Cpítulo 6: Dierencição e Integrção Numéric Dierencição Numéric Em muits circunstâncis, torn-se diícil oter vlores de derivds de um unção: derivds que não são de ácil otenção; Eemplo clculr ª derivd: e lnsin rctn de não se conecer unção nlític d unção, sendo est deinid num número inito de pontos. MÉTODOS NUMÉRICOS Sej um unção com derivds contínus té à ordem n no intervlo [,], então, pelo teorem de Tlor, p n R n, pr [,] e, portnto, p n, pr [,] DERIVADAS DE ª ORDEM: Consideremos o polinómio interpoldor de Newton de º gru:
p [, ]. Então, p ' [, ] e, portnto, ' ' [, ] p Fendo, podemos escrever ' [, ] EXEMPLO: Clculr ª derivd d unção e sin no ponto.5 com.. DERIVADAS DE ª ORDEM: Consideremos o polinómio interpoldor de Newton de º gru: [, ]. [,, ]. - p Então, p '' [,, ] e,portnto, '' p '' [,, ] [, ] [, ]
Fendo, donde podemos escrever '' [,, ] EXEMPLO: Clculr ª derivd d unção e sin no ponto.5 com.. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR: Generlir dest técnic o cálculo de derivds de ordem superior!! Integrção Numéric. Regr dos Trpéios Se um unção é contínu num intervlo [, ] e é conecid su primitiv F, o integrl deinido dquel unção entre e pode clculrse pel órmul undmentl do cálculo integrl: I d F F 6. No entnto, em muitos csos, o processo nterior pode ser compleo ou mesmo não ser possível porque ou é impossível encontrr um primitiv de epress nliticmente, ou, pode pens ser conecid num número inito de pontos como, por eemplo, no cso de ddos eperimentis. Em qulquer dos csos é imprescindível oter métodos numéricos, pr um cálculo proimdo de. A integrção numéric de um unção permite o cálculo do integrl deinido em com se em lguns vlores
discretos d unção integrr. A técnic normlmente utilid consiste em sustituir unção integrnd por outr g que proim, no intervlo [, ], e sej mis cilmente integrável, e estelecer d g d Felimente os polinómios P n constituem proimções roáveis e são de ácil integrção. De cto, ests dus crcterístics justiicm grnde importânci dos polinómios no âmito dos métodos numéricos. Pr otenção ds órmuls ds regrs de integrção, é utilido o polinómio interpoldor de Gregor-Newton: Pn! 6. onde!...... n n! Aproimndo unção em 6. pelo polinómio de Gregor-Newton, e integrndo-o, oter-se-ão s órmuls. n O cso mis simples de integrção, unção é proimd pel rect que une os pontos, e,. Geometricmente regr trpeoidl proim áre so curv de medinte áre de um trpéio. O erro será ddo pel áre que ic entre s dus curvs. Anliticmente Pr determinr regr dos trpéios é utilido o polinómio de Gregor-Newton do primeiro gru, ou sej, um rect. Fendo n em 6. e sustituindo em 6. tem-se: I d P d d.
Como temos que dd. Eectundo um mudnç no intervlo de integrção, i.e., pssndo do intervlo [, ] pr o intervlo [, ] tem-se: Ou sej, I d d. Ms, então, I I, 6. que é órmul dos trpéios ou regr dos trpéios. Erro de Trunctur A dierenç entre o integrl ecto de áre so curv de e o integrl proimdo é o erro de integrção. Tl erro é devido o erro de trunctur cometido n proimção d unção integrnd pelo polinómio de Gregor-Newton. Pr determinr este erro st integrr o erro de trunctur do polinómio interpoldor. Tem-se que '' ξ E T, < ξ <! 5
Então, E E E '' ξ d '' ξ d!! '' ξ! '' ξ 6 E O erro de trunctur é então ddo por: E '' ξ '' ξ! ξ, ou E '', ξ ξ 6. Se ξ> tem-se um erro por ecesso e se ξ< tem-se um erro por deeito. Fórmul Compost A equção 6. mostr que o erro d órmul dos trpéios é proporcionl pens se nul qundo se nul, i.e., qundo or liner e diminui proporcionlmente qundo - é pequeno. No cso de - não ser suicientemente pequeno o erro de integrção E pode não stiser precisão desejd. Pr diminuir o erro pode-se sudividir o intervlo inicil [,] em n suintervlos [ i, i ] de mplitude constnte e plicr órmul 6. cd n suintervlo. Tem-se então que I... n n I... n I... n n, n 6
que é regr dos trpéios compost. Erro de Trunctur O erro totl cometido é som dos erros cometidos n plicção d órmul dos trpéios cd suintervlo. EE E...E n-, onde E i é o erro cometido o plicr regr dos trpéios o intervlo [ i, i ], ou sej, Ei '' ξ i, i ξi i. Tem-se então que E '' ξ i. i Como é continu eiste ξ, tl que n '' ξ '' ξ. n n i i Ou sej, Como n E ''ξ, ξ. n tem-se, E ''ξ, ξ. n Como o erro é inversmente proporcionl o qudrdo de n, o erro tende pr ero à medid que o número de suintervlos ument. Eemplo : Utilindo regr dos trpéios compost e considerndo seis suintervlos clcule I.6. d 7
.6. Utilindo seis su intervlos temos. 6 Ou sej, Então, i i....6..5....9.5.957.6.877 I 5. I.6768 I.88. 6 Vlor ecto do integrl:.6. 6 I d ln.8... O erro cometido no cálculo numérico do integrl é: Erro.88.8. 5.. Regrs de Simpson N tenttiv de melorr proimção trpeoidl poder-se-á utilir polinómios de ordem superior um. As regrs de Simpson otém-se proimndo unção por polinómios interpoldores de gru superior ou igul dois. Assim, se se utilir um polinómio interpoldor de Gregor-Newton de gru dois, P, pr proimr, i.e., P! 8
tem-se que d d P d I! Eectundo um mudnç de vriável tem-se que dd. e lém disso, Ou sej, d d I!!! I 8 I Ms, então, I I, que não é mis do que órmul de Simpson simples. Enqunto regr trpeoidl proim, em cd intervlo de mplitude, áre so curv medinte áre de um trpéio, regr de Simpson utili áre so um práol pr proimr áre so curv em dois intervlos djcentes. 9
Erro de Trunctur Tl como pr regr dos trpéios, pr determinr o erro cometido o utilir regr de Simpson, st integrr o erro de trunctur d proimção polinomil. Tem-se que ''' ξ E T, < ξ <! Assim, o erro cometido n integrção é ddo por E d ''' ξ ''' ξ d!! E ''' ξ! Ou sej, tem-se que o erro de integrção é nulo, pode-se ssim concluir que o erro não depende de Clcule-se então ''' ξ E T, < ξ <! E ET d iv ξ com ET, < ξ <! i.e., clcule-se o erro de integrção com um erro de trunctur d proimção polinomil menor. Neste cso tem-se E iv ξ d! 5 E 9 iv ξ, ξ, que é o erro cometido qundo se utili órmul de Simpson n integrção numéric.
Seri de esperr que, tl como regr dos trpéios é ect pr polinómios do primeiro gru, regr de Simpson osse ect pr polinómios de gru dois ou menor. A dedução d órmul do erro mostrou que regr de Simpson tmém é ect se é um polinómio de terceiro gru. Fórmul Compost Pr oter órmul compost de Simpson deve-se sudividir o intervlo de integrção [, ] em n suintervlos de igul mplitude, e cd pr de suintervlos plicr regr de Simpson simples. Otém-se então, I... n n n I... n n n, que é regr de Simpson compost, tmém conecid pel regr do /. Note-se que regr de Simpson é plicd pres de suintervlos, como tl pr se poder plicr reerid regr o número de suintervlos disponíveis tem de ser pr. Erro de Trunctur Tl como pr regr dos trpéios compost, o erro totl pr regr de Simpson compost, otém-se somndo os erros cometidos n plicção d regr de Simpson cd pr de su intervlos. Tem-se então que 5 n / iv E ξ i, i ξi i 9 i
Como iv é continu eiste ξ, tl que n n / iv ξ iv ξi. i Ou sej, 5 E iv ξ, ξ. 8n Eemplo : d Clcule o vlor de π, ddo pel epressão π plicndo regr de Simpson com qutro su intervlos. Pr n tem-se que.5. Descretindo o intervlo [, ] e clculndo i otém-se seguinte tel de vlores: Então, i i.5.9.5.8.75.6.5.5.9.8.6.5 π.6. Do mesmo modo que se deduiu regr de Simpson nterior, utilindo um polinómio interpoldor de Gregor-Newton de gru dois, é possível deduir outrs regrs utilindo polinómios interpoldores de Gregor- Newton de gru superior. Por eemplo, se utilirmos um polinómio de Gregor-Newton de gru três pr interpolr unção, otemos seguinte regr de Simpson: I... n n 8 n que é conecid pel regr dos /8.