f(x) dx for um número real. (1) x = x 0 Figura A

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1 FFCLRP-USP Integris Imprópris - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Professor Dr Jir Silvério dos Sntos Integris Imprópris Definição Sej f : ; x ) R um função Suponh ret x = x é um Assíntot Verticl o gráfico de f (ver figur A) Dizemos que f é Riemnn integrável em ; x ) se x x δ f(x) = f(x) for um número rel () oy (x,f(x)) O x = x x = x δ Figur A ox Exemplo Tome f : ; ) R dd por f(x) = x = x Clcule x Resolução Note que ret x = é ssíntot o gráfico de f Portnto, Como =, definição nos ssegur que x x δ = x 2 x2 δ x δ = x = 2 2 ( δ)2 () ] = x x = =

2 Definição 2 Dd g :,b] R, contínu menos de x = c (,b) (A) Se = e x c g(x) = M R Dizemos que g é integrável em,b] se o seguinte ite existir b b g(x) Neste cso g(x) = b c g(x) ; (integrl imprópri) (B) Se = e x c g(x) = M R Dizemos que g é integrável em,b] se o seguinte ite existir b g(x) Neste cso b g(x) = b c g(x) ; (integrl imprópri) Observção Qundo integrl imprópri for um número rel diremos que el é CONVERGENTE Cso contrário diremos que integrl imprópri é DIVERGENTE Exemplo 2 Sej f :, 2] R dd por f(x) = Clcule (x ) 2 2 f(x) Resolução : Vej que função g present um descontinuidde em x = Aind, = Pel definição 2A temos x + 2 (x ) 2 2 = ǫ + +ǫ (x ) 2 = 2(x ǫ + ) 2 2 = +ǫ ǫ + 2ǫ = 2 Exemplo Sej f :, ] R dd por f(x) = Clcule (x ) 2 f(x) Resolução: Vej que função f present um descontinuidde em x = Aind, = Pel definição 2B temos x 2 (x ) 2 = ǫ + +ǫ (x ) = ǫ + 2 (x )2 2 = +ǫ ǫ + 2 ǫ2 2 = 2 Definição Dd f :,b] R, contínu menos de x = c (,b) (A) Se x c f(x) = e = L R Dizemos que f é integrável em,c] se o seguinte ite existir 2

3 c δ f(x) Neste cso c δ f(x) = c f(x) ; integrl imprópri (B) Se x c f(x) = e = L R Dizemos que f é integrável em,c], se o seguinte ite existir c δ f(x) Neste cso c δ f(x) = c f(x) ; integrl imprópri Em cd item cim, se o ite existir diremos que integrl é CONVERGENTE, cso contrário, diremos que integrl é DIVERGENTE Exemplo 4 Sej f :, 2] R dd por f(x) = Clcule (x ) 2 f(x) Resolução Vej que função f present um descontinuidde em x = Aind, = Pel definição A temos x +δ (x ) 2 +δ = (x ) 2 = 2(x ) 2 +δ = 2δ = 2 Exemplo 5 Sej f :, ] R dd por f(x) = Clcule (x ) f(x) Resolução: Vej que função f present um descontinuidde em x = Aind, = Pel definição B temos x δ f(x) = (x ) = 2 (x )2 δ = 2 δ 2 2 = 2 Até gor clculmos s integris b f(x) qundo f er um função contínu no intervo, b] e o intervlo tinh medid (comprimento) finit Queremos gor mudr um pouco est situção Começmos por um intervlo de medid (comprimento) infinit Definição 4 Sejm f :, ) R, g : (,b) R e h : (, ) R três funções contínus () Dizemos que f é integrável em, ) se o seguinte ite existir:

4 M f(x) = f(x) ; (integrl imprópri) (b) Dizemos que g é integrável em (,b) se o seguinte ite existir: b N N g(x) = b g(x) ; (integrl imprópri) (c) Dizemos que h é integrável em (, ) se o seguinte ite existir: M f(x) = f(x), (integrl imprópri) M Em cd item cim, se o ite existir diremos que integrl imprópri é CONVER- GENTE, cso contrário, diremos que integrl é imprópri DIVERGENTE Exemplo 6 Clcule 2 Resolução: Neste cso, função f :, ) R e é dd por f(x) = definição 4, temos 2 Pel M = 2 = 2 4 x ] M = M ] = 4 M Exercício Fç o gráfico d função f e interprete geométricmente o vlor Exemplo Clcule 2 2 Resolução : Neste cso função g : (, 2] R e é dd por g(x) = definição 4b, temos 2 Pel 2 2 = 2 N N = 2 N 4 x ] 2 N = N 2 ] = 4 N 2 Exercício 2 Fç o gráfico d função g e interprete geométricmente o vlor 2 Exemplo 8 Clcule xe x2 4

5 Resolução: Neste cso função h : (, ) R é dd por h(x) = xe x2 Pel definição 4c, temos M xe x2 = xe x2 = e x2 M 2 ] M M e M2 = 2 e ( M)2 2 = Exercício Fç o gráfico d função f e interprete geométricmente o vlor zero Vmos supor gor que f :,b] R tenh um tipo especil de descontinuidde em lgum ponto c,b] Teorem Se pr todo x tem-se f(x) g(x), então; (i) Se (ii) Se g(x) for convergente, então f(x) f(x) for divergente então f(x) será convergente e g(x) g(x) será divergente Exemplo 9 Mostre que é convergente x 2 ind, Resolução: Note que x pr todo x, ) Pelo Teorem 2 x 2 x2 x 2 M x2 = x2 = x M = M + = x 2 Portnto, M x2 = x 2 x2 = x M = M = EXERCÍCIOS Clcule s integris bixo usndo Definição 4 5

6 (i) (iv) x 2 e x ; (ix) x 2 5 x ; R ln 25 (ii) x 2 e x ; (v) x + x x 2 e x4 ; (vi) xe x ; R convergente (xi) Mostre que se α, então integrl (iii) xe x + (vii) e x ; R 2 x 2 e x ; 2; (x) Mostre que se α >, então integrl 2 Clcule s integris bixo usndo Definição e 2 (i) ; R (ii) ; R 2 (iii) x x (v) Mostre que se α, então integrl α <, então integrl x α é convergente x α é divergente ; R (iv) x (viii) x α é x x 2 ; R é divergente (vi) Mostre que se xα Clcule s integris bixo: (x + ) (i) (ii) Use o Teorem e discut convergênci ds integris x 2 + 2x + 2 bixo cosx (i) x R Convergente; (ii) ds e x sen 2x ; R Convergente, (iii) ln x ; R Convergente BOA SORTE 6