VII Congresso de Mecânica Aplicada e Computacional Universidade de Évora 14 a 16 de Abril de 2003

Transcrição

1 Uvesdde de Évo 6 de Abl de AÁLIE UMÉRICA DE PROBLEMA DE VALORE DE FROTEIRA IGULARE Mtlde Pós-de-M Pto Pedo Mgel Rt d Tdde e Lm REUMO este tblho plcmos os métodos mécos ds dfeeçs fts e de shootg à esolção de poblems de vloes de fote ão lees sgles qe descevem s defomções de m memb. A eqção dfeecl cosded tem fom λ 8 γ ode e epesetm espectvmete tesão dl o o d memb e o coefcete de Posso sedo λ e costtes postvs cohecds. Poc-se fção qe stsfz s codções de fote: é lmtd em e ν Γ o ode e são úmeos es. Usdo métodos tetvos cohecdos como o de Pcd e ewto esolção do poblem ão le é edzd à esolção de m scessão de poblems lees qe são depos dscetzdos pelo método ds dfeeçs fts. Os esltdos obtdos pelo método ds dfeeçs fts são compdos com os do método de shootg e com os pesetdos em tblhos teoes. ] ].ITRODUÇÃO Cosdeemos m memb o estdo ão defomdo. Assmmos qe memb é dd em coodeds cldcs pel eqção zz e pessão qe está sjet é vetcl e fome. e memb fo s e estve sjet m foç de tesão e pessão vetcl b etão m defomção otcolmete smétc é desct ectmete pel eqção Eq. Assstete Isttto peo de Egeh de Lsbo Deptmeto de Eg. Qímc Lsbo. Pofesso Al Isttto peo Técco Deptmeto de Mtemátc Lsbo.

2 d d m ε ε θ ode ε θ e ε são espectvmete t de defomção dl e t de defomção tgecl. Além dsso vefcm-se s elções m z ' σ ε e θ σ θ ε ode σ e σ θ epesetm espectvmete tesão dl e tgecl. θ Admtdo qe s ts de defomção são peqes e memb é s e pessão vetcl é b Dckey mosto sdo le de Hook qe pt d eqção se pode obte m eqção pomd ve Dckey 987. Ms pecsmete Dckey mosto qe sob ests codções s gdezs ε θ ε z são peqes. Po cosegte plcdo fóml de Tylo à eqção cl e despezdo s potêcs de de epoete gl o speo e s potêcs de ε θ ε z de epoete gl o speo ele obteve segte eqção: d d d E d d G E G σ z ν E G d d d σ σ σ ode E é o módlo de elstcdde e GF/E sedo F defdo po F h ρ mp ρ dρ ode P é pessão plcd. Podem se cosdedos dos poblems de vloes de fote: poblem de tesão ode tesão dl σ fote é σ σ e o poblem de deslocmeto ode o ' deslocmeto dl é σ ν σ µ. E P smplfc e sem ped de geeldde cosdeemos P P costte e γ spefíce ão defomd tom fom z C ode e C são espectvmete o o d memb e lt do ceto té à spefíce e >. pohmos qe e todz-se segte otção: EP P P σ ; K ; ; λ Cγ β K h Eh Eh. Etão tom fom λ γ 8 ] ]. 5 edo solção d eqção 5 fom d memb pode se desct pels eqções: K ' P t [ ν ] w E dt EhK t ode e w são deslocção dl e vetcl d memb espectvmete e o coefcete de Posso. Rzão ete defomção tgecl e defomção dl m domío elástco.

3 essão Mecâc Esttl A fote d memb coespode. A codção de fote p o poblem σ d tesão é > e p o poblem do deslocmeto é K '' Eµ ν Γ. K Vmos cosde sepdmete tês poblems de vloes fote ão lees: poblem A Aálse ds gdes defomções de m memb esféc é m cso ptcl do poblem B com eqção 5; poblem B Aálse ds defomções de m memb esféc com postvo é m cso ptcl do poblem C com ; poblem C Aálse ds defomções de m memb com m fom btá sto é com >. Pete stções em qe pessão é mto b e tedo em cot qe v com P -/ e com P / coespode elevdo e bo e o temo do meo do segdo membo de 5 é mto bo pelo qe o podemos go ve Bley 988 poblem A. P poblem B em Bley e G 999 pov-se qe lm este e é postvo ssm como lm '. o poblem de tesão com este solção úc lmtd e postv se / ; e pelo meos m solção postv se >/. P o poblem do deslocmeto se Γ o poblem tem solção úc lmtd e postv este ctéo de cdde é ν Γ eqvlete - o qe se vefc se fo sfcetemete peqeo. e ν podem vefc-se múltpls solções. Qdo poblem C Bley e Robso 998 mostm estêc de vloes A/ p os qs solção obtd é ão moóto. P > os mesmos toes obtvem esltdos de estêc e cdde ssm como fomção qlttv sobe s solções. Alsdo sepdmete os poblems cosote o vlo de pmeo tem-se > segdo do cso em qe /<< e po fm o cso </. A fm de esolve o poblem mecmete todzem-se s ssbttções de vável. Etão de e eslt λ 6 γ A 8 ode b e b. o poblem d tesão e A>; p o poblem do deslocmeto - e A tom qlqe vlo el..método UMÉRICO Resltdos mécos p este poblem fom obtdos po otos toes sdo o método de shootg. este tblho epodzem-se vloes cohecdos plcdo esqems tetvos e o método ds dfeeçs fts p pomção méc do poblem de vloes de fote cosdedo. O método de shootg cosste esolção de poblems de vlo de fote potos e edz-lo à fom de poblem de vloes cs. Cosdeemos eqção 6 com

4 s codções de fote 7-8 e spohmos qe. Cosdeemos o poblem de vloes cs A µ µ ' 9 ode é m vlo btáo. Vmos ssm qe solção do poblem de vloes cs 7-8 este p qlqe el é úc e depede cotmete ds codções cs. o cso de em vez de 9 teemos A ' µ. o cso d codção cl em o poblem ão pode se esolvdo dectmete já qe o segdo membo ão está defdo esse poto. Po cosegte s codções cs são fomlds m poto pómo de. P sso tlz-se o compotmeto ssmptótco d solção M pómo d ogem qe o cso de é L ode L é m úmeo λ detem e M é ddo pel fóml M. Assm s codções cs qe L 8 λ solção deve stsfze em são L L 8 e λ ' L L 8. Deste modo o método de shootg este cso cosste em detem o vlo do pâmeto L p o ql fc stsfet codção de fote em. O método ds dfeeçs fts em sempe popoco bos esltdos qdo há sgldde m dos etemos podedo covegêc to-se mto let. o osso cso pes de eqção peset m sgldde em o método ds dfeeçs fts covege pdmete como veemos póm secção mesmo o cso em qe <. Ultpssdo este poblem vmos plc esqems tetvos com fldde de tsfom eqção ão le m scessão de eqções lees plcdo ests últms m esqem de dfeeçs fts. Cosdeemos m eqção dfeecl odá dd fom Lf ode L é m opedo le. O pmeo psso p o cálclo méco d solção cosste em edz o poblem ão le m seqêc de poblems lees tvés de esqems tetvos como o de Pcd e de ewto. O método de Pcd coespode cost m scessão de teds { } dds po L f ] b[ b ode é m fção dd defd em [b]. o cso do método de ewto scessão de teds é defd po f L f - ] b[ b O método de ewto covege em gel ms pdmete qe o de Pcd. De fcto se o método de ewto fo covegete etão covegêc deste método tetvo é qdátc. Estes esqems tetvos fom estddos em tblhos de Mooey ode são pesetds s popeddes qe fção f deve peset p qe o sstem teh m solção úc e o método tetvo covj p ess solção.

5 5 essão Mecâc Esttl Como vmos o págfo teo p obte m solção pomd do poblem 6-8 começmos po edz-lo m scessão de poblems lees. A pcpl de dos esqems de dfeeçs fts p obte m solção pomd dm eqção dfeecl é pom s devds d solção tvés de m combção le dos vloes qe el ssme em detemdos potos os potos d ede. Assm se eqção dfeecl estve defd m tevlo [ b] o pmeo psso é dscetz esse tevlo. Fzedo hb - / dvdmos ssm o tevlo [ b] em sbtevlos gs. A h chmmos psso de dscetzção O modo ms comm p pom s devds é tvés ds sées de Tylo p tl ege-se qe C [ b]. O método de Rchdso plc-se qlqe scessão qe se poss epeset fom: τ τ h h... ode h é m scessão l cjos temos são dsttos ete s são úmeos teos ts qe j p todo j são coefcetes es descohecdos. A sée do segdo membo de é em gel ft. O objectvo d etpolção de Rchdso cosste em obte m pomção tão pecs qto possível do lmte tlzdo m úmeo fto k de temos d scessão. obe pecsão dos esltdos obtdos po este método são cohecdos lgs teoems desctos em Bezsk e Zgl Aplcção dos métodos mécos Dz-se qe é m sbsolção do poblem - o - se stsfz s desglddes L-f p todo o ]b[ e b. e stsfz s mesms codções ms com o setdo ds desglddes vetdo dz-se qe é m spesolção. Os métodos tetvos cm-se com m sbsolção o com m spesolção U de modo gt covegêc fome e moóto d scessão. este tblho ptmos sempe de m sbsolção dfeete p cd m dos poblems. A tbel ode e C são pâmetos jst s costtes e q stsfzem espectvmete / - / - 9/8 q/ - 5/8 peset s sbsolções tlzds. Poblem A e B Poblem C </ /<< > C q - / C - Tbel : bsolções dos poblems em álse Um vez detemd sbsolção podemos esceve s eqções dos métodos de Pcd e de ewto p cd m dos poblems A B e C. Ddo qe os poblems A e B são csos ptcles de C esceveemos s eqções dos métodos tetvos pes p este últmo poblem.o poblem C o cso ds codções de fote de tesão é eqvlete Este poblem ão fo estddo

6 ' ' λ γ < 5 ode se somo m pcel mbos os membos d eqção 5 po fom qe ov fção f stsfç s codções efeds em Mooey Depos plcm-se os esqems tetvos ddos pels epessões - o - p o método de Pcd o de ewto espectvmete. Po fm plcmos o método ds dfeeçs fts com tês potos escolhedo m ede fome. Utlzdo m dfeeç cetl p pom devd de segd odem o poblem edz-se m sstem le tdgol d fom AUR ode b c c b c b c b A ϑ ϑ. P qlqe tem-se o esqem de ewto: /h... - h h B 6 6 c /h... - R[ /h ] T ode 8 λ γ.... A solção do sstem d -ésm teção é epesetd pelo vecto: U[... - ] T. Em mbos os esqems tetvos o vecto R só depede de vloes cohecdos.e. dos vloes d teção teo e dos vloes d solção fote..reultado UMÉRICO este págfo vmos peset esltdos dos cálclos efectdos p váos eemplos eltvos os poblems B e C. Os esltdos epostos p o poblem B efeemse às codções de fote do deslocmeto eqto qe os do poblem C se efeem às codções de fote de tesão. Pete os esltdos obtdos vefcámos qe ão hove vções sgfctvs ete os esltdos mécos obtdos dos métodos de Pcd e ewto e po sso pes são pesetdos os deste últmo. Os cálclos sevm p comp pdez dos dos métodos. Ao plc o método de ewto cosdem-se como pomções cs s sbsolções

7 7 essão Mecâc Esttl efeds tbel. ão pesetdos lgs esltdos mécos com dfeetes vloes de e. Os esltdos dos esqems ds dfeeçs fts fom obtdos p dvesos vloes do psso h. Cosdeámos p compção este método h/ h/ e h/8 e plcámos etpolção de Rchdso com edes. Atededo qe fo sdo m esqem de dfeeçs fts de segd odem ssm-se qe o desevolvmeto tem lg com e. Poto Vl. Apo. h/ Vl. Apo. h/ Vl. Apo. - Rchdso Vl. Apo Tbel : Vloes pomdos d solção do poblem B com e h/ s pmes cols de esltdos ª col coespode os vloes obtdos pelo método de shootg. A cdde de solção em sempe se vefc.e há vloes dos pâmetos p os qs este ms do qe m solção. Est stção vefc-se po eemplo qdo e tomm os vloes e.9 espectvmete. este cso temos ds solções postvs qe deommos po solção e solção. P clcl ests solções como pomções cs tlzm-se s fções: C - e 9C - espectvmete ve tbel. Apesetmos tbel os esltdos coespodetes est stção obtdos pelo método de ewto com 8 e pomções obtds pel etpolção de Rchdso com edes cosdedo como mo vlo do psso h.5 e os segtes h/ e h/. Poto Vl. Apo Rchdso hh/h/ Vl. Apo Rchdso hh/h/ Tbel : Vloes pomdos ds solções e do poblem B pelo método de ewto com e h/. O vlo pomdo coespode te h/8. Cosdedo como pomção cl 9.5C - vefcmos qe ão há covegêc pómo do poto. Ot ptcldde deste cso é qe p solção qdo o método tetvo covege s teds ão fomm m scessão moóto o cotáo do qe cotece os otos csos como epesetdo o gáfco.

8 potos fl potos fl potos fl Gáfco : olções do poblem B pelo método de ewto: solção em cm à esqed e solção em cm à det. Em bo está epesetdo m cso em qe o método tetvo dvege. Todos os gáfcos coespodem os vloes e h/8 e 5E-. Os esltdos mécos pesetdos p o poblem C fom obtdos esolvedo 5 vável sedo dd m codção cl do tpo. Po eemplo o cso de e.9685 os esltdos são pesetdos tbel ; p e os esltdos são ddos tbel 5. Poto Vl. Apo Vl. Apo Vl. Apo Rchdso hh/h/ Tbel : Vloes pomdos d solção pelo método de ewto com com h/ h/ e h/8 espectvmete.e etpolção de Rchdso com edes Poto Vl. Apo Vl. Apo Vl. Apo Vl. Apo Tbel 5: Vloes pomdos d solção pelo método de ewto com com h/ h/ e h/8 espectvmete. E método de shootg ª col de esltdos. P flz pesetmos o úmeo de teções e o tempo de cálclo ecessáo à obteção dos vloes obtdos pelos dfeetes métodos de pomção e dvesos vloes de com m psso costte e gl h/8. Cosdeemos o poblem C. º. de teções Tempo de cálclo hootg Pcd ewto hootg Pcd ewto P pesetção dos esltdos fo tlzdo m comptdo com pocessdo Petm III de 665 MHz e 8 de RAM. Fo tlzd vesão do Mthemtc p mplemet os lgotmos.

9 9 essão Mecâc Esttl Tbel 6: úmeo de teções e tempo de cálclo p cd método do poblem C com dfeetes vloes de e....8 e h/8. Em Pto podem ecot-se tbels e gáfcos efeetes estes e otos eemplos d eqção 5 cldo os csos A B e C..COCLUÕE O método ds dfeeçs fts combdo com os métodos tetvos de Pcd e ewto pemt edz os poblems cs sstems lees de eqções ode é o úmeo de potos de ede o tevlo cosdedo. A álse dos esltdos obtdos pemte-os costt tl como se espev qe o método ds dfeeçs fts plcdo este cso tem covegêc de odem. Além dsso plcção do método de Rchdso com edes pemte-os em gel met pecsão dos esltdos em cec de tês css decms. o qe dz espeto os métodos tetvos como se pode ve pel tbel 6 o método de ewto é o qe covege ms pdmete ão só os csos de.6 e como tmbém p os esttes vloes de cosdedos. Em elção o método de shootg tem o coveete de em sempe se fácl ecot m pomção cl deqd qe gt s covegêc. Um vez ecotd tl pomção covege qse tão pdmete como o de ewto. REFERÊCIA Bley Joh V. A sgl ole body vle poblem: membe espose of sphecl cp m J.Appl.Mth Bley Joh V. e G Yhog ole body vle poblems fo shllow membe cps Comm. Appl. Al Bley Joh V. e Robso tephe B. ole body vle poblems fo shllow membe cps II m J.Appl.Mth Bezsk Clde e Zgl Mchel R. Etpolto methods theoy d pctce Elseve cece Pblshes B.V. 99. Dckey R.W. Membe cps Qt. of Appl. Mth Mooey J.W. Mootoe methods fo the Thoms-Fem eqto Qt. of Appl. Mth Mooey J.W. A fed ppoch to the solto of cet clsses of ole body vle poblems sg mootoe tetos ole lyss theoy methods & pplctos Pegmo Pess Ltd. Vol. o Pto Mtlde P.M. Aálse méc de poblems de vloes de fote sgles Dssetção de mestdo IT.