3 Argos... 6 Seleção de Modelos de Fronera de Produção Esocásca: Abordagem Bayesana... 6 Inferênca Bayesana Em Modelos De Volaldade Esocásca Usando Processos Auoregressvos Com Transção Suave... 4 Funções de Transferênca em Modelos Dnâmcos Lneares Generalzados Bayesanos... Bayesan Esmaon Va Mcmc For Prob-Normal Model In Iem Response Theory Conves Cara-conve envada a Lsa da ABE II COBAL Congresso Bayesano da Amérca Lana... 43

3 BOLETIM ISBRA Seembro 4 ISBRA - Sua Hsóra Sobre Nosso Pono de Vsa Rosangela H. Losch (EST UFMG Márca D Ela Branco (IME USP Josemar Rodrgues (UFSCAR La Pérgola da Plaza Plaza Mulao Gl Sanago Chle. O ano era e o mês Janero. Esas são as coordenadas do local e época em que a prmera semene para a cração do Capíulo Braslero da ISBA (Inernaonal Socey for Bayesan Analyss fo lançada. Esávamos reundos Plar Iglesas Heleno Bolfarne e nós em orno de uma mesa de bar comenando o sucesso do IV Semnáro Chleno de Esadísca Bayesana que hava recém ermnado. Plar dza anmadamene que no prmero enconro Chleno o número de parcpanes era apenas quaro ou cnco e que esava felz por er do uma parcpação de cerca de 3 pessoas nesa quna edção do semnáro. Dza Plar que a cração do Capíulo Chleno da ISBA nha conrbuído sgnfcavamene para ese crescmeno. Depos dese depomeno enusasmado nos pergunamos: por que não cramos um Capíulo Braslero? Somos um grupo maor e desenvolvemos pesqusa em Esaísca Bayesana há muo mas empo! Volamos ao Brasl anmados com esa déa e decdmos escrever uma cara a oda comundade esaísca braslera propondo a cração do capíulo. Queríamos anes de mas nada saber se nossa comundade achava relevane a cração do Capíulo e se esavam neressados em parcpar. Esa cara esa anexada abaxo do exo e anda nos lembramos vvamene da emoção de escrevê-la. Poucos se manfesaram dane da nossa proposa o que nos levou a propor uma reunão com o grupo de neressados durane o 4º SINAPE realzado em ulho de. Queríamos dexar claro nesa reunão que não preendíamos crar uma assocação para fazer frene a ABE ou a qualquer oura assocação de Esaísca. A mea do capíulo sempre fo aglunar pessoas e não separá-las. Preendíamos agrupar pessoas que nham como propóso audar a dvulgar anda mas a Esaísca Bayesana no Brasl. Queríamos com a cração do capíulo crar uma pone enre nós e a ISBA pos acredávamos que ese sera um passo mporane para nós. Parcparam dessa reunão 3 pessoas: José Galvão Lee Emanuel Barbosa Lus Mlan Carlos Perera Carlos Dnz Hélo Mgon Hedber Lopes Marlos Vana Plar Iglesas Sergo Wechsler e nós. Nesa reunão decdu-se pela cração do capíulo e decdu-se ambém que a prmera dreora do capíulo devera ser composa por pessoas de dversos deparamenos pos assm esaríamos maxmzando a nossa chance de cumprr uma de nossas mas precosas meas dvulgar a Esaísca Bayesana. Fcou defndo com a cração do capíulo que a organzação de odos os Enconros Brasleros de Esaísca Bayesana (EBEB esaram sob a responsabldade da sua dreora a parr daquela daa. Para a prmera dreora do capíulo foram eleos: Sergo Wechsler (Presdene USP; Hedber Lopes (Vce- Presdene - UFRJ; Josemar Rodrgues (Tesourero UFSCAR; Márca Branco (USP e Rosangela H. Losch (UFMG como secreáras. O ISBRA (nome poserormene dado ao Capíulo Braslero pelo Lus Gusavo Eseves era anda um recém-nascdo quando assumu a organzação do I congresso Bayesano da Amérca Lana ( I COBAL. O COBAL nasceu da necessdade que ínhamos que conhecer o que esava sendo desenvolvdo em Esaísca Bayesana em oda a Amérca Lana e de negrar os grupos de pesqusa dos países lano amercanos. O I COBAL realzado em Ubauba de 3 a 7 de feverero de ncorporou a 6ª edção do Enconro Braslero de Esaísca Bayesana (EBEB e como fruo da neração enre a ISBRA aravés do Sergo e a enão Presdene da ISBA Alca Carrqury o I COBAL fo consderado como um Enconro Regonal da ISBA. Ese apoo da ISBA fo um reconhecmeno do mporane do rabalho que nós lano amercanos esávamos fazendo e um mporane apoo ao nosso capíulo. Cabe ressalar a val conrbução do Nelson Tanaka na organzação do I COBAL. Embora Nelson não fzesse pare da Dreora do ISBRA e porano não era a responsabldade de audar na organzação seu rabalho e conrbução foram mprescndíves para o sucesso do enconro. No 5º SINAPE realzado em ulho de fo elea a nova dreora do ISBRA. As meas prncpas da nova dreora era organzar o 7º EBEB e encarregar-se da ofcalzação uno a ISBA da exsênca do ISBRA e ambém de elaborar de seu esauo e fazer seu regsro como uma assocação cenífca. Da nova dreora fazam pare Josemar Rodrgues (presdene José Galvão Lee (Tesourero e Lus Mlan (Secreáro. O dnhero que fo passado ao ISBRA pela ISBA na época do I COBAL fo mporane poserormene para o níco da organzação do 7º EBEB que fo realzado de 8 a de feverero de 4 em São Carlos-SP. Durane o 7º EBEB o ISBRA eve seu esauo aprovado e decdu-se pela reeleção da dreora. Em 6 de Mao de 4 o ISBRA fo ofcalmene regsrado como assocação cenífca no caróro de Regsro Cvl das Pessoas Jurídcas da cdade de São Carlos-SP sob o número 75. O úlmo passo para a real cração do ISBRA era envar uma cara à ISBA ofcalzando a sua exsênca. Ese passo fo fnalmene dado em 5 de Julho de 4. Depos de 4 anos e curosamene depos

4 BOLETIM ISBRA Seembro 4 de anas realzações mporanes á exsmos. O Capíulo Braslero da ISBA carnhosamene apeldado de ISBRA em hoe 55 flados. Porano agora só nos cabe crescer e frufcar. ISBA 4 World Meeng: Um Enconro Cenífco Para Se Ter Na Memóra Rosangela H. Losch (EST UFMG Alexandra M. Schmd (IM UFRJ Depos de por algumas vezes ocupar espaço nese Bolem dvulgando o ISBA 4 World Meeng é com enorme sasfação que agora fazemos um pequeno relao de seu sucesso e da mporane parcpação braslera no enconro. Depos de ses edções o 7º Enconro Mundal da Socedade Inernaconal de Análse Bayesana (ISBA fo fnalmene sedado por um país Sul Amercano. O ISBA 4 World Meeng ocorreu de 3 a 7 e mao em Vnã Del Mar (Chle e fo organzado pela ISBA e pelas unversdades Caólca de Chle de Talca de Valparaíso e las Amércas. O enconro eve um nível cenífco alíssmo e conou com a parcpação de cerca de 3 pessoas de város países do mundo das quas cerca de eram esudanes. Da programação cenífca do ISBA 4 consaram conferêncas uoras debaes sessões écncas sessões pôseres e sessões de esudanes. O ISBA 4 World Meeng eve uma organzação prmorosa e mpecável e veo para a Amérca do Sul graças à - o que para muos fo um ao nsano - coragem de uma grande amga Plar Iglesas que se canddaou a organzar um enconro de amanho pore bem aqu em solos sul-amercanos. A programação cenífca do ISBA 4 fcou sob a responsabldade do Fabrzo Rugger que graças a sua á noóra efcênca nos forneceu uma programação bem dversfcada e com qualdade cenífca de alíssmo nível. O sucesso do ISBA 4 deveu-se ambém à colaboração e parcpação ava de váras ouras pessoas: Ed George (Conference Charman Alca Carrqury (Fnance Commeee Char Peer Müeller (he ISBA reasurer e Carlos Heríquez (Char of he Socal Evens Commee. O comê local presddo pela Plar conou ambém com a parcpação de alguns ouros amgos querdos: Fernando Qunana Glóra Icaza Manuel Galea Ana Sepúlveda a Rosa e muos ouros. Além de er do um apoo enusasmado e efcene de muos (mas muos mesmo esudanes de algumas unversdades chlenas. O ISBA 4 fo marcado por uma dversdade de domas : do nglês amplamene falado ao redor do mundo ao pouco falado alano (mas não em congressos Bayesanos não é mesmo Fabrzo?; das dsrbuções de referênca ao fundamenalsmo defneano passando pelas úlmas novdades na área compuaconal; das apresenações de grandes pesqusadores na área à de alunos ncando a carrera acadêmca. Acma de udo a parr da vasa gama de assunos coberos pelo programa cenífco do enconro fcou clara a grande capacdade do paradgma de Bayes em fornecer soluções coerenes para problemas alamene complexos. A séma edção do ISBA World Meeng fo abera com a conferênca de um Braslero Dan Gamerman. E conou anda com a parcpação sgnfcava de pesqusadores de quase odas as nsuções Brasleras em que há pesqusa em Esaísca Bayesana e ambém com a parcpação expressva de város pesqusadores Lano Amercanos. O que sgnfca so? A nosso ver sgnfca que a semene planada há alguns anos arás pelo Carlnhos Dan Hélo e Percch ( unos pos que llegaran hablado un lenguae raro como dsse o Percch na conferênca que mnsrou durane o I COBAL broou cresceu e deu fruos. Em grande pare é devdo ao ponersmo e dedcação deses mennos que desenvolvemos hoe na Amérca Lana e especalmene no Brasl pesqusa em Esaísca Bayesana de excelene qualdade e esamos dexando nossa marca no mundo. Graças a eles hoe somos muos. A qualdade da pesqusa que esamos desenvolvendo no Brasl ambém é aesada pelo sucesso da Esher Salazar e do Juan Vvar ambos alunos do Programa de Pós- Graduação em Esaísca do IM-UFRJ que veram seus rabalhos de mesrado seleconados para apresenação oral no ISBA 4. Esher fo orenada pelo Hedber Lopes e Juan pelo Marco Ferrera. Grande feo! Anda mas se lembrarmos que concorreram com rabalhos de douorado desenvolvdos em odo o mundo. Aualmene Esher e Juan seguem cursando o Douorado no IM-UFRJ. É empo de fazer um agradecmeno públco a odos que esveram envolvdos na organzação do enconro; a odos que embarcaram nese sonho de planar anda mas fundo em solos Lano Amercanos essas déas neressanes baseadas no Paradgma de Bayes. Deu orgulho de ser Lano Amercano palavras de Alca que fazemos nossas. É empo ambém de dar parabéns aos Brasleros que lá esveram de uma forma ou de oura represenando bem o nosso país. Infelzmene ambém aproveamos para ressalar que o ISBA 4 fo marcado pela fala de apoo das nossas agêncas fnancadoras para esudanes e ovens pesqusadores que parcparam do enconro apresenando rabalhos. Em quase sua oaldade esudanes e ovens pesqusadores brasleros ulzaram seus própros recursos para parcparem do enconro (cosa não percebda enre os parcpanes de ouros países. É como se vesse caído no esquecmeno de nossos governanes

5 BOLETIM ISBRA Seembro 4 3 que a Unversdade Braslera responsável pelo desenvolvmeno de grande pare da pesqusa do país precsa renovar-se para que não rerocedamos. É como se vesse caído no esquecmeno que a exposção a esa dversdade de déas é que almena a cravdade val para o desenvolvmeno e a prosperdade. É cudando dos ovens que garanmos um fuuro melhor (frase fea que cabe bem aqu. O pouco apoo recebdo por alguns de nós fo dado pelo IMS (The Insue of Mahemacal Sascs. Ese apoo cobru apenas pare do gaso com a nossa nscrção mas nos fez pensar que pelo menos em algum cano do mundo em alguém acredando que é mporane apoar a quem esá ncando. Lamenamos que mas brasleros não enham poddo parcpar. Lamenamos snceramene não er do recursos para levar para o ISBA 4 odos os esudanes com quem rabalhamos para que parcpassem dese fórum maravlhoso de dscussões em que a dversdade de déas era a máxma consane e que nos fez volar anda mas movadas para realzarmos nosso rabalho por aqu. Esperamos ambém que o país acorde e perceba a mporânca de connuar nvesndo na pesqusa fea pelas unversdades públcas. Perceba que apesar do bom desempenho de nós brasleros que pôde mas uma vez ser esemunhado no ISBA 4 é precso connuar nvesndo no envo de ovens Mesres para grandes cenros do exeror para que façam seus douorados e vvam a experênca de desenvolver cênca da mas ala qualdade convvendo com renomados pesqusadores nernaconas para que fnalmene volem ao Brasl e ragam esa vvênca para nossa socedade. Acredamos que ese nercâmbo de déas e experêncas conrbu muo para a renovação e o crescmeno que deseamos para o nosso país. Temos sempre em mene que vvemos num mundo globalzado com froneras muo flexíves onde a cênca vem se desenvolvendo muo rapdamene com váras pessoas rabalhando nos mas varados assunos e que precsamos sempre esar aenos para não fcarmos à margem desse desenvolvmeno. Para corroborar o que dssemos acma sobre o ISBA 4 anexamos o esemunho de alguns Brasleros que lá esveram e ambém o depomeno de alguns membros da Comssão Organzadora do eveno. Incamos apresenando a opnão dos parcpanes Brasleros. Dan Gamerman (DME-UFRJ Fo com mua sasfação que pudemos consaar que denre odas as nsuções parcpanes (algumas de renome mundal que veram rabalhos convdados ou aceos para apresenação oral nenhuma eve mas represenanes que a UFRJ. Nossa parcpação fo bem varada envolvendo pesqusadores senores pesqusadores mas ovens e alunos de pós-graduação. Esse dado confrma a nível nernaconal o que á hava sdo observado no Enconro Braslero de Esaísca Bayesana realzado em feverero em São Carlos onde a UFRJ eve os maores números de professores conferencsas e de alunos apresenando pôseres. Esses dados esão relaconados com a recene aberura do nosso Douorado e mosram um snal muo posvo. Ouras nsuções brasleras ambém veram parcpação com desaque no eveno. Isso mosra que apesar do cenáro adverso que enfrenamos nas unversdades brasleras com dfculdades de oda ordem o esforço que em sdo feo pela comundade cenífca de Esaísca da UFRJ e do Brasl começa a mosrar resulados. A Esaísca Braslera esá de parabéns. Hedber F. Lopes (GSB-Unversy of Chcago O Enconro Mundal de 4 da Socedade Inernaconal para a Análse Bayesana ou smplesmene ISBA4 realzado em mao úlmo em Vña del Mar no Chle se desenvolveu numa amosfera comparável aos maores enconros Bayesanos e mosra a maurdade dos grupos de pesqusa Bayesanos na Amérca Lana com desaques para Méxco Chle e prncpalmene Brasl. O mpaco desse enconro é de exrema mporânca pos possbla uma maor dssemnação e expansão da Esaísca Bayesana na Amérca Lana. Heleno Bolfarne (IME-USP Ache muo bom e mporane o ISBA 4 er sdo realzado na Amérca do Sul. Desacara as seções organzadas e apresenadas por esudanes. Acho que no próxmo SINAPE e ISBRA deveríamos er algo smlar. Márca D Éla Branco (IME-USP Organzação germânca e dversão lana. O que mas desear? O ISBA/4 fo um sucesso! Os bayesanos chlenos lderados pela Plar mosraram que são capazes de organzar um grande Congresso Inernaconal de forma mpecável. Eles esão de parabéns. (Vale lembrar que boa pare dos organzadores locas do congresso são ex-alunos do IME-USP. Desa vez o IME parcpou com dos docenes eu e o Heleno e rês alunos de douorado: José Romeo Vcor Hugo Lachos e Jorge Lus Bazán. A proxmdade do local escolhdo para o congresso permu a parcpação deses esudanes que volaram do enconro muo anmados com udo que vvencaram. E não foram somene eles. Vole com muas déas novas e grande vonade de rabalhar; além de consaar sasfea a evolução do nível da pesqusa desenvolvda no nosso país evdencada pela qualdade das apresenações dos brasleros no congresso. Agora é começar os preparavos para o próxmo enconro lano amercano em feverero no Méxco (COBAL II onde espero ver uma parcpação anda mas expressva da comundade esaísca braslera. Marco Ferrera (DME-UFRJ O que eu posso dzer? O ISBA 4 fo um ípco enconro Bayesano com um nível cenífco alíssmo ano nas conferêncas plenáras e comuncações oras quano nas sessões pôseres. Fo mporaníssmo ê-lo aqu na Amérca Lana porque vablzou a parcpação de város pesqusadores senores ovens e alunos. Alás um movo de orgulho muo grande fo er dos alunos do programa de douorado em esaísca da UFRJ seleconados para

6 BOLETIM ISBRA Seembro 4 4 apresenação oral. Espero que a culura dos congressos Bayesanos nernaconas que dá ncenvo à parcpação de ovens pesqusadores e alunos sea assmlada aqu no Brasl afnal de conas é sso que garane a connuação da obra de nossos lusres pesqusadores senores. Rosel Aparecda Leandro (Depo de Cêncas Exaas ESALQ/USP A nossa prmera parcpação em um enconro Bayesano Inernaconal fo exremamene neressane prazerosa e esmulane. Tvemos a oporundade de desfruar da companha de pesqusadores naconas e nernaconas: ncanes ou consagrados no mundo acadêmco de ver o envolvmeno a dedcação o profssonalsmo o brlhansmo e a parcpação efeva dos Bayesanos Brasleros. Senr o amor à cênca parcularmene à Análse Bayesana fo fao marcane e grafcane. Parabenzamos a Comssão Organzadora do eveno pelo sucesso obdo. Sabemos que organzar enconros acadêmcos na Amérca Lana é um desafo menso por razões que odos conhecemos. Eles realmene se desacaram. Parabéns a odos pela parcpação e esperamos que num fuuro próxmo possa o Brasl er o prazer de sedar e organzar al eveno. Fnalmene agradecemos a hospaldade do povo Chleno. O sucesso do ISBA 4 deveu-se ao rabalho duro de muas pessoas. Abaxo vocês podem enconrar os depomenos de alguns dos envolvdos na organzação. Fabrzo Rugger ( IMATI Iála Scenfc Commee Char I have had he pleasure of charng he Scenfc Commee of ISBA 4 and workng for more han one year wh he Chlean local organzers. I am very mpressed for her commmen and he resul of her effors: one of he bes organzed conference. I have ever been. The organzaon of an ISBA World Meeng n Souh Amerca could have been rsky snce many people are unwllng o spend her scarce research funds for such a long rp. Noneheless we have been able o presen a scenfc and socal program whch araced more han 3 people well above our expecaons: a grea success! I am very proud of he number of sudens (more han! who aended he conference: mos of hem were from Souh Amerca (and hey were here mosly because of he effors of Plar Iglesas and Alca Carrqury charng respecvely he Organzng and he Fnancal Commees. Fernando Qunana (he webmaser! Glora Icaza and her colleagues and sudens have been very mporan for he success of ISBA 4. Tha was he scenfc par of he conference. There was a socal par whch ended for some of us few days laer n Sanago wh anoher meeng. I enoyed a lo he momens I spen wh my new Souh Amercan frends Plar and Rosangela frs of all! You wll see me prey soon n Chle and Brazl. Peer Müeller (Texas Unversy MDACC- ISBA Treasurer The ISBA World meeng n Vña del Mar was an mporan even for he sascs communy of Lan Amerca. Lan Amercan nsuons suppor many ousandng researchers. Bu due o he lmed number of nsuons few deparmens reach he crcal mass o acheve he nernaonal vsbly and repuaon requred o arac he bes graduae sudens young researchers and exernal fundng. Whle op qualy research s of prmary mporance vsbly repuaon and fundng are crcal hygene facors o he susaned success of a research group. I s n hs respec ha he ISBA World meeng provded mporan opporunes for researchers n Lan Amercan nsuons. An overwhelmng proporon of nved alks and conrbued presenaons were by Lan Amercan researchers hus provdng crcal opporunes o presen op level research carred ou n Lan Amercan nsuons. Many of he preseners are ousandng scenss who for reasons of budge and geographc consrans do no usually have he opporuny o share her research wh peers ousde Lan Amerca. The exposure provded a hs meeng wll ranslae no ncreased opporunes for he bes researchers o compeve nvaons o fuure nernaonal meengs and o ncreased awareness and opporunes n he peer revew process of op scenfc ournals. Anoher mporan aspec of he meeng was he opporuny for Lan Amercan parcpans o nerac wh nernaonal peers and o learn abou curren rends and mporan research quesons. Ths s especally mporan n Bayesan Sascs wh research radonally ghly lnked o mporan scenfc problems arsng n applcaon areas. Beng n close ouch wh mporan applcaon areas s mporan for success n our scenfc ournals. A dsngushng feaure of he ISBA World meeng was he hgh level of suden nvolvemen ncludng several suden run sessons scheduled for prme slos n he program. Besdes advanced graduae sudens presenng n hese sessons a large number of graduae sudens from Lan Amercan nsuons had he opporuny o aend. Compared o oher long esablshed felds lke mahemacs engneerng or bomedcal scences sascs has he radonal handcap ha poenal sudens know very lle abou research n sascs and possble careers. The ISBA World meeng provded a errfc opporuny for sudens o learn abou he excng opporunes and challenges n sascs. We were sunned and hrlled by how many sudens responded o hs opporuny and how nvolved hey became wh he meeng. Ths bodes well for he fuure of op level sascs research n Lan Amerca. Para fnalzar nosso nforme anexamos as palavras dos presdenes do ISBRA Josemar Rodrgues e em seguda o depomeno conuno do Presdene da ISBA Jm Berger e do Coordenador Geral do ISBA 4 Ed George.

7 BOLETIM ISBRA Seembro 4 5 7ISBA4 por Josemar Rodrgues O 7 o. Congresso Inernaconal da ISBA fo realzado em Vnha Del Mar- Valparaíso- Chle durane o período de 3-7/5/4. É a prmera vez que a ISBA realza ese congresso em um país da Amérca do Sul. Cada congresso realzado pela ISBA é um grande sucesso e uma confrmação das prevsões dos professores Zellner e Lndley. A era Bayesana é uma realdade denro do cenáro esaísco mundal que veo para fcar e conrbur para a solução de problemas complexos nas mas dferenes áreas. No Chle não fo dferene movado pelo aspeco muldscplnar da meodologa bayesana os nossos querdos colegas chlenos (Fernando Plar Renaldo Glora e o ouros organzaram com um remendo sucesso o 7ISBA4. A programação cenífca fo organzada por Fabrzo que mas uma vez demonsrou a sua compeênca cravdade e seu esforço ncansável para dar aos ovens pesqusadores uma oporundade para expor os seus rabalhos. O congresso reunu mas de 3 pesqusadores e mas de esudanes de dferenes países para dscur emas auas envolvendo a meodologa bayesana ano do pono vsa eórco como aplcado. Para nós brasleros e como presdene da ISBRA ese congresso e o 7º EBEB recenemene realzado em São Carlos são faos concreos que comprovam defnvamene que a meodologa bayesana como aconece em ouros países é uma realdade que não pode ser gnorada pelos nossa comundade esaísca. O 7ISBA4 fo maesoso uma conferênca de aberura apresenada pelo Prof. Dan Gamermann UFRJ- e uma conferênca de encerrameno no Congresso chleno com mua fesa denro do espíro bayesano de Valenca e carnho no eslo Plar. Como dsse Fabrzo no recene bolem da ISBA o 7ISBA4 é hsóra e senremos saudades dos agradáves momenos que esvemos dscundo emas de neresse com os nossos amgos chlenos e de ouros países que lá esveram. Parabéns a comssão organzadora local pelo sucesso na dvulgação da Esaísca Bayesana na Amérca do Sul. advanced uoral sessons o begn he conference. The Local Organzng Commee chared by Plar Iglesas pu all ogeher n glorous Chlean venues a lne of fabulous hoels openng and closng ceremones wh nsprng local muscal performances a banque dnner a a magnfcen casno surprse muscal reas a he poser sessons a day of excursons and pares and a specacular closng gala ha lased o sunrse. The Fnance Commee chared by Alca Carrqury secured fundng for vrually all of he unor parcpans. These hree commees dd a superb ob and her heroc and unselfsh effors provded he lfeblood of he meeng. We are all forever graeful for her compleely successful effors. Ths meeng wll be very hard o bea! The breadh he deph and he sheer nellecual scope of he presenaons was amazng. There was lvely and heaed dscusson hroughou bu always wh a common devoon for genune scenfc nqury and a deep respec for he poenal of Bayesan Analyss. As always he meeng provded an envronmen for experencng collegal neracon a s bes. The camaradere he good wll he cooperave spr was absoluely conagous. When we worked we worked hard. And of course when we played we played us as hard. The ISBA World Meengs us keep geng beer and beer. The Program Commee s now accepng venue proposals for he nex ISBA World Meeng whch s se o ake place n 8. Also ISBA wll agan be a maor organzer of Valenca 8 o be held n Valenca Span n 6. We look forward o seeng you a hese and he many oher excng upcomng Bayesan meengs! ISBA 4 A Smashng Success by Ed George (ISBA4 Conference Charman and Jm Berger (Presden of ISBA I gves us grea pleasure o repor ha our Sevenh World Meeng ISBA 4 was a smashng success. The meeng ook place n Vña del Mar - Valparaso Chle on May 3 May 7 4 our frs world meeng n Souh Amerca. Aended by 3 parcpans from 8 counres ISBA 4 brough ogeher Bayesans worldwde o share some of he mos excng curren developmens n Bayesan heory mehods and applcaons. The Scenfc Commee chared by Fabrzo Rugger pu ogeher an mpressve nnovave program of 36 sessons wh 8 alks poser sessons wh 9 posers openng and closng plenary lecures sessons devoed o debaes of conroversal opcs and 6 nroducory and

8 BOLETIM ISBRA Seembro Argos Seleção de Modelos de Fronera de Produção Esocásca: Abordagem Bayesana Luís A. T. Medrano IM UFRJ Hélo S. Mgon IM/COPPE UFRJ Resumo Ese argo raa do problema que a maora dos esudos a esmação empírca dos modelos de fronera de produção esocásca ulza-se com freqüênca a função Coob- Douglas embora esa possa ser basane resrva para descrever ceros processos produvos. Ouras especfcações de funções de produção enconradas na leraura ncluem: a Translog CES (Consane Elascy of Subsuon e GPF (Generalzed Produon Funcons. O obevo dese argo é comparar essas funções de produção alernavas e modelar a dsrbução das nefcêncas como por exemplo: a Gama ou a Lognormal. As comparações serão feas aravés do céro DIC (Devance Informaon Creron proposo por Spegehaler e al.. Palavras-chaves: Seleção de modelos modelo de fronera esocásca Bayesano MCMC função de produção. Inrodução Economcamene é razoável admr-se que as undades produvas operam próxmas da fronera de produção em razão por exemplo da ala compevdade dos mercados. Assm seram compleamene efcenes desvando-se da fronera somene por acdenaldades nconroláves. Todava devdo a város faores as frmas podem se dsancar da sua fronera. Embora consderações econômcas possam nos fornecer alguma déa relavamene a efcênca das frmas não se em uma forma funconal exaa para dsrbução dessas quandades. Esa quesão será emprcamene abordada nese argo comparando-se os modelos de fronera com especfcações alernavas das dsrbuções das efcêncas. Na esmação empírca dos modelos de fronera esocásca a função Coob-Douglas dada suas caraceríscas smples e de fácl esmação. No enano ela mpões algumas resrções como elascdades e reornos de escala consane além de apresenar elascdades de subsução guas a um. Denre ouras formas posuladas na leraura para funções de produção desacamos: a Translog CES (Consan Elascy of Subsuon e GPF s (Generalzed Producon Funcons. O obevo dese argo é comparar essas funções de produção alernavas e seleconar a dsrbução das nefcêncas como por exemplo: a Gama ou a Lognormal. As comparações serão feas aravés do créro de seleção DIC (Spegehaler e al.. Além dso os modelos serão esudados usando smulação esocásca. Em parcular usaremos o sofware WnBugs (Bayesan analyss usng Gbbs samplng recém desenvolvdo (Spegelhaler 996 para lusrar a mplemenação das análses Bayesanas. O resane do argo é organzado da segune forma. Na segunda seção são apresenadas as funções de produção e suas propredades. Os modelos de fronera de produção que serão comparados nese esudo são apresenados na seção 3. Os créros de seleção de modelos são dscudos na quana seção e os resulados das comparações enre os modelos de fronera esocásca ulzando-se dados smulados e reas são apresenados na quna seção. Na úlma seção são apresenados as conclusões e exensões dese esudo. Aspecos Báscos de Função de Produção Dá-se o nome de função de produção à relação enre as quandades produzdas e os nsumos. O conhecmeno desa relação é fundamenal para o planeameno empresaral. A função de produção ndca o máxmo de produo que se pode ober a parr de dversas combnações dos nsumos. Assm a função de produção pode ser convenenemene vsualzada como a fronera enre as regões váves e não váves no espaço dos npus e oupus. De uma forma geral a função de produção é o lugar geomérco de odas as possíves combnações efcenes dos dversos nsumos e das dversas varáves ecnológcas e operaconas de um deermnado ssema produvo. Tradconalmene a função de produção pode ser represenada por: y = f x x ( onde y represena o produo e x e x são os nsumos. Na próxma seção serão apresenados algumas propredades écncas da função de produção.. Reorno de Escala Uma forma de analsar a função de produção é observar a axa de varação do produo quando odos os nsumos varam na mesma proporção. O reorno de escala esá lgado ao ncremeno obdo na produção quando odos os npus são gualmene ncremenados. Uma função de produção é da homogênea de grau k se pude ser expressa na forma expressada na: k y = f ( x x x4 = f ( x x x n ( De acordo com a varação da quandade produzda em função da varação da quandade ulzada dos nsumos é possível denfcar-se rês pos de ganhos k > ; ( de escala: ( reornos crescenes de escala reornos consanes de escala ( k = decrescenes de escala ( k <. e ( reornos

9 BOLETIM ISBRA Seembro 4 7. Elascdade de Subsução Ouro conceo relevane para caracerzar as funções de produção é a elascdade de subsução. Esa mede a varação percenual na proporção dos faores devdo a varação na axa margnal de subsução écnca ou sea é uma medda da facldade com que os faores podem ser subsuídos enre s. Pode ser vsa ambém como uma medda da curvaura da soquana. x x d ln d x x f x x = = (3 f f f x x x x d ln d f f x x onde anda como: fx f x f x x + fx x x = (4 xx de B x B = f f f f x f x f f x f x ou x x x x x x x x = y y fx onde r = = x x f x ( + x r x R r r xx r x x e <. Na elascdade de subsução quano maor o valor melhor será a subsução de um npu pelo ouro. Se = enão a subsução não é possível. Já quando = os npus são subsuos perfeamene..3 Prncpas Tpos de Funções de Produção A segur serão descras quaro classes de funções de produção. As duas prmeras apresenam elascdade de subsução consane. Coob-Douglas e a CES. Para evar ese po de resrção fo nroduzdo na leraura a classe das funções de produção Generalzada (GPF que generalzam as anerores em dos sendos: na elascdade de subsução e no reorno de escala..3. Função de Coob-Douglas A função de produção de Coob-Douglas fo nroduzda por Charles W. Coob e Paul H. Douglas (98 em como caracerísca de ser smples e fácl esmar em sdo basane usada em análse economérca. No enano ela mpões algumas resrções com elascdades e reornos de escala consanes além de apresenar elascdades de subsução guas a um. Em geral a forma desa função para um produo Q que esá relaconado aos dos faores; capal e rabalho ( K e (5 L é expressa por: Q K L Ou ambém pode ser escra como log Q = log + log K + log L (7 = (6 onde e são parâmeros as que > e >. A elascdade de subsução é expressa por: r( Kr+ L L r = = onde r = = e r r K L K LKr L K r L =. O reorno de escala desa função é dada pela K K soma de e. Nese caso se + = emos um reorno de escala consane Função C.E.S (Consan elascy of Subsuon Uma exensão naural da famíla Coob-douglas sera consderar funções de produção com elascdade de subsução consane mas não necessaramene unára para odos os ponos da curva. Uma classe especal de função de produção conhecdo com Elascdade Consane de Subsução (CES fo nroduzdo por Arrow Cherney Mnhas e Solow (96. A função de produção C.E.S para dos nsumos é dada pela segune expressão: ( / p Q = K + L (8 ou omando o logarmo pode ser escro como { } log Q = log + log K + L Onde e são parâmeros as que < < < < < < e < <. Fca clara a forma não lnear da função e ambém uma esrea relação com a famíla de ransformações Box-Cox (ver Zellner pg. 73. Embora não sea absoluamene necessáro para procedermos as nferêncas é praca comum se fazer uma expansão de Taylor em orno de = obendo: log Q log + log K + log L+! ( log ( K L # = + log K + log L+ x = log onde x4 log ( K / L = e 3 4 (9 = = =. Porano pela Eq. 9 podemos observar que quando = a função C.E.S em a forma da função Cobb-Douglas. A elascdade de subsução desa função é r( Kr+ L dada por = = onde: r r + KLr L K + K r + R r + R r = = e =. L K K L L A função de produção CES em o reorno de escala caracerzado pelo parâmero. Por exemplo se > emos um reorno de escala crescene.

10 BOLETIM ISBRA Seembro Função de Produção Translog Muas vezes desea-se elaborar os modelos em formas funconas mas flexíves permndo-se que efeos de segunda ordem seam levados em consderação. Um exemplo desses efeos são elascdade de subsução as quas são funções das dervadas segundas. Essas parcelas são obvamene desprezadas em modelos como os anerores. A classe de funções que descrevemos agora serve como uma aproxmação local de segunda ordem para uma função de produção geral pelo menos duas vezes dferencável. Fazendo-se uma aproxmação de Taylor em orno de x so é: f ( x = f ( x + ( x x ' f ( x + x ( x x ' f ( x( x x e consderando as as xx' dervadas parcas avaladas nese pono como sendo nossos parâmeros (consanes obemos a especfcação log Q = f x x denomnada de Translog. Suponha que onde x e x são os logarímos dos nsumos e f uma forma funconal duas vêzes dferencável e que x =. Nese caso a função de produção Translog é dada pela segune expressão: log Q = + x+ x+ 3x+ 4x+ 5xx ( onde x = log L x = log K = log A e < < > para = 5. Pela Eq. podemos observar que quando 3 = 4 = 5 = a função Translog reca na forma funconal da Cobb-Douglas. 3 Função de Produção Generalzada (GPF Zellner e Revankar (97 propõem a função de produção generalzada (GPF's. Esa função fo nroduzda com o obevo de permr uma generalzação em duas dreções. Prmero perme que a elascdade de subsução possa ser consane mas desconhecda ou varável. A segunda generalzação é permr que os reornos de escala varem com o nível do produo. Em ermos deermníscos consdere a segune equação dferencal: dq Q & ( Q = ( df f & com solução Q = g( f onde & ( Q é o reorno de escala função do produo Q f ( L K é uma função de produção qualquer onde L e K são os npus capal e rabalho respecvamene & é parâmero do reorno de escala assocado a função de produção f. Suponha que g sea uma ransformação monoônca de f de forma que a Q = g f é a elascdade de subsução assocada a mesma da função de f. f f quando Uma parcular função GPF é deermnada & Q em a segune forma: & & ( Q = ( + Q onde > e & >. É claro que para = o reorno de escala não será função do produo(q. Subsundo-se a & Q na Eq. ( emos a segune expressão de equação dferencal dada por dq Q & = df f & Q Qe Q / f = Cf & & f ( + cua solução é onde C é uma consane de negração. Se por exemplo f em a forma da função de & ( & f f produção Cobb-Douglas ou sea f = AK L enão obemos a função de produção generalzada: Q &( & Qe K L = (3 Com = CA < < e. Ou omando-se o logarmo de ambos os lados em-se: z = y+ exp( y = + x + x (4 onde y = log Q x = log K x = log L = log = & e 3 = &. Pela Eq. (4 observa-se que se = a função GPF's emos a forma da função Cobb- Douglas. 3 Modelo de Fronera de Produção Esocásca Nesa seção apresenaremos os modelos de fronera de produção esocásca que serão comparados nese argo. Neses modelos além das dferenes formas funconas apresenadas na seção aneror consderaremos duas dsrbuções alernavas para a represenação do ermo de nefcênca. Incalmene os modelos de fronera de produção esocásca foram proposos por Agner Lovell e Schmd (977 e Meeusen e Van Den Broecker (977. Em sua forma geral em-se: y = f x u + = N (5 onde y é usualmene o logarímo do oupu x o logarímo do veor de npus f ( denoa é a função de produção deermnísca em dsrbução normal com méda e varânca represenando as fluuações aleaóra que não depende da frma e u modela a efcênca da -ésma frma endo uma dsrbução assmérca. Assume-se que e u seam ndependenes.. A efcênca que corresponde a frma é defnda por r = exp( u. As dsrbuções assumdas para a componene de nefcênca foram nese argo as dsrbuções gama e a log-normal. As dsrbuções log-normal e gamma êm comporameno basane smlar se seus parâmeros forem escolhdos adequadamene. Dealhes sobre equvalêncas dessas dsrbuções são enconradas em Mgon (.

11 BOLETIM ISBRA Seembro 4 9 Por quesões de parcmôna no caso lognormal remos consderar somene a sub-famíla com parâmero de locação gual a zero desacando enreano que mesmo assm ela erá moda deslocada da orgem o que é alamene deseável na modelagem das nefcêncas. Um argumeno bem conhecdo na leraura da área desaca que a mporânca de se modelar as nefcêncas aravés de dsrbuções com moda dferene de zero advém da compreensão de que faores relaconados com a efcênca gerencal provavelmene não se dsrbuem segundo densdades que decaem monooncamene na população em geral. Os modelos comparados nese argo seguem as quaro especfcações de função de produção dscudas na seção aneror agregadas com um ermo de erro composo. Na parcela do erro que modelara a nefcênca usaremos as duas dsrbuções dscudas acma. Assm ao odo fndaremos com oo especfcações de fronera de produção esocásca a saber Modelo : Modelo usando a função de produção Cobb-Douglas consderando a dsrbução do ermo de nefcênca Gama. y = + x+ x u + (6 Modelo : Modelo com a função de produção CES e o ermo de nefcênca com dsrbução Gama. y = + log { ( exp( x + exp( x } u + (7 com N ( e u G( P Modelo 3: Usando a função de produção Translog e assumndo-se que o ermo de nefcênca enha dsrbução Gama. y = + x + x + 3x + (8 4x + 5xx u + com N ( e u G( P. Modelo 4: Modelo ulzando a função de produção GPF com dsrbução Gama no ermo de nefcênca. z = y + exp( y = + x+ x u + (9 N e u G( P. com. Como á menconamos os Modelos de 5 a 8 êm as especfcações acma odava com erro Lognormal com locação zero. Aravés da Eq. (9 podemos observar que a função de produção generalzada (GPF usada nos Modelos 4 e 8 não explca uma relação drea enre Y e X sendo necessáro defnr o Jacobano da ransformação de Z para Y que é dada pela segune expressão: N J = ( + / y = ( A função de verossmlhança para os modelo 4 e 8 é dada pela segune forma: f y u = f z x+ u J ( onde z y exp( y N = +. A segur são descras as dsrbuções a pror assumdas para os oo modelos. 3. dsrbução a Pror A mplemenação da nferênca segundo o paradgma Bayesano requer que as dsrbuções a pror seam especfcadas para os parâmeros do modelo. Uma esraéga podera ser elcar a dsrbução desses parâmeros consulando especalsas. Por exemplo poderamos argur especalsas do seor que esvessemos modelando sobre sua opnão com respeo a nefcêncas méda das frmas e ambém a varabldade assocada a esa nformação. Baseado nessas nformações oberíamos os parâmeros da dsrbução da nefcênca por exemplo da Gama e reornaramos a êle com um gráfco da densdade resulane e alguma caracerísca como por exemplo parculares percens a moda ec. Assm ele era a oporundade de revsar as nformações ncalmene fornecdas e como farameno documenado na leraura em poucas erações era acessado a dsrbução a pror que melhor descrevesse seu conuno ncal de nformações. Alernavamene poderíamos smplesmene ulzar conhecmenos eórcos sobre prors de referênca por exemplo ulzando prors unformes na rea oda para os parâmeros de locação e ambém para os parâmeros de escala porém ransformandos pelo log. Nese argo ulzaremos uma va alernava. Usaremos prors própras porém pouco nformavas. Assm para os parâmeros defndos na rea oda proporemos uma normal cenrada em zero e com precsão muo pequena enquano que para aqueles defndo nos reas posvos ulzaremos uma dsrbução gama com méda em e varânca muo grande. A pror defnda para GI n a. fo: Esa dsrbução a pror é a mesma para odos os modelos analsados. A segur serão defndas as dsrbuções a pror para os parâmeros da componene de nefcênca: P G d G Gama: ( e ( Lognormal: µ N( a A e G( d D.. As dsrbuções a pror defndas para os demas parâmeros foram: MODELO e 5 : = 3 N b H MODELO e 6 : N( b H N( m s Bea ( d e NT[ ]( r g MODELO 3 e 7 : N b H = 5 MODELO 4 e 8 : N( b H e U ( para 3 = Dferene de odas as dsrbuções a pror a pror defnda para o parâmero do modelo não faz pare da lsa de dsrbuções do WnBUGS. Logo esa dsrbução somene poderá ser mplemena na versão.4 do WnBugs da segune forma:

12 BOLETIM ISBRA Seembro 4 Suponha que y f ( y onde f represena uma densdade não dsponível no pacoe. Sea Po >. Logo com é sabdo P ( exp( = log f ( y e enão P[ ] f ( y = =. Assm podemos defnr = =. Dese forma podemos mplemenar qualquer dsrbução que não esá ncluída na lsa de dsrbuções do WnBUGS. Para mas dealhes ver o manual de WnBUGS versão.4 (Spegelhaler e al Os valores escolhdos para os hperparâmeros que levaram a uma dsrbução a pror relavamene vaga nos oo modelos foram: d... b H =. m. 3. Dsrbuções condconas a poseror Para aplcar o méodo de smulação esocásca na esmação desses modelos economércos precsamos ober sempre que possível as dsrbuções condconas compleas. Se esas verem formas reconhecdas e forem dsponíves para amosragem serão ulzadas na mplemenação do méodo denomnado Gbbs samplng. Caso essas dsrbuções não eseam dsponíves para amosragem deveremos ulzar alguma forma de proposa para gerar ponos no espaço dos parâmeros e aceá-los ou não. Esses méodos são denomnados de Meropóls- Hasng. No pacoe que esaremos ulzando WnBugs esão dsponíves dferenes alernavss de geração de dados para mplemenação da smulação esocásca. Embora o pacoe sea nelgene para escolha dessas alernavas é sempre bom analsarmos analcamene a naureza dessas dsrbuções condconas compleas para verfcarmos por exemplo se é log-concava se esão defnda numa regão lmada ec. A segur vamos ober as a dsrbução condconal complea para o ermo de nefcênca u_{} e os seus parâmeros assocados: Gama onde - ( Y < X reso GNP+ 4u + N = d - N p P Y X reso 5 P 6 ( P exp( QP I ( - N 4 Q= log 7 + Nlog = ( u + e p ( u Y X reso u u N P 5 exp Na fronera de produção Normal-Gama as dsrbuções condconas de P e u não esão dsponíves para amosragem. Infelzmene o méodo ARS (Adapve Reecon Samplng proposo por Glks (99 não pode ser aplcado pos quando P < a dsrbução condconal de u não é logcôncava. A esraéga adoada no WnBugs é gerar u unvaradamene componene a componene aravés do méodo Slce Samplng (Neal 997. Como ambém a dsrbução condconal de P não é log-côncava quando d < o méodo usado pelo WnBugs fo o algormo de Slce Samplng. Lognormal - ( µ Y X reso 4 Nlog u / ps+ A N = a( N. + A N + + log - (. Y X reso G d N D 4 ( u u [ µ. ] p u Y X reso N y x LN N Na fronera de produção Normal-Lognormal as dsrbuções condconas de e esão dsponíves na forma fechada. Já a dsrbução condconal de u não esá dsponível para amosragem porem a dsrbução é log-concava. Nese caso o méodo ulzado pelo WnBugs para gerar valores de u fo o algormo de Slce Samplng. As ouras dsrbuções condconas a poseror para os oo modelos esão brevemene descros a segur: MODELO E 5 - ( Y X reso N k ( H + XX + ( Hb + X+ ( Y+ u H + XX + ( N N ( y+ u X + ( y+ u X + a - ( Y X reso G Nos modelos e 5 onde é usada a função de produção Cobb-Douglas as dsrbuções condconas de e ² são conhecdas e dsponíves para amosragem. MODELO E 6 - ( + Y X reso N H + Hb + Y + u H + y+ u X y+ u X + a G - ( Y X reso ( N N ( * 8 + ( * 8 - ( y u X * 8 + ( * + y+ u X 8 p( Y X reso 5 exp - ( y u X * 8 + ( * + y+ u X 8 s m p( Y X reso exp 5 * * - ( y u X ( y+ u X 8 ( 9 p( reso 5exp I ( g * onde X = log { ( exp( X exp( X + } e 8 = ( + Como a função de produção CES em uma forma mas complexa os parâmeros relaconados a esa função em sua dsrbução condconal não dsponível para amosragem. Assm o méodo ulzado pelo WnBugs para amosrar da dsrbução condconal de e fo o algormo

13 BOLETIM ISBRA Seembro 4 do Slce Samplng e da dsrbução condconal de o algorímo de Meropols-Hasngs (Meropols e al. 953 e Hasngs 97. Já os parâmeros relaconados a fronera ( e dsrbução condconal conhecda. MODELO 3 E 7 - k ( em a sua Y X reso N H + XX + Hb+ X+ Y+ H + XX + 5 exp - p ( Y X reso y+ u X y+ u X + a ( N N ( + * * * onde X = [ X X X3 /X /X3 XX3] X é a coluna da marx X. Nos modelos 3 e 7 onde é ulzado a forma funconal Translog as dsrbuções condconas compleas de e são conhecdas. MODELO 4 E 8 - k ( Y X reso N H + XX + Hb + X+ Z+ u H + XX + ( N N ( z+ u X + ( z + u X + a - ( Y X reso G N - p( reso 5 exp ( z u X + + ( z + u X + 4 log( y + = onde z = Y + expy Já nos modelos 4 e 8 onde é usada a função de produção generalzada (GPF a dsrbução condconal de não se enconra na forma fechada. Nese caso o méodo ulzado pelo WnBUGS para gerar valores de fo o algormo de Slce Samplng. Nese modelo as dsrbuções condconas compleas para os parâmeros e são conhecdas. 4 Créros de Seleção Esá seção nroduz duas meddas de dagnóscos que foram ulzados para medr o desempenho dos dferenes modelos esudados. A escolha de modelos é uma avdade fundamenal que vem ornando-se cada vez mas mporane nas análses esascas uma vez que devdo aos avanços compuaconas é possível consrur modelos cada vez mas complexos. Tal complexdade normalmene aumena de acordo com a esruura mposa pelos modelos que requerem especfcações em cada um de seus níves A segur será apresenado o créro DIC (Devance Informaon Creron para a seleção de modelos. 4. Devance Informaon Creron (DIC Do pono de vsa frequensa a avalação do modelo é baseado na devance. Analogamene Dempser (974 sugere examnar a dsrbução a poseror da devance clássca defndo por: D = ln f y + lng y ( ln g( y onde f ( y é a função de verossmlhança e é um ermo que só depende dos dados. Dempser (974 propõe comparar a méda à poseror de D Spegelhaler e al. ( segue essa sugesão no desenvolvmeno do DIC como um créro de escolha de D o modelos. Baseado na dsrbução à poseror de DIC consse em duas componenes: um ermo que mede a bondade do ause e ouro ermo de penaldade para o crescmeno da complexdade do modelo. DIC = D + P D (3. O prmero ermo é uma medda Bayesana de ause do modelo que é defndo como a méda a poseror da devance D = E y[ y] = E y ln f ( y. (4. A segunda componene mede a complexdade do modelo aravés do número efevo de parâmeros p D defnda como a dferença enre a méda a poseror da devance e a devance avalada em que é a méda a poseror do parâmero : 5 Aplcação ( [ ] [] P = D D = E D D E (5 D y y Nesa seção apresenaremos dos exemplos de esmação e seleção de modelos de fronera de produção esocásca. O prmero envolve um exercíco de smulação com um conuno de dados arfcalmene gerados endo como obevo verfcar como se comporam os modelos descros e a capacdade de dscrmnação do méodo proposo. No segundo exemplo ulzaremos um conuno de dados reas analsados em alguns argos da leraura. Nese exemplo além do uso dos méodo de seleção de modelos proposos mosraremos a dsrbução dos posos das efcêncas para algumas frmas seleconadas. 5. Dados Arfcas O obevo desa smulação é ver se os créros de seleção que serão ulzados conseguem denfcar o verdadero modelo do qual os dados foram gerados. Foram smulados um conuno de dados de observações do modelo de fronera de produção Normal- Lognormal usando a função de produção Cobb-Douglas (MODELO 5. Ese conuno de dados arfcas coném =. A 3 regressores com os coefcenes guas a marz X fo gerada de uma N ( e para cada uma das N frmas. Os resane dos parâmeros foram =.5. = e µ =. Os resulados obdos são baseados em. erações das quas foram descaradas as 5. prmeras. Na Tabela são apresenados os resulados da esaísca DIC unamene com D e pd para cada um dos oo modelos.

14 BOLETIM ISBRA Seembro 4 Tabela : Resulado do Devance Informaon Creron para os oo modelos de fronera de produção para o conuno de dados arfcas Modelo D D MODELO : Coob-Douglas e Gama MODELO : CES e Gama MODELO 3: Translog e Gama MODELO 4: GPF e Gama MODELO 5: Cobb-douglas e Lognormal MODELO 6: CES e Lognormal MODELO 7: Translog e Lognormal MODELO 8: GPF e Lognormal Pela Tabela observamos que o modelo de fronera de produção mas adequado para descrever o conuno de dados arfcas baseando-se no DIC fo o modelo usando forma funconal Cobb-Douglas com ermo de nefcênca Lognormal (MODELO 5 ou sea o créro de seleção DIC conseguu denfcar o modelo verdadero. 5. Dados Reas Para lusrar uma comparação com dados reas serão ulzados os dados usados por Zellner e Revankar(97 para esudar a produção da ndúsra de equpamenos de ranspores de 5 esados nos Esados Undos no ano de 957. Nese conuno de dados foram defndas as segunes varáves: y=log(produção/m x = log ( capal / m e x = log ( rabalho / m onde m é o número de esabelecmenos em cada esado. Todos os resulados enconrados foram baseados em amosras nas quas a convergênca fo esada aravés do créro de Brooks e Gelman(998 que esá mplemenada na versão.4 do WnBugs. Os resulados para os MODELOS -8 são baseados em. erações. Foram realzadas. erações das quas foram descaradas as. prmeras para o período de burn-n. Na Tabela são apresenados os resulados da esaísca DIC unamene com D e pd para cada um dos oo modelos. Tabela : Resulado do Devance Informaon Creron para os oo modelos de fronera de produção Modelo D D ( DIC MODELO : Coob-Douglas e Gama MODELO : CES e Gama MODELO 3: Translog e Gama MODELO 4: GPF e Gama MODELO 5: Cobb-douglas e Lognormal MODELO 6: CES e Lognormal MODELO 7: Translog e Lognormal MODELO 8: GPF e Lognormal pd pd DIC MCMC. Se denoarmos por ( m exp( ( m e = µ como a medda de efcênca para a posção ocupada por e ( m h frma na na ordenação. h m eração é a Fgura -4 apresena a dsrbução a poseror dos posos relavos as meddas de efcênca a melhor frma - rho[] e para a por frma - (rho[4] segundo os modelos de fronera Normal-Gama e Normal-Lognormal usando a função de produção: Cobb-Douglas CES Translog e GPF. O obevo desa úlma análse é comparar a capacdade dos modelos de classfcar as frmas. Pelas Fguras -4 noa-se que o modelo de fronera normallognormal com apenas um parâmero e ulzando qualquer forma funconal conseguu dferencar melhor as frma mas efcenes das menos efcenes. Também podemos observar que a varabldade da dsrbução dos posos para uma consderada frma efcene (rho[] ulzando o modelo de fronera Normal-Lognomal com a função de produção CES é bem menor do que ulzando o modelo de fronera Normal-Gama com a mesma forma funconal. Fgura : Dsrbução a poseror do rank para a melhor (rho[] e o por (rho[4] frma segundo o modelo de fronerra Normal-Lognormal usnado a função de produção Coob-douglas e Translog Fgura : Dsrbução a poseror do rank para a melhor (rho[] e o por (rho[4] frma segundo o modelo de fronera Normal- Lognormal usnado a função de produção CES e GPF Pela Tabela podemos observar que os modelos de fronera de produção mas adequado para descrever dados baseando-se no DIC foram os modelos usando forma funconal Translog e a função de produção Generalzada com ermo de nefcênca Lognormal (Modelo 7 e 8. Para conclur a comparação dos modelos as dsrbuções dos ranks assocada às meddas de efcênca (Goldsan e Spegelhaler 996 são apresenadas. Essas dsrbuções são dreamene obdas usando as cadeas de

15 BOLETIM ISBRA Seembro 4 3 Fgura 3: dsrbução a poseror do rank para a melhor (rho[] e por (rho[4]frma segundo o modelo de fronera Normal-Gama usando a função de produção Cobb-Douglas e Translog Em nvesgações fuuras remos comparar esses procedmenos em dados de panel e comparar os algormos ulzados no Gbbs samplng. Referêncas [] Agner D. C. Lowell e P. Schmd (977 - Formulaon and Esmaon of Sochasc Froner Producon Funcon Models Journal of Economercs [] Arrow K.J. Chenery H.B. Mnhas B.S. and Solow R.M. (96 Capal-Labor Subsuon and Economc Effcency. Revew of Economcs and Sascs Vol. 43 p.5-5. Fgura 4: dsrbução a poseror do rank para a melhor (rho[] e por (rho[4]frma segundo o modelo de fronera Normal-Gama usando a função de produção CES e GPF [3] Brooks S P and Gelman A (998 Alernave mehods for monorng convergence of erave smulaons. Journal of Compuaonal and Graphcal Sascs [4] Cobb C.W. and Douglas P.H. (98 A Theory of Producon. Amercan Economc Revew Vol. 8 p B. Corne (98 [5] Gesser S. e Eddy W. (979 A predcve approach o model selecon. J. Am. Sas. Ass [6] Gelfand A. E. e Ghosh S. K. (998 - Model choce: a mnmun poseror predcve loss approach Bomerka Conclusão e Exensões Dscumos nese argo duas quesões cenras relaconadas com modelos de fronera de produção esocásca a especfcação da pare deermnísca - função de produção - e da esruura esocásca da efcênca. Incalmene mosramos que o DIC é capaz de dscrmnar efcenemene os modelos proposos seleconando ano a função de produção quano a componene de erro assmérco. Baseado em dados reas pudemos verfcar a mporânca da componene de erro log-normal quando comparada com a gama. Além de mas parcmonosa pos fxamos µ = produz valores de DIC favoráves a ela para odos os modelos proposos de função de produção. Em resumo a aplcação com dados arfcas mosrou que o créro de seleção DIC conseguu denfcar o modelo onde foram gerados os dados. Já a lusração empírca envolvendo dados reas denfcou que o modelo que se mosrou mas aproprado fo o fronera de produção com ermo de nefcênca lognormal e usando a forma funconal CES (Consan Elascy of Subsuon ou a GPF (Generalzed Producon Funcons. Noou-se ambém que o modelo de fronera normal-lognormal com apenas um parâmero e ulzando qualquer forma funconal conseguu dferencar melhor as frma mas efcenes das menos efcenes. [7] Glks W. (99 Dervave-free adapve reecon samplng for Gbbs samplng. Appl. Sas [8] Hasng W. K. (97 Mone Carlo samplng mehods usng Markov chan Mone Carlo wh applcaons. J. Am. Sas. Ass [9] Kass R. E. e Raffery A. E. (995 - Bayes Facor JASA 9 n [] Meeusen W. e J. van den Broeck (977 Effcency esmaon from Cobb-Douglas producon funcons wh composed error Inernaonal Economc Revew [] Meropols N. Rosenbluh A. W. Rosenbluh M. N. Teller A. H. e Teller E. (953 Equaons of sae calculaons by fas compung machnes. J. Chem. Phys [] Neal R (997 - Markov chan Mone Carlo mehods based on `slcng' he densy funcon Deparmen of Sascs Unversy of Torono.

16 BOLETIM ISBRA Seembro 4 4 [3] Spegelhaler D. J. Thomas A. Bes N. G. e Lunn D. (999. WnBUGS Verson.4 User Manual MRC Bosascs Un [4] Spegelhaler D. J. Bes N. G. Carln B. P. e van der Lnde A. ( "Bayesan measure of model complexy and f" Journal of he Royal Sascal Socey Seres B 64 Pare 3 forhcomng. [5] Sevenson R. E. (98. Generalsed Sochasc Froner Esmaon. Journal of Economercs [6] Sone M. (974. Cross-valdaory choce and assessmen of sascal predcons. Journal of he Royal Sascal Socey Seres B [7] Zellner A. e N. Revankar (97 Generalzed Producon Funcons" The Revew of Economc Sudes Inferênca Bayesana Em Modelos De Volaldade Esocásca Usando Processos Auoregressvos Com Transção Suave Esher Salazar Deparameno de Méodos Esaíscos Unversdade Federal do Ro de Janero Hedber F. Lopes Graduae School of Busness Unversy of Chcago Resumo Ese rabalho em dos obevos prncpas. O prmero é fazer nferênca Bayesana para odos os parâmeros envolvdos no modelo logísco auo regressvo de ransção suavzada de ordem k LSTAR(k. O segundo obevo é modelar a volaldade esocásca de séres emporas econômcas e fnanceras supondo que o logarmo da varânca condconal segue um modelo LSTAR(k. Por ano é proposo um modelo dnâmco Bayesano não-lnear e não-normal cuos esados (logvolaldades evoluem segundo uma esruura LSTAR(k. Esudos smulados e aplcações à séres fnanceras esam respecvamene a modelagem proposa e sua aplcabldade a suações reas. Palavras-chave: Mone Carlo va Cadeas de Markov Inferênca Bayesana MCMC com salos reversíves Seleção de Modelos Modelo Dnâmco. Inrodução Os modelos auoregressvos de ransção suavzada (STAR proposo ncalmene na forma unvarada por Chan e Thong (986 e desenvolvdo poserormene por Luukkonen e al. (988 e Teräsvra (994 êm sdo Nesse rabalho consderamos uma mporane classe dos modelos STAR chamado modelo logísco STAR de ordem k LSTAR(k. A nferênca para ese po de modelo não é rval pos a esmação dos parâmeros de suavzação e de locação c que defnem a ransção logísca requer cudado especal. Na leraura exsem váras proposas para fazer nferênca nos modelos LSTAR (Luukkonen 99 pro exemplo o uso do méodo de mínmos quadrados ponderados. A prmera e alvez prncpal conrbução desse rabalho é a proposa de um algormo Mone Carlo va Cadeas de Markov (MCMC para fazer nferênca exaa dos modelos LSTAR(p sob o enfoque Bayesano. Adconalmene esendemos o radconal modelo de volaldade esocásca onde o log-volaldade evolu segundo um processo auoregressvo de ordem para um processo LSTAR(k. O reso do argo esá organzado como segue. Na Seção é apresenado o modelo LSTAR(k nclundo a especfcação do modelo. Na Seção 3 são apresenadas as prors assocadas aos parâmeros do modelo e descrevemos o algormo MCMC para smulação da poseror dos parâmeros. Na Seção 4 propomos o modelo de volaldade esocásca com LSTAR(k e apresenamos o processo de esmação. Na Seção 5 aplcamos os modelos a séres smuladas e reas. Conclusões e exensões são apresenados na Seção 6. Modelos LSTAR de ordem k Os modelos LSTAR de ordem k denoado por LSTAR(k são modelos auo-regressvos que ncorporam na sua esruura um ermo de suavzação. Esse ermo em em geral a forma de um modelo AR(k ponderado por uma função F cua forma deermna a ransção. Nesse esudo consderamos a função logísca por ser a mas comumene enconrada na leraura. Mas especfcamene o LSTAR(k é escro da segune forma y = x+ + x+ F c y + ( ( d onde x+ = ( y... y (... ~ N k + = para = k e { } ( d exp( ( d F c y = + y c. O parâmero > é responsável pela suavdade da função F enquano o escalar c é o parâmero de locação (o parâmero hreshold. Fnalmene d é um parâmero de reardo (delay e y é a varável de ransção. Assuma-se anda e sem perda de generaldade que d k e que y k+... y y... yt são observações dsponíves. O modelo LSTAR(k pode ser vso como um modelo de dos regmes mas especfcamene emos que E y x x+ E y x = x+ represenam o = e

17 BOLETIM ISBRA Seembro 4 5 prmero e segundo regme respecvamene. Assm podemos expressar o modelo da segune forma y = ( F( c y d x+ + ( F( c yd x+ + ( onde é normalmene dsrbuído com méda zero e varânca consane sobre os dos regmes. Além dsso a escolha enre os dos regmes é represenada pela função logísca F( c y d. O modelo ( pode ser expressado como em ( onde = represena a conrbução de consderar um segundo regme. Fnalmene consderamos a segune reparamerzacão que será muo úl no calculo das dsrbuções a poseror dos parâmeros envolvdos no modelo y = x+ c d + (3 onde + ( + + = represena o veor de parâmeros lneares ( c são parâmeros não lneares e x+ ( c d = x+ F( c y x+. d 3 Inferênca a Poseror Nesa seção apresenamos duas proposas para fazer nferênca dos parâmeros. A prmera consderando prors subevas e a segunda usando prors não nformavas. Num prmero analse apresenamos proposas para os parâmeros lneares para os parâmeros não lneares e c e para a varânca ou sea emos que esmar k+5 parâmeros. Em seguda propomos a esmação do parâmero de reardo d e por úlmo fazemos uma proposa para a esmação da ordem de auo-regressão k a raves de um algormo Mone Carlos va Cadeas de Markov com salos reversíves. 3. Dsrbuções a pror As dsrbuções a pror consderadas nese rabalho são de dos pos. A prmera de po subevo assumndo que emos algum po de nformação ao respeo dos dados. A segunda consderando prors Cauchy e não nformavas. Prors subevas Por smplcdade e sem perda de generaldade adoaremos prors condconalmene conugadas. Ou sea ( I + ~ G( a b ~ N m k c ~ N( mc c s e9 ~ GI. Os hperparâmeros m e abmc c s são escolhdos de forma que as prors seam pouco nformavas como lusrado nas aplcações da seção 4. Prors não nformavas Lubrano ( propõe as segunes prors para os parâmeros lneares e não lneares: ( ~ Nk ( exp N + a pror condconal de é nformava quando : nesse caso emos que é zero quando = a precsão é gual a N / por ouro lado a precsão é zero quando é posva. A dsrbução a pror para é a Cauchy runcada dada pela segune expressão ; ( + > 8 = (4 ; caso conráro. A amplude de varação do parâmero hreshold c é deermnado pelo mínmo e máxmo de y assm defnmos uma pror unforme al que 8 ( c ~ U[ c c ] onde D( c a =.5 ( b.85 D c = e D represena a dsrbução empírca de y. Fnalmene consdera-se uma pror não nformava para MCMC em modelos LSTAR(k al que 8 ( a b 5. Assumremos nesa seção que k é conhecdo. Dessa forma a smulação da poseror de c e é fea a parr de um algormo MCMC que smula das dsrbuções condconas compleas a poseror. Mas especfcamene as dsrbuções condconas compleas de e (ndependenemene do po de pror ulzada são respecvamene normal e gama nversa possblando o uso do Amosrador de Gbbs (Gelfand e Smh 99. Por ouro lado a dsrbução condconal complea conuna de e c não é conhecda o que sugere o uso de um algormo do po Meropols- Hasngs (Meropols Rosenbluh Rosenbluh Teller e Teller (Hasng97. Para mas dealhes sobre o Amosrador de Gbbs o algormo de Meropols-Hasngs e ouros méodos MCMC consular por exemplo o compêndo edado por Glks Rchardson e Spegelhaler (996 ou os lvros de Gamerman (997 e Rober e Casella (999. denoa a dsrbução condconal Abaxo [ ] complea a poseror do parâmero e ( N µ < denoa a dsrbução normal p-varada com veor de méda µ e marz de covarânca <. Fnalmene odos os somaóros sem índces são subenenddos enre a T. As condconas compleas obdas a parr das prors subevas são as segunes: [ ] Combnando o modelo y N x ( c y + ( ( I ~ + com a pror k d ~ N m k + é fácl verfcar que [ ] ~ N( u C onde C { } = IK+ + 4 x c d x+ c d e { u = C 4 x c d y + m}. 9 Amosrar 9 é mas smples. Prmero defnmos = y x+ c d de modo que ( ~ N e porano p

18 BOLETIM ISBRA Seembro 4 6 [ c] & = ( + +< ~ GI T / s /. As condconas compleas de e c não êm forma fechada. Como sugerdo na seção amosramos e c conunamene usando o algormo de Meropols-Hasngs com a segune proposa de ( ( ransção: * ~ G = = e ( ( c c * ~ N c = onde ( e ( c são valores correnes de e c. Denoa-se G ( densdade da G( a b no pono x e f ( x a b a densdade da ( N * * O par ( c f x a b a N a b no pono x. é aceo com probabldade gual ao mínmo enre a undade e & onde ( + ( ( + ( ( ( ( * / = * / = * ( ( ( / = / = ( ( ( ( T * * * * f N y x c d f G a b fn c mc = c T f f N y x c d G a b fn c m = c c verossmlhança fg fg proposa Analogamene as condconas compleas a poseror calculadas a parr das prors não nformavas são: pror [ ] Combnando o modelo y ~ Nk+ ( x ( c yd ( ~ Nk ( exp N [ ] ~ N ( * * k+ u C onde C * ( = x c y d x+ c y d +< u * ( x c y d y + com a pror + emos que 4 = < 4 e < é uma marz de dmensão ( k + k + al que < = (5 N exp A marz N pode ser a marz dendade o um múlplo dela. Nese argo nos consderamos a prmera opção. Do modelo (3 em se que ( y x+ c yd Assm combnando com a pror não 8 = emos que [ c] nformava =. ( + ~ GI ( T + k + / exp ( + / 4. De novo amosramos e c conunamene usando o algormo de Meropols-Hasngs usando as segunes proposas de ransção: ( ( * ~ G / = / = e * ( c ~ Nr[ ]( c = c a cb c & = onde ( e ( c são os valores correnes de e * * c. A probabldade de aceação do par ( c é o mínmo enre a undade e & al que: ( ( exp ( ( ( exp( T * * * * f N fn N 8 8 c = T = N N ( ( 8 ( 8 ( c ( f ( * / * G y / y f f N ( cb c ca c > > = = = c = c * * c * * b c ca c ( > > fg ( / = y / = y = c = c onde * * * y x+ ( c yd ( ( ( = y x+ ( c yd e = >? é a função de probabldade da dsrbução normal padrão. Inferênca sobre o parâmero de reardo d é bem smples. Sea p( d a probabldade a pror de um parcular valor de d enre e d m.a dsrbução a poseror condconal para d é p d y 5 p y d p d que pode ser rvalmene calculado para odos os valores de d. Dessa forma ( d formam o novo veor de parâmeros. Após a convergênca das cadeas de Markov enham sdo alcançadas a seqüênca ( ( M d d... d represena uma amosra da poseror margnal de d. e. Pr ( d y. 3. RJMCMC em modelos LSTAR(k Proposas para a ncorporação de k denro de uma modelagem compleamene Bayesana á exse na leraura. Hueras e Lopes ( por exemplo analsam a produção ndusral braslera aravés de um modelo AR(k onde k = c+ s so é c pares de raízes complexas conugadas e s raízes reas para c e s e por ano k desconhecdos. Troughon e Godsll (997 sugere um algormo RJMCMC para modelos auoregressvos de ordem k AR(k. Generalzamos o rabalho de Troughon e Godsll (997 ao propor um algormo RJMCMC (Green 995 que perma a ncorporação de k no veor de parâmeros em modelos LSTAR(k. No caso do modelo LSTAR(k o veor de k + defndo em ( parâmeros de dmensão é amosrado de acordo à ordem de auoregressão k. Porem amosrar a ordem k mplca câmbos no espaço paramérco do modelo. A déa é usar movmenos de > = c d permanece salos reversíves onde nvarane durane o movmeno. Supondo que num > k deermnado passo do algormo RJMCMC em-se o algormo ccla de acordo com os segunes passos: Passo I: Amosra-se uma nova ordem k+ a parr da q k+ k proposa

19 Ι BOLETIM ISBRA Seembro 4 7 Passo II: Amosra-se poseror p ( k+ ( y k > da condconal complea a + (Seção 3 Passo III: Calcula-se a probabldade de aceação {( k+ ( k : ( k+ ( k } ( k ( k & + Passo IV: Move-se para + com probabldade &. A probabldade de aceação do movmeno é obda por ( k+ y > ( k p ( k q( k k p y k >! k k+ ; + + ; &{( k : ( k+ } = mn ( k ( k+ # (6 ; p( k y > q( k+ k p y k+ > ; que pode ser smplfcada a parr da fórmula do canddao (Besag 989 ( k ( k+ ; p k+ y > q k k+!; &{( k : ( k+ } = mn # ; p( k y > q( k+ k ; Condconal a > a probabldade a poseror para a ordem do modelo p( k y > pode ser reescra por p( k y > p( k p( y k > p k d (7 5 (8 Conseqüenemene de acordo ao po de pror ulzada (subevas e obevas nesse ordem enconramos as segunes expressões. T ( k+ k T T T! p( k y > 5( 8 C exp ( y y+ mm uc u ( k # T k + k + * * * * ( ( ( exp T T! p k y > C exp y y+ u C u # onde * u * u C 4 Volaldade Esocásca e * C são defndos na seção 3. Um dos modelos mas smples para a volaldade esocásca de séres fnanceras assume que o reorno y y h ~ N h e a varânca evolue são as que emporalmene segundo o processo AR( ( ( ~ N > + > > 9 para = log h. permr que Nessa seção generalzamos esse modelo básco ao ~ LSTAR p ou sea que o logvolaldade evolua segundo um modelo logísco auoregressvo de ransção suavzada de ordem p. O obevo é fazer nferênca sobre o logarmo da varânca das observações para cada empo e os parâmeros do modelo LSTAR(p. Ese problema pode ser faclmene y h ~ N h e ( raado se observarmos que ( ~ N g 9 formam um modelo dnâmco não-normal e não lnear (Wes e Harrson 997 onde (... = p d e a evolução do ssema é dada por g p p ( ( F ( ( c = > + > + > + > d 4= 4. = Inferênca sobre h... ht é obda aravés do algormo MCMC proposo por Jarquer Polson e Ross (994 para o caso do modelo de volaldade esocásca smples. A nferênca sobre (do modelo LSTAR é fea aravés do algormo proposo na Seção. Mas especfcamene a condconal complea para cada um dos é al que ( ( p ( p y 5 p y p. = + ( * ~ N Ulzamos como proposa escolhdo convenenemene. 5 Aplcações = para = Nesa seção apresenamos alguns esudos e aplcações a séres fnanceras para esar a modelagem proposa e sua aplcabldade a suações reas. 5. Exemplo : Sere Smulada Smulamos uma sére de amanho segundo a segune esruura LSTAR(: y =.8y.6y + (..9y +.795y F( y + (9 onde exp{ } F yd = + y. ~ N.. O gráfco da sére smulada é mosrado na Fgura (. Num prmero analse consderamos prors subevas para os parâmeros do modelo. Fazendo 5 erações escolhemos as esmavas condconadas a k = e d = as cadeas smuladas para esses parâmeros foram de amanho 4997.O parâmero de reardo d como mas ala probabldade a poseror fo d = cua probabldade a poseror Pr ( d = y fo esmada em A abela ( apresena médas e desvos-padrões das dsrbuções margnas a poseror. As médas a poseror foram calculadas com as úlmas 498 erações. e Fgura Num segundo analse usando prors não nformavas defndas na Seção 3 esamos o algormo RJMCMC como um méodo alernavo para a seleção de Par Valores Esmava Par. Valores Esmava -.8 (...3 ( ( ( ( ( (4.947 c..69 ( (.6 Tabela : Médas a poseror para os parâmeros do modelo LSTAR ( obdos va MCMC como em (9 com cadeas de amanho 498. As quandades enre parêneses são os desvos-padrões. modelos a abela ( apresena a probabldade a poseror da ordem do modelo. Segundo esses resulados o algormo eve uma óma performance na escolha do ordem da auo-regressão k. d k 3 p( k y

20 BOLETIM ISBRA Seembro 4 8 Tabela : Resulados do algormo RJMCMC. A coluna p( k y represena as medas a poseror da ordem do modelo. Tamanho das cadeas. 5. Exemplo. Indusral Producon Index (IPI US Analsamos a sere Índce de Produção Indusral (IPI dos Esados Undos enre os anos 96-. A sére orgnal é re-paramerza com a ransformação logarmo além dsso ransformamos a sere em dados rmesras usando a meda. Por úlmo pegamos a quara dferenca dos dados a fm de er uma sére esaconara e remover algum po de sazonaldade. A sére resulane é mosrada na Fgura ( Ausamos os dados usando o algormo RJMCMC consderando prors não nformavas. A fgura (3 p k y o mosra a densdade margnal a poseror máxmo é esmado em k = 5 por ano escolhemos um modelo LSTAR(5 para modelar os dados. O parâmero d esmado é 3 com probabldade a poseror.994. (.5 (.8 (.4 (.47 (.5 (.85 y = y.4 y +.5 y.65 y +.54 y (.5 (.99 (6 (.97 (69 ( y.53 y.4 y +.4 y.488 y (6.44 (.9! + exp 96.58y ˆ # + =.9 d k 3 4 p( k y Tabela 3: Resulados do algormo RJMCMC para a sere IPI-US. A p k y represena as medas a poseror da ordem do modelo. coluna Tamanho das cadeas 5. Fgura Fgura 3 Usamos o modelo esmado com k = 5 e d = 3 para fazer prevsão no período :-4:. Da abela (3 observamos que os modelos com k = 4 e k = 6 em ambém ala probabldade a poseror assm uma alernava para fazer prevsão é usar uma msura dos modelos com k = { 456} e d = 3. Nese caso os valores prevsos serão ponderados pela probabldade a poseror de k ( ( P k y. Na leraura ese méodo é conhecdo como Msura Bayesana de Modelos (MBM. Para mas dealhes sobre ese méodo ver por exemplo Rafery Madgan e Hoeng (997 Clyde (999 e Hoeng Madgan Rafery e Volnsky (999. A fgura 4 mosra os valores prevsos usando o modelo com k = 5 e d = 3 e para a msura de modelos com ala probabldade a poseror de k. De acordo com a fgura (4 a msura de modelos produz prevsões mas acuradas para o curo prazo para a sére de IPI-US. Uma possível explcação para essa melhora na prevsão quando combnamos os város modelos provem do fao que odos os modelos esudados são de uma forma ou de oura superparamerzados e que ndvdualmene sofrem de "overfng" que em geral produz baxa capacdade predva apesar de audar razoavelmene bem os modelos denro da amosra. Fgura Exemplo 3. IBOVESPA A sére IBOVESPA índce da bolsa de valores do esado de São Paulo coném 678 observações regsradas daramene enre //995 e //. Ulzamos esses dados para modelar a volaldade esocásca usando a ransformação logarmo das prmeras dferenças ou sea os log-reornos. Nese caso modelamos a log-volaldade usando um modelo LSTAR com duas defasagens. A nferênca se baseou em 5 erações obdas a parr do algormo MCMC após descarar as 5 erações ncas. Usando prors obevas no processo nferencal obvemos que a méda a P d = y =.67 a poseror para d = fo a maor ( abela (4 mosra os parâmeros esmados do modelo SV- LSTAR(. As esmavas das volaldades dos logreornos são apresenados na Fgura (5 unamene com a sére dos log-reornos. Fnalmene a Fgura (6 mosra o comporameno da função de ransção esmada das logvolaldades ao longo do empo. Par. Med. Pos. Par. Med. Pos..457 ( (..55 (.85.( ( ( (.7 c -848( (.5 Tabela 4: IBOVESPA: Médas a poseror dos parâmeros do modelo SV-LSTAR( dos log-reornos quando d = ( P( d = y =.67 quandades enre parêneses são os desvos-padrões. As A sére IPI-US pode ser obda no se: hp:// Fgura 5

21 BOLETIM ISBRA Seembro 4 9 Fgura 6 6 Conclusões O méodo de esmação proposo para o modelo LSTAR(k em geral apresena resulados sasfaóros. O algormo RJMCMC mosra-se como uma alernava efcene para a seleção de modelos não lneares. A convergênca dos algormos MCMC é rápda. Os esudos smulados mosram que o méodo de esmação funcona e pode ser auomazado para uso em suações prácas. O algormo RJMCMC proposo nesse argo possbla a esmação conuna de odas as quandades desconhecdas do modelo nclusve sua própra dmensão. Sua mplemenação é relavamene smples e bons resulados de convergênca foram observados. Enreano o algormo não deve ser vso somene como uma alernava para a seleção de modelos mas como uma ferramena adconal a ser ncluída na vasa caxa de ferramenas dos méodos de seleção e comparação de modelos á exsenes. Por ouro lado a modelagem proposa para a volaldade esocásca oferece uma generalzação para os modelos para o log-volaldade aualmene ulzados. O processo de esmação pode ser nese caso um pouco mas complexo dado que a cada eração do MCMC em que se calcular além dos parâmeros do modelo LSTAR os valores da log-volaldade (esados para cada nsane no empo. Todos os programas foram feos usando o pacoe Ox Referêncas Besag J. (989. A canddae s formula a curous resul n Bayesan predcon. Bomerka 76( 83. Chan K. S. e Tong H. (986. On esmang Thresholds n auoregressve models. Journal of Tme Seres Analyss O pacoe pode ser obdo lvremene no se: hp:// Clyde M. (999. Bayesan model averagng and model search sraeges (wh dscusson. Em J. Bernardo A. Dawd J. Berger e A. Smh (Eds. Bayesan Sascs 6 (pp Oxford Unversy Press.

22 BOLETIM ISBRA Seembro 4 Gamerman D. (997. Markov Chan Mone Carlo: Sochasc smulaon for Bayesan nference. London: Chapman & Hall. Gelfand A. E. e Smh A. M. F. (99. Samplng-based approaches o calculang margnal denses. Journal of he Amercan Sascal Asocaon Glks W. R. Rchardson S. e Spegelhaler D. J. (Eds.. (996. Markov Chan Mone Carlo n Pracce (3rd ed.. London: Chapman & Hall. Green P. J. (995. Reversble ump Markov chan Mone Carlo compuaon Bayesan model deermnaon. Bomerka 57( Hasngs W. R. (97. Mone Carlo samplng mehods usng Markov chans and her aplcaons. Bomerka Hoeng J. A. Madgan D. Rafery A. E. e Volnsky C. T. (999. Bayesan Model Averagng: A Tuoral. Sascal Scence Huera G. e Lopes H. (. Bayesan forecasng and nference n laen srucure for he brazlan ndusral producon ndex. Brazlan Revew of Economercs 6. Jarquer E. Polson N. e Ross P. (994. Bayesan analyss of sochasc volaly models (wh dscusson. Journal Bussnes of Economercs Sascs ( Lubrano M. (. Nonlnear economerc modelng n me seres. Helsnk: Cambrdge Unversy Press. (Proceedngs of he Elevenh Inernaonal Symposum n Economc Theory Luukkonen R. (99. On lneary esng and model esmaon n nonlnear me seres analyss. Helsnk: Fnsh Sascal Socey. Luukkonen R. Sakkonen P. e Ter asvra T. (988. Tesng lneary agans smooh ranson auoregressve models. Bomerka Meropols N. Rosenbluh A. W. Rosenbluh M. N. Teller A. H. e Teller E. (953. Equaon of sae calculaons by fas compung machne. Journal of Chemcal Physcs Rafery A. E. Madgan D. e Hoeng J. A. (997. Bayesan model averagng for lnear regresson models. Journal of he Amercan Sascal Assocaon Rober C. e Casella G. (999. Mone Carlo sascal mehods. Sprnger-Verlag. Ter asvra T. (994. Specfcaon esmaon and evaluaon of smooh ranson auoregressve models. Journal of he Amercan Sascal Assocaon 89( Troughon P. T. e Godsll S. J. (997. A reversble ump sampler for auoregressve me seres employng full condonals o acheve effcen model space moves (Tech. Rep. No. CUED/F-INFENG/TR.34. Deparmen of Engneerng Unversy of Cambrgde. Wes M. e Harrson J. (997. Bayesan Forecasng and Dynamc Models (nd ed.. New York: Sprnger Verlag. Funções de Transferênca em Modelos Dnâmcos Lneares Generalzados Bayesanos Marane Branco Alves IME-UERJ / IM-UFRJ Dan Gamerman IM-UFRJ Marco Anono Rosa Ferrera IM-UFRJ Resumo O presene rabalho em por obevo a modelagem da dnâmca do efeo de covaráves X sobre uma varável resposa Y com dsrbução na famíla exponencal. Supõe-se que as varáves envolvdas no problema seam observadas emporalmene. A meodologa empregada é modelagem dnâmca bayesana com esmação baseada em médas e nervalos de credbldade a poseror. Como a varável resposa em dsrbução perencene à famíla exponencal somos levados à classe dos modelos dnâmcos lneares generalzados. Nesa classe de modelos não se obém forma analíca fechada para a dsrbução a poseror dos parâmeros de neresse. Para aproxmação da nformação a poseror são ulzados méodos de Mone Carlo va cadeas de Markov. Em parcular obeva-se avalar a sgnfcânca e a forma do efeo defasado de regressoras sobre Y propondo-se para ese fm o uso de funções de ransferênca. Os modelos proposos são aplcados a dados smulados para resposas Posson Bnomal e Gama. Fnalmene como lusração da meodologa adoada um modelo

23 BOLETIM ISBRA Seembro 4 Posson é aplcado a dados reas de polução em São Paulo de forma a avalar o mpaco ao longo do empo do poluene Monóxdo de Carbono sobre a moraldade nfanl por causas respraóras naquela merópole. Inrodução Obeva-se nese rabalho modelar o mpaco de uma varável regressora X sobre uma varável resposa Y cua dsrbução perença à famíla exponencal. Supõe-se que odas as varáves envolvdas no problema seam observadas por T períodos de empo. O foco prmordal de aenção reca sobre a análse dos efeos cumulavos da regressora (ou de um conuno de regressoras sobre Y aravés do empo. A movação para ano é a consaação de que muas vezes o efeo de varáves explcavas sobre a resposa não se faz senr apenas medaamene levando-nos a avalar o período e a forma de perssênca das mesmas. Na maora das aplcações que consderam efeos passados de covaráves sobre a resposa um número máxmo de defasagens é fxado para a regressora com base em alguma análse préva. Se o efeo da varável persse por um período razoável em-se algumas vezes modelos com muos parâmeros para medr al mpaco. Fazemos uso de funções de ransferênca para ese fm. A ulzação dessas funções perme de forma parcmonosa e basane flexível modelar dversas formas de mpaco de X sobre Y Como poderá ser vso adane a adoção de funções de ransferênca geradas a parr de formas auoregressvas perme que com poucos parâmeros avale-se mpacos anos nsanes fuuros quano se desee e assm o período de perssênca da regressora dexa de ser prefxado passando a ser esmado no própro modelo proposo. As funções de ransferênca são nserdas como blocos esruuras nos modelos proposos que perencem à classe dos modelos dnâmcos lneares generalzados. Ese rabalho esá organzado da segune forma: na seção é fea uma breve descrção da classe de modelos lneares generalzados e ressalada sua uldade para a modelagem de dados cua dsrbução sea membro da famíla exponencal. Na seção 3 descrevemos sucnamene os modelos dnâmcos lneares desacando-os como uma boa opção para a modelagem de séres emporas. A eora de funções de ransferênca ambém é revsada nesa seção. Em seguda na seção 4 os modelos dnâmcos lneares generalzados são aponados como uma exensão naural ano para os modelos lneares generalzados (no sendo de raar a correlação seral e permr a evolução dos parâmeros quano para os modelos dnâmcos lneares (no sendo de ausar varáves com dsrbução não Gaussana. A abordagem nferencal aqu ulzada é bayesana e envolve o cálculo de negras que nem sempre podem ser obdas analcamene. Aproxmações para esas negras são obdas por meo de méodos de smulação de Mone Carlo va Cadeas de Markov (MCMC dscudos na seção 5. Na seção 6 os modelos descros são aplcados a exercícos com dados smulados para resposas com dsrbução Posson Bnomal e Gama. Fnalmene na seção 7 o modelo Posson é ausado a dados reas de moraldade nfanl por doenças respraóras em São Paulo no período de 994 a 997. Modelos Lneares Generalzados Um modelo lnear generalzado [9] é defndo por observações cua dsrbução de probabldade sea membro da famíla exponencal por um conuno de covaráves ndependenes às quas é aplcada uma esruura lnear e anda por uma função de lgação que esabelece a relação enre a méda da varável resposa e as covaráves. Se Y é a varável resposa e F é o veor de covaráves no nsane em-se enão a segune esruura para o modelo lnear generalzado: yα b( Α p( y Α 5 exp =... T ( > Α [ ] b µ = EY Α = Α. é o parâmero naural da dsrbução b denoa a prmera dervada de b e a relação enre a méda µ e o veor de regressoras ( n no nsane F paramerzada pelo veor desconhecdo e dada por: g µ = F+ onde g é uma função não lnear especfcada. Embora essa classe de modelos sea basane ampla exsem lmações nerenes a esa prncpalmene no que ange à dependênca enre as observações. Supõe-se nos modelos lneares generalzados que oda a esruura de correlação enre as observações Y Y... YT esea guardada no parâmero (ou veor paramérco ;assm condconalmene a as observações são suposas ndependenes. Porano em suações nas quas haa correlação enre as observações como ocorre em aplcações de séres emporas o uso deses modelos pode compromeer a valdade das nferêncas realzadas. 3 Modelos Dnâmcos Lneares Os Modelos Dnâmcos Lneares [3] consuem uma boa opção para se consderar formalmene a correlação emporal enre as observações. Tas modelos são expressos de forma herárquca. No prmero nível da herarqua em-se a equação observaconal que relacona a varável resposa ao veor F de regressoras no nsane por meo de uma forma lnear que pode ncorporar é

24 BOLETIM ISBRA Seembro 4 componenes esruuras as como endênca sazonaldade e as funções de ransferênca adoadas nese rabalho: Y = F+ + N < ( Na esruura acma em-se o veor de parâmeros evolundo ao longo do empo ao conráro do que ocorre nos modelos lneares generalzados em que eses são mandos fxos. Em um segundo eságo na herarqua do modelo em-se a equação de evolução que descreve o comporameno emporal e esocásco dos coefcenes de regressão: G u u N( W onde G é uma marz de ransção ( n n W é uma marz de covarâncas ( n n. = + (3 conhecda e No conexo bayesano o modelo complea-se N a R e com a com uma densdade a pror hpóese de que os erros u e seam seral e muuamene ndependenes. Pode-se faclmene acrescenar ouros níves à herarqua do modelo e arbur densdades a pror a hperparâmeros. Tradconalmene a nferênca sobre os modelos dnâmcos lneares é fea seqüencalmene. Prmeramene a nformação ncal sobre os parâmeros de neresse é resumda em sua densdade a pror. Uma hpóese usual é a de que o modelo sea fechado a nformações exernas ou sea exceuando-se a nformação conda na densdade a pror oda a nformação relevane é razda somene pela verossmlhança. Desa forma a nformação dsponível D = D y Combnando-se por no nsane é { } meo do eorema de Bayes a densdade a pror à verossmlhança obda aravés do modelo posulado para os dados obém-se a cada nsane a densdade aualzada para os parâmeros de neresse chamada densdade a poseror. Esa por sua vez é usada para a consrução da densdade a pror no nsane segune. Esse processo de aualzação é resumdo a segur. Incalmene obém-se a densdade a pror 8 ( D = 8 ( 8 ( D d (4 onde 8 ( é obda aplcando-se a equação de evolução e 8 ( D é a densdade a poseror do nsane aneror. O processo de aualzação dos parâmeros complea-se ao se ober a densdade a poseror a parr do eorema de Bayes: 8 ( D 5 p( y 8 ( D (5 O obevo prmordal em dversas análses e em parcular em análses envolvendo séres emporas é a prevsão de valores fuuros do processo modelado. Uma vez que se deermne a densdade a pror para o nsane a dsrbução predva é obda faclmene da segune forma: ( ( ( p y D = p y 8 D d (6 Se < W ou elemenos de F e G forem desconhecdos ou mesmo se a dsrbução de Y_{} não for Gaussana as equações (4 (5 e (6 não êm solução analíca devendo-se recorrer a méodos compuaconas de aproxmação para obenção desas Funções de Transferênca O veor de parâmeros de esado coném para cada nsane odas as quandades relevanes para a explcação da função de resposa méda por meo de uma regressão. Pode-se er nserdos em por exemplo blocos de endênca sazonaldade e covaráves. Nese rabalho desea-se avalar em parcular de que forma o efeo dos níves passados de covaráves é refledo sobre o processo de neresse em nsanes fuuros. Alguns exemplos são os efeos de: uma campanha de vacnação sobre o número de casos de uma doença elevações nos níves de deermnados poluenes sobre o número de óbos ou nernações hospalares uma campanha publcára sobre o volume de vendas de cero produo níves de chuva sobre o fluxo de um ro e ec. Para ano um dos blocos esruuras a nserr nos modelos dnâmcos lneares generalzados é o de efeos passados e presenes de covaráves. Tas efeos são modelados aqu por meo de funções de ransferênca []. A abordagem aqu adoada é a escolha de formas paramércas que reflam a dnâmca do mpaco das covaráves parcmonosamene. Esas funções podem er as mas varadas formas ndo desde um efeo de mpaco nsanâneo passando por formas de decameno exponencal aé formas de efeos que crescem aé angr valor máxmo volando a decrescer poserormene. Passamos enão a descrê-las. Suponha-se que a relação enre Y e ser represenada da segune forma: ou r ( B... rb Y = s = ( B... sb Xb b b+ b+ s = (... s B B B X b X possa BY= BBX =Β B X (7 onde B é o operador defasagem ou sea BY = Y. Alernavamene pode-se represenar a relação enre Y e X. aravés de um flro lnear: = Y v X v X v X Β( B = ( B = v( B X (8

25 BOLETIM ISBRA Seembro 4 3 O polnômo v B = v + v B+ v B + é a... função de ransferênca enre Y e X. Os pesos v v v... ue aparecem na função de ransferênca são denomnados função de resposa ao mpulso. O flro (8 é do esável se para v B é convergene. B Consderemos por exemplo a função de ransferênca obda da esruura AR( que passaremos a denomnar função de prmera ordem: Y = Y + BX (9 Resolvendo a equação a dferenças acma por subsuções recursvas em-se: Y = X + X + X +... Suponhamos > (. O formao das funções de resposa ao mpulso e de ransferênca dependerá dos valores do parâmero auoregressvo. Enão eremos os segunes comporamenos para a função de resposa ao mpulso: < < : decameno geomérco < < : decameno geomérco com alernânca de snal > : crescmeno geomérco < : crescmeno geomérco com alernânca de snal s r+ valores sem padrão deermnado (se s< r as valores não ocorrem Valores v com Χ b+ s r+ segundo o padrão dado pela equação a dferenças de ordem r. Raízes dsnas e reas do polnômo auoregressvo de ordem r geram comporamenos de decameno exponencal raízes dsnas e complexas fornecem ermos senodas e raízes guas fornecem ermos polnomas. Porano a função de reposa ao mpulso será uma msura de ermos exponencas polnomas e senodas dependendo do esudo das raízes do polnômo auoregressvo. Esas dferenes formas preconzam modelos dferenes para os efeos de mpaco sobre a sére esudada que podem ser comparados. A fgura ( lusra os comporamenos de funções de ransferênca geradas de esruuras com r = s = Claramene a forma gerada para as funções depende do comporameno das soluções da equação a dferenças que as defne. Dealhes sobre a solução de equações a dferenças podem ser obdos em Hamlon [5]. Ao se subsur a equação (8 em (7 obém-se a segune dendade r ( ( B... r B v vb vb... s b = ( B... sb B = ( De acordo com Box e Jenkns [] equaconando-se ( em B em-se: < b ; ; v + v +... ; + rvr + = b ; ; v + v +... v = ; + rvr + b = b + ;... b+ s ; ; v + v +... ; + rvr > b+ s Assm de forma geral o comporameno da função de resposa ao mpulso gerada por polnômos no operador defasagem de ordens r e s aplcados a Y e b BX respecvamene consse em: Fgura : Exemplos de funções de resposa ao mpulso e de ransferênca (Fone: Box e Jenkns 994 B valores nulos v v vb

26 BOLETIM ISBRA Seembro 4 4 Box e Jenkns [] propõem um procedmeno de denfcação de funções de ransferênca baseado na função de correlação cruzada enre a regressora X e a resposa Y para o caso em que há apenas uma regressora. Edlund [9] faz uma revsão de méodos de denfcação das funções de ransferênca e esende o procedmeno de denfcação para o caso em que há mas que uma regressora envolvda no problema. Nese rabalho não será fea denfcação préva de funções de ransferênca. Ao nvés dsso preende-se em aplcações fuuras ausar dversas funções de ransferênca propondo varadas formas de mpaco de X sobre Y e com base em algum procedmeno de seleção enre modelos como por exemplo os proposos por Spegelhaler e al [] e por Gelfand e Ghosh [] escolher aquela que melhor reflee a relação enre os dados analsados endo como créro não só a qualdade do ause mas ambém a parcmôna do modelo escolhdo. 4 Modelos Dnâmcos Lneares Generalzados Embora os Modelos Dnâmcos Lneares seam aplcados com sucesso a dversas suações em que se desea raar a dependênca emporal enre osbservações eses anda apresenam algumas lmações. Talvez sua maor resrção resda na hpóese de que o processo a ser modelado sea Gaussano como pode ser vso na equação (. Em algumas suações faz-se necessára enão uma classe de modelos que esenda os modelos lneares generalzados no sendo de permr a evolução emporal dos parâmeros de esado e que concomanemene esenda os modelos dnâmcos lneares no sendo de permr a modelagem de processos não Gaussanos. Tal exensão formalzada por Wes Harrson e Mgon [4] e denomnada modelos dnâmcos lneares generalzados é obda combnando-se a esruura observaconal dos modelos lneares generalzados à esruura evoluconal dos modelos dnâmcos lneares: a equação de observação ( é subsuída pela equação ( que compreende observações em oda a famíla exponencal e a relação enre a méda do processo (ransformada va função de lgação e o efeo das covaráves passa a ser descra por uma regressão dnâmca: g µ = F+ onde µ E[ y ] b( Α = =. O modelo complea-se com a equação (3 que descreve a evolução dos parâmeros uno a uma pror para. Na classe dos modelos dnâmcos lneares generalzados como menconado na seção 3 enconrase dfculdades para a obenção das equações (4 (5 e (6 de forma exaa devdo à verossmlhança não ser necessaramene Gaussana. Wes Harrson e Mgon [4] aproveam a déa descra em Mgon [8] e ulzam Lnear Bayes rabalhando apenas com o prmero e o segundo momenos da dsrbução de D para aproxmação desas negras. Para conornar o problema de esmação da varânca de evolução ulzam faores de descono. Sngh e Robers [] azem uma aproxmação aravés da equação observaconal modfcada y = F+ + N V ( onde e modfcadas ( ( µ ( µ ( µ y = y = y + y g (3 ( ( Α ( µ V = b g. (4 Os valores das observações e varâncas y e V são defndos seqüencalmene e Y aravés da dependem da dsrbução orgnal de função de lgação do modelo adoado consundo-se em úlma nsânca em uma aproxmação lnear para as observações y em orno da méda µ. Ferrera e Gamerman [7] fazem uma revsão basane dealhada de dversos méodos para aproxmação da densdade a poseror nos modelos dnâmcos lneares generalzados e propõem o uso de méodos de Mone Carlo va Cadeas de Markov para ese fm. Além dos problemas envolvdos na esmação de modelos dnâmcos com dsrbução na famíla exponencal o uso de funções de ransferênca acarrea não-lneardade. Pole [] consdera modelos de função de ransferênca de prmera ordem com resposa Gaussana. Nesse caso a não-lneardade no parâmero auoregressvo da função de ransferênca orna (4 (5 e (6 nraáves analcamene. A solução adoada por Pole enão é uma varação dnâmca do méodo de quadraura Gaussana rabalhando-se com grades aualzadas seqüencalmene para o parâmero auoregressvo e usando o fao de que condconalmene a ese parâmero o modelo é lnear. A abordagem adoada no presene rabalho é a obenção de amosras da poseror ulzando méodos de smulação esocásca va Cadeas de Markov. Por meo do uso deses méodos pode-se faclmene conornar o problema de não normaldade da resposa e de não-lneardade nos parâmeros auoregressvos das funções de ransferênca. Alguns aspecos sobre a aplcação desses méodos são dscudos a segur. 5 Mone Carlo va Cadeas de Markov Um dos focos prncpas do processo de nferênca Bayesana é a deermnação da densdade a poseror dos parâmeros de neresse. Nos modelos dnâmcos lneares generalzados esa densdade é dada por: T! 8 (... T W 5 p( y # = T! 8 ( # =

27 BOLETIM ISBRA Seembro 4 5 W 8 8 (5 W = W consane e F e G onde assummos conhecdos. Aqu serão ulzados os méodos de Mone Carlo va Cadeas de Markov (MCMC [] para aproxmação da dsrbução acma. Os méodos MCMC conssem na consrução de uma cadea de Markov que sob deermnadas condções enha como dsrbução esaconára a densdade da qual se desea gerar valores; nese caso em parcular a densdade a poseror (5. Assm uma vez que se verfque que a convergênca da cadea gerada enha sdo angda pode-se ulzar os valores desa (obdos após convergênca como amosra da dsrbução esaconára. Toda a nferênca sobre essa densdade é fea enão de forma empírca. Por exemplo para obenção da esmava do valor esperado a poseror oma-se a méda da amosra gerada ou para obenção de nervalos de credbldade omam-se os percens adequados na amosra gerada. Os algormos MCMC mas usuas em aplcações de nferênca bayesana são o amosrador de Gbbs e o algormo Meropols-Hasngs []. O amosrador de Gbbs é úl quando não se consegue gerar valores da densdade conuna dos parâmeros de neresse mas as densdades condconas compleas deses parâmeros são conhecdas e a geração de valores das mesmas é possível. O algormo de Gbbs procede da segune forma: Propõem-se valores ncas para odos os parâmeros de neresse. Geram-se valores das densdades condconas compleas de cada um dos parâmeros sempre condconando-se ao úlmo valor gerado de cada um dos demas parâmeros. Repee-se o passo aé que a convergênca da cadea enha sdo angda. Em geral nos modelos dnâmcos lneares generalzados não se consegue amosrar das densdades condconas compleas de odos os parâmeros de neresse. Neses casos pode-se nserr passos Meropols-Hasngs no algormo de Gbbs. O algormo Meropols-Hasngs é úl para a geração de valores daqueles parâmeros cuas densdades condconas compleas não enham forma conhecda. Ese algormo procede da segune forma para geração de um valor da densdade condconal complea ( 8 de um parâmero qualquer no nsane :. Gera-se um valor * ( q * e um núcleo de ransção Se a densdade de neresse é 8... k enão a densdade condconal complea para ( k 8 é ( 8 =. Acea-se o valor gerado com probabldade ( * / q ( * / q ( * 8! ; ; mn # (6 ; 8 ; onde 8 é a densdade condconal complea de para =... T. Insere-se ese procedmeno no passo do amosrador de Gbbs para geração dos parâmeros que não apresenem densdades condconas compleas conhecdas. 5. Esraéga de Amosragem e Escolha de Densdades Proposas Ao se ulzar os algormos MCMC para a esmação de modelos de espaço de esados surgem algumas quesões. A prmera delas é a forma de aualzação dos parâmeros esruuras. A esraéga mas naural para aualzação dos parâmeros esruuras é a geração ndvdual de valores deses como por exemplo em Carln e Soffer [3]. Enreano a correlação enre valores vznhos dos parâmeros faz com que a convergênca nese po de esraéga orne-se lena. Exsem dversas proposas para se conornar ese problema. Carer e Kohn [4] e Frühwrh-Schnaer [8] propõem a geração smulânea de odos os parâmeros de esado ulzando o amosrador de Gbbs e obêm resulados efcenes. Knorr-Held [7] propõe uma solução nermedára enre a geração ndvdual e a geração smulânea de odo o veor de parâmeros esruuras parconando-o em blocos cuos amanhos podem varar (deermnísca ou esocascamene de a T. A meodologa empregada faz uso de gerações dos parâmeros esruuras va algormo Meropols- Hasngs e Knorr-Held [7] relaa bons resulados ao permr varação esocásca dos amanho dos blocos a cada eração do algormo. A abordagem aqu adoada é aquela proposa por Gamerman [] Para conornar o problema de correlação nerene aos parâmeros de esado e omzar a convergênca da cadea Gamerman faz uso da relação bem defnda enre eses parâmeros e os erros de evolução descra pela equação (3. A amosragem é fea sobre eses úlmos µ que a pror não são correlaconados usando movmenos ndvduas. O cuso compuaconal envolvdo resde usamene na necessdade de a cada eração calcular os valores dos parâmeros de esado a parr do acúmulo dos valores gerados para os erros de evolução. Como menconado anerormene em geral não se obém forma fechada para as densdades condconas compleas de odos os parâmeros envolvdos no problema o que leva à adoção de passos Meropols-Hasngs denro do amosrador de Gbbs e porano à escolha de densdades proposas para geração. Em Knorr-Held [7] por exemplo cada bloco de parâmeros é gerado de uma densdade a pror auoregressva Gaussana com momenos conhecdos. Segundo Knorr-Held a escolha dessa

28 BOLETIM ISBRA Seembro 4 6 densdade proposa é basane vanaosa vso que esa reflee a esruura de auocorrelação exsene enre os parâmeros; além dsso como as gerações são feas de densdades a pror as razões de aceação reduzem-se a razões de verossmlhança o que facla os cálculos. Na abordagem adoada por Gamerman [] as densdades proposas ulzadas nos passos Meropols- Hasngs são as densdades condconas compleas obdas do modelo de rabalho proposo por Sngh e Robers [] e descro em ( (3 e (4. No presene rabalho alernou-se enre o uso desa úlma proposa à qual passaremos a nos referr como "proposa baseada na verossmlhança" e de proposas defndas por um passeo aleaóro cenrado no valor correne do parâmero de neresse (ou de alguma ransformação do parâmero que o leve à rea real. Ao se ulzar a prmera abordagem preende-se aproxmar a proposa da verossmlhança. Em conraparda como a proposa passeo aleaóro é smérca a adoção desa faz com que as razões de aceação do algormo Meropols-Hasngs smplfquem-se ornando o algormo mas rápdo. 6 Exercícos com Dados Smulados Os modelos rabalhados aé o presene momeno seguem a segune esruura geral: Y FE g µ = & Z & = & + u u N w (7 = + + X onde FE denoa dsrbução na famíla exponencal µ = EY [ Α] X é um veor k-dmensonal de regressoras cuo efeo cumulavo sobre Y se desea esudar Z é um veor m-dmensonal de regressoras para as quas consdera-se apenas o efeo nsanâneo sobre Y e é um parâmero auoregressvo assumndo valores em ( de forma a garanr a esabldade do flro. O modelo complea-se com prors: ( ( m C ( m C & N m C NM NM & & n ns U( N( m C W GI. Essa esruura em como casos parculares: a função de ransferênca de prmera ordem basando que se faça e X escalares; a função de ransferênca gerada pela esruura com polnômos de ordem r = s = k ao se fazer X = ( X X... X k+ uma função de ransferênca conuna para k regressoras com um únco parâmero de decameno para o efeo desas fazendose X = ( X X... X k+ Nosso obevo é ober uma aproxmação compuaconal va MCMC para a densdade a poseror conuna do veor paramérco envolvdo no modelo acma. Segundo a proposa de Gamerman [] subsu-se a geração dos parâmeros esruuras & pela geração de u que a pror não são correlaconados. Espera-se com al procedmeno acelerar a convergênca das cadeas geradas. Deve-se enão aproxmar a densdade a poseror do veor Ε = u... µ + + W : paramérco T T ( Ε Dr 5 p( y Ε ( Ε 8 8 = T T! 5 p( y Ε exp u # = = W W! exp ( u ua # R! exp ( + m C ( m #! exp ( + m C ( m #! exp ( m # C n + ns! W exp #. (8 W Dreamene de (8 em-se que a condconal complea para W é: T u + ns T + n 4 = ( W DT Ε W IG. Os demas parâmeros não possuem condconas compleas com formas conhecdas sendo necessáro porano gerá-los segundo o algormo Meropols-Hasng. ncalmene a esruura acma fo ausada para um conuno de dados smulados com dsrbução de Posson e ulzando apenas uma regressora X.Anda não vemos sucesso na aplcação dese modelo. Pareceu-nos não haver nformação sufcene para esmação dos parâmeros esruuras & pos obvemos nervalos de credbldade muo amplos para eses. O ause dese modelo demanda basane empo compuaconal devdo ao cálculo de & em função de u u... u a cada eração. Decdmos enão smplfcar o problema ornando o nível & consane no empo de forma a verfcar o desempenho da geração dos demas parâmeros para poserormene reornar ao modelo (9. Observe-se que com sso não nos afasamos do obevo prmordal que é o esudo das formas de ransferênca de X sobre Y. Poserormene preendemos conemplar a evolução emporal dos parâmeros esruuras.

29 BOLETIM ISBRA Seembro 4 7 Passamos enão a rabalhar com o modelo: Y FE Α g µ = & Z = + + X (9 & com prors N( m & C & mc ( mc U ( NM ( ( C N m. NM Tem-se enão o veor paramérco Ε = & + + cua densdade a poseror é dada por: T ( Ε DT 5 p( y Ε ( Ε 8 8 = T! 5 p( y Ε exp (& & m& # = C&! exp ( + m C ( m #! exp ( + m C ( m #! exp ( m #. ( C Todo o veor paramérco é gerado pelo algormo Meropols-Hasngs no amosrador de Gbbs. Para avalar o desempenho do modelo (9 foram feas aplcações com dados smulados. Toda a mplemenação do procedmeno de Mone Carlo va Cadeas de Markov fo fea em lnguagem FORTRAN 9. Passamos a descrever as aplcações Resposa Posson Para dados de conagem Posson o modelo (9 assume a segune forma: Y Posson log = & Z = + + X ( & com prors N( m & C & mc ( mc U ( NM ( ( C N m. NM A densdade a poseror para Ε = & + + dada por: T ( Ε DT 5 p( y Ε ( Ε 8 8 = T y! y 5 e exp (& & m& # = C&! exp ( + m C ( m #! exp ( + m C ( m #! exp ( m #. ( C Foram ausados para conunos de dados smulados os segunes casos parculares dese modelo:. Função de ransferênca de prmera ordem Y log Posson ( = & Z = + + X (3 No modelo acma X é a regressora cuo mpaco sobre Y aravés do empo se desea esudar. O modelo de ransferênca é de prmera ordem e como < < osula o decameno do efeo de X sobre Y sendo a "perssênca" desse efeo medda pelo parâmero. Z é uma regressora (ou um conuno de regressoras com mpaco medao sobre Y. Smulamos um conuno de dados composo por 4 anos de observações dáras usando os segunes valores para o veor paramérco: & =. =.3 =. =.3 =.9 =.5. O esquema MCMC para amosragem fo o segune: & e : Gerados de proposas passeo aleaóro cenradas nos valores correnes de cada um deses parâmeros com varâncas calbradas de forma a gerar axas de aceação em orno de 5. : Veor gerado da proposa baseada na verossmlhança defnda pela condconal complea obda do modelo de rabalho ( : Aplcou-se a ransformação. = log gerando-se. de um passeo aleaóro cenrado no valor correne da cadea e com varânca calbrada de acordo com a axa de aceação. A fgura exbe os hsogramas das. úlmas erações da cadea de Markov referene à amosra da poseror de cada parâmero quando se supôs que esas á vessem convergdo. As reas

30 BOLETIM ISBRA Seembro 4 8 raçadas nos gráfcos ndcam os verdaderos valores dos parâmeros. Na fgura observe-se que embora o verdadero valor de & ocalze-se na cauda do hsograma da amosra fnal ese esá de acordo com a densdade a poseror de & que é a curva raceada exbda no gráfco. A fgura 3 exbe a comparação enre os reas valores de e os esmados e algumas esaíscas sumáras das amosras da poseror enconram-se na abela. A parr das amosras da poseror é possível calcular esmavas dos valores esperados a poseror para a função de resposa ao mpulso uno a nervalos de credbldade. A fgura 4 exbe o aumeno percenual em provocado por aumenos no valor de X em relação à sua méda hsórca observada para lags de a 3. Fgura 3: Comparação enre 's esmados e os reas segundo o modelo (3. Fgura : Resposa Posson: Hsogramas das erações fnas das cadeas geradas usando os dados smulados segundo o modelo (3 Fgura 4: Aumenos percenuas em provocados por ncremenos em X em relação à sua méda hsórca segundo o modelo (3. Tabela : Resposa Posson: Esaíscas sumáras da poseror obdas da esmação do modelo (3 & Mínmo º Quarl Medana Méda º Quarl Máxmo Função de ransferênca de ordem r = s = Y log Posson ( = & Z = + X + X Smulamos um conuno de dados a parr desa esruura usando: & =. =.3 =. =.3 (4 =.9 =.5. A função de resposa ao mpulso gerada por essa esruura é exbda na fgura 5. A fgura 6 exbe os hsogramas das. úlmas erações de cada cadea de Markov gerada como aproxmção para a densdade a poseror dos parâmeros envolvdos. Fgura 5: Resposa Posson: Aumenos percenuas em provocados por ncremenos em X em relação à sua méda hsórca segundo o modelo (4

31 BOLETIM ISBRA Seembro 4 9 Fgura 6: Resposa Posson: Hsogramas das erações fnas das cadeas geradas usando os dados smulados segundo o modelo (4 Tabela : Resposa Posson: Esaíscas sumáras da poseror obdas da esmação do modelo (4 & Mínmo º Quarl Medana Méda º Quarl Máxmo Resposa Bnomal Para dados de conagem Bnomal o modelo (9 assume a segune forma: Y Bn n p p log = & Z p = + + X com prors N( m & C & NM ( mc U ( N( m C (5 & NM ( mc. A densdade a poseror para Ε = & + + dada por: T ( Ε DT 5 p( y Ε ( Ε 8 8 = T = y ( p 5 p n y! exp (& & m& # C&! exp ( + m C ( m #! exp ( + m C ( m #! exp ( m #. (6 C 6.3 Resposa Gama Para dados com dsrbução Gama o modelo (9 assume a segune forma: Y ( Gama log = & Z = + + X (7

32 BOLETIM ISBRA Seembro 4 3 com prors G( a l N( m & C & mc ( mc U ( NM ( ( C N m. NM & A densdade a poseror para Ε = & + + dada por: T ( Ε DT 5 p( y Ε ( Ε 8 8 = T ( y = ( T! 5 exp y # 6 = a! exp{ l} exp (& & m& # C&! exp ( + m C ( m #! exp ( + m C ( m #! exp ( m #. (8 C Foram realzados exercícos de smulação para as resposas Bnomal e Gama obendo-se bons resulados no sendo de se consegur aproxmar basane bem as dsrbuções a poseror dos parâmeros de neresse por meo da geração de amosras das mesmas va Mone Carlo por Cadeas de Markov. Passamos enão a aplcar os modleos proposos a conunos de dados reas. Uma desas aplcações envolvendo resposa Posson é apresenada a segur. 7 Aplcação a Dados Reas Em dversas grandes merópoles ao redor de odo o mundo especalsas vêm enando denfcar quas são os poluenes mas danosos à saúde quanfcando seu mpaco sobre dferenes paologas. Dealhes sobre os efeos da polução sobre a saúde podem ser vsos em Wlson e Spengler [5]. Uma quesão de neresse em as esudos é o empo de perssênca dos efeos de cada poluene bem como a forma de evolução ou sea se o efeo de elevações de deermnado poluene por exemplo decresce ao longo do empo ou cresce angndo mpaco máxmo das após a ocorrênca de elevação para enão decar. Na maora dos esudos desse po um número máxmo de defasagens é posulado para a sére emporal de níves do poluene a esudar. Com sso pode ser dfícl denfcar processos de longa perssênca ou ao enar fazê-lo por meo de muas defasagens o modelo fnal pode se ornar sobreparamerzado. Passamos enão a descrever os dados de conagens de óbos por doenças respraóras de cranças e níves de poluenes coleados em São Paulo no período de 994 a 997 aos quas serão aplcados os modelos proposos na seção aneror. Há algum empo em-se percebdo que o número de nernações por doenças respraóras em São Paulo 4 parece esar correlaconado às condções amosfércas e níves de polução na regão meropolana. Essa hpóese em servdo como movação para o desenvolvmeno de dversos esudos que buscam quanfcar o efeo de dferenes poluenes sobre o número de nernações e/ou óbos. A fgura 7 exbe a sére de conagens dáras de óbos por doenças respraóras para cranças com dades nferores a 5 anos no período de 994 a 997. Pode-se observar que o número médo de conagens é basane baxo o que ornara a adoção da dsrbução normal (e porano de Modelos Dnâmcos Lneares nadequada. Fgura 7: Conagem de óbos de menores de 5 anos em SP - Jan/994 a Dez/997 A segur na fgura 8 enconra-se a sére do poluene Monóxdo de Carbono no mesmo período. Hava na sére orgnal alguns períodos com dados omssos. Chegamos a gerar as observações omssas va MCMC mas como o número de "mssngs" é razoável sso elevou muo o empo de execução do algormo o que dfculava a checagem do programa FORTRAN mplemenado para o algormo MCMC. Passamos enão a preencher prevamene as observações omssas ulzando o aplcavo desenvolvdo por Junger [6] com meodologa baseada no algormo EM. Observe-se que com sso subesmamos a ncereza assocada ao problema. Preende-se poserormene gerar odos os dados omssos ulzando o algormo MCMC. Fgura 8: Níves dáros de CO (ppm em SP - Jan/994 a Dez/997. Ao analsar eses mesmos dados por meo de modelos advos generalzados Conceção e al. [6] consaaram a

33 BOLETIM ISBRA Seembro 4 3 exsênca de assocação sgnfcane enre moraldade nfanl por doenças respraóras e níves dáros de CO SO PM. Ao nclur os poluenes smulaneamene no modelo observaram relação sgnfcane apenas para o poluene CO e sgnfcânca margnal do poluene SO. Boer e al. [] modelaram as conagens oas de óbos de maores de 65 anos ambém em São Paulo de 99 a 993 ulzando modelos de espaço de esados em que os poluenes são nserdos aravés de um processo laene enquano varáves meereológcas são colocadas na equação de observação. Ferrera e Gamerman [7] avalaram a assocação enre poluenes e moraldade nfanl em São Paulo durane o ano de 99 ulzando como varáves explcavas os níves de NO e CO relaconados às conagens de óbos por meo de Modelos Dnâmcos Lneares Generalzados. O modelo al adoado não consdera os efeos de médo e longo prazo das covaráves medndo apenas o mpaco medao dos poluenes sobre o número de óbos. Oura aplcação recene de Modelos Dnâmcos Lneares Generalzados a dados de polução fo fea por Chogna e Gaean [5] que esudaram a relação enre óbos por causas não acdenas e níves poluenes na cdade de Brmngham Alabama. Mas uma vez no modelo adoado perme-se a evolução emporal dos coefcenes mas não se consdera o efeo cumulavo de covaráves. Analsou-se aqu a relação enre níves de Monóxdo de carbono e óbos por doenças respraóras de cranças em São Paulo. Para ano fo adoado o modelo Posson com função de ransferênca gerada a parr de um polnômo auoregressvo de ordem r = e o número de defasagens aplcadas à varável poluene fo s =. Além dsso varáves clmácas foram nserdas no modelo mas apenas o efeo medao desas fo avalado: Tabela 3: Esaíscas sumáras da amosra da densdade a poseror º Quarl Méda 3º Quarl & Como se pode perceber pelas esaíscas assocadas ao parâmero auoregressvo a memóra do processo de conagens de óbos em relação ao poluene CO é basane ala. Com base na amosra da dsrbução a poseror de e calculou-se a função de resposa ao mpulso esperada e nervalos de credbldade a 9 exbdos na fgura A fgura. O nível médo de CO observado no período de análse fo 45 ppm. Nesa fgura regsra-se o efeo (em ermos de aumeno percenual na conagem esperada de óbos de elevações dos níves dese poluene em relação à méda observada. Um aumeno para 9 ppm por exemplo como o regsrado em 4 de ulho de 994 de acordo com o modeo ausado não em mpaco medao sgnfcavo sobre o processo de conagens de óbos mas represena um aumeno em orno de 3 no número esperado de óbos de cranças por doenças respraóras após dos das. Além dsso como se pode ver na fgura ese efeo é basane duradouro. log Posson( ( = & + + Temp + Obos Umd = + CO + CO + CO A fgura 9 exbe hsogramas das amosras da densdade a poseror. Esaíscas sumáras de as amosras podem ser vsas na abela 3. Fgura : Função de resposa ao mpulso obda com base na amosra da dsrbução a poseror dos parâmeros e : Rsco Relavo de aumenos no nível de CO em relação ao nível base 45 ppm. Agradecmenos Os auores agradecem ao Proeo PASSO - Polução Amosférca e Saúde Socal (USP pela dsponblzação do banco de dados de poluenes e a Washngon Lee Junger (IMS-UERJ e Anono Carlos Ponce de Leon (IMS-UERJ por erem dsponblzado o aplcavo para preenchmeno de dados omssos. Fgura 9: Sumáro da amosra da dsrbução a poseror de & Referêncas [] Boer D. A. Jørgensen B. e Peres A. A. Q. ( - A longudnal sudy on moraly and ar polluon for São Paulo Brazl Research