(rad/s), onde f é frequência cíclica em Hz=1/s, período: Vibrações livres não-amortecidas Equação do movimento (equilíbrio dinâmico): m & u
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- Ágata Leal Gusmão
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1 SISEMAS DE GRA DE IBERDADE êc ccl: π (/s, oe é êc cíclc e Hz/s, peíoo: Vções lves ão-oecs Eqção o oveo (lío âco: + k Solção: As( + Bcos(, A e B s coções cs: esloceo cl, v veloce cl v s( + cos( o ecee: sg(v A s( + φ, p sg v êc l (ccl: k, v é vlo v Aple: A + Âglo e se: φ c v Vções lves oecs Eqção o oveo: + c + k Moveo e ege s-cíco e ζ As + Bcos, A e B s coções cs: Solção: ( esloceo cl, v veloce cl v + ζ ζ e s( + cos( s + φ, p ζ o ecee: sg( v A e êc l ão-oec (ccl: Coecee o oeceo cíco: c c cção e oeceo cíco o co e oeceo: êc l oec (ccl: k ζ v + ζ Aple: A + Âglo e se: φ c v + ζ Moveo e ege cíco: ( A + B e, A e B s coções cs Moveo e ege spe-cíco: ζ ζ ζ e Ae + Be, A e B s coções cs π v se sg e vez e sg c ζ c c v
2 Vções oçs ão-oecs oç e ecção hóc: + k s( Solção: H + H A s(, oe : solção hoogée, vção l, vção e ege lve : solção pcl, vção oç, vção e ege oço Aple (pee vlo < vção oç A ( k ( Ω, oe Ω Solção cople: As( + Bcos( + A s(, A e B s coções cs: A s Ωs Coções cs hoogées: ( ( ( evelope ± A + AH + AAHcos( ( -, oe AH ΩA v A Coções cs ão-hoogées: s( + cos( + A s, oe o ecee: sg( v A s( + φ + A ( s( Ωs pe vção lve ão-oec Ecção pelo oveo e se hóco: s( Moveo ol: +, ção o oveo: + k s( o Solção logee coo o cso eo Desloceo elvo: sg( v A s( + φ + A ( s( Ωs A e φ é-se coo, oe A Desloceo solo: sg( v A s( + φ A Ωs( + A s( Vções oçs oecs o oç e ecção hóc: + c + k s( Solção: H + H, oe A : solção hoogée, vção l, vção e ege lve, cs o ege see : solção pcl, vção e ege oço, vção e ege escoáo Asso : sg( A s( + φ, oe Aple: A er + c k Ω + ζω R : coecee o co e plcção âc e : esloceo esáco qe csv ple oç e ecção c ζω Âglo e se: φ c c Ω Ω Ω Ω
3 Moveo e ege s-cíco Solção: e ζ ( As( + Bcos( + sg( A s( + φ, A e B s coções cs Coções cs hoogées: ζ A ζc A e s + c cos + sg( s( + φ ζ sg A s Ωe s oeceo o (s o eos é 5%: Ecção pelo oveo e se hóco: s( Moveo ol: +, ção o oveo: + c + k s( o Solção logee coo o cso eo e escoá o esloceo elvo: sg( A s( + φ, oe A Ω ( Ω + ( ζω Ω R, φ c e escoá o esloceo solo: sg A s + φ + s s + Φ, oe o, : co e sssle os esloceos, + ( ζω ( Ω + ( ζω No: ple e soeposção e os oveos ssos es êc: A A + A + AA cos( φ φ oç e ecção ão-hóc + c + k Co oeceo: ζ ( τ Solção pcl: τ e s( ( τ τ (egl e Dhel Solção ol: e ζ ( As Bcos + + v + ζ e ζ s( + cos( + Se oeceo: Solção pcl: τ s( ( τ Solção ol: As( + Bcos( + v s( + cos( + τ, A e B s coções cs, A e B s coções cs ζω Ω Csos pcles, se oeceo Iplso ecgl e ple e ção ( p coções cs hoog., e / k ( ( e cos e s > ( ( ( ( e cos cos e s s R / ; R s / / <
4 Solção po (vál é p oos plsos, ese qe se cos: s ( ( s / 4 τ τ τ τ k No: s( ( τ τ [ cos( ( τ ] e( cos( ( cos( ( k oç ecgl e ple co p e plcção ( p coções cs hoogées, e / k ; ; e s( ( < ; ; e + s s e s cos s π R + s +, o áo ocoe pós e oç g o se áo vlo π MÉODO DE RAYEIGH Vção svesl EI ( ψ ( + k ψ ( + k ψ ( + k( ψ ( Vção logl EA ψ ( + k ψ ( ( ψ ( + M ψ ( θ ( ψ ( + M ψ ( oe ( ol helcol coce, k( ols lees sís, ( ( w ( + M w ( ψ é eo ssível, EI gez e leão, EA gez l, k ol le coce, k θ ss sí, M ss coce splco g( wg( + gmwg( + kwg( + k( wg( oe ( g w g é eo clcl qe coespoe cg gvíc SISEMAS DE VÁRIOS GRAS DE IBERDADE Eqção o oveo (lío âco: M + C + K v g co coções cs e êcs e oos e vção ão-oecos, s-se ção e Vções lves ão-oecs M + K Cálclo s êcs: e( K M (ção cceísc, esolve lcee sgc qe se s éoo eco (o eco
5 o e M I, oe K é z e gez, é z e lele, M é z e ss, D.M é z âc e I é z á. O oo e vção l coespoe o veco qe esolve ção: ( K ( M o D I O oo e vção olzo Φ oe o é M Méoo e Sool (Deeção s êcs e oos pelo pocesso evo, íce o oo, íce e eções, k úeo e GD, úeo e copoees os vecoes, kk esão s zes Deeção o peo oo: A Repe os pssos seges (,, :. ~ D. ~ ( ~ ~, ;...; k, 3. ~ ~ Deeção os eses oos (,,k: ep: ( ( ( Φ oe o é ( ( ( M ( ( ( S S Φ Φ M, oe S I ( D D S, oe D D A Repe os pssos seges (,, :. ~ D. ~ ( ~ ~, ;...; k, 3. ~ ~ No: Cálclo s êcs: ~ M ~ ~ M o e lev (s ese poceeo é pecso go s copoees ls ~,s λ + K+ λk λ s, s, k; elho pecsão pel é λ e epos k,s Méoo e soeposção ol Vção lve e oç Eqção e oveo M + C + K co coções cs e v λ
6 so-se p sse e ções q + ~ ζq + q, k co coções cs q q, q q, k ( k Es soção z-se so z ol Φ [ Φ, K, Φ ] (oos olzos co z e ss esão o cols es z ~ Φ, q Φ Φ M, q Φ v Φ M v Depos e esolve q,, k (cooes geelzs Φ q k q Φ Aálse sísc Méoo e álse po oçs les oç e coe se S λ, oe é peíoo el, ss ol, λ coecee S eee-se o especo e espos e celeções, gelee especo e esoeo, s poe se é o elásco s h oçs les plc o ível os psos: o, oe s h s são esloceos o oo el o ível os psos, h são ls e psos Aálse ol po especo e espos Coecee e pcpção ol Φ M, oe esg os gs e lee ecção Máo esloceo geelzo q, S ( ( q,φ,φ Respos ese ee-se p cogção po eeplo o esloceo o lg : q Cálclo os esoços poe-se e lgs csos cl so z e oçs s ecções e GD: M, oe z e celeções é o pels cols s celeções coespoees os oos: q,φ S ( Φ Resposs epeees são coses qo p vec-se,9, epos espos á cople é (z q so os qos esposs epeees espos á cople ρ (coção qác cople, 3/ 8ζ + β β oe o coecee e coelção ρ, β e ρ ρ β + 4ζ β + β Alogee p os ecções y e z Coção e cções: po s coção oe ecção e co % e os co 3%. Aoeceo Rylegh C αm + βk oe α ζ, β ζ + +
7 Méoo Newk e egção éc Sse le (e GD, os k, c,, p,, Escolhe: éoo e celeção é: γ /, β / 4 o éoo e celeção le: γ /, β / 6 e Δ ep: p c k kˆ k + γ βδ c + γ + c βδ β βδ γ + Δ c β β Repe os pssos seges (,, : Δpˆ Δp +, oe Δp p p Δ Δ + Δpˆ kˆ γ γ γ Δ + Δ βδ β β + Δ - + Δ - p c k (o Δ Δ βδ βδ β e - + Δ SISEMAS CONÍNOS Vção logl e s Eqção e oveo: (, (, EA (, Esoço ol: (, N, EA opees coses: (, (, (,, veloce logl e popgção e o logl: EA EA, Y Y s Solção e vção lve:, vção hóc: Moos e vção: No: s ( C s + C cos c c s 4 c EA
8 Vção svesl e cos Eqção e oveo: w(, w (, S Q(, veloce logl e popgção e o svesl: c S Solção e vção lve: w (, W( Y, vção hóc: Y s( Moos e vção: Vção svesl e vgs Eqção e oveo: w (, w EI + ( W C s + C cos c c (, Q(, w Moeo leco: (, M, EI, esoço sveso: V(, EI( opees vg coses: 4 w(, w (, (, + 4 EI EI, 3 w, 3 Solção e vção lve: w W( Y, vção hóc: Y s( Moos e vção: ( C cosh( λ + C sh( λ + C cos( λ + C s( λ Aálse ol po especo e espos Coecee e pcpção ol Máo esloceo geelzo W 3 4 λ, 4 ( Φ ( + Φ ( S ( q, ( w EI
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