3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido Definição, Propriedades e Exemplos

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1 3. Cálculo integrl em IR 3.. Integrl Indefinido 3... Definição, Proprieddes e Exemplos A noção de integrl indefinido prece ssocid à de derivd de um função como se pode verificr prtir d su definição: Definição Ddo o intervlo ], b[ e função f :], b[ IR, o integrl indefinido (ou primitiv) de f é um função F :], b[ IR com propriedde seguinte: F (x) = f(x), x ], b[. Ou sej, dd um função f, o integrl indefinido de f (ou primitiv f) é um função F cuj derivd é f. Representmos o integrl indefinido (ou primitiv) de f por fdx ou P f Exemplo... 5 dx = 5x.. P (x) = x.3. e x dx = ex.. P ( ) x = ln(x) Observemos que o integrl indefinido (ou primitiv) de um função não é único. De fcto, se F (x) é integrl indefinido de f(x) então F (x) + c tmbém o é (c IR).

2 A últim expressão é expressão gerl ds primitivs de f. Por exemplo: x, x +, x são primitivs d função f(x) = x. Isto signific que qundo clculmos primitiv de um função obtemos um fmíli de funções, cujos elementos diferem entre si por um constnte. Geometricmente, diferem entre si pens de um trnslção verticl. 6 y - - x - x^+ x^- x^ De referir tmbém que, como consequênci d definição, derivr e integrr são operções inverss. Isto é: f (x) dx = f(x) + c, c IR ( f(x) dx) = f(x)

3 Conhecids s regrs de derivção, podemos desde já estbelecer proprieddes pr primitivção:. P (f(x) + g(x)) = P f(x) + P g(x). P (kf(x) = kp (f(x)), k IR Tendo em cont definição de primitiv e o conjunto de derivds já conhecids podemos clculr, por exemplo: P (x + x ) = P (x ) + P (x) P () = P ( 3 3x ) + x x = = 3 P (3x ) + x x = 3 x3 + x x + C, C IR E portnto: P (x + x ) = 3 x3 + x x + C, C IR. Repre-se, novmente, que pr respost estr complet, há necessidde de somr à expressão finl um constnte pr que sejm indicds tods s primitivs d função em cus. Em exercícios concretos, poderemos estr interessdos pens num ds primitivs. Neste cso, dizemos que estmos procurr um solução prticulr e é necessário um condição dicionl pr o cálculo d constnte C. Estes são os problems de vlor inicil. 3

4 Exemplo. Determine F (x), sbendo que F (x) = x e que F () =. Resolução: F (x) = (x ) dx = x x + C, C IR. F () = F () = () + C = C = 3. Logo, solução prticulr deste problem é F (x) = x x + 3. Exemplo 3. O custo mrginl de fbrico de x uniddes de um produto tem como modelo dc dx = 3, x. A produção de um unidde cust 5ε. produção de uniddes. Clcule o custo totl de Resolução: Comecemos por determinr função custo, integrndo função custo mrginl: C(x) = Isto é: (3, x)dx = 3x, x + k = = 3x, x + k, k IR C(x) = 3x, x + k, k IR

5 Dd condição inicil C() = 5, podemos clculr constnte : C() = 3, () + k = 5 k = 8,. Assim, função custo totl é : C(x) = 3x, x + 8,. Então, o custo de produção de uniddes é de C() = 3, () + 8, = 568, Integrl Indefinido Imedito Dizemos que um função tem integrl indefinido imedito se o podemos clculr imeditmente considerndo pens s derivds de funções já conhecids, ou pós lgums mnipulções lgébrics simples. Vejmos lguns exemplos, onde plicremos o conhecimento derivds de lgums funções já conhecids: Exemplo :.. Potêncis f (x)f(x) n dx = f(x)n+ n + + c, c IR, n. x(3 x ) dx = 8x 8 }{{} (3 x ) dx = } {{ } f f n = (3 x ) 3 + c, c IR 8 3 5

6 .. Função exponencil 5xe x dx = 5 f (x)e f(x) dx = e f(x) + c, c IR }{{} x }{{} e x dx = f e f = 5 e x + c, c IR.3. Função logrítmic f (x) f(x) dx = ln f(x) + k, k IR x dx = = f {}}{ dx = } x{{ } f f {}}{ x } {{ } f dx = ln(x ) + k, k IR Integrl Indefinido Por Prtes Nest secção bordremos um técnic de primitivção que é consequênci direct d regr de derivção do produto. Já sbemos que se f(x), g(x) são dus funções então derivd do produto é dd por: (fg) = f g + fg. Dest propriedde conclui-se, imeditmente, que fg = P (f g + fg ). 6

7 Então, podemos considerr s equivlêncis: fg = P (f g + fg ) fg = P (f g) + P (fg ) P (f g) = fg P (fg ) A últim iguldde é fórmul d primitivção por prtes ou integrção por prtes: P (f g) = fg P (fg ) () Est técnic é utilizd sempre que função integrr ( função integrnd) sej produto de dus funções f, g, em que f deverá ser fácil de integrr e g fácil de derivr. Exemplo 5: ln(x)x dx = ln(x) }{{} f }{{} x g dx = ln(x) } {{ } f x }{{} g x dx = }{{} x }{{} f g = ln(x) x x dx = ln(x)x x dx = Ou sej: = ln(x) x x + c = ln(x)x x ln(x)x dx = ln(x) x x + c, c IR + c, c IR 7

8 3.. Integrl Definido 3... Definição Definição Sej f um função não negtiv e contínu no intervlo fechdo [, b]. A áre delimitd pelo gráfico de f, pelo eixo dos XX s e pels rects x = e x = b é representd por A expressão b Áre = b f(x)dx () f(x)dx é o integrl definido de f de b; é o limite de inferior de integrção e b é o limite superior de integrção. Suponhmos que é dd um função f(x) tl que f(x) dx = F (x) + c. Então, form de cálculo do integrl definido de f é-nos dd pelo seguinte teorem Teorem Teorem Fundmentl do Cálculo Integrl Se f é não-negtiv e contínu no intervlo fechdo [, b], então b f(x)dx = [F (x)] b = F (b) F (). Até gor considermos pens funções não-negtivs. O Teorem Fundmentl do Cálculo Integrl estbelece form de cálculo do inte- 8

9 grl definido e, no cso mis gerl, não se grnte que o seu vlor sej não-negtivo. Nos csos em que f é um função com vlores negtivos, o integrl definido pode ser positivo, nulo ou negtivo e, por isto, nem sempre ser representtivo d áre trás referid. Exemplo 6: x dx = [ x 3] 5 = 53 3 = 5 = 6. e x dx = [ e x ] = e e = e e = e e 6.3 b ke x dx = [ke x ] b = keb ke = k(e b e ) 6. ln(x) x dx = = ] [ln(x) x x = ) ) (ln() (ln() = = ( ln() ) ( ) = ln() 3 9

10 Exemplo 7: O lucro mrginl de um produto tem como modelo P (x) = dp dx =, 5x +,. Clcule vrição do lucro qundo s vends umentm 7.. de pr uniddes 7.. de pr uniddes. Resolução: 7.. A vrição do lucro com um umento ns vends de pr uniddes é dp dx = (, 5x +, )dx = = [, 5x x +, x], A vrição do lucro com um umento ns vends de pr uniddes é dp dx = (, 5x +, )dx = = [, 5x x +, x], 8

11 3... Aplicções do Integrl Definido Um ds plicções do integrl indefinido é o cálculo d áre d região limitd pelos gráficos de dus, ou mis, funções. Exemplo 8: Clcule áre d região limitd pelos os gráficos ds funções f(x) = x e de g(x) = x 3, pr x [, ]. Resolução: Temos x x^3 ( x x 3 ) dx = [x x x ] = ) ) ( ( = = (8 ) =

12 Proprieddes do Integrl Definido:.. b f(x) dx = f(x) dx = b f(x) dx 3. c f(x) dx = b f(x) dx + c b f(x) dx, se < b < c. b kf(x) dx = k b f(x) dx, se k IR. Outr plicção importnte do integrl definido é o clculo do vlor médio de um função num ddo intervlo. Dd um função f(x), o vlor médio de f(x) no intervlo [, b] é dd por f(x) = b f(x) dx b Exemplo 9: O custo unitário de produção de um produto durnte um período de nos tem o modelo c(t) =.5t +.t + 3.5, t, onde t é expresso em meses. Clcule um proximção do custo médio unitário nesse período de nos.

13 Resolução: O custo médio é obtido por integrção de c(t) o longo do intervlo pretendido, que neste cso é [, ]. Assim: c(x) = (, 5t +, t + 3, 5) dt = = [, 5t 3 3 +, t ] + 3, 5t = = (, , ) + 3, 5 =, 3 3

14 3.3. Exercícios. Clcule: () ln(x) dx (b) xe x dx (c) x x + dx (d) x e x dx (e) ( ) 9 y dy (f) (x 3 x ) dx (g) x 3 x dx (h) (t ) dt (i) x + x dx (j) 3 x dx (k) v v dv (l) x 3 dx (m) x 3 dx (n) x + x dx (o) ( 3 ) x dx (p) u(3u + ) du. Resolv os problems de vlor inicil seguintes: () f (x) = 3 x + 3, f() = (b) f (x) = 6x(x ), f() = (c) f (x) = x x, x >, f() = 3 (d) f 5 (x) =, x, f(7) = (x ) 3. Um empres fbric um produto pr o qul o custo mrginl de produção de x uniddes é e os custos fixos são 5. dc dx = C (x) = x, () Clcule função custo totl e função custo médio. (b) Determine o custo totl d produção de 5 uniddes. (c) Em (b), qul prcel fix do custo totl? Qul prcel vriável?. A tx de crescimento d populção de um cidde tem como modelo dp dt = 5t,6, onde t é o tempo em nos. A populção d cidde é, no momento, de 5. hbitntes. Qul será populção dqui nos?

15 5. O consumo S de gás nturl umentou, entre 986 e 99 um tx dd pelo modelo ds dt =, 75t +, t +, 8, t 6, onde t = represent 986. Em 986 o consumo foi de 6, 7. Determine um modelo pr o consumo entre 986 e 99 e determine o consumo em Clcule: () ( + ) dx (b) (x 3) 5 3 dx (c) x dx (d) ( + x 3 ) x + 6 (x + 3x + 7) 3 dx (e) x t + t ( dx (f) dt (g) + ) 3 ( ) + x t t t dt (h) (x 3 + 3x)(x + ) dx 7. O custo mrginl de um produto tem como modelo Sbe-se que C(3) =. () Determine função custo. dc dx = 3 x +. (b) Esboce os gráficos de C(x) e de C (x) no mesmo sistem de eixos. 8. A tx dq à qul um empres pg um empréstimo o bnco é proporcionl o qudrdo dt de 5 t, onde t é o tempo, em meses, e t 5. Q(t) represent o que flt ser pgo no mês t. Suponh que o empréstimo é de. euros e que deverá estr totlmente pgo no 5 o mês. () Qul o vlor do o pgmento? E do último? (b) Qul o vlor do o pgmento? (c) Qul o montnte em dívid pós 5 meses? (d) Que instnte que corresponde o pgmento de metde d dívid? 9. Clcule: () e x dx (b) 9te t dt (c) (x + x ) e x3 +3x dx (d) x e x dx (e) x + dx (f) y 3 y dy (g) x + 3 x + 6x + 7 dx (h) v 3 e v dv 5

16 . De , o númerto T de trnscções em cixs multibnco nos EUA vriou segundo tx dt dt = 3, 33t 3 7, 89t +, 7e t, onde t = corresponde 986. Em 99 ocorrerm 6 milhões de trnscções. () Estbeleç um modelo que nos forneç o número totl de trnscções. (b) Aplique o modelo pr determinr o número de trnscções em 988 e em 99.. Clcule: () x e x (b) 3 x dx (c) ( x 3 6x ) dx (d) x ( x + 6 ) dx (e) ( x + bx + c ) dx (f) 3 3 x dx (g) ( ) x 3 x3 + dx (h) e x dx (i) 3 ( e x + e x) dx (j) e x + dx (k) 6 e ( x + ) + x dx (l) x + x dx. Clcule os integris seguintes e fç um esboço d áre que esse integrl represent: () 3 (x 3) dx (b) t( t) dt (c) 3v v 3 dv (d) ln(6) e x dx 3. Sejm 5 f(x) dx = 8 e 5 g(x) dx =. Clcule: () 5 [f(x) + g(x)] dx (b) 5 f(x) dx (c) 5 (f(x) g(x)) dx (d) 5 g(x) f(x) dx. O custo de quisição e mnutenção de um peç de equipmento durnte x nos dmite o modelo ( C(x) = x Determine o custo totl pós no, 5 nos e nos. t dt ). 6

17 5. Um empres dquire um máquin pr qul tx de desvlorizção é de dv dt = (t 6), t 5, onde V é o vlor d máquin pós t nos. Estbeleç e clcule o integrl definido que dá perd totl de vlor d máquin durnte os primeiros 3 nos. 6. Fz-se um depósito de 5 euros num cont poupnç com um tx nul de % compost continumente. Determine o sldo médio d cont durnte os primeiros 5 nos. 7. Nos EUA, tx nul de mortlidde R (em mortes por pessos de idde x) tem como modelo R(x) =, 36x, 8x + 58,, x 6. Clcule tx médi de mortlidde pr pessos entre os e os 5 nos e pr pessos entre os 5 e os 6 nos. 8. O consumo totl de combustivel pr trnsporte nos EUA, de , dmite o modelo f(t) =, 33t +, 96t +, 76, t 9, onde t = represent 97. Como consequênci do umento de preços verificdo em 979, o consumo bixou e pssou seguir o modelo g(t) =, 83t +, 5t +, 8, 9 t 6. Determine economi de combustível entre 979 e 986, por mudnç nos pdrões de consumo. 9. Fç um esboço d áre delimitd pelos gráficos e determine-: () f(x) = x x, g(x) = (b) f(x) = x + x +, g(x) = x + (c) f(x) = x x, g(x) = (x + ) (d) f(x) = 3 x, g(x) = x (e) y = x x + 3, y = 3 + x x (f) f(y) = y( y), g(y) = y (g) f(x) = e.5x, g(x) = x, x =, x = (h) y = 8 x, y = x, x =, x = 7