Introdução à análise estatística de dados geológicos multivariados

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1 Introdução à análse estatístca de dados geológcos multvarados PAULO M. BARBOSA LANDIM Professor Emérto da Unversdade Estadual Paulsta/UNESP Professor Voluntáro do Depto. Geologa Aplcada, UNESP/Ro Claro 00 Reprodução autorzada desde que ctada a fonte Norma /ABNT ( LANDIM, P.M.B. Introdução à análse estatístca de dados geológcos multvarados. DGA,IGCE,UNESP/Ro Claro, Texto Ddátco 5, 9 pp., 00. Dsponível em < Acesso em:... Dúvdas, questões, sugestões, etc. sobre o texto deverão ser encamnhadas para o endereço plandm@rc.unesp.br, as quas serão sempre bem recebdas

2 ÍNDICE 0. INTRODUÇÃO NOÇÕES DE ÁLGEBRA MATRICIAL REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA ANÁLISE DE AGRUPAMENTOS ANÁLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS ANÁLISE DE FATORES ANÁLISE DE CORRESPONDÊNCIAS (ANÁLISE DE ASSOCIAÇÕES) ANÁLISE DISCRIMINANTE INTRODUÇÃO À GEOESTATÍSTICA CLASSIFICAÇÃO REGIONALIZADA GEOESTATÍSTICA MULTIVARIADA ANEXO: MATRIZ DE DADOS... 05

3 . INTRODUÇÃO A aplcação de métodos quanttatvos em Geologa é muto antga e dos exemplos emblemátcos podem ser ctados. Agrícola (556) utlsou trgonometra para mapeamento mnero, como vsto em seu clássco De Re Mettalca e, quando do níco da Geologa como cênca moderna, Charles Lyell em 830 ao classfcar os estratos tercáros da Baca de Pars, o fez baseado na presença relatva de espéces recentes de moluscos, num procedmento estratgráfco-estatístco. A partr desse níco, porém, a Geologa permanece qualtatva e puramente descrtva e apenas nos anos 0 do século passado é que o enfoque quanttatvo começa a se tornar mas presente. Assm nessa época Wllam C. Krumben propõe a amostragem geológca em bases probablístcas e ntroduz os modelos processo-resposta. O entendmento das relações de causa-e-efeto para a explcação dos processos geológcos leva Andre Vstelus, no níco dos anos 40, a ncar a formulação da chamada Geologa Matemátca. Em que pese essas ncatvas, entre outras, a Geologa até há bem pouco tempo, era freqüentemente consderada uma cênca baseada em nterpretações puramente qualtatvas dos fenômenos geológcos. Nos últmos 40 anos, porém, tem sdo notável a mudança da fase descrtva para a utlzação de métodos quanttatvos, prncpalmente nas dversas áreas da Geologa Aplcada. Na área mneral, com destaque para a do petróleo, onde a nterpretação geológca, alem de estar fundamentada em concetos centífcos, precsa ter aplcação econômca, observa-se uma marcante tendênca quanttatva que vem possbltando avanços mportantes prncpalmente no uso de técncas espacas. Um consstente relato sobre a quantfcação em Geologa encontra-se em MERRIAM (004). Nas últmas décadas, graças a avanços tecnológcos tanto em termos computaconas como em equpamentos de laboratóro e de campo mas refnados, tem sdo ntensa a obtenção de dados geológcos quanttatvos. A sua análse, porem, esta muto aquém dessa mensa quantdade de nformações coletadas. Basta ver os relatóros de pesqusa e mesmo os bancos de dados com um grande número de matrzes de nformações não trabalhadas. Verbas e tempo são gastos com essa coleta que precsa ser devdamente manuseada e para essa análse dos dados o emprego de técncas estatístcas multdmensonas torna-se 3

4 uma ferramenta fundamental. Isto porque, como os fenômenos geológcos são resultantes de dversos fatores condconantes, o seu entendmento é facltado quando o estudo é submetdo a um tratamento quanttatvo multdmensonal. Deve ser enfatzado, porem, que a pura utlzação de técncas estatístcas, e hoje em da bastante facltada graças à vasta dsposção de programas computaconas, não é condção sufcente se o estudo não for embasado num sóldo conhecmento geológco. No caso de uma únca varável ter sdo medda em amostras, no sentdo geológco, a análse de tas dados é feta por ntermédo da estatístca unvarada. Se porém valores de dversas varáves forem obtdos em cada uma das amostras, as técncas para a análse desses dados são fornecdas pela estatístca multvarada ou multdmensonal. Tal análse estatístca de mensurações múltplas efetuadas sobre uma amostra fornece um melhor entendmento na razão dreta do número de varáves utlzadas e permte consderar smultaneamente a varabldade exstente nas dversas propredades meddas. Os resultados de análses de dados un ou b varados podem se apresentar na forma de gráfcos em D, D e mesmo 3D, de fácl compreensão. No caso porem de, por exemplo, 0 varáves o resultado ocorre num espaço a 0 dmensões, concebível apenas de um modo abstrato. Uma das funções, porem, dos métodos multvarados é, ao apresentar os resultados, ser capaz de reduzr a dmensão dos dados tornando possível um melhor entendmento gráfco a duas ou três dmensões. Entre os métodos mas utlzados em Geocêncas destacam-se a análse de agrupamentos, a análse das componentes prncpas e a análse dscrmnante. A análse de agrupamentos é utlzada quando se deseja explorar as smlardades entre ndvíduos (modo Q) ou entre varáves (modo R) defnndo-os em grupos, consderando smultaneamente, no prmero caso, todas as varáves observadas em cada ndvíduo e, no segundo, todos os ndvíduos nos quas foram fetas as mesmas meddas. Segundo esse método, procura-se por agrupamentos homogêneos de tens representados por pontos num espaço n-dmensonal em um número convenente de grupos relaconando-os através de coefcentes de smlardade ou de dstânca. 4

5 A análse das componentes prncpas procura nterpretar a estrutura de um conjunto de dados multvarados, tanto em modo Q como em modo R, a partr da respectva matrz de varâncas-covarâncas ou de correlações, pela obtenção de autovalores e autovetores. Consste numa transformação lnear das "m" varáves orgnas correlaconadas entre s em "m" novas varáves ortogonas e não deve ser confundda com a análse fatoral, segundo a qual supõe-se que as relações exstentes dentro de um conjunto de "m" varáves seja o reflexo das correlações de cada uma dessas varáves com "p" fatores, mutuamente não correlaconáves entre s, sendo "p" menor que "m". A matrz de carregamentos de cada varavel nas componentes prncpas, ao ser multplcada pela matrz orgnal de dados, fornece a matrz de contagens (scores) de cada caso em relação às componentes prncpas. A análse dscrmnante é aplcada quando em relação a um ndvíduo, sobre o qual tenham sdo fetas dversas meddas, é necessáro decdr à qual de dos ou mas possíves grupos, o mesmo pertence. A déa básca é substtur o conjunto orgnal das dversas mensurações por um únco valor D, defndo como uma combnação lnear delas. Para fornecer um únco valor os termos são adconados nessa função lnear e esta transformação é realzada de tal modo a fornecer a razão mínma entre a dferença entre pares de médas multvaradas e a varânca multvarada dentro dos dos grupos. Conhecdo os D 's, estes serão comparados com um certo D o, ou seja, o valor stuado, ao longo da lnha expressa pela função dscrmnante, a meo camnho entre os centros dos grupos, com a fnaldade de verfcar a qual deles os ndvíduos pertencem. A utldade dos métodos multvarados pode ser apresentada em termos geométrcos. Assm, observações unvaradas podem ser assnaladas sobre uma lnha reta e se essa lnha for dvdda em ntervalos de classes e contando o número de observações em cada ntervalo, um hstograma poderá ser construído. Esse hstograma rá requerer duas dmensões para a sua representação. Observações bvaradas podem ser assnaladas em um sstema de dspersão a duas dmensões. Se o dagrama for dvddo em celas, o número de observações em cada cela pode ser contado e o respectvo hstograma construído. Esse hstograma requer três dmensões e pode ser representado por um mapa de 5

6 sovalores. Observações trvaradas podem ser assnaladas em um gráfco de dspersão a três dmensões e a confguração nos pontos no espaço defnrá uma elpsóde. Se o espaço tr-dmensonal for dvddo em cubos os números de observações dentro de cada fgura geométrca poderão ser contados e obtda a dstrbução de freqüêncas. Para a construção do respectvo hstograma quatro dmensões serão necessáras. Em observações com quatro ou mas varáves não é possível a representação gráfca segundo os métodos comuns, embora MERTIE (949) tenha proposto para tanto complcados hpertetraedros. Utlzando, assm, a nterpretação geométrca em três dmensões para observações trvaradas, os seguntes exemplos de procedmentos em estatístca multdmensonal podem ser apresentados: a) na análse de agrupamentos procura-se por grupos em que as dstâncas ao respectvo centróde sejam mnmzadas e as dstâncas entre centródes dos grupos sejam maxmzadas; b) na análse das componentes prncpas é verfcado se as observações multvaradas ocupam um número de dmensões gual ao número de varáves meddas ncalmente e para tanto os exos do elpsóde devem ser sspostos de tal modo a colocar o centro do elpsóde concdente com o centro do sstema de coordenadas; c) na análse dscrmnante localzam-se os centros dos elpsódes e calcula-se a dstânca entre pares de centros de elpsódes; Como salentado por DAVIS (986), os métodos multvarados são poderosos, permtndo o pesqusador manpular dversas varáves smultaneamente. São, porém, bastante complexos, tanto na sua estrutura teórca como na metodologa operaconal. Em alguns casos os testes estatístcos a serem utlzados exgem requstos muto rígdos e em outros, mutas vezes quando quer relaconá-los com problemas reas, não apresentam base estatístca teórca e desse modo mpossbldade de testes de sgnfcânca. De qualquer modo, são métodos extremamente promssores para a análse de dados geológcos tendo em vsta que normalmente a maora das stuações geológca envolve um conjunto complexo de fatores atuando no sstema, sendo mpossível solá-los e estudá-los soladamente. 6

7 Exemplos de stuações que apresentam dados multvarados são comuns em Geocêncas, como: análses geoquímcas de elementos maores e/ou elementos traços; caracteres morfológcos meddos em fósses; característcas físcas de rochas sedmentares, como dstrbução granulométrca, porosdade, permeabldade; conteúdo mneralógco em rochas; varáves fluvas, como descarga, materal em suspensão, profunddade, sóldos dssolvdos, ph e conteúdo em oxgêno; característcas geotécnas de solos e rochas; bandas espectras em magens de satéltes, etc.. Em alguns casos trata-se de smples extensão de problemas lgados à estatístca unvarada e outros pertencem, todava, a uma nova classe de problemas. Esses métodos clásscos da análse estatístca multvarada não levam, porém, em consderação a localzação dos pontos de amostragem, nem as suas relações espacas e também não refletem as dferenças quanto o suporte das amostras ou com relação ao suporte da regão onde o estudo esta sendo realzado. A metodologa geoestatístca unvarada, de recente aplcação, tem essas propredades, mas não é capaz de tratar da correlação espacal entre dversas varáves. Ferramentas se tornaram, então, necessáras para ncorporar essas mportantes feções e daí a necessdade de métodos estatístcos que enfoquem a análse espacal de dados geológcos multvarados. Para tanto duas soluções tem sdo apresentadas: uma, adaptatva, procurando, a partr dos resultados dos métodos clásscos, verfcar se os mesmos apresentam uma organzação espacal sgnfcatva e outra, específca, desenvolvendo metodologa própra para esta problemátca, com destaque para a a cokrgagem e a krgagem fatoral. Caso as amostras, no sentdo geológco, sejam georreferencadas os grupos resultantes da análse de agrupamentos/modo Q poderão ser submetdos a uma verfcação espacal para a constatação de algum padrão de dstrbução espacal desses grupos. De modo dêntco os scores, calculados a partr da análse das componentes prncpas ou da análse de fatores, que tenham suas coordenadas geográfcas conhecdas poderão fornecer mapas de dstrbução ou de tendênca espacal. A análse dscrmnante pode ser aplcada para avalar e comparar alterações ocorrdas a ntervalos de tempo ndcando que varáves mas 7

8 contrbuíram para essas mudanças. São adaptações de métodos estatístcos multvarados procurando modelar espacal ou cronologcamente fenômenos geológcos. Isso, porém, somente é possível se as amostras da matrz de dados multdmensonas apresentarem perfetamente conhecdas as suas coordenadas geográfcas. A cokrgagem é um procedmento geoestatístco segundo o qual dversas varáves regonalzadas podem ser estmadas em conjunto, com base na correlação espacal entre s. É uma extensão multvarada do método da krgagem quando, para cada local amostrado, obtém-se um vetor de valores em lugar de um únco valor. A aplcação da cokrgagem torna-se bastante evdente quando duas ou mas varáves são amostradas nos mesmos locas dentro de um mesmo domíno espacal e apresentam sgnfcatvo grau de correlação. Valores ausentes não se tornam problemátcos, pos o método deve ser usado exatamente quando uma das varáves apresenta-se sub-amostrada em relação às demas. Essa varável é conhecda como prmára e as demas como secundáras. O objetvo é, portanto, melhorar a estmatva da varável sub-amostrada utlzando aquelas mas densamente amostradas. No caso da krgagem fatoral deve-se efetuar: ) modelagem de corregonalzação das varáves usando o denomnado modelo lnear de corregonalzação: todos os p(p + )/ varogramas dretos e cruzados das p varáves são modelados por uma combnação lnear dos N s varogramas padronzados para um mesmo alcance (sll); nesta modelagem supõe-se que o comportamento espacal das varáves é o resultado da nteração de dferentes processos atuando ndependentemente a dferentes escalas espacas; ) analse da estrutura de correlações entre as varáves, levando em consderação as dferentes escalas, com aplcação da análse das componentes prncpas; um círculo de correlações entre as varáves orgnas e os dos mas mportantes fatores regonalzados é utlzado para resumr as relações entre as varáves a cada escala espacal; 3) estmação das relações entre os fatores regonalzados e varáves, como componentes espacas, a dferentes escalas por cokrgagem, para, fnalmente, mapeà-los. 8

9 Em qualquer das crcunstâncas ctadas a preocupação é com: Descrção dos dados: os dados precsam ser explorados, tanto espacal como cronologcamente, em sua estrutura multdmensonal para o seu entendmento e constatação de eventuas valores anômalos que possam mascarar tal estrutura. Exstem a dsposção, graças à moderna tecnologa computaconal, ferramentas gráfcas que permtem a vsualzação smultânea de amostras no espaço e/ou no tempo e as prmeras déas a respeto da estrutura multdmensonal podem começar a surgr a partr dessas exbções gráfcas. Interpretação: os produtos gráfcos obtdos a partr das nformações numércas são avalados levando em consderação tanto o conhecmento já adqurdo com dados smlares como fatos centífcos relaconados às varáves sob estudo. A nterpretação da estrutura espacal ou temporal, as assocações e as relações casuas entre varáves devem, então, ser organzadas num modelo que se ajuste aos dados. Estmação: A modelagem, se correta, não apenas descreve o fenômeno nos locas amostrados, mas pode se tornar válda para nterpolações em locas ou ntervalos de tempo adjacentes, não amostrados, representando um passo alem com relação às nformações contdas nos dados numércos. Na verdade este é o grande desafo da análse multvarada de dados espacas, a estmação de valores para stuações de prevsão quanttatva. A pretensão deste texto, escrto de manera a mas smples possível, por um Professor de Geologa, é apresentar uma ntrodução aos métodos estatístcos multdmensonas que possam ser aplcados na análse de dados, sem uma abordagem matemátca complexa, porem sempre, que possível, com um enfoque espacal e que permta ao usuáro ncar-se na Geologa Quanttatva. Não pretende ser um lvro-texto detalhado. Pressume-se que os letores tenham um conhecmento básco de estatístca descrtva, alem de domnar concetos smples de álgebra matrcal e famlardade com manuseo de computadores pessoas. Os exemplos são voltados às Geocêncas, mas a metodologa pode perfetamente ser utlzada em outras áreas que dsponham de dados com estas mesmas característcas, ou seja, multvarados e regonalzados. 9

10 Exste à dsposção uma varedade muto grande de lvros e pacotes computaconas e entre os prncpas lvros textos que tratam de métodos quanttatvos em Geologa podem ser ctados: MILLER & KAHN (96), SOKAL & SNEATH (963), KRUMBEIN & GRAYBILL (965), KOCH & LINK (97), DAVIS (973, 986 E 00), JORESKOG, KLOVAN & REYMENT (976), LE MAITRE (98), HOWARTH & SIDING-LARSEN (985), SWAN & SANDILANDS (995), GRIFFITH & AMRHEIN (997), REYMENT & SAVAZZI (999) E WACKERNAGEL (003). Em Geologa, prncpalmente em Geoquímca, é comum a exstênca de varáves cuja soma é constante, sto é, quando os dados são composconas apresentando-se os valores em porcentagem ou em razão. Nestes casos surgem problemas que acarretam resultados dstorcdos. Exstem, porém, dversas técncas estatístcas para contornar tas stuações como expostas, entre outros, em CHAYES & KRUSKAL (966), CHAYES (97), AITCHISON (986), BARCELÓ ET AL. (996), AITCHISON (997) e PAWLOWSKY-GLAHN & OLEA (004). Exstem tambem dversos softwares estatístcos de aplcação geral, bem elaborados e completos como SAS, S-Plus, Statstca, Systat, todos em constante atualzação. Dos outros, bastante amgáves, para serem utlzados, e com boa sada gráfca, são o MVSP e o Xlstat, este baseado no aplcatvo Excel. Um pacote desenvolvdo no Brasl voltado para aplcações em Cêncas Bológcas e Médcas é o Boestat e um outro provenente da Noruega, com aplcações em Paleontologa, é o PAST, ambos obtdos gratutamente nos endereços mzayres.bel@orm.com.br e Alem dsso na revsta Computers & Geoscences, edtada pela Internatonal Assocaton for Mathematcal Geology, freqüentemente são apresentados programas lstados e/ou executáves descarregáves a partr do endereço 0

11 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AGRICOLA, G. (556) De Re Metallca: Froben, Basel (traduzdo do Latm por Hoover, H.C., Hoover, L.H. 9 e publcado por Dover Publ., New York, 950) AITCHISON, J. (986) The Statstcal Analyss of Compostonal Data: Chapman and Hall. Reprnted n 003 wth addtonal materal by the Blackburn Press. AITCHISON, J. (997) The one-hour course n compostonal data analyss or compostonal data analyss s easy, n Pawlowsky Glahn V., ed., Proceedngs of the Thrd Annual Conference of the Internatonal Assocaton for Mathematcal Geology: CIMNE, Barcelona, p AYRES, M.; AYRES JR., M.; AYRES, D. L. & SANTOS, A. S. (000) BoEstat.0: aplcações estatístcas nas áreas das cêncas bológcas e médcas: Socedade Cvl Mamrauá, MCT-CNPq, mzayres@zaz.com.br BARCELÓ, C., PAWLOWSKY, V. & GRUNSKY, E. (996) Some aspects of transformatons of compostonal data and the dentfcaton of outlers : Math. Geology, 8:50-58 CHAYES, F. (97) - Rato Correlaton: A Manual for Students of Petrology and Geochemstry: Unversty of Chcago Press. CHAYES. F. & KRUSKAL, W. (966) - An Approxmate Statstcal Test for Correlaton between Proportons: Jour. Geology, 74: DAVIS, J.C. (973) - Statstcs and Data Analyss n Geology: John Wley and Sons. DAVIS, J.C (986) - Statstcs and Data Analyss n Geology: nd ed., John Wley and Sons. DAVIS, J.C (00) - Statstcs and Data Analyss n Geology: 3rd ed., John Wley and Sons. GRIFFITH, D.A. & AMRHEIN, C.G. (997) Multvarate Statstcal Analyss for Geographers Prentce Hall. HAMMER. O. & HARPER, D.A.T. (004) PAST. PAlaentologcal STatstcs, versão.0. HOWARTH, R.J. & SINDING-LARSEN, R. (985) - Multvarate analyss: n (G.J.S. Govett, ed.) Statstcs and Data Analyss n Geochemcal Prospectng, vol. :07-89, Elsever. JORESKOG, K.G., KLOVAN, J.E. & REYMENT, R.A. (976) - Geologcal factor analyss: Elsever. KOCH JR, G.S. & LINK,.F. (97) - Statstcal analyss of geologcal data: vol., John Wley & Sons. KRUMBEIN, W.C. & GRAYBILL, F.A. (965) - An ntroducton to Statstcal Model n Geology: McGraw Hll Book. LE MAITRE, R.W. (98) - Numercal Petrology. Statstcal Interpretaton of Geochemcal Data: Elsever.

12 MERRIAM, D. F. (004) The quantfcaton of geology: from abacus to Pentum. A chroncle of people, places, and phenomena: Earth-Scence Revews, 67:55-89 MERTIE JR, J.B. (949) - Chartng fve and sx varables on the boundng tetrahedral of hyper tetrahedral: Am. Mneralogst, 34: MILLER, R.L. & KAHN, J.S. (96) - Statstcal analyss n the geologcal scences: John Wley and Sons. MVSP Mult-Varate Statstcal Package: Kovach Computng Servces, PAWLOWSKY-GLAHN, V., OLEA, R.A. (004) Geostattcal Analyss of Compostonal Data: I.A.M.G., Stud. Math. Geology n. 7, Oxford Unversty Press REYMENT, R.A. & SAVAZZI, E. (999) Aspects of Multvarate Statstcal Analyss n Geology - Elsever. SAS SAS Insttute, SOKAL, R.R. & SNEATH, P.H.A. (963) - Prncples of numercal taxonomy: W.H. Freeman. S-PLUS Mathsoft, STATISTICA StatSoft Inc., SYSTAT SPSS Inc., SWAN, A.R.H. & SANDILANDS (995) Introducton to Geologcal Data Analyss: Blackwell Scence Ltd. WACKERNAGEL, H. (003) Multvarate Geostatstcs. Sprnger. XLSTAT AddnSoft SARL,

13 . NOÇÕES DE ÁLGEBRA MATRICIAL Os métodos estatístcos multvarados são normalmente baseados em manpulação de matrzes, porque os dados multdmensonas são apresentados nesse formato, o que, nclusve, faclta a confecção de algortmos a serem utlzados por computador. [ X ],j x x = x M x,, 3, m, x x x M x,, 3, m, A álgebra matrcal torna-se, portanto, uma ferramenta básca para o entendmento desses métodos e neste capítulo são apresentadas algumas noções elementares. Cada tópco é acompanhado por exemplos numércos de pequenas dmensões. Maores detalhes sobre álgebra lnear podem ser encontrados, entre outros, em AYRES JR. (96), DAVIS (984), FERGUNSON (988, cap. 6 e 7), GOLUB & VAN LOAN (996) e HARVILLE (997).. L L L O L x x x M x,n,n 3,n m,n.. Matrzes e vetores Matrz é um arranjo bdmensonal consttuído por elementos x j, onde representa lnha e j coluna. Normalmente as lnhas são ndvíduos ou casos ou objetos ou amostras, no sentdo geológco, e as colunas, varáves. [ X ] 4,4 x x = x x,, 3, 4, x x x x,, 3, 4, x x x,3 x,3 3,3 4,3 x,4 x x x,4 3,4 4,4 Se o número de lnhas é gual ao número de colunas a matrz é conhecda como quadrada. [X] é, portanto, uma matrz quadrada. O número de lnhas não precsa, porém, ser gual ao número de colunas, ou vce-versa: 3

14 y y,,,3 [ Y ] = [ Z ],3, y y, y y,3 3, z = z z,, 3, z z z,, 3, [Y] é uma matrz com lnhas e 3 colunas e [Z] é uma matrz com 3 lnhas e colunas, sendo ambas retangulares. Matrz dagonal é uma matrz quadrada onde os elementos fora da dagonal prncpal são todos guas a 0 (zero): [ X ] x = x 0 0 x 33 Matrz de dentdade ou matrz untára é uma matrz dagonal onde os elementos da dagonal prncpal são todos guas a e os demas 0 (zero): [] I = O traço de uma matrz é a soma dos termos da dagonal prncpal, sendo defndo somente para uma matrz quadrada Uma matrz com apenas uma lnha é chamada de vetor lnha e uma matrz com apenas uma coluna é chamada de vetor coluna: [ X] = [ x x...x ] ou [ Y] m y y = M y n Escalar é uma matrz com dmensões x... Operações com matrzes Transposção: permuta lnhas por colunas e vce-versa; representada por [ ], de modo que um elemento a j em [A] passa a ser a j em [A] 4

15 se [A] = , então [A]' = Uma matrz smétrca é uma matrz quadrada que é mutável quando transposta, de modo que [S] = [S].. Adção e subtração: smlar à álgebra lnear. O número de lnhas e de colunas precsa ser gual nas duas matrzes a serem adconadas ou subtraídas = = Multplcação: para efetuar a multplcação, por exemplo [A]*[B]=[C], o número de lnhas em [B] deve ser gual ao número de colunas em [A]. O resultado em [C] terá o mesmo número de lnhas que [A] e o mesmo número de colunas que [B] [ Alj ] * [B jk ] = [Clk ] A formula geral para determnar cada elemento em [C] é c j = r k= a k * b kj onde r é o número de colunas em [A] ou lnhas em [B]. Isto sgnfca que, por exemplo para c, deve-se multplcar a prmera lnha em [A] vezes a prmera coluna em [B]; para encontrar c 3 multplcar a segunda lnha de [A] pela tercera coluna de [B] * ( * 4) + (5 * 6) = ( * 4) + (7 * 6) ( * 4) + (3 * 6) ( * ) + (5 * 3) (0 * ) + (7 * 3) (4 * ) + (3 * 3) ( *) + (5 * ) 38 (0 *) + (7 * ) = 4 (4 *) + (3 * ) que [B]*[A]: Importante notar que o resultado de [A]*[B] geralmente não é o mesmo 5

16 4 6 3 * = escalar Multplcação por escalar: cada elemento da matrz é multplcado pelo 3 * = Determnantes: número sngular assocado a uma matrz quadrada. O determnante da matrz [A] é representado por A. Para uma matrz de dmensões x o determnante é calculado pelo produto dos elementos de uma dagonal menos o produto dos elementos da outra dagonal: a a a a = (a * a ) (a * a ) Inverso de uma matrz Como não há dvsão em álgebra matrcal, o procedmento adotado é utlzar o nverso da matrz. Na álgebra lnear se A*B = C, para resolver A calculase A = ou também A = C *. O nverso da matrz é análogo a. C B B B O nverso de uma matrz [X] é representado por [X] - e para o seu cálculo é necessáro satsfazer a condção [X]*[X] - =[I]. Em algumas stuações sso não é possível porque é encontrada uma dvsão por zero durante o processo de nversão. Nesse caso, de mpossbldade de nversão, a matrz é conhecda como sngular. Esta é uma das mas mportantes técncas em álgebra matrcal e essencal para a solução de sstema de equações smultâneas do tpo: [A]*[X]=[B], 6

17 onde [A] e [B] contém valores conhecdos e [X] valores desconhecdos a serem determnados. Multplcando ambos os lados da equação por [A] - [A] - *[A]*[X]=[A] - *[B], Como [A] - *[A]=[I], a equação se reduz para [X]=[A] - *[B] Seja o segunte sstema de equações onde se quer determnar x e x 04x +0x = 38 0x +30x =0 Em notação matrcal: x * 30 x 038 = 0 Para encontrar os valores x, basta nverter a matrz [A] e multplcar o nverso pelo vetor coluna [B] O nverso de [A] é encontrado da segunte manera: ,5 0, ,5 0,5 05, ,5 0,5 0 0,5 0 0, 7

18 0 0,5 0,5 0,5 0, Verfcação da nversão de matrz:,5 0,5 0,5 04 * 0, 0 0 = Cálculo dos x :,5 0,5 0,5 038 * = 0, 0 3 x = e x =3.3. Algumas matrzes especas.3.. Matrz de coefcentes de correlação A matrz orgnal de dados é consttuída por m ndvíduos (undades de observação) e n varáves, em que cada lnha representa um ndvíduo e cada coluna j uma varável. [X ],j = x x x M x,, 3, m, x x x x,, 3, M m, x x x x,3,3 3,3 M m,3 L L x x x x,n,n 3,n M m,n Para o cálculo de uma matrz de coefcentes de correlação a segunte seqüênca deve ser obedecda:. Encontrar para cada coluna a respectva méda e o desvo padrão: x j Σx j = ; m S j ( Σx ) Σx = m ; m s = s j. Encontrar o valor z j para cada observação: 8

19 z j xj x j = s j 3. A partr daí, consttur a matrz [ Z ], também de dmensões mxn: [Z] = z z z M z,, 3, m, z z z z,, 3, M m, z z z z,3,3 3,3 M m,3 L L z z z z,n,n 3,n M m.n 4. Encontrar o transposto da matrz [Z] ' [Z] = z z M z,,,n z z z,, M,n z z z 3, 3, M 3,n z z z m, m, M m,n 5. Multplcando [Z] por [Z], encontrar a matrz [V], de dmensões nxn [V] = [Z] [Z] [V] = v v v M vnv v v v v n M v... v v v v M v n n n 6. Fnalmente, calcular a matrz de coefcentes de correlação, multplcando o escalar por [V] m [R] = m [ V] = r r M r,, n, r r r,, M n, L L r,n r,n M rn,n 9

20 Exemplo Médas: x =,6; x =3,0; x 3 =3,4 [ X] = 5 4 Desvos padrão: s =,8; s =,0; s 3 =0,55 [ Z ] 0,889 0,333 = 0,889,333 0, ,000 0,000,000,000, ,77,09 0,77 077,09 [ Z ] 0,889 =,000 0,77 0,333 0,000,09 0,889,000 0,77,333,000 0,77 0,778,000,09 [ V ] 4,074 = 3,889 0,808 3,889 4,000,88 0,809,88 3,967 [ R ],000 = 0,97 0,0 0,97,000 0,455 0,0 0,455,000 em questão. Cada elemento desta matrz se refere à correlação entre o par de varáves.3.. Matrz de varâncas e covarâncas A matrz orgnal de dados é consttuída por m ndvíduos e n varáves, em que cada lnha representa um ndvíduo e cada coluna j uma varável. 0

21 [X] = x x x M x,, 3, m, x x x x,, 3, M m, x x x x,3,3 3,3 M m,3 L L L O L x x x x,n,n 3,n M m.n Para o cálculo de uma matrz de varâncas e covarâncas, a segunte seqüênca deve ser obedecda:. Encontrar a méda de cada coluna e subtrar esse valor de cada elemento: Σx j * x j = ; xj = xj x j m x *, x *, x *,3 L x *,n x *, x *, x *,3 L x *,n [X*] = x * 3, x * 3, x * 3,3 L x * 3,n M M M O M x * m, x * m, x * m,3 L x * m.n. Crar uma matrz de somas de quadrados e produtos cruzados [A], pela multplcação de [X*] por [X*], de dmensões mxm. ' [X*] = x * x * M x *,,,n x * x * M x *,,,n x * x * M x * 3, 3, 3,n x * x * M x * m, m, m,n [A] = [X*] [X*] [A] = a aa M an a a a a a a n M... a a M a n n a a n

22 3. Fnalmente crar uma matrz de varâncas e covarâncas [S] multplcando o escalar por [A] n [S] = m [ A] = s s M s,, n, s s s,, M n, L L s s s,n,n M n,n Exemplo [ X] = Médas: x =,6; x =3,0; x 3 =3,4 [ X *],6 0,6 =,6,4,4,0 0,0,0,0,0 0,4 0,6 0,4 0,4 0,6 [ X *],6 =,0 0,4 0,6 0,0 0,6,6,0 0,4,4,0 0,4,4,0 0,6 [ A ] 3, = 7,0 0,8 7,0 4,0,0 0,8,0, [ S ] 3,30 =,75 0,0,75,00 0,5 0,0 0,5 0,30

23 Cada elemento da dagonal se refere à varânca de uma varável e fora da dagonal à covarânca entre o par de varáves em questão. A soma dos elementos da dagonal é a varânca total no sstema. Notar que a matrz de correlações é a matrz de varâncas e covarânca com cada elemento dvddo pelo produto dos desvos padrões das respectvas varáves. A matrz de correlações é também a matrz de varâncas e covarâncas de varáves padronzadas Autovalores (engenvalues) e Autovetores (egenvectors) Este tópco é geralmente consderado de dfícl entendmento dentro da álgebra matrcal, não tanto pela manera de cálculo, mas prncpalmente pelo entendmento que se possa ter de seu resultado. Uma nterpretação geométrca como apresentada a segur, baseada em GOULD (967), pode ajudar a entender o sgnfcado de autovalores e autovetores. Consderando os valores de uma matrz como coordenadas de pontos num espaço multdmensonal, autovalores e autovetores passam a ser propredades geométrcas do arranjo desses pontos. Seja um conjunto de 3 equações lneares: a x +a x +...+a n x n =λx a x +a x +...+a n x n =λx a 3 x +a 3 x +...+a 3n x n =λx 3 Essas equações podem ser escrtas em forma de matrz, onde [A], contendo os coefcentes a j s, multplcada por um vetor [X], de desconhecdos x s, é gual a este vetor [X] multplcado por um escalar λ. [A][X] = λ[x], Para encontrar os valores de λ que satsfaçam a relação acma, a equação pode ser reescrta como: ([A] λ[i])[x] = 0, onde λ[i] é a matrz de dentdade, de dmensões 3x3, multplcada por λ: 3

24 λ λ 0 0 λ 3 Cálculo das raízes da equação (autovalores) para uma matrz 3 x 3: (a λ )x + a x + a 3 x 3 = 0 a x + (a λ )x + a 3 x 3 = 0 a 3 x + a 3 x + (a 33 λ 3 )x 3 = 0 Como exemplo, seja a segunte matrz de dados: Para essa matrz de dados é encontrada a segunte matrz de coefcentes de correlação [A],000 0,80 0,980 [ A] = 0,80,000 0,93, 0,980 0,93,000 com varânca total no sstema: ++=3 e para o cálculo dos autovalores: [A] λ[i] =,000 λ 0,80 0,980 0,80,000 λ 0,93 0,980 0,93,000 λ 3 = 0 Desenvolvendo: (,000 - λ )(,000 - λ )(,000 - λ 3 ) + (0,80)(- 0,93)(- 0,980) + (- 0,980)(0,80) (- 0,93) - (- 0,980)(,000 - λ )(- 0,980) - (,000 - λ )(- 0,93)(- 0,93) - (0,80)(0,80)(,000 - λ 3 ) = (λ -,80)(λ - 0,88)(λ 3-0,00) Os autovalores são guas a: λ =,80; λ = 0,88; λ 3 = 0,00 (soma = 3) e a porcentagem da varânca total explcada por cada autovalor: 4

25 λ = (,80/3)*00 = 93,66 λ = (0,88/3)*00 = 6,7 λ 3 = (0,00/3)*00 = 0,07 Para o cálculo dos correspondentes autovetores, calcular ncalmente as componentes do autovetor V : (,000 -,80)X + 0,80X - 0,980X 3 = 0 0,80 - (,000 -,80)X - 0,93X 3 = 0-0,980X - 0,93X - (,000 -,80)X 3 = 0 X = -,000; X = - 0,974; X 3 =,03 V = -,000-0,974,03 Padronzação do autovetor V para o tamanho untáro Q = - + (-0,974) + (,03) = 3,0 Q =,735 V n = -/,735 = -0,58 V n = - 0,974/,735 = - 0,56 V n =,03/,734 = 0,59 Para as componentes do autovetor V : (,000 0,88)X + 0,80X - 0,980X 3 = 0 0,80 - (,000 0,88)X - 0,93X 3 = 0-0,980X - 0,93X - (,000 0,88)X 3 = 0 V n = -0,60 V n = 0,79 V n =

26 Autovetores Varáves V V V 3 X X X Factor loadngs (carregamento das varáves nas componentes prncpas): ( autovetor padronzado autovalor correspondente) ) F F F 3 X X X Em termos geométrcos: Varáves 0,5 Exo F: 6% 0 V V V3-0, ,5 0 0,5 Exo F: 94% 6

27 A matrz orgnal de dados ao ser multplcada pela matrz de autovalores fornecerá a matrz de pontuações (scores). factor scores = ,58 3 * 0,56 0,59 0,60 0,79 0,6 0,56 0,6 0,79 F F F3 Obs Obs Obs Obs Em termos geométrcos: Observações,5,5 Exo F: 6.7 % 0,5 0-0,5 - A4 A3 A A -,5 - -,5 -,5 - -,5 - -0,5 0 0,5,5,5 Exo F: % 7

28 A orentação dos autovetores no espaço multvarado é determnada pela dreção da máxma varânca. Como a contrbução da varânca para cada autovetor, em alguns casos, deve ser maxmzada, há necessdade de rotação da matrz fatoral ncal. Matrz fatoral ncal: Fatores F F X 0,966-0,59 X 0,940 0,340 X -0,997 0,070 Para o cálculo do ângulo de rotação dos fatores, pelo crtéro varmax, o segunte procedmento deve ser adotado: A rotação ortogonal de uma matrz de carregamentos [X], em um novo conjunto de coordenadas [X ], requer uma matrz operaconal [T] [X ] = [T] [X] ' X ' X cosθ = senθ senθ X cosθ X ângulo de rotação Θ =?, para varavel j e fatores p e q 8

29 tan4θ = J (X 4 JP J - X X JQ ) JP X JQ - ( (X J JP X - X JP X JQ JQ ) ) - [4 - [( J J (X JP ΣX JP - X X JQ JQ ) ) J X - ( JP J X X JQ JP ]/n X JQ ) ]/n U J = X JP X JQ V = J X JP X JQ A = =,6; A = 6,8789 J U J B = = -0,000; B = 0,0000 J V J C = (UJ VJ ) =,6365 J D = (U V = -0,0797 J J J) D AB / n tan4θ = = - 0,59/- 0,6555 = 0,49 C (A B )/n arctan 0,49 = -66 = 4Θ; Θ = 4 7 sen Θ = - 0,6598 cos Θ = 0,755 [ T] 0,755 = 0,6598 0,6598 0,755 ' X ' X J J = 0,755 0,6598 0,6598 X 0,755 X J J X = + X j = (0,9656)(0,75) + (- 0,590)(- 0,6598) = 0,894 ' TX TX Matrz fatoral rotaconada: Fatores F F X 0,894 0,447 X 0,477 0,879 X3-0,79-0,609 9

30 Em termos geométrcos: Varáves 0,9 Exo F: 5.70 % 0,4-0, V V V3-0,6 -, -, -0,6-0, 0,4 0,9 Exo F: % Varáves depos da rotação varmax 0,86 V 0,66 Exo F: 45.7 % 0,46 0,6 0,06-0,4-0,34-0,54-0,74 V V3-0,94-0,9 4-0,7 4-0,5 4-0,3 4-0,4 0,06 0,6 0,46 0,66 0,86 Exo F:

31 Observações, 0,7 A4 A Exo F: 5.70 % 0, -0,3 A -0,8 -,3 A3 -,3-0,8-0,3 0, 0,7, Exo F: % Observações depos da rotação varmax,4 A4 0,9 Exo F: 45.7 % 0,4-0, -0,6 A3 A A -, -,6 -,6 -, -0,6-0, 0,4 0,9,4 Exo F: 54.8 % Gráfco mostrando o arranjo espacal dos pontos X, em D, antes e depos da rotação dos exos F e F : 3

32 3

33 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS AYRES JR., F. (96) Schaum s Outlne of Theory and Problems of Matrces: Schaum Publ. Co. DAVIS, P.J. (984) The Mathematcs of Matrces: R.E. Kreger Publ. Co FERGUNSON, J. (988) Mathematcs n Geology: Allen & Unwn Ltd. GOLUB, G.H. & VAN LOAN, C.F. (996) Matrx Computatons, 3 rd. ed.: Johns Hopkns Unv. Press. GOULD, P. (967) On the geographc nterpretaton of egenvalues: An ntal exploraton: Trans. Inst. Brtsh Geographers, n. 4, p HARVILLE, D. A. (997) Matrx Álgebra from a Statstcan s Perspectve: Sprnger 33

34 3. REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA As relações entre duas varáves "X", consderada ndependente, e "Y", consderada dependente, pode ser representada num dagrama de dspersão, com os valores y em ordenada e os x em abscssa. Cada par de valores x,y fornecerá um ponto e utlzando-se, por exemplo, o método dos desvos mínmos ao quadrado, pode-se calcular a equação de uma curva de tendênca que melhor se ajuste à nuvem de dstrbução de pontos. O modelo mas smples que pode ser adotado é o da análse de regressão lnear que fornece a equação de uma reta: y = α ι + βx + ε onde α e β são constantes desconhecdas a serem determnadas e ε representa toda a fonte de varabldade em Y não explcada por X. Operaconalmente encontra-se a equação da reta para a prevsão dos valores y segundo: y = a + bx, onde a e b são os coefcentes que determnam a ntersecção na ordenada e a nclnação da reta calculada. Não é raro, porém, que o termo ε seja numercamente mas mportante que a explcação motvada pela varável X, sgnfcando que outras varáves devem ser ncorporadas ao modelo a fm de explcar o comportamento de Y. O modelo exge então uma "análse de regressão lnear múltpla. A regressão múltpla é usada, portanto, para testar dependêncas cumulatvas de uma únca varável dependente em relação à dversas varáves ndependentes. Alguns cudados, porem, que devem ser tomados quando da utlzação da análse de regressão: as relações entre as varáves devem ser lneares; evtar um número nferor de casos em relação ao número de varáves consderadas, sendo recomendado que tal relação seja da ordem de 0 a 0 vezes superor; evtar varáves ndependentes redundantes, sto é, que tenham um alto coefcente de correlação entre s; verfcar, utlzando resíduos, a presença de valores anômalos. O modelo geral é representado por y = α + α x + L + α x o A análse de regressão múltpla lnear de quasquer n varáves ndependentes sobre uma varável dependente, sendo expressa por: o n n + ε Y = a + a X + a X + L + a n X n 34

35 pode ser resolvda segundo: n x x M x n x x x x M n x x [X] L L L O L x x x M x n x x n n n ao a a M a n [A] = y x y xy M xny [Y] Para a obtenção dos coefcentes a a solução obedece à relação: [A] = [X] [Y] Os coefcentes a são conhecdos como parcas de regressão porque cada um deles fornece a taxa de mudança na varável dependente correspondente à respectva varável ndependente, mantendo constantes as demas varáves ndependentes. Esses coefcentes terão valores dferentes, para cada varável, dos coefcentes de regressão totas obtdos pela análse de regressão smples entre a varável dependente e apenas uma varável ndependente consderada por vez. Na análse de regressão lnear múltpla são consderadas todas as possíves nterações entre a varável dependente e as dversas combnações com e entre as varáves ndependentes. Sendo calculadas a soma de quadrados da varável dependente, a soma de quadrados devdo à análse lnear múltpla e a soma de quadrados dos desvos, pode-se obter uma ndcação da valdade do resultado por uma análse de varânca, sendo m o número total de observações: [ / m] Varação total: SQT = y ( y) [ ] Varação devdo à análse de regressão lnear múltpla: SQR = y* ( ) Varação devdo aos desvos ou resíduos: SQD = SQT - SQR Porcentagem de ajuste da superfíce: R = ( SQR/SQT ) 00% y* /m 35

36 Fonte de varação g.l. Soma de quadrados Méda quadrátca Razão F Regressão n SQR MQR MQR/MQD Resíduos m-n- SQD MQD Total m- SQT H 0 : α = α = α 3 =... α n =0 H : pelo menos um α é dferente de 0 Ao recusar H 0 e, portanto, acetar H, pode-se afrmar que as varáves ndependentes explcam a varável dependente, mas não se pode afrmar qual varável é a mas mportante. Ao afrmar, também, que a varânca total de Y é em parte "explcada" pelas dversas varáves X's e o restante pela varabldade devdo ao erro (ε), fca mplícto que o termo "explcada" tem apenas um sgnfcado numérco e não necessaramente um conhecmento, do tpo causa-efeto, sobre o porquê da relação exstente. Os tamanhos relatvos dessas duas componentes de varânca são obvamente de grande nteresse quando da aplcação da análse de regressão múltpla. A proporção da varânca de Y "explcada" por uma equação de regressão ajustada é representada pelo coefcente de determnação R². (varânca de Y explcada pela análse de regressão) SQR R = =, (varânca total) SQT sendo a porcentagem de ajuste da superfíce gual a R x 00. Valores de R estão no ntervalo 0-, fornecendo uma medda dmensonal de quantdade do ajuste do modelo de regressão múltpla aos dados. Se o valor de R² for próxmo de sso sgnfca que as dversas varáves X's meddas são responsáves quase que totalmente pela varabldade de Y. Caso contráro, R² apresentará um valor próxmo a zero. O R pode ser ajustado em função dos graus de lberdade: R aj m = ( R m n ) = MQR MQT Embora a regressão múltpla seja multvarada no sentdo de que mas de uma varável é medda smultaneamente em cada observação, trata-se na realdade de uma técnca unvarada, pos o enfoque é apenas em relação à 36

37 varação da varável dependente Y, sem que o comportamento das varáves ndependentes X s seja objeto de análse. Uma das mas mportantes aplcações da análse de regressão lnear múltpla é a escolha, entre dversas varáves ndependentes, daquelas mas útes na prevsão de Y. A questão se torna, então, saber se certas varáves explanatóras podem ser retradas, ou não, do modelo de regressão. O método mas usual para essa seleção é a regressão múltpla passo-apasso (stepwse multple regresson). O processo de seleção é ncado com a adção da varável com a maor contrbução para o modelo. A partr daí são estabelecdas probabldades lmares tanto para a retrada como para nclusão de novas varáves ao modelo. Se uma segunda varável apresenta uma probabldade menor do que a probabldade "de entrada", ela é adconada ao modelo. O mesmo para uma tercera varável. Após a tercera varável ser adconado, o mpacto da remoção de cada varável presente no modelo, depos de ter sdo adconada, é avalada. Se a probabldade é maor do que a probabldade "de remoção", a varável é removda. O processo contnua até que não haja mas varáves que possam ser acrescentadas ou removdas. Outra manera é calcular os valores de R segundo n - combnações, onde n é o número de varáves ndependentes. Ao fnal verfca-se a contrbução de cada varável ndependente por comparações sucessvas entre os dversos resultados. 3.. Exemplos 3... DAWSON & WHITTEN (96), num estudo petrográfco sobre o complexo granítco da regão de Lacorne, La Motte e Pressac, no Canadá, obtveram valores para peso específco, quartzo, índce de cor (porcentagem de slcatos escuros ou máfcos), feldspato, e as coordenadas N-S e E-W para cada ponto de amostragem (Matrz de dados 3.., no Apêndce ao fnal do texto). Para verfcar se o peso específco pode ser prevsto em função das outras 5 varáves, aplca-se a análse de regressão múltpla para a ndcação das varáves por ordem de mportânca nessa prevsão. 37

38 Incalmente é feta uma análse de regressão levando em consderação todas as 5 varáves, consderadas ndependentes, e uma análse de varânca para verfcar a valdade do modelo (Tabela 3..). A equação ncal encontrada é: Y = 4,0607-0,058X -0,006X -0,043X3 + 0,0080X4-0,0006X5, com R = 0,977 Tabela 3.. ANOVA Fonte de Soma de Médas Teste F (0,05) varação g.l. quadrados quadrátcas Razão F Modelo 5 0,49 0,050 50,45 Resduos 38 0,0 0,00 Total 43 0,7 Este resultado mostra que as 5 varáves explcam 9% da varabldade de Y e que o modelo pode ser aceto, pos a razão F encontrada, em confronto com o teste F crítco tabelado ndca que essas varáves reduzem sgnfcatvamente a varação da varável dependente. O nteresse, porém, é verfcar a contrbução específca de cada varável, tendo em vsta que há correlações entre as mesmas (Tabela 3..) Tabela 3.. Matrz de coefcentes de correlação (Pearson) Peso spc. Quartzo Cor Feldspato NS EW Peso spc. -0,853 0,97-0,369 0,57 0,684 Quartzo -0,853-0,840-0,0-0,389-0,663 Cor 0,97-0,840-0,53 0,403 0,655 Feldspato -0,369-0,0-0,53-0,47-0,85 NS 0,57-0,389 0,403-0,47 0,56 EW 0,684-0,663 0,655-0,85 0,56 Estabelecendo probabldades lmares gual 0,0 tanto para a retrada como para a entrada de uma varável no modelo o segunte resultado fo encontrado: No. de varáves Varável IN/OUT Status MQE R² Varáves Cor Máfcos IN Cor / NS NS IN Cor/NS/Quartzo Quartzo IN Cor/NS/Quartzo/ Feldspato Feldspato IN

39 Parâmetros do modelo: Fonte Valor Erro padrão t Pr > t Intercepto < Quartzo Cor Feldspato NS EW Isto sgnfca que as varáves, em ordem de mportânca para a explcação do peso específco, são: cor, N-S, quartzo, feldspato, sendo pratcamente nula a contrbução de E-W. Uma outra manera para verfcar essa ordenação, segundo KRUMBEIN & GRAYBILL (965), é calcular os coefcentes R s referentes às varáves ndependentes, uma de cada vez e, em seguda, combnadas duas a duas, três a três e quatro a quatro. Esse procedmento fornece um número total de combnações da ordem de 5, sto é, 3. A segur estão os coefcentes que apresentaram os maores resultados (Tabela 3.3.): Tabela 3.3. Coefcentes de R Varáves R s Cor 0,8404 Quartzo 0,777 EW 0,4673 NS 0,358 Feldspato 0,364 Cor+NS 0,8887 Cor+Quartzo 0,8640 Cor+Feldspato Cor+EW 0,856 Cor+NS+Quartzo 0,906 Cor+NS+Feldspato 0,9034 Cor+NS+EW 0,8896 Quarzto+EW+Felspato 0,8750 Cor+NS+Quartzo+Feldspato 0,97 Cor+NS+Quartzo+EW 0,906 Cor+NS+Quartzo+Feldspato+EW 0,977 A contrbução específca de cada varável ndependente, com vstas ao seu ordenamento por mportânca, é encontrada da segunte manera: a varável cor é a prmera a ser seleconada com 84,04% do total da soma de quadrados de Y a 39

40 ela atrbuída; em seguda apresentam-se cor+ns com 88,87% e desse modo a varável NS é escolhda com a contrbução de 88,87 84,04 = 4,83% para a explcação de Y; de modo dêntco quartzo é escolhda como a tercera varável com,74%, resultado de 90,6 88,87; feldspato, como a quarta varável, com,%, resultado de 9,7 90,6 e, fnalmente, EW com 0,05%. Desse modo, a explcação para o comportamento da varável peso específco é mostrada na Tabela 3.4.: Tabela 3.4. Contrbução específca de cada varável ndependente Máfcos 84,04% N-S 4,83% Quartzo,4% Feldspato 0,6% E-W 0,05% Esses resultados ndcam novamente que, para a explcação do comportamento do peso específco, a varável mas mportante é a cor, o que é coerente pos esta varável nada mas é que o resultado da presença de mneras máfcos. Além dsso, como a segunda varável em mportânca é a coordenada NS sso também esta a ndcar que a varabldade do peso específco ocorre mas ao longo dessa dreção do que no sentdo EW. Como se tem à dsposção a coordenada geográfca, o que não é muto comum nesse tpo de análse, pode-se examnar o comportamento espacal das três varáves, quartzo, feldspato e cor, em confronto com a dstrbução do peso específco (Fgura 3.). Novamente é constatada, por smples comparação vsual entre os mapas, a semelhança entre os mapas para peso específco e para cor. Também pode ser observada a maor varabldade no sentdo norte-sul para o peso específco e a relação nversa entre esta varável e quartzo, como já ndcada pelo coefcente de correlação. 40

41 Fgura 3.. Mapa com valores nterpolados para as varáves estudadas 4

42 3... Comparação entre mapas têm sdo preocupação dos geólogos, pela sua utldade na localzação espacal e mesmo nterpretação de qualquer banco de dados temátco. Se exstem, porém, dversos algortmos à dsposção para a confecção de mapas o mesmo não pode ser afrmado em relação à comparação entre mapas. Alguns trabalhos que tratam do assunto podem ser encontrados em BROWER & MERRIAM (990, 99) usando técncas estatístcas; e HERZFELD & SONDERGARD (988); HERZFELD & MERRIAM (99) usando técncas algébrcas orentadas para uso em computador. Um nteressante enfoque é apresentado por BROWER & MERRIAM (00) que utlzam a análse de regressão múltpla para comparar mapas de contorno estrutural com fnaldade de entender a hstóra geológca de uma certa regão. Se a varável consderada dependente for a camada mas jovem e as demas camadas as varáves ndependentes, pode-se verfcar qual delas teve maor nfluênca na confguração dessa camada mas jovem. Utlzando essa déa LEITE & LANDIM (003) aplcaram a análse de regressão múltpla para quantfcar a nfluênca de dversas varáves no comportamento da superfíce potencométrca de um aqüífero lvre (superfíce), consderada como varável dependente. As varáves consderadas ndependentes foram cota do terreno (topografa), base da formação aqüífera ou cota do topo do basalto (basalto), espessura da formação aqüífera (espessura), e coordenadas UTM (X e Y). Esses valores foram obtdos a partr de 88 poços (Matrz de dados 3..). O local objeto do estudo compreendeu a área urbana do muncípo de Perera Barreto/SP, stuada junto ao Reservatóro de Três Irmãos, formado no ro Tetê, pela construção da barragem de mesmo nome, com extensão de aproxmadamente 50 km. A cdade de Perera Barreto stua-se na vertente sul de uma colna ampla, de topo aplanado, com alttude máxma de aproxmadamente 450 m, lmtada ao sul pelo remanso do reservatóro da barragem Três Irmãos no ro Tetê e a norte pelo remanso do reservatóro de Ilha Soltera (ro Paraná) no trbutáro São José dos Dourados, em zona de transção dos grupos Cauá e Bauru, com afloramentos de basaltos do grupo São Bento restrtos às proxmdades das margens do ro Tetê. A superfíce potencométrca do aqüífero lvre na área ocupada pela cdade, anterormente à formação do reservatóro encontrava-se 4

43 entre os níves m, com profunddades máxmas do nível d água (N.A.) pouco superores a 0 metros. Fgura 3.. Mapa da superfíce potencométrca Os maores coefcentes de determnação obtdos foram : Varável Coefcentes R Topografa 0,84 Topografa + Coord X 0,830 Topografa + Coord X + Espessura do aquífero 0,833 Topografa + Coord X + Espessura do aquífero + Coord Y 0,836 Topografa + Coord X + Espessura do aquífero + Coord Y + Topo Basalto 0,836 43

44 Com estes resultados, estabelece-se a contrbução específca de cada varável ndependente para a varabldade da varável dependente H, sto é, superfíce potencométrca do aqüífero lvre: Varável Contrbução Topografa 8,4% (0,84) Coordenada X,6% (0,830-0,84) Espessura do aquífero 0,3% (0,833 0,830) Coordenada Y 0,3% (0,836 0,833) Topo do basalto 0,0% (0,836 0,836) Analsando-se o peso de cada varável dependente observa-se que a varável Topografa do Terreno é a que melhor explca a varação da Superfíce Potencométrca, da ordem de 8,4%, fato esse já bem conhecdo em Hdrogeologa. As demas varáves apresentam pequenas nterferêncas na varabldade da potencometra. Os resultados encontrados confrmam quanttatvamente que a superfíce potencométrca do aqüífero lvre se comporta, em lnhas geras, como a superfíce topográfca do terreno. Observa-se, no entanto, que apesar da excelente correlação obtda no processo de comparação entre o mapa potencométrco e o mapa topográfco, a varável Superfíce Potencométrca não é totalmente explcada pela varável Topografa do Terreno, ou seja, devem exstr outros fatores que auxlam no condconamento desse comportamento. 44