Parte 1: Matemática Combinatória, Binômio de Newton e Cálculo de Probabilidades

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1 Pós Graduação em Educação Matemática UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA Parte : Matemática ombiatória, Biômio de Newto e álculo de Probabilidades Prof. Ilydio Pereira de Sá

2 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá ÍNDIE Itrodução 3. Matemática ombiatória Valsas de Mozart, AIDS, Mega Sea: O Pricíio Multilicativo e sua Imortâcia a Matemática ombiatória e o álculo de Probabilidades. 4. O Pricíio Multilicativo 8. Problemas lássicos de otagem: Permutações, Arrajos e ombiações 7.3 Exercícios Gerais Matemática ombiatória 9. Biômio de Newto 3 3. Probabilidades 39 Itrodução Origem Histórica Probabilidades Discretas oceitos Básicos Três asos Iteressates: oicidêcia dos Aiversários; O Problema de Moty Hall; Os Jogadores e a cosulta à Galileu ombiação de Evetos oceito de Probabilidade Geeralização Na Sala de Aula: Probabilidade o Esio Fudametal; Loterias e Probabilidades; Não há um úico camiho correto; Probabilidade x Favorabilidade e Eseraça Matemática; Alicações a área Biomédica: Geética e Hereditariedade; Distribuição Biomial em Probabilidades; Probabilidade Geométrica Exercícios Resolvidos sobre Probabilidades Exercícios Gerais sobre Probabilidades Questões de ocursos Amliado Horizotes: Sugestões ara Pesquisa e Arofudameto 78 Aexo 8 Bibliografia 83 A teoria das robabilidades, o fudo, ão é mais do que o bom seso traduzido em cálculo; ermite calcular com exatidão aquilo que as essoas setem or uma esécie de istito... É otável que tal ciêcia, que começou os estudos sobre jogos de azar, teha alcaçado os mais altos íveis do cohecimeto humao. Pierre Simo Lalace (749-87)

3 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 3 Itrodução: Provavelmete todos ós, rofessores ou estudates de Matemática, em algum mometo de ossa vida rofissioal ou de ossa formação já os dearamos com roblemas de Aálise ombiatória ou de Probabilidades que, mesmo com euciados simles, tiveram soluções comlexas ou mesmo de difícil comreesão. Isso se reflete, muitas vezes, em iseguraça ara o esio desses tóicos imortates da Matemática Básica. Essa iseguraça se refletirá, quase semre, a abordagem suerficial do tema ou a aresetação do mesmo como um cojuto de casos isolados e descotextualizados, sem qualquer alicação rática imortate. Em osso curso retedemos abordar algus ricíios básicos e que, muitas vezes, odem ser efocados desde as séries iiciais do Esio Fudametal, com o objetivo de aresetação de técicas orgaizadas ara a solução da maioria desses roblemas e, ricialmete, da sua alicação as mais diversas áreas do cohecimeto. São exemlos, situações, técicas, metodologias que temos usado (e com excelete resultado) em mais de 30 aos como rofessor Regete em classes do Esio Fudametal, Médio e Suerior. Todos ós, Educadores Matemáticos, sabemos que, aesar das lacuas que existem em ossa formação rofissioal, devemos semre rocurar relacioar o que esiamos com as outras áreas do cohecimeto, ossibilitado ao aluo resolver roblemas de seu cotidiao, ao mesmo temo em que retiramos o mofo que existe o esio da matemática e que fometa o mito domiate de discilia árida, ara um seleto gruo de rivilegiados e totalmete deslugada das outras discilias e do mudo em que vivemos. A seguir, algumas recomedações que estão o livro "Aálise ombiatória e Probabilidade" do Prof. Augusto ésar Morgado, ublicação IMPA/VITAE/99) Não faça fórmulas demais ou casos articulares demais. Isso obscurece as idéias gerais e tora as coisas mais comlicadas. Areda e faça com que os aluos aredam com os erros. É imortate, diate de uma solução errada, aalisar o motivo do erro. ombiatória ão é difícil. Resista aos truques imediatos. Devemos rocurar métodos mais gerais e ão truques esecíficos ara determiados formatos de roblemas. Resista às efadohas listas de exercícios que iguém sabe resolver e que só fazem com que os aluos se desiteressem, cada vez mais elo tema. "Quem quer fazer algo ecotra um meio; quem ão quer fazer ada ecotra uma descula". Provérbio árabe.

4 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 4 ) Matemática ombiatória Nota iicial: Ao logo de osso curso daremos algumas sugestões de caráter didático / metodológico. Ates de uma dessas sugestões colocaremos semre o símbolo, de modo a chamar a sua ateção sobre o que vem a seguir. VALSAS DE MOZART, AIDS, MEGA SENA,...O PRINÍPIO MULTIPLIATIVO E SUA IMPORTÂNIA NA MATEMÁTIA OMBINATÓRIA E NO ÁLULO DE PROBABILIDADES. (Uma adatação do livro Aalfabetismo em Matemática e suas coseqüêcias, de Joh Alle Paulos, or Ilydio Pereira de Sá) A título de itrodução ao osso curso vamos aresetar o imortate coceito do ricíio multilicativo e suas diversas alicações os mais diversos camos do cohecimeto humao. O estudo desse tema, as classes do Esio Médio, facilita e reduz cosideravelmete o úmero de fórmulas ecessárias ao bom etedimeto da Matemática ombiatória e do cálculo de Probabilidades. As rimeiras oções de cotagem, iseridas esse tema, odem ser abordadas iclusive as classes iiciais do Esio Fudametal. O PRINÍPIO MULTIPLIATIVO O chamado ricíio multilicativo é egaosamete simles e muito imortate. Segudo ele, se alguma escolha ode ser feita de M diferetes maeiras e alguma escolha subseqüete ode ser feita de N diferetes maeiras, há M X N diferetes maeiras elas quais essas escolhas odem ser feitas sucessivamete. Assim, se uma mulher tem cico blusas e três saias, ela tem 5 x 3 = 5 escolhas de traje, já que cada uma das cico blusas (B,B,B3,B4,B5) ode ser usada com qualquer uma das três saias (S, S, S3), roduzido os seguites trajes (B,S; B,S; B,S3; B,S; B,S; B,S3; B3,S; B3,S; B3,S3; B4,S; B4,S; B4,S3; B5,S; B5,S; B5,S3). A artir de um cardáio de quatro aeritivos, sete etradas e três sobremesas, um cliete ode comor 4 x 7 x 3 = 84 jatares diferetes, desde que eça os três serviços. Do mesmo modo, o úmero de resultados ossíveis quado se laça um ar de dados é 6 x 6 = 36; qualquer um dos seis úmeros do rimeiro dado ode ser combiado com qualquer um dos seis úmeros do segudo dado. O úmero de resultados ossíveis quado o úmero do segudo dado difere do rimeiro é 6 x 5 = 30; qualquer um dos seis úmeros do rimeiro dado ode ser combiado com os cico úmeros restates o segudo dado. O úmero de resultados ossíveis quado se laçam três dados é 6 x 6 x 6 = 6. O úmero de resultados quado os úmeros os três dados diferem é 6 x 5x 4=0. Esse ricíio tem valor iestimável ara o cálculo de úmeros grades, como a quatidade máxima de telefoes, que oderiam ser istalados em uma cidade, ou o úmero de cartões distitos que uma essoa oderia marcar, a Mega Sea, com o jogo mais barato ossível. TELEFONES, PLAAS, FILAS E AS VALSAS DE MOZART Vamos suor que em uma cidade cada úmero é formado or 8 dígitos. Nesse caso, a quatidade máxima de telefoes, com úmeros distitos, que oderiam ser istalados é de 8 0 = (se ão houver qualquer restrição ara as estações, or exemlo). De maeira semelhate, o úmero de ossíveis lacas de automóvel um aís ode cada laca 3 4 é formada or 3 letras e quatro algarismos é 6 x0 ( lacas). aso ão

5 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 5 fossem ermitidas reetições de letras ou de algarismos, o úmero de lacas ossíveis seria 6 x 5 x 4 x 0 x 9 x 8 x 7 = lacas. Quado os líderes de oito aíses do Ocidete se reúem ara o imortate eveto de um ecotro de cúula sedo fotografados em gruo, odem ser alihados de 8x7x6x5x4x3xxl = diferetes maeiras. Por quê? Dessas maeiras, em quatas o residete Bush e o residete Lula ficariam lado a lado? Para resoder a isto, suoha que Bush e Lula sejam efiados um grade saco. Essas sete etidades (os seis líderes restates e o saco) odem ser alihadas de 7x6x5x4x3xx = maeiras (ivocado mais uma vez o ricíio da multilicação). Este úmero deve ser etão multilicado or dois, ois, assim que Bush e Lula tiverem sido retirados do saco, teremos uma escolha quato a qual dos dois líderes situados lado a lado deve ser iserido em rimeiro lugar. Há ortato maeiras ara os líderes se aliharem em que Bush e Lula ficariam lado a lado. Em coseqüêcia, se os líderes fossem aleatoriamete alihados, a robabilidade de esses dois ficarem róximos um do outro seria = = 5% erta vez Mozart comôs uma valsa em que esecificou oze diferetes ossibilidades ara catorze dos dezesseis comassos e duas ossibilidades ara um dos outros comassos. Assim, há x 4 variações a valsa, das quais aeas uma miúscula fração já foi ouvida. As essoas geralmete ão avaliam o quato os exemlos do tio que estamos mostrado odem gerar úmeros tão grades de ossibilidades. São iúmeros os exemlos que odemos listar, em todas as áreas, com alicações desse imortate ricíio fudametal da cotagem (ou multilicativo). Problemas como os que vimos até agora, sem ecessidade de uso de qualquer fórmula esecial, serão estudados or ós, ao logo do curso de Matemática ombiatória ou Aálise ombiatória, o caítulo que chamaremos de ARRANJOS E PERMUTAÇÕES. ASQUINHAS OM TRÊS BOLAS, MEGA SENA E AIDS Uma famosa sorveteria aucia 3 diferetes sabores de sorvete. O úmero ossível de casquihas com três bolas sem ehuma reetição de sabor é, ortato, 3 x 30 x 9 = 6.970; qualquer um dos 3 sabores ode vir em cima, qualquer um dos 30 restates o meio, e qualquer um dos 9 remaescetes embaixo. Se ão estamos iteressados o modo como os sabores são disostos a casquiha, mas simlesmete em quatas casquihas com três sabores há, dividimos or 6, ara chegarmos a casquihas. A razão or que dividimos or 6 é que há 6 = 3 x x l diferetes maeiras de disor os sabores uma casquiha de, digamos, morago-bauilha-chocolate: MB, MB; BM; BM, BM e MB. Uma vez que o mesmo se alica a cada casquiha com três sabores, o úmero dessas casquihas é (3x30x9)/(3xx) = casquihas com 3 sabores, escolhidos detre os 3 oferecidos (sem imortar a ordem de colocação desses 3 sabores a casquiha). Um exemlo meos egordativo é forecido elas muitas loterias existetes em osso aís. A mega-sea, or exemlo cujo jogo míimo cosiste a escolha de 6 dezeas, detre as 60 disoíveis. aso a ordem de escolha dos úmeros fosse imortate a escolha do aostador, teríamos 60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55 jogos distitos, com seis dezeas. Mas como sabemos que a ordem de escolha desses úmeros ão é imortate, temos que dividir esse resultado or 6 x 5 x 4 x 3 x x = 70, já que qualquer uma das seqüêcias de seis úmeros ode ser decomosta em 70 outras aostas iguais. Teremos, ortato ossibilidades de escolha das 6 dezeas, detre as 60 disoíveis a Mega-sea. Verifique que uma essoa que escolher aeas uma dessas aostas (6 dezeas) terá uma ossibilidade em de ser o gahador do rêmio.

6 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 6 Outro exemlo, e este de cosiderável imortâcia ara jogadores de cartas, é o úmero de mãos o ôquer de cico cartas. Há 5 x 5l x 50 x 49 x 48 maeiras ossíveis de receber cico cartas se a ordem das cartas distribuídas for relevate. omo ão é, dividimos o roduto or (5x4x3xxl) e verificamos que há mãos ossíveis. Uma vez que este úmero seja cohecido, várias robabilidades úteis odem ser calculadas. As chaces de 48 receber quatro ases, or exemlo, são de (cerca de uma em 50 mil), já que há modos ossíveis de receber uma mão com quatro ases corresodedo às 48 cartas que oderiam ser a quita carta essa mão. Observe que a forma do úmero obtido é a mesma os 3 exemlos: (3x30x9) / (3xx) diferetes casquihas com três sabores; (60x59x58x57x56x55) /(6x5x4x3xx) maeiras de escolher seis úmeros etre os sesseta da mega-sea e (5x5x50x49x48) / (5x4x3xx) diferetes mãos de ôquer. Números obtidos desta forma são chamados coeficietes combiatórios ou combiações. Eles surgem quado estamos iteressados o úmero de maeiras de escolher R elemetos a artir de N elemetos e ão estamos iteressados a ordem em que os R elemetos são escolhidos. O ricíio da multilicação é tão imortate o âmbito da Matemática ombiatória é tal que, os exemlos que vimos até agora, surgiram os três casos de roblemas clássicos de cotagem: Arrajos, Permutações e ombiações e, mesmo ates de etrarmos em detalhes sobre o tema, já resolvemos diversos exemlos muito imortates. PROBABILIDADES DE EVENTOS INDEPENDENTES Um aálogo do ricíio da multilicação ode ser usado ara calcular robabilidades. Se dois evetos são ideedetes o setido de que o resultado de um ão tem ifluêcia o resultado do outro, a robabilidade de ambos ocorrerem é calculada multilicado-se as robabilidades dos evetos idividuais. Por exemlo, a robabilidade de obter duas caras em dois arremessos de uma moeda é x =, já que etre as quatro ossibilidades igualmete rováveis coroa, coroa; 4 coroa, cara; cara, coroa; cara, cara uma é um ar de caras. Pela mesma razão, a robabilidade de cico laçametos sucessivos de uma moeda resultarem em caras é 5 =, já que uma das 3 ossibilidades igualmete rováveis são cico caras 3 cosecutivas. De maeira similar, dada a robabilidade de uma essoa escolhida aleatoriamete ão ter ascido em julho é, e como os aiversários das essoas são ideedetes, a ossibilidade de ehuma de doze essoas escolhidas aleatoriamete ter ascido em julho é (0,35, ou 35,%). A ideedêcia dos evetos é uma oção muito imortate em robabilidade, e quado vigora, o ricíio da multilicação simlifica cosideravelmete ossos cálculos. Um dos rimeiros roblemas de robabilidade foi sugerido ao matemático e filósofo fracês Pascal elo jogador Atoie Gombeaud, hevalier de Mère. De Mère queria saber qual eveto era mais rovável: obter elo meos um 6 em 4 laces de um úico dado, ou obter elo meos um em 4 laces de um ar de dados. O ricíio da multilicação é suficiete ara determiar a resosta, se os lembrarmos de que a ossibilidade de um eveto ão ocorrer é igual a l meos a robabilidade de ocorrer (uma chace de 0% de chover imlica uma chace de 80% de ão chover).

7 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 7 omo é a robabilidade de ão sair um 6 um úico lace de um dado, 5 é a 6 robabilidade de ão sair um 6 em seis laces do dado. Portato, subtraido esse úmero de l teremos a robabilidade de este último eveto (ehum 6) ão ocorrer; em outras 5 alavras, de sair elo meos um 6 as quatro tetativas: l - = 0,5. Da mesma 6 maeira, verifica-se que a robabilidade de se obter elo meos um em 4 laces de um 4 35 ar de dados é l - = 0,49 o que os mostra que o rimeiro eveto tem maior 36 robabilidade de ocorrer. De acordo com os estudiosos da história da matemática, o estudo da matemática combiatória e do cálculo das robabilidades teve o seu iício as cosultas que os obres aficioados dos jogos de azar faziam aos ilustres matemáticos da éoca. Um exemlo mais cotemorâeo do mesmo tio de cálculo evolve a robabilidade de adquirir AIDS heterossexualmete. Estima-se que a chace de cotrair AIDS um úico eisódio heterossexual desrotegido com um arceiro sabidamete ortador da doeça é de cerca de uma em quihetas (a média dos úmeros de uma série de estudos). Assim, a robabilidade de ão a cotrair em um úico ecotro como este é 499. Se esses riscos 500 são ideedetes, como muitos suõem que sejam, etão as chaces de ão ser vitimado aós dois desses ecotros é , e deois de N desses ecotros, N. Uma vez 499 que é 0,48, tem-se cerca de 48% de chace de ão cotrair Aids tedo relações 500 sexuais iseguras todos os dias de um ao iteiro com alguém que tem a doeça (e ortato, equivaletemete, 5% de chace de cotraí-la). Vejamos agora um exemlo um tatiho derimete e que ode os dar uma certa reocuação. A robabilidade de você ão ser morto um acidete de carro ode ser de 99%. Sua chace de escaar da loucura ode ser de 90%, de uma doeça de ulmão, de 95%, de ão cotrair algum tio de câcer, de 80% de ão ser acometido de doeça do coração, de 75%...legal, ão? É claro que os úmeros que estamos aresetado têm caráter meramete ilustrativos, mas oderíamos ter trabalhado com esquisas acuradas que os fatos seriam semelhates. O desaimador esse caso é que, se cosiderarmos todos esses fatos como ideedetes e alicarmos o ricíio multilicativo, teremos que, embora sejam equeas as chaces isoladas de ocorrêcia dos fatos desastrosos descritos acima, a robabilidade de escaarmos de todos eles (isto é, de você ão sofrer ehum dos ifortúios acima), alicado-se o roduto das robabilidades acima, será meor do que 50%, ifelizmete. Através dos diversos exemlos que aresetamos, udemos erceber a alicabilidade e simlicidade do ricíio fudametal da cotagem (multilicativo), o terreo da Matemática ombiatória. Vimos aida que sem mesmo sem usar qualquer tio de fórmulas, odemos resolver a maioria desses roblemas e isso ode ser um asso fudametal ara o estudo e o etedimeto dos roblemas que se aresetam essa imortate arte da Matemática Básica.

8 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 8 Esses são ara você resolver... ) Num rograma de rádio trasmitido diariamete, uma emissora toca semre as mesmas dez músicas, mas uca a mesma ordem. Quato temo (aroximadamete) será ecessário ara se esgotar todas as seqüêcias ossíveis dessas músicas? ) (UNIFIADO) Durate a oa do Mudo, que foi disutada or 4 aíses, as tamihas de oca-ola traziam semre alites sobre os aíses que se classificariam os três rimeiros lugares (or exemlo: º lugar, Brasil; º lugar, Nigéria; 3º lugar, Holada). Se, em cada tamiha, os três aíses são distitos, quatas tamihas diferetes oderiam existir?.) O ricíio fudametal da otagem (ou multilicativo) A alavra Matemática, ara um adulto ou uma criaça, está diretamete relacioada com atividades e técicas ara cotagem do úmero de elemetos de algum cojuto. As rimeiras atividades matemáticas que viveciamos evolvem semre a ação de cotar objetos de um cojuto, eumerado seus elemetos. As oerações de adição e multilicação são exemlos de técicas matemáticas utilizadas também ara a determiação de uma quatidade. A rimeira (adição) reúe ou juta duas ou mais quatidades cohecidas; e a seguda (multilicação) é ormalmete aredida como uma forma eficaz de substituir adição de arcelas iguais. A multilicação também é a base de um raciocíio muito imortate em Matemática, chamado ricíio multilicativo. O ricíio multilicativo costitui a ferrameta básica ara resolver roblemas de cotagem sem que seja ecessário eumerar seus elemetos (como veremos os exemlos). Os roblemas de cotagem fazem arte da chamada aálise combiatória. Iicialmete vamos mostrar algumas atividades que oderiam ser trabalhadas até as classes iiciais do Esio Fudametal.

9 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 9 EXEMPLO : Maria vai sair com suas amigas e, ara escolher a roua que usar, searou saias e 3 blusas. Vejamos de quatas maeiras ela ode se arrumar. Solução: O ricíio multilicativo, ilustrado esse exemlo, também ode ser euciado da seguite forma: Se uma decisão d ode ser tomada de maeiras e, em seguida, outra decisão d uder ser tomada de m maeiras, o úmero total de maeiras de torarmos as decisões d e d será m. No exemlo aterior havia duas decisões a serem tomadas: d: escolher uma detre as 3 blusas d: escolher uma detre as saias Assim, Maria disõe de 3 = 6 maeiras de tomar as decisões d e d, ou seja, 6 ossibilidades diferetes de se vestir. EXEMPLO : Um restaurate reara 4 ratos quetes (frago, eixe, care assada, salsichão), saladas (verde e russa) e 3 sobremesas (sorvete, Romeu e Julieta, frutas). De quatas maeiras diferetes um freguês ode se servir cosumido um rato quete, uma salada e uma sobremesa? Solução: Esse e outros roblemas da aálise combiatória odem ser reresetados ela cohecida árvore de ossibilidades ou grafo. Veja como reresetamos or uma árvore o roblema do cardáio do restaurate. Observe que esse roblema temos três íveis de decisão: d: escolher um detre os 4 tio de ratos quetes. d: escolher uma detre as variedades de salada. d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas. Usado o ricíio multilicativo, cocluímos que temos 4 3 = 4 maeiras de tomarmos as três decisões, ou seja, 4 oções de cardáio.

10 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 0 As técicas da aálise combiatória, como o ricíio multilicativo, os forecem soluções gerais ara atacar certos tios de roblema. No etato, esses roblemas exigem egehosidade, criatividade e uma lea comreesão da situação descrita. Portato, É reciso estudar bem o roblema, as codições dadas e as ossibilidades evolvidas, ou seja, ter erfeita cosciêcia dos dados e da resolução que se busca. EXEMPLO 3: Se o restaurate do exemlo aterior oferecesse dois reços diferetes, sedo mais baratas as oções que icluíssem frago ou salsichão com salada verde, de quatas maeiras você oderia se alimetar agado meos? Solução: Note que agora temos uma codição sobre as decisões d e d: d: escolher um detre ratos quetes (frago ou salsichão). d: escolher salada verde (aeas uma oção). d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas. Etão há 3 = 6 maeiras de motar cardáios ecoômicos. (Verifique os cardáios mais ecoômicos a árvore de ossibilidades do exemlo aterior). EXEMPLO 4: Quatos úmeros aturais de 3 algarismos distitos existem? Solução: Um úmero de 3 algarismos c d u é formado or 3 ordes: omo o algarismo da ordem das ceteas ão ode ser zero, temos etão três decisões: d: escolher o algarismo da cetea diferete de zero (9 oções). d: escolher o algarismo da dezea diferete do que já foi escolhido ara ocuar a cetea (9 oções). d3: escolher o algarismo da uidade diferete dos que já foram utilizados (8 oções). Portato, o total de úmeros formados ser = 648 úmeros. EXEMPLO 5: De acordo com o exemlo aterior, se desejássemos cotar detre os 648 úmeros de 3 algarismos distitos aeas os que são ares (termiados em 0,, 4, 6 e 8), como deveríamos roceder? Solução: O algarismo das uidades ode ser escolhido de 5 modos (0,, 4, 6 e 8). Se o zero foi usado como último algarismo, o rimeiro ode ser escolhido de 9 modos (ão odemos usar o algarismo já emregado a última casa). Se o zero ão foi usado como último algarismo, o rimeiro só ode ser escolhido de 8 modos (ão odemos usar o zero, em o algarismo j emregado a última casa). Para vecer este imasse, temos três alterativas: a) Decomor o roblema em casos (que é alterativa mais atural). otar searadamete os úmeros que têm zero como último algarismo (uidade = 0) e aqueles cujo último algarismo é diferete de zero (uidade 0). Termiado em zero temos modo de escolher o último algarismo, 9 modos de escolher o rimeiro e 8 modos de escolher o do meio (algarismo da dezea), um total de 9 8 = 7 úmeros.

11 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá Termiado em um algarismo diferete de zero temos 4 modos de escolher o último algarismo (, 4, 6, ou 8), 8 modos de escolher o rimeiro algarismo (ão odemos usar o zero, em o algarismo já usado a última casa) e 8 modos de escolher o algarismo do meio (ão odemos usar os dois algarismos já emregados as casas extremas). Logo, temos = 56 úmeros termiados em um algarismo diferete de zero. A resosta é, ortato, 7 56 = 38 úmeros. b) Igorar uma das restrições (que é uma alterativa mais sofisticada). Igorado o fato de zero ão oder ocuar a cetea, teríamos 5 modos de escolher o último algarismo, 9 modos de escolher o rimeiro e 8 modos de escolher o do meio, um total = 360 úmeros. Esses 360 úmeros icluem úmeros começados or zero, que devem ser descotados. omeçado em zero temos modo de escolher o rimeiro algarismo (0), 4 modos de escolher o último (, 4, 6 ou 8) e 8 modos de escolher o do meio (ão odemos usar os dois algarismos já emregados as casas extremas), um total de 4 8 = 3 úmeros. A resosta é, ortato, = 38 úmeros. c) laro que também oderíamos ter resolvido o roblema determiado todos os úmeros de 3 algarismos distitos (9 9 8 = 648 úmeros), como é o caso do Exemlo 4, e abatedo os úmeros ímares de 3 algarismos distitos (5 a última casa, 8 a rimeira e 8 a seguda), um total de = 30 úmeros. Assim, a resosta seria = 38 úmeros. EXEMPLO 6: As lacas de automóveis eram todas formadas or letras (iclusive K, Y e W) seguidas or 4 algarismos. Hoje em dia, as lacas dos carros estão sedo todas trocadas e assaram a ter 3 letras seguidas e 4 algarismos. Quatas lacas de cada tio odemos formar? Solução: No rimeiro caso: omo cada letra (L) ode ser escolhida de 6 maeiras e cada algarismo (N) de 0 modos distitos, a resosta é: = No segudo caso = = = A ova forma de idetificação de automóveis ossibilita uma variedade 6 vezes maior. A difereça é de , ou seja, 69 milhões de lacas diferetes a mais do que ateriormete. EXEMPLO 7: Quatos são os triâgulos que odem ser costruídos a artir de 0 otos marcados sobre uma circuferêcia? A Solução: B Verifique que esta questão tem uma difereça básica com relação às ateriores. Neste caso, a ordem de disosição dos elemetos de cada coleção ão imorta ao roblema, isto é, o triâgulo AB é o mesmo do triâgulo AB, or exemlo. Na itrodução de osso estudo, o texto sobre o ricíio multilicativo, já vimos como roceder uma situação dessas, como o caso das casquihas de sorvete, ou da mega-sea, or exemlo A quatidade de triâgulos será dada or: = 0 3..

12 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá EXEMPLO 8: Quatos são os segmetos de reta que odemos formar a artir de 8 otos distitos, colaares. Solução: ada segmeto formado, AB, or exemlo, gera um outro (BA) igual a ele. Logo, este exemlo é semelhate ao aterior e a sua solução será: 8.7 Quatidade de segmetos: = 8. ovém cometar aida que, se fossem segmetos de reta orietados, a quatidade seria obtida elo roduto 8. 7 = 56, já que ao mudar a ordem dos elemetos AB, BA, obteríamos segmetos orietados diferetes. EXEMPLO 9: Quatos divisores aturais ossui o úmero 7? Solução: Essa é uma imortate questão que você ode (e deve) trabalhar com seus aluos do Esio Fudametal. É muito comum, ricialmete os cursihos que rearam os aluos ara ocursos de igresso em Escolas Públicas (como olégio Militar, AP da UERJ, Pedro II, etc), os aluos serem treiados ara decorar uma regriha rática ara esse tio de questão. O que ocorre é que ormalmete a justificativa do rocesso (que é através do ricíio multilicativo) ão é mostrada aos aluos. Vejamos o que ocorre esses casos: Primeiramete vamos decomor o úmero 7 em fatores rimos aturais Pela decomosição, temos que: 3 7 = x 3 x y x 3, sedo que x e y devem ser Logo, todo divisor de 7 será um úmero da forma úmeros aturais, com as seguites codições: x = 0 ou x = ou x = ou x = 3 (cocorda?); y = 0 ou y = ou y =. Portato temos 4 ossibilidades ara o exoete x e 3 ossibilidades ara o exoete y e, alicado o ricíio multilicativo, teremos: 4 x 3 = divisores aturais ara o úmero 7. O que você ecotra em algus livros didáticos ou aostilas de cursihos rearatórios? Ecotra uma regriha do tio: Para obtermos a quatidade de divisores de um úmero atural qualquer, devemos fazer a sua decomosição em fatores rimos, somar uma uidade a cada exoete obtido e deois multilicar os resultados obtidos. Acredite, se uder! Sugerimos que, as classes de esio médio, comecemos o estudo de aálise combiatória elo ricíio acima aresetado. Aós o erfeito domíio de suas alicações é que o rofessor deveria estudar os distitos tios de agruametos existetes (arrajos, combiações e ermutações), se achar ecessário.

13 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 3 EXERÍIOS PROPOSTOS Exercício. Numa sala há 5 homes e 5 mulheres. De quatos modos é ossível selecioar um casal homemmulher? Exercício. a) Quatos úmeros aturais de algarismos distitos existem? b) Quatos destes úmeros são divisíveis or 5? Exercício 3. Quatas alavras cotedo 3 letras diferetes odem ser formadas com um alfabeto de 6 letras? Exercício 4. Quatos são os gabaritos ossíveis ara um teste de 0 questões de múltila escolha, com 5 alterativas or questão? Exercício: 5. Em um gruo existem 7 essoas, etre elas Roberto e Aa. Quatas são as filas que odem ser formadas, de modo que Roberto seja semre o rimeiro e Aa seja semre a última de cada fila? Exercício 6: O segredo de um cofre é formado or uma seqüêcia de 4 úmeros distitos de dígitos (de 00 a 99). Uma essoa decide tetar abrir o cofre sem saber a formação do segredo (or exemlo: ). Se essa essoa levar segudo ara exerimetar cada combiação ossível, trabalhado iiterrutamete e aotado cada tetativa já feita ara ão reeti-la, qual ser o temo máximo que oderá levar ara abrir o cofre? Exercício 7: a) Quatas são as lacas de automóvel que odem ser formadas o atual sistema de emlacameto Brasileiro? b) O Sr.José arlos Medeiros gostaria de que a laca de seu automóvel tivesse as iiciais do seu ome (a ordem correta do ome). Quatas lacas existem estas codições? Exercício 8: Uma badeira formada or 7 listras que devem ser coloridas usado-se aeas as cores verde, azul e ciza. Se cada listra deve ter aeas uma cor e ão odem ser usadas cores iguais em listras adjacetes, de quatos modos se ode colorir a badeira? Exercício 9: Quatos divisores iteiros e ositivos ossui o úmero 360? Quatos desses divisores são ares? Quatos são ímares? Quatos são quadrados erfeitos? Exercício 0: Quatos subcojutos ossui um cojuto que tem elemetos? Exercício : Um cojuto tem 8 elemetos. Quatos subcojutos com 6 elemetos, o míimo, ele ossui? "Ode quer que haja mulheres e homes, há semre o que fazer, há semre o que esiar, há semre o que areder". (Paulo Freire)

14 Exercício : ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 4 De quatos modos odemos colocar 8 torres iguais em um tabuleiro 8 8, de modo que ão haja duas torres a mesma liha ou a mesma colua? Exercício 3: Uma turma tem 30 aluos. Quatas comissões de 6 aluos odem ser formadas com os aluos dessa turma? Exercício 4: O cojuto A ossui 4 elemetos, e o cojuto B, 7 elemetos. Quatas fuções f : A B existem? Quatas delas são ijetoras? Exercício 5: Quatos são os aagramas da alavra PRATO, que começam or uma cosoate? Exercício 6: Formado-se todos os úmeros ossíveis, de 5 algarismos, ermutado-se os dígitos,, 3, 4, 5 e escrevedo-os em ordem crescete, resoda: a) Qual será a osição ocuada elo úmero 43 5? b) Qual será o valor da soma de todos esses úmeros formados? Exercício 7: Quatas siglas, de 3 letras distitas, odem ser formadas a artir da escolha detre as letras: A, B,, D, E, F? Exercício 8: São dados oito otos, dos quais cico estão em liha reta. Quatas retas ficam defiidas or esses 8 otos? Exercício 9: Um imortate oliedro, criado or Arquimedes, é costituído or faces etagoais e 0 faces hexagoais. Quatas diagoais ossui esse oliedro? Exercício 0: Num acidete automobilístico, aós se ouvirem várias testemuhas, cocluiu-se que o motorista culado elo acidete dirigia o veículo cuja laca era costituída de três vogais distitas e quatro algarismos diferetes, sedo que o algarismo das uidades era, com certeza o dígito. Qual a quatidade de veículos suseitos? Exercício : Um mágico se areseta em úblico vestido calça e aletó de cores diferetes. Para que ele ossa se aresetar em 4 sessões com cojutos diferetes, determie a quatidade míima de eças que ele deverá ossuir (úmero de aletós mais o úmero de calças). Exercício : Usado os algarismos, 3, 5, 7 e 9, determiar a quatidade de úmeros de 4 algarismos, que odem ser formados com eles, de forma que ao meos dois algarismos sejam iguais. "A árvore quado está sedo cortada, observa com tristeza que o cabo do machado é de madeira."

15 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 5 (Provérbio árabe) DESAFIE O SEU RAIOÍNIO... ) PROVÃO ME 999 A uidade de iformação os comutadores digitais é o bit (abreviatura de biary digit, ou seja, dígito biário), que ode estar em dois estados, idetificados com os dígitos 0 e. Usado uma seqüêcia de bits, odem ser criados códigos caazes de reresetar úmeros, caracteres, figuras, etc. O chamado código ASII, or exemlo, utiliza uma seqüêcia de 7 bits ara armazear símbolos usados a escrita (letras, siais de otuação, algarismos, etc). om estes 7 bits, quatos símbolos diferetes o código ASII ode reresetar? (A) 7! (B) 7 () 4 (D) 49 (E) 8 ) PROVÃO ME 998 Os clietes de um baco devem escolher uma seha, formada or 4 algarismos de 0 a 9, de tal forma que ão haja algarismos reetidos em osições cosecutivas assim, a seha 00 é válida, mas 4 ão é). O úmero de sehas válidas é: (A) (B) () 7.36 (D) 7.90 (E) 8.00 A omeclatura da PI etrado a vida dos Brasileiros que ão ossuem mesalão (Nem semre as coisas fucioam como laejamos...) Um rofessor de ciêcias queria esiar aos seus aluos de esio fudametal os males causados elas bebidas alcoólicas e elaborou uma exeriêcia. Para tato, utilizou um coo com água, outro com uísque e dois vermes. - Agora aluos, ateção. Observem os vermes - disse o rofessor, colocado um deles detro da água. A criatura adou agilmete o coo, como se estivesse feliz e bricado. Deois, o mestre colocou o outro verme o segudo coo, cotedo uísque. O bicho se cotorceu todo or algus mometos, deseseradamete, como se estivesse louco ara sair do líquido, e deois afudou já ierte, como uma edra, absolutamete morto. Satisfeito com os resultados, o rofessor ergutou aos aluos: - E etão, que lição odemos areder desta exeriêcia? O equeo Joãoziho levatou a mão, edido ara falar, e sabiamete resodeu: - Beba muito uísque e você uca terá vermes.

16 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 6 GABARITO PARTE PRINÍPIO MULTIPLIATIVO 0) 5 Modos ) 8! = ) A) 8 Números B) 7 Números 3) comissões 03) alavras 4) a) 7 4 = 40 fuções b) 840 fuções ijetivas 04) gabaritos 5) 7 aagramas 05) 0 filas 6)a) 89ª osição b) ) s 3 aos 7) 0 siglas 07) lacas 8) 9 retas 08) 9 modos 9) 440 diagoais 09) a) 4 divisores b) 8 divisores ares c) 4 divisores quadrados 0) suseitos 0) subcojutos ) 0 eças ) 37 subcojutos ) 505 úmeros PROVÃO : E PROVÃO : D Sabe Quem Sou Eu? Dia de rova a faculdade. Todos os aluos tesos. Etra a sala aquele rofessor carrasco de quem todos têm medo e diz: O horário de etrega das rovas é dez em oto. Ouviram? Dez horas em oto! Se alguém me etregar a rova às dez e um, eu ão vou aceitar. E etão se iicia a rova. Muitos aluos acabam ráido, outros demoram mas coseguem etregar até as dez horas. Aeas um aluo cotiua fazedo o exame. Quado o rofessor está se rearado ara ir embora, o aluo levata e vai etregar a rova: Tá aqui, rofessor! Agora eu ão vou aceitar mais! omo ão? Eu deixei bem claro que só aceitaria rovas até as dez horas. Professor... O sehor sabe com quem está falado? Não, ão sei... Etão o aluo ega a ilha de rovas, coloca a sua o meio, e diz: Etão descobre...

17 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 7.) PROBLEMAS LÁSSIOS DE ONTAGEM A) PERMUTAÇÕES Dados objetos distitos: a, a, a 3,... a, cada ordeação obtida a artir desses objetos é deomiada de uma ermutação simles (orque todos são distitos) desses elemetos. Assim, como vimos ateriormete os roblemas de filas ou de aagramas, or exemlo, temos modos de escolha ara o rimeiro lugar, modos de escolha ara o segudo lugar,... modo de escolha ara o último lugar, ou seja: O úmero de modos de ordear objetos distitos é igual a!. Podemos reresetar o úmero de ermutações simles de objetos distitos or P. Logo, temos que: Exemlos: P =! ) Quatos são os aagramas da alavra FLAMENGO: a) Sem quaisquer restrições? - teremos este caso que determiar o úmero de ermutações simles das 8 letras distitas dessa alavra, ou seja: P 8 = 8! = 4030 aagramas. b) Que comecem or uma vogal e termiem or uma cosoate? teremos esse caso 3 oções de escolha ara a rimeira letra da alavra, 5 oções de escolha ara a última letra e P 6 = 6! = 70 ara as demais osições. Logo, alicado o ricíio fudametal da cotagem, teremos um total de = aagramas. c) Que teham semre jutas as letras A M, em qualquer ordem? Nesse caso, essas duas letras devem ser cosideradas como se fossem uma úica, acarretado a ermutação de 7 elemetos as duas jutas e as 6 letras restates, ou seja 7! = 5040 aagramas. Mas como a ordem ão foi dbefiida, elas oderão também ermutar etre si, gerado! = variações. Logo, alicado ovamete o ricíio fudametal da cotagem, teremos um total de x = aagramas. ) Roberta, Adré e Berardo fazem arte de um gruo de 7 amigos. Obteha o úmero de filas que odemos formar com esses 7 amigos, de modo que: a) Roberta, Adré e Berardo estejam semre jutos? Agora, de forma aáloga ao que vimos o exemlo aterior, basta que cosideremos esses três amigos como se ocuassem uma úica osição a fila, teremos assim a ermutação de 5 elemetos os três jutos e os 4 restates, ou seja 5! = 0 filas. Em seguida, como a ordem deles ão foi defiida, multilicamos o resultado obtido or 3! = 6, que rereseta as ossíveis variações de osição etre eles. Logo, teremos um total de 0. 6 = 70 filas as codições do roblema. b) Roberta, Adré e Berardo uca estejam (os três) jutos a fila? Agora basta determiarmos o totas de filas ossíveis e subtrair o resultado obtido a erguta aterior (Por que?), teremos etão 7! 70 = 430 aagramas. 3) De quatos modos odemos formar uma roda com 5 criaças? Devemos tomar um certo cuidado com esse tio de roblema, ois o resultado ão é igual a 5! = 0 rodas, como oderíamos esar aressadamete. Verifique que a roda ABDE, or exemlo, tem a mesma cofiguração que a roda EABD, já que o que imorta agora é a osição relativa das criaças etre si. Dessa forma cada roda ode ser virada de 5 modos

18 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 8 que reetem a mesma cofiguração. Assim, o úmero de rodas distitas que odemos obter será igual a 0 : 5 = 4 rodas. O exemlo acima é o que defiimos como sedo ermutações circulares de elemetos. Se reetirmos o mesmo raciocíio que usamos o exemlo aterior, teremos que as ermutações circulares de elemetos distitos serão iguais a: P =! = ( )! 4) Quatos são os aagramas da alavra AMORA? Esse é outro caso que demada um certo cuidado. A resosta seria 5! = 0 aagramas, caso todas as letras fossem distitas. omo temos duas letras A, é claro que uma ermutação etre essas duas letras ão geraria aagramas ovos. Assim sedo cada aagrama foi cotado! = vezes (que são as letras reetidas). Logo, o úmero correto de aagramas é 0 : = 60 aagramas. Problemas como esse é o que deomiamos de Permutações com algus elemetos reetidos. No caso da alavra amora, idicaríamos or: P 5 = 5! = 60 aagramas.! Aalogamete, odemos geeralizar ara Pα, β,... =!. α!.β!... α, β,... reresetam a quatidade de reetições de cada um dos elemetos reetidos. 5) Quatos são os aagramas da alavra POROROA? Temos uma alicação direta da fórmula aterior, ou seja: 3, P 8 = 8! = aagramas. (o 3 idica as letras O e o idica as letras R). 3!.! 6) Essa é ara você resolver. Quatos são os aagramas da alavra URUGUAI que começam or vogal? 7) A figura abaixo rereseta uma seqüêcia de 6 símbolos. ^ ^ ^ Quatas são as ossíveis seqüêcias distitas que odemos formar com esses símbolos? Perceba agora que estamos diate de ermutações com algus elemetos reetidos, o caso, temos: 3, 3 P 6 = 6! = 0 seqüêcias 3!.3! 8) Quatas soluções iteiras, ão egativas, ossui a equação x y z = 5?

19 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 9 Aaretemete, esta questão ão tem ada a ver com as ossas ermutações. Mostraremos que esse tio de roblema ode recair exatamete uma situação gráfica, como vimos o exemlo aterior, de ermutações com elemetos reetidos. Vamos imagiar que temos 5 uidades (reresetaremos cada uidade or *) que serão reartidas or três variáveis. Usaremos traços ara searar as variáveis. É claro que, como são três variáveis, recisaremos de dois traços ara esta searação. Vejamos uma ossível solução. x y z * * * * * x y z * * * * * As reresetações gráficas acima idicam duas das ossíveis soluções, a rimeira idica a solução x =, y = e z = e a seguda idica a solução x = 0, y = e z = 4. Podemos fialmete cocluir que qualquer solução da equação dada, defiida or iteiros ão egativos estará associada a uma das cofigurações dos 7 símbolos (cico * e dois ). Logo, a quatidade de soluções iteiras e ão egativas rocurada será dada elo cálculo de: 5, P 7 = 7! = 5!.! Logo a equação x y z = 5 ossui soluções formadas or úmeros iteiros e ão egativos. Podemos, usado raciocíio similar, geeralizar o resultado obtido ara uma equação do tio: x x x 3... x = k O úmero de soluções iteiras e ão egativas dessa equação será dado or: -, k P - k Ou seja, recai um caso de cálculo de ermutações com algus elemetos reetidos. O resultado que acabamos de obter será muito imortate ara o estudo das ombiações omletas que será mostrado em outra arte de osso estudo. 9) Quatas soluções, em iteiros ão egativos, ossui a equação: x x x 3... x 7 = 4 Pelo que vimos ateriormete, a resosta a essa questão será dada elo cálculo de: 6, 4 P 0 = 0! = 0 soluções. 6!.4!

20 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 0 0) Pese essa! Quatas são as soluções iteiras e ão egativas da iequação x y z < 4? ) O SAPO E O PERNILONGO VESTIBULAR PU RGS. Um sao e um erilogo ecotram-se resectivamete a origem e o oto (8, ) de um sistema cartesiao ortogoal. Se o sao só udesse saltar os setidos ositivos dos eixos cartesiaos e cobrisse uma uidade de comrimeto em cada salto, o úmero de trajetórias ossíveis ara o sao alcaçar o erilogo seria igual a: a) 35 b) 45 c) 70 d) 5 e) 56 Solução: osidere a figura a seguir, ode está reresetada uma das trajetórias ossíveis, ode S = sao e P = erilogo. O euciado diz que o sao só ode se mover os setidos ositivos dos eixos cartesiaos, ou seja, ara a direita ou ara cima. ovecioado que um deslocameto ara a direita seja idicado or D e um deslocameto ara cima seja idicado or, o deslocameto idicado a figura seria reresetado or DDDDDDDD. Outros deslocametos ossíveis seriam, or exemlo: DDDDDDDD DDDDDDDD DDDDDDDD... Para eteder isto, basta observar a figura dada. Observe que ara o sao alcaçar o erilogo segudo as regras ditadas, teremos semre 8 deslocametos ara a direita (D) e ara cima (). Logo, estamos diate de um caso de ermutações com reetição de 0 elemetos, com 8 reetições (D) e duas reetições (). 8, Teremos etão: P 0 = 0! = 45 8!.! Portato, são 45 trajetórias ossíveis, ou seja, alterativa B.

21 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá B) ARRANJOS SIMPLES Dados objetos distitos: a, a, a 3,... a, cada ordeação de objetos (<) obtida a artir desses objetos recebe a deomiação de arrajo simles de elemetos, a taxa ou arrajo de, a (A, ). Você ode verificar que um arrajo simles é, de certa forma, similar a uma ermutação simles, sedo que em cada gruameto formado usamos aeas elemetos, dos distitos disoíveis. Exemlo: osideremos o cojuto A formado elas cico vogais. Os arrajos de três elemetos tomados de A odem ser reresetados da seguite maeira: aei aeo aeu aie aio aiu aoe aoi aou aue aui auo eai eao eau eia eio eiu eoa eoi eou eua eui euo iae iao iau iea ieo ieu ioa ioe iou iua iue iuo oae oai oau oea oei oeu oia oie oiu oua oue oui uae uai uao uea uei ueo uia uie uio uoa uoe uoi Observe que, ara ocuar o lugar da rimeira vogal, temos 5 ossibilidades; or isso escrevemos 5 lihas a horizotal. A seguda vogal ode ser escolhida etre as 4 restates; ortato, searamos quatro gruos em coluas verticais. Por fim, ara a terceira vogal, odemos escolher qualquer uma das três restates. Idicado o úmero dos arrajos das 5 vogais tomadas 3 a 3 or A 5,3 o total, teremos: A 5,3 = 5 X 4 X 3 = 60 Este resultado cofirma o que já fazíamos com o ricíio fudametal da cotagem (ricíio multilicativo). Etedemos or arrajo os modos que odemos osicioar os objetos em gruo. Uma alteração a ordem determiará um ovo agruameto. Exemlo : Quatas siglas, de três letras distitas, odem ser formadas a artir das letras: A, B,, D, E, F e G? Observe que você oderia resolver esse roblema usado o ricíio fudametal da cotagem (multilicativo), e teria: 7 escolhas ara a rimeira letra da sigla, 6 escolhas ara a seguda (já que são letras distitas) e 5 ossibilidades de escolha ara a terceira letra da sigla. Pelo ricíio fudametal da cotagem, teríamos: = 0 siglas. Observe que as siglas fossem com todas as 7 letras, teríamos um caso de ermutações simles e o resultado seria 7!. Note que o resultado obtido o rimeiro caso (arrajos

22 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá simles), se for multilicado or 4!, assará a dar como resultado o segudo caso (ermutações simles). Logo, odemos iferir que (A, ). ( )! = P. Ou seja: A, =!. ( )! Exemlo 3: Dez cavalos disutam um áreo o Jockei lube. Quatos são os ossíveis trios ara as três rimeiras colocações esta corrida? Solução: Trata-se de um caso de arrajos simles, de 0 elemetos, a taxa 3, ou arrajos de 0, 3 a 3. Pelo que mostramos ateriormete, teremos: A 0,3 = 0! = = 70 ossíveis trios de resultados. 7! EXERÍIOS: ) Será que o úmero de arrajos simles de elemetos distitos, a taxa, igual ao úmero de ermutações simles, desses mesmos elemetos? Justifique a sua resosta. ) De um total de romaces e 3 dicioários devem-se tirar 4 romaces e dicioário que serão arrumados uma rateleira de tal modo que o dicioário fique semre o meio. De quatos modos isso oderá ser feito? 3) mulher e 5 homes devem setar-se um baco que ossui 5 lugares. De quatas formas isso oderá ser feito se a mulher deve semre estar setada em algum lugar? 4) Quatos úmeros distitos com 4 algarismos diferetes, odemos formar com os algarismos: 0,,,3,4,5,6,7,8 e 9? 5) Um cofre ossui um disco marcado com os dígitos 0,,,...,9. O segredo do cofre é marcado or uma seqüêcia de 3 dígitos distitos. Se uma essoa tetar abrir o cofre, quatas tetativas deverá fazer(o máximo) ara coseguir abri-lo? 6) Dez essoas, etre elas José, estão reuidas ara escolher a diretoria de um clube, formada or um residete, um vice-residete, um secretário e um tesoureiro. Em quatas das diretorias que odem ser formadas José ão é o residete? 7) Quatas fuções ijetoras odem ser defiidas do cojuto E = {a, b, c, d, e} o cojuto F = {,, 3, 4, 8,, 4, 36}? GABARITO ) Sim, ois A, =! =! 0! ) modos 3) 600 modos 4) úmeros 5) 70 tetativas 6) diretorias 7) A 8,5 = 6 70 fuções ijetoras

23 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 3 ) ARRANJOS OM REPETIÇÃO Seja um cojuto com elemetos distitos e cosidere elemetos escolhidos este cojuto em uma ordem determiada (reetidos ou ão). ada uma de tais escolhas é deomiada um arrajo com reetição de elemetos tomados a. Acotece que existem ossibilidades ara a colocação de cada elemeto, logo, de acordo com o ricíio multilicativo, o úmero total de arrajos com reetição de elemetos escolhidos a é dado or.(... fatores). Idicamos isto or: Exemlos: AR, = a) Quatas são as siglas de três letras, escolhidas a artir das letras: A, B,, D, E, F? omo disomos de 6 letras, ara escolher 3, teremos AR 6, 3 = 6 3 = 6 siglas. b) De quatas maeiras diferetes odemos resoder a uma rova de múltilaescolha, com 0 questões de 5 oções cada uma? omo temos 5 oções de escolha, ara cada uma das 0 questões, teremos este caso AR 5, 0 = 5 0 c) Quatas são as formas distitas de se reecher um volate da loteria esortiva, somete com alites simles, sabedo-se que são 3 jogos e 3 oções de escolha ara cada um? Agora temos 3 oções de escolha, ara cada um dos 3 jogos, logo AR 3, 3 = 3 3 d) A seha de acesso a um jogo de comutador cosiste em quatro caracteres alfabéticos ou uméricos, sedo o rimeiro ecessariamete alfabético. Qual o úmero de sehas ossíveis? omo o rimeiro caractere da seha é obrigatoriamete uma letra, teremos 6 oções de escolha. Para cada um dos três seguites, teremos 36 oções de escolha (6 letras 0 algarismos), Logo, a resosta é: 6 x AR 36, 3 = 6 x 36 3 e) Disodo-se de três cores, de quatos modos diferetes oderemos itar as 5 casas de uma rua, disostas em fila, sedo que cada uma delas estará itada com aeas uma cor? Nesse caso, como temos 5 casas e três oções de escolha da cor da tita, teremos um resultado igual a AR 3, 5 = 3 5 = 43 maeiras. Mas é claro que você ode, e deve, resolver essas questões elo ricíio fudametal da cotagem...muito mais simles e ão recisa ficar decorado fórmulas desecessárias.

24 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 4 D) OMBINAÇÕES SIMPLES Dado um cojuto qualquer, com elemetos distitos, deomiamos uma combiação simles com elemetos distitos, desses disoíveis, a qualquer subcojuto com elemetos, do cojuto dado. Idicamos essas combiações, de elemetos a taxa, or,, ou (forma biomial) Observe que duas combiações são diferetes quado ossuem elemetos distitos, ão imortado a ordem em que os elemetos são colocados. Exemlo: No cojuto E= {a,b.c,d} odemos cosiderar: a) combiações de taxa : ab, ac, ad,bc,bd, cd. b) combiações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd. c) combiações de taxa 4: abcd. Observe que equato dois arrajos odem se distiguir ela ordem ou ela atureza de seus elemetos, duas combiações só se distiguem ela atureza de seus elemetos. otagem do Número de ombiações osideremos o cojuto A = {a, b, c, d}. Vimos que as combiações três a três que se odem formar com os quatro elemetos de B são: abc, abd, acd, bcd. Permutado de todas as formas ossíveis os três elemetos de cada combiação, obtemos os arrajos simles de quatro elemetos três a três, como idica o quadro: abc abd acd bcd acb adb adc bdc bac bad cda cdb bca bda cad cbd cab dab dac dbc cba dba dca dcb ada combiação gera, como vemos, 3! = 6 arrajos. Portato, as quatro combiações geram 4 x 6 = 4 arrajos. Nesta igualdade, 4 é o úmero de combiações e 4 é o úmero de arrajos. Idicado or 4, 3 o úmero de combiações de 4 elemetos 3 a 3, vale, ortato, a relação: 4,3x3! = A 4,3 ou 4,3 = Usado esse mesmo raciocíio, oderemos geeralizar que: A 4,3 3!

25 ombiatória e Probabilidades ara Educadores Matemáticos Ilydio Pereira de Sá 5 A,, = =!! ( - )!.! Exemlo a: Sete otos ertecem a um círculo. Quatos triâgulos são defiidos or esses otos? Solução: Vejamos um dos ossíveis triâgulos triâgulo AFB - Se trocarmos a ordem de seus vértices, cosiderado or exemlo o triâgulo FBA, otamos que trata-se do mesmo triâgulo, logo é um roblema de combiações simles. Teremos etão, 3 7! ! = 4!.3! 4!.6 7 = = 35 triâgulos Exemlo b: Quatos gruos de três essoas odem ser selecioados de um cojuto de oito essoas? Solução: Também esse caso, em qualquer gruo de três essoas que formarmos, a ordem das essoas ão iflueciará a formação do mesmo, também teremos um caso de combiações simles. Ou seja,, 3 8! = 5!.3! ! 5!.6 8 = = 56 gruos Exemlo c: Num lao, marcam-se doze otos dos quais seis estão em liha reta. Quatos triâgulos odem ser formados uido-se três quaisquer desses doze otos? Solução: É uma questão semelhate a do exemlo a, também de combiações simles, sedo que, elo fato de termos seis otos alihados, as combiações desses seis otos, três a três, ão defiirão triâgulos. Sedo assim, oderemos calcular o total de combiações desses otos, três a três e subtrair as que ão formam triâgulos, ou seja a combiação dos 6 otos alihados, três a três. Assim sedo, a quatidade de triâgulos que oderão ser formados com os otos será:! 6!..0.9! !,3 6, 3 = - = = 0 0 = 00 triâgulos 9!.3! 3!.3! 9!.3! 3!.3! Exemlo d: Qual o úmero de diagoais de um olígoo covexo de lados? Solução: Aida esse caso, temos combiações simles, já que a diagoal AB, or exemlo, é a mesma da diagoal BA. Verifique também que teremos que fazer uma subtração, já que uido-se, dois a dois, os vértices de um olígoo covexo, oderemos ter diagoais ou lados desse olígoo. omo queremos obter a quatidade de diagoais, vamos calcular o total de segmetos ossíveis e subtrair a quatidade de lados. Logo, teremos: Solução:!.(-).(- )!.( ).( 3), = - = = = = diagoais ( )!.! ( )!.! OBS: VERIFIQUE QUE OBTIVEMOS EXATAMENTE A VELHA FÓRMULA QUE ENSINAMOS NA 7ª SÉRIE DO FUNDAMENTAL, PARA O ÁLULO DA QUANTIDADE DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO ONVEXO.