Algoritmo Branch and Bound para Solucionar o Problema da Alocação de Monitores de Qualidade de Energia Elétrica em Redes de Transmissão

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1 Algortmo Branch and Bound para Soluconar o Problema da Alocação de Montores de Qualdade de Energa Elétrca em Redes de Transmssão Débora C. S. Res, Student Member, IEEE, Paulo R. C. Vllela e Carlos A. Duque, Member, IEEE Resumo É apresentado neste artgo um algortmo branch and bound para a solução do problema de otmzação combnatóra resultante da modelagem do problema de alocação ótma de meddores de qualdade de energa elétrca em uma rede de transmssão qualquer do sstema elétrco de potênca. Incalmente mostra-se a modelagem do problema de otmzação, que é baseado fortemente na topologa da rede. Em seguda, apresenta-se o algortmo desenoldo para encontrar o número mínmo necessáro de montores para garantr a obseabldade da rede e quas as suas possíes localzações. Fnalmente, realzam-se smulações em três sstemas IEEE dstntos. Palaras-chae qualdade de energa, montoramento da qualdade de energa, alocação de montores de qualdade de energa, otmzação combnatóra, branch and bound. U I. INTRODUÇÃO m dos grandes desafos para garantr a qualdade de energa em uma rede de transmssão e dstrbução é a dentfcação das dersas fontes poludoras do sstema e a quantfcação dos níes de polução de cada uma das fontes. Estas nformações são fundamentas para as concessonáras de energa e agêncas reguladoras, uma ez que a partr delas será possíel crar polítcas corretas e puntas em relação aos agentes poludores. O problema de localzação das fontes de dstúrbos tem motado dersas pesqusas recentes entre elas podemos ctar as referêncas [9-2]. Este problema, porém, é de dfícl solução dado o alto níel de nterconexão das redes elétrcas e sua solução passa pelo montoramento dstrbuído das redes, atraés dos montores de qualdade de energa. O maor problema enfrentado no montoramento da rede elétrca está assocado ao custo dos meddores e dos canas de comuncação, motando assm desenolmento de metodologas que procuram mnmzar o custo total do sstema de montoramento [- 0]. Este trabalho fo fnancado pelo CNPq (Proc /2005-8). Débora C. S. Res está nculada Mestrado em Engenhara Elétrca da UFJF, emal: (debora.res@engenhara.ufjf.br) Paulo R. C. Vllela e Carlos A. Duque estão nculados ao Departamento de Crcutos Elétrcos da UFJF, Juz de Fora MG, Brazl, Fone: (+55) , emal: (paulo.llela@engenhara.ufjf.br), (carlos.duque@ufjf.edu.br) Abur e Magnano [] tratam do problema de alocação de meddores sob o ponto de sta da segurança estátca do sstema. É desenolda uma estratéga para a alocação ótma dos meddores permtndo que o sstema anda seja obseráel sob algumas possíes contngêncas soladas ou perdas de algumas meddas. Este trabalho apresenta de forma ponera o problema de alocação de meddores como parte de um modelo de otmzação baseado no problema do recobrmento. Um estudo sobre o problema de montoramento ótmo para caracterzação de aração de tensão de curta duração em sstemas de transmssão fo desenoldo por Almeda et al. [,2] e Olgun et al. [8]. A solução do problema de otmzação ntero é resoldo permtndo encontrar o número mínmo de meddores e a melhor posção no sstema para reduzr o custo do sstema de montoramento, garantndo a obserabldade dos eentos. Para a determnação de harmôncos em um sstema de montoramento fo proposta a utlzação uma sére temporal usando modelos de regressão e correlação para encontrar a localzação ótma dos meddores [4]. São usadas técncas de agrupamento na busca de conjuntos (clusters) de nós ou barras com comportamento semelhante. A metodologa pode ser aplcada tanto em sstemas de dstrbução, como em sstemas de transmssão. Rakpentha et al. apresentam um método para alocar undades meddoras de fasores (PMU) para a estmação dos estados de um sstema de potênca [7]. É encontrado o conjunto de soluções ótmas necessáras para garantr a obserabldade do sstema mesmo com a perda de meddas ou contngêncas como perda de um ramo. O presente artgo mostra a metodologa que fo usada para encontrar o número mínmo e a localzação dos montores de qualdade de energa elétrca em uma rede de transmssão. Neste trabalho procurou-se mnmzar o custo do sstema de montoramento garantndo a obserabldade total do sstema com a nstalação de meddores em barras estratégcas na rede. Dessa forma se torna possíel realzar estudos dos eentos de qualdade de energa elétrca (QEE). A bblografa analsada aponta claramente para o uso de técncas de otmzação combnatóra na solução deste tpo de problema, porém as soluções apresentadas nem sempre conseguam encontrar todas as possíes soluções ótmas. O uso de softwares de otmzação genércos (pacotes) dfculta,

2 2 na maora das ezes, o conhecmento dos meandros dos algortmos utlzados na busca da solução e a sua adaptação a casos especas dada a mpossbldade de se conhecer ou alterar o códgo de programação. Dessa forma, optou-se pelo desenolmento de um algortmo branch and bound (B&B) para determnar todas as soluções exatas de custo mínmo. Este trabalho está dddo da segunte manera: A Seção II apresenta a modelagem do problema, na Seção III exemplfca-se a técnca utlzada, na Seção IV é apresentado o algortmo proposto, na Seção V os resultados das smulações. As conclusões deste trabalho são apresentadas Seção VI. II. MODELAGEM DO PROBLEMA Esta seção tem o objeto de apresentar a modelagem realzada para a o problema de alocação de montores de QEE. O problema encontrado reca em um dos problemas clásscos da otmzação combnatóra, que é o problema do recobrmento (PR) [], que pode ser descrto matematcamente como segue n Função Objeto: mn z = c( j) x( j ) c x () j= em que c é o etor de custos, x é o etor de aráes. n Restrções: s.. a d(, j) x() j D x, =, K, m (2) j= 0 x( j ) () x( j) ntero para j = 0,, L, n (4) em que D é a matrz de densdade do problema de recobrmento. O PR aplcado ao de alocação de montores pode ser sto como a necessdade de se nstalar o número mínmo de meddores em uma rede do sstema elétrco de potênca (SEP), mas garantndo que será possíel obserar todas as tensões e correntes do sstema, necessáras para a análse da QEE. A modelagem proposta aqu está fortemente apoada em [9-0]. Nestes artgos os autores propuseram uma modelagem para o problema de alocação de montores de QEE baseado na topologa do sstema. Por esta razão toda a metodologa apresentada só é álda se a topologa do sstema não for alterada. Esta restrção não compromete o uso do método numa das prncpas aplcações da QEE que é a localzação das fontes poludoras da rede e que dee ser feta com a topologa não alterada. Incalmente é precso defnr quas são as possíes localzações dos montores de QEE na rede de nteresse. Consderou-se que eles só deeram ser nstalados nas barras do sstema. Em seguda, é precso dentfcar qual é o custo assocado à nstalação em cada barra do sstema. Assm, o problema se torna o de encontrar o número mínmo de meddores a ser nstalado para que o custo total do sstema de montoramento seja o menor possíel e em qual ou quas barras será feta essa nstalação. Além dsso, outra característca fundamental do PR aplcado é que todas as tensões e correntes do sstema deem ser cobertas por pelo menos um meddor. Isso sgnfca que pelo menos um meddor dee medr ou estmar cada uma das aráes de estado do problema, que são a tensão em cada barra e a corrente em cada lnha de transmssão. Incalmente, consdere um sstema com n barras, L lnhas e m aráes de estado. O número total de aráes de estado será gual à soma do número de barras e lnhas, m = n + L. Nos próxmos tens serão destacados cada um dos etores ou matrzes necessáros para a formulação do problema. A. Vetor de Exstênca O etor de exstênca é um etor bnáro de dmensão n x que representa a nstalação ou não do montor naquele barramento, cada elemento deste etor é defndo por (5),, se o montor é nstalado na barra j x( j) = 0, caso contráro (5) O etor de exstênca é dado por (4), x = x() x(2) L x( n) t (6) [ ] B. Vetor de custo Para a nstalação de cada um dos montores exste um custo assocado, que está representado no problema pelo etor de custos c, (8), sua dmensão é x n representando o número total de regões possíes de nstalação, ou seja, o número total de barras do sstema. Cada elemento deste etor pode ser defndo como segue c (j) = custo de nstalação do montor na barra j. (7) E o etor é dado por c = c() c(2) L c( n) (8) [ ] C. Função Objeto O objeto deste problema é mnmzar o custo total do sstema de montoramento, que é dado pela soma do custo de nstalação de cada um dos meddores, assm a equação objeta é descrto como em (), repetda aqu por conenênca. n mn z = c( j) x( j ) = cx (9) j= D. Restrções As restrções deste problema precsam garantr que todas as aráes de estado sejam meddas ou calculadas por pelo menos um montor de QEE, sso é feto usando o conceto de obserabldade. É necessáro que todas as aráes de estado, tensões nas barras e correntes nas lnhas de transmssão, sejam obseráes. Para garantr a obserabldade do sstema dos lemas, que são conseqüêncas das les de Ohm, são apresentados [9-0]: Lema: Se a tensão em uma barra e a corrente atraés da lnha que sa dela são obseráes, então a tensão na outra barra (barra remota) também é obseráel. Lema 2: Se a tensão ao longo da lnha é obseráel, então a corrente atraés da lnha é obseráel. A partr do lema pode-se defnr a matrz de conectdade A. Esta matrz é usada como uma matrz auxlar na construção da matrz de densdade, D, do PR e representa a obserabldade das aráes de estado que correspondem à tensão nas barras. Sua dmensão é defnda pelo número total

3 de aráes de estado e pelos locas possíes de nstalação (número de barras), portanto A é uma matrz m x n. Sua coluna k representa o montor nstalado na barra k e sua lnha r representa a aráel de estado, podendo ser tensão na barra ou corrente na lnha. Cada elemento desta matrz é defndo em (0)., se r é obserada pelo montor k ark (, ) = (0) 0, caso contráro A partr do lema 2, defne-se as matrzes de coconectdade, B j e B k, representando a necessdade de obserar as tensões nas barras genércas j e k, consderando-as nterconectadas. Estas matrzes são usadas como auxlares na construção da matrz de densdade e representam a coobserabldade das aráes de estado que correspondem à correntes nas lnhas de transmssão. Assm é possíel garantr que jk será obseráel. A dmensão das matrzes B j e B k é m x n, a mesma da matrz A. Sua coluna k representa o montor nstalado na barra k e sua lnha r representa a aráel de estado r referente à corrente jk na lnha. Cada lnha dessas matrzes é defnda em () e (2). A( j), se r representa jk e as barras k e j são conectadas, () Bj() r = 0, caso contráro A( k), se r representa jk e as barras k e j são conectadas, (2) Bk () r = 0, caso contráro Algumas obserações deem ser fetas a respeto da montagem dessas matrzes. B j e B k só são defndas para as aráes de estado que representam corrente. Para as demas lnhas representando tensão, o alor do elemento é zero. 2. Para a montagem das matrzes A, B j e B k, as aráes de estado do sstema deem ser escrtas na segunte ordem: tensão nas barras em ordem crescente de numeração das mesmas e correntes com os índces em ordem crescente. Dessa forma é possíel construr a matrz de densdade do PR para o problema de alocação de montores. A matrz de densdade terá uma dmensão gual ao número de barras ou aráes de tensão, n, mas duas ezes o número de lnhas, 2L, para representar a aráel de corrente que depende da tensão em dos barramentos, j e k, genercamente. Ou melhor, a dmensão da matrz de densdade será (n+2l) x n. Pode-se descreê-la, portanto, da segunte manera A D= A + B A + B A em que (: ) (: nxn ) ( L: m) xn j( L: m) xn ( L: m) xn k( L: m) xn n xn () é a submatrz obtda a partr da matrz de conectdade das lnhas até n e todas as colunas, A ( Lm : ) xn é a submatrz obtda a partr da matrz de conectdade das lnhas L até m e todas as colunas, Bj( Lm : ) xne B k ( Lm : ) xn são as submatrzes obtdas a partr das matrzes de coconectdade das lnhas L até m e todas as colunas. III. EXEMPLO Usando a modelagem apresentada, será feto um exemplo nesta seção de uma rede de transmssão com parâmetros de carga e geração desconhecdos bem smplfcada, com somente três barras e duas lnhas, Fg., para lustrar passo a passo o problema de recobrmento aplcado à alocação de montores de qualdade de energa. Fg.. Dagrama unflar de uma rede de transmssão com três barras. Fo utlzado o software MatLab para a montagem da matrz de densdade do problema, com o objeto de não lmtar o tamanho da rede estudada. Para realzar o cálculo dos etores de obserabldade e co-obserabldade, fo usada uma matrz de entrada de dados, contendo em cada lnha o número das barras que conectaa cada lnha de transmssão. Portanto, o número de lnhas desta matrz é gual ao número de lnhas de transmssão do sstema e o número de colunas é gual a dos, representando o índce em ordem crescente para crar um padrão de notação. A. Rede de três barras e duas lnhas Incalmente, para edencar a modelagem das matrzes A, B j e B k usa-se o sstema da Fg.. A sua representação está feta atraés de um dagrama unflar smplfcado, porque não serão necessáros os conhecmentos dos seus parâmetros para a elaboração do PR, somente da sua topologa para ndcar como as barras estão conectadas. Seus índces são os seguntes, n =, L = 2 e m = 5. As matrzes A, B j e B k obtdas estão mostradas em (4), (5) e (6). Suas lnhas representando as aráes de estado, tensão ou corrente e as colunas os possíes locas de nstalação, ou seja, as três barras do sstema de teste. 2 0 A = B j = (4) (5)

4 4 B k = (6) Com essas matrzes prontas é possíel construr a matrz de densdade e elaborar o PR para o sstema da Fg., a este problema orgnal denomnaremos P 0. P 0 mn cx + c2x2 + cx Sujeto a ) x+ x2 2) x+ x2 + x ) x2 + x 4) 2x+ 2x2 5) x+ 2x2 + 2x 6) 2x+ 2x2 + x 7) 2x2 + 2x 8) x {0,} 9) x2 {0,} 0) x {0,} (5) (8) Com o PR pronto smula-se o algortmo para encontrar as soluções, que se destacam por conter o número mínmo de meddores e quas são suas possíes localzações neste sstema. IV. ALGORITMO DE SOLUÇÃO Problemas do tpo de recobrmento são naturalmente problemas de programação ntera (PPI), porém, estes são dtos ntratáes e se enquadram na classe dos problemas mas dfíces de otmzação combnatóra exstentes. Possuem númeras aplcações especalmente na área de localzação, alocação e roteamento [, 2]. Com o aanço tecnológco dos computadores em geral, possbltou-se o desenolmento de algortmos que usam dersas técncas para soluconar PPI. Para cada um dos tpos exstem algortmos específcos de solução, como os mostrados em [-7], mas neste trabalho buscou-se um algortmo exato de solução. Isto ocorreu porque no problema de alocação de montores usa-se o algortmo de solução uma únca ez para cada rede elétrca sob estudo e o objeto prncpal é encontrar todas as soluções possíes para se fazer uma análse da redundânca das meddas e análses de pós-otmzação. Além dsso, o uso de um pacote de otmzação fo descartado, porque dedo às suas lmtações nternas, eles não encontram todas as soluções áes de alocação. Desta forma, usou-se um algortmo branch and bound que fornece todas as soluções possíes de alocação de montores de qualdade de energa. Este algortmo fo mplementado em lnguagem MatLab. A. Formulação Achar todas as soluções ótmas de P 0 requer aerguar, a prncípo, todas as 2 n soluções possíes para as aráes bnáras x j. Nem todas estas possíes soluções são áes, sto é, satsfazem não somente às restrções (), mas também às restrções (4) do problema P 0. Por exemplo, num problema P 0 com apenas duas aráes bnáras x e x 2, o número de soluções nteras possíes é 4. Elas estão representadas na Fg. 4 a segur pelos értces em cor ermelha. A área eserdeada é o espaço das soluções áes do problema P 0 relaxado (denotado por P 0 ), sto é, aquele onde as aráes x e x 2 podem assumr qualquer alor real entre 0 e, sto é, 0 x e 0 x 2. A solução ótma do problema P 0 é, neste exemplo, o értce na cor erde e cujo alor ótmo é Z 0. Fg. 4. Espaço de soluções do problema P 0. As soluções nteras áes do problema P 0 são os értces (0,0), (,0) e (0,). O értce (,) não é uma solução áel para P 0. A solução ótma do problema P 0 é, neste exemplo, o ponto (0,) de alor Z 0. O alor Z 0 é menor que o alor Z 0 da solução ótma do problema relaxado P 0. Esta é uma propredade mportante que relacona todo e qualquer problema lnear ntero com seu correspondente relaxado, sto é, onde as condções de ntegraldade foram suprmdas. Nos problemas de mnmzação o alor ótmo (Z 0 ) do problema lnear ntero orgnal é maor do que alor ótmo (Z 0 ) do correspondente problema relaxado. Portanto resolendo-se o problema lnear relaxado obtém-se um lmtante superor (Z 0 ) para o alor ótmo do problema orgnal (Z 0 ). O cálculo destes lmtantes superores (bounds) é um passo mportantíssmo na construção dos algortmos do tpo branch and bound. A técnca utlzada pelos algortmos do tpo branch and bound consste em buscar soluções ótmas do problema P 0 utlzando-se dos procedmentos: partconamento (branchng) e poda (bound). O partconamento nada mas é do que a dsão do espaço de soluções do problema orgnal em espaços menores, sto é, com um menor número de soluções possíes a serem aerguadas. Por exemplo, o problema orgnal P 0 com n aráes pode ser partconado nos problemas: P = {P 0 x = 0} e P 2 = {P 0 x = 0} onde x é uma aráel qualquer do problema P 0. Cada um dos dos problemas gerados a partr de P 0 tem (n-) aráes e, portanto, 2 n- soluções possíes a serem nestgadas.

5 5 A lógca do partconamento do espaço de soluções resde na esperança de que é mas fácl resoler dos problemas combnatóros menores do que o problema que lhes deu orgem. A Fg. 5 a segur lustra uma árore que smbolza o partconamento do problema orgnal P 0 nos problemas P e P 2 e estes nos problemas P e P 4 ; e P 5 e P 6 respectamente, fxando-se em cada passo uma das aráes em 0 ou. Fg. 5. Árore de partconamento com os nós correspondentes a P 0, P e P 2 ; P e P 4 ; e P 5 e P 6. Cada um dos problemas P k será resoldo ou noamente partconado gerando dos outros problemas na árore, que serão resoldos ou partconados; e assm sucessamente. Caso o problema qualquer P k seja resoldo, o alor de sua solução será denotado por Z k e a solução ótma correspondente pelo etor X k. Chamaremos de Z L o menor alor obtdo entre os alores Z k calculados. Assm Z L e sua correspondente solução X L armazenam a melhor solução obtda até um determnado momento. Num caso extremo o partconamento poderá chegar a gerar 2 n problemas onde todas n aráes foram fxadas em 0 ou e desta forma suas respectas soluções são conhecdas. Edentemente sto dee ser etado ao máxmo, pos tem um custo computaconal altíssmo. A decsão de partconar cada um dos problemas P k é precedda pelo cálculo de um lmtante superor do alor ótmo Z k deste problema. O lmtante superor nada mas é do que o alor ótmo Z k do problema P k relaxado. Como se sabe Z k Z k num problema de mnmzação. Se for conhecda uma solução X L de alor Z L de tal sorte que Z k > Z L, sto é, o lmtante superor do alor ótmo de P k é por (maor no caso de um problema de mnmzação) do que o alor de uma solução já encontrada, não terá sentdo procurar a solução ótma a partr do problema P k e sendo assm ele dee ser podado, sto é, ele não será partconado. V. RESULTADOS OBTIDOS Usando o algortmo apresentado para encontrar a solução dos problemas de alocação consderando o alor de custo de cada montor gual a, encontrou-se as soluções apresentadas na Tabela I. A smulação fo feta com base na topologa das redes de teste IEEE 4, 0 e 57 barras. TABELA I RESULTADOS OBTIDOS DE SOLUÇÃO DO NÚMERO MÍNIMO DE MONITORES CONSIDERANDO CUSTOS DE INSTALAÇÃO IGUAIS Rede Nº Mínmo de Montores Nº de Soluções Ótmas IEEE 4 barras 4 2 IEEE 0 barras IEEE 57 barras 7 47 Para o exemplo de barras da Fg. 2 a solução sera a de nstalar somente um montor na barra 2. Já para o sstema IEEE 4 barras, a prmera possíel alocação sera nstalar montores nas barras 2, 6, 8 e 9 e a segunda sera nstalar nas barras 2, 6, 7 e 9. Percebeu-se que a consderação de todos os custos guas, especfcamente guas a um, não fo uma boa alternata. Esta é uma consderação pouco prátca, sto que o custo de nstalação em barras dstntas é dferente dedo à localzação e mportânca de cada barra, tpo de subestação, equpamentos e dsponbldade de canal de comuncação e eno de dados preamente exstentes. Outro ponto mportante de se destacar é que esta consderação fez com que o sstema fcasse altamente combnatóro, já que o alor da função objeto é o mesmo para qualquer combnação que se nstale o mesmo número de montores. Bom exemplo dsso é o número de soluções encontradas para os sstemas de 0 e 57 barras IEEE, Tabela I, um total de 858 e 47, respectamente, soluções ótmas, ou seja, possíes alocações dferentes de montores e que, teorcamente, teram o mesmo custo. Por sso também não se smulou para sstemas com um número de barras maor e o custo de nstalação de cada montor gual, porque o crescmento do número de nós é exponencal e o número de soluções áes sera ggantesco. Desta forma, consderaram-se os custos de nstalação dferentes em cada uma das barras. Esta consderação fo feta porque uma grande parcela do custo de nstalação se refere ao número de transformadores de tensão e corrente necessáros para se adqurr o snal da rede elétrca, assm, quanto maor o número de lnhas em cada barra, maor será o número de transformadores necessáros. [0, ] O resultado é mostrado na Tabela II. Os resultados obtdos para esta smulação foram mas próxmos dos que seram obtdos na prátca em smulações de redes do SEP real, porque o custo é aráel e exstem regões em que a nstalação de um montor sera náel. Obserando a Tabela II, nota-se que somente para a rede IEEE 4 barras o número de soluções possíes aumentou, sso se dee à característcas específcas de sua topologa. Para todas as outras redes a consderação de custos dferencados, fez com que o número de soluções ótmas fosse menor, em outras palaras, aumentou-se a restrção do problema de otmzação.

6 6 TABELA II RESULTADOS OBTIDOS DE SOLUÇÃO DO NÚMERO MÍNIMO DE MONITORES CONSIDERANDO CUSTOS DE INSTALAÇÃO DIFERENTES Rede Nº Mínmo de Montores Nº de Soluções Ótmas IEEE 4 barras 5 4 IEEE 0 barras 2 4 IEEE 57 barras 8 5 Embora, de uma forma geral o número de montores necessáros tenha aumentado, o custo de nstalação é o mínmo possíel para qualquer uma das soluções encontradas. Isto sgnfca que qualquer solução atende a necessdade de obserar todas as aráes de estado da rede e o que defnrá qual será a solução escolhda é o conhecmento da rede sob estudo. VI. CONCLUSÃO Este trabalho apresenta um algortmo do tpo branch and bound de alocação de meddores de qualdade de energa elétrca numa rede de transmssão para mnmzar o custo de mplantação do sstema de montoramento. Baseada na topologa da rede a metodologa proposta garante a sua obserabldade frente aos eentos de QEE que possuem a topologa nalterada, como o estudo de localzação de harmôncos, por exemplo. A técnca matemátca utlzada partu da modelagem do problema como um de otmzação combnatóra (programação lnear e ntera), mas especfcamente como um problema de recobrmento, resoldo atraés de um algortmo do tpo branch and bound, desenoldo pelos autores. O algortmo fo programado em MatLab usando para cálculo dos lmtantes superores a rotna nterna para resolução de problemas de programação lnear. Futuramente é desejáel que o algortmo tenha todo seu códgo ntegralmente desenoldo de forma a permtr o uso de técncas de pós-otmzação dos problemas de programação lnear gerados. O algortmo proposto fo smulado usando como base as redes IEEE de 4, 0 e 57 barras para se encontrar a alocação de custo mínmo dos montores de QEE. Ele se mostrou flexíel o sufcente para suportar mudanças na modelagem do problema de otmzação combnatóra, como alterações do custo dos montores, reelando-se uma ferramenta adequada para desenolmento de casos reas de nteresse de concessonáras de energa elétrca. 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