MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON

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1 MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM

2 MATRIZES

3 Definição e Notção m m n.. 2n. mn Chmmos de Mtriz todo conjunto de vlores, dispostos em linhs e coluns. Representmos mtrizes com letrs miúsculs do nosso lfbeto.

4 Mtrizes Notção Dd um mtriz A denotremos cd elemento d mtriz A por ij onde i é o número d linh e j é o número d colun desse elemento. A = Observção: As linhs são numerds de cim pr bixo e s coluns d esquerd pr direit.

5 Mtriz Linh A É tod mtriz que possui pens um linh.

6 Mtriz Colun B É tod mtriz que possui pens um colun.

7 Mtrizes Tipos de Mtrizes Mtriz Opost ( - A) É mtriz obtid invertendo-se o sinl de cd elemento de um mtriz dd.

8 Mtriz Qudrd C É tod mtriz onde o número de linhs é igul o número de coluns.

9 Mtriz Digonl D É tod mtriz qudrd onde os termos que não estão n digonl principl são nulos.

10 Mtriz Identidde D É tod mtriz qudrd onde os termos que estão n digonl principl são iguis 1 e os outros são nulos.

11 Mtriz Trnspost É tod mtriz onde os termos que estão n posição de linh são trnspostos pr posição de colun.

12 Mtriz simétric Qundo A = A t dizemos que A é mtriz simétric. Exemplo: t A A

13 Mtriz ntissimétric Qundo A = - A t dizemos que A é mtriz ntissimétric. Exemplo: t A A

14 Iguldde de Mtrizes Dus mtrizes são iguis qundo todos os elementos correspondentes são iguis.

15 Adição e Subtrção de Mtrizes Pr relizrmos ests operções entre mtrizes, precismos ter mtrizes de mesm ordem e relizr s respectivs operções com os elementos correspondentes.

16 Mtrizes Operções com Mtrizes Subtrção Pr subtrirmos dus mtrizes A e B bst que els sejm do mesmo tipo. Isto é, els devem ter o mesmo número de linhs e o mesmo número de coluns. Define-se subtrção A - B = C como sendo formd pelos elementos ij - bij = c ij PROF.: LIMA

17 Multiplicção de Mtriz Por Um Número Pr relizrmos o produto de um constnte por um mtriz, bst multiplicrmos todos os elementos pel constnte dd.

18 Multiplicção de Mtrizes Pr relizrmos o produto A.B, o número de linhs de B tem que ser igul o número de coluns de A.

19 Mtrizes Multiplicção Operções com Mtrizes Dd dus mtrizes A do tipo m x n e B do tipo n x p, chm-se produto d mtriz A pel mtriz B que se indic C = A. B mtriz m x p definid por Cij = i1. b1j + i2. b2j + i3. b3j in. bnj Observções: 1. O produto de dus mtrizes existe se e somente se o número de coluns d mtriz A for igul o número de linhs d mtriz B. 2. Se s mtrizes A e B são do tipo m x n e n x p respectivmente, então o produto C = A. B existe PROF.: LIMA e é um mtriz do tipo m x p.

20 Mtrizes Operções com Mtrizes Multiplicção PROF.: LIMA

21 Mtrizes Operções com Mtrizes Multiplicção (continução)

22 Mtrizes Observções O produto de dus mtrizes não é comuttivo, ms há csos em que A. B = B. A e qundo isso contece dizemos que A e B se comutm. Qundo A. B for diferente de B. A temos que: (A + B) 2 = A 2 + A. B + B. A + B 2 Qundo A e B se comutm temos (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2

23 Proprieddes de Mtrizes

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25 Sej A um mtriz qudrd. Dizemos que A é mtriz inversível se existir um mtriz B tl que A.B = B.A = I. A. A 1 I n Clcule invers d mtriz A = Resolvendo os sistems temos mtriz invers de A.

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28 MATRIZ INVERSA Nem tod mtriz qudrd tem Se existir mtriz invers de A, dizemos que mtriz A é inversível ou regulr ou não-singulr. Cso contrário, dizemos que mtriz A é singulr. Podemos plicr regr 2 do cálculo do determinnte de um mtriz (se det(a) 0, então A é irreversível). Qundo é que um mtriz A tem invers? Um mtriz A de ordem mxn (m linhs e n coluns de mesm quntidde) tem invers qundo seu determinnte é diferente de zero ou tmbém qundo seu posto é m, ou sej, qundo o posto dest mtriz coincide com quntidde de linhs d mtriz qudrd A.

29 DETERMINANTES

30 Definição Determinnte é um número rel que se ssoci um mtriz qudrd. Aplicções dos determinntes n mtemátic: Cálculo d mtriz invers; Resolução de lguns tipos de sistems de equções lineres; Cálculo d áre de um triângulo, qundo são conhecids s coordends dos vértices.

31 Determinnte de um mtriz qudrd de 2ª ordem Dd mtriz de 2ª ordem A det A Chm-se determinnte ssocido mtriz A (ou determinnte de 2ª ordem) o número rel obtido pel diferenç entre o produto dos elementos d digonl principl e o produto dos elementos d digonl secundári. Então, determinnte de A A det A A Observção: Dd mtriz A de ordem 1, define-se como determinnte de A o seu próprio elemento, isto é:

32 Exemplo: x2 det A det A 10

33 Neste cso utilizmos um processo prático chmdo Regr de Srrus. PARA MATRIZES 3 X 3. Ex: 1) = 28 Pr mtrizes com ordem miores do 3 indic-se o Teorem de Lplce

34 MENOR COMPLEMENTAR DE UMA MATRIZ Menor Complementr Chmmos de menor complementr reltivo o elemento ij de um mtriz M, qudrd e de ordem n > 1, o determinnte MC ij, de ordem n 1, ssocido à mtriz obtid de M qundo suprimos linh e colun que pssm por ij.

35 MC 13 = MC = MC 21 = = = RESOLVER MC 11, MC 12, MC 13,...MC 33

36 COFATORES Chmmos de coftor (ou complemento lgébrico) reltivo o elemento qudrd de ordem n o número A ij, tl que A ij ( 1) i j MC ij. ij de um mtriz

37 são: Exemplo 1: Dd M= , os coftores reltivos todos os elementos d mtriz M A A A A ( 1) 22 ( 1) MC ( 1) 21 ( 1) MC ( 1) 12 ( 1) MC ( 1) 11 ( 1) MC 22 ; ; ;. Assim, podemos tmbém determinr mtriz dos coftores (que será denotd por A ) como sendo: A A A A A

38 Exemplo 2: Sendo M= , vmos clculr os coftores 22, A 23 e A 31 A : A A A ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ; ;.

39 DETERMINAR A MATRIZ DE COFATORES DE A: RESOLVER!

40 DETERMINANTES DE MATRIZES QUADRADAS COM ORDEM SUPERIOR A 3 TEOREMA DE LAPLACE Definição: O determinnte de um mtriz qudrd M m 2 pode ser obtido pel som dos produtos dos elementos de um fil qulquer (linh ou colun) d mtriz M pelos respectivos coftores. Assim, fixndo j N, tl que1 j m, temos: ij m x m det M m i1 ij A ij m onde, i1 coftor ij. é o somtório de todos os termos de índice i, vrindo de 1 té m, m N e A ij é o

41 D (-1) ( 2)(-1) 0 (-1) A 11 (coftor11) CoftorA 21 CoftorA 31 D D 1 2(6-10) 2(18 20) 2(-4) 2(38) D

42 D ( 1) D MC 23 OBS.: Então podemos rescrever D 2 como: D 2 2 D (I) Agor precismos clculr o vlor de D pr substituirmos em (I) Pr isso plicmos Lplce n 3 linh (mis conveniente, pois um dos elementos é nulo), e obtemos: D 1( 1) MC 3 ( 1) MC D 1( 3 1) 3 ( 2 9 ) 1( 2 ) 3 ( 11 ) 2 33 D 35 Finlmente, substituindo esse vlor em (I), obtemos: D D D -2(-35) D 2 70

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44 Inversão de mtrizes com o uxílio d teori dos determinntes

45 Determine, se existir, invers de cd um ds mtrizes: 0 1 ) A= 3 2 b) B=

46 SISTEMAS LINEARES

47 Crcterizção Um sistem de m equções n vriáveis é chmdo sistem de equções lineres. Ele tem form genéric seguinte: x x... x b n n 1 x x... x b n n 2... x x... x b m1 1 m2 2 mn n m

48 Solução Um conjunto de n vlores (x 1,..., x n ) verificndo s equções do sistem é um solução do sistem. Um sistem cujo os vlores dos coeficientes b n são iguis 0 é um sistem homogêneo: x x... x n x x... x n... x x... x 0 m1 1 m2 2 mn n n n

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50 REGRA DE CRAMER Teorem: Se Ax=b é um sistem de n equções lineres com n incógnits tl que det(a) 0, então o sistem tem um únic solução. Est solução é: x 1 det( A1 ) det( A2 ), x2 det( A) det( A),..., x n det( An ) det( A), onde A j é mtriz obtid subtrindo s entrds d j-ésim colun de A pels entrds do vetor colun b. Observção: Qundo det(a) 0 onde A é mtriz dos coeficientes de um sistem liner, o sistem é chmdo sistem de Crmer.

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53 Resolv os sistems lineres bixo usndo Regr de Crmer.

54 01 EXERCÍCIOS 8) Utilizndo s proprieddes dos determinntes, clcule os determinntes justificndo os vlores obtidos: ) b) Sendo A= ij 3x2, onde ij =2i-j, e B= ij 3x2 -) A B b-) B A c-) A B t b, com ij b = i 2 j, clcule:

55 Sendo A= , clcule A 4A 5I2.

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