Cálculo Vetorial. 1.1 Campos Vetoriais

Transcrição

1 Cpítulo 1 Cálculo Vetoril 1.1 Cmpos Vetoriis Um correspondênci que cd ponto Q (x,y,z) de um cert região R ssoci um único vetor F(x,y,z) chm-se cmpo vetoril em R. É interessnte pensr que o vetor F(x,y,z) está plicdo no ponto Q. Todo cmpo vetoril se escreve de mneir únic n form F(x,y,z) M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + P(x,y,z)k em que M,N,P são funções esclres (M,N,P : R R). Um cmpo vetoril F(x,y,z) é dito contínuo (resp., diferenciáveis, etc) qundo s funções M, N, P são contínus (resp., diferenciáveis, etc). Exemplos importntes de cmpos vetoriis n Físic são o cmpo grvitcionl, o cmpo elétrico e o cmpo mgnético. Exemplo 1. Sej f : R R um função que tem derivds prciis de primeir ordem em todo ponto de R. Definimos em R o cmpo grdiente de f f(x,y,z) f x (x,y,z)i + f y (x,y,z)j + f z (x,y,z)k. Exemplo 2. F(x,y) 1(xi + yj), G(x,y) yi + xj, H(x,y) 1 (xi yj) 2 2 As figurs bixo mostrm um esboço dos cmpos F, G e H y y cmpo F cmpo G 1

2 Exemplo 3. (Cmpo do qudrdo inverso) É um cmpo vetoril d form F(x,y,z) c r 2 r r c r 3 r, em que r xi + yj + zk. É clro que, em termos ds coordends (x,y,z), o cmpo F se escreve n form F(x,y,z) c x (x 2 + y 2 + z 2 ) i + c y 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) j + c z k. 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 Os cmpos grvitcionl e elétrico são do tipo qudrdo inverso. Pr simplificr introdução de lguns conceitos, vmos definir o operdor por x i + j + z k. O operdor tundo sobre um função esclr f produz o grdiente de f. Observção 1. Os cmpos vetoriis podem ser interpretdos como sistems de equções diferenciis: cd cmpo vetoril define um sistem de equções diferenciis e reciprocmente. Ddo um cmpo vetoril F(x,y) no plno, podemos pensr no problem de encontrr um curv cujo vetor tngente em cd ponto sej F(x, y). Consideremos, por exemplo o sistem de equções diferenciis { x y y (1.1) x Tod solução desse sistem é d form [ ] x(t) y(t) [ cos t sen t ] + b [ sen t cos t e seu gráfico é um circunferênci centrd n origem. Pensndo no cmpo vetoril como um cmpo de velociddes de um fluido, isso signific que cd prtícul do fluido descreve um circunferênci em torno d origem. Em cd ponto P (x, y)d trjetóri d prtícul, o vetor velocidde é F(x,y). Aliás, esse é precismente o significdo d equção diferencil. ] (1.2) Um cmpo vetoril F é dito conservtivo qundo existe um função esclr f tl que F f. Neste cso, f é dit função potencil de F. Exemplo 4. O cmpo F(x,y) f(x,y) ln x 2 + y 2. De fto, temos f x 1 2 2x x 2 + y 2 x x 2 + y i + y j é conservtivo. Um função potencil é 2 x 2 + y2 x x 2 + y 2 e f y 1 2 Exemplo 5. Todo cmpo qudrdo inverso é conservtivo. 2y x 2 + y 2 y x 2 + y 2. 2

3 De fto, se F(x,y,z) c x (x 2 + y 2 + z 2 ) i + c y 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) j + c z k, 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 então um função potencil pr F é f(x,y,z) c x2 + y 2 + z 2. Suponhmos que s funções M,N,P tenhm derivds prciis de primeir ordem. Definimos o rotcionl de F M i + N j + P k por ( P rot(f) N ) ( M i + z z P ) ( N j + x x M ) k. A expressão do rotcionl fic mis fcilmente memorizável se identificrmos expressão do segundo membro como um conveniente produto vetoril e escrevermos i j k rot(f) det x z M N P em que os produtos P, P M, etc, devem ser entendidos como z, M, etc. Com est z identificção, fic nturl denotr o rotcionl por F. Um cmpo vetoril cujo rotcionl é identicmente nulo é dito irrotcionl. Exemplo 6. Clculr o rotcionl do cmpo F sen (xy 2 z)i + (2x + z)j + e xz3 k. Temos i j k F det x z sen (xy 2 z) 2x + z e xz3 [ e xz 3 (2x + z) ] [ sen (xy 2 z) i + exz3 z z x i + (xy 2 cos(xy 2 z) z 3 e xz3 )j + (2 2xyz cos(xy 2 z))k. ] [ (2x + z) j + x sen (xy2 z) Veremos posteriormente que F descreve proprieddes rotcionis do cmpo F. Por enqunto notemos que o cmpo F yi + xj rod no sentido trigonométrico e seu rotcionl vle F det i j k x z y x ( x ) ( i + z z ) ( x j + x x y ) k 2k. N verdde, idéi de rodr não signific que os vetores do cmpo vão mudndo de direção e rodndo. A plvr rodr é usd no seguinte sentido: se colocrmos um plc flutundo em 3 ] k

4 um líquido que esco com um cmpo de velociddes F (com rotcionl não nulo) notremos que el sofrerá um rotção. O cmpo vetoril V y x 2 + y i + x 2 x 2 + y j 2 tem um representção semelhnte o cmpo nterior, ms ele é irrotcionl. De fto, i j k V det x z y x x 2 + y 2 x 2 + y 2 [ ( x )] i + z x 2 + y 2 [ z ( x ) x 2 + y 2 ] x j + [ x x ( y) ] k. Exemplo 7. Clrmente, o cmpo F xi + yj + zk não rod e temos i j k F det ( z x z ) ( x i + z z z ) ( j + x x x ) k. x y z O divergente do cmpo vetoril F Mi + Nj + Pk, denotdo por div (F), ou F, é definido por F M x + N + P z. Exemplo 8. Clculr o divergente do cmpo F yi + xj. Temos F ( y) x + x. Veremos que, qundo F é um cmpo de velociddes de um fluido, o divergente inform sobre o fluxo de mss do fluido. Qundo F é o fluxo de clor, o divergente indic que há um fonte de clor, qundo F é o cmpo elétrico, o divergente indic presenç de crgs elétrics num cert região. Proprieddes: 1) (F + G) F + G 2) (F + G) F + G 3) (f F) f( (F) + ( f) F. Exercício 1. Mostre que, se F é um cmpo qudrdo inverso, então F e F. Exercício 2. Mostre que, se F Mi + Nj + Pk é um cmpo conservtivo, e se M,N,P tem derivds prciis contínus, então F. Exercício 3. Mostre que rot( grdf ) (isto é, ( f) ) e div(rot F) (isto é, ( F). 4

5 1.2 Integrl de Linh Revisão sobre Curvs. Um curv é um conjunto de pontos {P(t) (f(t),g(t),h(t)) : t I}, em que f,g,h são funções contínus em um intervlo I R; s equções x f(t), y g(t), z h(t), t I, são chmds equções prmétrics d curv. Costum-se indicr um curv por meio ds sus equções prmétrics : x f(t), y g(t), z h(t), t I; ou pel função vetoril (vetor posição) R(t) f(t)i + g(t)j + h(t)k, t I. Um curv pode ter mis de um prmetrizção : por exemplo, circunferênci x 2 + y 2 1 pode ser prmetrizd como x cos t, y sen t, t R (tmbém poderímos ter tomdo I [, 2π]), ou como x cos 2t, y sen 2t, t R (ou t [,π]). Dizemos que dus prmetrizções P 1 (t), t [,b] e P 2 (s), s [c,d] são equivlentes qundo existe um função estritmente crescente e sobrejetor s: [,b] [c,d], com s (t) > pr todo t, tl que P 1 (t) P 2 (s(t)), t [,b]; no exemplo cim s(t) t/2. Pr o estudo ds integris de linh, estremos mis interessdos ns prmetrizções de um curv do que no conjunto de pontos em si; ssim, qundo estiver escrito, por exemplo, circunferênci x 2 +y 2 2, estremos pensndo num de sus prmetrizções, tis como, x cos t, y sen t, t 2π. Tod curv tem um sentido nturl de percurso, que é quele ddo por t crescente (de pr b, qundo I [,b]). Qundo houver necessidde de explicitr que o sentido de percurso é do ponto A pr o ponto B, usremos o símbolo AB. Dizemos que : x f(t), y g(t), z h(t), t [,b] é um curv fechd se P() P(b), ou sej, f() f(b), g() g(b), h() h(b)). Se, lém disso, não tiver uto-intersecções, diremos que é um curv fechd simples. curv fechd simples curv fechd Um curv é dit suve (ou lis) qundo função vetoril R (t) tem derivd contínu em (,b) e R (t) > (ou sej, s funções f, g, h têm derivds contínus em (,b) e [f (t)] 2 + [g (t)] 2 + [h (t)] 2 > ) pr todo t (,b). O vetor R (t) é tngente à curv e chm-se vetor velocidde de. Assim, um curv é suve qundo tem, em cd ponto, um vetor tngente que nunc se nul. O comprimento de um curv suve, descrit pel função vetoril b b R(t) f(t)i+g(t)j+h(t)k, t [,b] é L R (t) dt [f (t)] 2 + [g (t)] 2 + [h (t)] 2 dt. À primeir vist, est definição pode dr impressão que o comprimento de um curv se lter qundo mudmos prmetrizção. Mostremos que isto não ocorre. Suponhmos 5

6 dd por R(t), t [,b] e sej S(u) um prmetrizção equivlente (isto é, existe um função sobrejetor u: [,b] [c,d] com u (t) > pr todo t [,b] tl que S[u(t)] R(t). Pel regr d cdei, temos S [u(t)]u (t) R (t), pr todo t [,b]. Portnto, d c S (u) du b S [u(t)] u (t)dt b S [u(t)]u (t) dt b R (t) dt. Um curv contínu compost de um número finito de curvs suves é chmd um cminho, isto é, é um cminho se 1 n, em que 1,..., n são curvs suves. O comprimento de um cminho 1 n é som dos comprimentos ds curvs suves 1,..., n Definição de Integrl de Linh no Plno. Vmos definir dois tipos de integris o longo de curvs, tendo como modelos mss de um fio e noção de trblho relizdo por um forç. Suponhmos que curv pln represente um fio cuj densidde liner (mss por unidde de comprimento) no ponto P (x,y) de é δ(x,y); isso signific que mss do segmento de comprimento s prtir do ponto P (x,y) é proximdmente m δ(x,y) s. Pr clculr mss do fio dividimos curv em um número finito de rcos por meio dos pontos P,P 1,...,P n, em que P k (x k,y k ), 1 k n. Então n k1 δ k(x k,y k ) k s é um vlor proximdo d mss do fio, e ess proximção melhor à medid que tommos divisões com rcos de comprimentos cd vez menores. Portnto mss do fio é o limite ds soms n k1 δ k(x k,y k ) k s, ou sej, que denotremos por δ(x,y)ds. M lim n δ k (x k,y k ) k s, k1 Lembremos que o trblho relizdo qundo um prtícul é deslocd o longo d ret ligndo o ponto A o ponto B sob ção de um forç constnte F é W F AB. Consideremos gor o cso em que um prtícul que se desloc o longo de um curv pln sob ção de um forç F(x,y) M(x,y)i + N(x,y)j. Vmos clculr o trblho relizdo. Sejm x f(t), y g(t), t [,b] equções prmétrics de, e sej R(t) f(t)i + g(t)j o vetor posição: pr cd ponto P P(t) sobre curv, temos R(t) OP(t). Vmos dividir curv em um número finito de rcos por meio dos pontos P,P 1,...,P n, P k (x k,y k ). O trblho k W relizdo o longo do rco P k 1 P k é k W (F(P k ) T k ) k s, em que T k denot o vetor 6

7 unitário tngente no ponto P k 1 e k s tk t k 1 [x (u)] 2 + [y (u)] 2 du é o comprimento do rco P k 1 P k. Portnto, o trblho relizdo o longo de é n b [ ] W lim (F(P k ) T k ) k s F(x(t),y(t)) T(t) [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt (1.3) k1 que denotmos por W (F T)ds. Vmos dr outr expressão do trblho. Notemos que tmbém podemos escrever o trblho k W relizdo o longo do rco P k 1 P k como k W F(P k ) j R M(x k,y k ) k x + N(x k,y k ) k y em que k x x k x k 1 e k y y k y k 1. Pelo Teorem do Vlor Médio, existem s k, w k [t k 1, t k ] tis que k x x (s k ) k t e k y y (w k ) k t Portnto, W lim que denotmos por W n M(x k,y k )x (s k ) k t + N(x k,y k )y (w k ) k t k1 M(x,y)dx + N(x,y)dy. Pssemos à definição de integrl de linh. Sej um curv pln suve ligndo os pontos A e B. Sejm M(x,y),N(x,y) funções contínus sobre. Vmos dividir curv em n rcos por meio dos pontos P A, P 1,,P N B (onde P j (x j,y j ), j, 1,,N). Definmos, como de costume, j x x j x j 1, j y y j y j 1, j 1,,N e mx{ 1 x,, N x, 1 y,, N y}. y y k y k 1 P 1 P A P k P k 1 P n B x k 1 x k x 7

8 Em cd rco P j 1 P j escolhemos um ponto P (z j,w j ) e formmos som N M(z j,w j ) j x + N(z j,w j ) j y (1.4) j1 Pode-se mostrr que, qundo tis soms tendem um limite que chmmos integrl de linh e denotmos por Mdx + Ndy. Assim, Mdx + Ndy lim N M(z j,w j ) j x + N(z j,w j ) j y. (1.5) j Cálculo d integrl de linh Sejm x f(t), y g(t), t b equções prmétrics de, e sej t < t 1 < < t N b um prtição do intervlo [,b] tl que P j (f(t j ),g(t j ), j, 1,,N; então j x f(t j ) f(t j 1 ). Pelo Teorem do Vlor Médio, existe r j entre t j 1 e t j tl que f(t j ) f(t j 1 ) f (r j )(t j t j 1 ). Chmndo j t t j t j 1, podemos escrever j x f (r j ) j t. Escolhendo P j (f(r j ),g(r j )), som (1.4) fic N M(f(r j ),g(r j ))f (r j ) j t. j1 que é um som de Riemnn d função contínu H(t) M(f(t),g(t))f (t) e portnto ess som converge pr integrl b H(t)dt. Logo, b M(x,y)dx M(f(t),g(t))f (t)dt. Anlogmente, temos Logo, N(x,y)dy M(x,y)dx + N(x,y)dy b b N(f(t),g(t))g (t)dt. [ M(f(t),g(t))f (t) + N(f(t),g(t))g (t) ] dt. Como foi feito cim pr o comprimento de rco, mostr-se fcilmente que o vlor d integrl de linh não se lter qundo substituimos um dd prmetrizção por um outr equivlente. A definição de integrl de linh tem um extensão nturl pr o cso em que é um cminho: se 1 n é um curv contínu, onde cd i, 1 i n é um curv suve, e M e N são funções contínus sobre, definimos (M dx + N dy) (M dx + N dy) (M dx + N dy) n 8

9 Exemplo 9. Clculr xy dx + x 3 y dy, em que é metde superior d elípse x2 + y2 2 b 1. 2 Podemos prmetrizr elípse por x cos t, y bsen t, t π. Então I π [ 2 b sen 2 t cos t + 3 b 2 cos 4 t b sen t ] dt π π 2 b sen 2 t cos t dt + 3 b 2 cos 4 t sen t dt [ 2 b 3 sen 3 t 3 b 2 ] π 5 cos5 t b 2. y x Exemplo 1. Clculr 2xy dx + (x 2 y 2 )dy em que: y () é o segmento de ret ligndo P 1 (3, ) P 2 (, 2); (b) é o cminho formdo pelos segmentos de ret: 1 ligndo P 1 O (, ) e 2 ligndo O P 2. P P 1 x O segmento ligndo o ponto (3,) (,2) pode ser prmetrizdo por: x 3 3t, y 2t, t 1, donde x (t) 3, y (t) 2 e, portnto 1 2xy dx + (x 2 y 2 )dy (46t 2 72t + 18)dt 8/3 O segmento 1 de (3,) (,) pode ser prmetrizdo por x 3 t, y, t 3, donde x 1, y, enqunto que o segmento 2 ligndo (,) (,2), pode ser ddo por x, y 2t, t 1, donde x, y 2, de modo que temos I 1 2xy dx + (x 2 y 2 )dy 1 e Logo I 2 2xy dx + (x 2 y 2 )dy 2 1 ( 4t 2 ).2dt xy dx + (x 2 y 2 )dy I 1 + I Exemplo 11. Clculr o trblho relizdo pel forç F um prtícul de P (1, ) P 1 (3, 2): 9 1 (x 2 + y 2 ) 3/2 ( xi+yj ) pr deslocr

10 () o longo do segmento de ret P P 1 ; (b) o longo do cminho formdo pelos segmentos de ret de P P 2 (3, ) e do segmento de ret ligndo P 2 P 1. y P 1 P P x 2 Um prmetrizção do segmento de ret P P 1 é x t, y t 1, 1 t 3. Portnto xdx + y dy 3 W (x 2 + y 2 ) t + (t 1) 3/2 [t 2 + (t 1) 2 ] 3/2dt t + 2(t 1) [t 2 + (t 1) 2 ] 3/2dt t2 + (t 1) O segmento de ret 1 P P 2 pode ser prmetrizdo como x t, y, 1 t 3. Então x (t) 1 e y (t), e temos xdx + y dy 3 I 1 1 (x 2 + y 2 ) t 3 3/2 1 t 3dt dt 1 t t O segmento de ret 2 P 2 P 1 pode ser prmetrizdo como x 3, y t, t 2. Então x (t) e y (t) 1, e temos xdx + y dy 2 I 2 2 (x 2 + y 2 ) t dt 3/2 (9 + t 2 ) 3/2dt 1 2 2t dt 1 2 (9 + t 2 ) 3/2dt t Logo, W 2 I 1 + I Proprieddes d integrl de linh 1) M dx + N dy AB M dx + N dy (em que AB indic curv percorrid BA no sentido de A pr B). 2) M dx + N dy AC M dx + N dy + AB M dx + N dy. BC [ ] 3) (M dx + N dy) + (P dx + Qdy) (M + P)dx + (N + Q)dy Integrl de Linh em Relção o Comprimento de Arco. Repetindo o procedimento cim pr s soms n i1 f(p i ) i s, (em que i s é o comprimento do rco de de P i 1 P i ), obteremos integrl de linh de f em relção o comprimento 1

11 ti de rco, qul denotremos por f(x,y)ds. Como i s [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt, temos t i 1 f(x,y)ds lim n i1 b f(p i ) i s n i1 f[x(t),y(t)] [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt f(p i ) [x (r i )] 2 + [y (r i )] 2 i t Como vimos cim, o cálculo d mss de um fio de rme conduz este tipo de integrl. A fórmul que define o comprimento de rco de um curv pode ser vist como um integrl deste tipo: b s [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt ds. Exemplo 12. Clculr (2x + 5y)ds, em que é semicircunferênci y 4 x 2 ligndo (2, ) ( 2, ). As equções x 2 cos t, y 2sen t, t π prmetrizm semicircunferênci. Temos (x ) 2 + (y ) 2 2. Portnto, I (2x + 5y)ds π (4 cos t + 1sen t)2dt 8sen t 2 cos t Exemplo 13. Clculr (4x 3 + y)ds, em que é o rco de prábol y x 2 ligndo (, ) (2, 4). π 4 Podemos prmetrizr por x t, y t 2, t 2. Então (x ) 2 + (y ) t 2, e temos I (4x y)ds (4t 3 t + t) 1 + 4t 2 dt (1 + 4t 2 ) 3/2 8t dt (1 + 4t2 ) 5/2 2 1 ( 17 5/2 1 ). 2 Além ds proprieddes citds cim pr outr integrl de linh, vle seguinte estimtiv pr integrl em relção o comprimento de rco: Se f(x,y) K, (x,y), então f(x,y)ds K L, em que L é o comprimento de Notção vetoril ds integris de linh. Consideremos o cmpo vetoril F(x,y) M(x,y)i + N(x,y)j, em que M(x,y),N(x,y) são funções contínus sobre curv suve : x f(t), y g(t), t b,; sej R(t) f(t)i + g(t)j correspondente função vetoril. Definindo R k R(t k ) R(t k 1 ), podemos 11

12 reescrever em (1.5) expressão M(z k,w k ) k x+n(z k,w k ) j y como F(z k,w k ) R k. Podemos então denotr integrl de linh em (1.5) por F dr tmbém podemos escrever integrl de rco. Lembremos que M dx+n dy como integrl em relção o comprimento T(t) R (t) R (t) é um vetor unitário tngente e que s (t) R (t) [x (t)] 2 + [y (t)] 2, podemos escrever b b F T ds F(P(t)) T(t) R (t) dt F(x(t),y(t)) R (t)dt Notemos que o integrndo de [ M(x(t),y(t))x (t) + N(x(t),y(t))y (t) ] dt M dx + N dy F T ds é o comprimento d componente do vetor F n direção do vetor T tngente à curv. Assim, qundo é um cminho fechdo, ess integrlde linh é um medid de o qunto o cmpo F circul o redor de. Por ess rzão, integrl F T ds é chmd circulção de F o longo de. Exemplo 14. As integris de linh são importntes em Mecânic dos Fluidos. De cordo com fórmul de Kutt-Joukowsky, forç L de levntmento exercid sobre um erofólio é L δ v C (1.6) em que δ é densidde de mss do r, v é velocidde do r e C é circulção de w sobre um cminho o redor do erofólio, isto é C w T ds, em que w é o vetor velocidde (vej figur bixo) Trblho e Energi Cinétic Qundo F é um cmpo de forçs, integrl de linh F dr é o trblho relizdo por F pr deslocr um prtícul o longo de. Usndo 2 ā lei de Newton F m m dv dt podemos escrever b W F dr F(f(t),g(t)) R (t)dt b m dv(t) d v(t)dt dt dt 1 m 2 v(b) 2 1 m 2 v() 2 b [ 1 ] 2 mv(t) v(t) dt 1 2 mv(b) v(b) 1 mv() v() 2 12

13 Logo, o trblho relizdo por F é igul à vrição d energi cinétic d prtícul Integris de Linh em Cminhos Fechdos. Pr definir integrl de linh em um cminho fechdo, precismos, em primeiro lugr, escolher um sentido de percurso pr curv. No cso de um circunferênci, um elípse ou um polígono convexo, é nturl usr expressão sentido horário (ou sentido nti-horário) de percurso. O sentido nti-horário será chmdo sentido positivo de percurso. Pr um cminho fechdo simples mis gerl definiremos o sentido positivo de percurso do seguinte modo: diremos que curv é percorrid no sentido positivo qundo os pontos interiores ficm à esquerd de quem cminh sobre curv. Usremos o símbolo M dx + N dy pr denotr integrl de linh qundo é um curv fechd percorrid no sentido positivo. Se for percorrid no sentido oposto, o vlor d integrl será M dx+n dy. A figur bixo mostr lguns tipos de cminhos fechdos orientdos positivmente Exemplo 15. Clculr s integris I 1 circunferênci x 2 + y 2 2. xdx + y dy e I x 2 + y 2 2 y dx + xdy, em que é x 2 + y 2 Prmetrizndo circunferênci como x cos t, y sen t, t 2π, podemos escrever I 1 I 2 xdx + y dy x 2 + y 2 y dx + xdy x 2 + y 2 2π 2π cos t ( sen t) + sen t cos t dt, 2 sen t ( sen t) + cos t cos t dt 2 2π dt 2π O TEOREMA DE GREEN O Teorem de Green é um dos mis importntes resultdos do Cálculo Vetoril, e estbelece um relção entre integris de linh e integris dupls. Teorem 1. Teorem de Green. Suponhmos que s funções M e N tenhm derivds prciis de 1 ạ ordem contínus em todos os pontos de um cminho fechdo simples e n 13

14 região R formd pelos pontos interiores. Então [ N M dx + N dy R x M ] dxdy (1.7) Demonstrção. 1 ọ cso: A região R pode ser descrit sob s dus forms: d y D R {(x,y); f 1 (x) y f 2 (x), x b} R {(x,y); g 1 (y) x g 2 (y), c y d}. Neste cso, o cminho é união dos rcos 1 ACB e 2 BDA, que podem ser prmetrizdos por c A R C B b x Portnto, 1 : { x t y ϕ 1 (t), t b 2: M dx M dx + 1 M dx 2 b { x + b t y ϕ 1 (x) M(x,ϕ 1 (x))dx b, t b M(x,ϕ 2 (x))dx Por outro ldo, integrl dupl R M dxdy por meio de integris iterds R M dx dy b ϕ2 (x) M dx ϕ 1 (x) dy b [ ] M(x, ϕ 2 (x)) M(x, ϕ 1 (x)) dx Comprndo esss dus igulddes, temos M dx b R M M(x, ϕ 1 (x))dx + b M(x, ϕ 2 (x))dx dxdy (1.8) Anlogmente, temos R N x dx dy N dy d c g2 (y) N dy g 1 (y) x dx 14 d c [ ] N(y, g 2 (y)) N(y, g 1 (y)) dy

15 Combinndo s dus igulddes cim, temos M dx + N dy R [ N x M ] dx dy. 2 ọ cso: R não é do tipo cim, ms, se introduzirmos um número finito de segmentos L 1,...,L n, el fic decompost n form R R 1 R n, em que cd R j é do tipo considerdo no 1 ọ cso, como n figur bixo. Chmemos j fronteir de R j, qul é o cminho constituído por prte de e lguns dos rcos L j. Aplicndo prte nterior cd R j, temos M dx + N dy j R j [ N x M ] dxdy. P Q Somndo tods esss integris, obtemos [ N x M ] n dxdy R j1 R j M dx + N dy. [ N x M ] dxdy n j1 j M dx + N dy Em lgums situções, o Teorem de Green trnsform o cálculo de um integrl de linh complicd no de um integrl dupl mis simples. Exemplo 16. Clculr integrl ( 1 + tnh 4 x y 2 )dx + [3x + cos(e y4 + 3)]dy, em que é o retângulo com vértices nos pontos ( 2, ), (3, ), (3, 1) e ( 2, 1). Pelo Teorem de Green, temos ( 1 + tnh 4 x y 2 )dx + [3x + cos(e y4 + 3)]dy dx 1 (x + y)dy 2 (x + 1 )dx [xy + y2 2 ] 1 dx D (2x + 2y)dxdy Áre d região envolvid por um curv. Tomndo em (1.7) M(x,y) y, N(x,y) x, obtemos y dx + xdy 2 dxdy 2A(D) D 15

16 em que A(D) é áre d região D envolvid por. Temos então um fórmul pr clculr áre de um região usndo integrl de linh: A(D) 1 y dx + xdy. 2 Exemplo 17. Clculr áre d região envolvid pel elípse x2 2 + y2 b 2 1. A elípse pode ser prmetrizd por : x cos t, y b sen t, t 2π e, portnto, áre é 2π A ( y dx + xdy) [( b sen t)( sent) + ( cos t)(b cos t)]dt 2π b(cos 2 t + sen 2 t)dt 2πb Forms Vetoriis do Teorem de Green Vimos que integrl de linh (M dx + N dy) pode ser escrit n form vetoril F Tds, onde F Mi + Nj é o cmpo e T [(f (t)) 2 + (g (t)) 2 ] 1/2[ f (t)i + g (t)j ] é o vetor unitário tngente. Como N z N, temos z i j k F x z N z i + M [ N z j + x M ] [ N k x M ] k. M N e portnto ( F) k N x M. Podemos então escrever (1.7) n form F T ds D rot(f) kdxdy (1.9) Pr um outr form vetoril do teorem de Green, consideremos o cmpo vetoril G N i M j. O vetor n x i y j é um vetor norml à curv. Podemos então escrever M dx + N dy G nds. Por outro ldo, temos div(g) N N. Logo, o teorem de Green tmbém pode ser escrito n form G nds div (G) da (1.1) 16 R

17 Interpretção do Rotcionl A fórmul (1.9) permite dr um interpretção do rotcionl. A integrl F Tds chm-se circulção do cmpo F o redor de. Notemos que F T é o comprimento d componente de F n direção tngencil à curv. Assim, qundo F éum cmpo de velociddes, F T é comprimento d componente d velocidde o longo de e F Tds é um medid do qunto o cmpo F circul o redor de. Fixemos um ponto P (x,y ), e tomemos D B r (P ), o círculo de centro P e rio r. Pelo Teorem d Médi pr integris dupls, existe P D tl que A(D)rotF(P ) k rotf(x,y) kdxdy. onde A(D) π r 2 é áre de D. Usndo relção (1.9) temos 1 F Tds rotf(p ) k. πr 2 Qundo r temos P P. Logo, D 1 rotf(p ) k lim r πr 2 F Tds. Assim, componente de rotf(p ) n direção de k é o limite do quociente d circulção pel áre do círculo. A grosso modo podemos dizer que o rotcionl é um medid d circulção por unidde de áre Extensão do teorem de Green O Teorem de Green vle pr regiões mis geris do que simplesmente conjuntos dos pontos interiores um curv. Por exemplo, ddos dois cminhos fechdos 1 e 2, com 2 inteirmente contido no interior de 1 (como n figur.a bixo), sej R região constituid por todos os pontos entre 1 e 2 ; vle seguinte iguldde M dx + N dy M dx + N dy (N x M y )dxdy (1.11) 1 2 R 17

18 1 2 R 1 R R 2 Figur A Figur B Pr verificr est relção, introduzimos dois segmentos de ret L 1 e L 2, que dividem R em dus subregiões R 1 e R 2, e 1 em dois cminhos 1 + e 1, e 2 em 2 + e 2, como n figur.b cim e considermos os cminhos σ + L 1 L 2 e σ L 1 L 2. O Teorem de Green, tl com visto cim plic-se cd um ds regiões R 1 e R 2, fornecendo s relções: M dx + N dy (N x M y )dxdy σ + R 1 M dx + N dy (N x M y )dxdy R 2 Somndo membro membro, e notndo que s integris sobre os segmentos de rets são clculdos um vez em cd sentido (e portnto se nulm), obtemos iguldde (1.11). Observção 2. Ns condições cim, se N M (x,y) (x,y), (x,y) R, então x M dx + N dy M dx + N dy (1.12) 1 2 De fto, temos ( N M dx + N dy M dx + N dy 1 2 R x M ) dxdy y dx + xdy Exemplo 18. Clculr integrl, em que é o hexágono com vértices nos x 2 + y 2 pontos (2, ), (1, 3), ( 1, 3), (1, 3), ( 2, ), ( 1, 3) e (1, 3). (1, 3) Denotndo C M(x,y) y x e N(x,y) x 2 + y 2 x 2 + y 2, temos M y2 x 2 (x 2 + y 2 ) N 2 x. 18

19 Sej C circunferênci de centro n origem e rio 1. Usndo (1.12) e o Exemplo 2, podemos escrever y dx + xdy y dx + xdy 2π. x 2 + y 2 C x 2 + y 2 y 3 dx Exemplo 19. Clculr integrl (x 2 + y 2 ) xy2 dy 2 (x 2 + y 2 ) 2, em que é um cminho fechdo não contendo o ponto (, ). temos Denotndo M(x,y) y 3 (x 2 + y 2 ) 2 e N(x,y) M 3x2 y 2 y 4 (x 2 + y 2 ) 3 N x. xy 2 (x 2 + y 2 ) 2, Se o cminho não envolve origem, então, denotndo por R região interior, temos, pelo teorem de Green y 3 dx xy 2 dy ) (N (x 2 + y 2 ) 2 y M x da Se o cminho envolve origem, tomemos um circunferênci C de rio centrd n origem contid no interior de. Então: usndo extensão do Teorem de Green (em (1)), o fto que x 2 + y 2 2 sobre C (em (2)) e o Teorem de Green (em (3)), temos y 3 dx xy 2 dy (1) (x 2 + y 2 ) 2 C (3) 1 4 R y 3 dx xy 2 dy (2) (x 2 + y 2 ) 2 C y 3 dx xy 2 dy (3) ( y 2 3y 2 )dxdy 4 2 π r 2 sen 2 θ r dr dθ D 4 1 [ ] [ 1 ( r 4 sen 2θ ) ] 2 π θ π x 2 y dy Exercício 4. Clculr integrl (x 2 + y 2 ) x3 dy 2 (x 2 + y 2 ) 2, em que é um cminho fechdo não contendo o ponto (, ). É clro que extensão do Teorem de Green é válid no cso em que no interior de 1 existem um número finito de cminhos 2,..., n, como n figur bixo. Nesse cso, temos: 1 M dx + N dy n k2 M dx + N dy k R ( N x M ) da Em prticulr, se N x M em R, temos 1 M dx + N dy n k2 k M dx + N dy 19

20 R Integris que independem do cminho Ddos dois pontos A e B, o vlor d integrl de linh M dx + N dy, em gerl, tem vlores distintos se tomrmos cminhos distintos ligndo os pontos A e B. Consideremos, por exemplo, M(x,y) x 2 y, N(x,y) y 2, A (, ), B(1, 1), e tomemos os seguintes cminhos ligndo A B: () o segmento de ret 1 : {x(t) t, y(t) t, t [, 1] e (b) o rco de prábol 2 : {x(t) t, y(t) t 2, t [, 1]. Temos 1 x 2 y dx + y 2 dy 2 x 2 y dx + y 2 dy A integrl 1 1 (t 3 + t 2 )dt (t 4 + 2t 5 )dt y (1, 1) 1 2 y dx + xdy independe do cminho em R 2. De fto, se : x x(t), y y(t), t b é um curv qulquer ligndo dois pontos A (x(),y()) e B (x(b),y(b)), temos y dx + xdy b [ y(t)x (t) + x(t)y (t) ] dt b [ ] [ ] b x(t)y(t) dt x(t) y(t) O próximo teorem dá um condição pr que integrl independ do cminho em um região. Teorem 2. A integrl de linh M dx + N dy independe do cminho n região D se, e somente se existe um função f continumente diferenciável em D tl que f x M e f y N. Neste cso, temos B A M dx + N dy f(b) f(a) (1.13) x 2

21 Observção 3. Usndo notção vetoril, com F Mi + Nj, condição cim (f x M e f y N) signific f F. Portnto, f é um função potencil pr F. Assim, integrl F dr (ou F T ds) independe do cminho se, e somente se, F é o grdiente de lgum função, ou sej, se, e somente se, o cmpo vetoril F é conservtivo, e neste cso, iguldde (1.13) se escreve n form B A f dr f(b) f(a). Assim, o Teorem 2 pode ser visto como um extensão do Teorem Fundmentl do Cálculo pr integris de linh. Demonstrção : Suponhmos que f F. Tomemos dois pontos A, B D, e sej D um cminho ligndo A B, prmetrizdo por x x(t), y y(t), t b. Temos M(x,y)dx + N(x,y)dy f x (x,y)dx + f y (x,y)dy b {f x [x(t),y(t)]x (t) + f y [x(t),y(t)]y (t)}dt f[x(t),y(t)] b f(b) f(a). Deste modo, integrl de linh A e B, e não do cminho ligndo esses pontos. Reciprocmente, suponhmos que integrl de linh b d dt f[x(t),y(t)]dt M(x,y)dx+N(x,y)dy depende pens dos vlores de f em F dr independ do cminho em D. Fixemos P D. Pr cd P D, o vlor d integrl F dr é o mesmo, qulquer P o que sej o cminho (contido em D) ligndo P P. Isto define um função f : D R f(p) P P o F dr. P Tomemos P 1 (x 1,y 1 ) D. Vmos mostrr que f(p 1 ) F, isto é, que f x M e f y N. Sej x > tl que Q 1 (x 1 + x,y 1 ) pertence D. Temos f(x 1 + x,y 1 ) f(x 1,y 1 ) (x1 + x,y 1 ) P o F dr P1 P o F dr (x1 + x,y 1 ) P 1 F dr. 21

22 Como integrl de linh independe do cminho em D, vmos clculr est últim integrl sobre o segmento de ret P 1 Q 1, o qul pode ser prmetrizdo por: : x t, y y 1, x 1 t x 1 + x. Então: P 1 Q 1 f(x 1 + x,y 1 ) f(x 1,y 1 ) f x (P 1 ) lim x x lim x 1 x x1 + x x 1 M(t,y 1 )dt M(x 1,y 1 ). Anlogmente obtemos f y (P 1 ) N(P 1 ). P Corolário 1. Suponhmos que s derivds prciis ds funções M e N sejm contínus n região R e que integrl de linh M dx + N dy independ do cminho em R. Então M y (x,y) N x (x,y), (x,y) R Demonstrção: Pelo Teorem 2, existe um função f(x,y) tl que f x M e f y N. Como f x y (x,y) f y x (x,y), temos M y f x y f y x N x. Observção 4. Além de su importânci n teori ds integris de linh o Teorem 2 fornece um método pr clculr integris de linh. Exemplo 2. Clculr (3,π/2) ( π/2, 1) y cos(xy)dx + x cos(xy)dy. Notemos que função f(x, y) sen (x y) stisfz: Portnto (3,π/2) ( π/2, 1) Exemplo 21. Clculr f x (x,y) y cos(xy) e f y (x,y) x cos(xy) xdx + y dy f(3, π x 2 + y 2 2 ) f( π 2, 1) sen 3π 2 sen π 2 2. (3,3) (1,) região R {(x,y) : x > }. Notemos que função f(x,y) ln x 2 + y 2 stisfz: f x (x,y) 1 2 Portnto (3,3) xdx + y dy, o longo de um cminho qulquer contido n x 2 + y 2 2x x 2 + y 2 (1,) x x 2 + y 2 e f y (x,y) 1 2 2y x 2 + y 2 xdx + y dy x 2 + y 2 f(3, 3) f(1, ) ln y x 2 + y 2

23 Exemplo 22. Clcule R {(x,y) : x > }. (3,3) (1,) y dx xdy, o longo de qulquer cminho contido n região x 2 + y 2 Notemos que função f(x,y) rctn(y/x) (f(x,y) é o ângulo θ do sistem de coordends polres) stisfz: y f x (x,y) e f x 2 + y 2 y (x,y) x x 2 + y 2 Portnto (3,3) Exercício: Clcule: (1) (2) (3,π/2) ( π/2, 1) (3,π/2) ( π/2, 1) (1,) y cos(x + y)dx + x cos(x + y)dy. 2xy cos(x 2 y)dx + x 2 cos(x 2 y)dy. y dx xdy x 2 + y 2 rctn 1 rctn π 4. Exercício: Mostre que s integris bixo independem do cminho: (1) (2xy 2 dx + 2x 2 y dy. (função potencil: f(x,y) x 2 y 2 ); (2) (3x 2 y 2 + 2xy 3 )dx + (2x 3 y + 3x 2 y 2 )dy. (função potencil: f(x,y) x 3 y 2 + x 2 y 3 ) (3) (15x 2 y 2 8xy 3 )dx + (1x 3 y 12x 2 y 2 )dy. (função potencil: f(x,y) 5x 3 y 2 4x 2 y 3 ) (4) 2xy 2 cos(x 2 y 2 )dx + 2x 2 y cos(x 2 y 2 )dy. (função potencil: f(x,y) sen (x 2 y 2 )) O Teorem 2 tem um inconveniente do ponto de vist do cálculo de integris: gerlmente é muito difícil encontrr um função potencil. Vmos ver em seguid lguns ftos lterntivos pr determinr o vlor d integrl. Em primeiro lugr, notemos o seguinte resultdo: Teorem 3. A integrl de linh M dx + N dy é independente do cminho n região R se, e somente se, M dx + N dy, pr todo cminho fechdo C R. C Demonstrção: Suponhmos que integrl de linh C M dx + N dy sej independente do cminho em R, e sej um cminho fechdo contido em R. Tomemos dois pontos A B sobre curv e designemos por 1, 2 os dois rcos de ligndo A B. 23

24 B 2 1 A Como integrl independe do cminho, temos obtemos 1 AB M dx + N dy M dx + N dy + AB 2 M dx + N dy 2 AB M dx+n dy 1 BA 1 AB 2 AB M dx + N dy M dx + N dy M dx+n dy, donde Segue-se que integrl sobre qulquer cminho fechdo R é nul. Reciprocmente, suponhmos que pr qulquer cminho fechdo C R, tenhmos M dx+ C N dy, e sejm A e B dois pontos quisquer em R. Tomemos dois cminhos quisquer 1, 2 R ligndo A B. Então AB 1 2 BA é um cminho fechdo contido em R. Por hipótese, temos M dx + N dy. Ms 1 AB 2 BA Logo, 1 AB 2 BA M dx+n dy 1 AB 1 AB M dx + N dy M dx+n dy+ 2 AB 2 BA M dx+n dy M dx+n dy M dx+n dy. AB 1 AB 2 M dx + N dy, isto é, integrl independe do cminho em R. y dx xdy Exemplo 23. Mostrr que integrl de linh é independente do cminho em x 2 + y 2 cd um ds regiões: R {(x,y);y > }, D {(x,y);y < x 2 1}. Defto, vimos nteriormente que, se é um cminho fechdo que não envolve origem, y dx xdy então. Como nenhum cminho fechdo em R (ou em D) pode envolver x 2 + y 2 origem, integrl sobre qulquer cminho fechdo contido em R (ou em D) se nul. Pelo y dx xdy Teorem 3, integrl de linh é independente do cminho em R (e em D). x 2 + y 2 24

25 y dx xdy Exemplo 24. Mostrr que integrl de linh depende do cminho em R 2. x 2 + y 2 De fto, vimos nteriormente que o vlor d integrl sobre qulquer cminho fechdo simples (percorrido no sentido positivo) que envolve origem é 2π. Tmbém podemos ver que integrl cim depende do cminho clculndo diretmente s integris sobre os dois cminhos ligndo ( 1, ) (1, ): 1 : x cos(π t), y sen (π t),π t π e 2 : x cos t, y sen t, π t 2π y dx xdy π [sen (π t)( sen (π t) cos (π t) cos (π t)]dt π 1 x 2 + y 2 y dx xdy 2π [sen t ( sen t) cos t cos t]dt π 2 x 2 + y 2 π Este exemplo ilustr, n verdde, um fto mis gerl sobre independênci do cminho. Pr enuncir este resultdo, vmos introduzir seguinte terminologi: um região D é dit simplesmente conex se tod curv fechd contid em D envolver pens pontos de D (dito de modo informl, dizer que D é simplesmente conex signific que D não tem burcos). O conjunto de todos os pontos interiores um cminho fechdo simples constitui um região simplesmente conex. A região nulr entre dus circunferêncis como, por exemplo, A {(x,y); 1 < x 2 + y 2 < 16} não é um região simplesmente conex (por exemplo, circunferênci C : x 2 + y 2 4 está contid em A, o ponto (, ) é interior C, ms não pertence A. Teorem 4. Suponhmos que s funções M(x,y) e N(x,y) tenhm derivds prciis contínus n regio simplesmente conex R e que N x (x,y) M y (x,y), (x,y) R. Então integrl de linh M dx + N dy independe do cminho em R. Demonstrção: Pr todo cminho fechdo C contido em R temos, pelo Teorem de Green ( N M dx + N dy R x M ) da x Pelo Teorem 3, integrl de linh M dx + N dy independe do cminho em R. y dx xdy Exemplo 25. A integrl de linh independe do cminho em qulquer região x 2 + y 2 simplesmente conex D R 2 que não contenh origem. Exemplo 26. Clculr cos x cosh y dx + sen x sen h y dy, sendo o cminho formdo pelos segmentos de ret L 1 ligndo (, ) (π/2, 5), L 2 ligndo (π/2, 5) (3π/4, 3), L 3 ligndo (3π/4, 3) (π, 6) e L 4 ligndo (π, 6) (3π/2, ). Observemos que s funções M(x,y) cos x cosh y dx e N(x,y) sen x sen h y 25

26 têm derivds prciis contínus e M y N x cos x sen h y. Pelo Teorem 4, integrl de linh M dx + N dy independe do cminho em R 2. Vmos substituir pelo segmento de ret ligndo (, ) 3π/2, ), que pode ser prmetrizdo por Γ : x t, y, t 3π/2; então x 1 e y. Temos, portnto 3 π/2 cos x cosh y dx + sen x sen h y dy (cos t cosh + sen t sen h )dt 3 π/2 cos t dt Integris de linh no espço As definições de integrl de linh podem ser estendids de modo nturl pr curvs no espço. Se : x x(t), y y(t), z z(t), t [,b] é um cminho e f(x,y,z),l(x,y,z), M(x,y,z) e N(x,y,z) são funções contínus em um região contendo, então s integris de linh f(x,y,z)ds e Ldx + M dy + N dz são definids como limites de soms e podem ser clculds pels relções: f(x,y,z)ds lim k1 b Ldx + M dy + N dz lim n f(pk) k s f(p(t)) [x (t)] 2 + [y (t)] 2 + [z (t)] 2 dt k1 b n L(Pk ) k x + M(Pk k y + M(Pk ) k z [ L(P(t))x (t) + M(P(t))y (t) + N(P(t))z (t) ] dt em que P(t) (x(t),y(t),z(t)). Definindo F Li + M j + N k e R(t) x(t)i + y(t)j + z(t)k e T(t) R (t)/ R (t), podemos escrever Ldx + M dy + N dz F dr F T ds Exemplo 27. Clculr por x t, y t 2, z t 3, t 3. Temos 1x 2 y dx xdy 2xz dz, em que é curv dd prmetricmente 1x 2 y dx y dy 2xdz 3 (1t 4 8t 3 )dt 2t 5 2t Vle pr integris de linh no espço o seguinte resultdo, cuj demonstrção é nálog o cso do plno. 26

27 Teorem 5. Suponhmos que s funções L, M e N sejm contínus n região R. A integrl de linh Ldx + M dy + N dz independe do cminho em R se, e somente se, existe um função V : R R tl que V x L, V y M, V z N. Como conseqüênci diret, temos: Corolário 2. Suponhmos que s funções L, M e N sejm tenhm derivds prcis de primeir ordem contínus n região R e que integrl de linh Ldx + M dy + N dz independe do cminho em R. Então L y M x, L z N x, M z N y. Observção 5. Definindo F Li + M j + N k, temos i j k F x z (N y M x )i + (L z N x )j + (M x L y )k. L M N Assim, o Corolário firm que, se integrl de linh F. Exercício 5. Mostre que integrl de F dr independe do cminho, então 1x 2 y dx xdy 2xz dz linh depende do cminho. 27