Definição Definimos o dominio da função vetorial dada em (1.1) como: dom(f i ) i=1

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1 Cpítulo 1 Funções Vetoriis Neste cpítulo estudremos s funções f : R R n, funções que descrevem curvs ou movimentos de objetos no espço. 1.1 Definições e proprieddes Definição Um função vetoril, é um função cujo dominio é um subconjunto I dos numeros reis R e cuj imgem é um conjunto de vetores R n. Um função vetoril definid em I R, com vlores em R n, é denotd por: f(t) = (f 1 (t), f 2 (t),..., f i (t),..., f n (t)), t I (1.1) onde cd f i é um função rel definid em I, isto é, f i : I R R. Pr poder visulizr e entender melhor nosss definições e exemplos considerremos os csos em que n = 2 ou n = 3. Definição Definimos o dominio d função vetoril dd em (1.1) como: dom( f) = n i=1 dom(f i ) Exercícios : Determine o domínio ds seguintes funções vetoriis. 1. f(t) = (t 2, t 1, 5 t) ( 2. f(t) = t 2, sen t, ln(9 t+2 t2 ) ) 1

2 Definição O limite de f(t) = (f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)) qundo t proxim-se de t 0 é definido por: lim f(t) = ( lim f 1 (t), lim f 2 (t), lim f 3 (t)) t t 0 t t 0 t t 0 t t 0 Portnto lim t t 0 f(t) se somente se lim t t 0 f i (t); i = 1, 2, 3. Definição A função f(t) = (f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)) é dit contínu em t 0 se somente se lim f(t) = f(t0 ). t t 0 Portnto f(t) é contínu em t 0 se somente se cd função f i (t) é contínu em t 0. Dizemos que função f(t) é contínu em I se f(t) é contínu em cd t I. Definição A derivd d função vetoril f : R R n é função vetoril, denotd por f (t), definid por f(t + h) f(t) f (t) = lim h 0 h observe que no cso n = 2, temos que : f(t + h) f(t) h ( f1 (t + h) f 1 (t) =, f ) 2(t + h) f 2 (t) h h Portnto pr função vetoril f(t) = (f 1 (t), f 2 (t)) temos que su derivd é f (t) = (f 1(t), f 2(t)) Interpretção geometric pr o vetor f (t) Proprieddes: consideremos s funções vetoriis f, g : I R R 3 e função esclr µ : I R R 2

3 i) ( f + g) (t) = f (t) + g (t) ii)(µ f) (t) = µ (t) f(t) + µ(t) f (t) iii) ( f g) (t) = f (t) g(t) + f(t) g (t) iv) ( f g) (t) = f (t) g(t) + f(t) g (t) Definição Integrl de um função vetoril f : R R n, é definid por: ( f(t)dt = f 1 (t)dt, f 2 (t)dt,..., ) f n (t)dt 1.2 Movimento no espço Suponhmos que função vetoril σ : I R R 3 descreve o movimento de um prticul no espço (R 3 ), onde σ(t) represent o vetor posição d prticul. Nest seção ssumiremos que função posição (σ(t)) é diferencivel tnts qunto necessário. Definição Considerndo função vetoril σ : I R R 3, função que descreve o movimento de um prticul no espço (R 3 ), temos que: i) A derivd σ (t) é chmdo de vetor velocidde, ii) O comprimento do vetor velocidde ( σ (t) ) é chmdo de velocidde esclr, iii) A deriv d segund, σ (t) é chmdo de vetor celerção. 3

4 1.3 Trço de um função vetoril Qundo função vetoril σ : I R R 3 é continu em I, o ponto finl do vetor σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) (1.2) descreve um curv C no espço R 3, isto é, pr cd t I, obtemos um ponto P (x, y, z) C, onde: x = x(t) y = y(t) (1.3) z = z(t) A equção (1.2) é chmd de prmetrizção d curv C, e s equções (1.3) são chmds de equções prmétrics d curv C. Pr determinr o trço d função vetoril σ(t) seguimos os seguintes etps 1) Se eliminrmos o prmetro t no sistem de equções (1.3), obteremos equção crtesin d curv C. 2) usmos o intervlo I pr indicr que prte d curv d equção crtesin é o trço d função vetoril σ(t). Exemplo 1 As curvs C 1 e C 2, no plno xy, de equções prmétrics x = t, y = t 2 com (t R) e x = t 2, y = t 4 com (t R), respectivmente, possuem mesm equção crtesin, embor sejm curvs diferentes. Exemplo 2 Sej C curv do plno xy, gráfico de um função contínu y = f(x), com x I. Um prmetrizção nturl de C é σ(t) = (t, f(t)), com t I Exemplo 3 Sej C curv do plno xy, gráfico de x = g(y), com y I. Um prmetrizção nturl de C é σ(t) = (g(t), t), com t I Exemplo 4 Sej C curv do plno xy, gráfico de x 2 + y 2 = 2. Um prmetrizção nturl de C usndo coordends polres é σ(t) = ( cos t, sen t), com t [0, 2π] Exemplo 5 Sej C curv do plno xy, gráfico de x2 2 nturl de C usndo coordends polres é + y2 b 2 = 1. Um prmetrizção σ(t) = ( cos t, b sen t), com t [0, 2π] Definição Um curv σ : I R R 3 é chmd regulr ( ou suve) se i) σ(t) for diferencivel de clsse C 1 pr todo t I, ii) σ (t) = (x (t), y (t), z (t)) (0, 0, 0), t I 4

5 1.4 Comprimento de rco Definição Sej C um curv definid por função vetoril σ(t), com t b, de clsse C 1. O comprimento de C é definido por : Observção L(C) = σ (t) dt Se C é um curv de R 2 definid por σ(t) = (x(t), y(t)) com t b, então L(C) = [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt Se C é um curv de R 3 definid por σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) com t b, então L(C) = [x (t)] 2 + [y (t)] 2 + [z (t)] 2 dt Est fórmul ind é válid se σ(t) é de clsse C 1 por prtes. O comprimento de um curv C é independente ds prmetrizções equivlentes escolhids. Consideremos função comprimento de rco s(t) = t σ (t) dt. A função s = s(t) é crescente e, portnto, tem invers t = t(s). Isto nos permite prmetrizr curv C em função do prmetro s do seguinte modo: σ(s) = σ(t(s)). 1.5 Os vetores tngente unitário e norml principl Se C for um curv suve definid por um função vetoril σ(t), então o vetor tngente unitário T (t) é definidos por: T (t) = σ (t) σ (t) Como o vetor T (t) tem comprimento constnte, então T (t) é perpendiculr T (t). Logo, se T (t) 0, o vetor unitário n ditreção det (t) é chmdo de vetor norml principl N(t) à curv e é definido por: N(t) = T (t) T (t) 5

6 Definimos o vetor binorml, por: B(t) = T (t) N(t), o qul é perpendiculr T (t) e N(t), e tmbém é unitrio. definição O plno determindo pelos vetores N e B no ponto P d curv C é chmdo de Plno norml de C em P. O plno determindo pelos vetores N e T no ponto P d curv C é chmdo de Plno osculdor de C em P. 6