A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho original Albert Einstein

Transcrição

1 A m q r m ov idi jmi volrá o mho origil Alr Eii

2 ASF Irodção

3 ASF Irodção Prrção Erd d Rfrêci Erro A Coroldor (compdor) Ador (mplificdor) Rlimção (or, mdidor o rdor) Proco o Pl Síd

4 ASF Modlo Mmáico Qdro Rmo d Vriávi rvé or compo do im Compo Vriávl rvé Vriávl or Elérico Corr i() Difrç d ão v() Mcâico m Trlção Forç f() Difrç d vlocidd v l () Mcâico m Roção Torq () Difrç d vl. glr () Flido Vzão Volméric q() Difrç d prão p() Térmico Flo Térmico () Difrç d mprr () Com diipão d rgi Riêci Eléric R v() i() = R Eqçõ Difrcii d Elmo Idi Com rmzmo d rgi Idivo Idâci Eléric L v() = L d i() Cpciivo Cpciâci Eléric C i() = C d v() Ario o morcimo (rlção) f() = v l () Ario o morcimo r (roção) τ() = r () Riêci Flid R f q()= p() R f Riêci Térmic R ()= () R θ Mol d Trlção k v l () = k d f() Mol d Roção k r () = k r d τ() Iérci Flid I p() = I d q() Não há lmo álogo M m Trlção M f() = M d v l() M m Roção J τ() = J d () Cpciâci Flid C f q() = C f d p() Cpciâci Térmic C ()= C θ d () O.: J momo d iérci rio vicoo

5 ASF Aproimção Lir Um im lir () = g (()) ifz propridd: () Sprpoição g ( ) = g ( ) g ( ) () Homogidd = g ( ) = g ( ) Emplo: = ; = m (O.: ) Sim Lir q. difrcil é lir o cofici ão co o ão fçõ d vriávl idpd (m grl ): Cofici i i c i. lir ivri o mpo (LIT) Cofici i i ão f() i. lir vriávi o mpo d d d m d m d m m m d m Além dio, om ão pr rmo d o rd, d íd d drivd. gr d Si. diâmico com compo lir d prâmro cocrdo (ão im drivd prcii d qlqr vriávl) ivri o mpo podm r dcrio por qçõ difrcii lir ordiári ivri o mpo: Sim L IT plicr rformd d Lplc Emplo d qçõ difrcii ãolir: d d A ω d d ( ) d d Emplo d ãoliridd: h h Zo Mor o Bd Mor: Srvomcimo ciodo por rlé od íd é l pr pq vriçõ rd (rzão: rio áico) Vlor Aolo = : Rificdor 4

6 ASF Aproimção Lir = má mí Srção: Limição fíic d cpcidd do qipmo o compo (mplificdor, grdor, moor c). Hir: Folg mcâic hir mgéic. pão m Séri d Tlor: g() g( ) dg d ( ) d g (! d! ) Aproimdo m oro do poo d oprção com iclição d dg/d: dg g() g() ( ) m ( ) o d ( ) = m ( ) = m 5

7 Emplo: Modlo do ocildor ipo pêdlo ASF Trformd d Lplc Torq plicdo à m: T = M g L No qilírio: = T = θ T T MgL (θ θ ) θ θθ T = MgL(co ) ( ) = MgL Coclão: pr m ocilção d, o modlo lir m m rpo ãolir (rro d %). L Eqçõ Difrcii d Sim LIT Eqçõ Algéric (vid l d Trformd d Lplc pr propridd) Orvçõ: ) L pão m frçõ prcii (Vid Ao) ) A vriávl compl = j pod r coidrd plo oprdor difrcil d L c) Covolção: () = () g() d = g() () d Y() = G() X() L 5 = ; () = ; () = (CI = ) = L [ ] = Y() () () = Y() L [ ] = Y() () = Y() L ( 5) Y() = / Y() = /[( 5)] 6

8 Epdido: Y() 5 ( ) ASF Fção d Trfrêci 5 ( ) D l L () = /5 (/) (/5) co (prão líic) L [íd] G() = = L [rd] CI = Y() U() (Vid Ao) CI = Sj o im LIT dfiido por: () () (m) m (m) O.: O im fíico ri ão ãolir ci (m ). m G() Y() U() m m m Poliômio o qção crcríic m K( z) ( z ( p ) ( p ) ) m zro polo Emplo: Sim mmolmorcdor co do rio vicoo k co d mol M M D ª Li d Nwo: F = M (Pricípio Fdml d Diâmic) forç () () dlocmo d () d() k () () M L M [ Y() () ()] [ Y() ()] k Y() = U() Pr () = () = (CI = ) () = k implo iário, mo: Y() G() U() M k Y() k/m (/M) k/m k 7

9 polo S = (m rio), 4kM M Dfiido: frqêci rl d ocilção ASF Fção d Trfrêci cofici d morcimo od = / ( km ) S km polo ri difr ( > ) rpo m ocilção (im ormorcido) S = km polo ri idêico ( = ) rpo limi m ocilção (morcimo críico) S < < km pr d polo complo ( < < ) rpo ocilóri porém morcid (im morcido) Grlizdo m im d ª ordm: ω Y(), com polo, ζ ω ω ζ ζω ω Plo j k M, j j ω = j j = j d < < = co = =c. < Iilidd (miplo dirio) > j Aáli do dlocmo () (rpo o íd) d m M = kg pr m rd ()= 4 N form d implo, coidrdo forç d mol k = 4 N/m o rio vrido m içõ: ) Sim morcido ( < < ): < km =,8 N./m Y() (,4 j,96)(,4 j,96),8 4 (,4) L,4,96 (),4,96 ; od: = rd/ =, 4,96,96 (,4),96 8

10 Amplid ASF Fção d Trfrêci ) Sim criicm morcido ( = ): = km = 4 N./m 4 4 L Y() () ( ) c) Sim ormorcido ( > ): > km = 8 N./m ( = ) 4 4 L,56 7,464 Y() (),577 ( ) 8 4 (,56)( 7,464) () Impl Rpo.5 () Evolóri d (),4,4 ().5 (c).5 ()Ml: impl(4,[.8 4]) Tim (cod) Pdrõ d rpo o implo iário pr lgm loclizçõ do polo o plo = j : Eilidd Iilidd Nro (Mrgilm Eávl) Figr 5.7 Dorf Ed. 9

11 ASF Digrm d Bloco Erd U() C R() G() Síd Y()=G() U() Efio C() Mlh Ar Mlh Fchd (Rlimção) Emplo d Trformção ( Rdção) m Digrm d Bloco: Sim d Nívl d Líqido com Irção Od: Q(m /) H(m) vzão lr m rgim cioário (h h )/ R = q C (dh /) = q q C=V/h R=h/q h / R = q C (dh /) = q q q h pq vriçõ

12 ASF Digrm d Bloco Oro mplo: R() G G G G 4 H C() H Emplo do projo d m filro pi : Projr m filro d ordm pr r ii com frqêci mior q 6, Hz com gho áico (o DC) d ½. Sii d Erd V () I () R I = (V V ) / R () O.: C lmo q rmz rgi I = (V V ) / R () V = (I I ) R () S. () () m (): V =(V V )/ (5) V = (/C) I (4) S. () m (4): RCV = V V (6) V /RC Siido (5) m (6): V RC ( /RC) Gho Eáico () V /V = / Ar frq. > 6, Hz = f =,46, = 666,65 rd/ Polo = (/RC) = 666,65 RC =, V,5 Ecolhdo R = k C = F V 666,7 R H V () R I () C V () Síd

13 ASF Rpo Trióri S R v i () i() C v o () O fchmo d chv S iml plicção d m dgr V o () V i () = RC O.: CI Nl Grlizdo pr odo o im d ordm: R() E() T C() R() T C()

14 Orvção: ASF Rpo Trióri RC = T Co d Tmpo Plo j [rd/] (polo) T [ ] C.Tmpo = /R Polo Rpo o implo iário R() = c() = c() /T T /T ( ) T T T 4T 5T Rpo dgr iário R() = /,6 c() /T c() = Iclição = /T ( ) r() 86,5% 95% 98,% 99,% = () = Erro d Rgim Prm T T T 4T 5T

15 ASF Rpo Trióri Rpo à rmp iári R()=/ /T c() = T T 5T r() ( ) 4T c() T = () = T Erro d Rgim Prm T T T T T 4T 5T S R L V i () i() C V o () V o () V i () = /LC (R/L) (/LC) Polo ( ) = (R/L) (R /4L ) (/LC) S R= ( ) = j /LC= j frq. rl d ocilção S R > : = (R/L) / (/LC) cofici d morcimo 4

16 Grlizdo pr odo o im d ordm: ASF Rpo Trióri R() E() ( ) C() R() C() Polo ( ) = Pr m im com < < (morcido): ( ) = j = j d od: = = T d = ção frqêci rl morcid Rpo dgr iário R() = / pr < < : ( ) c() = ( co d o d ) c() = c() = ( d g ) r() =, morcido =,6 = ormorcido 5

17 ASF Rpo Trióri 6

18 ASF Rpo Trióri c(), Ulrpgm o Soril máimo M p, o,5,5 d mpo d ro pico r mpo d id r = d p = / d rro d rgim prm mpo d comodção = / = T (rro = 5%) o = 4/ = 4T (rro = %) M p c( p ) c( ) % c( ) πζ / ζ % M p lim () lim E() lim Plo = j j [rd/] j d = co R() G()H() [ ] =/T 7

19 ASF Gráfico d Flo d Sil Mlhor q Digrm d Bloco pr im mi complo Poi m Fórml d Gho d Mo R() ó gho do rmo N() N() E() G () C() R() E() G () G () G () lço C() H() H() Prcro o Cmiho (P) m rmo o m qêci coí d rmo r doi ii (ó) Lço (L) Dijo ão po(m) ó() comm() A dpdêci lir T ij r vriávl idpd i (rd) m vriávl d íd j (íd) é dd pl fórml d Mo: T ij P Δ Δ k ijk ijk, od: P ijk = kéimo prcro o cmiho r vriávl i vriávl j ijk = cofor do prcro P ijk = drmi do digrm = L,c L L c d,,f L d L L f... L = om d odo o gho d lço difr,c L L c = om do prodo d gho d od comiçõ poívi d lço dijo d,,f L d L L f = om do prodo d gho d od comiçõ poívi d lço dijo c k = é o drmi do kéimo prcro, rmovdo odo o lço q ocm prcro (o cmiho) 8

20 Emplo : ASF Gráfico d Flo d Sil R() G G G G 4 G 5 G 6 Y() G 7 G 8 H H 4 H Prcro o Cmiho: P = G G G G 4 G 5 G 6 P = G G G 7 G 6 P = G G G G 4 G 8 H 8 Lço: L = G G G G 4 G 5 G 6 H L = G G G 4 G 5 H L = G 5 G 6 H L 4 = G 4 H 4 () L 5 = G G 7 H ()() L 6 = G 8 H () L 7 = G G G 7 G 6 H () L 8 = G G G G 4 G 8 H Lço dijo: () L 4 ão oc L 5 L 7 () L 5 ão oc L 6 Drmi: = (L L L L 4 L 5 L 6 L 7 L 8 ) (L 4 L 5 L 4 L 7 L 5 L 6 ) Cofor: = = = L 4 = G 4 H 4 Fção d Trfrêci T(): Y() P P Δ P T() R() Δ Emplo : r = r = 4 Prcro: P = (r ) P = (r ) P = (r ) P 4 = (r ) Lço: vriávi d rd r r vriávi d íd L = L = lço q ão ocm L = (oc o oro doi lço) = (L L L ) (L L ) = 9

21 Pr vriávl d íd : P = ( ) = P 4 4 = =, logo: r r Δ Δ Como vriávl d íd é iméric, mo: r r Δ Δ O do rgr d Crmr, mo: ( ) r r ( )( ) ( ) r r ( )( ) ASF Gráfico d Flo d Sil Emplo : R V () R I Erd V () () I () V () Síd R C I = (V V ) / R I = (V V ) / R V = (I I ) R V = (/C) I V /R Prcro: P = / (RC) Lço (odo o lço ocm P L L ão ocm): L = L = L = / (RC) T() V () V () (L P L L I ) L L R V I V /R /C V () /(RC) T() V () ( /RC) V /RC V RC ( /RC) V /R I /R R V /R R I /R /C V

22 ASF Açõ Báic d Corol (PID/AO) R() Coroldor E() G C () U() Ador A() Proco G P () C() B() H() Sor, Mdidor o Trdor R() Sil d rd r() o rfrêci E() () Coroldor M M Sil d rro U() () ção d corol (il d íd do coroldor) () = M pr () > o () = M pr () < Pr () Hir o irvlo difrcil o d mor M M K P R() E() U() K I / K D Coroldor: K P (K I /) K D o U() K D K P K I = E() (*) Nãocl

23 ASF Açõ Báic d Corol (PID/AO) (*) Nãocl difrcidor K D / (T), od T << K D () KP () KI ( ) d K D d() Efio rpo Tmpo d Sid Ulrpgm o oril Tmpo d Acomodção Erro d rg.prm. K P dimii m pq vrição dimii K I dimii m m limi K D pq vrição dimii dimii poco fio V V V o Crcríic: K 5 6 d CC é khz (Pr f > MHz K ) Z i >> (Z i ) Z o V o = K (V V ) Emplo : R I = (V i V ) / R R V I I = (V V ) / R V i I V V i V V V = R R

24 ASF Açõ Báic d Corol (PID/AO) Como K ( V ) = V K >> V =, logo: V i V = R R V R V i = R Grlizdo V Z V i = Z Coroldor ipo P (ivror) Emplo (omdor mliplicdor): R () R () o () R R () () c () R R R c R o () o = o = [(R/R ) (R/R ) (R/R c ) c ] Emplo (PP.4 do Dorf Edição): Drmi fção d rfrêci E o () / E i (), dmiido o AO como do idl, oh o () qdo rd i () = A, pr. R R R o () i () C AmpOp 74 Vid Ao: Circio com Amplificdor Oprcioi

25 ASF Epço d Edo Tori d Corol Modro Corol Cláico (*) (*) Rprção úic, r, CI=, moovriávl (SISO) F() Ecição o Erd () () : () () () () () m () : : Edo () d Sim Diâmico Codiçõ Iicii () Vor d Edo () Mor cojo d vriávi d do l q o cohcimo d vriávi, m =, d rd () m ( ) drmi complm o compormo do im pr qlqr i. O.: () podm r ão mrávi ão orvávi, m io ão é covi. Mlhor r () com igificdo fíico. N o d vriávi d do = N o d igrdor (dipoiivo d mmóri) : : () () r () Vriávi d Síd () Sim MIMO () = f (,,,,,,, m ; ) () = f (,,,,,,, m ; ) : : () = f (,,,,,,, m ; ) () = f (,, ) A íd (), (),..., r () (() r ) podm r dd por: () = g (,,,,,,, m ; ) () = g (,,,,,,, m ; ) : : r () = g r (,,,,,,, m ; ) () = g (,, ) Lirizdo qçõ () () m oro do do d oprção: () = A() () B() () () = C() () D() (), od: A() mriz d do ( ); B() mriz d rd ( m); C() mriz d íd (r ); D() mriz d rmião dir (r m). 4

26 ASF Epço d Edo S fçõ vorii f g ão volvrm plicim (im ivri o mpo), ão pod crvr qçõ d do íd d gi form: () = A () B () () = C () D () Digrm d Bloco d im d corol lir coío o mpo rprdo m pço d do: D () B () () C () () A Emplo MMolAmorcdor(rio): k m m k = im d ordm igrdor forç () rd () = () vriávi d do () = () = qilírio (/ forç) Dí, mo: = (k/m) (/m) (/m) dlocmo () íd = So form mricil: k m A m m B [ ] C D = 5

27 /m = = ASF Epço d Edo /m k/m Y() () = A () B () FT G() EE L U() () = C () D () X() () = A X() B U() Y() = C X() D U() podo CI = X() A X() = B U() ( I A) X() = B U() préml. por ( I A) X() = ( I A) B U(),. m Y() Y() = [C ( I A) B D] U() Comprdo com FTG()=C( I A) BD= Do mplo rior: C dj ( I A) BD d ( I A) d ( I A) G () [ ] k / m / m / m G() [ ] k / m ( / m) / m [ ] m k m ( / m) k / m / m G() m k Grlizdo: G() Q() I A poliômio m poliômio crcríico polo ovlor () O.: Pr m im com múlipl rd íd: Y() / U() = G() Mriz d Trfrêci (r m) Ml: [A,B,C,D]=f(m,d) [m,d]=f(a,b,c,d, i ) i = o d rd qdo i > 6

28 ASF Epço d Edo 7 Um im diâmico formdo por m úmro fiio d lmo cocrdo pod r dcrio por qçõ difrcii ordiári m q o mpo () é vriávl idpd. Eqção Difrcil d ordm Eqçõ Difrcii d ª ordm (rprção Mricil)... ) ( ) ( () () Cohcdo ) ( ();();();...; ) ( rd (), pod drmir complm o compormo fro ( ) d íd () do im. Dfiido ) ( ;... ; ; ;, pod rcrvr qção (), como: ;... ; ; ; 4... o B A o Logo, qção d vriávl d íd pod r cri: : :... o = C D = X () () X () ()/ X () X () Y

29 Digrm d Bloco d Eqçõ d Edo Síd: ASF Epço d Edo () () () = O.: Chmd d rprção por vriávi d f Emplo Or m rprção o EE do im dfiido por 6 6 = 6 Dfiido = ; = = 6 6 o oção mricil: 6 6 A 6 C D 6 B

30 ASF Epço d Edo Aovlor d Mriz A ão ríz d qção (o poliômio) crcríic: I A = [ d (I A) = ] = = ( ) ( ) ( ) = Aovlor d A, O.: Ml ig(a) E rprção o rlizção m EE ão é úic. Vjmo or form prir d pão m frçõ prcii d FT: Y() 6 6 U() 6 6 ( )( )( ) Y() r r r U() Y() U() 6 U() U() Dfiido: () U() X () X () U() 6 () U() X () X () 6U() () U() X () X () U() X X X Achdo Trformd Ivr d Lplc (L ): 6 Form Côic Digol (*) O form mricil: 6 9

31 ASF Epço d Edo 6 (*) S há ovlor múliplo, digolizção pod r impoívl olção é Form Côic d Jord () () ()... () ()... O méodo diro rior ão rv, poi pod ão forcr m olção úic. É do m méodo q limi drivd d qção d do: Digrm d Bloco d Eqçõ d Edo Síd () β β β β β β

32 ASF Epço d Edo β β β β β : β β β... β β β ) ( ) ( ) ( Od ão drmido rvé d: = = = = : : =... Com colh, q ão é úic, gr iêci icidd d olção d do: β ; β ; β 4... β β O form mricil:... E íd é cri: β : :...

33 ASF Epço d Edo N co, rprção por fção d rfrêci é (f): U() Y() Emplo Or m rprção o EE pr o im: ) 6( GH G U() Y() A qção difrcil corrpod é: Od: = 64 ; = 9 ; = 8 = 64 ; = 6 ; = = β β β 6 β β β 4 β β β β Eão qção d do do im é: E qção d íd é: ] [ O.: S = = D = ( o polo > o zro) 4 ( 4) 6 4 ( ) U() Y()

34 ASF Epço d Edo K = zro polo,4859;,48 5, U() Y() O.: U ção à fr d vriávi d f, O.: U ção à fr d vriávl d rd ( ) ( ) ( ) ( 4) U() Y() 6 6 U() Y() U() Y() 6 6 8

35 ASF EE: Modlgm E.: clrômro k m Li d Nwo: m = F d m d m L d d d k d k k Spodo CI= () = () = (m k) Y()=( k) U() Fção d Trfrêci: Y() U() k m k Rprção por Epço d Edo: = m m k m k m = /m ; = k/m ; = ; = /m ; = k/m = = ; = = /m = = k/m (/m) = = = = (/m) = (/m) = = (k/m) (/m) [k/m (/m) ] o /m (k/m) (/m) (k/m) (/m) 4

36 ASF EE: Modlgm L R i () i() C o () Li d Kirchhoff: di L Ri i C i o C i L Spodo CI= E i LI() RI() E o I() C I() C Fção d Trfrêci: Eo () /C E () L R (/C) i LC RC (/LC) (R/L) (/LC) Rprção por Epço d Edo: o (R/L) o (/LC) o = (/LC) i o = (/LC) o (R/L) o (/LC) i = o = ; = i = o = = = (/LC) (R/L) (/LC) o (/LC) (R/L) /LC O.: Fzr or rlizção com = v C = i L 5

37 ASF EE: Sim Alógico k f () L i() R C m d m di L M Ri C i dq i, logo: d d q dq k f L R q C logi forção Grdz álog: m L ; R ; k /C O: L R d C i, m dφ i() i L L i R R i C C () d m d d φ dφ k f C φ i R L logi forçcorr Grdz álog: m C ; /R ; k /L Comprção: Simlção Alógic Simlção Digil 6

38 ASF Solção d Eqçõ d Edo d Síd () = A () () o = () = C () ) Como olção d qção difrcil clr () = (), pod corr () =... k k... Siido olção q. dif., mo:... k k k...= (... k k...) Igldo o cofici d, mo: = = (/) = (/) = (/) = [/()] : : k = ( / k!) k, od = (), o j, vlor d () m = Poro, olção () pod r cri como: k k () ( ) ()! k! () = () (Séri d Tlor) ) Agor rolvdo pr q. difrcil mricilvoril () = A (), od () é m vor dimiol A é m mriz co Alogm, mo: () =... k k......k k k...= A (... k k...) = A = (/) A = (/) A = (/) A = [/()] A : : k = ( / k!) A k, od = () E olção é: () ( I A! A k! A k k ) () 7

39 ASF Solção d Eqçõ d Edo d Síd A éri r prê covrg pr odo o vlor fiio d é m mriz pocil : k k A A k k! () = A () () Propridd d Mriz Epocil: ) A d A A A A ) A () A A ) A A A A A() I 4) Logo, ivr d A é A A é ãoiglr 5) (AB) = A B A B = B A 6) (AB) A B A B B A c) Aordgm d Trformd d Lplc (L) L Pr o co d q. difrcil clr () = () X() () = X() X() ( ) = () X() = ( ) () () = () L Eddo pr q. difrcil mricil () = A () L X() () =A X() ( I A) X() = () X() = ( I A) () () Comprdo () com (): X() = ( I A) () () = A (), L Vrific L [( I A) ] A = I A (A /!) (A /!)... Logo ( I A) = (I / ) (A / ) (A / ) (A / 4 )... 8

40 ASF Solção d Eqçõ d Edo d Síd A () = () = A () = () () coém od iformção or o movimo livr do im () é m mriz olção úic d () = A (), () = I Orv q () = () () = A () () = A () () = L [( I A) ] S o ovlor,,..., d mriz A ão diio, ão () corá pocii:,,..., Propridd d Mriz d Trição d Edo: ) () = A = I ) () = A = ( A ) = [()] o () = () A ) ( ) = ( ) A = A = ( ) ( ) = ( ) ( ) 4) [()] = [ A ] = ( ) 5) ( ) ( ) = ( ) = ( ) ( ) Emplo oh mriz d rição d do () do im mmolmorcdor (m= kg; k= N/m = N/m/): () = A = L [( I A) ] I A (I A) ( ) ( ) () = A = L [( I A) ] = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Ml: A=[ ; ];m ;pm(a*) 9

41 ASF Solção d Eqçõ d Edo d Síd ) Eq. difrcil clr () = () () () () = () Mliplicdo por, mo: [() ()] = [ ()] = () Igrdo d, rl m: () () d ( )d o () () ( )d Rpo à codição iicil () Rpo à rd () ) Eqção difrcil mricil () = A () B () () o = Prémliplicdo por A, mo: A [() A ()] = Igrdo d, rl m: A () () d A [ A ()] = A B () B( )d o () A () A () Rcrvdo do (), vm olção d () = A () B (): () () () ( ) B( ) d c) Aordgm d Trformd d Lplc (L) L ()= A () B () X() () =A X() B U() X() = ( I A) () ( I A) B U() L B( )d X() = L [ A ] () L [ A ] B U() do igrl d covolção () = A () A ( ) B () d S o i iicil é difr d ( ), rmo: () = A ( ) ( ) A ( ) B () d 4

42 ASF Solção d Eqçõ d Edo d Síd Emplo oh rpo () o domíio do mpo do im: [ () ()] = [ ] [ () () ] [ ] () ()= [ ] [ () () ] od () é fção dgr iário ocorrdo m = [() =()]. Spor CI= () = Do mplo rior, mo: A () = = Poro, rpo () o dgr iário é: () A () () () () () () () o () () () () (/ ) () () [] d (/ ) Admiido () =, ão rpo () pod r implificd pr: () (/ ) () (/ ) Como C = [ ] D =, íd () = ():, () = C A () C A() B () d D () () = () = (/) (/) O.: = vor dimiol; = vor mdimiol ; = vor rdimiol Mriz Co: A ; B m ; C r ; D rm S rd é m dgr () = k plicdo m =, pod or () rvé d gi prão (. A6 do Og ª Edição): () = A () A ( A I) B k S rd é m implo () = w plicdo m =, mo: () = A ( ) A B w S rd é m rmp () = v plicd m =, mo: () = A () [A ( A I) A ] B v 4

43 ASF Solção d Eqçõ d Edo d Síd ) Ur fórml d Irpolção d Slvr: A = I A A... A, od:.) A poi ovlor diio =... = = O dirm rvé d: A = i A ji i= j= o id: j i i j d = mplo pr = [ I A A A ].) A poi ovlor múliplo, por mplo: N co mo:... ()() = ( /)... () =... = = = O.: Vjm mém plo méodo do Torm d ClHmilo A = α k A k k= i k = k= α k i pr i diio ) Trformr A m mriz Digol (vrmo di) c) Form Côic d Jord (vrmo di) 4 4

44 ASF Dicrizção d Rpo o EE A rpo d m im rprdo o pço d do pod r oid ilizdo m proimção dicr o mpo. E méodo é dqdo pr o cálclo mérico áli rvé progrm compcioi. N procmo, o vlor d vriávi d do () ão clcldo pr civo irvlo d mpo =, T, T, T,..., od T é o icrmo d mpo (Méodo d Elr). Qo mor for (ficim pqo m comprção com co d mpo do im), mor rá o rro m rlção à olção. Dd qção d do EE (LIT): d() = A () B () E dfiição d drivd: d() ( ) () = lim pod proimr EE pr d() (T) () od = T pqo irvlo d mpo T D modo, podmo crvr qção d do d gi form: (T) () A () B () T Rolvdo (T), mo: (T) (I T A) () T B () S o mpo é dcrio como = kt, od k é,,,,..., mo q: (k)t (I T A) (kt) T B (kt) E o vlor do vor d do o (k) éimo i d mpo é: (k) (I T A) (k) T B (k) = d (T) (k) T B (k) (*) Emplo: Ecolhdo ão o cpcior como corr o idor como, drmi rpo rl d (), coidrdo R =, L = H, C = / F () = () =. L rd () (fo d corr) i C () [ ] = [ /C /L R/L ] [ ] [ /C ] [ ] = [ ] [ ] [ ] =[ R] [ ] = Solção E: [ () () ] = () ()= A ()= [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] [ ] = [ ] Aovlor: = = mor co d mpo =,5 Ecolhdo T=, mor q md d mor co d mpo C i L () R v R () íd () 4

45 Amplid D olção proimd (*): (k) (I, A) (k), B (k) ASF Dicrizção d Rpo o EE [ (k) (k) ] = [,4,,4 ] [ (k) (k) ] [,4 ] (k) od (k) = Rpo o º i: k= (=T=, ): [ () () ] = [,4,,4 ] [ () () ] = [,4,,4 ] [ ] = [,6 ] () =,8,6 Rpo o º i: k= (=T=,4 ): [ () () ] = [,4,,4 ] [,6,6 ] = [,6 ] () =,8,6 Rpo o º i: k= (=T=,6 ): c [ () () ] = [,4,,4 ] [,6,6 ] = [,6 ] () =,648,6 Tmpo (),,4,6,8 Vlor o d (),,48,94,66 Vlor d () com T=,,8,8,648,9 Vlor d () com T=,,9,9,786,5 Vlor d () com T=,5,968,9,847,556 Clcldo Mriz d Trição d Edo pr m =, com o Ml: A=[ ; ];=.;phi=pm(a*) phi = =[;];=phi*;=*(,) =..5 () Impl Rpo Sm: Tim (cod):. Amplid:..5 Sm: Tim (cod):.4 Amplid:.5 Sm: Tim (cod):.6 Amplid:.94 Sm: Tim (cod):.8 Amplid: Tim (cod) 44

46 ASF Corolilidd Orvilidd 45 A d iicir o projo d m coroldor é cário lir corolilidd orvilidd do im. A loclizção do polo d MF pod r colhid rirrim, om, o im é corolávl orvávl. D() N() G() U() Y() U() D() F() U() F() F() F() F() (*) Dfiido: f() df() f() d () L (*) N()F() Y() F() F() F() F() Y() L ()] [ () () ) ) ) () ( ( ( () () D() U() Y() N() F() O.: SISO =

47 ASF Corolilidd Orvilidd () () Grlizdo, mo: () () () () = () () () [ () ] [ ] [ () ] [ ] () () () = [ ] () () [ () ] Um im é dio corolávl o i for poívl, por mio d m vor d corol ãorrio, rfrir o im d qlqr do iicil ( ) pr qlqr oro do m irvlo d mpo fiio (). Um im é complm corolávl: S o d M C = d [B AB A B... A B] é ãolo (M C mriz d corolilidd) o mriz M C ( m) m poo o; S, o digrm d flo d il, i prcro r o il d corol cd m d vriávi d do, o im pod r dcrio m vriávi d f. Um im dcrio o formo d vriávi d f é mpr corolávl. Ercício Ml: M C =cr(a,b) d(m C ) o rk(m C ) 46

48 Y() U() ASF Corolilidd Orvilidd rcrvdo [Y() U()] [ Y() U()] [ Y() U()] Y() U() Dividido por : Y() U() [U() Y()] [U() Y()] [U() Y()] Dfiido: Y() U() X () X() [U() Y() X()] X() [U() Y() X()] X() [U() Y()] L () () ( ) ( ) ( ) O.: SISO = () () () () 47

49 Grlizdo, mo: () () = () [ () ] [ ] [ () () () () ] ASF Corolilidd Orvilidd [ ] () = [ ] () () () () [ () ] Um im é dio orvávl o i, com o im m do ( ) qlqr, for poívl drmir do prir d orvção d íd () dr m irvlo d mpo fiio. Um im é orvávl: S o d M O é ãolo (M O mriz d orvilidd) o mriz M O ( r) m poo o; M O C CA CA CA Um im dcrio o formo d vriávi d f é mpr orvávl. Ercício Ml: M O =ov(a,c) d(m O ) o rk(m O ) () 48

50 ASF Aovlor Aovor Um clr C é m ovlor d A i m vor ãolo p C l q: A p = p (I A) p = ão, diz q p i é m ovor à diri ocido o ovlor i Pr q p i j ãolo d ( i I A)=, o j, ( i I A) é iglr Irprção: p i p i A p i = i p i,5 p i Sj m im rprdo por = A B : A 6 6 P p p p * A * P Form Côic Digol ( ) P Ml [ P, ] = ig (A) Mriz Modl P =,77,8,9,,464,55,77,879,885 ormlizdo (*) (*) p i p i p i = (*) O ovor ão ão úico (im ifii poiilidd). Aim como o ovlor, o ovor ão ocido o compormo diâmico do im (modo d ocilção). O ovor d A mém rvm oro propóio (mplo gir). 49

51 ASF Aovlor Aovor 5 Admiido gor m ovo cojo d vriávi d do z, z z (Trformção por Similridd), l q: = P z z z z iido EE rior, mo: Pz = A P z B prémliplicdo por P, omo: z = P A P z P B 6,5 4,5 z z z ,5 4,5 z z z d 6 8 z z z z z z d E ov qção d íd é: = C P z z z z z z z ) ( A p p p P A *P * P Form Côic d Jord ( J ) () () Vrmo q mém é poívl corr m mriz d rformção P (ivrívl) cpz d rdzir mriz A à form côic d Jord () J = P * A * P A = P * J * P A k = P * J k * P O.: Eqçõ d Edo Dcopld ()

52 ASF Form Côic d Jord A iêci d m form digol d A á ligd à iêci d ovor lirm idpd ocido o ovlor d A. N co é poívl dfiir P or: P *A*P = Spodo q im p r ovlor diio dr o ovlor d A, o poliômio crcríico é pol() = ( ) m ( ) m... ( r ) m r A mliplicidd lgéric do ovlor i é rprd por m i. Poro: m m... m r = A mliplicidd goméric do ovlor i é rprd por i é dfiid como o úmro d ovor lirm idpd d ocido o ovlor i. A mliplicidd lgéric goméric ão rlciod rvé d i m i, i =,,,...,r i m form digol d A om i = m i, i =,,,...,r. Emplo : 5 A 5 5 = 5 m = p α p úic olção poívl. I Ap p, α Poro = m = mriz A ão poi form digol Emplo : A =, m = =, m = p α = α p I Ap p p, α 5

53 ASF Form Côic d Jord 5 α, α p α p p p p p A I o ovlor poi d olçõ (ovor) lirm idpd. Poro, m = mriz A poi form digol. A p p p P A *P * P Mriz Digol ( ) Qdo i < m i pr plo mo m ovlor i, ão é poívl or m form digol. N co, form côic d Jord é do ipo riglr prior, formd d loco d Jord (locodigol). Emplo: mriz A d ordm 9 com 4 ovlor diio (r = 4), do m = = ; m = = ; m = = 4 m 4 = 4 =. O.: ) Númro ol d loco d Jord = 5 ( 4 ) ) Ml [ P,J ] = jord (A) J J J J J J

54 ASF Form Côic d Jord 5 Com rr d ovlorovor, o cálclo d A fic cilm implificdo. No co mi grl, o cálclo d A i Form Côic d Jord. Vimo q: A = I A (A /!)... (A k k / k!)... A k = P J k P A = PP PJP (PJ P /!)... (PJ k P k / k!)... A = P { I J (J /!)... (J k k / k!)... } P A = P J P S, m priclr, J = (mriz digol), mo: = No co grl, J é formd por loco. S, por mplo, mo: J = Emplo: A = P J P J J J

55 ASF Rprção Modl Sj = A B fzdo = P z od = C D z ovo cojo d vriávi d do (z, z, z,... ocid rpcivm o modo,,,...) P col com o ovor à diri d A, mo: Pz = A P z B prémliplicdo por P, omo: = C P z D z = P A P z P B z = z B = C P z D = C z D,od: = P A P mriz digol; B = P B iéim lih d B for l, rd () ão C = C P êm fio d corol or o modo z i iéim col d C for l, o modo z i ão é orvdo o ii d íd mdido (). Emplo: 7 6 d d rd d íd 7 6 d (I A) = = 9 5 = (A) = {,, 5 } ovlor d A, cjo ovor à diri ão: P = P = 54

56 ASF Rprção Modl Com io, pod chr rprção modl d im: d z z z = = 5 z z z z z z C poo = B poo (rk) = Modo z ão orvávl Modo z ão corolávl z z Sim Orvávl z z ó i FT pr Y /U Sim Corolávl z 5 z 55

57 ASF Rprção Modl 56 S mriz d do A é dcri form côic d vriávi d f, pod ão covrêl form côic digol (corolávl orvávl) rvé d P *A*P, od: P Mriz d Vdrmod Od,,..., ão o ovlor diio d A Emplo: 6 6 A 9 4 P A * P * P Orvçõ: ) S A m ovlor múliplo, m mpr é poívl or m form digol d A. ) S A ão á form côic d vriávi d f, P pod r formd plo ovor d A ( i I A) p i =