= R, a velocidade característica será a. = = / π e, no caso do regime oscilatório, o = T. U U Q R

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1 Hemodinâmi ormlizção ds equções. Modelo rreu-ysud. P.J. Oliveir, Dezembro 9 Introdução A equção do movimento sob form dimensionl, pr esomento unidireionl e ompletmente desenvolvido em tubo de seção irulr, e pr fluido newtonino generlizdo (GF) é: r prede u p u ρ + r t z r r r () R O eixo tubo u(r,t) z onde veloidde só depende d oordend rdil e do tempo, u( r, t ), e visosidde pode em gerl ser função d tx de deformção, ( γ ) om γ u/ r. O grdiente de pressão é ddo pel som dum omponente estionári e um osiltóri: p p p + Pe + Po os( ωt) z z z e o () om frequêni ngulr ω πf, onde frequêni proprimente dit (em s - Hz) é igul o inverso do período f / T. As mplitudes estionári e osiltóri do grdiente de pressão, P e e P o, são onstntes. As grndezs físis d Eq. () são tods dimensionis, om uniddes no sistem SI dds por: mss volúmi ρ [kg/m 3 ]; veloidde u [m/s]; tempo t [s]; pressão p [/m ] [P]; visosidde [kg/m.s] [P.s]; distâni rdil r, ou xil z, [m]. O objetivo dest not é mostrr omo se pss d form dimensionl ds equções pr form dimensionl (sem dimensões). ormlizção omeç-se por definir esls rterístis de omprimento, L, veloidde, U, e tempo, t. A definição depende do problem onreto resolver; pr esomento em tubo irulr, o omprimento rterístio será o rio do tubo, L R, veloidde rterísti será veloidde médi obtid do udl, U U Q R tempo rterístio é ddo pelo período d osilção, t Multiplindo Eq. () por L u p u ρ + r t z r r r U / π e, no so do regime osiltório, o T. --

2 obtém-se equção de movimento sob form dimensionl: ρl u p u + r t t z r r r (3) O grupo dimensionl que surge ntes do º termo depende d definição do tempo rterístio, podendo tomr diverss forms omo se verá de seguid. As vriáveis sem dimensões são indids por peli, sendo definids omo: Distânis: r r e L z z (4) L u Veloidde: u (5) U Visosidde: (6) D dedução verifi-se tmbém que: Pressão: p p (7) U / L Grdiente de pressão: L P P (8) U Qunto à definição d esl temporl, podem oorrer dois sos, que onduzem resultdos diferentes pr o grupo dimensionl d Eq. (3) referido im. - ão existe um esl de tempo que sej impost externmente: () Esl onvetiv, t t, om t L / U (9) Repre-se que esl de tempo onvetiv result ds esls de veloidde e espço, fzendo simplesmente: espço veloidde X tempo. O grupo fi: ρl ρl t L / U ρu L Re () u p u Re + r t z r r r () O número de Reynolds represent fisimente rzão entre forçs de inéri e forçs visoss. Pode tmbém ser interpretdo omo rzão entre os tempos difusivo e onvetivo. (b) Esl difusiv, t t, om D t D ρl / () O grupo dimensionl fi gor: --

3 ρl ρl ρ t L / u p u + r t z r r r (4) ot: nests dus equções, o grdiente de pressão dimensionl pode ser esrito: p P z om esl difusiv equção do movimento não depende de qulquer grupo dimensionl, sendo por isso preferível à esl onvetiv. De fto, é sbido que no esomento ompletmente desenvolvido dentro de onduts o perfil de veloiddes não depende no número de Reynolds. - Existe esl de tempo impost (por exemplo, o período, tl omo referido im): este so, t T ρ L L f L ρ ρ α t T π ρω onde o número de Womersley é definido omo: α L (5) α u u P e+ P oos( πt ) + r π t r r r (6) O grupo que pree junto o termo de vrição no tempo não é mis do que rzão entre esl de tempo difusiv e o período d osilção de pressão impost: α Lρω Lρ/ td. (7) π π T T Relção Entre Esls de Veloidde e de Pressão O problem do esomento num tubo pode ser borddo de dus forms: (i) o udl é imposto; (b) o grdiente de pressões é imposto. o so (i) existe desde logo um esl de veloidde, definid por exemplo omo veloidde médi, U U om U Qddo/ π R. Qundo se tem tudo normlizdo veloidde médi é unitári. o so (ii) esl de veloidde pode ser definid indiretmente prtir do vlor imposto do grdiente de pressão omo: Pddo L U (8) 8-3-

4 o so prtiulr de fluido newtonino, est esolh fz om que um vlor de P ddo 8 implique um esl de veloidde unitári, pois U U PR /8µ. Repre-se que no so não newtonino o ráter reofluidinte dos fluidos impli que um vlor dimensionl do grdiente de pressão de 8 irá produzir um veloidde médi bstnte superior à unidde, pelo que s veloiddes normlizds om est esl U tenderão tmbém ser signifitivmente superiores à unidde (ver bixo, Fig. ). ormlizção d visosidde Em gerl, pr um modelo de visosidde GF, ( γ), visosidde rterísti deve ser luld pr um tx de deformção rterísti, isto é: ( γ ) om U γ (9) L Obvimente qundo se trt do modelo newtonino visosidde é onstnte e, ns equções nteriores, trnsform-se n própri visosidde µ ; por exemplo o número de Womersley pr esomento em tubo fi: f α R ρ π () µ Pr os modelos GF em uso orrente é preiso lgum tenção pr trnsformr s fórmuls dimensionis em expressões dimensionis. onsideremos o so do modelo de rreu- Ysud omo exemplo, um vez que ontém um série de outros modelos omo sos prtiulres. este modelo visosidde dimensionl é obtid d expressão empíri: n ( ) ( λγ) + + () Est expressão pode esrever-se d seguinte mneir sem dimensões + ( λγ ) ( n)/ () e o modelo dimensionl de rreu-ysud deve ter mesm form funionl do membro d direit dest equção. omo o expoente deve ser n, visosidde diminui qundo γ ument, ilustrndo o efeito de reofluidifição. Pr dimensionlizr equção de rreu-ysud omeç-se por dividi-l pel visosidde rterísti γ + + λγ γ resultndo n equção dimensionl: n -4-

5 n ( ) ( λγ ) + + (3) onde o prâmetro de tempo é definido omo: λ λu / L. Os prâmetros e n do modelo são à prtid dimensionis. omo pr γ, se tem (4) os prâmetros dimensionis devem stisfzer o que impli: n ( ) ( λ ) + + n λ (5) Pr que s funções de γ d equção originl e do modelo dimensionl se sobreponhm é neessário:, e pr γ γ vem Pr form dimensionl pode esolher-se omo so prtiulr e portnto (6) (7) om Eq. (4) esrit de form simplifid: n λ (8) Ests três relções permitem os vlores dimensionis ser usdos n plição do modelo de reeu-ysud, qundo onheidos os vlores dimensionis. Exemplo Pr sngue humno ( ρ 5 kg/m 3 ), um grupo de prâmetros usuis pr o modelo de rreu-ysud é:.56 P.s,.345 P.s, λ 3.33 s,, n

6 Em esomento Re num tubo om diâmetro D mm ( L R.5 m), um proedimento itertivo (visgnf.for) pr resolver equção Re ρu R/ ( γ ), γ f( Re) (om γ U/ R ) (9) permite obter pr tx de orte e visosidde rterístis: U γ 3.8 /s, ( γ ).794P.s, U.69 m/s. R om estes vlores, s Eqs. (6)-(8) dão:,.74, λ Qundo se mud o número de Reynolds, os prâmetros do modelo dimensionl têm de ser novmente justdos. Existe ssim um efeito esondido do número de Reynolds trvés d normlizção ds proprieddes, pesr de n equção que rege o esomento (Eq. 4) não preer Re. O perfil de veloiddes obtido pr um grdiente de pressão ddo ( P 8) é mostrdo n Fig.. A linh vermelho orresponde o perfil teório obtido om modelo de lei-de-potêni, n.3568, K. Verifi-se que os resultdos são quse iguis, o que se pode esperr tendo em ont que o modelo rreu-ysud d Eq. (3) om e λ >> se reduz : λ γ n n Est relção orresponde de fto um lei de potêni om n.3568 K λ , dí quse iguldde entre resultdos, que tmbém deorre de se ter esolhido n Eq. (6). prte () d figur usou-se om esl de veloidde deorrente do grdiente de pressão imposto, o U d Eq. (8). prte (b) usou-se veloidde médi, obtid por integrção numéri do perfil de veloiddes resultnte do progrm de simulção..8.8 r/r.6.4. numério teório r/r.6.4. numério teório () u(r)/u (b) u(r)/u Figur Perfil de veloiddes. ormlizção om: () U PR /8 ;(b) veloidde médi. -6-

7 AEXO Progrm pr resolver itertivmente Eq. (9). MODELO ARREAU-YASUDA ALULAR VALOR DA VELOIDADE MEDIA PARA REYOLDS DADO - VIS, VISIF, LAMBDA E OSTATES PROGRAM VISGF A.3568 DE5. VIS.56 VISI.345 AL3.33 RE. H: lrgur nl ou dimetro tubo H. PRIT *,' LARGURA AAL OU DIAM TUBO',H ITMAX ITER TOL.E-4 U.745 PRIT *,' RE?' READ(*,*) RE PRIT *,' n' READ(*,*) A OTIUE ITERITER+ UU GAMU/(.5*H) VISVISI+(VIS-VISI)*(.+(AL*GAM)**)**((A-)/.) UVIS*RE/DE/H WRITE(*,*) ITER,U IF(ITER.GT.ITMAX) THE PRIT *,' ITER GT ITMAX, STOP' STOP ED IF IF(ABS(U-U)/U.GT.TOL) GO TO VISVISI+(VIS-VISI)*(.+(AL*GAM)**)**((A-)/.) REDE*U*H/VIS PRIT *,' VIS EFF',VIS,' (PA.S) RE',RE PRIT *,' U',U,' M/S' PRIT *,' GAM',GAM print *,' GAMA WALL nl',3.*gam,' tubo',4.*gam STOP ED -7-