Aline Fernanda Bianco

Transcrição

1 Alne Fernanda Banco Fltros de Kalman Robustos para Sstemas Dnâmcos Sngulares em Tempo Dscreto Tese apresentada à Escola de Engenhara de São Carlos da Unversdade de São Paulo, como parte dos requstos para obtenção do título de Mestre em Engenhara Elétrca. Área de Concentração: Sstemas Dnâmcos Orentador: Prof. Dr. Marco Henrque Terra São Carlos 29

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3 Dedcatóra Ao meu to LUZ CARLOS ROMANO (n memoran), com amor, admração e gratdão, por seu carnho, ncentvo e apoo. Saudades!

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5 Agradecmentos Prmeramente a Jesus Crsto, nosso mestre, espírto de luz e bondade. À memóra de meus avós e tos que certamente ntercedem por mm. Aos professores Marco Henrque Terra e João Yoshyuk shhara pela orentação, pacênca, dedcação e ncentvo nestes anos de trabalho. Aos meus pas Mguel e Regna, rmã Alethéa, ta Nede, prmos Lucana, Márco e Marcelo, cunhado Junor, prmnhos Gulherme e Rafael e meu sobrnho Murlo que está a camnho, por serem as pessoas mas mportantes da mnha vda Aos colegas do LAS (Laboratóro de Sstemas ntelgentes), por estarem comgo durante todo esse tempo em harmona. Aos amgos do coração Fernanda, Thaís, Camla, Eugêna, Cleber, Adrano, Rcardo, Danel, Jula, Fernando, Carolna, Marco Aurélo e Antono Carlos (Maranhão) pela generosdade, pacênca e lealdade com que sempre me trataram. Aos professores e funconáros do Departamento de Engenhara Elétrca, por me darem respaldo todas as vezes que precse. À FAPESP (Fundação de Amparo à Pesqusa do Estado de São Paulo) pelo suporte fnancero.

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7 Epígrafe Se as cosas são natngíves... ora! Não é motvo para não querê-las. Que trstes os camnhos, se não fora a presença dstante das estrelas! Máro Quntana

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9 x Resumo BANCO, A. F. Fltros de Kalman Robustos para Sstemas Dnâmcos Sngulares em Tempo Dscreto. 29. Tese (Doutorado) - Escola de Engenhara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, São Carlos, 29. Esta tese trata do problema de estmatva robusta ótma para sstemas dnâmcos sngulares dscretos no tempo. Novos algortmos recursvos são formulados para as estmatvas fltradas e predtoras com as correspondentes equações de Rccat. O fltro robusto tpo Kalman e a equação de Rccat correspondente são obtdos numa formulação mas geral, estendendo os resultados apresentados na lteratura. O funconal quadrátco proposto para deduzr este fltro faz a combnação das técncas mínmos quadrados regularzados e funções penaldade. O sstema consderado para obtenção de tas estmatvas é sngular, dscreto, varante no tempo, com ruídos correlaconados e todos os parâmetros do modelo lnear estão sujetos a ncertezas. As ncertezas paramétrcas são lmtadas por norma. As propredades de establdade e convergênca do fltro de Kalman para sstemas nomnas e ncertos são provadas, mostrando-se que o fltro em estado permanente é estável e a recursão de Rccat assocada a ele é uma sequênca monótona não decrescente, lmtada superormente pela solução da Equação Algébrca de Rccat. Palavras Chave: Sstemas sngulares, fltragem robusta, estmatva de estado, establdade, convergênca.

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11 x Abstract BANCO, A. F. Robust Kalman Flters for Dscrete-tme Sngular Systmes. 29. Thess (Doctoral) - Escola de Engenhara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, São Carlos, 29. Ths thess consders the optmal robust estmates problem for dscrete-tme sngular dynamc systems. New recursve algorthms are developed for the Kalman fltered and predcted estmate recursons wth the correspondng Rccat equatons. The sngular robust Kalman-type flter and the correspondng recursve Rccat equaton are obtaned n ther most general formulaton, extendng the results presented n the lterature. The quadratc functonal developed to deduce ths flter combnes regularzed least squares and penalty functons approaches. The system consdered to obtan the estmates s sngular, tme-varyng wth correlated noses and all parameter matrces of the underlyng lnear model are subject to uncertantes. The parametrc uncertanty s assumed to be norm bounded. The propertes of stablty and convergence of the Kalman Flter for nomnal and uncertan system models are proved, where we show that steady-state flter s stable and the Rccat recurson assocated wth ths s a nondecreasng monotone sequence wth upper bound. Keywords: Sngular systems, robust flterng, state estmaton, stablty, convergence.

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13 x Sumáro Resumo Abstract Lsta de Fguras Lsta de Abrevaturas e Sglas Lsta de Símbolos x x xv xv xx 1 ntrodução Motvação Estmatvas Ótmas para Sstemas Sngulares Estmatvas Fltrada, Predtora e Suavzada Objetvos Estrutura do Texto Publcações Decorrentes da Pesqusa Teora de Otmzação Não Lnear O Problema de Mínmos Quadrados Ponderados O Problema de Mínmos Quadrados Regularzados O Método das Funções Penaldade Estmatvas Recursvas Ótmas para o Modelo no Espaço de Estado Estmatva Fltrada para o Modelo no Espaço de Estado Estmatva Predtora para o Modelo no Espaço de Estado Expressões Equvalentes para as Estmatvas Recursvas Ótmas Estmatvas Recursvas Ótmas para o Modelo Sngular Nomnal Estmatva Fltrada para Sstemas Sngulares Nomnas Estmatva Predtora para Sstemas Sngulares Nomnas

14 xv 4.3 Casos Partculares das Estmatvas Recursvas Ótmas Establdade e Convergênca dos FSNs Resultados Prelmnares Establdade Convergênca Exemplo Numérco Estmatva Robusta para Sstemas Dnâmcos Sngulares Estabelecmento do Problema de Fltragem Robusta Estmatvas Fltradas Robustas Estabelecmento do Problema de Predção Robusta Estmatvas Predtoras Robustas Formas Matrcas Equvalentes para as Estmatvas Robustas Establdade e Convergênca dos FSRs Resultados Prelmnares Establdade Convergênca Resultados Numércos e Conclusões Comparação com o Fltro BDU Conclusões e Contnudade da Pesqusa Referêncas Bblográfcas 13

15 xv Lsta de Fguras 5.1 Evolução de P Evolução de P FSR( ) e Fltro BDU (- - -) Evolução de P

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17 xv Lsta de Abrevaturas e Sglas EAR Equação Algébrca de Rccat FSNs Fltros Sngulares Nomnas FSRs Fltros Sngulares Robustos FKs Fltros de Kalman FRKs Fltros Robustos de Kalman LDU nferor Dagonal Superor (Lower Dagonal Upper) BDU Dados com ncertezas Lmtadas (Bounded Data Uncertantes)

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19 xx Lsta de Símbolos R corpo dos números reas R n R n m A T A 1 A 1 2 A P > P conjunto dos vetores de dmensão n conjunto das matrzes de dmensão n m transposta da matrz A nversa da matrz A raz quadrada de uma matrz A semdefnda postva pseudo nversa da matrz A denota que P é defnda postva denota que P é semdefnda postva norma eucldana de um vetor ( x 2 = x T x para x R n ) P norma ponderada de um vetor ( x 2 P = xt Px para x R n ) x T P( ) expressão smplfcada para x T Px σ(a) conjunto dos autovalores dstntos da matrz A E esperança matemátca

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21 1 Capítulo 1 ntrodução 1.1 Motvação Desde que Rudolf E. Kalman apresentou em 196 o conceto fundamental de fltragem ótma recursva [3], város problemas têm sdo levantados e resolvdos para aperfeçoar uma classe de fltros orgnada desse conceto, que são denomnados Fltros de Kalman (FKs). Um dos problemas dentfcados é que os fltros que estão dentro desta categora podem ser sensíves às ncertezas do sstema, e essa sensbldade pode comprometer o desempenho e a establdade dos mesmos. Um caso típco ocorre quando o desempenho do fltro, embora ótmo para o sstema nomnal, pode se deterorar muto rapdamente quando os dados do sstema sofrem perturbações. sto não é acetável, uma vez que um modelo fel do sstema é dfícl de se obter. Motvado por este problema, um número relevante de artgos tem apresentado algortmos alternatvos para o FK usual para sstemas sujetos a ncertezas nos parâmetros, veja por exemplo [2], [42], [43], [45] e as referêncas contdas nelas. Tas fltros são denomnados Fltros Robustos de Kalman (FRKs) e algumas aplcações dessa classe de fltros podem ser encontradas em [19], [32] e [33]. O FK é um dos desenvolvmentos mas relevantes em cênca aplcada no últmo século, com forte destaque para as aplcações em engenhara. Atualmente, mutas exposções desta teora e suas aplcações estão dsponíves e mutas anda estão sendo desenvolvdas. O FK possu város aspectos mportantes, tas como produzr estmatvas baseadas em nformações passadas, presentes e futuras e fazer sto mesmo quando o modelo exato do sstema é desconhecdo.

22 2 1.2 Estmatvas Ótmas para Sstemas Sngulares Consdere um sstema dnâmco lnear varante no tempo descrto por E +1 x +1 = F x + G w, w + G v, v, z = H x + K w, w + K v, v. (1.1) Este sstema é denomnado sngular, sendo x R n a varável sngular (ou sem-estado), z R p a medda da saída, w R m e v R p os ruídos presentes no estado e na medda, E +1 R m n, F R m n, H R p n, G w, R m m, G v, R m p, K w, R p m e K v, R p p as matrzes do sstema nomnal. Quando E +1 = o sstema (1.1) reduz-se ao modelo no espaço de estado usual. A teora dessa classe de sstemas fo desenvolvda para descrever as dnâmcas de certos sstemas lneares em que a representação no espaço de estado não se aplca, tas como sstemas matrcas quadrados não nvertíves e sstemas matrcas retangulares. Os estudos sobre sstemas sngulares (também denomnados sstemas descrtores) são motvados pelo fato de que modelos com essas característcas aparecerem de manera frequente em dversas aplcações, como em sstemas econômcos [36], modelagem de magens [22], modelagem de aeronaves [44], modelagem de helcópteros [37], robótca [38], sstemas de potênca e crcutos elétrcos. Para sstemas sngulares dscretos no tempo, estmatvas de estado têm sdo formuladas de manera recursva e os fltros sngulares nomnas (FSNs) resultantes têm sdo objeto de estudo de dversos trabalhos (veja, por exemplo, [6], [13], [14], [18], [21], [28], [31], [39], [4], [48], [49]). Um ndcador do crescmento deste campo de pesqusa é o desenvolvmento de um toolbox de sstemas sngulares para o software Matlab [24]. 1.3 Estmatvas Fltrada, Predtora e Suavzada No sstema (1.1) z é consderado o conjunto de meddas ou observações. Assm, pode-se determnar ˆx que é o valor estmado de x, a partr das observações z. Para tanto, pode-se estmar x através de dversos métodos. Conforme a dsponbldade da quantdade de meddas, o conceto de estmatva recebe uma denomnação dferente. Quando se tem meddas, ou seja z,z 1,... z, então a estmatva de x, até a -ésma medda

23 3 é chamada de fltrada e é geralmente representada por ˆx. A segunda denomnação é a de estmatva predtora. Neste caso, deseja-se estmar o snal x +1 dspondo-se apenas de meddas ou observações, ou seja, z,z 1,...z. A tercera denomnação é a de estmatva suavzada. Neste caso, a quantdade de meddas dsponível é superor ao número estados que pretende-se estmar, ou seja, as meddas seguntes podem ser usadas para obtenção da estmatva. Assm, pode-se obter a estmatva ˆx dspondo-se das meddas z,z 1,...z +1. Normalmente o processo de suavzação pode se tornar mas exato do que o processo de fltragem, por envolver uma quantdade maor de meddas. Estes três tpos de estmatvas são representadas matematcamente por ˆx a estmatva lnear fltrada; ˆx +1 a estmatva lnear predtora; ˆx +1 a estmatva lnear suavzada; e são apresentadas nesta tese, tanto para o modelo sngular nomnal, quanto para o modelo sngular sujeto a ncertezas paramétrcas. 1.4 Objetvos Até o momento, o problema de estmatva robusta ótma para sstemas sngulares tem sdo assunto de poucas pesqusas [15], [16], [27], [29] e lvros [46]. Nesta tese, consdera-se (1.1) com ncertezas em todas as matrzes do sstema (E +1 + δe +1 )x +1 = (F + δf )x + (G w, + δg w, ) w + (G v,+1 + δg v,+1 )v +1, z +1 = (H +1 + δh +1 ) x +1 + (K w, + δk w, ) w + (K v,+1 + δk v,+1 ) v +1. (1.2) sendo que δe +1, δf, δg w,, δg v,, δh, δk v, e δk v, são perturbações varantes no tempo lmtadas por normas. A partr de (1.2), serão desenvolvdos fltros sngulares robustos (FSRs) va abordagem determnístca. Serão utlzados nessas deduções concetos de Mínmos Quadrados Regularzados em

24 4 conjunto com Funções Penaldade, descrtas na teora de otmzação. Veja para maores detalhes [1] e [42]. As novas expressões para os FSRs obtdas, com as respectvas equações recursvas de Rccat, apresentam uma estrutura smples e smétrca. Todas as nformações do sstema sngular nomnal com as respectvas nformações das ncertezas, são claramente dentfcadas em blocos matrcas. Os resultados apresentados nesta tese generalzam os resultados obtdos em [29] e [42]. O problema dual de controle robusto, utlzando as mesmas técncas desenvolvdas nesta tese, encontra-se em [12]. Antes da apresentação dos FSRs serão apresentadas as provas da establdade dos fltros sngulares nomnas (FSNs) e da convergênca da solução da Equação Algébrca de Rccat (EAR) em regme permanente. Para essa estrutura em blocos dos fltros será mostrado que há uma únca solução semdefnda postva para a EAR e que a recursão de Rccat caracterza uma sequênca monótona não decrescente lmtada superormente. Os argumentos utlzados para provar tas resultados estão baseados fundamentalmente nas referêncas [1], [11], [17], [34] e [4]. Todos os argumentos baseam-se em uma análse determnístca do problema. Para os FSRs, as provas de establdade e convergênca segurão a mesma lnha das provas apresentadas para o sstema nomnal, através de compactações apropradas dos parâmetros dos fltros. Vale destacar que uma das maores contrbuções dessa tese está no fato de que os algortmos recursvos robustos obtdos não dependem de nenhum parâmetro auxlar de ajuste para serem mplementados. Portanto, são bastante útes para aplcações em tempo real. 1.5 Estrutura do Texto Esta tese está organzada da segunte forma: Capítulo 2 Este capítulo mostra de manera detalhada os métodos de otmzação Mínmos Quadrados Regularzados e Funções Penaldade. A partr deste estudo, as estmatvas recursvas nomnas e robustas para sstemas sngulares dscretos e varantes no tempo são encontradas. Capítulo 3 Este capítulo apresenta fltros nomnas para modelos no espaço de estado, aplcando-se a teora dos mínmos quadrados recursvos. Nele mostra-se que há equvalênca entre as expressões

25 5 em blocos matrcas com aquelas algébrcas comumente encontradas na lteratura [2]. Capítulo 4 Este capítulo apresenta estmatvas ótmas para sstemas sngulares sem ncertezas paramétrcas, através da utlzação da abordagem desenvolvda no Capítulo 2. Através de smplfcações no modelo dos sstema, demonstra-se que os fltros obtdos equvalem aos FSNs apresentados em [5], [14], [28] e [4]. Capítulo 5 Este capítulo mostra as propredades de establdade e convergênca dos fltros obtdos no Capítulo 4, segundo a lnha desenvolvda em [7] e [4]. sto ocorre devdo às estruturas matrcas das equações obtdas serem smples e smétrcas. Capítulo 6 Este capítulo apresenta as estmatvas robustas ótmas nas formas predtora e fltrada, dervadas obtdas a partr das técncas de otmzação Mínmos Quadrados Regularzados e Funções Penaldade. Os FSRs são deduzdos para o caso mas geral e estendem os resultados obtdos em [29] e [42]. Capítulo 7 Neste capítulo são demonstradas as propredades de establdade e convergênca dos FSRs. Tas demonstrações são baseadas nos resultados detalhados no Capítulo 5, em decorrênca das expressões recaírem na formulação deduzda para o caso sngular nomnal. Capítulo 8 Neste capítulo um resultado numérco que estabelece uma comparação entre o desempenho do fltro robusto obtdo nesta tese com o apresentado em [42] é mostrado. Além dsso, são apresentadas as conclusões e as contrbuções do trabalho, bem como as perspectvas de trabalhos futuros. 1.6 Publcações Decorrentes da Pesqusa Esta tese gerou até o momento os seguntes artgos: [26] provsoramente aceto em um peródco nternaconal;

26 6 [4], [6], [8] e [25] publcados em congressos nternaconas; [7] e [9] publcados em conferêncas naconas.

27 7 Capítulo 2 Teora de Otmzação Não Lnear Este capítulo apresenta os métodos de otmzação de funconas quadrátcos sem ncertezas nos parâmetros (Mínmos Quadrados Ponderados) e com ncertezas nos parâmetros (Mínmos Quadrados Regularzados [42]). Além destes, detalha-se também o Método das Funções Penaldade [1] e [35]. A combnação destas técncas permte a obtenção da solução ótma ˆx resultante da otmzação de um determnado funconal quadrátco pré-defndo. A partr dessa assocação, algortmos para os FSNs e FSRs são obtdos nesta tese, possundo estrutura matrcal smples e smétrca. Os resultados deste capítulo têm permtdo a solução de problemas de fltragem robusta mas geras que os encontrados na lteratura. 2.1 O Problema de Mínmos Quadrados Ponderados Consdere o segunte problema de otmzação quadrátca ˆx = arg mn x {(Ax b) T W(Ax b)} (2.1) sendo W = W T, matrz de ponderação, A matrz conhecda e b vetor conhecdo. O próxmo resultado estabelece uma relação entre expressões que possuem matrzes nversas com aquelas que aparecem na forma de blocos matrcas de forma lnear. O lema a segur terá um papel mportante na dedução dos FSNs e FSRs que serão apresentados na sequênca. A prmera parte do resultado (Equação (2.2)) é apresentada em [4], enquanto a segunda parte

28 8 (Equação (2.3)) fo desenvolvda por nosso grupo de pesqusa. Lema Sejam R R n n uma matrz defnda postva e A R n p matrz posto coluna pleno. Neste caso, A T RA é nvertível e sua nversa pode ser calculada por ( A T RA ) 1 [ = [ = ] 1 R 1 A (2.2) A T 1 R ] A. (2.3) A T Prova: Utlzando o Lema de nversão de Blocos Matrcas 1, obtém-se R 1 A A T 1 = R RA( A T RA ) 1 A T R RA ( A T RA ) 1 ( A T RA ) 1 A T R ( A T RA ). (2.4) 1 Assm, ( A T RA ) [ ] 1 = R 1 A A T 1. (2.5) O lado dreto da Equação (2.5) equvale ao segunte sstema R 1 A a =. (2.6) A T P Defnndo-se b := R 1 a, segue que b R 1 a =, ou seja, Rb + a =. Além dsso, 1 Lema Sejam A R n n nvertível, B, C e D matrzes com dmensões apropradas. Então, a segunte dentdade é válda» 1 A B "A 1 + A 1 B `D CA 1 B 1 CA 1 A 1 B `D # CA 1 B 1 = C D `D CA 1 B 1. CA `D 1 CA 1 B 1

29 9 R 1 a + AP =, o que equvale a b + AP =, que escrto na forma matrcal torna-se R b A a =. (2.7) A T P Logo ( A T RA ) R [ ] 1 = A A T 1. O próxmo lema determna relações de equvalênca entre as soluções ˆx de (2.1). Na próxma seção o lema será estenddo, pos serão consderados problemas de mínmos quadrados com ncertezas. Este resultado será ndspensável para a obtenção das estmatvas robustas, deduzdas no Capítulo 6. Lema Suponha que W >, então as seguntes sentenças são equvalentes () ˆx arg mn x (Ax b) T W(Ax b), () x = ˆx é uma solução de A T WAx = A T Wb, () (x,λ,γ) = (ˆx, ˆλ, ˆγ) é uma solução de W A A T λ γ x = b. (2.8) Se (A T WA) for nvertível, então tem-se que ˆx é solução únca de (). Além dsso, (A T WA) 1 = W A A T T 1. (2.9) Prova: () () Defne-se o funconal J por J := (Ax b) T W(Ax b) = x T A T WAx 2x T A T Wb + b T Wb. (2.1)

30 1 Então 1 J 2 x = AT WAx A T Wb. (2.11) Se x = ˆx é um ponto de mínmo de J, pela condção de otmaldade de prmera ordem deve-se ter J x =, ou A T WAˆx = A T Wb. (2.12) () () Como W >, tem-se 2 J x = AT WA. (2.13) Assm, se x satsfaz a A T WAx = A T Wb, x é um ponto de mínmo de J. () () Defna as varáves auxlares λ := b Ax e γ := Wλ. (2.14) Como A T W(b Ax) =, tem-se Ax + λ = b γ Wλ = A T γ = (2.15) ou, de forma equvalente W A A T λ γ x = b. (2.16) () () W A A T λ γ x = b γ Wλ = γ = Wλ = W(b Ax) λ + Ax = b A T γ =. De γ = W(b Ax) tem-se A T γ = A T W(b Ax) = A T W(b Ax) A T WAx = A T Wb. Se A tem posto coluna pleno e W >, segue que A T WA é nvertível. Assm, pelo Lema 2.1.1, obtém-se a Equação (2.9).

31 O Problema de Mínmos Quadrados Regularzados Nesta seção o problema de mínmos quadrados regularzados para modelos com ncertezas nos dados será resolvdo e sua solução será dada na forma de blocos matrcas. Essa forma é aproprada para os fltros robustos deduzdos nesta tese, uma vez que faclta análses posterores de establdade e convergênca. Consdere o segunte problema de custo quadrátco ótmo ˆx = arg mn x max {δa, δb} { x 2 Q + (A + δa) x (b + δb) 2 W } (2.17) para um sstema cujas ncertezas paramétrcas são modeladas por [ δa δb ] [ = H N A N b ], (2.18) sendo Q = Q T >, matrz de regularzação, W = W T, matrz de ponderação para o erro de estmatva, A matrz conhecda, b vetor conhecdo, δa matrz de perturbação da matrz nomnal A, δb vetor de perturbação do vetor nomnal b, H, N A, N b, matrzes conhecdas com dmensões apropradas e matrz arbtrára satsfazendo 1 (contração). O resultado a segur fo apresentado em [41] e nas referêncas nternas. Trata-se de um lema fundamental para a teora de fltragem robusta, no qual utlza-se uma abordagem puramente determnístca. Lema [41] O problema de otmzação (2.17)-(2.18) tem uma únca solução ˆx dada por ( ) 1 ˆx = ˆQ + A T ŴA (A T Ŵb + ˆλN ) AN T b (2.19) sendo que as matrzes de ponderação modfcadas ˆQ e Ŵ são dadas por ˆQ := Q + ˆλN T AN A (2.2) Ŵ := W + WH (ˆλ H T WH) H T W (2.21) e ˆλ é um parâmetro escalar não negatvo obtdo através do segunte problema de otmzação ˆλ := arg mn λ H T WH G(λ) (2.22)

32 12 sendo que G(λ) := x(λ) 2 Q + λ N Ax(λ) N b 2 + Ax(λ) b 2 W(λ) (2.23) e as funções auxlares são defndas por x(λ) := [ Q(λ) + A T W(λ)A ] 1 [ A T W(λ)b + λn T AN b ] Q(λ) := Q + λn T A N A W(λ) := W + WH ( λ H T WH ) H T W. O próxmo resultado consdera a otmzação de um funconal quadrátco com ncertezas paramétrcas e determna equvalêncas entre expressões obtdas para ˆx. Lema As seguntes sentenças são equvalentes () ˆx arg mn x max {δa,δb} { x 2 Q + (A + δa)x (b + δb) 2 W }, (2.24) sendo δa e δb dadas por [ δa δb ] [ = H N A N b ] ; (2.25) () ˆx arg mn x A N A x b N b T Q Ŵ ˆλ A N A x b N b ; (2.26) () (x,λ,γ) = (ˆx, ˆλ, ˆγ) é solução do sstema Q τ 1 Ŵ τ 2 ˆλ τ 3 γ 1 =. (2.27) A γ 2 b N A γ 3 N b A T NA T x

33 13 Se (Q + A T ŴA + ˆλN T A N A) é não sngular, tem-se que ˆx é a únca solução de (). Além dsso, (Q + A T ŴA + ˆλN AN T A ) 1 = Q Ŵ ˆλ A N A A T NA T T 1. Prova: A partr do Lema 2.2.1, equação (2.19), obtém-se que () () ˆx = ( ˆQ + A T ŴA) 1 (A T Ŵb + ˆλN T AN b ) = (Q + ˆλN T AN A + A T ŴA) 1 (A T Ŵb + ˆλN T AN b ) que na forma de blocos matrcas pode ser escrta como [ ˆx = Q + A T N T A ] Ŵ ˆλ A [ 1 A T N T N A A ] Ŵ ˆλ b, (2.28) N b ou de manera compacta ˆx = (Q + A T WA) 1 A T WB, (2.29) sendo A = A, B = b e W = Ŵ N A N b ˆλ. (2.3) Assm, ˆx = [ ] A T Q W A 1 [ ] A T Q W B. (2.31) Aplcando o Lema na Equação (2.31), tem-se ˆx arg mn x {x T Qx + (Ax B) T W(Ax B)}. (2.32)

34 14 () () Substtundo-se as matrzes da equação (2.32) na Equação (2.8), com as dentfcações A, b e W A B Q W, (2.33) sendo A, W e B dados por (2.3), obtém-se a equação (2.27). 2.3 O Método das Funções Penaldade Esta seção trata do conceto de função penaldade sujeta a restrções lneares de gualdade. Mas detalhes sobre os resultados apresentados a segur podem ser vstos em [35]. Consdere o problema mn{f(x)} (2.34) sujeto a x S (2.35) sendo f uma função contínua em R n e S R n. O conjunto S é formado por restrções funconas factíves. A déa fundamental do método de função penaldade é substtur o problema (2.34)- (2.35) por um problema rrestrto da forma mn x {f(x) + cp(x)}, (2.36) sendo c uma constante postva e P uma função em R n que satsfaz as seguntes condções () P é uma função contínua; () P(x),para todo x R n ; () P(x) = x S. O procedmento para resolução do problema (2.34)-(2.35) pelo método de função penaldade é defndo como segue: () Seja {c k } k=1 uma sequênca de números reas tendendo ao nfnto tal que para cada k, tem-se: c k > e c k+1 > c k.

35 15 () Defna para cada c k a função q(c k,x) = f(x) + c k P(x). () Para cada k resolva o problema mn x {q(c k,x)}, obtendo uma solução x k. A convergênca desse método é garantda pelos resultados apresentados a segur que encontramse provados em [35]. Lema As seguntes relações são váldas () q(c k,x k ) q(c k+1,x k+1 ); () P(x k ) P(x k+1 ); () f(x k ) f(x k+1 ). Lema Seja x uma solução para o problema (2.34)-(2.35). Então para cada k f(x ) q(c k,x k ) f(x k ). (2.37) Teorema Seja {x k } uma sequênca gerada pelo método de penaldade. Então, qualquer ponto lmte da sequênca é uma solução para (2.34)-(2.35). Consdere agora o segunte problema ˆx = arg mn x x T V 1 x (2.38) sujeto a Gx = u (2.39) sendo u e x vetores, V uma matrz defnda postva e G uma matrz retangular conhecda. O próxmo resultado fornece expressões para soluções ótmas do problema de otmzação restrto. Teorema Sejam G R k n e V > R n n. Consdere o problema de otmzação com restrção ˆx = arg mn x x T V 1 x (2.4) sujeto a Gx = u (2.41)

36 16 sendo que u R k 1. Assocado ao problema com restrção (2.4)-(2.41) tem-se o segunte problema sem restrção ˆx(µ) = arg mn x ( Gx B) T V 1 (µ) ( Gx B) (2.42) sendo G =, V 1 (µ) = V 1 e B =, µ >. (2.43) G µ k u Então,o lmte lm µk ˆx(µ)sempre exste e é gual a lm ˆx(µ) = µ k ˆx (2.44) sendo ˆx a solução de (2.4)-(2.41). Uma expressão para ˆx(µ k ) é dada por ˆx (µ) = V (µ) G G T T 1 B. (2.45) Além dsso, tem-se que lm ( Gˆx(µ) µ k B)T V 1 (µ)(gˆx(µ) B) = (x ) T V 1 x. (2.46) Prova: A demonstração deste teorema é uma extensão dos resultados apresentados em [35] e resumdos nos lemas e e no Teorema Consdere o segunte problema de otmzação (2.38)-(2.39). Seja {µ k } k=1 uma sequênca de números reas tal que para cada k,tem-se: µ k > ; µ k+1 > µ k e lm k µ k =. Defna P(x) := (Gx u) T (Gx u). Observe que todas as condções da defnção de função penaldade são satsfetas para a escolha acma de P(x). Defna então para cada µ k a função auxlar q(µ k,x) = f(x) + µ k P(x). Ou seja, q(µ k,x) = x T V 1 x + µ k (Gx u) T (Gx u). (2.47) Para cada k consdere o problema mn x {q(µ k,x)}. Note que o problema mn x {q(µ k,x)} admte uma únca solução x k pos q(µ k,x)é uma função estrtamente convexa em x. Observe

37 17 então que o problema mn x {q(µ k,x)} pode ser reescrto na forma ˆx k := arg mn x x G u V 1 x µ k G u T (2.48) e admte a segunte solução ˆx(µ k ) = V µ 1 k G G T T 1 u. (2.49) Para cada k, consderemos a sequênca de soluções {ˆx k } k=1. De acordo com o Teorema qualquer ponto lmte da sequênca {ˆx k } k=1 é uma solução para o problema de mnmzação sob restrção de gualdade defndo acma. Então: x o = V G G T T 1 u. (2.5) Observe que a nvertbldade do bloco matrcal acma permanece garantda mesmo que µ 1 k quando µ k. Do Teorema temos anda que µ k P(x k ) quando µ k. Logo, lm µ k ˆx k G u V 1 ˆx k = (x ) T V 1 x. (2.51) µ k G u T

38 18

39 19 Capítulo 3 Estmatvas Recursvas Ótmas para o Modelo no Espaço de Estado Este capítulo desenvolve o equaconamento do FK para o modelo no espaço de estado usual e mostra que o fltro pode ser deduzdo a partr dos procedmentos de otmzação estabelecdos no Capítulo 2. Mostra-se que há equvalênca entre as expressões matrcas para o FK apresentadas neste capítulo nas formas fltrada e predtora com as formas algébrcas amplamente conhecdas [2] e [3]. Ressalta-se que, embora as expressões deduzdas para as estmatvas ótmas no espaço de estado sejam equvalentes às que aparecem frequentemente na lteratura, a motvação deste capítulo está na abordagem desenvolvda para determná-las. 3.1 Estmatva Fltrada para o Modelo no Espaço de Estado Consdere o segunte sstema dnâmco dscreto no tempo x +1 = F x + w z +1 = H +1 x +1 + v +1, (3.1) sendo x R n o vetor de estados, z +1 R p a medda da saída, w R m e v +1 R p os erros de ajuste presentes nas equações de estado e de medda, e F R m n e H +1 R p n as matrzes do sstema.

40 2 O estabelecmento do problema de fltragem recursva ótma para o modelo (3.1) é dado da segunte manera. Suponha que no passo tem-se a estmatva a pror do estado x e denote esta estmatva ncal por ˆx. Suponha também que há uma matrz de ponderação defnda postva P para o erro de estmação (x ˆx ). Para atualzar a estmatva de ˆx para ˆx propõe-se o segunte problema de mnmzação x ˆx ) w (ˆx +1, ˆx := arg mn x,x +1 v +1 x +1 x ˆx F w H +1 v +1 x +1 F ˆx z +1 x ˆx Q 1 w R v +1 x +1 T µ Θ 11 Θ 12 Θ 21 Θ 22 T P 1 (3.2) sendo µ > e Θ 11 Θ 12. Θ 21 Θ 22 Na sequênca, encontra-se uma manera equvalente de se escrever o problema (3.2). Esta nova formulação é mas compacta, o que faclta a sua solução, através da aplcação dreta dos lemas apresentados no Capítulo 2. Lema O problema de mnmzação (3.2) pode ser reescrto como mn ψ,x +1 ψ Z A H x +1 P 1 ψ Ξ 1 A H x +1 Z, (3.3) T sendo A := F, H :=, Z := F ˆx, P 1 := H +1 z +1 P 1 Q 1 R 1 +1 x ˆx ψ := w e Ξ 1 := µ Θ 11 Θ 12. (3.4) Θ 21 Θ 22 v +1,

41 21 Prova: Consdere as seguntes defnções, X := ψ e :=, e reescreva P 1 [ ]. Assm, segue que x +1 P 1 como [ ] ψ T x T P +1 1 [ ] ψ x +1 = ( X T ) P 1 ( T ) X. (3.5) Além dsso, defna x ˆx F w F ˆx := H +1 v +1 z +1 x +1 ] [A H ψ x +1 Z, (3.6) sendo A, H, ψ e Z dados por (3.4). Portanto, o segunte problema de mnmzação equvalente a (3.3) é obtdo mn x,x +1 ( X T ) P 1 ( T ) X + [ A H ] ψ x +1 T Z Ξ 1 [ A H ] ψ x +1 Z. (3.7) [ ] Como ψ T x T = ψ +1 T, têm-se as seguntes gualdades entre as expressões ( X T ) P 1 ( X T) = [ ] ψ T x T P 1 [ ] +1 ψ = ψ T P 1 ψ (3.8) x +1 e o problema (3.7) torna-se mn ψ,x +1 ψt P 1 ψ + [ A H ] ψ x +1 Z T Ξ 1 [ A H ] ψ x +1 Z (3.9) que, por sua vez, também equvale a (3.3). O próxmo resultado fornece expressões matrcas para as estmatvas fltradas ótmas e para a correspondente equação recursva de Rccat, consderando o modelo no espaço de estado usual.

42 22 Teorema Consdere o sstema (3.1) e o problema de mnmzação (3.3). Assm, tem-se que as estmatvas recursvas fltradas ótmas ˆx e sua correspondente equação recursva de Rccat são dadas respectvamente por ˆx = P Ξ A H A T H T T 1 Z (3.1) e P = P Ξ A H A T H T T 1, (3.11) sendo A, H, Z, P e Ξ defndas por (3.4). Prova: O problema de mnmzação (3.3) pode ser reescrto como sendo A := A H x +1 mn x (Ax b) T W (Ax b), (3.12), x := ψ, b := e W := Z P 1 Ξ 1 Dessa forma, aplcando o tem () do Lema obtém-se que ˆx +1 é solução do segunte sstema matrcal P Ξ AT H T λ 1 A H λ 2 Z ψ =. (3.13) Verfcando que a nversa está bem defnda em (3.13), uma vez que P, Ξ A H tem posto coluna pleno e P tem posto lnha pleno para todo, sto em decor- Ξ A H x +1.

43 23 rênca da presença das matrzes dentdade em A e H (veja (3.4)), a expressão (3.1) para ˆx é obtda. Anda pelo Lema 2.1.2, segue que a matrz P é defnda como parte de x, ou seja, P := (A T WA) 1 = W 1 A A T T 1 (3.14) que, escrta em termo dos parâmetros orgnas do sstema, resulta em (3.11). 3.2 Estmatva Predtora para o Modelo no Espaço de Estado Consdere o segunte sstema dnâmco dscreto no tempo x +1 = F x + w z = H x + v, (3.15) sendo x R n o vetor de estados, z R p a medda da saída, w R m e v R p os erros de ajuste presentes nas equações de estado e de medda, e F R m n e H R p n as matrzes do sstema. O problema de predção ótma é encontrar ˆx +1 tal que T x ˆx 1 P 1 1 x ˆx 1 ) w (ˆx, ˆx +1 := arg mn Q 1 w x,x +1 v R 1 + v x +1 x +1 T x ˆx 1 F ˆx 1 + F w µ Θ 11 Θ 12 H ˆx 1 + z H v Θ 21 Θ 22. (3.16) x +1 A solução de (3.16) é obtda segundo o mesmo procedmento desenvolvdo para a formulação fltrada. A únca dferença está no rearranjo das matrzes. O próxmo resultado é consequênca dreta do Teorema Coroláro Consdere o sstema (3.15) e o problema de mnmzação (3.16). As estmat-

44 24 vas predtoras recursvas ótmas ˆx +1 e a correspondente equação recursva de Rccat são dadas respectvamente por ˆx +1 = P Ξ D L D T L T T 1 Z, (3.17) e a correspondente equação recursva de Rccat P +1 = P Ξ D L D T L T T 1, (3.18) sendo D := F, L :=,Z := F P ˆx 1 1 e P := Q H H ˆx 1 + z. (3.19) R Prova: O problema de mnmzação (3.16) pode ser reescrto na forma (3.12), sendo A := D L x +1,x := ψ, b := e W := Z P 1 Ξ 1. Dessa forma, aplcando o tem () do Lema obtém-se que ˆx +1 é solução do segunte sstema matrcal P Ξ DT L T λ 1 D L λ 2 Z ψ =. (3.2) x +1 Verfcando que a nversa está bem defnda em (3.2), uma vez que P, Ξ D L

45 25 tem posto coluna pleno e P tem posto lnha pleno para todo, sto em decorrênca Ξ D L da presença das matrzes dentdade em D e L (veja (3.19)), a expressão (3.17) para ˆx +1 é obtda. Anda pelo Lema 2.1.2, segue que a matrz P é defnda como parte de ˆx que, escrta em termos dos parâmetros orgnas do sstema, resulta em (3.18). 3.3 Expressões Equvalentes para as Estmatvas Recursvas Ótmas Nesta seção serão mostradas equvalêncas entre as expressões das estmatvas fltradas e predtoras e correspondentes recursões de Rccat obtdas prevamente neste capítulo, com aquelas comumente encontradas na lteratura (veja [2] e [3]). Para sto, os lmtes lm µ ˆx, ou de forma equvalente lm Ξ ˆx, serão tomados de acordo com a teora de funções penaldade, desenvolvda na Seção 2.3 do Capítulo 2. Teorema Sejam ˆx e P dadas por (3.1) e (3.11), respectvamente. Então, tem-se que tas expressões podem ser reescrtas como ˆx := P (F P F T + Q ) 1 F ˆx + P H T +1 R 1 +1 z +1 (3.21) e P := ( (F P F T + Q ) 1 + H T +1 R 1 +1 H +1) 1. (3.22) Prova: A recursão ˆx é dada por (3.1), se e somente se, o segunte sstema de equações tver uma únca solução P A H A T H T a b c x +1 Z =. (3.23)

46 26 Esta equação matrcal equvale ao segunte conjunto de equações P a + c = c = P a A c + H x +1 = Z H x +1 = Z A c a + A T b = a = A T b H Tb = H T b = c = P A T b c = P A T b H x +1 = Z + A P a H x +1 = Z A P A T b. a = A T b a = A T b H Tb = H Tb = Como os parâmetros {a,c} podem ser escrtos em termos de b e x +1, o sstema (3.23) tem solução se e somente se A P A T H b H T x +1 = Z (3.24) tem solução. Utlzando o Lema do Capítulo 2 segue que x +1 é dado por ˆx = ( H T (A P A T ) 1 H ) 1 H T (A P A T ) 1 Z (3.25) que escrto em termos dos parâmetros orgnas, A := F, H :=,Z := F P ˆx e P := Q H +1 z +1 R +1 torna-se (3.21). A recursão P é defnda como parte de ˆx +1 +1, ou seja, (3.22) é obtda. Teorema Sejam ˆx +1 e P +1 dadas por (3.17) e (3.18), respectvamente. Então, tem-se que tas estmatvas podem ser reescrtas como ˆx +1 = P +1 ((F P 1 F T + P +1 ((F P 1 F T + Q ) 1 F P 1 H T (R + H P 1 H T ) 1 H P 1 F T ) 1 F x 1 + Q ) 1 F P 1 H T (R + H P 1 H T ) 1 H P 1 F T ) 1 F P 1 H T (R + H P 1 H T ) 1 (z H x 1 ) (3.26) e P +1 := (F P 1 F T + Q ) 1 F P 1 H T (R + H P 1 H T ) 1 H P 1 F T. (3.27)

47 27 Prova: A recursão ˆx +1 é dada por (3.1) se e somente se o sstema (3.28) tem uma únca solução P D L D T L T a b c x +1 Z =. (3.28) Esta equação matrcal equvale ao segunte conjunto de equações P a + c = c = P a c = P D Tb c = P D Tb D c + L x +1 = Z Lx +1 = Z D c Hx +1 = Z + D P a Lx +1 = Z D P D T a + D Tb = a = D Tb a = D Tb b a = D Tb. L T b = L T b = L T b = L T b = Como os parâmetros {a,c} podem ser escrtos em termos de b e x +1, o sstema (3.28) tem solução se e somente se D P 1 D T L b L T x +1 = Z (3.29) tem solução. Utlzando o Lema do Capítulo 2 segue que x +1 é dado por ˆx +1 = ( L T (D P 1 D T ) 1 L ) 1 L T (D P 1 D T ) 1 Z (3.3) que escrto em termos dos parâmetros orgnas D := F, L :=, Z := F P ˆx 1 1 e P := Q H H ˆx 1 + z R torna-se (3.26). A recursão P +1 é defnda como parte de ˆx +1, sto é, (3.27). Observação 1 Note a complexdade tomada pelas expressões das estmatvas ótmas e recursões de Rccat após serem fetas as reduções das formas matrcas, prncpalmente consderando o caso predtor. Este fato mostra uma vantagem do método proposto nesta tese, prncpalmente quando a classe de sstemas sngulares é consderada (veja para maores detalhes o Capítulo 4).

48 28

49 29 Capítulo 4 Estmatvas Recursvas Ótmas para o Modelo Sngular Nomnal Neste capítulo serão consderados fltros nomnas para modelos no espaço de sem-estado, denomnados fltros sngulares nomnas (FSNs). Serão obtdas estmatvas ótmas nas formas fltrada e predtora, por meo das seguntes técncas de otmzação: mínmos quadrados ponderados e funções penaldades. Os resultados deste capítulo mostram que os fltros apresentados são equvalentes aos fltros obtdos em [5]. O FSN apresentado neste capítulo é análogo ao apresentado em [6] e [25]. A prncpal dferença entre os dos procedmentos utlzados nas respectvas deduções está relaconada com o método para ncorporar as restrções no funconal a ser mnmzado. Na abordagem desenvolvda neste capítulo, as restrções são ncorporadas de forma quadrátca utlzando o termo denomnado função penaldade, enquanto em [6] e [25] as restrções são ncorporadas va multplcadores de Lagrange. 4.1 Estmatva Fltrada para Sstemas Sngulares Nomnas Consdere o segunte sstema dnâmco sngular dscreto no tempo E +1 x +1 = F x + G w, w + G v,+1 v +1 z +1 = H +1 x +1 + J x + K w, w + K v,+1 v +1, (4.1) sendo x R n a varável sngular, z R p a medda da saída, w R m e v R p os ruídos presentes no estado e na medda, E +1 R m n, F R m n, H +1 R p n, G w, R m m,

50 3 G v,+1 R m p, K w, R p m e K v,+1 R p p as matrzes do sstema nomnal e J R m n é a matrz que representa o termo de atraso na equação de saída. O problema de fltragem ótma é encontrar ˆx +1 +1, tal que T 1 x ˆx P x ˆx ) w (ˆx +1, ˆx := arg mn Q x,x +1 S w v +1 S T R +1 v +1 x +1 x +1 T x ˆx + F G w, G v,+1 E +1 w F ˆx µ Θ 11 Θ 12 J K w, K v,+1 H +1 v +1 z +1 Θ 21 Θ 22, (4.2) sendo µ > e Θ 11 Θ 12. Θ 21 Θ 22 x +1 Note que o problema de mnmzação (4.2) possu a mesma estrutura do problema (3.2). Sendo assm, a forma equvalente de se escrever o problema (3.2) apresentada no Lema 3.1.1, também pode ser desenvolvda para o caso sngular nomnal. Nesta nova formulação, segue mn ψ,x +1 ψ Z C N x +1 P 1 ψ Ξ 1 C N x +1 Z, (4.3) T sendo que as dentfcações (3.4) tornam-se C := Ξ := µ 1 F G w, G v,+1,n := E +1, Z := J K w, K v,+1 Θ 11 Θ 12 Θ 21 Θ 22 1 H +1 x ˆx e ψ := w v +1 F ˆx z +1,P 1 := P Q S S T R +1 1, (4.4) Como consequênca deste novo arranjo para o problema (4.2), o segunte resultado, que fornece expressões para as estmatvas fltradas sngulares nomnas com a correspondente equação recursva de Rccat, é obtdo. Teorema Consdere o sstema (4.1) e o problema de mnmzação (4.2). Assuma que as

51 31 seguntes hpóteses sejam satsfetas H 1 ] [C N tem posto lnha pleno para todo ; H 2 N tem posto coluna pleno para todo, para uma dada sequênca {z,z 1,...,z +1 }. Assm, tem-se que as estmatvas fltradas sngulares recursvas ótmas e sua correspondente equação recursva de Rccat são dadas respectvamente por ˆx = P Ξ C N C T N T T 1 ˆX Z (4.5) e P = P Ξ C N C T N T T sendo C, N, Z, Ξ e P dadas por (4.4). 1 Prova: O problema de mnmzação (4.2) pode ser reescrto como (3.12), sendo A := C N x +1, x := ψ, b := e W := Z, (4.6) P 1 Ξ 1. Aplcando o tem () do Lema 2.1.2, tem-se que ˆx +1 é solução do sstema matrcal P Ξ CT N T λ 1 C N λ 2 Z ψ =. (4.7) x +1 Por meo da segunda lnha de (4.7), obtém-se que Ξ λ 2 + C ψ + N x +1 = Z Ξ λ 2 + C φ + N x +1 = Z, (4.8)

52 32 sendo φ := x w v +1 e Z := z +1. Além dsso, através da prmera lnha de (4.7), a equação P λ 1 + ψ = torna-se P λ 1 + φ = ˆX, sendo ˆX = ˆx. Logo, o sstema (4.7) equvale a P Ξ C N C T N T λ 1 λ 2 φ x +1 = ˆX Z. (4.9) Assumndo que as hpóteses H 1 e H 2 são satsfetas, pelo Lema 1, a matrz à esquerda de (4.9) é não sngular e a solução ótma é dada por (4.5). Defnndo P como parte de ˆx +1 +1, a equação (2.9) do Lema resulta em (4.6). Observação 2 Através da solução de (4.2) tem-se que as estmatvas suavzadas podem ser obtdas como ˆx +1 := T P Q S S T R +1 F G w, G v,+1 E +1 J K w, K v,+1 H +1 F T J T G T w, K T w, G T v,+1 K T v,+1 E T +1 H T +1 1 ˆx z +1, (4.1) uma vez que ˆφ +1 = ˆx +1 ŵ +1 ˆv Lema [4] Sejam A R n n e B R n m com A. Tem-se que» A B B T é nvertível se e somente se B tem posto coluna pleno e ˆA B tem posto lnha pleno.

53 Estmatva Predtora para Sstemas Sngulares Nomnas Consdere o segunte sstema dnâmco sngular dscreto no tempo E +1 x +1 = F x + G ν z = H x + K ν, (4.11) sendo x R n a varável sngular, z R p a medda da saída, w R m e v R p os ruídos presentes no estado e na medda, E +1 R m n, F R m n, H R p n, as matrzes do sstema nomnal e G := G w, K K w, G v, e ν := w. (4.12) K v, v O estabelecmento do problema de predção para sstemas nomnas segue a mesma lnha desenvolvda para o caso fltrado. Suponha que no passo 1 tem-se a estmatva a pror do estado x e denote esta estmatva ncal por ˆx 1. Suponha também que há uma matrz de ponderação defnda postva P 1 para o erro de estmação (x ˆx 1 ). Para atualzar a estmatva de ˆx 1 para ˆx +1, propõe-se o segunte problema de mnmzação T 1 x ) ˆx 1 P 1 x ˆx 1 (ˆx, ˆx +1 := arg mn ν x,x +1 R ν x +1 x +1 T + F x G E ˆx 1 +1 ν H K F ˆx 1 µ Θ 11 Θ 12 H ˆx 1 + z Θ 21 Θ 22, (4.13) x +1 sendo que ν, G e K são defndos por (4.12) e R := Q O próxmo resultado auxlar apresenta uma manera alternatva de escrever o problema de mnmzação acma proposto. S T S R. Lema O problema de mnmzação (4.13) pode ser reescrto como mn ψ Z ψ,x +1 B M x +1 P 1 ψ Ξ 1 B M x +1 Z (4.14) T

54 34 sendo B := F G, M := E +1, Z := F ˆx 1,ψ := x ˆx 1 e H K Hˆx 1 + z ν P := P 1, Ξ 1 := µ Θ 11 Θ 12. (4.15) R Θ 21 Θ 22 A prova deste resultado é análoga à demonstração feta para o Lema 3.1.1, no qual uma compactação dos termos matrcas fo realzada, para facltar a aplcação dos lemas do Capítulo 2. Por este motvo, a prova fo omtda. A segur, será apresentado um resultado que fornece expressões para as estmatvas predtoras ótmas nomnas. Teorema As estmatvas recursvas ótmas ˆx +1 resultantes da solução do problema (4.13) e sua correspondente equação recursva de Rccat, podem ser obtdas alternatvamente através das seguntes recursões e sendo Z := ˆx +1 = P Ξ B M B T M T T P +1 =, ˆX 1 := z hpóteses sejam satsfetas ˆx 1 T 1 ˆX 1 P Ξ B M B T M T Z 1, (4.16), (4.17) e B, M, P dadas por (4.15), contanto que as seguntes H 3 ] [B M tem posto lnha pleno para todo ;

55 35 H 4 M tem posto coluna pleno para todo, e é dada uma sequênca {z,z 1,...,z }. Prova: O problema de mnmzação (4.14) pode ser reescrto como (3.12), sendo A := B M x +1, x := ψ, b := e W := Z P 1 Ξ 1. Aplcando o tem () do Lema 2.1.2, tem-se que ˆx +1 é solução do sstema matrcal P Ξ BT M T λ 1 B M λ 2 Z ψ =. (4.18) x +1 Através da segunda lnha de (4.18), obtém-se que sendo φ := x w v Ξ λ 2 + B ψ + M x +1 = Z Ξ λ 2 + B φ + M x +1 = Z, (4.19) e Z := P λ 1 + ψ = torna-se sendo ˆX 1 = ˆx 1. Logo, o sstema (4.18) equvale a. Além dsso, através da prmera lnha de (4.18), a equação z P λ 1 + φ = ˆX 1, P Ξ B M B T M T λ 1 λ 2 φ x +1 = ˆX 1 Z. (4.2) Assumndo que as hpóteses H 3 e H 4 são satsfetas, a matrz a esquerda de (4.2) é não sngular e a solução ótma dada por (4.16). Defnndo P +1 como parte de ˆx +1, a equação (2.9) do Lema resulta em (4.17).

56 Casos Partculares das Estmatvas Recursvas Ótmas Consderando lm Ξ, que equvale a tomar lm µ, através da aplcação da teora de funções penaldade (veja para maores detalhes a Seção 2.3 do Capítulo 2), nas equações (4.5)- (4.6) e (4.16)-(4.17), têm-se que os FSNs apresentados nas Seções 4.1 e 4.2 recaem nos fltros propostos em [5] que, escrtos em termos dos parâmetros do sstema (4.1), tornam-se [ˆx P ] := T P Q S S T R +1 F G w, G v,+1 E +1 J K w, K v,+1 H +1 F T J T G T w, K T w, G T v,+1 K T v,+1 E T +1 H T +1 1 ˆx z +1 (4.21) e [ˆx +1 P +1 ] := T P 1 Q S S T R F G w, G v, E +1 H K w, K v, F T H T G T w, K T w, G T v, K T v, E T +1 1 ˆx 1 z. (4.22) A fm de comparar o Coroláro com os resultados encontrados na lteratura, adote J = na estmatva fltrada e G w, = G, G v, =, K w, = e K v, = para todo, consderando os casos fltrado e predtor. Os próxmos resultados mostram que há equvalênca entre os fltros obtdos nas seções anterores deste capítulo, com os deduzdos por [28] e [4] que, por sua vez, podem ser reduzdos às formas encontradas em [14].

57 37 Lema Suponha que [F G ] tem posto lnha pleno e E +1 H +1 tem posto coluna pleno para todo. Então, pode-se reescrever [ˆx P ] := T P Q S S T R +1 F G E +1 H +1 F T G T E T +1 H T +1 1 ˆx z +1 (4.23) como [ˆx P ] := T F P F T + G Q G T G S E +1 S T GT R +1 H +1 E T +1 H T +1 1 F ˆx z +1 (4.24) ou, de forma equvalente, quando S = como ˆx := P E T +1(F P F T + G Q G T ) 1 F ˆx + P H T +1R 1 +1 z +1 (4.25) e P := (E T +1(F P F T + G Q G T ) 1 E +1 + H T +1R 1 +1 H +1) 1. (4.26) Prova: Se ˆx é dado por (4.23), segue que x +1 é solução do segunte sstema matrcal P Q S S T R +1 F G E +1 H +1 F T G T E T +1 H T +1 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 λ 5 x w v +1 x +1 = ˆx z +1. (4.27)

58 38 A partr da prmera e segunda lnha de (4.27), tem-se que P λ 1 + λ 3 + x = ˆx, (4.28) Q λ 2 S w e a partr da sexta e sétma lnhas segue que λ 1 = F Tλ 4. Substtundo λ 1 na equação λ 2 G T λ 4 λ 2 (4.28) obtém-se P F Tλ 4 + λ 3 + x = ˆx Q G T λ 4 S w P F Tλ 4 + λ 3 + x = ˆx. (4.29) Q G T λ 4 S w Agora, consdere a quarta lnha de (4.27) ] [F G x E +1 x +1 =. (4.3) w Por (4.29) tem-se que x = P F Tλ 4 + ˆx λ 3. (4.31) Q G T λ 4 S w Fazendo a substtução do vetor x em (4.3) pela equação (4.31), obtém-se w ] [F G P F Tλ 4 + ˆx E +1 x +1 = Q G T λ 4 S λ 3 F P F T λ 4 + G Q G T λ 4 G S λ 3 E +1 x +1 = F ˆx (F P F T + G Q G T )λ 4 + G S λ 3 + E +1 x +1 = F ˆx. (4.32)

59 39 Tem-se também a partr da tercera, qunta e otava lnhas de (4.27), respectvamente, que S T λ 2 + R +1 λ 3 + v +1 = (4.33) v +1 = H +1 x +1 + z +1 (4.34) λ 3 = λ 5. (4.35) Substtundo (4.34) em (4.33) e λ 2 por G T λ 4 obtém-se S T GT λ 4 + R +1 λ 3 H +1 x +1 = z +1 S T GT λ 4 R +1 λ 3 + H +1 x +1 = z +1. (4.36) Consderando a equação E T +1 λ 4 + H T +1 λ 5 =, obtda a partr da últma lnha de (4.27), segue que substtundo λ 3 por λ 5 dado em (4.35), tem-se E T +1λ 4 H T +1λ 3 =. (4.37) Escrevendo (4.32), (4.36) e (4.37) em forma matrcal, obtém-se F P F T + G Q G T G S E +1 λ 4 F ˆx S T GT R +1 H +1 λ 3 = z +1. (4.38) E+1 T H+1 T ] Como, por hpótese, [F G tem posto lnha pleno para todo, segue que a matrz à esquerda de (4.38) é não sngular. Sendo assm, ˆx é dado por (4.24). A demonstração que P dada por (4.23) pode ser escrta como (4.24) segue o mesmo procedmento desenvolvdo para ˆx e, desta forma, será omtda. Abaxo será mostrado que (4.24) equvale a (4.25)-(4.26) quando S =. Utlzando o Lema do Capítulo 2, tem-se que x +1 ˆx = [ E T +1 H T +1 [ E T +1 H T +1 ] (F P F T + G Q G T ) 1 R 1 ] (F P F T + G Q G T ) 1 R H +1 E +1 F ˆx z +1 1 (4.39)

60 4 ou seja, ˆx = ( E+1 T ( F P F T + G Q G T ) 1 ) 1 E+1 + H+1 T R 1 +1 H +1 E T +1(F P F T + G Q G T ) 1 F ˆx + H T +1R 1 +1 z +1. (4.4) Defnndo parte de ˆx como sendo P +1 +1, as recursões (4.25) e (4.26) são obtdas. Observação 3 Note que, embora a estrutura em blocos matrcas de (4.24) recaa na estrutura proposta em [4], nessa referênca a matrz G é consderada matrz dentdade. O próxmo resultado faz a redução do predtor sngular nomnal deduzdo na Seção 4.2 à forma encontrada em [39] (S = ), obtda a partr de uma reformulação do problema de máxma verossmlhança resolvdo em [4]. Lema Suponha que [F G ] todo. Então, pode-se reescrever tem posto lnha pleno e E +1 tem posto coluna pleno para ] [ˆx +1 P +1 := T P 1 Q R F G E +1 H F T H T G T E+1 T 1 ˆx 1 z (4.41) como ] [ˆx +1 P +1 := T F P 1 F T + G Q G T F P 1 H T E +1 H P 1 F T R + H P 1 H T E+1 T 1 F ˆx 1 z H ˆx 1 (4.42)

61 41 ou como ˆx +1 = P +1 E T +1 (Y F P 1 H T (R + H P 1 H T ) 1 H P 1 F T ) 1 F ˆx 1 + P +1 E T +1(Y F P 1 H T (R + H P 1 H T ) 1 H P 1 F T ) 1 F P 1 H T (R + H P 1 H T ) 1 (z H ˆx 1 ) (4.43) P +1 := (E T +1 (Y F P 1 H T (R + H P 1 H T ) 1 H P 1 F T ) 1 E +1 ) 1 (4.44) sendo Y := F P 1 F T + G Q G T. Prova: Se ˆx +1 é dado por (4.41), segue que x +1 é solução do segunte sstema matrcal P 1 Q R F G E +1 H F T H T G T E+1 T λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 λ 5 x w v +1 x +1 = ˆx 1 z. (4.45) A partr da prmera e segunda lnhas de (4.45), tem-se que P 1 λ 1 + x = Q λ 2 w ˆx 1, (4.46) e a partr da sexta e sétma lnhas segue que na equação (4.46) obtém-se λ 1 = F Tλ 4 + H Tλ 5. Substtundo λ 2 G T λ 4 λ 1 λ 2 P 1 F Tλ 4 H Tλ 5 + x = Q G T λ 4 w P 1F Tλ 4 P 1 H Tλ 5 + x = Q G T λ 4 w ˆx 1 ˆx 1. (4.47)

62 42 Agora, consdere a quarta lnha de (4.45) ] [F G x E +1 x +1 =. (4.48) w Por (4.47) tem-se que x = P 1F Tλ 4 + P 1 H Tλ 5 + ˆx 1. (4.49) Q G T λ 4 w Fazendo a substtução do vetor x em (4.48) pela equação (4.49), obtém-se w ] [F G P 1F Tλ 4 + P 1 H Tλ 5 + ˆx 1 E +1 x +1 = Q G T λ 4 F P 1 F T λ 4 + F P 1 H T λ 5 + G Q G T λ 4 E +1 x +1 = F ˆx 1 (F P 1 F T + G Q G T )λ 4 + F P 1 H T λ 5 E +1 x +1 = F ˆx 1 (F P 1 F T + G Q G T )λ 4 F P 1 H T λ 5 + E +1 x +1 = F ˆx 1. (4.5) Tem-se também a partr da tercera, qunta e otava lnhas de (4.45) que R λ 3 + v =, (4.51) v = H x + z, (4.52) λ 3 = λ 5, (4.53) respectvamente. Substtundo (4.52) em (4.51) obtém-se R λ 3 H x = z R λ 3 + H x = z. (4.54) Substtundo x dado por (4.48) e λ 3 dado por (4.53), ambos em (4.54) tem-se (R + H P 1 H T )λ 5 + H P 1 F T λ 4 = z H ˆx 1. (4.55)

63 43 Consderando a últma lnha de (4.45), segue que E T +1 λ 4 =. (4.56) Escrevendo (4.5), (4.54) e (4.56) na forma matrcal, obtém-se F P 1 F T + G Q G T F P 1 H T E +1 λ 4 F ˆx 1 H P 1 F T R + H P 1 H T λ 5 = z H ˆx 1. (4.57) E+1 T Como, por hpótese, [F G ] x +1 tem posto lnha pleno para todo, segue que a matrz à esquerda de (4.57) é não sngular. Sendo assm, ˆx +1 é dado por (4.42). A demonstração que P +1 dada por (4.41) pode ser escrta como (4.42) segue o mesmo procedmento desenvolvdo para ˆx +1 e, desta forma, será omtdo. Agora será mostrado que (4.42) equvale a (4.43)-(4.44). Utlzando o Lema do Capítulo 2 e defnndo Y := F P 1 F T + G Q G T, tem-se que [ E T +1 ] [ ] = E+1 T Y H P 1 F T Y H P 1 F T F P 1 H T R + H P 1 H T F P 1 H T R + H P 1 H T 1 E +1 1 x +1 F ˆx 1 z H ˆx 1, ou seja, [ ] x +1 = E+1 T [ E T +1 ] Y H P 1 F T Y H P 1 F T F P 1 H T R + H P 1 H T F P 1 H T R + H P 1 H T E +1 F ˆx 1. (4.58) z H ˆx 1 A nversa do bloco matrcal central de (4.58) pode ser calculada através da fatoração LDU 2, 2 LDU é uma decomposção matrcal da forma A = LDU, sendo D uma matrz dagonal e L e U matrzes dagonas untáras.