ÍNDICE ESTUDO DAS PROJEÇÕES...2 ESTUDO DO PONTO...7 ESTUDO DA RETA...13 ESTUDO DO PLANO...37 BIBLIOGRAFIA E CRÉDITOS...50

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1 Índice ÍNDIE ESTUDO DS PROJEÇÕES...2 ESTUDO DO PONTO...7 ESTUDO D RET...13 ESTUDO DO PLNO...37 ILIOGRFI E RÉDITOS...5 1

2 Estudo das pojeções ESTUDO DS PROJEÇÕES NOÇÕES ELEMENTRES 1. DEFINIÇÃO Geometia é a ciência que tem po objetivo a medida das linhas, supefícies e dos volumes. Desceve significa epesenta, conta minuciosamente, taça. O conteúdo que seá estudado na disciplina desenho no segundo ano do ensino médio denomina-se Geometia Descitiva e tem po objetivo epesenta em um plano (bidimensional), figuas (objetos bi ou tidimensionais) do espaço de tal foma que, neste plano, seja possível epesenta suas caacteísticas elativas à dimensão, foma e posição. Pojeta significa epesenta em um plano de pojeção a imagem de um objeto ou figua que está no espaço. 2. ELEMENTOS DE UM PROJEÇÃO (O) (O) ponto objetivo (no espaço), cento ou pólo de pojeção () () () Fig. 1 - pojeção cônica do tiângulo () paalelo ao plano ()()() vétices do tiangulo que está no espaço pojeção dos pontos (),(),() no plano de pojeção plano de pojeção (antepao) (O)() pojetantes (semietas que saem do cento de pojeção, (O)() passam pelos vétices da figua no espaço e deteminam (O)() suas pojeções em ( )) (O) 3. TIPOS DE PROJEÇÃO Existem 2 tipos de pojeção: a cônica e a cilíndica 3.1. PROJEÇÃO ÔNI Na pojeção cônica, o cento de pojeção (ou pólo) fica elativamente póximo ao objeto que está no espaço. Isso faz com que o feixe de pojetantes seja divegente, deteminando no plano de pojeção uma imagem de tamanho difeente do objeto. pojeção cônica é assim denominada devido ao aspecto do feixe de pojetantes que possui o fomato de um cone. (Fig. 2). Fig. 2 - pojeção cônica (O) 3.2. PROJEÇÃO ILÍNDRI Na pojeção cilíndica, o cento de pojeção se afasta do objeto fazendo com que o feixe de pojetantes fique paalelo. Esse paalelismo é que detemina uma imagem, no plano de pojeção, de tamanho bem póximo ao objeto que está no espaço. Na pojeção cilíndica, o feixe de pojetantes tem aspecto de um cilindo. pojeção cilíndica pode se oblíqua (quando o feixe de pojetantes foma, com o plano de pojeção, ângulo difeente de 9º - Fig. 3) ou otogonal (quando o feixe de pojetantes foma, com o plano de pojeção, ângulo igual a 9º - Fig. 4). Obs. - é o ângulo que o feixe de pojetantes foma com o plano de pojeção. 2 9 Fig. 3 - pojeção cilíndica oblíqua (O) = 9 Fig. 4 - pojeção cilíndica otogonal

3 Estudo das pojeções Fig. 5 - como o sistema pojetivo se estutua. éditos: Obseve abaixo com atenção o desenho em quadinho do Homem anha epesentado em pojeção cônica e em pojeção cilíndica. Fig. 6 - éditos: Tentando compeende a imagem de foma tidimensional (emboa os dois exemplos sejam pojeções bidimensionais de uma situação tidimensional), a pimeia (cônica) é mais familia aos nossos olhos, pois esta mais póxima da foma como nossos olhos captam as imagens que estão ao nosso edo (homotetia invesa). Po isso que ao obseva uma paisagem como a epesentada ao lado temos a impessão que as etas paalelas, como os tilhos do tem, se encontam em um ponto chamado ponto de fuga que se situa na linha do hoizonte (linha que fica sempe na altua dos olhos de quem obseva). 3

4 Estudo das pojeções 4. O SISTEM I-PROJETIVO O sistema bi-pojetivo de Gaspa Monge utiliza a pojeção cilíndica otogonal. (fig. 4). No século XVIII, muitos estudavam a geometia pojetiva, poém Gaspa Monge acabou sendo conhecido como o pai da Geometia Descitiva. Ele pecebeu a necessidade de uma segunda pojeção paa infoma a posição de pontos que petenciam a mesma pojetante, pois tais pontos teiam suas pojeções coincidentes no plano de pojeção (fig. 7). Paa esolve essa questão, dividiu-se dividi o espaço em pates iguais atavés de dois planos pependiculaes ente si: o plano hoizontal de pojeção também chamado de (p) e o plano vetical também denominado de (p'). Esses planos deteminam quato semi-espaços denominados diedos(fig. 8). ssim cada ponto objetivo teia duas pojeções que individualizaiam sua posição no espaço. Paa planifica o sistema bi-pojetivo de Gaspa Monge, fez-se o ebatimento (gio) do plano hoizontal, sobe a linha de tea (eta de inteseção do plano hoizontal e com o plano vetical de pojeção), no sentido hoáio, até que o mesmo coincida com o plano vetical (fig.9). Esse ebatimento é denominado Épua (fig.11). 2 Diedo (PHp) 3 Diedo Fig. 7 - Os tiângulos () e (DEF) possuem pojeções coincidentes Plano vetical de pojeção (PVs) Lin ha de tea (PVi) (PHa) 1 Diedo Plano hoizontal de pojeção 4 Diedo Fig. 8 - Os planos de pojeção dividem o espaço em diedos Fig. 9 - O movimento de ebatimento dos planos hoizontal e lateal paa coincidi com o plano vetical Fig Épua Fig. 1 - Planificação das pojeções após o o ebatimento do plano hoizontal sobe o plano vetical 4

5 Estudo das pojeções O objeto em estudo pode se situa em qualque um dos quato diedos de pojeção, entetanto no desenho técnico não se utiliza pojeções nos diedos paes devido a possibilidade de sobeposição das imagens. No pimeio diedo (noma alemã: DIN - Deutsches Institut fü Nomung) ou o teceio diedo (noma ameicana: NSI - meican National Standads Institute) tal sobeposição não ocoe, entetanto o SI (Sistema Intenacional de Medidas) adotou as pojeções no pimeio diedo e a NT (ssociação asileia de Nomas Técnicas) adota as convenções do SI paa epesentações no Desenho Técnico (Fig.12). VLE VF VLE VF VS VS Linhas de chamada Fig Repesentação Espacial e as Vistas Otogáficas de uma peça situada no pimeio diedo de pojeção EXERÍIOS 1- Identifique os sistemas de pojeção das imagens abaixo de acodo com a legenda: 1 - ônico 2 - ilíndico oblíquo 3 - ilíndico otogonal 5

6 Estudo das pojeções 2 - Obseve a peça ao lado epesentada em pespectiva isomética e, a segui, assinale a altenativa que ep esenta coetamente suas tês vistas otogáficas pincipais: D E 3 - ssinale a pespectiva isomética que coesponde às vistas otogáficas pincipais abaixo: D E 6

7 Estudo do ponto ESTUDO DO PONTO 1. DEFINIÇÃO O sistema bi-pojetivo de Gaspad Monge (Figua 1), em que é apoiada a Geometia Descitiva, visa epesenta, além das pojeções, a posição dos elementos no espaço tidimensional. Potanto, um ponto (elemento adimensional) tem pelo menos duas pojeções, epesentadas po suas distâncias aos planos de pojeção (Figua 2). Plano vetical de pojeção 2 Diedo (PVs) 1 Diedo (y) () (PHp) Linha de tea Plano hoizontal de pojeção (z) 3 Diedo (PVi) (PHa) 4 Diedo Fig. 1 - Os planos de pojeção que dividem o espaço em diedos, e seus elementos Fig. 2 - Ponto objetivo () no pimeio diedo 2. LOLIZÇÃO Enquanto deteminamos a localização de um ponto no plano catesiano, po apenas duas coodenadas x e y (figua 3), no espaço tidimensional pecisamos das tês coodenadas x, y e z (figua 4): 3 y Plano catesiano (x,y) (4,3) z 5 x Espaço () (x) = abscissa (y) = afastamento (z) = cota ()[x; y; z] ()[3; 4; 5] 4 x 4 Fig. 3 - Localização do ponto no plano catesiano () ponto de oigem da abscissa 3 Fig. 4 - Localização do ponto objetivo () no espaço y 7

8 Estudo do ponto omo o ponto pode esta situado em quato diedos, quato semiplanos ou na linha de tea, teemos coodenadas assumindo valoes positivos, nulos ou negativos: Plano Vetical de pojeção ou (P.V.) 2 Diedo ( s) 1 Diedo Linha de tea (L.T.) () Plano Hoizontal de pojeção ou (P.H.) z> z= ( p) () D (D) D ( a) x= x> () x< z< Ponto de oigem da abscissa () 3 Diedo ( i) 4 Diedo y< y> y= ponto contido ( a) semiplano hoizontal anteio (PH) y > z = ( p) semiplano hoizontal posteio (PHP) y < z = ( s) semiplano vetical supeio (PVS) y = z > ( i) semiplano vetical infeio (PVI) y = z < EXERÍIOS 1- Identifique a localização dos pontos abaixo, 2- Faça um esboço da posição espacial dos pontos segundo suas coodenadas espaciais: (), () e () da questão anteio na pespectiva ()[;2;-3]... abaixo: ()[-15;;5]... ()[2;1;15]... (D)[??;-19;-1]... (E)[??;;-3]... (F)[??;2;]... (G)[??;;]... (H)[??;-2;]... () 8

9 Estudo do ponto 3. ÉPUR omo vimos anteiomente (página 5), a épua é a planificação esultante da sobeposição, po ebatimento, do plano hoizontal sobe o plano vetical, paa possamos epesenta elementos tidimensionais de foma bidimensional, na folha de papel (figua 5). () Fig. 5-1 quado: Deteminação das pojeções e do ponto objetivo (). 2 quado: Ignoamos o ponto objetivo e mantemos as distâncias das coodenadas (x, y e z). 3 quado: om a linha de tea como cento, giamos o plano hoizontal em 9 no sentido hoáio. 4 quado: Obtemos a épua (planificação) da epesentação espacial do ponto. om base nessa movimentação dos planos, devemos fica atentos às disposições que as pojeções de um ponto teão quando epesentadas em épua, em função das difeentes localizações espaciais possíveis. Veja as ilustações abaixo: Ponto () no 1 diedo fastamento positivo (y > ) ota positiva (z > ) Ponto () no 2 diedo fastamento negativo (y < ) ota positiva (z > ) Ponto () no 3 diedo fastamento negativo (y < ) ota negativa (z < ) () () ( ) Ponto (D) no 4 diedo fastamento positivo (y > ) ota negativa (z < ) Ponto (E) em ( a) fastamento positivo (y > ) ota nula (z = ) Ponto (F) em ( p) fastamento negativo (y < ) ota nula (z = ) F D D (E) E E E (F) F F F D (D) D E Ponto (G) em ( s) fastamento nulo (y = ) ota positiva (z > ) Ponto (H) em ( i) fastamento nulo (y = ) ota negativa (z < ) Ponto (I) na Linha de Tea fastamento nulo (y = ) ota nula (z = ) (G) G G G G H H I I (I) I I (H) H H 26

10 Estudo do ponto 4. ONVENÇÕES s coodenadas dos pontos são infomadas em milímetos; Os dois taços abaixo da linha de tea indicam a oientação da épua. Quando posicionados ligeiamente abaixo da linha de tea, infomam que a épua não está invetida veticalmente ( de cabeça paa baixo ). EXERÍIOS 1 - ssinale a(s) épua(s) que melho epesenta(m) as pojeções do ponto (P), de acodo com as coodenadas dadas: (P)[2; 3; -15] (P)[-2; 3; -15] (P)[2; -15;3] (P)[-2; 3; -15] (P)[2; 15;-3] P P P P P P P P P P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2- Relacione os pontos epesentados na épua po suas pojeções, com suas localizações espaciais: ( 1 D ) ( ) ( 2 D ) ( ) ( 3 D ) ( ) ( 4 D ) ( ) ( L.T. ) ( ) ( a ) ( ) ( p ) ( ) ( s ) ( ) ( i ) ( ) ' ' D' D E F' F G G' H' I I' E H 3- Repesente a épua dos pontos abaixo, dadas suas coodenadas: ()[-35;-15;-25] ()[15;-25;5] ()[5;15;] (D)[25;;-5] (E)[1;-23;] (F)[;18;-5] 1

11 Estudo do ponto 4- omplete as épuas. Posicione as linhas de tea coetamente, de acodo com as infomações e as pojeções dos pontos (P) dadas: a) (P)y = 2mm; b) (P)z = -15mm; (P)y < ; c) (P) ( p); P P P P P P DESFIO 5- Repesente o tiângulo () em épua, a pati das coodenadas de seus vétices e da posição de seus lados: - () [25;??; 25] petence à ; - () [-5;??;??] tem afastamento positivo; - () [-4;??;-1]; - () é paalelo a e mede 35mm; - () é paalelo a ; 11

12 Estudo do ponto 6- onstua a pespectiva isomética do segmento de eta () e de suas pojeções, epesentado na épua abaixo, espeitando as elações das coodenadas de suas extemidades. Paa tanto, utilize a malha quadiculada da épua associada às macações da pespectiva: () RELEMRNDO ONSTRUÇÃO D PERSPETIV ISOMÉTRI Exemplo: onstui um paalelepípedo com 7 mm de lagua, 3 mm de pofundidade e 4 mm de altua mm 4mm 7mm 12

13 Estudo da eta ESTUDO D RET 1. DEFINIÇÃO Paa entendemos uma eta em épua, devemos te consciência de que: eta é fomada po infinitos pontos alinhados; eta é infinita em seu compimento; eta não tem lagua, nem diâmeto, mas pode se epesentada po um taço; M N O Um segmento de eta é o conjunto dos infinitos pontos que estão ente dois pontos distintos de uma eta, inclusive esses pontos. 2. TEOREM FUNDMENTL D RET pojeção de uma eta sobe um plano é, em geal, outa eta. Uma eta fica deteminada, quando se conhecem suas pojeções sobe os planos de pojeção e. s pojeções de um ponto de uma eta estão sobe as pojeções da eta. () () () () () () () () POSIÇÃO DO ONTID NO PRLEL O OLÍQU O PERPENDIULR SEGMENTO DE PLNO PLNO PLNO O PLNO RET PROJEÇÃO DO SEGMENTO DE RET MEDID IGUL MEDID IGUL MEDID MENOR REDUZID UM (V.G.) (V.G.) PONTO 13

14 Estudo da eta 3. PERTINÊNI DE PONTO E RET Uma vez que a eta é epesentada po seus pontos e que na Geometia Descitiva temos duas pojeções de uma eta, um ponto que petença à eta deveá te suas pojeções sobe as pojeções de mesmo nome da eta. () P P (P) P P EXERÍIOS 1- nalise a posição de cada ponto e esponda se eles petencem ou não à eta (m): ()... (m) ()... (m) ()... (m) m D F (D)... (m) (E)... (m) (F)... (m) D E E F m 2- Dadas as pojeções da eta (s), detemine as pojeções dos pontos (), (), (), (D), (E) e (F) que petencem à eta (s): s = ; z = ; y = 2mm; x D = -35mm; x E = 5mm; z F = -1mm; y s () 14

15 Estudo da eta 4. PONTOS NOTÁVEIS D RET Dente os pontos petencentes a uma eta, têm paticula impotância aqueles que se situam nos planos de pojeção. Estes pontos especiais ecebem a denominação de TRÇO, e po suas localizações e pojeções deteminamos a tajetóia de uma eta, ou seja, deteminamos po quais diedos e semiplanos a eta passa. Temos então: Taço Hoizontal (H) - Taço Vetical (V) - Ponto de inteseção da eta com o plano hoizontal de pojeção. Ponto comum à eta e ao plano hoizontal, de cota nula. Pode petence a ( p), a ( a) ou à Linha de Tea. Ponto de inteseção da eta com o plano vetical de pojeção. Ponto comum à eta e ao plano vetical, de afastamento nulo. Pode petence a ( s), a ( i) ou à Linha de Tea. Obseve a espacial e sua espectiva épua abaixo e, a segui, faça o que é pedido: Detemine, na espacial e na épua, os taços (V) e (H) da eta (). () Po qual(is) diedo(s) a eta passa? Qual sua tajetóia? Detemine na épua, o(s) momento(s) em que a eta muda de diedo. Em deteminadas posições, as etas não têm inteseções com um ou mais planos de pojeção, tonando impossível detemina seu(s) taço(s). Exemplos: () () H (H) H Uma eta paalela ao plano vetical não encosta neste plano, potanto não teá taço vetical. Uma eta paalela aos dois planos de pojeção não tem qualque taço. 15

16 Estudo da eta EXERÍIOS 1- Detemine os taços e a tajetóia da eta (), como no modelo: V ( s) V H ( p) (V) () ( a) (H) Tajetóia da eta 4D - ( a) - 1D - ( s) - 2D ( i) H ( s) Tajetóia da eta ( p) ( a) ( i) ( s) Tajetóia da eta ( p) ( a) ( i) 16

17 Estudo da eta ( s) Tajetóia da eta ( p) ( a) ( i) ( s) Tajetóia da eta ( p) ( a) ( i) ( s) Tajetóia da eta ( p) ( a) ( i) 2- Detemine as tajetóias das eta epesentadas nas épuas abaixo: t t t t t t t t 17

18 Estudo da eta 3 - onstua a pespectiva isomética do segmento de eta () epesentado na épua abaixo, espeitando as elações das coodenadas de suas extemidades. Paa tanto, utilize a malha quadiculada da épua associada às macações da pespectiva: Impotante: Detemine o(s) taço(s) do segmento com o(s) plano(s) de pojeção. Faça isso tanto na épua quanto na pespectiva. () 4 - Detemine as pojeções e os taços da eta (m), sabendo: ()[5;8;5] ()[-25;-16;2] () (m) 18

19 Estudo da eta 5. RETS PRTIULRES Quando a eta tem sua posição espacial paalela ou pependicula a um plano de pojeção, se faz impotante conhece algumas popiedades paticulaes que pemitem identifica sua posição po suas pojeções em épua. Obseve no paalelepípedo apoiado nos planos de pojeção abaixo, as etas que foam epesentadas: ( ) Repesente a posição dos segmentos em elação aos planos de pojeção, utilizando os símbolos // (paalela), (pependicula) e (oblíqua), na tabela abaixo: (E) ( ) ()(D) ( ) () () ()() ()() ()() (D) ()(D) ()(D) (E)(D) om o peenchimento da tabela acima, foam pecebidos tês tipos de posições paticulaes das etas com os planos de pojeção: 1º TIPO - s etas são pependiculaes a um plano de pojeção e paalelas aos outos. - s etas têm duas pojeções em V.G. e em uma pojeção seá epesentada po um ponto. 2º TIPO - s etas são paalelas a um plano de pojeção e oblíquas aos outos. - s etas têm uma pojeção em V.G. e em duas pojeções seão eduzidas. 3º TIPO - s etas são oblíquas a todos os planos de pojeção. - s etas não têm nenhuma pojeção em V.G. - eta é denominada genéica, ou qualque. omo o teceio tipo não tem qualque paticulaidade, estudaemos o pimeio e o segundo tipo de posição paticula. 19

20 Estudo da eta 5.1 RET VERTIL Possui apenas o taço hoizontal; ( ) Tem pojeção hoizontal eduzida a um ponto; Tem pojeção vetical e lateal em V.G. // // Posição ( ) (E) ( ) () () D (D) D 5.2 RET DE TOPO Possui apenas o taço vetical; ( ) Tem pojeção vetical eduzida a um ponto; Tem pojeção hoizontal e lateal em V.G. // // Posição ( ) () (E) () ( ) (D) 2

21 Estudo da eta 5.3 RET FRONTO-HORIZONTL Não possui qualque taço; ( ) Tem pojeção lateal eduzida a um ponto; Tem pojeção hoizontal e vetical em V.G. // // Posição ( ) (E) ( ) () () (D) EXERÍIOS 1- Detemine a tajetóia, os taços e as pojeções do segmento ()( ), de 35mm, nas épuas abaixo, de acodo com a posição e as infomações dadas em cada caso: a) ()( ) é fonto-hoizontal; () ; ()() b) ()() é vetical; c) ()() é de topo; () 3º diedo; () 4º diedo; Tajetóia: Tajetóia: Tajetóia: 21

22 Estudo da eta 2 - Detemine as pojeções do tiângulo ()()() em épua, dadas as pojeções de (), e sabendo que: - ()() é de topo de 55mm; - ()() é fonto-hoizontal de 4mm; - () y > ; - () x > () x. 3 - Detemine as pojeções do quadado ()()()(D) em épua, dadas as pojeções de (), e sabendo que: - ()() é fonto-hoizontal de 45mm; - ()(D) é vetical; - () x > () x; - () z > (D) z. 22

23 Estudo da eta 5.4 RET HORIZONTL Possui apenas o taço vetical; Tem pojeção hoizontal em V.G; Tem pojeção vetical paalela à L.T. Posição ( ) // ( ) (E) ( ) () () (D) 5.5 RET FRONTL Possui apenas o taço hoizontal; Tem pojeção vetical em V.G; Tem pojeção hoizontal paalela à L.T. Posição ( ) // ( ) (E) ( ) () () (D) D 23

24 Estudo da eta 5.6 RET DE PERFIL Possui taço vetical e hoizontal; Tem pojeção lateal em V.G. ; Tem pojeção hoizontal e vetical coincidentes e pependiculaes à L.T. Posição ( ) // ( ) (E) ( ) () () (D) D EXERÍIOS 1- Detemine a tajetóia, os taços e as pojeções do segmento ()(), de 35mm, nas épuas abaixo, de acodo com a posição e as infomações dadas em cada caso: a) ()( ) é hoizontal; () 4º diedo; b) ()( ) é fontal; c) ()( ) é de pefil; () 3º diedo; ()[??; 2; 3]; ()[??;??; 5]; Tajetóia: Tajetóia: Esse segmento tem 35mm? Tajetóia: Responda na página 26 24

25 Estudo da eta DETERMINÇÃO D V.G D RET DE PERFIL O pocesso paa a deteminação da pojeção lateal (a pojeção em V.G.) da eta de pefil se assemelha ao pocesso da vista otogáfica lateal esqueda. Poém, como no estudo das vistas otogáficas a posição espacial (x, y, z) não ea impotante, é necessáio te alguns cuidados paa taça a pojeção lateal em épua. Pincipalmente se os pontos da eta não estiveem no pimeio diedo. Relembando: eixo 2 (chaneia) fontal lateal chaneia O O eixo 1 (L.T.) supeio O Figuas da página 5 ilustando a obtenção das tês pojeções de um cone no pimeio diedo, em épua. Note que... Existem dois eixos de ebatimento dos planos: a linha de tea e a chaneia; Em função da chaneia, o plano lateal se movimenta no sentido anti-hoáio, da espacial (1º figua) até a planificação (3º figua); s pojeções fontal e lateal, do cento da base do cone, têm a mesma cota; s pojeções hoizontal e lateal, do cento da base do cone, têm o mesmo afastamento (veja a distância de O à chaneia); s tês pojeções do cento da base são conectadas po uma linha de chamada; om base nas obsevações acima, podemos defini etapas paa a pojeção lateal de um ponto, em qualque posição: Define-se uma chaneia (eixo de ebatimento). Em casos simples, pode se utilizada a pópia abscissa do ponto; Em função da chaneia definida, ebate-se o afastamento do ponto, no sentido anti-hoáio, paa a linha de tea; Taça-se uma vetical até a cota do ponto, pelo afastamento ebatido. omplete a épua abaixo com as pojeções lateais dos pontos, em função da chaneia demacada: D D omo dois pontos definem uma eta, ao detemina as pojeções lateais de dois pontos petencentes à eta, consequentemente, encontamos a V.G. de uma eta de pefil 25

26 Estudo da eta EXERÍIOS 1- Resposta da leta c do execício da página 24. Detemine a tajetóia, os taços e as pojeções do segmento (), de 35mm, na épua abaixo, de acodo com a posição e as infomações dadas: c) () é de pefil; ()[??; 2; 3]; ()[??;??;5]; Esse segmento tem 35mm? Tajetóia: 2 - Maque (V) paa as afimações vedadeias e (F) paa as falsas: a) ( ) eta não tem lagua, nem diâmeto, mas pode se epesentada po um taço. b) ( ) s pojeções de uma eta sobe um plano é sempe, outa eta. c) ( ) s pojeções de um ponto de uma eta estão sobe as pojeções da eta. d) ( ) eta é fomada po infinitos pontos alinhados. e) ( ) O taço (ponto notável) hoizontal da eta teá sempe afastamento nulo. 3 - Repesente coetamente os segmentos de eta, segundo seus dados: a) Segmento de eta () hoizontal: () = 55 mm () [-35; 5;??] () [5;??; 2] no 2º diedo. b) Segmento de eta (D) de topo: (D) = 4 mm () [-1; 1; 2] (D) possui afastamento negativo. 26

27 Estudo da eta 4 -(ENEM 216) Um gupo de escoteios miins, numa atividade no paque da cidade onde moam, montou uma baaca confome a foto da Figua 1. Figua 2 mosta o esquema da estutua dessa baaca, em foma de um pisma eto, em que foam usadas hastes metálicas. pós a amação das hastes, um dos escoteios obsevou um inseto desloca-se sobe elas, patindo do vétice em dieção ao vétice, deste em dieção ao vétice E e, finalmente, fez o tajetodo vétice E ao. onsidee que todos esses deslocamentos foam feitos pelo caminho de meno distância ente os pontos. pojeção do deslocamento do inseto no plano que contém a base D é dada po (esponda com caneta) D E 5 - Repesente o tiângulo ()()() em épua, a pati das coodenadas de seus vétices e da posição de seus lados: - () [-35; -25;??] ; - () [15;??;??] tem cota negativa; - () [??;3;??]; - ()() é fontal de 55mm; - ()() é hoizontal; - ()() é de pefil; 27

28 Estudo da eta 6 - Detemine as pojeções do tiângulo ()()() em épua, dadas as pojeções dos vétices, e sabendo que ()() é hoizontal de 55mm, ()() é vetical, e o afastamento de () é positivo: 7 - Repesente po suas pojeções o segmento ()() (), dados os seus taços (V) [2;??;3] e (H) [2;4;??] e os extemos y = 3mm e z = 15mm: 28

29 Estudo da eta 8 - Efetue o ebatimento da eta (t) de pefil definida pelos pontos () e (). segui, complete as pojeções do ponto (), sabendo que ele petence à eta (t): a) () [; -35; 35]; () [??; 2;-4]; () [??; 15;??]; b) () [-1; -35; 2]; () [??; 5;-35]; () [??;??; 1] 9 - (ENEM 212) João popôs um desafio a uno, seu colega de classe: ele iia desceve um deslocamento pela piâmide a segui e uno deveia desenha a pojeção desse deslocamento no plano da base da piâmide. O deslocamento descito po João foi: mova-se pela piâmide, sempe em linha eta, do ponto ao ponto E, a segui do ponto E ao ponto M, e depois de M a. O desenho que uno deve faze é ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 29

30 1 - Duante uma visita à paia, o jovem Feliz Em Desenho, esolveu constui um pequeno castelo de aeia. o fica entediado com nada paa faze, seu pai deu a gande ideia de pocua as posições de etas que estudou duante suas aulas de Desenho no Pedo II. om a épua do castelo constuída ao lado, Identifique os segmentos esceva-os nos espaços coespondentes: E H E H a) Reta de topo:... b) Reta vetical:... c) Reta hoizontal:... d) Reta fontal:... e) Reta de Pefil:... Questão elaboada pelo licenciando aio Pacheco F F G G D E D H G F D 11 - Obseve as épuas dos tiângulos ()()() abaixo e, a segui, assinale a(s) altenativa(s) que desceve(m) coetamente os tipos das etas que fomam os lados dos tiângulos a) ( ) Nenhum dos lados é pependicula ao plano lateal ( ). b) ( ) Existe(m) lado(s) paalelo(s) ao plano lateal ( ). c) ( ) O tiângulo é fomado po etas hoizontal, fontal e de pefil. d) ( ) O tiângulo é fomado po etas fonto-hoizontal, fontal e vetical. e) ( ) O tiângulo é fomado po etas fonto-hoizontal, genéica e de pefil. f ) ( ) Somente dois tipos de eta fomam o tiângulo. a) ( ) Nenhum dos lados é pependicula ao plano lateal ( ). b) ( ) Existe(m) lado(s) paalelo(s) ao plano lateal ( ). c) ( ) O tiângulo é fomado po etas hoizontal, fontal e de pefil. d) ( ) O tiângulo é fomado po etas fonto-hoizontal, fontal e vetical. e) ( ) O tiângulo é fomado po etas fonto-hoizontal, genéica e de pefil. f) ( ) Somente dois tipos de eta fomam o tiângulo. 3

31 Estudo da eta 12 - Repesente o tiângulo ()()() em épua, a pati das coodenadas de seus vétices e da posição de seus lados: () [-15; 3; -2] () [??; 3; 5] () [25;??;??] ()y < ()() mede 6mm ()() é paalelo a ()() é paalelo a ( ') 13- Repesente o quadado (D) em épua, a pati das coodenadas de seus vétices e da posição de seus lados: () [-1; 35; -15]; () [25;??;??] ; () mínimo; y ()() mede 45mm ()() é paalelo a ()(D) é paalelo a ( ') 31

32 Estudo da eta 14 - omplete as épuas, posicionando as linhas de tea coetamente, de acodo com as infomações e as pojeções dos segmentos ()() dadas: a) ()y = -()(); b) ()z = ()(); c) ()z = -()()/2; d) () ( p); 32

33 Estudo da eta 15 - Efetue, em cada caso e com auxílio de instumentos, o ebatimento da eta (m) de pefil definida pelos pontos () e (). segui, complete as pojeções do ponto (), sabendo que ele petence à eta (m): 1 caso () [;-2;3] () [??;1;-1] ( ) [??;-4;??] 2 caso () [;25;-5] () [??;-2;15] ( ) [??;??;25] 33

34 Estudo da eta 6. POSIÇÕES RELTIVS ENTRE RETS Duas etas no espaço podem se coplanaes ou não coplanaes. Seão coplanaes quando estiveem contidas em um mesmo plano. Obseve as posições das etas () e (s) em elação ao plano (a) nos casos abaixo. (s) () (s) () () (s) OPLNRES NÃO OPLNRES s etas coplanaes podem se denominadas concoentes ou paalelas. São concoentes quando existe um ponto pópio de inteseção ente elas. Poém, quando o ponto comum fo impópio, as etas seão paalelas e manteão a distância ente si constante. s etas que não coplanaes são denominadas evesas. 6.1 RETS ONORRENTES Po seem coplanaes, podeão esta contidas em planos pependiculaes ou oblíquos aos planos de pojeção, como nos exemplos abaixo. (s) (s) () (P) (s) () (P) () (P) om base nas espaciais acima, complete as épuas abaixo com um esboço das pojeções das etas. 34

35 Estudo da eta 6.2 RETS PRLELS omo também são coplanaes, seus planos podem se pependiculaes ou oblíquos aos planos de pojeção, como nos exemplos abaixo. (s) (s) () (s) () () om base nas espaciais acima, complete as épuas abaixo com um esboço das pojeções das etas. 6.3 RETS REVERSS inda que não coplanaes e sem pontos comuns, suas épuas podem induzi a eos de econhecimento de suas posições elativas, como nos exemplos abaixo. s s s s s s om base nas épuas acima, complete as espaciais abaixo com um esboço das posições das etas. 35

36 Estudo da eta EXERÍIOS 1- Identifique as posições elativas das etas () e (s) apesentadas nas épuas abaixo: s s s s s s s s s s 2 - omplete as épuas abaixo com as pojeções de (), (s) e (P), de acodo com as infomações dadas: a) () e (s) são concoentes; () é hoizontal de cota = 15mm; (P) (); s b) () e (s) são paalelas; (P) (); s c) () e (s) são concoentes; () é de topo e (s) é fontal; (P) (); s P s s P P P d) () e (s) são evesas; (t) se apoia em () e (s); () é vetical com afastamento = 25mm; (P) (s); e) () e (s) são concoentes; (P) (s); Os taços de () distam 2mm (positivos) da L.T.; s t s P P t 36

37 Estudo do plano ESTUDO DO PLNO 1. DEFINIÇÃO visualização de um plano em épua depende, inicialmente, da compeensão de que: O plano é ilimitado; Um plano é deteminado po tês pontos não alinhados. () () () onsequentemente, é possível afima que o o plano pode se deteminado po: uma eta e um ponto que não petence à eta. () () Um plano é deteminado po duas etas concoentes. () (s) Um plano é deteminado po duas etas paalelas. (s) () 2. TRÇOS DO PLNO ssim como os taços de uma eta epesentam suas inteseções com os planos de pojeção, as etas fomadas nas inteseções de um plano com os planos de pojeção também são denominadas taços. Desse modo, dado um plano, tem-se: Taço hoizontal (), de cota nula, na inteseção com o plano hoizontal ; () Taço vetical (), de afastamento nulo, na inteseção com o plano vetical ; Os dois taços se inteceptam na L.T. ou são paalelos à L.T. () 37

38 Estudo do plano 3. PERTINÊNI DE RET E PLNO Retas contidas em um plano devem te seus taços petencentes aos taços de mesmo nome do plano. Isso implica que, uma eta () contida num plano teá seu taço vetical (V) em (), e seu taço hoizontal (H) em (). Obseve a espacial abaixo de uma eta () contida no plano e, a segui, complete a épua e a espacial com as pojeções da eta (): (V) ) ( () H V () (H) EXERÍIOS 1- nalise as épuas abaixo e identifique os casos em que a eta () petence ao plano : 38

39 Estudo do plano 2- omplete as épuas das etas petencentes ao plano, de acodo com as infomações dadas em cada caso. (a) é genéica (b) é genéica (c) é fontal b c a (d) é de topo (e) é hoizontal (f) é genéica d e f DESFIO 3- Repesente a épua do tiângulo ()()() contido no plano. onsidee as infomações abaixo: - () é fontal de 25mm; - ()z < ()z; - () é hoizontal de 3mm; - ()y < ()y; 39

40 Estudo do plano 4. PLNOS PRTIULRES posição espacial de um plano em elação aos planos de pojeção pode defini popiedades paticulaes ao plano. omo os planos de pojeção são otogonais, podemos conclui que um plano: Pode se pependicula aos dois planos de pojeção; Paalelo a um dos planos de pojeção, seá pependicula ao outo; Pode se pependicula a um plano de pojeção e oblíquo ao outo; Pode se oblíquo aos dois planos de pojeção. Quando o plano tem sua posição espacial paalela ou pependicula a um plano de pojeção, se faz impotante conhece algumas popiedades paticulaes que pemitem identifica sua posição po meio de seus taços em épua. 4.1 PLNOS PROJETNTES São os planos pependiculaes ao plano ou ao plano. Essa caacteística faz com que qualque elemento (ponto, eta, polígono, etc) contido em um plano pojetante tenha uma de suas pojeções contida no taço do plano. pojeção que estaá contida no taço seá sempe aquela a que o plano é pependicula. Obseve os planos pojetantes abaixo. ada um deles contém um tiângulo etângulo ()()() com catetos paalelos aos planos de pojeção (quando possível). om base nas espaciais, esboce os taços dos planos e as pojeções dos tiângulos nas épuas e, a segui, infome as posições dos planos em elação aos planos de pojeção e os tipos de etas dos lados dos tiângulos. Essas são as etas que o plano compota. PLNO HORIZONTL Posição do plano ( ) () ( ) () () Retas que admite ()() ()() ()() PLNO FRONTL Posição do plano () () ( ) Retas que admite ()() ( ) () ( ) ()() ()() PLNO DE PERFIL Posição do plano ( ) ) ( () ( ) () Retas que admite ()() ()() ( ) ()() 4

41 Estudo do plano PLNO DE TOPO Posição do plano ( ) () () ( ) Retas que admite ()() ( ) ( ) ( ) ()() ()() PLNO VERTIL Posição do plano ) ( () ( ) () () ( ) ( ) Retas que admite ()() ()() ()() 4.2 PLNOS NÃO PROJETNTES São os planos oblíquos aos planos e. ontinue a esboça as épuas e a completa as infomações de posição do plano e tipos de eta. PLNO PRLELO À L.T. OU DE RMP Posição do plano ( ) () () () () ( ) Retas que admite ()() ()() ()() PLNO QUE ONTÉM L.T. Posição do plano () () ( ) () () ( ) Retas que admite ()() ()() ( ) ()() () ( ) () (D) ( ) () () PLNO GENÉRIO OU QULQUER Posição do plano ( ) Retas que admite ()() ()() ()() ()(D) 41

42 Estudo do plano EXERÍIOS 1- Maque (V) paa as afimações vedadeias e (F) paa as falsas: a) ( ) Planos pojetantes são pependiculaes a um dos planos de pojeção ou ( ). b) ( ) Um tiângulo contido num plano de topo teá sua pojeção hoizontal sobe o taço do plano. c) ( ) Um tiângulo contido num plano vetical teá sua pojeção hoizontal sobe o taço do plano. d) ( ) Os taços de uma eta contida num plano petencem aos taços do plano. e) ( ) O plano hoizontal possui somente o taço de mesmo nome. Po isso se chama hoizontal. 2- Dadas as pojeções dos taços do plano nas épuas abaixo, identifique os nomes dos planos e diga se são pojetantes, macando com um X no quado coespondente, se fo o caso: É pojetante! É pojetante! É pojetante! É pojetante! É pojetante! 3 - Dadas as pojeções dos taços do plano nas épuas abaixo, peencha o quado com as indicações paalelo(//), oblíquo e pependicula, de acodo com a posição de cada plano em elação aos planos de pojeção: (Se pefei, esboce os planos nas espaciais) Posição Épua Em elação a Em elação a Em elação a ( ) Pimeia Segunda Teceia Quata Quinta ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 42

43 Estudo do plano 4 -onsideando que haja um quadado ()()()(D) contido em cada um dos planos (á) abaixo, assinale a opção que epesenta coetamente sua situação em épua. D D D D D ( ) D ( ) ( ) ( ) D D D ( ) D D D ( ) ( ) ( ) D D D D D D ( ) ( ) ( ) 43

44 Estudo do plano D D D ( ) D D D ( ) ( ) ( ) 5 - onsideando que haja um tiângulo equilateo ()()() contido em cada um dos planos (á) abaixo, assinale a(s) opção(ões) que epesenta(m) coetamente sua situação em épua. ( ) ( ) ( ) ( ) O tiângulo contido no plano acima deve te as medidas da figua abaixo, quando em V.G. ( ) ( ) ( ) 44

45 Estudo do plano Osca Niemeye 15/12/197 5/12/212 Estação abo anco iência, ultua e tes (ao lado), foi pojetada pelo aquiteto Osca Niemeye, inauguada no dia 3 de julho de 28, e tem a missão de leva cultua, ate, ciência e tecnologia à população de foma gatuita. O complexo possui 8.5m² de áea constuída e é composto po um conjunto cinco edifícios. Ente eles uma toe espelhada eguida em foma octogonal, apoiada sobe uma paede cilíndica Osca Niemeye foi o aquiteto basileio consideado uma das figuaschave no desenvolvimento da aquitetua modena. Nascido no Rio de Janeio, estudou na Escola de elas tes, e foi conhecido pelos pojetos de edifícios cívicos paa asília, e sua colaboação no gupo de aquitetos que pojetou a sede das Nações Unidas em Nova Ioque. Elogiado e citicado po se um "esculto de monumentos", Niemeye foi um gande atista e um dos maioes aquitetos de sua geação po seus patidáios. Niemeye se destacou po seu uso de fomas abstatas e pelas cuvas que caacteizam a maioia de suas obas, e esceveu em suas memóias: Não é o ângulo eto que me atai, nem a linha eta, dua, inflexível, ciada pelo homem. O que me atai é a cuva live e sensual, a cuva que enconto nas montanhas do meu país, no cuso sinuoso dos seus ios, nas ondas do ma, no copo da mulhe pefeida. De cuvas é feito todo o univeso, o univeso cuvo de Einstein. Fonte: cesso: 16/12/212 Foto e texto: cesso: 16/12/212 De acodo com a isomética abaixo, baseada no pédio descito acima, faça o que se pede nas 3 questões a segui: 8 - Detemine na épua abaixo as pojeções do etângulo (OS) e os taços do plano, sabendo: - (O) = 2mm; - (R) é o cento do etângulo; (O) (S) () ( ) R 6 - Identifique os nomes dos planos que fomam as lateais do edifício: O R 7 - Infome quais etas o plano admite:... 45

46 Estudo do plano O ento ultual Osca Niemeye - ON (abaixo) - pojetado po Niemeye, é um complexo de espaços cultuais situado na cidade de Goiânia, com edifícios em foma de volumes geométicos de conceto. O pédio da biblioteca é uma caixa de vido com fachada fumê, intencionalmente escua paa efoça o contaste com o banco do M, e do Palácio da Música e com o gande tiângulo vemelho do Monumento aos Dieitos Humanos - MDH. Foto e texto: cesso: 16/12/212 De acodo com a isomética abaixo, baseada no pédio do MDH, faça o que se pede nas 3 questões a segui: 11 - Detemine na épua abaixo as pojeções do tapézio isósceles (OS) que epesenta a entada do edifício, e os taços do plano, sabendo: - (OS) = 2mm; - () = 3mm; - (R) é o cento do tapézio (ponto médio da base média); (O) () (S) O ( ) R 9 - Identifique os nomes dos planos que fomam a base e as lateais do edifício: Infome quais etas o plano admite: R 46

47 Estudo do plano 12 - onfome o desenho isomético, epesente as pojeções do tiângulo isósceles (D)(E)(Z) contido no plano, sabendo: - altua elativa ao lado (d) mede 4mm; - (E)(Z) é vetical e mede 22mm; E ( E) (Z) (D) 13 - om base no desenho isomético, epesente as pojeções do losango (N)(O)(T)() contido no plano (b), sabendo: - ()(O) é hoizontal e mede 25mm; - (T)(N) mede 35mm; () ( N) (O) (T) 47

48 Estudo do plano 14 - om base no desenho isomético, epesente as pojeções do etângulo (N)(O)(T)() contido no plano (b), sabendo: - (N)(O) é de topo e mede 3mm; - (T)(O) mede 2mm; ( N) () (O) (T) 15 - Detemine as pojeções do tiângulo isósceles OM, inscito no plano, sabendo que: - (O) é topo igual a 3mm; - ()[?;1;15]; - Oy máximo; - altua elativa ao lado não conguente (O) igual a 2mm. 48

49 Estudo do plano 16 - Detemine as pojeções do tiângulo eqüiláteo () contido no plano, sabendo: () [??;1;25] () [??;3;1] 17 - Detemine as pojeções do paalelogamo (D) petencente ao plano de topo (b), sabendo: () fontal = 4mm, onde () x<() x ; (D)[65;1;35]; ()[1;25;]; 49

50 ILIOGRFI LIM, J. M.. postila de apoio - 2a séie do ensino médio. olégio Pedo II - ampus Engenho Novo II. Rio de Janeio, 214, 26p. OLÉGIO PEDRO II: postila de Desenho - Geometia Descitiva: 1a séie - Ensino Médio: efeência elaboação. Rio de Janeio, 29, 53p. PINHEIRO, V.. Noções de geometia descitiva: ponto eta plano. Rio de Janeio: o Livo Técnico, 1961, 23p. RÉDITOS EQUIPE DE DESENHO DO MPUS ENGENHO NOVO II: aolina Monteio de asto de ndade e Silva laudia Maia Neves Joge Macelo lves de Lima Natália Mafa Rodigo Rafael de Souza Feeia da Silva 4ª edição